2-32 Unidad 2 La Integral como Antiderivada
INTEGRACIN POR PARTES Propsitos
Reconocer que el mtodo de integracin por partes ampla las posibilidades de integrar productos de funciones y saber que se desprende de la derivada de un producto.
Utilizar el mtodo de integracin por partes. Sugerencias para quien imparte el curso
Asegurase de que los alumnos comprendan como es que se llega a la frmula de derivacin por partes, mediante la derivada del producto de funciones.
Conceptos clave:
Cuando se trata de integrar por cambio de variable y la variable original no se elimina, se puede usar otro mtodo de integracin que es el de integracin por partes. As como el mtodo de cambio de variable se apoyaba en la regla de la cadena para las derivadas, la integracin por partes se basa en la derivada de un producto de funciones.
Sean dos funciones tales que = () y = (), la derivada del producto de estas funciones est dada por
=
+
en forma diferencial
= + Despejando
=
Integrando
=
43. Finalmente la frmula para integracin por partes puede escribirse
=
Unidad 2 La Integral como Antiderivada 2-33
Sugerencias para quien imparte el curso Una vez que el profesor ha resuelto algunos ejercicios para que los alumnos se familiaricen con el mtodo de integracin por partes, conviene plantear otros ejercicios para que sean resueltos en parejas, planteando algunas preguntas por ejemplo Qu pasara si se eligiera u y dv distintos? Que los alumnos traten de obtener las integrales para
que observen que pasa.
Ejemplo 1 Obtener
Vemos que si quisiramos usar el mtodo de cambio de
variable ya sea que se eligiera = o = , al obtener no se tiene un resultado que nos lleve a resolver la integral.
Usando el mtodo de integracin por partes haciendo = y = , entonces:
=
= = = +
Aplicando la frmula para la integracin por partes
=
= = +
= 1 +
Si se hubiera elegido como = y = , la integral se complica, se requerir de hacer algunos ejercicios antes de poder elegir adecuadamente.
2-34 Unidad 2 La Integral como Antiderivada
Ejemplo 2
Obtener
Vemos que si quisiramos usar el mtodo de cambio de variable ya sea que
se eligiera = o = , al obtener no se tiene un resultado que nos lleve a resolver la integral.
Usando el mtodo de integracin por partes haciendo = y = , entonces:
=
= = = cos +
Aplicando la frmula para la integracin por partes
=
= + cos = + +
Sugerencias para quien imparte el curso
Plantear ejercicios que involucren hace integracin por partes dos o ms veces y hacer preguntas a los alumnos de cmo podran resolver esas integrales
Ejemplo 3
Obtener
Usando el mtodo de integracin por partes haciendo = y = , entonces:
=
Unidad 2 La Integral como Antiderivada 2-35
= = = cos +
Aplicando la frmula para la integracin por partes
=
= + cos
Cmo podra resolverse la integral que resulta?
Como se puede observar para obtener la integral, se debe aplicar tambin
integracin por partes, de esta forma =
=
= = = sen +
Aplicando la frmula para la integracin por partes
=
= sen
De tal forma que
= + cos = + sen +
Qu se podra hacer en esta parte? Cmo es la ultima integral que resulta con respecto a la integral que se
desea obtener?
Asociado trminos semejantes
2 = + +
=
2( cos ) +
2-36 Unidad 2 La Integral como Antiderivada
Ejercicios
Obtn las siguientes integrales ocupando el mtodo de integracin por partes. En algunos casos sigue las recomendaciones sugeridas, haz uso de cambio de variable cuando sea necesario.
1. 3
2. 2 tan 2
3.
4. 3 2 (Sugerencia: 3 2x x x de tal forma que la integral
puede
quedar como: 2 2 5. 2 4 (Se Deber integrar dos veces por partes) 6. 32 (Se Deber integrar dos veces por partes) 7. + 2 ( + 4)3
