MIRCEA POPESCU

OLIMPIADE $I CONCURSURI $COLARE

INTEGRALE

Editura SITECH

Craiova,zOLg

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iside CUPRINS

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ENUNTURI

It = I ffid.x ,x ) o,a ) o,ne N*.1. Calculaii integralele :

2. Calculali :

Determinali :

Si se calculeze :

Sd se calculeze :

_ fsinx(sinx*cosx)Iz= | dx,x€R.- J e-2, + sinz x(Olimpiada localS Alba,2016)

r- f 1I = J Wmffidx ,x € (0. m), n e N* (olimpiada localS Alba,2013)

orul 4. Efectuali:

Sd se calculeze integralele nedefinite :

a) 1 = I;r#;"r" dx si = hrff#o,, dx ,undea,b € R six € D, unde DcReste un

interval pe care sinx * b cosx * 0.

ilt#dx.7. Si se calculeze Jffi-dx, pentru x e Q,|)

^2x I8. Sd se determine primitivele funcliei : (0, m) '+ R,f (x) = " -u

JArr-@+*'

It

3. sd se calculeze : I : l;- t sin2oo'x ,I : J -Y zooz'+t ' sinfos n+cos,oo8 x

4x',

r=I'J"',ftffilax.n

t : l; ln(1 + l3tgx)dx

9. Calculali: I: I:fs#d.10. Calculali :1 = Ilro$*oa* .

1f, ,ort x-cosz1n-t1x1n ---------------- w*

sln rcos r

(Olimpiada localS Alba,2008)

(Olimpiada locald Alba,2008)

(Olimpiada locald Alba,2008)

(Olimpiada localS A1ba,2005, var.1)

(Olimpiada localS Alba,2002)

(Olimpiada judeleani Alba,1999)

{Ol impiada loca 15 Arad,ZOt7)

(Ol i m piada loca 15 Arad,20t2)

\*::..'li

{-\i-.\

si'\5

:t\.*i

lt

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(Olimpiada localS Arad,2010) ::

(Ol im piada localS Arad,2003) \6sN

5.

6.

JT3

I11.

t2.(2+sin r)(3+sin x)3

Calcula!i

Calculali

Calcula!i

Calculati

21. Calculati

22. Calculati

Calculali

Calculati

sinx+cosx ---1:_ d.x .e^+acosx

2x+3

13.

L4.

15"

16.

L7.

19.

20.

23.

24.

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I

L

[1Y*'otaarccos(20 t4x) d.x .

201,4

r1 x+sinfzx)Js .'*z,'*@;ax '

(Olimpiada locali Argeg ,2OL6,Marin Chirciu)

(Olimpiada localS Arges,2016)

(Olimpiada localS Argeg,2O16,e.p.)

(Olimpiada localS Argeg,2013)

(Olimpiada locali Bihor,20L4)

(Olimpiada localS Bihor,2014)

(Olimpiada localS Bihor,2005)

x (x + 7) (x +z) (x+ 3) +2 o 1 sdx,x)0.

18.

rI 4x+1l-13;**dx '

r|t COS4x-cos4a -1.,

-dx.

cos.x-cos a

s5 se calculeze: J% d.x,x ) o.

(Olimpiada locald Arge;,2004,Daniel jinga)

Sd se calculeze: J #gdx,x e (0, *) (olimpiada localS Argeg ,2OO2,varianta3-Costegti)

Sd se calcul "ru

t f'rffi a* . (Ol impiada loca l5 Argeg,2002,va rianta3-Costegti)

Calculali integrala t I = I(#- ffl . cos(ln(x + 1)) dx .

(Oli mpiada loca 15 Bihor,ZO17,G.m.9 / 2016)

t 72x+77I ffidx ,x e (0, m). olimpiada locali Bihor,2016)

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25. Sd se calculeze 117 1

- J ft-^^^- J _!zooz, +t

26. Calculali :

27. al Calculali :

b) Calculati :

sin2002 x _

-Hr

Sin2O02 y1g632OO2 yw^ '

trra + ew + effi1dx .

I@ + 1)2e*-+ dx ,x € (0. m) .

lrydx.xeR.' x++7

(Olimpiada localS Bihor,2003,Augustin Drigan)

(Olimpiada localS Bihor,1999)

l(#)2 dx,x € (o,m)

(Olimpiada locald Botogani ,2OI7)

rciu)

116)

3.p.)

013)

inga)

:egti)

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:016)

016)

)14)

0L4)

Oos)

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,999)

30. Calculati :

31. Calculali

32. Calculati

33. Calculali

34. Calculati

a) Calcula!' ,/##*",,ry dx ,x e 1O,i)

b) calcula!i, lrftax.

calculali : a) J ffidx ,x ) o; b) [#a*(Olimpiada localS Botogani ,2OLG)

,x)0

(Olimpiada locald Botogani ,zOtL)

(Olimpiada localS Buziu ,2017)

(Olimpiada localS Buzdu ,2OL6l

(Olimpiada localS Buzdu ,2014)

(Olimpiada localS Buziu ,2}t4l

dx,undea)0,neN*

(Olimpiada localS Buziu ,2013l'

(Olimpiada localS Buzdu ,2072)

(Olimpiada localS Buziu ,20LI)

r x2+2x+3 -J o*,, .inx dx ,x € R.

[ (g*to + 2x7)\lF + t ax .

r 3 sinr+2 cosr .I ---------------:- dx .x € f0.1)." 3 cos x+2 sin r 2'

J(sru + gx\lir + x d"x,x ) o .

xnntegrala : !"' J: X3n+L+y2nt2 qyzn1yn+1,+X7].-1.+7

35. Calculali : a) [ efi dx; b) t .li. "G d.x

36. calculali : Ilrd*oa*..A sinBx+coszx

5a se calculeze : l^, --;-

^ d.X .1+slno r+coso.x

4 ^-2

I-r7;a* '

r sinz x+sin 2r+1 ,

J **o^, *u dx '

Sd se calculeze : J -J-dx

.x ) 0

(Olimpiada localS Buziu ,2008)

(Olimpiada locali Buziu ,2005)

(Olimpiada localS Buziu ,2003)

(Olimpiada localS Buziu ,2002)

(Olimpiada localS Bragov,2015,Sorin Stoian)

dx.Disculiedupa aER.

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37.

38.

39.

40.

42.

Si se calculeze

Si se calculeze

Calculali :

Calculali :

2x+5

17 x2+3xli

-dx

,x > -1 . (Olimpiada localS Bragov,20L6,loana Masca,e.p.)

r 2x*5lffidx,undea>'J"

'.oL7l43. Calculali : J (x - z) (x - z) (x + z) (x + s) + a

(Olimpiada locali Bra;ov ,2013, Mihaly Bencze)

10

44. Calculati

45. Calculali

46. Calculali

47. Calculali

48. Calculali

49. Calculati

50. Calculati

'11+^11I z ^ ' )*11 JGE=irTryw^ '

E[m].t#la-.(olimpiadalocal5Bragov,2o!!,loanaMasca)

r 2*sinx2 x2 -

I ---------' xe z d,x-" I+cosxz

Ilrr'"orrtg(ex) d.x .

(Olimpiada locald Bragov,2}I2,Gabriela Boeriu)

(Olimpiada localS Brapov,2008,e.p.,Gabriela Boeriu)

(Olimpiada localS Bragov,2007,Traian Dutd,e.p.)

(Olimpiada local5,Bucuresti,2013)

i.\: 54.i\{-\

*-* 55.*.i,*r

):.\\

. -.56.\\\\ -.r\r"\\\\\-.]]i. .'::'

ff x[sinz (sin x) * cos2 (cos x)l dx. (olimpiada locald Bragov ,2001)

Ilrxto" ln(1 + ex) d.x (olimpiada locali Brdila,2016,catdlin pand)

I#:#dx,xr(h,:)(Olimpiada localS Briila,20L5,Narcis Gabriel Turcu)

51. a) calculati , Il#sinx * fficosxl dx,x e (-1,oo).

b) calculali t [lGhf (x) + #g@ldx,x € (-1,oo), unde f ,g , (-!,*) * R

sunt funclii derivabile cu f '(x) = g(x)st g'(x) : -f (x),(V)r e (-1, *).

(Olimpiada locald Brdila,20L4,Adela Dimov)

52. Sd se calculeze t = I*ri,,;i=*,i"F d.x,x e R .

Ol im piada loca 15 Brd i|a,2009,G.m.12/2006)

s3. si se calculeze' j##-f# d.x,x e e,I).

Olimpiada localS Brdila,2008,Marius perianu)

Calculali , I#sinxd.x.7t

Si se calculeze, lI ,.(#* ln(sin x)) dx .

(Olimpiada locald,Bucuregti,20l_0,Cristian Alexandrescu)

Calculati :Jtn1f *x]-xaldx,xe R. (Olimpiada loca15,Baciu,2013, e.p.)

rriu)

sca)

rriu)

e.p.)

:001)

'ani)

.rrcu)

l0o6)

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escu)

e.p.)

57.

58.

59.

Sd se calculeze: I : t #dx ,x € (0, m)

calculali , I = I #-or,x G (0, oo) (olimpiada localS Arge9,2007,gtefan Tudosie)

si se calculeze: [ ##dx ,x e (0, oo) (olimpiada locali,Bucure9ti,2003, LV.Maftei)

si se carcureze : a) tl1ffif dx ; b) I!,.,.,. a*

(Olimpiada loca 15, Bucuregti,2002, Ma rcel Chirita)

-.fi

1.T.

(Olimpiada local5,Bistrita,2008)

(Olimpiada local5,Bucuregti,2001, Virgil Nicula)

dx ,x e (0, oo).

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N-Nil:t, -t:i::..:,!!r..,

67.

68.

)v)

Calculati : J' J (x + z) (zx + z) (z x + +) (ox + s) + 20 t7

(Olimpiada locald,Constanla,2017)

Calculali , I Fhdx ,x € (0, co)

(Olimpiada local5,Cluj,2016,e.p.Simona Maria Pop)

Folosind eventual egalitatea ; arctg x * arctg :=:pentru x ) 0, calculali :

qffidt ,x > 0 . (olimpiada locali,carag severin,2015,e.p.)

calculali : a\lffia*; a1 1J:Zax

(Olimpiada localS,Constanla,2015,Cristina Homentcovschi)

65. Dacd x € (0, m) , calculali :

(Olimpiada local5,Cil5ragi,20L4)

(Olimpiada locald,Cluj,2014,llie Diaconu)calcutali , t: I!ffidr.Calculali : a) J arcsin(sin x) dx ,x e (0,n);

61. SAsecalculeze:A= [JTg.dx gi B = Irfctgxd.x,xee,:).

Lzx+77

L2

69. a)

b)

72.

73.

70. Calculali

71. Calculati

Calcula!i

Calculati

74. SE se calculeze

75. S; se calculeze

75. S5 se calculeze

77. Se se calculeze

Sd se calculeze

x2oro arccos?}l}x d"x .

Ul I.r".uffirr..=t-dx,xlA. (olimpiadalocali,Covasna,20l-4)

Aratali cd arctg A - arctg B = arctg ,.!-* ,(V),4,8 € R .

Determina!i [: -+::+- dx.w arctg -F_r*,(Olimpiada locali,Carag Severin,201_3)

I = [ #Ad.x ,x. (o,l) ,a ) 09i n € N* (otimpiada tocatd,ctuj ,20tgl

,!t aTctg xl^'-?-d'x. (olimpiadarocard,constan\a,2012.Gabrielrorgurescu)'u arctg ..r-;.,

Ii a#-*ra. (olimpiada locatd,constanla,2011")

r:l{'#!#fdx,undea>0.

1

120'toJt-,010

(Olimpiada locals,Cluj ,zOtL, llie Diaconu)

(Olimpiada locals,Cluj ,ZOLO, tlie Diaconu)

l.I

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':\79.

K*$

al I: arcsin(sin x)dx, al tfrji#or.

a)/: tlrffa, ; b) 1

(Olimpiada local5,Covasna,201_0)

= /(1 * x -|)t.*i d.x ,x e (0, m).

(Olimpiada local5,Covasna,2009)

t = I#earctsx d.x,x e R.

(Olimpiada locals,Carag-Severin,2009)

t=[Wdx,ne N,n]z,x e R.

(Olimpiada local5,C5l5rasi,2009)

calculali , f #d.x,ne N,n)2,xeR' " (7+2'1n+

(Ol im piada loca l5,Cil5 rapi,2009,G .m.9 /2007)

13

r014)

:013)

013)

)scu)

1011)

:onu)

:onu)

201o)

zooe)

200s)

2ooe)

80.Fienumerelerealek,a,bcuk>max(-a,-b).Calcula!i:Jo1ffio-'

(Concursul centrelor de excelenla din Moldova,30mai 2009,1on Bursuc)

81. calculati :1= tlrp;ftqa*.(Concursul interjudelean de matematicS"Grigore Moisil", edilia a-V-a,30 ian.-1" febr. 2009,G.m.)

82. $ se calculeze integrala , i-Ury O* .

(Concursul interjudelern O. l'r.t"matic5"speranle Rdmnicene",Rdmnicu 55rat, 25 apr.2009)

83. calculali :a) 1 = I#d"x,xe (0,oo) ; b) I = I+#l dx,xe1o,i)

(Olimpiada local5,Cluj ,2OO7, tlie Diaconu)

- y6n+284. Calculali I J fr+ddx ,n € N

(O I i m pia da loca I d, Co n s tanla,2OO7,G igel Buth,G. m.4 / 2006))

85. s; se catculeze ,I = I ffi a. .

(Concursul "lon Barbu-Dan Barbilian", CilSragig-11 dec. 2006)

86. calculali : a) I Edx,x ) 0 ; b) I#m)2 d"x,x > o.

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u::\IJ

d:t*r

(Olimpiada localS,Constanla,2002,Gheorghe Andrei)';;.

87. sd se calculeze : t xzex-LJ ffi?dx ,x > 0 .(olimpiada locald,Constanla ,20o2,cdt;lin 26rnd)

'x

88. Calculali :[:l#d.x,xe (0,]);

(Olimpiada localS,Constanla,2001)

*

{}:

Itz: I.,.""-t Wdx ,x. (o,l)

89. Calculali :1: I*$*Ydx,xER.

f @.-11e0. calculati : ! ffi7 dt .

(Olimpiada localS, Dolj,2017) s$$J

:.

(Olimpiada locali, Dolj,201-5,e.p.)* *N$\'*,l::. \' ..9i42007)

92.

93.

1.4

91. Calculati

Calcula!i

Calculati

94. S; se calc

95. Calculati

r = It;#,aqa* I : # -].---- a* .-; slnrsln(x+;J

/ sin r ' cos x ' cosZx. ... .. cos 22073x dx .

1f; arctg xt -- nry.ln 1 wL '" arcto" 2xz-x+2

uleze / = $ ".f;fu* ln(sin x)) dx .

(Olimpiada locald, Bucuregti,20L0,Cristian Alexandrescu)

a)1 = I:V+frdx,a e R ; b) r = fiffi.,,,,ar.

(Olimpiada locali, D6mbovila,2OL3)

(Olimpiada locali, Dolj,20L3)

(Olimpiada locald,Constanla,2012)

(Olimpiada locall, D6mbovila ,2OOg, Cilin Burdusel)

96. Si se calculeze integrala , I md.x ,x € (0, m), q. e R .

(Olimpiada locald, Dolj,200g,Constantin Cristian Dinu)

e7. catcutati : a) f: ,*dt ; b) ti *0.(Concursul nalional de matematicd aplicatd : "Adolf Haimovici,,, etapa judeleand,

7 martie 2009,profilul gtiinfe)

98. sA se catcuteze , I *#. sin x dx , x. (o,i )

(Concursul interjudelean de matematicd ,,Sinus,,, 2O0g)

i "' calculali , f'-#*; d.x ,n E N . (olimpiada localS, D6mbovila,2008, cdlin Burdusel)

.' 100. Fie 1 = (O,I) Sd se calculeze primitiv a, I=#* d"x ,x € L:: \ '+/--- '- r ex coslx+f)+r w^ ,e ! ' t

{:..

tl (olimpiada locali, Dolj,2008):5 r0r. Fie a ) 1. Calculali integrala : I(a): I{yYa*.

a-'

N (Concursul de matematicS "Cezar lvdnescu",Tirgovigte,15.03.200g,G.m.)"i:l:::,:::;l'