Inters Compuesto y Ecuaciones de ValorMaratn de Matemticas FinancierasUNAM - UAM-X

Alberto I. Pierdant R.Andrs Morales A.Septiembre 2005

El inters compuesto es la operacin financiera en la cual el capital aumenta al final de cada perodo por adicin de los intereses vencidos. [Vidaurri,1997].

En otras palabras, si a un capital le agregamos los intereses que ha obtenido en un determinado perodo, y a este nuevo capital e intereses le pagamos un nuevo inters en un perodo siguiente, entonces, el inters pagado ha sido compuesto.

El inters compuesto se usa principalmentepara operar los depsitos en los bancosy en las asociaciones de prstamos yahorros.

Cuando se deposita el dinero en un banco,el depositante est prestando su dinero al banco por un tiempo definido con el fin deganar intereses, es decir, est invirtiendosu dinero.

Es importante observar en esta acumulacin(capital ms los intereses del perodo), quelos intereses de cada perodo no son pagadossino al finalizar el plazo establecido para lainversin.

El inters compuesto ser la diferencia entre el monto o importe compuesto y el principal original (o capital), si no se han realizado depsitos adicionales durante el perodo de inversin.

IC = Monto Compuesto - Capital

El perodo convenido para convertir elinters en capital se llama perodo decapitalizacin o perodo de conversin.

La expresin: perodo de capitalizacinsemestral, significa que el inters gene-rado se capitaliza; es decir, se suma alcapital, al trmino de cada 6 meses.

Al igual que en el inters simple, la tasade inters dada en un problema de interscompuesto ser una tasa anual, exceptoque se diga lo contrario.

Banco Azteca ofrece a un ahorrador un20% de inters capitalizable cada semestreen su cuenta bsica. Si el ahorrador deposita$2,000.00 el 1 de enero de 2002, y no hacemovimientos en su cuenta durante 2 aos.Cunto tiene al 1 de enero de 2004?

Tasa anual = 20%Perodo de capitalizacin: semestralTasa de inters por perodo = 20/2 =10%Nmero de perodos de capitalizacin: 4

Capital al final del primer semestreCapital (depsito inicial) + Inters = 2,000 + 200 = 2,200

Capital al final del segundo semestreCapital + Inters = 2,200 + 220 = 2,420

Capital al final del tercer semestreCapital + Inters = 2,420 + 242 = 2,662

Capital al final del cuarto semestre( 1/enero/2004)Capital + Inters = 2,662 + 266.20 =2,928.20

Matemticamente:

Primer semestre(C + Ci)

Segundo semestre(C+Ci) + (C+Ci) i factorizando

(C+Ci) (1+i) = C (1+i) (1+i)= C(1+i)2

Es decir, el monto compuesto para el perodo n ser por lo tanto:

MC = C(1+i)ninters delperodo

Utilizando esta ltima relacin obtenemospara el problema propuesto:

MC = 2,000 (1+0.10)4

MC = 2,000 (1.4641)

MC = 2,928.20

Tasa de inters nominal y efectiva

La tasa de inters anual aplicable a una inversin o a un prstamo a inters compuesto se llama tasa de inters nominal o simplemente tasa nominal. La tasa nominal es la tasa de inters convenida en la operacin financiera.

La tasa efectiva por perodo es la tasa de inters que efectivamente se aplica en cada perodo de capitalizacin. Esta tasa se obtiene al dividir la tasa nominal anual entre el nmero de perodos de capitalizacin que hay en un ao.

Problemas

Determine el importe compuesto (monto) y el inters compuesto para $1,000 al 9% capitalizable en forma mensual durante 1 ao.

Determine el inters compuesto y el monto compuesto si se deposita en un banco $3,000 al 8% por 12 aos con inters capitalizable en forma trimestral.

Solucin al primer problema

Capital:$1,000 Inters:9% Capitalizacin: mensual

Tasa efectiva: 9%/12 = 0.0075 % Perodos: 12

MC = C(1+i)n MC=1,000(1+0.0075)12

MC = 1,000(1.093806) = $1,093.81

Inters Compuesto = MC Capital

Inters Compuesto = 1,093.81 1,000 = $93.81

Solucin al segundo problema

Capital:$3,000 Inters:8% Capitalizacin: trimestral

Tasa efectiva: 8%/4 = 2 % Perodos: 48

MC = C(1+i)n MC =3,000(1+0.02)48

MC = 3,000(2.587070) = $7,761.21

Inters Compuesto = MC Capital

Inters Compuesto = 7,761.21 3,000 = $4,761.21

Problema con cambio de tasa durante elperodo de inversin

Se invirtieron $5,000 en un banco de ahorro por 6 aos. Cuando se realiz el depsito, el banco estaba pagando 8% capitalizable en forma trimestral. Despus de dos aos y medio, la tasa cambi al 8% capitalizable en forma mensual. Determnese el inters y el monto compuesto al finalizar los 6 aos.

Solucin utilizando una escala de tiempo1

1 Escala de tiempo: es un mtodo grfico que permite visualizar el flujo previsto de efectivo resultante de una inversin propuesta. [Taylor,1977]C10MC142MC21..TrimestresMeses

C10MC142MC21..TrimestresMesesMC1 = C (1+ 0.02)10

MC1 = 5000 (1.218994)

MC1 = $6,094.97

MC2 = 6,094.97 (1 + 0.006666)42

MC2 = 6,094.97 (1.3219)

MC2 = $8,056.94

El monto compuesto al final delsexto ao es:

$8,056.94

El inters compuesto generadopor la inversin es de:

IC = MC2 C

IC = 8,056.94 5,000 = $3,056.94

En EXCEL

Tasa de inters efectiva(ie)

Tambin conocida como tasa efectiva, sedefine como la tasa de inters simple queproducira el mismo inters en un ao quela tasa nominal capitalizada m perodos alao.

Matemticamente:

ie = (1 + i/m)m -1

donde, ie= tasa efectiva i = tasa nominal m = nmero de perodos de capitalizacin en un ao

Suponga que un inversionista deposita $1,000 en un banco que ofrece 10% capitalizado mensualmente. Cul es la tasa de inters efectiva al final de un ao?Tasa nominal: 10% perodos: 12Tasa efectiva por perodo: 0.10/12 =0.008333

Valor nominal compuestoal final del ao: (1+0.0083333)12 = 1.104712Valor tasa nominal compuesta: 10.47%

Tasa efectiva ie = (1 + i/m)m -1 ie = (1 + 0.10/12)12-1

ie =1.104712 1 = 0.104712 ie = 10.47%

Ecuaciones de ValorEn el mbito de las operaciones financierasun deudor puede desear remplazar unconjunto de deudas previamente contradascon un determinado acreedor, por otroconjunto que le sean equivalentes, pero conotras cantidades y fechas de vencimiento.

Para lograr esto ltimo es necesario plantearuna ecuacin de valor.

Una ecuacin de valor es una igualdad queestablece que la suma de los valores de unconjunto de deudas es igual a la suma de losvalores de un conjunto de deudas propuestopara remplazar al conjunto original, una vez quesus valores de vencimiento han sido trasladadosa una fecha comn, llamada fecha focal o fechade valuacin [Vidaurri,1997].

Problemas de ecuaciones de valor paraInters Simple Un inversionista tiene una deuda que debe ser saldada en la siguiente forma: $1,470.00 en este momento y $2,600.00 dentro de un mes. Si desea saldar completamente su deuda el da de hoy, cunto tendr que pagar, si la tasa de inters es del 35%?

Solucin

Dado que se desea pagar hoy, est ser lafecha focal.1,470 hoy

X pago propuesto2,6001 mesVP = 2,600 / (1+(0.35/12)(1)) = 2,526.32

Valor de las deudas = Valor de las deudas originales propuesto

1,470 + 2.526.32 = X , por lo tanto

X = 3,996.32

Un inversionista debe $5,700 a pagar dentro de cuatro meses y $7,440 a pagar dentro de 8 meses. Una negociacin con su acreedor le permitir pagar mediante dos pagos de igual cuanta; el primero a efectuar dentro de 10 meses y el otro al cabo de un ao. Cul ser el pago, si ambos acuerdan una tasa de inters simple del 40%?

Solucin

La escala de tiempo muestra el acuerdo del inversionista.1 meses5,7004107, 440xx8M1 = 5,700[1+(0.40/12)(8)] = 7,220M2 =7,440[1+(0.40/12)(4)] = 8,432M3 = X [1+(0.40/12)(2)] = X (1.066666)M4 = X

Ecuacin de valor M1 + M2 = M3 + M4

7,220 + 8,432 = (1.066666) X + X15,652 = 2.066666 X X = 7,553.75 (dos pagos)

Si la fecha focal es el quinto mes, cuntodebe pagar?1 meses5,7004107, 440xx8M1 = 5,700[1+(0.40/12)(1)] = 5,890VP2 =7,440 / [1+(0.40/12)(3)] = 6,763.64VP3 = X / [1+(0.40/12)(5)] = X (0.8571428571)VP4 = X / [1+(0.40/12)(7)] = X (0.81081081)

Ecuacin de valor M1 + VP2 = VP3 + VP4

5,890 + 6,763.64 = X (0.8571428571) + X (0.81081081)12,653.64 = 1.6679536679 X X = 7,586.33 (dos pagos)

Como puede observarse, la seleccin deuna fecha focal determinada, en el casode usar inters simple, afecta el resultadode la valuacin. Por ello, es muy importanteque tanto el inversionista como el acreedorse pongan de acuerdo con respecto a ello.

Solucin si usamos inters compuesto

La escala de tiempo muestra el acuerdo del inversionista.1 meses5,7004107, 440xx8M1 = 5,700[1+(0.40/12)]8 = 7,409.66M2 =7,440[1+(0.40/12)]4 = 8,482.71M3 = X [1+(0.40/12)]2 = X (1.067777)M4 = X

Ecuacin de valor M1 + M2 = M3 + M4

7,409.66 + 8,482.71 = (1.067777) X + X 15,892.37 = 2. 067777 X X = 7,685.73 (dos pagos)

Si la fecha focal es el quinto mes, cuntodebe pagar?1 meses5,7004107, 440xx8M1 = 5,700[1+(0.40/12)]1 = 5,890VP2 =7,440 / [1+(0.40/12)]3 = 6742.98VP3 = X / [1+(0.40/12)]5 = X (0.848785212)VP4 = X / [1+(0.40/12)]7 = X (0.794908107)

Ecuacin de valor M1 + VP2 = VP3 + VP4

5,890 + 6,742.98 = X (0.848785212) + X (0.794908107)12, 632.98 = 1.643693319 X X = 7685.73 (dos pagos)

Ecuaciones de Valor para anlisis medianteInters CompuestoUna ecuacin de valor a inters compuestoes una igualdad entre dos conjuntos de obligaciones, el original y el propuesto, que se pagan o reciben en distintos momentos.

La igualdad se plantea en una fecha determinada arbitrariamente llamada fecha focal o fecha de valuacin.

En las ecuaciones de valor a inters compuestoel resultado no se altera si se cambia la fechafocal.

BIBLIOGRAFIA

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