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FUNCIONES Y MODELOS Unidad 1: A.PR.11.2.2 Intercepto en y, valores máximos y mínimos en una parábola
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INTERCEPTOS EN X y Y,
VALOR MÁXIMOY VALOR MÍNIMO
UNIDAD IFUNCIONES Y TRANSFORMACIONES
A.PR.11.2.2
J. Pomales agosto 2013Naguabo, PR Curso: Funciones y Modelos
J. Pomales
Objetivos
Al finalizar podrás identificar en una función de grado 1, 2 o 3:
– Interceptos en “y” (ordenada en el origen)– Puntos máximos o mínimos (vértice)– Ceros de la función (raíces)
Todas las gráficas presentadas aquí fueron creadas con el GeoGebra. A menos que se especifique lo
contrario todas son infinitas en sus extremos.
¿Cuál es el grado de cada función?
f(x) = 2x
g(x) = x2 + x + 1
h(x) = x3 + x2 + x + 1
¿Cuál es el grado de cada función?
f(x) = 2x
g(x) = x2 + x + 1
h(x) = x3 + x2 + x + 1
GRADO 1
GRADO 2
GRADO 3
¿Recuerdas cómo es la forma de las gráficas de estas funciones?
Gráficas
f(x) = 2x
LINEAL
Gráficas
g(x) = x2 + x + 1
CUADRÁTICA
Gráficas
h(x) = x3 + x2 + x + 1
CÚBICA
1.Es el lugar donde la gráfica toca o corta el eje de y
2.Se le conoce por ordenada en el origen.
3.Valor de f(0) = y, esto es cuando la x = 0
¿Qué es intercepto en y?
¿Cómo calcular el intercepto en y?
1.Evalúa la función f(0). Esto es, sustituir las x por 0 y luego resolver las operaciones.
2.Escribir la solución usando pares ordenados. Siempre usarás este formato:
(0,y) La y corresponderá al valor obtenido en el Paso 1.
Ejemplos Calcula los interceptos en y
4)0(
40)0(
4)( )1
f
f
xxf
Intercepto en y(0,4)
Representación gráfica de la solución
Ejemplos Calcula los interceptos en y
Intercepto en y(0,3)
3)0(
300)0(
3)0(40)0(
34)( )22
2
f
f
f
xxxf
Representación gráfica de la solución
Ejemplos Calcula los interceptos en y
Intercepto en y(0,0)
0)0(
000)0(
0)0(20)0(
2)( )323
23
f
f
f
xxxxf
Representación gráfica de la solución
Calcula el intercepto en y de cada función.
¿Reconoces algún procedimiento más corto para lograr ésto?
Calcula el intercepto en y de cada función.
¿Reconoces algún procedimiento más corto para lograr ésto?
(0,-4)
(0,7)
(0,0)(0,-1)
(0,-10)
(0,6)
(0,0)
1. Son los puntos más altos y más bajos en la gráfica de una función
2. La función lineal y la cúbica tienen valores máximos y mínimos infinitos.
3. La función cuadrática tendrá valor máximo o mínimo según su forma.
4. También se le llama vértice.
¿Qué son valores máximos o mínimos?
Datos de la función cuadrática
• Forma general:
f(x) = ax2 + bx + c , donde a ≠ 0
• Su gráfica es una curva en forma de U
• Dependiendo del coeficiente de la variable cuadrada (a) será la forma en que abre la gráfica– Coeficiente (+) : U abre hacia arriba, con un mínimo– Coeficiente (–) : ∩ abre hacia abajo, con un máximo
• Su gráfica se llama parábola
Datos de la función cuadráticaf(x) = ax2 + bx + c , donde a ≠ 0
• Eje de simetría: recta vertical que divide la gráfica en 2 partes iguales. Su ecuación es
• Esta ecuación me permite calcular los valores máximos o mínimos de la parábola
a
bx
2
¿Cómo calcular el
valor máximo o mínimo en
una parábola?J. Pomales
¿Cómo calcular el valor máximo o mínimo en una parábola?
• La ecuación cuadrática debe estar en la forma estándar:
f(x) = ax2 + bx + c
• Calcula el eje de simetría y sustituye ese valor en la función dada.
• El valor obtenido forma parte del par ordenado que corresponde al valor máximo o mínimo según sea el caso.
EJEMPLOS
J. Pomales
RECUERDA:Tienes que repasar las operaciones con fracciones y decimales.
f(x) = 3x2 – 5x + 2En la ecuación dada, a = 3 y b = -5, por lo
tanto la ecuación del eje de simetría es
Ahora sustituimos el valor del eje de simetría en la función y resolvemos
Halla el valor máximo o mínimo
6
5
)3(2
5
2
xóa
bx
Ejemplo 1
Halla el valor máximo o mínimo
f(x) = 3x2 – 5x + 2
Como la función tiene a > 0, la gráfica abre hacia arriba y tiene un punto mínimo en
12
1
12
24
12
50
12
25
1
2
6
25
12
25
26
5
1
5
36
25
1
3
26
55)(
36
253
26
55
6
53
6
52
f
12
1,
6
5
a
Ejemplo 1
Halla el valor máximo o mínimo
f(x) = 3x2 – 5x + 2
Así se vería la gráfica de esta función:
Un valor mínimo en
12
1,
6
5
12
1,
6
5
Ejemplo 1
g(x) = -1.5x2 + 6x + 3En la ecuación dada, a = -1.5 y b = 6, por lo
tanto la ecuación del eje de simetría es
Ahora sustituimos el valor del eje de simetría en la función y resolvemos
Halla el valor máximo o mínimo de
21
2
3
6
)5.1(2
6
2 a
bx
Ejemplo 2
Halla el valor máximo o mínimo de
g(x) = -1.5x2 + 6x + 3
Como la función tiene a < 0, la gráfica abre hacia abajo y tiene un punto máximo en
9
36
3126
31245.1
32625.12 2
f
9,2
a
Ejemplo 2
Halla el valor máximo o mínimo de
g(x) = -1.5x2 + 6x + 3
Así se vería la gráfica de esta función:
Un valor máximo en
9,2
Ejemplo 2
Calcula puntos máximos o mínimos de cada función.
¿Qué ocurre cuando el valor de la b = 0?
Conocimientos previos necesarios
J. Pomales
Para la discusión de la próxima parte debes conocer y repasar los siguientes conceptos discutidos el pasado año:
1.Despejar la variable en una ecuación
2.Factorización de polinomios
3. Fórmula cuadrática
EN EDU2.0 COLOQUÉ VARIOS ENLACES DE PÁGINAS EN
DONDE PODRÍAS REPASAR LOS MISMOS
¿Qué son los ceros de la función?
J. Pomales
1. Es la solución de f(x) = 0
2. Se le llama también raíces de la función o interceptos en x.
3. La gráfica de f(x) cruza al eje x en el cero de la función.
4. Algunas funciones poseen una o más interceptos en x o no tienen raíces.
¿Cómo calcular los ceros de la función?
1. El grado del polinomio determina el máximo de ceros de la función.
2. Iguala la función a cero, f(x) = 0.
3. Despeja la variable. Siempre es favorable tratar de factorizar la función o utilizar la fórmula cuadrática de ser posible.
4. Puedes escribir la solución (si existe) usando pares ordenados. Siempre usarás este formato:
(x,0) La x corresponderá al valor obtenido en el Paso 3.
EjemplosCalcula los ceros de la función
4
4044
04
4)( )1
x
x
x
xxf
Intercepto en x(-4,0)
Representación gráfica de la solución
3 1
3033 1011
0)3( 0)1(
xx
xx
xx
EjemplosCalcula los ceros de la función
0)3)(1(
0342
xx
xx
Interceptos en x(-1,0) y (-3,0)
34)( )2 2 xxxf
Representación gráfica de la solución
1
1011
0)1( 0
x
x
xx
EjemplosCalcula los ceros de la función
0)1)(1(
0)12(
022
23
xxx
xxx
xxx
Interceptos en x(0,0) y (-1,0)
xxxxf 23 2)( )3
Representación gráfica de la solución
EjemplosCalcula los ceros de la función
Interceptos en x(2,0) y (3,0)
Representación gráfica de la solución
En resumen
• Ordenada en el origen – Punto donde la función toca o corta al eje y
• Raíces – Puntos donde la función toca o corta al eje x
• Vértice – Punto máximo o mínimo, en este caso de la parábola
AHORA REALIZA LA TAREA ASIGNADA