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MATEMTICAS FINANCIERAS

TEMA:

INTERS SIMPLE1. Introduccin 2. Concepto de Inters 3. Inters Simple 4. Monto Simple 5. Valor Actual a Inters Simple 6. Clculo del Tiempo y la Tasa de Inters a partir de la Frmula S= P(1+it) 7. Clculo del Tiempo en Das entre Dos Fechas 8. Inters Simple Ordinario y Exacto 9. Combinaciones de Inters y Tiempos 10. Eleccin entre varias Opciones de Pago o Alternativas de Inversin 11. Descuentos de Pagars. Descuento Racional o Matemtico 12. Ecuaciones de Valores Equivalentes 13. Pagos Parciales. Reglas Comercial y de los Saldos 14. Ventas a Plazos. Inters Global e Inters sobre Saldos Insolutos 15. Resumen de Frmulas Relativas al Inters Simple 16. Tabla para el Clculo del Tiempo Exacto entre Dos Fechas

AUTOR:

Tulio a. Mateo DuvalSanto Domingo, D. N. Rep. Dom.

Tulio A. Mateo Duval

Inters Simple

MATEMTICAS FINANCIERAS

INTERS SIMPLE

1. INTRODUCCINEl concepto de inters, asociado al prstamo de dinero, viene ligado a las relaciones comerciales desde tiempos muy antiguos. Actualmente la existencia de muchos negocios es posible en razn del cobro de inters. El inters es un elemento inseparable a los actos de lcito comercio de la vida moderna.

2. CONCEPTO DE INTERSEl INTERS es el dinero que paga una persona (prestatario o deudor) por el uso de un capital ajeno a ttulo de prstamo durante un TIEMPO1 determinado. Vindolo desde el otro ngulo, podemos decir que el INTERS es el fruto, beneficio o rendimiento obtenido por la persona (prestamista, acreedor o inversionista) que presta o invierte en forma productiva una suma de dinero. La cantidad de dinero tomada en prstamo o invertida se le conoce como CAPITAL o PRINCIPAL. Al da de hoy normalmente se trabaja con dos tipos de inters: INTERS SIMPLE e INTERS COMPUESTO. El inters es simple cuando se paga al final de un intervalo de tiempo preestablecido, calculndolo siempre sobre el capital original (valor inicial de la deuda o inversin). En este caso el capital y el inters permanecen invariables por unidad de tiempo durante todo el plazo de la transaccin. El inters compuesto, por su parte, trata tambin sobre lo pagado por el uso de un dinero ajeno, pero calculable en esta ocasin sobre un capital que se incrementa peridicamente, debido a que los intereses que se van generando, al no ser pagados, son sumados al capital, formando cada vez un nuevo capital. Aqu, tanto el inters como el capital, varan en cada periodo.

Inters Simple Vs. Inters CompuestoLa diferencia entre el inters simple y el compuesto radica en que en el inters simple slo genera inters el capital inicial, mientras que en el inters compuesto se considera que los intereses que se van generando en los periodos establecidos, si no son pagados, se le suman al capital formando cada vez un nuevo capital, originando que los intereses adicionados tambin generen intereses. Observe la diferencia en el ejemplo planteado a continuacin:

Ejemplo 1Usando el inters simple y el compuesto, determine el inters generado al cabo de 3 aos por una deuda ascendente a $90,000.00 si la tasa de inters aplicada fue del 12% anual.INTERS SIMPLEPeriodo1 2 3

INTERS COMPUESTOIntereses Acumulados ($)10,800.00 21,600.00 32,400.00

Capital ($)90,000.00 90,000.00 90,000.00

Inters/periodo10,800.00 10,800.00 10,800.00

Periodo1 2 3

Capital ($)90,000.00 100,800.00 112,896.00

Inters/periodo10,800.00 12,096.00 13,547.52

Intereses Acumulados ($)10,800.00 22,896.00 36,443.52

Aunque en el inters compuesto se trabaja ordinariamente con una tasa de inters anual (al igual que en el inters simple), la suma de los intereses al capital no siempre se realiza anualmente. Tambin podra efectuarse semestralmente, trimestralmente, mensualmente, diariamente, o segn otro intervalo temporal.

1

TIEMPO: Es el intervalo o plazo durante el cual tiene lugar la operacin financiera.

1


Inters Simple

3. INTERS SIMPLEEl inters simple es el pago que se efecta al final de un periodo de tiempo preestablecido por el uso de un capital ajeno a ttulo de prstamo, calculable siempre sobre el valor original de la deuda. Igualmente llamamos inters simple a la utilidad o el beneficio obtenido por el que presta o invierte una suma de dinero a corto plazo2. El inters a pagar por una deuda o el que se va a recibir de una inversin, depende directamente de: La cantidad de dinero invertida o tomada en prstamo; El precio del dinero, es decir, lo que se acuerde pagar por cada unidad prestada o invertida en la unidad de tiempo 3; El tiempo que dure el prstamo o la inversin. A partir de lo anterior, concluimos que el inters simple lo podemos calcular con la frmula:

I=PitEn donde cada variable representa lo siguiente:

FRMULA DEL INTERS SIMPLE

[1]

I : INTERS SIMPLE. Valor que se paga por el uso de un capital ajeno o se recibe por una inversin. P : CAPITAL O PRINCIPAL, es decir, la suma de dinero prestada o invertida. i : TASA DE INTERS. Representa el precio del dinero. Es el nmero de unidades pagadas por cada 100 unidades de la suma prestada o invertida en la unidad de tiempo (generalmente un ao). t : TIEMPO. Es la duracin (plazo) del prstamo o la inversin. A la hora de emplear la frmula I = P i t, debemos tomar en cuenta:1. 2. 3. Si la tasa de inters no especifica la unidad de tiempo asociada, entonces asumiremos que se trata de una tasa de inters anual. La tasa de inters debe emplearse en su forma decimal; es decir, sin el smbolo de porcentaje. Para la tasa de inters y el plazo deben utilizarse las mismas unidades de tiempo. En caso que sean distintas, se deber realizar la conversin correspondiente a fin de que ambas coincidan.

Ejemplo 2Qu inters trimestral produce una deuda por $120,000.00 contrada al 18% simple anual 4 ? SOLUCIN: P= $120,000.00 i = 18% anual = 18% / 4 trimestres = 4.5% trimestral = 0.045 / trimestre t= 1 trimestre I= ?

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [1], se obtiene:

I = 120,000 * 0.045 * 1 = $5,400.00 Ejemplo 3Calcule el inters generado por un prstamo de $90,000.00 al 13% simple anual al cabo de 7 meses. SOLUCIN: P= $90,000.00 i = 13% anual = 0.1375 / ao t= 7 meses = 7/12 ao I= ?


I = 90,000 * 0.1375 * 7/12 = $7,218.752 3

Cuando empleamos la expresin a corto plazo, nos referimos a periodos de tiempo iguales o menores a un ao. Esta variable queda definida a partir de las condiciones contractuales del prstamo o la inversin. 4 Para expresar una tasa de inters anual en periodos que no sean anuales, slo habra que dividirla entre el nmero de periodos por ao. Por ejemplo, para obtener la tasa de inters trimestral slo basta dividirla entre 4.

2


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Ejemplo 4Qu rendimiento (intereses) reporta en 5 meses una inversin de $60,000.00 efectuada al 3% simple bimestral? SOLUCIN: P= $60,000.00 i = 3% bimestral = 0.03 / bimestre t= 5 meses = 5/2 bimestres I= ?


I = 60,000 * 0.03 * 5 / 2 = $4,500.00 Ejemplo 5Si una deuda por $30,000.00 se contrae al 12% cuatrimestral, cunto se pagara de inters al cabo de 1 ao y 8 meses? SOLUCIN: P= $30,000.00 i = 12% cuatrimestral = 0.12 / cuatrimestre t = 20 meses = 5 cuatrimestres I= ?


I = 30,000 * 0.12 * 5 = $18,000.00

Ejemplo 6Qu inters genera un prstamo de 70,000.00 al 15% trimestral al cabo de 1 aos? SOLUCIN: P= $70,000.00 i = 15% trimestral = 0.15 / trimestre t= 1 aos = 6 trimestres I= ?


I = 70,000 * 0.15 * 6 = $63,000.00

A partir de la frmula [1], despejando se obtiene a P, i y a t, resultando las frmulas:

P=

I it

[2]

i=

I Pt

[3]

t=

I Pi

[4]

Ejemplo 7Una inversin efectuada al 9.6% simple anual tiene un rendimiento de $7,840.00 cada cuatrimestre. Calcule la cuanta de la suma invertida. SOLUCIN: I = $7,840.00 i =9.6% anual = 0.096 / ao t = 1 cuatrimestre = 4 meses = 4/12 ao P=?


P=

7,840 = $245,000.00 (0.096 * 4 12)

5

En casos como ste, se insertan entre parntesis las operaciones que tengan prioridad, a fin de efectuar en forma corrida (con la ayuda de una calculadora cientfica) la serie mixta de operaciones que envuelve la solucin del problema.

5

3


Inters Simple

Ejemplo 8Por un prstamo de $270,000.00 se pagaron $30,217.50 de intereses al cabo de 8 meses. Qu tasa de inters simple anual aplicaron al prstamo? SOLUCIN: I = $30,217.50 P= $270,000.00 t = 8.5 meses = 8.5/12 aos i =?


i=

30,217.50 = 0.158 = 15.8 % anual (270,000 * 8.5 12)

Ejemplo 9Miguel Lora tom prestados $60,000.00 al 14% simple anual. Si dicha deuda fue saldada mediante un pago nico, incluyendo intereses ascendentes a $6,510.00, determine durante cuntos meses se us dicho crdito. SOLUCIN: I = $6,825.00 P= $60,000.00 i = 13% anual = 0.13/12 meses t =?


t= Ejemplo 10

6,825 = 10.5 meses = 10 meses (60,000 * 0.13 12 meses)

Determine durante qu tiempo (quincenas) ha estado invertido un capital al 21.6% simple anual si el mismo gener un rendimiento ascendente al 18% de su valor. SOLUCIN: P = $100.00 (valor asumido) I= 0.18 * 100 = $18.00 i = 21.6% anual = 0.216/24 quincenas t =?


t=

18 = 20 quincenas (100 * 0.216 24 quincenas)

4. MONTO SIMPLEA la suma del capital (P) ms el inters simple ganado (I) se le llama monto simple o nicamente monto 6, y se simboliza mediante la variable S. Por tanto,

S=P+IDe esta frmula, despejando se obtiene a P y a I, resultando:

FRMULA MONTO SIMPLE

[5]

I=SP

[6]

P=SI S = P + Pit

[7]

Otra expresin matemtica para obtener el monto simple se obtiene al sustituir a I de la frmula [1] en la [5] :

Factorizando la expresin anterior se tiene:

S = P (1 + i t)6 7

7

FRMULA MONTO SIMPLE

[8]

Al monto tambin se le llama VALOR FUTURO. Esta frmula tambin se le llama LEY DE CAPITALIZACIN SIMPLE, ya que mediante la misma, los intereses generados son sumados al capital. Esto es, determinacin en una fecha futura del valor que se obtendr o en que se convertir un capital colocado en una fecha anterior.

4


Inters Simple

Las formulas [5] y [8] indican que si un capital (P) se presta o invierte durante un tiempo (t), a una tasa de inters simple (i) por unidad de tiempo, entonces el capital P se convertir en una cantidad S al final del referido plazo. Fundado en eso, se dice que el dinero tiene un valor que depende del tiempo (el monto o valor futuro siempre ser mayor que el capital o principal).

Ejemplo 11Ramn Pia tom un prstamo de $35,000.00 al 18% simple anual pagadero en 6 meses. Calcule el inters y la suma a pagar para saldar el prstamo. SOLUCIN: P = $35,000.00 i = 18% anual = 0.18/ao t = 6 meses = 6/12 ao = 0.5 ao I =? S =?


I = 35,000 * 0.18 * 0.5 = $3,150.00Luego, con la frmula [5], se obtiene:

S = 35,000 + 3,150 = $38,150.00 Ejemplo 12Una persona contrae una deuda por $120,000.00 que debe pagar dentro de 9 meses. Si la tasa de inters cargada a la operacin es de 14% simple anual, determine qu suma se deber pagar para cancelar la deuda. Diga cunto se habr de pagar por concepto de intereses. SOLUCIN: P = $120,000.00 i = 14% anual = 0.14/ao t = 9 meses = 9/12 ao S=? I=?


S = 120,000 ( 1 + 0.14 * 9/12 ) = $132,600.00Luego, con la frmula [6], se obtiene:

I = 132,600 120,000 = $12,600.00 Ejemplo 13Antonio Snchez deposit $136,000.00 en una cuenta de ahorros que abona el % mensual. Cul ser el balance de la cuenta al cabo de 7 meses? SOLUCIN: P = $136,000.00 i = % mensual = 0.00875/mes t = 7 meses S=?


S = 136,000 ( 1 + 0.00875 * 7 ) = $144,330.00

5


Inters Simple

5. VALOR ACTUAL A INTERS SIMPLELa actualizacin o el descuento simple es la operacin inversa a la capitalizacin simple. Consiste en la obtencin del valor en la fecha actual o presente de un capital que se recibir o que vencer en una fecha futura. Al VALOR ACTUAL tambin se le conoce como VALOR PRESENTE, CAPITAL o PRINCIPAL y, generalmente, trata sobre el valor que habra que invertir para disponer al cabo de un tiempo de un monto predeterminado. Se refiere tambin al valor de una deuda, en cualquier fecha anterior a la de su vencimiento. Para obtener obtenindose: el valor actual de un monto conocido S, se procede a despejar a P de la frmula [8],

P= Ejemplo 14

S 1+ i t

8

FRMULA VALOR ACTUAL

[9]

Qu suma se debe invertir hoy al 12% simple anual para poder disponer de $90,930.00 dentro de 5 meses? SOLUCIN: S = $90,930.00 i = 12 % anual = 0.12/ao t = 5 meses = 5/12 ao P =?


P= Ejemplo 15

90,930 = $86,600.00 (1 + 0.12 * 5 12)

9

Ruddy Lugo tom prestada una suma de dinero al 18 % simple anual y a los 10 meses la cancel pagando $363,562.50. Determine la cuanta del prstamo y cunto pag por concepto de intereses. SOLUCIN: S = $363,562.50 i = 18.5 % anual = 0.185/ao t = 10 meses = 10/12 ao P =? I =?


P=Luego, con la frmula [6], se obtiene:

363,562.50 = $315,000.00 (1 + 0.185 * 10 12)

I = 363,562.50 315,000 = $48,562.50 Ejemplo 16Javier Gmez recibe un documento cobrable dentro de 9 meses por un valor final de $130,610.00. Si para recibir efectivo anticipadamente negocia el documento con una compaa que opera en base a una tasa del 15% simple semestral, determine qu suma recibir el Sr. Gmez. SOLUCIN: S = $130,610.00 i = 15 % semestral = 0.15/semestre t = 9 meses = 9/6 semestre = 1.5 semestres P =?


P=

130,610 = $106,620.41 (1 + 0.15 *1.5)

Dado que siempre que se use esta frmula el denominador ser > 1, entonces la cuanta de P siempre ser menor que la de S. Esta frmula tambin se le llama LEY DE DESCAPITALIZACIN O DESCUENTO SIMPLE, ya que mediante la misma, los intereses son rebajados o descontados a una suma con vencimiento futuro. 9 Se colocan entre parntesis las operaciones que aparecen en el denominador, a fin de efectuar en forma corrida (con la ayuda de una calculadora cientfica) la serie mixta de operaciones que envuelve la solucin del problema.

8

6


Inters Simple

6. CLCULO DEL TIEMPO Y LA TASA DE INTERS A PARTIR DE LA FRMULA S = P (1 + i t)La tasa de inters i a la que habra que prestar o invertir un capital P para que en un tiempo t alcance el monto S se obtiene al despejar a i de la frmula [8], resultando:

i=

( S P 1) t

[10]

Igualmente para obtener el tiempo requerido para que un capital P, colocado a una tasa de inters i, alcance un monto S, se procede a despejar a t de la frmula [8], resultando:

t= Ejemplo 17

( S P 1) i

[11]

Si un prstamo por $260,000.00 se cancel mediante un pago nico ascendente a $279,602.92 al cabo de 5 meses, calcule qu tasa de inters simple anual le aplicaron al financiamiento. SOLUCIN: P = $260,000.00 S = $279,602.92 t = 5.5 meses = 5.5/12 ao i =?


i=

( 279 ,602 .92 260 ,000 1) = 0.1645 / ao = 16 .45 % anual (5.5 12 ao )

El ejercicio puede resolverse tambin empleando las frmulas [6] y [3]: SOLUCIN: P = $260,000.00 S = $279,602.92 I = S P = 279,602.92 260,000.00 = $19,602.92 i =?

t = 5.5 meses = 5.5/12 ao


i=

19,602.92 = 0.1645 / ao = 16.45 % anual (260,000 * 5.5 12 ao )

Ejemplo 18En qu tiempo (meses) una inversin de $50,000.00 efectuada al 19% simple anual alcanza el monto de $55,937.50? SOLUCIN: P = $50,000.00 S = $55,937.50 i = 19 % anual = 0.19/12 meses t =?


t=

(55,937.50 50,000 1) = 7.5 meses = 7 meses (0.19 12 meses)

El ejercicio puede resolverse tambin empleando las frmulas [6] y [4]: SOLUCIN: P = $50,000.00 S = $55,937.50 I = S P = 55,937.50 50,000.00 = $5,937.50 t =? 7

i = 19 % anual = 0.19/12 meses


Inters Simple


t=

5,937.50 = 7.5 meses = 7 meses (50,000 * 0.19 12 meses )

Ejemplo 19Calcular en qu tiempo (meses) se aumenta en un 10% una inversin efectuada al 13 % simple anual. SOLUCIN: P = $100.00

(PODEMOS ASUMIR CUALQUIER VALOR PARA P)i = 13.33333 % anual = 0.133333/12 meses t =?

S = $100 (1+0.10) = $110.00


t=

(110 100 1) = 9 meses = 9 meses (0.133333... 12 meses)

7. CLCULO DEL TIEMPO EN DAS ENTRE DOS FECHASCuando el periodo comprendido entre el momento en que se toma un prstamo o se invierte un determinado capital y su correspondiente vencimiento no se expresa mediante un nmero de meses o aos, sino que se establece usando dos fechas, el tiempo entre stas suele calcularse en das. Eso ordinariamente se efecta de dos formas: 1. En forma exacta segn los das del calendario, o sea en base al ao real de 365 o 366 das (tiempo exacto o real), y 2. En forma aproximada, es decir, basado en el ao comercial de 360 das (tiempo aproximado).

Tiempo Exacto (te)Para calcular el tiempo exacto (o tiempo real) se usa un calendario y se procede a contar todos los das que transcurren entre las dos fechas, excluyendo el primer da e incluyendo el ltimo. El tiempo exacto (en das) entre dos fechas tambin se puede obtener restando los nmeros de orden correspondientes a ambas fechas, tomados de la TABLA PARA EL CLCULO DEL TIEMPO EXACTO ENTRE DOS FECHAS, la cual le asigna un nmero de orden a cada uno de los das de dos aos sucesivos (no bisiestos).

Ejemplo 20Hallar el tiempo exacto entre el 13 de mayo del 2009 y el 6 de diciembre del 2009. SOLUCIN: Como las dos fechas se encuentran en el mismo ao, se buscan sus nmeros de orden en la TABLA (ambas en el ao de la izquierda) y luego se restan.

6/12/2009 13/ 5/2009

: :=

340 133 207 das

te Ejemplo 21

Hallar el tiempo exacto entre el 20 de noviembre del 2007 y el 30 de julio del 2008. SOLUCIN: Como las fechas se encuentran en aos sucesivos, los nmeros de orden se obtienen de la TABLA, tomndolos, para la primera fecha en el ao de la izquierda y para la segunda fecha en el ao de la derecha. Luego dichos valores se restan y se le adiciona un da por ser bisiesto el ao 2008 y estar el 29/2/2008 contenido entre las fechas dadas. 8


Inters Simple

30/ 7/2008 20/11/2007

: :=

576 324 252 + 1 = 253 das

te Ejemplo 22

Hallar el tiempo exacto entre el 17 de agosto del 1991 y el 8 de febrero del 2004. SOLUCIN: Como la separacin existente entre las fechas va ms all de lo que podemos trabajar con la TABLA, encontraremos el tiempo pedido fraccionando el intervalo dado en 2 subintervalos, considerando para tales fines una fecha intermedia: 17/8/2003 10. Finalmente la respuesta se obtiene al sumar los tiempos correspondientes a ambos subintervalos ms los das adicionales de los aos bisiestos contenidos entre las fechas dadas.

Tiempo Aproximado (ta)El tiempo aproximado entre dos fechas se obtiene al sumar los das correspondientes a los aos (de 360 das) y a los meses (de 30 das) completos incluidos en el plazo ms el nmero exacto de das correspondientes a los meses incompletos. Una forma prctica empleada frecuentemente para obtener el tiempo aproximado consiste en restar ambas fechas, numerando en orden ascendente los meses de enero a diciembre y considerando los aos de 360 das y los meses de 30 das.

Ejemplo 23Hallar el tiempo aproximado entre el 20 de mayo del 2003 y el 3 de septiembre del 2004. SOLUCIN: Para el clculo del ta trabajaremos con las fechas ordenadas en: Aos, Meses y Das.

Aos 2004

Meses 9 5 4

Das 3 20 -17

2003 110

La eleccin de esta fecha se efecta de modo que se cumplan 2 condiciones: a) Que entre la fecha inicial y la fecha intermedia exista un nmero exacto de aos, y b) Que las fechas intermedia y final se encuentren en el mismo ao o en aos sucesivos.

9


Inters Simple

Como al realizar la resta resulta un valor negativo (lo cual no tiene sentido), se procede entonces a efectuar la resta nuevamente tomando en cuenta que un mes se considera de 30 das, obviando as la situacin presentada.

2004 2003 1

8 9 5 3

33 3 20 13

ta = 1 * 360 + 3 * 30 + 13 = 463 das 11 Ejemplo 24Hallar el tiempo aproximado entre el 8 de octubre del 2005 y el 14 de marzo del 2008. SOLUCIN:

Aos 2008 2005 3

Meses 3 10 -7

Das 14 8 6

Como al realizar la resta resulta un valor negativo (lo cual no tiene sentido), se procede entonces a efectuar nuevamente la resta tomando en cuenta que un ao tiene 12 meses, obviando as la situacin presentada.

2007 2008 2005 2

15 3 10 5

14 8 6

ta = 2 * 360 + 5 * 30 + 6 = 876 das

8. INTERS SIMPLE ORDINARIO Y EXACTOEl plazo de una transaccin a efectuarse entre dos fechas se calcula en das, pudiendo realizarse la evaluacin de dos maneras: con tiempo exacto o con tiempo aproximado. Ahora bien, si dicho plazo viene expresado en das y la tasa de inters es anual, entonces para aplicar la frmula bsica del inters simple: I = P i t se debe, o expresar los das como fraccin del ao u obtener una tasa de inters por da 12, lo cual se efecta considerando el ao de 360 o 365 das. Se le llama inters simple ordinario (o comercial), o simplemente INTERS ORDINARIO, al que se calcula asumiendo el ao de 360 das (ao comercial), mientras que se conoce como inters simple exacto (o real), o simplemente INTERS 13 EXACTO, al que se calcula en base al ao calendario de 365 o 366 das . Entonces para cuando el tiempo est expresado en das, se trabaja con:

a)11 12

I 0 = Pi

t 360

INTERS ORDINARIO

b)

I e = Pi

t 365

INTERS EXACTO

Al obtener el tiempo aproximado entre dos fechas se obvian los das extras de los aos bisiestos, tal como se hizo en este caso con el da 29/02/04. Eso es vlido para todas las frmulas relativas al inters simple. 13 Se emplea el ao de 366 das cuando las fechas (inicial y final) de una transaccin se hallan ambas dentro de un mismo ao bisiesto.

10


Inters Simple

Ejemplo 25Calcular el inters ordinario y el inters exacto generados por un prstamo de $130,000.00 acordado al 16% simple anual a un plazo de 90 das. SOLUCIN:a)

I 0 = 130,000 * 0.16 *

90 = $5,200.00 360

b)

I e = 130,000 * 0.16 *

90 = $5,128.77 365

El inters ordinario es ms popular entre los prestamistas, ya que el importe que reporta es mayor que el obtenido con la expresin del inters exacto.

9. COMBINACIONES DE INTERS Y TIEMPOSComo es posible trabajar con dos tipos de inters (ordinario aproximado), entonces sern cuatro las combinaciones disponibles simple: a) Inters Ordinario y Tiempo Exacto (NORMA BANCARIA) : b) Inters Ordinario y Tiempo Aproximado : c) Inters Exacto y Tiempo Exacto : d) Inters Exacto y Tiempo Aproximado : y exacto) y con dos tipos de tiempo (exacto y al momento de efectuar los clculos a inters

Io, te Io, ta Ie, te Ie, ta

Ejemplo 26El 20/9/2008 una seora solicit un prstamo por $90,000.00 en una entidad financiera que trabajaba con una tasa de inters del 14% simple anual. Si el prstamo fue saldado el 14/5/2009, calcule el inters simple generado usando las cuatro combinaciones. SOLUCIN: P = $90,000.00 i = 14% anual

te

:

14/5/2009 499 (ver TABLA) 20/9/2008 263 (ver TABLA) te = 236 das

ta :2008 2009 2008 0 a) b)

16 4 5 9 7

44 14 20 24 ta = 7 * 30 + 24 = 234 das

I0 , te

: I 0 = Pi

te 236 = 90,000 * 0.14 * = $8,260.00 360 360

I0 , ta

: I 0 = Pi

ta 234 = 90,000 * 0.14 * = $8,190.00 360 36011


Inters Simple

c) d) Ejemplo 27

Ie , teIe , ta

: I e = Pi: I e = Pi

te 236 = 90,000 * 0.14 * = $8,146.85 365 365ta 234 = 90,000 * 0.14 * = $8,077.81 365 365

El 24/3/2009 un seor contrajo una deuda por $78,000.00 al 16% simple anual a pagar en 90 das. Determine usando Io, te : a) La fecha en que se sald la deuda. b) La suma con la que se sald la deuda. SOLUCIN: P = $78,000.00 i = 16% anual t = 90 das Fecha = ? S=?

a) Como el nmero de orden para la fecha 24/3/2009 es

83 (ver TABLA) + 90 173 Este es el nmero de orden de

la fecha buscada. En la TABLA se ubica ese nmero, obtenindose la fecha : 22/6/2009 b) Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [8], se obtiene:

S = 78,000 (1 + 0.16 * 90/360) = $81,120.00

Ejemplo 28El 19/1/2009 Miguel Luna tom prestada una suma de dinero por la cual pagara intereses al 18% simple anual. Si el compromiso fue saldado el 25/5/2009 mediante un nico pago de $119,309.85, determine la cuanta del prstamo. Use Ie, ta. SOLUCIN: S = $119,309.85 i = 18% anual t = 126 das P=?

ta :

2009 2009 0

5 1 4

25 19 6

ta = 4 * 30 + 6 = 126 das


P=

119,309.85 = $112,330.00 (1 + 0.18 * 126 365)

Ejemplo 29Una deuda por $34,500.00 contrada el 14/4/2008 fue saldada pagando la suma de $35,606.30 el 2/7/2008. Calcule qu tasa de inters anual le aplicaron a la deuda. Use Io, ta. SOLUCIN: P = $34,500.00 S = $35,606.30 ta = 78 das i=? 12


Inters Simple

2008 2008 0

6 7 4 2

32 2 14 18 ta = 2 * 30 + 18 = 78 das


i= Ejemplo 30

(35,606.30 34,500 1) = 0.148 / ao = 14.8 % anual (78 360)

Nelson Susana tom un prstamo por $110,000.00 al 17.75% simple anual y lo sald efectuando un pago nico ascendente a $117,756.51 en fecha 12/1/2010. Determine en qu fecha obtuvo el prstamo el Sr. Susana. Use Ie, te. SOLUCIN: P = $110,000.00 S = $117,756.51 i = 17.75% anual te = ? Fecha = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [11], se obtiene el tiempo en das que us el dinero:

te =

(117,756.51 110,000 1) = 145 das (0.1775 365 das)

Luego, para determinar la fecha pedida se parte de que el nmero de orden de la fecha final es:

12/1/2010 es 377 (ver TABLA) 14 145TABLA

232 Este es el nmero de orden de la fecha buscada. En la se ubica ese nmero, obtenindose la fecha buscada: 20/8/2009 Ejemplo 31En qu tiempo (a/m/d) se aumenta en un 40% una inversin efectuada al 25% simple anual? SOLUCIN: P = $100.00 (valor asumido) S = $100 (1+0.40)= $140.00 i = 25% anual t=?


t=

(140 100 1) = 1.6 ao (0.25 ao) 1.00000 .6 12 7 .2 7 .0

aoao

meses meses

0.2 30

mesesdas

6RESP.: 1 ao14

7 meses 6 das

En este caso se ubica la fecha final en el ao de la derecha de la TABLA, ya que si se efecta en el ao de la izquierda, su nmero de orden resultara ser 12, al que si se le restan los 145 das del plazo arrojara para la fecha inicial un nmero de orden igual a -133, lo cual no tendra sentido.

13


Inters Simple

10.

ELECCIN ENTRE VARIAS OPCIONES ALTERNATIVAS DE INVERSIN

DE

PAGO

O

Con mucha frecuencia se presentan situaciones en las que, disponiendo de varias opciones, se debe elegir la forma de pago o la alternativa de inversin que convenga ms a los intereses de quien realiza el anlisis. Para llevar a cabo la evaluacin, el dinero sera la base de comparacin. De esta manera, en el caso del pago de una deuda, se obtienen los valores actuales (o valores de contado equivalentes) de los pagos asociados a las diferentes opciones, eligindose la que envuelva la menor erogacin. Si se tratara de elegir una alternativa de inversin, esto podra hacerse comparando, o las tasas de rendimiento de la inversin o los montos a que ascenderan tales inversiones al cabo de un periodo de tiempo, todo bajo el supuesto de un mismo nivel de riesgo. En los ejemplos incluidos a continuacin que envuelven varias opciones de pago de una deuda, se introducir el uso de los DIAGRAMAS DE TIEMPO-VALOR o DIAGRAMAS TEMPORALES para visualizar mejor los pagos, las fechas y la(s) incgnita(s) del problema a resolver. Esos diagramas no son ms que grficas que consisten en un segmento de recta horizontal (eje de tiempo) sobre el cual se indican mediante flechas verticales las sumas de dinero o capitales, ubicndolas en sus correspondientes vencimientos.

Ejemplo 32Una persona dispone de 3 formas de pago para saldar una deuda, a saber: a) $52,000.00 de contado; b) $55,120.00 dentro de 5 meses; o c) $20,000.00 de inicial, $15,560.00 al cabo de 3 meses y $19,360.00 dentro de 9 meses. Qu forma de pago le resultara ms ventajosa a dicha persona, si pudiera invertir en forma segura el dinero disponible a un 15% simple anual? SOLUCIN: Las 3 opciones de pago no podran compararse tal como estn expresadas, pues los valores envueltos vencen en fechas diferentes. Para poder realizar la comparacin referiremos los pagos a la fecha inicial (ya que en sta es que se debe tomar la decisin) para obtener el Valor de Contado (VC) o Valor de Contado Equivalente (VCE) correspondiente a cada opcin, procedindose luego a seleccionar la que arroje la menor erogacin.

1) OPCIN aVC a$52,000 0 i = 15% 9 meses

VC a = $52,000.00

Este valor permanece igual.

2) OPCIN bVCE bi = 15% 0 5 $55,120 9 meses

VCE b =

55,120 = $51,877.65 (1 + 0.15 * 5 12)

14


Inters Simple

3) OPCIN cVCEc$20,000 0 i = 15% 3 $15,560 $19,360 9 meses

VCE c = 20,000 +

15,560 19,360 + = $52,399.84 (1 + 0.15 * 3 12) (1 + 0.15 * 9 12)y VCEc, se concluye en que se debera elegir la

OPCIN

RESPUESTA : Al comparar los valores VCa, VCEb b por involucrar la erogacin de menor cuanta.

Ejemplo 33Tirso Mota result ganador en el sorteo de una computadora y como l no pensaba usarla, decide venderla, recibiendo las siguientes ofertas de pago en fecha 27 de enero: a) $11,000.00 de inicial y $23,100 el 15 de mayo; y b) $8,000.00 de inicial, $12,000.00 el 25 de febrero y $13,850.00 en 90 das. Cul oferta le conviene ms si el rendimiento promedio del dinero es de un 20% simple anual?

SOLUCIN: 1) OPCIN aVCEa$11,000 27/1 (27) i = 20% $23,100 15/5 (135)

VCE a = 11,000 +

23,100 = $32,792.45 (1 + 0.20 * 108 360)

2) OPCIN bVCEb$8,000 27/1 (27) i = 20% $12,000 25/2 (56)+ 90

$13,850

das

VCE b = 8,000 +

12,000 13,850 + = $33,000.21 (1 + 0.20 * 29 360) (1 + 0.20 * 90 360)VCEb, se concluye en que se debera elegir la OPCIN b

RESPUESTA : Al comparar los valores VCEa y por involucrar una suma mayor a recibir.

15


Inters Simple

Ejemplo 34Qu es ms ventajoso: a) depositar en una cuenta de ahorros que abona el 9.5% simple anual, o b) invertir en una industria lctea que garantiza que lo invertido se aumente en un 31% cada 3 aos? SOLUCIN: La eleccin se puede efectuar, o comparando tasas de rendimiento o comparando montos. Este ejemplo ser resuelto con los 2 criterios.

1) Comparando tasas:OPCIN a OPCIN b ia = 9.5% anual La tasa que garantizara el aumento del 31% en 3 aos sera:

ib =

0.31 = 0.1033 ao = 10.33% anual 3t = 3 aos i = ?

Tambin podra calcularse usando la frmula [10] : P = $1,000.00 (valor asumido) S = $1,000.00 (1 + 0.31) = $1,310.00 Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [10], se obtiene:

ib =

(1,310 1,000 1) = 0.1033 ao = 10.33% anual 3

RESPUESTA : Al comparar las dos tasas, se concluye en que se debera invertir en la industria lctea, toda vez que en sta el rendimiento del dinero sera mayor que si se depositara en la cuenta de ahorros (10.33% > 9.5%).

2) Comparando montos:Para efectuar la comparacin, se trabaja con el tiempo de 3 aos y se asume una suma a invertir, por ejemplo de: P = $10,000.00. Luego para: OPCIN a Se sustituyen los valores conocidos en la frmula [8], resultando:

S a = 10,000 (1 + 0.095 * 3) = $12,850.00OPCIN b Como se tiene una tasa de aumento del 31% cada 3 aos, el monto resultante sera:

S b = 10,000 (1 + 0.31) = $13,100.00Al comparar los dos montos, se concluye en que se debera invertir en la industria lctea, toda RESPUESTA : vez que en sta, el monto alcanzado por la inversin sera mayor que si el dinero se depositara en la cuenta de ahorros ($13,100.00 > $12,850.00).

16


Inters Simple

11.

DESCUENTOS DE PAGARS. MATEMTICO

DESCUENTO RACIONAL O

Un pagar es una promesa de pago de una cantidad de dinero, con intereses o sin ellos, en una fecha determinada, suscrita por un deudor a favor de un acreedor. Sus elementos principales son: fecha, valor nominal, tasa devengada, plazo y valor de vencimiento. Descontar un pagar es la accin de recibir o pagar hoy una cantidad de dinero a cambio de una suma mayor prometida para una fecha futura. Normalmente esto consiste en la presentacin de un pagar en una entidad financiera para que sta efecte su pago anticipado y luego proceda a gestionar su cobro (factoring). El proceso de pago anticipado de un pagar se puede realizar de dos formas: usando el descuento racional o matemtico o mediante el descuento bancario (se ver posteriormente). Descuento racional de un pagar es la disminucin que experimenta en su valor como consecuencia de adelantar su disponibilidad. El valor del descuento racional Dr se obtiene de la diferencia entre la cantidad a pagar en una fecha futura S (valor de vencimiento) y su valor presente Pd (llamado tambin valor lquido, valor descontado o valor de venta), o sea: Dr = S Pd FRMULA DEL DESCUENTO RACIONAL [12] De esta frmula, despejando a Pd y a S , se obtiene:

Pd = S Dr

[13]

S = Pd + Dr

[14]

La designacin de descuento racional se debe a que se lleva a cabo el descuento de los intereses correspondientes al periodo de tiempo que falta para que venza el documento. La tasa de inters aplicable al descuento racional (conocida tambin como tasa de descuento) puede ser la tasa original, o la tasa de rendimiento esperada por la firma intermediaria, o bien, la tasa de inters vigente en el mercado financiero al momento de llevar a cabo el proceso de descuento. Otra expresin matemtica para calcular el descuento racional se obtiene al sustituir a P de la frmula [9] en la frmula [12]:Dr = S 1 + i t 1 1 S = S 1 1+ i t = S 1+ i t 1+ i t

Resultando:

Dr =

Sit 1+ it

FRMULA DEL DESCUENTO RACIONAL

[15]

Ejemplo 35Nelson Prez recibe un prstamo de $10,000 a pagar en 9 meses con un 15% de inters simple anual, por lo cual firma un pagar a VEFISA, S.A. Faltando 4 meses para el vencimiento del pagar VEFISA traspasa o vende el pagar a FINACOM, S.A., descontando su valor de vencimiento con una tasa del 15 % de inters anual. Determine: a) el valor de vencimiento del pagar; b) el valor que recibe VEFISA al traspasar el pagar (valor lquido o de venta del pagar) y c) el valor del descuento racional. SOLUCIN:t = 9 meses P =$10,000 i = 15% 0 5 i = 15% t = 4 meses 9 meses

S=?

Pd =?

Dr =?

P = $90,000.00 S =?

i = 15 % anual = 0.15/ao Pd =?

t = 9 meses = 9/12 ao Dr =? 17


Inters Simple

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [8], se obtiene el valor de vencimiento del pagar:

S = 10,000 (1 + 0.15 * 9 12 ) = $11,125.00Para la operacin de venta o descuento del pagar, se tiene: S = $11,125.00 i = 15 % anual = 0.1575/ao

VALOR DE VENCIMIENTO DEL PAGAR

t = 4 meses = 4/12 ao

Luego mediante la frmula [9] se obtiene a P o Pd :

Pd =

11,125 = $10,570.07 (1 + 0.1575 * 4 12 )

VALOR DE VENTA O VALOR LQUIDO

Finalmente, usando la frmula [12] se obtiene el descuento racional:

Dr = 11,125 10,570.07 = $554.93 Ejemplo 36

VALOR DEL DESCUENTO RACIONAL

Un pagar cuyo valor de vencimiento es de $90,000.00 se descuenta 1 meses antes de vencer. Si la tasa de descuento aplicada es de 16.4% simple anual, determine el descuento racional y el valor lquido o descontado del pagar. SOLUCIN: S = $90,000.00 Dr =? Pd =? i = 16.4 % anual = 0.164/ao t = 1.5 meses = 1.5/12 ao


Dr =

90,000 * 0.164 *1.5 12 = $1,807.94 (1 + 0.164 *1.5 12)


Luego mediante la frmula [13], se tiene:

Pd = 90,000 1,807.94 = $88,192.06

VALOR LQUIDO DEL PAGAR

Ejemplo 37Una compaa acept de un cliente un pagar por $60,000.00 con un 18.5% de inters simple anual y vencimiento en 7 meses. Faltando 3 meses para el vencimiento del pagar la compaa lo vendi en base a la tasa del mercado del dinero del 20% simple anual. Determine el valor lquido (valor de venta) del pagar y el descuento racional. SOLUCIN:t = 7 meses P =$60,000 i = 18.5% 0 4 i = 20% t = 3 meses 7 meses

S=?

Pd =?

Dr =?

P = $60,000.00 Pd =?

i = 18.5 % anual = 0.185/ao Dr =?

t = 7 meses = 7/12 ao 18


Inters Simple


S = 60,000 (1 + 0.185 * 7 12 ) = $66,475.00Para la operacin del descuento, tenemos: S = $66,475.00 i = 20 % anual = 0.20/ao


t = 3 meses = 3/12 ao

Luego mediante la frmula [9] se obtiene a P o Pd :

Pd =

66,475 = $63,309.52 (1 + 0.20 * 3 12 )

VALOR DE VENTA O VALOR LQUIDO

Finalmente, aplicando la frmula [12] se obtiene el descuento racional:

Dr = 66,475 63,309.52 = $3,165.48 Ejemplo 38


Un pagar por $31,000.00 con intereses a una tasa de inters simple anual vence en 10 meses. Dos meses antes del vencimiento el pagar fue vendido por $33,401.48, al ser descontado racionalmente con una tasa del 15.10 % anual. Determine la tasa de inters simple anual que devengaba el pagar. SOLUCIN:t = 10 meses P =$31,000 i=? 0 8 i = 15.10% t = 2 meses 10 meses

S=?

Pd = $33,401.48

De la operacin del descuento, tenemos: Pd = $33,401.48 i = 15.10 % anual = 0.1510/ao t = 2 meses = 2/12 ao


S = 33,401.48 (1 + 0.1510 * 2 12 ) = $34,242.08Para el clculo de la tasa devengada por el pagar, se tiene: S = $34,242.08 P = $31,000.00 t = 10 meses = 10/12 ao


i=?

Luego mediante la frmula [10] se obtiene a i :

i=

(34,242.08 / 31,000 1) = 0.1255 = 12.55 % anual (10 / 12)

19


Inters Simple

12.

ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES

Una ecuacin de valores equivalentes (o ecuacin de valor) es la equivalencia financiera, planteada en trminos algebraicos, entre dos conjuntos de obligaciones o flujos de capitales cuyos vencimientos coinciden o se han hecho coincidir en una fecha de referencia llamada FECHA FOCAL. El fundamento de una ecuacin de valor radica en que el dinero tiene un valor que depende del tiempo, por lo cual, al plantearla se debe respetar la Regla Bsica de la Suma Financiera de Capitales que establece que: Dos o ms capitales financieros no pueden sumarse mientras no coincidan sus vencimientos. Para escribir la equivalencia de los dos conjuntos de obligaciones de que consta una ecuacin de valor, se deber formular en cada caso una suma financiera de los capitales referidos a la fecha focal, tomando en cuenta el aumento o disminucin del dinero a travs del tiempo. A la fecha de referencia elegida para hacer coincidir los vencimientos de los flujos de capitales que intervienen en una transaccin especfica se le llama FECHA FOCAL. En esta fecha se plantea la ecuacin de valor que permite la determinacin de los capitales de cuanta desconocida. Para facilitar la comprensin de los problemas financieros que se resuelven con este tipo de ecuaciones, es recomendable esquematizarlos, utilizando los DIAGRAMAS TIEMPO-VALOR O DIAGRAMAS TEMPORALES. Esos diagramas consisten en una lnea horizontal con una escala de tiempo (en aos, meses o das), sobre la cual se indican mediante flechas verticales (hacia arriba y hacia abajo del eje de tiempo) las sumas de dinero de los dos conjuntos de capitales, ubicndolas en sus correspondientes vencimientos.

Ejemplo 39Una persona contrae una deuda por $140,000.00 con intereses al 18% simple anual, la cual se propone saldar mediante 3 pagos: $40,000.00 a 2 meses, $60,000.00 a 5 meses, y un pago final para cancelar la deuda al cabo de 10 meses. Determine el importe del ltimo pago situando la fecha focal (FF) a los 10 meses. Calcule el inters total pagado. SOLUCIN:Diagrama temporal con la FF establecida: 10 m.

FF

$140,000 i = 18% 0 2 5 5 m. 8 m. 10 meses X

$40,000

$60,000

Se procede a referir todos los capitales a la fecha focal establecida, tomando en cuenta el aumento o disminucin del dinero a travs del tiempo. Efectuado eso, se colocan los que corresponden al primer conjunto de capitales (deuda) en el 1er. miembro de la igualdad y los del otro conjunto de capitales (pagos) en el 2do. miembro, establecindose la equivalencia conocida como ecuacin de valor. Esta ecuacin se resuelve despejando la incgnita que en ella aparece, obtenindose finalmente la solucin del problema planteado. Ecuacin de valor:

140,000 (1 + 0.18 *10 12) = 40,000 (1 + 0.18 * 8 12) + 60,000 (1 + 0.18 * 5 12) + X

161,000 = 44,800 + 64,500 + X 161,000 = 109,300 + X20


Inters Simple

161,000 109,300 = X

X = $51,700.00Inters total pagado

Valor del pago final

I = Suma de Pagos Deuda

I = (40,000 + 60,000 + 51,700) 140,000 I = $11,700.00 Ejemplo 40Determine el importe del ltimo pago del Ejemplo 39 situando la fecha focal (FF) a los 5 meses. SOLUCIN:Diagrama temporal con la FF establecida:

Inters total pagado

5 m. $140,000 i = 18% 0 2 3 m. 5

FF

10 meses 5 m. $60,000 X

$40,000

Ecuacin de valor 15:

140,000 (1 + 0.18 * 5 / 12) = 40,000 (1 + 0.18 * 3 / 12) + 60,000 +

X (1 + 0.18 * 5 / 12)

150,500 = 41,800 + 60,000 + 150,500 = 101,800 + 150,500 101,800 = 48,700 = X 1.075 X 1.075 X 1.075

X 1.075

48,700 *1.075 = X X = $52,352.50 Valor del pago final

Se puede observar en esta ecuacin de valor, as como en la del Ejemplo 39, que si el vencimiento de un capital coincide con la fecha focal, dicho capital aparecer igual (no se capitaliza ni se descapitaliza) en la ecuacin. De igual forma se puede verificar que al variar la FF en los Ejemplos 39 y 40, los valores obtenidos para el pago final difieren un poco. Esta incongruencia del inters simple, ocasionada por la no capitalizacin de los intereses, lleva a que siempre las partes comprometidas deban fijar de comn acuerdo la fecha focal a emplear.

15

21


Inters Simple

Ejemplo 41Jos Melo abri una cuenta de ahorros en fecha 10/8/2009 con un depsito inicial de $8,400.00. El 29/9/2009 retir $4,100.00, el 1/11/2009 efectu un 2do. retiro, el 20/12/2009 deposit $3,800.00 y el 22/1/2010 extrajo el balance total de la cuenta que era de $6,154.71. Calcular la cuanta del 2do. retiro, sabiendo que la cuenta abonaba intereses al 15% simple anual. Usar Io, te y FF el 22/1/2010. SOLUCIN: Diagrama temporal con laFF establecida:165 d.

FF33 d.

$8,40010/8/09 (222) 29/9 (272) 1/11 (305)

i = 15%

$3,80020/12 (354) 22/1/10 (387)

$4,100

X

$6,154.7182 d.

115 d.

Ecuacin de valor:

8,400 (1 + 0.15 * 165 / 360) + 3,800(1 + 0.15 * 33 / 360) = 4,100 (1 + 0.15 * 115 / 360) + X (1 + 0.15 * 82 / 360) + 6,154.71

12,829 .75 = 4296 .46 + 1.034167 X + 6,154 .71

12,829.75 4296.46 6,154.71 = 1.034167 X

2,378 .58 = 1.034167 X2,378.58 =X 1.034167

X = $2,300.00 Ejemplo 42

Valor del 2do. retiro

Carlos Santos se haba comprometido a pagar hoy la suma de $72,000.00 y $30,000.00 dentro de 2 meses. Ante la imposibilidad de honrar dichos compromisos en la forma pautada, el acreedor accedi a un refinanciamiento en base a una tasa del 20% simple anual, aceptando la cancelacin de dichas deudas mediante 3 pagos: $51,000.00 dentro de 5 meses y 2 pagos iguales dentro de 7 y 8 meses. Determine la cuanta de los 2 ltimos pagos. Use FF a los 8 meses. SOLUCIN: Diagrama temporal con laFF establecida:8 m.

FF6 m. $72,000 $30,000 i = 20% 0 2 5 $51,000 7 X 3 m. 1 m. 8 meses X

22


Inters Simple

Ecuacin de valor:

72,000 (1 + 0.20 * 8.5 / 12) + 30,000(1 + 0.20 * 6.5 / 12) = 51,000 (1 + 0.20 * 3.5 / 12) + X (1 + 0.20 *1.5 / 12) + X

115,450 = 53,975 + 1.025 X + X115,450 53,975 = 2.025 X61,475 = 2.025 X

61,475 =X 2.025 X = $30,358.02 Valor de cada uno de los 2 ltimos pagos. Ejemplo 43

(Tiempo Medio Equivalente) Lidia Morillo desea sustituir 3 pagos pendientes, a saber: $15,000.00 pagaderos el 20 de abril, $20,000.00 pagaderos el 20 de junio y $30,000.00 que vencen el 5 de septiembre, por un nico pago cuyo valor de vencimiento sea igual a la suma de los valores de los sealados pagos ($65,000.00). Con una tasa acordada de un 21% simple anual y tomando como fecha actual el 14 de marzo, determine el tiempo medio equivalente y la fecha de vencimiento del nuevo pago. Use Ie, te y la fecha actual como fecha focal. SOLUCIN: Diagrama temporal con laFF establecida:

175 d.

FF98 d. 37 d.

i = 21%14/3 (73)

$15,00020/4 (110)

$20,00020/6 (171) Fecha=?

$30,0005/9 (248)

$65,000X

Ecuacin de valor:

15,000 20,000 30,000 65,000 + + = (1 + 0.21 * 37 / 365) (1 + 0.21 * 98 / 365) (1 + 0.21 *175 / 365) (1 + 0.21 * X 365)

60,875.61 =

65,000 (1 + 0.21 * X 365)

60,875.61(1 + 0.21* X 365) = 65,000 60,875.61 + 35.024324 X = 65,000 35.024324 X = 65,000 60,875.61 35.024324 X = 4,124.39

23


Inters Simple

X=

4,124.39 35.024324 Este es el tiempo medio equivalente

X = 117.76 118 dasComo el nmero de orden del 14 de marzo es

73 (ver TABLA) + 118 191 Este es el nmero de orden de la fecha

buscada. En la TABLA se ubica ese nmero, obtenindose la fecha pedida: 10 de julio.

Ejemplo 44El 22/1/2007 un seor adquiri una nevera valorada en $31,250.00, pagando un inicial del 20% de su valor y acordando abonar una tasa de inters simple anual sobre el valor restante. Si pag $10,000.00 el 22/2/2007, $8,000.00 el 8/8/2007 y sald la deuda con un pago de $8,535.84 en fecha 5/10/2007, qu tasa de inters simple anual le aplicaron a la deuda? Usar Io, te y FF el 5/10/2007. SOLUCIN: Diagrama temporal con laFF establecida:

Deuda inicial = 80% de $31,250 = $25,000.00256 d.

FF

$25,00022/1/07 (22) 22/2 (53)

i=? $10,000225 d. 8/8 (220) 5/10/07 (278)

$8,00058 d.

$8,535.84

Ecuacin de valor:

25,000 (1 + i * 256 / 360) = 10,000 (1 + i * 225 / 360) + 8,000 (1 + i * 58 / 360) + 8,535.84

25,000 + 17,777.78 i = 10,000 + 6,250 i + 8,000 + 1,288.89 i + 8,535.8417 ,777 .78 i 6,250 i 1,288 .89 i = 10,000 + 8,000 + 8,535 .84 25,00010,238.89 i = 1,535.84.

i=

1,535.84 = 0.15 10,238.89 Tasa de inters buscada.

i = 0.15 *100 = 15 %

24


Inters Simple

13. PAGOS PARCIALES. REGLAS COMERCIAL Y DE LOS SALDOSCuando se contrae una deuda pagadera al final de un corto plazo, ordinariamente se aceptan abonos o pagos parciales dentro del periodo de la transaccin. En tales casos, el deudor tiende a realizar pagos parciales buscando disminuir la cantidad a pagar por concepto de intereses, as como reducir el importe con el que se liquidara la deuda en su fecha de vencimiento. Las operaciones que envuelven pagos parciales y en las que interesa calcular la suma con la que se salda la deuda al vencimiento se abordan segn diferentes criterios, de los cuales, se presentan a continuacin dos de gran uso: REGLA COMERCIAL Y REGLA DE LOS SALDOS.

Regla ComercialEsta regla establece que la deuda o el capital prestado generan intereses a lo largo de todo el plazo de la transaccin y que cada pago parcial produce tambin intereses por el periodo comprendido entre su fecha de realizacin y aquella en que la deuda queda saldada. Luego, la cantidad con que se salda la deuda viene dada por la diferencia entre el monto de la deuda y la suma de los montos de los pagos parciales. En resumen, resolver un problema usando la Regla Comercial se reduce a determinar la incgnita partiendo de una ecuacin de valor planteada con fecha focal en el momento de cancelacin de la deuda.

Ejemplo 45Luisa Pea contrajo una deuda por $80,000.00 a 9 meses de plazo con intereses al 24% simple anual, efectuando los siguientes abonos: $30,000.00 a los 2 meses y $40,000.00 a los 6 meses. Determine, aplicando la Regla Comercial, el saldo por pagar en la fecha de vencimiento SOLUCIN: Diagrama temporal con laFF situada

en la fecha de cancelacin de la deuda.

9 m.

FF

$80,0000 2

i = 24%6 9 3 m.meses

$30,000

$40,0007 m.

X

Ecuacin de valor:

80,000 (1 + 0.24 * 9 / 12) = 30,000 (1 + 0.24 * 7 / 12) + 40,000 (1 + 0.24 * 3 / 12) + X 94,400 = 34,200 + 42,400 + X 94,400 = 76,600 + X 94,400 76,600 = X

X = $17,800.00

Valor del pago final

25


Inters Simple

Regla de los SaldosEn esta regla tambin llamada REGLA DE LOS SALDOS INSOLUTOS o REGLA AMERICANA no se trabaja estableciendo una fecha focal como vimos en la Regla Comercial. En este caso se procede a efectuar pausas (paradas) en las fechas en que se realicen los pagos parciales o abonos 16 a los fines de rebajrselos a los montos respectivos de la deuda (capital + intereses), obtenindose cada vez un saldo insoluto. Este procedimiento se repite hasta llegar al ltimo pago parcial. Finalmente, la cantidad que salda la deuda se obtiene al sumarle al saldo insoluto correspondiente a la fecha del ltimo abono, los intereses generados en el periodo comprendido entre esa fecha y la de la cancelacin de la deuda. Se entiende por saldo insoluto el valor adeudado o el saldo deudor de un convenio de prstamo o crdito en una fecha determinada. Es la diferencia entre la deuda inicial y lo que se haya abonado a la misma. Amortizar una deuda es la cancelacin o extincin gradual de una deuda y sus intereses mediante pagos peridicos.

Ejemplo 46Determine el saldo por pagar en la fecha de vencimiento del Ejemplo 45 usando la Regla de los Saldos. SOLUCIN: Diagrama temporal:

2 m.

4 m.

3 m.

$80,0000 2

i = 24%6 9meses

$30,000

$40,000

X

S1 = 80,000 (1 + 0.24 * 2 / 12) = $83,200.00 30,000.00

VALOR DE LA DEUDA (CAPITAL+INTERS) A LOS 2 MESES (JUSTAMENTE ANTESDE EFECTUAR EL 1ER. ABONO)

1ER. ABONO (PAGO INTERS: $3,200.00; AMORTIZACIN: $26,800.00)

S1' = $53,200.00 S 2 = 53,200 (1 + 0.24 * 4 / 12) = $57,456.00 40,000.00 ' S 2 = $17,456.00

SALDO INSOLUTO A LOS 2 MESES (VALOR ADEUDADO JUSTAMENTE DESPUSDE EFECTUADO EL 1ER. ABONO)

VALOR DE LA DEUDA (CAPITAL+INTERS) A LOS 6 MESES (JUSTAMENTE ANTESDE EFECTUAR EL 2DO. ABONO)

2DO. ABONO (PAGO INTERS: $4,256.00; AMORTIZACIN: $35,744.00)

SALDO INSOLUTO A LOS 6 MESES (VALOR ADEUDADO JUSTAMENTE DESPUSDE EFECTUADO EL 2DO. ABONO)

X = 17,456 (1 + 0.24 * 3 / 12) = $18,503.36

VALOR DEL PAGO FINAL

Comparando los resultados obtenidos en los Ejemplos 45 y 46 se verifica que el valor del pago final es mayor al usar la Regla de los Saldos, lo cual se debe a que, al aplicar esta regla, la deuda comienza a generar intereses a partir de cada ocasin en que se realizan los pagos parciales.Se asume que un abono debe tener una cuanta tal que permita saldar primeramente el inters generado en el periodo previo al pago, y luego, con la parte restante, reducir el volumen de la deuda (cuota de amortizacin).16

26


Inters Simple

14. VENTAS A PLAZOS. INTERES GLOBAL E INTERES SOBRE SALDOS INSOLUTOSLas ventas a plazos a inters simple generalmente se saldan con un pago inicial y una serie de abonos, siendo stos ltimos, de una cuanta tal que permitan liquidar el inters generado en el periodo previo al pago as como reducir en alguna medida el volumen de la deuda. El valor de dichos abonos se acostumbra obtener con inters global o con intereses sobre saldos insolutos.

Ventas a Plazos con Inters GlobalEn esta modalidad los intereses se calculan sobre el total de la deuda, obviando los abonos efectuados. Es as como el valor de los abonos peridicos fijos (amortizacin + inters) se obtiene al dividir el monto de la deuda entre el nmero de pagos, o sea:

A pf =

S n

[16]

A su vez, el monto de la deuda S se puede obtener, o con las frmulas [5] y [8] del inters simple, o despejndola de la frmula anterior, resultando:

S = n Ap fLa determinacin del inters global Ig se efecta restando el monto menos la deuda:

[17]

I g = S P = n Ap f PDonde:

[18]

P = S = n = i = Ig = Apf =

Valor de la deuda inicial Monto de la deuda (capital + inters global) Nmero de periodos (o de pagos) Tasa de inters global Inters global Abono peridico fijo

An cuando la deuda se reduce peridicamente en funcin de las amortizaciones efectuadas, esta regla envuelve la incorrecta prctica de cobrar intereses por todo el plazo sobre la totalidad de la deuda. No obstante la injusticia que esto implica, su gran aplicacin se debe a la sencillez y facilidad del clculo y al alto rendimiento que le proporciona a los acreedores.

Ejemplo 47Santiago Lapaix contrae una deuda por $360,000.00 con una tasa de inters global del 24% simple anual pagadera en un ao mediante mensualidades iguales. Calcule el valor del abono fijo mensual. SOLUCIN: P = $360,000.00 i = 24% anual = 0.24/ao t = 1 ao n = 12 pagos S=? Apf =?

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [8], se obtiene el monto de la deuda:

S = 360,000 (1 + 0.24 *1) = $446,400.00Luego, mediante la frmula [16] se tiene el valor del abono fijo mensual:

A pf =

446,400 = $37,200.00 12

27


Inters Simple

Ejemplo 48Un prstamo se sald mediante 5 pagos bimestrales iguales por valor de $25,300.00. Si se aplic una tasa de inters simple global del 18% anual, determine la cuanta del prstamo. SOLUCIN: Apf = $25,300 i = 18% anual = 0.18 / 6 bimestres = 0.03 bimestral t = n = 5 bimestres S=? P=?


S = 5 * 25,300 = $$126,500.00Luego, mediante la frmula [9] se tiene la cuanta del prstamo:

P=

126,500 = $110,000.00 (1 + 0.03 * 5)

Ejemplo 49Julio Mora compr un juego de comedor valorado en $60,000.00 mediante un pago inicial del 20% y 8 pagos mensuales de $7,080.00 cada uno. Determine la tasa de inters anual global cobrada. SOLUCIN: Precio Contado = $60,000.00 P= 60,000 12,000 = $48,000.00 Inicial = 20% de $60,000 = 0.20 * 60,000 = $12,000.00 t = 8 meses = 8 /12 ao n = 8 pagos Apf = $7,080.00 S=? i =?


S = 8 * 7,080 = $56,640.00Luego, mediante la frmula [10] se tiene la tasa de inters global pedida:

i=

(56,640 48,000 1) 0.27 = = 27 % anual (8 12 ao ) ao

Ventas a Plazos con Intereses sobre Saldos Insolutos. Renta VariableEn este caso se trata de pagar la deuda mediante cuotas (amortizaciones) iguales, a las que peridicamente se le adicionan los intereses cobrados sobre el saldo insoluto, es decir, intereses calculados sobre el saldo deudor. Como el saldo insoluto vara a medida que se efectan los abonos, asimismo variar la suma a pagar por concepto de intereses. Por tal razn, el conjunto de abonos resultantes vendr dado por una serie de pagos peridicos variables (renta variable), provenientes de la suma de una cuota de amortizacin fija ms los intereses variables generados en cada periodo. El hecho de que la cuanta de los abonos vare en cada periodo hace que esta modalidad de pago no se use tan frecuentemente.

Ejemplo 50Guarionex Soto compra un escritorio valorado en $11,000.00, suma a saldar mediante un pago inicial de $3,000.00 y 4 pagos mensuales. Tomando en cuenta que los intereses sern calculados sobre saldos insolutos con tasa de inters del 27% simple anual, determine el valor de los abonos mensuales. Elabore la tabla de amortizacin. SOLUCIN:VALOR DE LA COMPRA PAGO INICIAL

$11,000.00

3,000.00VALOR DE LA DEUDA O SALDO INSOLUTO INICIAL

$ 8,000.00

28


Inters Simple

AMORTIZACIN PERIODICA

$ 8,000.00 / 4 pagos = $2,000.00 TABLA DE AMORTIZACIN

INTERS MENSUAL: i = 27 / 12 = 2.25%

PERIODO (MES) 0 1 2 3 4 TOTALES

AMORTIZACION ($)

INTERESES ($)

ABONO ($)

SALDO INSOLUTO ($) 8,000.00

2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 8,000.00

180.00 135.00 90.00 45.00 450.00

2,180.00 2,135.00 2,090.00 2,045.00 8,450.00

6,000.00 4,000.00 2,000.00 0.00

Ventas a Plazos con Intereses sobre Saldos Insolutos. Renta FijaEn las operaciones de corto y mediano plazos de compra y venta a crdito con intereses sobre saldos insolutos, es prctica comn trabajar con un abono que sea igual cada periodo, es decir, con una renta fija. El valor del abono peridico (renta) fijo se obtiene mediante la suma del saldo insoluto inicial ms el inters total generado por los saldos insolutos, dividido todo entre el nmero de pagos. La determinacin del inters total sobre los saldos insolutos se obtiene con la frmula:

It =

ni [2 P R (n 1)] 22I t n [2 P R ( n 1)]

INTERS TOTAL SOBRE SALDOS INSOLUTOS

[19]

Partiendo de la frmula anterior se puede obtener la tasa de inters por periodo cargada sobre saldos insolutos:

i=

17

TASA DE INTERES SOBRE SALDOS INSOLUTOS

[20]

Obtenido el valor de I t, entonces el Abono Peridico Fijo (Apf) se obtiene con la frmula:

Ap f =

P + It I = R+ t n n

FRMULA ABONO PERIODICO FIJO

[21]

Conocidos el saldo insoluto inicial (P), el nmero n de periodos (o de pagos) y el abono peridico fijo (Apf), se tiene otra frmula para calcular el inters total sobre saldos insolutos It :

I t = n Ap f PDonde:

INTERS TOTAL SOBRE SALDOS INSOLUTOS

[22]

P = Valor de la deuda o saldo insoluto inicial n = Nmero de periodos (o de pagos) i = Tasa de inters por periodo R = P/n Cuota de amortizacin peridica fija It = Inters total sobre saldos insolutos Apf = Abono peridico fijo

17

Esta es una frmula con la cual se efecta un clculo aproximado de la tasa de inters sobre saldos insolutos en operaciones de ventas a plazos.

29


Inters Simple

Ejemplo 51Determine el valor del abono fijo mensual con el cual quedara saldada la deuda del Ejemplo 50. SOLUCIN: P = 11,000 3,000 = $8,000.00 R= 8,000 / 4 = $2,000.00 n = 4 meses It =? i = 27% anual = 0.27/ 12 meses = 0.0225 mensual Apf=?

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [19], se obtiene el inters total sobre saldos insolutos (It):

It =

4 * 0.0225 [2 * 8,000 2,000 (4 1)] = $450.00 2

Luego, el abono mensual fijo se obtiene a partir de la frmula [21] :

A p f = 2,000 +

450 = $2,112.50 4

Valor del abono mensual fijo

Ejemplo 52Basilio Bueno compr a crdito una lavadora valorada en $32,000.00, pagando un 20% del valor por concepto de inicial y 8 pagos quincenales iguales. Si la tasa de inters es del 1.6% quincenal sobre saldos insolutos, calcule el inters total que se paga por el crdito y el valor del pago quincenal. SOLUCIN:

Precio Contado = $32,000.00P= 32,000 6,400 = $25,600.00

Inicial = 20% de $32,000 = 0.20 * 32,000 = $6,400.00n = 8 quincenas i = 1.6% quincenal R= 25,600 / 8 = $3,200.00


It =

8 * 0.016 [2 * 25,600 3,200 (8 1)] = $1,843.20 2

Luego, el abono quincenal fijo se obtiene a partir de la frmula [21] :

A p f = 3,200 + Ejemplo 53

1,843.20 = $3,430.40 8

Un prstamo con intereses al 32.94% simple anual sobre saldos insolutos deber liquidarse mediante el pago de 18 mensualidades de $3,025.86 cada una. Determine la cuanta del prstamo. SOLUCIN: i = 32.94 / 12 = 2.745% mensual n = 18 meses P = ? (valor de la deuda o del prstamo)

Apf= $3,025.86

R= P / 18

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [19], se obtiene el inters total sobre saldos insolutos (It) en funcin del valor de P :

It =

18 * 0.02745 2

P 2 P 18 (18 1) = 0.260775 P

Luego, se sustituye la expresin anterior de It en la frmula [21], procedindose a obtener el valor del prstamo al despejar a P de la ecuacin resultante:

Ap f =

P + It = $3,025.86 18

30


Inters Simple

P + 0.260775 P = $3,025 .86 18

1.260775 P = $54,465.48

P=

$54,465.48 1.260775Cuanta del prstamo

P = $43,200.00

Ejemplo 54Nelson Gmez compr a crdito una computadora valorada en $34,000.00. Si pag 25% del valor por concepto de inicial y 12 mensualidades de $2,373.63 cada una, obtenga la tasa de inters simple anual cargada sobre saldos insolutos. SOLUCIN: Precio Contado = $34,000.00 P= 34,000 8,500 = $25,500.00 Apf=$2,373.63 Inicial = 25% de $34,000 = 0.25 * 34,000 = $8,500.00 n = 12 meses R= 25,500 / 12 = $2,125.00 i =?


I t = 12 * 2,373.63 25,500 = $2,983.56Luego, la tasa de inters pedida se obtiene a partir de la frmula [20] :

i=

2 * 2,983.56 12 [2 * 25,500 2,125 (12 1)]

= 0.018 mensual = 1.8 % mensual

Tasa Pedida = 1.8 *12 = 21.6 % anual Ejemplo 55Gomas Maguana, S.R.L. vende un juego de 4 gomas para automviles por $22,500.00. El comprador paga un inicial del 20% del valor y el resto lo saldar mediante pagos quincenales iguales por valor de $1,310.40, incluidos los intereses. Si la tasa de inters simple es del 27.6% anual sobre saldos insolutos, encuentre el nmero de pagos quincenales que liquidan la deuda. SOLUCIN:

Precio Contado = $22,500.00P= 22,500 4,500 = $18,000.00

Inicial = 20% de $22,500 = 0.20 * 22,500 = $4,500.00 Apf=$1,310.40 i = 27.6% anual = 27.6% / 24= 1.15% quincenal

n =?

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [19], se obtiene el inters total sobre saldos insolutos (It) en funcin del valor de n :

It =

n * 0.0115 2

18,000 2 * 18,000 n ( n 1)

Luego, se sustituye la expresin anterior de It en la frmula [21], procedindose a obtener la cantidad de pagos quincenales al despejar a n de la ecuacin resultante:

Ap f =

P + It = $1,310.40 n31


Inters Simple

18,000 +

n * 0.0115 18,000 2 * 18,000 n (n 1) 2 = $1,310.40 n

18,000 + 207 n 103.5( n 1) = 1,310.40 n18,000 + 207 n 103.5 n + 103.5 = 1,310.40 n

18,103.5 = 1,206.9 nn= 18,103.5 = 15 1,206.9Cantidad de pagos requeridos

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FRMULAS RELATIVAS AL INTERS SIMPLEINTERS SIMPLE P i t I S : : : : :Capital o principal / Valor actual Tasa de inters Tiempo (plazo) del prstamo o la inversin Inters simple Monto simple/Valor con vencimiento futuro

[1] [2]

I = PitP= I itI Pt I Pi

[7] [8]

P = S I P = S (1 + i t )S 1+ i t

[3]

i=

[9]

P=

[4] [5] [6] DESCUENTO RACIONAL O MATEMTICO Dr : Descuento racional o matemtico S : Monto o valor con vencimiento futuro [12] Pd : Valor presente / Valor efectivo o lquido i t : Tasa de inters aplicable al descuento : Tiempo (plazo) del descuento [13]

t=

[10]

i=

( S P 1) t

S =P + I[11]

t=

I = SP

( S P 1) i

Dr = S P d P d = S D r

[14] [15]

S = Pd +Dr

Dr =

Si t 1+ i t

VENTAS A PLAZOS CON INTERES GLOBAL Y ABONOS PERIODICOS FIJOS P : Valor de la deuda inicial S n i Ig : Monto de la deuda (capital + inters global) : Nmero de periodos (o de pagos) : Tasa de inters global: Inters global

[16] [17] [18]

Apf = S / nS = n Apf Ig = S P = n Apf P

Apf: Abono peridico fijo

VENTAS A PLAZOS CON INTERESES SOBRE SALDOS INSOLUTOS Y ABONOS PERIODICOS FIJOS P : Valor de la deuda o saldo insoluto inicial ni I P + It [2 P R (n 1)] It = [21] n : Nmero de periodos (o de pagos) [19] = R+ t Ap f = 2 n n i : Tasa de inters por periodo R : P/n= Cuota de amortizacin peridica fija 2It [22] It : Inters total sobre saldos insolutos [20] i= I t = n Ap f P n [2 P R (n 1)] Apf: Abono peridico fijoTulio A. Mateo Duval

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