I N T E G R A N T E S :

• Correa Cervantes Maria• Caballero Pisfil Florencia • Condori Chino Michael• Cueva Diaz Robert• Ramirez Cieza Briyith• Vergel Olano Gaby• Santa Cruz Liza Luis• Liza Vallejo Gerardo

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

DEFINICIÓN

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:

mecuaciones

n incógnitas

Coeficientes del sistema

incógnitas

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x ba x a x a x a x b

a x a x a x a x b

términosindependientes

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

A: matriz de los coeficientes

Expresiónmatricial del

sistema

EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x ba x a x a x a x b

a x a x a x a x b

El sistema puede ser escrito de la siguiente manera:

Matriz ampliada

X: matriz de las incognitas

B: matriz de los términos

independientes

AX=B

÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

¼÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

nmnmmm

n

n

n

x

xxx

aaaa

aaaaaaaaaaaa

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

................

......

......

......

= ÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

¼

mb

bbb

3

2

1

A* = ÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

mmnmmm

n

n

n

baaaa

baaaabaaaabaaaa

..................

......

......

......

321

33333231

22232221

11131211

EXPRESIÓN MATRICIAL: EJEMPLO

El sistema 2x + 5y – 3z = 1 x – 4y + z = –2

Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A = èççæ

ø÷÷ö 2 5 –3

1 –4 1

Tiene la siguiente matriz ampliada: A* = èççæ

ø÷÷ö 2 5 –3 1

1 –4 1 –2

Tiene la siguiente expresión matricial: èççæ

ø÷÷ö 2 5 –3

1 –4 1 èççæ

ø÷÷ö x

y z

= èççæ

ø÷÷ö 1

– 2

CLASIFICACIÓN DE UN SISTEMA SEGÚN EL NÚMERO DE SOLUCIONES

Sistemas deecuaciones lineales

Incompatible

Compatible

Sin solución

Con solución

Determinado

Indeterminado

Solución única

Infinitas soluciones

• Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece.

Observación: • Homogéneos : todos los términos independientes

son nulos• No homogéneos: no todos los términos

independientes son nulos.

I. Multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.

II. Sumar a una ecuación del sistema otra ecuación del mismo.

SISTEMAS EQUIVALENTES

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.

Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente:

III. Eliminar una ecuación que es combinación lineal de otras dos.

SISTEMAS DE ECUACIONES ESCALONADOS

Un sistema de ecuaciones es escalonado cuando verifica que, reordenadas sus ecuaciones de forma conveniente, la matriz de los coeficientes es escalonada.

53432

yyx

233245324

zzyzyx

14432

zyxzzx

Ejemplos:

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA ESCALONADO: EJEMPLO

521483

92

zzyzyx

25

z

Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles:

6259 x

23

2014

y

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS: MÉTODO DE GAUSS

Se pueden dar los siguientes pasos:

I. Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero.

II. Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1.

III. Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii).

IV. El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones.

un sistema equivalente y escalonado, mediante transformaciones adecuadas.

El método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en obtener

de un sistema:

,;

;

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

REGLA DE CRAMER: SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Esta solución puede ser expresada de la siguiente forma:

Se observa que:

• El denominador de las soluciones es el determinante de la matriz de los coeficientes.

• Cada numerador es el determinante de la matriz obtenida al sustituir la correspondiente columna de coeficientes por la los de términos independientes.

El sistema al ser resuelto por reducción se llega a:

2222121

1212111

bxaxabxaxa

;

2221

1211

222

121

1

aaaaabab

x

2221

1211

221

111

2

aaaababa

x

21122211

aaaabaabx 212221

1 21122211

aaaaabbax 211211

2