Integracin Mediante Fracciones Parciales

Repblica Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular Para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politcnica de la Fuerza Armada

UNEFA

Ncleo Naguanagua

Alumno:

Leiber Paradas

Seccin: TA

Semestre: II

Ingeniera Petrolera

Valencia, Enero 2011

Integracin Mediante Fracciones Parciales

La Integracin mediante fracciones parciales, es uno de los mtodos de Integracin mas fcil, en donde la forma a seguir esta dada (se podra decir), por unos criterios.

Definicin: Se llama funcin racional a toda funcin del tipo

En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado

Ejemplo:

Cmo descomponer una funcin racional en fracciones parciales?

CASO 1: Factores Lineales Distintos. A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fraccin racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fraccin de la forma , siendo A una constante a determinar.

Ejemplo:

luego nos queda la siguiente igualdad

o tambin lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B Haciendo un Sistema.

A + B = 02A - 2B = 1 , las soluciones son : Quedando de esta manera:

con lo cual

CASO 2: Factores Lineales Iguales.

A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fraccin racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

EJEMPLO:

Calculemos la siguiente integral

Pero: Tendremos

Amplificando por

Las Soluciones son:

Nos queda:

CASO 3: Factores Cuadrticos Distintos. A cada factor cuadrtico reducible, que figure en el denominador de una fraccin racional propia, le corresponde una fraccin de la forma siendo A y B constantes a determinar.

Ejemplo:

Calcular:

Con lo que se obtiene

de donde

INCLUDEPICTURE "http://ima.ucv.cl/hipertexto/calculo2/lianggi/fotos/_36.gif" \* MERGEFORMATINET luego los valores a encontrar son.

A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0

CASO 4: Factores cuadrticos Iguales

A cada factor cuadrtico irreducible, que se repita n veces en el denominador de una fraccin racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

siendo los valores de A y B constantes reales.

Ejemplo:

Calcular la siguiente integral

Tendremos que por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el mnimo comn denominador tenemos

Donde los valores de las constantes son

A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1

De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.

Integracin Mediante Fracciones SimplesMtodo de integracin por descomposicin en fracciones simplesPara resolver este tipo de integrales

se procede del siguiente modo: 1. Se descompone factorialmente el polinomio q(x), es decir, se hallan las races de la ecuacin q(x) = 0.

en los ejemplos.

3. Se integran los sumandos que resulten.

Ahora bien, al resolver la ecuacin q(x) = 0 es posible encontrar resultados distintos y stos se pueden clasificar en tres casos:

_ obtencin de races simples (ninguna raz est repetida).

_ obtencin de races mltiples (al menos hay una raz repetida).

_ obtencin de races imaginarias (nmeros complejos).

De estos tres casos, el nico que estudiaremos es el primero:

Se obtienen races reales simples. Si x1, x2, ..., xn son las races simples de q(x), se tiene:

A1, A2, ...., An son constantes que se tienen que determinar. Como se aprecia, las integrales que resultan son inmediatas.

Ejercicio: clculo de integrales

Resolucin: Al ser el grado del numerador, 3, mayor que el del denominador, 2, se dividen los polinomios y se obtiene: x3 - 3x2 + 1 = (x2 - 1) (x - 3) + (x - 2)

Tiene, por tanto, dos races simples distintas, 1 y - 1.

Puesto que los denominadores son iguales, los numeradores tambin han de serlo:

x - 2 = A(x + 1) + B(x - 1).

Para determinar A y B, se dan valores a x:

si x = 1, 1 - 2 = A(1 + 1) + B(1 - 1), - 1 = 2A, A = - 1/2

si x = -1, - 1 - 2 = A(- 1 + 1) + B(- 1 - 1), - 3 = -2 B, B = 3/2

Debe hacerse notar que, aunque a x se le pueden dar valores arbitrarios, en este caso se han elegido aquellos que anulan uno de los sumandos para simplificar los clculos. ste ser un procedimiento muy generalizado.

1. Integracin de una fraccin simple tipo I

En este caso tenemos luego de una simple transformacin del integrando una integral inmediata.

2. Integracin de una fraccin simple tipo II

En este caso el integrando lo identificamos como una fraccin simple de tipo III ya que el discriminante del polinomio denominador es negativo (calclelo!) por lo que podemos realizar la sustitucin u=x+p/2 o mejor an podemos proceder como a continuacin

Bibliografa

http://ima.ucv.cl/hipertexto/calculo2/lianggi/materia.htm http://www.monografias.com/trabajos59/como-proceder/como-proceder2.shtml

http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/recursos_2005/textos/paraiso/apuntes/metodos_integracion.pdf