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metodos de integracion
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INTEGRALESTema 12
Introduccin al clculo integral
MTODOS DE INTEGRACINTema 12.2 * 1 BCT
Introduccin al clculo integral
MTODOS DE INTEGRACINDada una funcin f(x) no siempre es posible calcular su integral; unas veces porque no se trata de una funcin de las estudiadas hasta ahora y otras veces porque, an sindolo, no sabemos determinarla.Mediante ciertos mtodos de clculo, se pueden determinar la mayora de las integrales, reducindolas a otras inmediatas.
INTEGRAL LOGARTMICA
La derivada de la funcin y = ln f(x), sabemos que es y = f (x) / f(x)Por consiguiente: f (x) ------- dx = ln f(x) + C f (x)
La integral indefinida del cociente de dos funciones, cuando el numerador es la derivada del denominador, es igual al logaritmo neperiano del denominador, ms una constante.
Introduccin al clculo integral
MTODOS DE INTEGRACINEjercicios 2x1.- Calcular la integral indefinida de: f(x) = ---------- 1 + x2 2.- Calcular la integral indefinida de: f(x) = tg x. Clave: tg x = sen x / cos x ex + 13.- Calcular la integral indefinida de: f(x) = ---------- ex + xResolucin
1.-1 + x2 = t 2.x dx = dt I = ln t + C I = ln (1 + x2) + C
2.- cos x = t sen x dx = dt I = ln t + C I = ln (cos x) + C
3.- ex + x = t (ex + 1) dx = dt I = ln t + C I = ln (ex + x) + C
Introduccin al clculo integral
MTODOS DE INTEGRACININTEGRACIN POR DESCOMPOSICIN
Segn las propiedades de la integral indefinida: [f(x) + g(x)] dx = f(x)dx + g(x)dxLo que permite calcular la integral indefinida de una funcin cuando la funcin a integrar se puede expresar como suma de dos o ms funciones de integral conocida.
Ejemplos 1.- (2.x+3) dx = 2.x dx + 3 dx = x2 + 3.x + C 2.- x + 1 1 1 ---------- dx = (1 + --- ) dx = 1 dx + --- dx = x + ln x + C x x x3.- (4.ex (1/3).sen x) dx = 4. ex + (1/3). sen x dx = = 4.ex + (1/3).cos x + C
Introduccin al clculo integral
MTODOS DE INTEGRACININTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE
A veces, para calcular una integral f(x) dx se efecta un cambio de variable x = g(t), lo que evita muchos errores al quedar la expresin mucho ms simplificada.Sustituyendo x por g(t) y dx por g'(t)dt y entonces resulta: f(x) dx = f [ g (t) ] g'(t) dt
Ejemplo 1
e3x dx Hacemos el cambio: 3.x = t Derivando queda:dx = dt dx = dt / 3
Luego: et dt / 3 = (1/3). et dt = (1/3).et + C = (1/3).e3x + C
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MTODOS DE INTEGRACINEjemplo 2
sen5 x. cos x dx Hacemos: sen x = t Derivando: cos x dx = dt sen6 xLuego: sen5 x .cos x dx = t5 dt = t5+1/ (5+1) + C = ---------- + C 6
Ejemplo 3
2.x. sen x2 dx Hacemos: x2 = t Derivando: 2.x dx = dt Luego: 2.x.sen x2 dx = sen t dt = - cos t + C = - cos x2 + C
Introduccin al clculo integral
INTEGRAL DEFINIDASi f es una funcin continua y no negativa en un intervalo [a, b], se llama integral definida de f entre a y b el rea de la regin limitada por la curva y = f(x), el eje de abscisas y las rectas verticales x=a y x=b.Se representa por: b f(x) dx a Si f es una funcin continua y negativa en un intervalo [a, b], entonces representa el opuesto del rea descrita anteriormente.
Si f cambia de signo entre a y b se divide el intervalo [a, b] en intervalos en los que f sea de signo constante, y se aplica en cada uno de ellos la definicin que corresponda y se define: b m n b f(x) dx = | f(x) dx | + | f(x) dx | + + | f(x) dx | a a m qSiendo m, n, , q los puntos en los que f cambia de signo, f(x)=0
Introduccin al clculo integral
EjemploSea la funcin f(x) = x.(x 2).(x + 1)Calcular el rea originada entre la funcin y el eje de abscisas.
SolucinOperando tenemos:
f(x)=x3 x2 2.xUna primitiva de f(x) sera:F(x)=(1/4).x4 (1/3).x3 x2Las abscisas x = 1, x = 0 y x = 2 nos dividen la zona a calcular en dos partes: [ 1, 0] y [0, 2] 2 0 2 f(x) dx = | (x3 x2 2.x) dx | + | (x3 x2 2.x) dx | = 1 1 0= | F(0) F( 1)| + |F(2) F(0)| = |0 (1/4 + 1/3 1)| + |(4 8/3 4) 0| == |5/12| + |-8/3| = 5/12 + 32/12 = 37/12A+A
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Regla de BARROWSea f(x) una funcin continua en un intervalo [a, b] y supongamos obtenida una primitiva y = F(x) de dicha funcin. El rea que alberga y=f(x) con el eje de abscisas y las coordenadas x= a , x=b, es :
rea = F(b) - F(a)Es decir: b b f(x) dx = F(b) - F(a) = [ F(x) ]a a 5 3 4 5 4 4Ejemplo: 4 .x dx = F(5) - F(2) = [ x ] = 5 - 2 = 2 2 = 625 - 16 = 609 unidades cuadradas.
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EjemploSea la funcin f(x) = sen xCalcular el rea originada entre la funcin y el eje de abscisas, en el intervalo [ ,].
SolucinTenemos que f(x)=sen xUna primitiva de f(x) sera:F(x)= cos xLas abscisas x = , x = 0 y x = nos dividen la zona a calcular en dos partes: [ , 0] y [0, ] 0 f(x) dx = | sen x dx | + | sen x | = 0= | F(0) F( )| + |F() F(0)| = |( 1) (1)| + |(1) ( 1)| == | 2| + |2| = 2 + 2 = 4A+A
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PROPIEDADES DE LA I. DEFINIDA1.- Sea f(x) una funcin continua en un intervalo [a, b] y a < c < b b c b f(x) dx = f(x) + f(x) a a c
2.- Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en un intervalo [a, b] b b b [ f(x) + g(x) ] dx = f(x) dx + g(x) dx a a a 3.-Sea f(x) una funcin continua en un intervalo [a, b] y k un n real. b b k. f(x) dx = k . f(x) dx a a
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Ejemplo 1
3 2 3 2x dx = 2x dx + 2x dx F(x) = x2 1 1 2 F(3) F(1) = (F(2) F(1)) + (F(3) F(2))9 1 = (4 1) + (9 4) 8 = 3 + 5
Ejemplo 2
3 3 3 (2x 1) dx = 2x dx dx F(x) = x2 , G(x) = x 1 1 1 (F+G)(3) (F+G)(1) = (F(3) F(1)) + (G(3) G(1))(9 3) (1 1) = (9 1) + ( 3 (1)) 6 0 = 8 + ( 2) 6 = 6 Ejemplo 3
1 1 2. ex dx = 2. ex dx F(x) = 2.ex , G(x) = ex 0 0 F(1) F(0) = 2.(G(1) G(0))(2.e 2) = 2.(e 1) 2.e 2 = 2.e 2
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