INTEGRALES

En este tema se hara lo opuesto a la derivada, dada una funcin f(x),

determinaremos (cuando esto sea posible) otra funcin F(x) de modo tal que su

derivada sea f(x), es decir: F(x) = f(x). Por el motivo de que se hace el

procedimiento inverso, se llama a ste antiderivacin

Definicin:

Si para todos los puntos de un intervalo (a,b), se verifica F(x) = f(x) entonces F(x)

es una primitiva de f(x) sobre ese intervalo.

Propiedades:

a) La derivada de una integral indefinida, es el integrando f(x)

( f(x) dx )' = ( F(x) + k ) = f(x)

2) El diferencial de una integral indefinida es igual al elemento de integracin

f(x) dx

d( f(x) dx ) = d( F(x) + k) =f(x) dx

3) La integral indefinida del diferencial de cierta funcin es igual a la funcin

incrementada en una constante arbitraria.

d F(x) = F(x) + k

4) La integral indefinida de la suma algebraica de dos o ms funciones es igual a

la suma algebraica de sus integrales.

(f(x) + g(x) ) dx = f(x) dx + g(x) dx

5) La integral indefinida del producto de una constante por una funcin es igual al

producto de dicha constante por la integral indefinida de la funcin.

a . f(x) dx = a . f(x) dx

METODOS DE INTEGRACIN

Mtodo de integracin por sustitucin

En este mtodo no es factible encontrar la funcin primitiva con lo cual es posible

efectuar una sustitucin de la variable de integracin por una funcin de otra

variable. Sea x = g (t) con g una funcin derivable. Luego dx = g(t) dt,

sustituyendo en la integral tenemos:

f(x) dx = f(g(t)) . g(t) dt

Mtodo de integracin por partes

Sean dos funciones derivables u y v, entonces

u dv = u . v - v . Du

Mtodo de integracin por fracciones simples

Este mtodo permite encontrar primitivas de funciones racionales, es decir,

funciones que sean cocientes de funciones polinmicas. Es necesario que el grado

del polinomio del numerador sea menor que el grado del polinomio del

denominador.

(p(x) / q(x) ) dx gr p(x) < gr q(x)

Este mtodo tranforma integrandos como el anterior, en suma de integrandos de

fcil resolucin.

REGLA DE BARROW

Si F(x) es una primitiva de la funcin continua f(x), se verifica que :

b f(x) dx = F(b) F(a)A