INTEGRALES INDEFINIDAS - kambryIndefinida.pdf · INTEGRALES INMEDIATAS. 3.1.- ... Ejemplos: ∫dx =x+C dx x C x ... Si Conjuganos dicho resultado con la tabla de integrales indefinidas

INTEGRALES INDEFINIDAS

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INTEGRALES

INDEFINIDAS


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NDICE:

1.- FUNCIN PRIMITIVA.

2.- INTEGRAL INDEFINIDA.

3.- INTEGRALES INMEDIATAS.

3.1.- INTEGRACIN INMEDIATA DE ALGUNAS FUNCIONES.

4.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA.

5.- MTODOS DE INTEGRACIN.

6.- INTEGRACIN POR DESCOMPOSICIN.

7.- INTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE.

8.- INTEGRACIN POR PARTES.

9.- INTEGRACIN DE FUNCIONES RACIONALES.

9.1.- FRACCIONES RACIONALES PROPIAS.

RACES REALES SIMPLES.

RACES REALES MLTIPLES.

RACES IMAGINARIAS SIMPLES.

RACES IMAGINARIAS COMPUESTAS.

9.2.- CASO DE FRACCIONES RACIONALES IMPROPIAS.

10.- INTEGRACIN DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS.


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1.- FUNCIN PRIMITIVA

En los temas anteriores se ha estudiado como puede obtenerse la funcin derivada de una funcin dada. En ocasiones se presenta la necesidad de llevar a cabo el proceso contrario, esto es, dada una funcin hallar otra, denominada "Funcin Primitiva", cuya derivada sea la primera.

Funcin primitiva de una funcin dada: (x), es otra funcin: F(x), cuya derivada es la primera.

F(x) = funcin primitiva de (x) F '(x) = (x)

Ejemplo: F(x) = ln x, es funcin primitiva de : (x) = 1/x , ya que la derivada de ln x es 1/x

2.- INTEGRAL INDEFINIDA

No todas las funciones poseen funcin primitiva, ya que dada una funcin puede no existir otra que la tenga por derivada.

Ahora bien, cuando una funcin: (x), posee funcin primitiva: F(x), sta no es nica, sino que existen infinitas funciones primitivas: todas las que difieren de F(x) en una cantidad constante.

En efecto, si F(x) es funcin primitiva de (x), se verifica que: F '(x) = (x), pues bien, la funcin F(x) + C, donde C es un nmero real cualquiera, tambin es una funcin primitiva de (x), ya que:

[F(x) + C]' = [F(x)]' + [C]' = F '(x) + 0 = F '(x) = (x)

El conjunto formado por todas las funciones primitivas de una funcin (x) se denomina integral indefinida de (x) dx. La integral indefinida se representa por:

dxxf )( De lo expuesto se deduce que la integracin indefinida es la operacin inversa de la

diferenciacin, ya que consiste en hallar todas las funciones cuya diferencial sea una dada.

Ejemplos:

+= Cxdx Cxdxx += ln1

+= Cxsendxxcos += Cxdxxsen cos Cxdx

x+= 21 += Cedxe xx


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3.- INTEGRALES INMEDIATAS

Integrales inmediatas son aquellas cuyo resultado puede obtenerse mentalmente, sin ms que considerar (a la inversa) las reglas de derivacin.

A continuacin mostraremos las integrales inmediatas de uso ms frecuente:

a) += cxdx b) ++=+

Cmxdxx

mm

1

1

c) += Cxdxx 21 d) += Cedxe xx e) += Caadxa

xx

ln f) += Cxdxx ln1

g) Cxdxxsen += cos h) Cxsendxx +=cos i) += Cxtgdxx2cos1 j) ( ) +=+ Cxtgdxxtg 21 k) += Cxarcsendxx21

1l) +=+ Cxarctgdxx21 1

3.1.- INTEGRACIN INMEDIATA DE ALGUNAS FUNCIONES DE FUNCIONES

Sean y = (u), u = u(x) dos funciones continuas. La funcin y = (u(x)) es una-funcin de funcin.

Supuesto que F(u) es una primitiva de (u) respecto a u; es decir se cumple

+== CuFduufufuFdud )()()()(

como du = u'(x)dx, sustituyendo resulta

( ) += CuFdxxuxuf )()(')( Si Conjuganos dicho resultado con la tabla de integrales indefinidas vista

anteriormente, obtendremos una serie de integrales calificadas tambin de integrales inmediatas para u = u(x):


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a) ++= + Cumdxuu mm 111' (m - 1)

b) += Cxdxuu ln'

c)

++

=+ Cxarc

Cuarctgdx

uu

cot1'

2

d)

++

= Cx

Cxarcsendx

uu

arccos1'

2

e) += Caadxua uu ln1'

f) += Cedxue uu ' g) += Cudxuusen cos' h) += Cusendxuu 'cos i) += Cudxuutg cosln' j) += Cusendxuu ln'cot k) += Cutgdxu

u2cos'

l) += Cudxusenu cot'2


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4.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

De las reglas de derivacin del producto de una constante por una funcin, de una suma de funciones y de una diferencia de funciones, se deducen las siguientes propiedades de la integral indefinida:

1.- La integral del producto de una constante por una funcin es igual al producto de la constante por la integral de la funcin.

= dxxfcdxxfc )()( Ejemplo: +== cxsendxxdxx 5cos5cos5

2.- La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de las funciones sumando.

+=+ dx g(x) dx (x) dx g(x)] [(x) Ejemplo: =+=+ dx xcos dx sen x dx x)cos (sen x

Cxsenx ++ cos 3.- la integral de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de las

integrales de las funciones minuendo y sustraendo.

= dx g(x) -dx (x) dx g(x)] - [(x) 4.- Como consecuencia de las dos propiedades anteriores:

La integral de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales de todas y cada una de las funciones sumandos.

Ejemplo: ( ) ++=+=+ cxxxdxdxxdxxdxxx 23123

22

5.- MTODOS DE INTEGRACIN

Para la resolucin de integrales se utilizan diferentes artificios de clculo, cuyo objeto es transformar la expresin a integrar en otra, u otras, de integracin ms sencilla. A dichos artificios se les denominan mtodos de integracin. En este tema vamos a estudiar los siguientes:

- Integracin por descomposicin en sumandos.

- Integracin por cambio de variable.

- Integracin por partes.


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- Integracin de funciones trigonomtricas.

- integracin de funciones racionales.

6.- INTEGRACIN POR DESCOMPOSICIN EN SUMANDOS

Como su nombre indica, este mtodo consiste en descomponer en sumandos la integral a resolver aplicando a continuacin las propiedades anteriormente enunciadas.

Ejemplo:

+ dx 1) (x Desarrollando la potencia del binomio y aplicando las propiedades anteriormente expuestas se obtiene:

=++=++=+ dx dx x 2 dx x dx 1) 2x (x dx 1) (x cxxxcxxx +++=+++= 2

323

322

3

7.- INTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIN

Un mtodo til en ocasiones es el de cambio de variable o sustitucin. Este consiste, en lneas generales, en tomar una nueva variable, t, tal que x= g(t) sea una funcin continua y que admita funcin inversa: t = g-1(x)

Como de x = g(t) dx = g'(t) dt, sustituyendo en I = (x) dx

( ) = dt(t)g' g(t)I De esta forma se ha transformado la integral indefinida en otra, funcin de la nueva

variable t.

Si la eleccin de la variable t ha sido acertada, la integral resultante es ms sencilla de integrar. El xito de la integracin depende, en grado considerable, de la habilidad para elegir la sustitucin adecuada de la variable.

Una vez obtenida la funcin primitiva, F(t) + C, se deshace el cambio de la variable substituyendo t = g (x).

As se tiene la integral indefinida en funcin de la variable inicial x.

Ejemplo: = 2)1(xdxI Cambio: x - 1 = t dx = dt


Pg.: 8

+=====

ct

tdtttdt

xdxI 1

1)1(

12

22

Deshaciendo el cambio: t = x-1 cxx

dx+

= 1

1)1( 2

*Ejercicios propuestos:

a) ( ) dxx 524

b) ( ) + dxxx 13 2

c)

++ dxxx

x3

122

Cambio: 4x 2 = t Cambio: 3x2+ 1 = t Cambio: X2+x-3= t

d)

+ 282

xdxx

e)

+ dxxx 2312 f)

( ) ( ) + xxx 32232 Cambio: tx =+ 28 Cambio: Cambio:

g)

dxxsenx 2 h)

xxdx

2cos

i)

( ) ( ) + 11 xxdxx

Cambio: x2= t Cambio: tx = Cambio: x2-1 = t

j)

dxxxarcsen

21

k)

dxxxln

l)

( ) + xxdx

1

Cambio: arcsen x = t Cambio: ln x = t Cambio: x = t2

m)

3 31 xdxx

n)

+ dx

xx

493

2 o)

41 xdx

Cambio: 1-3x = t3 Cambio: x = 7t Cambio: x2= t p)

( ) + 3323x

dx

q)

dxx241 r)

223 xdxx

Cambio: 2x + 3 = t Cambio: x =2sent Cambio: 3-2x2 = t


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8.- INTEGRACIN POR PARTES

Sean u = u(x), v = v(x) dos funciones variables en un intervalo [a,b] (o en todo R). Como

d(u v) = u dv + v du

de donde

u dv = d(u v) - v du

Integrando los dos miembros de la igualdad

= duvvuddvu )(

= duvvudvu La expresin obtenida, denominada frmula de integracin por partes, se utiliza

para transformar una integral en otra. Transformacin que ser til como mtodo de integracin cuando la integral del segundo miembro sea inmediata o, al menos, ms sencilla que la del primer miembro.

Al igual que en el mtodo anterior, no existe normativa alguna que sirva para determinar qu integrales es conveniente resolver por partes, como tampoco para una vez adoptado este mtodo fijar qu factor debe hacerse igual a u.

Ejemplo: dxxsenx . Considerando que la derivada de x es la unidad y que la integral de sen x es inmediata, hacemos:

dxduxu ==

xdxxsenvdxxsendv cos=== Sustituyendo estas expresiones en la formula de integracin por partes y resolviendo la integral que aparece, resulta:

== dxxxxdxxsenxduvvudvu cos)cos(

cxsenxxdxxxxdxxsenx ++=+= coscoscos *Ejercicios propuestos:


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a) ln x dx b) x cos x dx c) x ln x dx d) ln x dx e) cos x dx f) ex sen x dx g) x eaxdx

9.- INTEGRACIN DE FUNCIONES RACIONALES

Objeto de estudio es la integracin de funciones racionales, funciones del tipo )()(

xgxf

donde (x) y g(x) son funciones polinmicas.

9.1.- FRACCIONES RACIONALES PROPIAS. DESCOMPOSICIN EN FRACCIONES SIMPLES

)()(

xgxf

es fraccin racional propia si el grado de (x) es menor que el de g(x).

En este caso el mtodo a seguir es su descomposicin en fracciones simples, dado que se demuestra que toda fraccin racional propia se puede descomponer en fracciones racionales simples.

El primer paso a realizar es descomponer factorialmente el denominador, g(x).

Puede ocurrir que existan races reales simples, races reales mltiples, races complejas simples o races complejas mltiples.

Segn los distintos casos se tienen las siguientes descomposiciones:

RACES REALES SIMPLES:

( ) ( ) += bxa

axa

bxaxxf 21)(

( ) ( ) += dxbxadx

axadx

bxaxxf 21)(


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RACES REALES MLTIPLES:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mm

nn

mn bxb

bxb

bxb

axa

axa

axa

bxaxxf

++

+

++

+

+

=

KKK 2

212

21)(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx

bxbdx

bxbdx

bxbdx

axadx

axadx

axadx

bxaxxf

mm

nn

mn ++++++++= KKK 221221)(

RACES IMAGINARIAS SIMPLES:

( ) ( ) fexxqpx

dcxxnmx

fexxdcxxxf

+++

+++

+=

++++ 2222)(

( ) ( ) dxfexxqpxdx

dcxxnmxdx

fexxdcxxxf ++

++

+++

=++++ 2222

)(

RACES IMAGINARIAS COMPUESTAS:

( ) ( ) ( ) ( ) ++++

++++

++

+++

=++++ r

rrar dcxx

nxmdcxx

nxmdcxx

nxmfexxdcxx

xf222

222

1122

)(L

( ) ( )a

aa

fexxqxp

fexxqxp

fexxqxp

+++

++++

++

+++

+222

222

11 L

( ) ( ) ( ) ( ) ++++

++++

++

+++

=++++ dxdcxx

nxmdxdcxx

nxmdxdcxx

nxmdxfexxdcxx

xfr

rrar 222

222

1122

)(L

( ) ( ) dxfexx

qxpdxfexx

qxpdxfexx

qxpa

aa +++

++++

++

+++

+222

222

11 L

*EJEMPLOS:

a) 12xdx

como

( ) ( )+= 1112 xxx ( ) ( ) 1111

1+

+

=+ x

Bx

Axx

1 = A (x +1) + B (x - 1); 0x + 1 = (A + B) x + (A - B);


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identificando coeficientes

=+=

BABA

10

de donde A= y B=-; sustituyendo

CxxCxxdx

xdx

xI +

+

=++=+

= 11ln1ln

211ln

21

112

12

1

b) dxxxx

xxI ++

= 232

2142

( )223

22223

112142 x 1) -(x x 1)2x - (x x 2x -x

+

+=

++

=+=+x

CxB

xA

xxxxx

2x - 4x + 1= A (x - 1) + Bx (x - 1) + Cx 2x - 4x + 1 = (A + B) x + (- 2A - B + C) x + A;

Idenfiticando coeficientes:

===

==+

=+

111

142

2

CBA

ACBA

BA

Sustituyendo:

( ) +++=+= Cxxxxdx

xdx

xdxI

111lnln

11 2

9.2.- CASO DE FRACCIONES RACIONALES IMPROPIAS

)()(

xgxf

es fraccin racional impropia si el grado de (x) g(x).

Dividiendo el numerador, (x), por el denominador, g(x), pasamos a una fraccin racional propia

+= )( + )(= dxxgxrdxxc

xgdxxfxrxc

)()()(

)()( g(x) (x)


a) + dxxx

x45

19212 b) ++

xxx

dxx23 2)1(

c) + 24 xxdx

d) + 452 xxdx


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10.- INTEGRACIN DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

En el caso de funciones trigonomtricas son precisas, en ocasiones, transformaciones trigonomtricas, que las pasan a funciones cuya integracin es ya conocida o son ms simples.

Son tiles las sustituciones:

sen x = t cos x = t tg x = t tg x/2 = t

2

221cos;

1;

1; tx

ttxtg

tdtdxtarcsenxtxsenPara =

=

===

222 11cos;

1;

1;

tx

ttxsen

tdtdxtarctgxtxtgPara

=

+=

+===

2

2

222 11cos;

12;

12;2

ttx

ttxsen

tdttdxtarctgxtxtgPara x

+

=+

=+

===

EJEMPLO:

= dxxsenxI 4

3cos

( ) ( ) == xsendxxxsendx

xsenxxI 4

2

4

2 cos1coscos

Hacemos el cambio: sen x = t cos x dx = dt.

( ) ++=+=== Cxsenxsentttdt

tdt

tdttI 1

311

311

33244

2


xsendx

+ xdxxsen

cos2

2

dxxxsen 22 cos dxxsenxsen 75 Cambio: tg x/2 = t Cambio: cos x = t Cambio: sen x = t Cambio: tg x/2 = t

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