11Para qu se utilizan las integrales?1. INTRODUCCINLas primeras preguntas que debe hacerse un estudiante cuando empieza a batallar con integrales son las siguientes: Para qu sirven las integrales?a Por qu debo aprender a integrar? Qu puedo calcular con las integrales?Es decir, cuestionarse su uso y el porqu de su insistencia durante los aos de estudio.2. UN POCO DE HISTORIAEl primer uso de las integrales data del Antiguo Egipto (1800 a.C.) para el clculo de volmenes. Este concepto fundamental de las matemticas fue perfilado y perfeccionado desde entonces por numerosos cientficos entre los que destacaronArqumedes,FermatyBarrow. Sin embargo, los principales adelantos en integracin llegaron a mediados del siglo XVII (1665) gracias a la elaboracin del Teorema fundamental del clculo de mano de dos brillantes matemticos: Isaac NewtonyGottfried Leibniz.Este hallazgo no fue cooperativo, sino individual, hecho que gener vigorosas disputas por la autora del mismo.FinalmenteCauchy,RiemannyLebesgueformalizaron el sistema actual de clculo de integrales empleando el uso de lmites.3. PARA QU SE UTILIZAN LAS INTEGRALES?Bsicamente las integrales se usan cotidianamente en elclculo de reas,longitudes de curvasyvolmenes de cuerpos de revolucin. Clculo de reas Clculo de longitudes de curvas Clculo de volmenes de cuerpos de revolucin4. EJEMPLO PRCTICO DEL USO DE INTEGRALES4.1. Clculo de reas por geometra bsicaUn coche se mueve variando su velocidad a lo largo del tiempo siguiendo la trayectoria de la figura:

Figura 1. Velocidad de un mvil respecto al tiempoLa integral es el clculo del rea que existe entre la funcin (la lnea naranja) y el eje deabscisas(el eje X) entre dos intervalos cualesquiera (en este caso, de tiempo), siendo el rea que queda por encima (del eje X) positiva y por debajo negativa. Para no profundizar en la integracin y facilitar la asimilacin del concepto, vamos a tomar un intervalo cuya rea podamos calcular por geometra bsica, por ejemplo el intervalo de tiempo (0 , 5) segundos:

Figura 2. Integracin de un intervaloComo se puede comprobar, se forma un rectngulo entre esos intervalos. Si calculamos el rea de ese rectngulo, estamos hallando la integral de la funcin naranja entre el intervalo (0 , 5) segundos,Estamos calculando integrales de forma muy sencilla!Continuemos Cul es elrea de un rectngulo? El rea de un rectngulo, como habis podido comprobar en el enlace, es base por altura. En la grfica se puede observar que la base es 5 y la altura (-8), por tanto, aplicando la frmulaA = B h= 5 (-8) = -40Estoy seguro que todava os queda una pregunta. Habis aprendido que el rea entre una funcin y el eje de abscisas se puede calcular realizando la integral entre dos intervalos, peroY para qu sirve el clculo del rea en este ejemplo?En nuestro caso, la integral de la velocidad respecto al tiempo nos da el espacio recorrido en un intervalo determinado. Esto no tenis por qu saberlo, ya que forma parte del campo de la fsica, pero gracias a la integral, hemos deducido que el coche se ha movido 40 metros hacia atrs de su punto de origen en los primeros 5 segundos.4.2. Clculo de reas por suma de rectngulos infinitosCmo calcularais el rea de la siguiente grfica?

Figura 3. Clculo de una rea irregularSi intentis buscar alguna forma geomtrica cuyo clculo del rea conozcis y se adapte perfectamente a la funcin, estis perdiendo el tiempo. Necesitis otra alternativa, aunque no sea exacta, por ejemplo formar rectngulos (cuya rea conocemos) de diferentes tamaos que se adapten lo mximo posible a la grfica:

Figura 4. Clculo de una rea irregularDe esta manera, podramos hacer un clculo aproximado del rea, pero no sera exacto. Para un ejercicio de matemticas no est mal, pero si de la exactitud de tus clculos dependen los cimientos de un edificio o la resistencia de un puente, mejor no dejar mucho margen de errorCmo conseguimos un clculo ms exacto?Si observis la figura, cuantos ms rectngulos utilicemos, ms se aproximar el rea de todos estos rectngulos al rea de la grfica. Si tomamos infinitos rectngulos, estaremos hallando la integral de esa funcin y por tanto su rea.