Universidad Los Ángeles de Chimbote CURSO ESTADÍSTICA APLICADAFACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS

LECTURA 05: INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO DE MUESTRA (PARTE II)

TEMA 11: INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL HACIENDO

USO DE LA ESTADISTICA T.

CASO II: Uso de la Estadística t.

Muestra pequeña (n < 30), varianza poblacional desconocida 22 s y población

normal.

Donde: 1- n ,2/10 tt

Ejemplo 1:

Con el fin de medir el rendimiento de una máquina (N° de unidades producidas), se toma

una muestra y se obtiene los siguientes resultados: 20, 24, 22, 22, 21, 27, 25. Si sabe

que el rendimiento sigue una distribución normal. Encontrar un intervalo de confianza del

99% para el rendimiento medio.

Solución:

a) Se desea estimar:

μ: Tiempo medio poblacional de ejecución en milisegundos de un programa.

b) Análisis:

n=7

(n<30)

Varianza poblacional desconocida 22 s se estima a través de la muestra.

Es decir

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x 23 unidades=

s 2.45 unidades=

2 2s 2.45 unidades entonces s 6.00 unidades= =

1 0 0x

2 0 0x

sL x t s x t

n

sL x t s x t

n

= - ´ = - ´

= + ´ = + ´

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Población normal.

Para el nivel de confianza 1 – α = 0.99 O 0.995,6t t 3.707= =

El error estándar de la media muestral x es:

x

s 23s 8.69

n 7= = =

c) Haremos uso de la estadística t:

d) Hallando el intervalo de confianza:

1 0

2 0

1

2

1

2

s 2.45L x t 23 3.707

n 7s 2.45

L x t 23 3.707n 7

L 23 3.707 0.93

L 23 3.707 0.93

L 23 3.45 19.55 20 unidades

L 23 3.45 26.45 26unidades

= - ´ = - ´

= + ´ = + ´

= - ´=@ - ´

= - = @= + = @

e) Interpretación:

El rendimiento medio de la máquina varía entre 20 y 26 unidades con una

confianza del 99%.

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TEMA 09: TAMAÑO DE MUESTRA CUANDO EL PARAMETRO ES LA MEDIA

POBLACIONAL USANDO EL MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

1. CALCULO DEL TAMAÑO MUESTRAL USANDO EL MUESTREO ALEATORIO

SIMPLE

Característica de la Población Tamaño de la muestraTamaño de la población infinita o desconocido.

2

2221

e

Zn

Tamaño de la población finita.

)1N(eZ

NZn

222

2221

Donde:

n Tamaño de la muestra.

N Tamaño de la población.

Z1-/2

Valor correspondiente a la distribución de Gauss

Z0.975 = 1.96 para = 0.05 y Z0.995 = 2.576 para = 0.01. (Utilizar

Tabla II). Valor de la varianza poblacional. En caso de no conocerse se

estima por la varianza muestral (s2) a través de una muestra

pilotoe Error que se prevé cometer.

fig. 13

Ejemplo 2:

Una muestra de 1225 familias reveló un gasto semanal de promedio de 250 soles y una

desviación estándar de 30 soles. ¿Cuál deberá ser el tamaño mínimo de la muestra para

un error máximo semanal de 4 soles, para un nivel de confianza del 99%?

Solución:

La desviación estándar se ha obtenido a través de una muestra entonces:

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xmL

1 L2

e

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s=30 soles.

Para el nivel de confianza 1 – α = 0.99 0.975Z 2.576=

e = 4 soles.

La población es infinita o desconocida.

La formula a utilizar será la siguiente:

2 21 2

2

Z sn

e ´

=

2 2

2

(2.5.76) (30)n

(4)

´=

n 373.3 373 familias= @Ejemplo 3:

Una muestra aleatoria de los salarios en soles por hora para nueve trabajadores es:

10.5, 11, 9.5, 12, 10, 11.5, 13, 9, 8.5.

El muestro se realizó sobre una población distribuida normalmente y se desea calcular un

intervalo de confianza para el salario promedio de los trabajadores. Hallar el tamaño

mínimo que debe tener la muestrea para que con un nivel de confianza del 95%, el error

de estimación no supere a los 0.3 soles, en una población de 600 trabajadores.

Solución:

La desviación estándar es desconocida y se ha obtiene a través de la muestra:

s 1.47 soles hora= ´

Para el nivel de confianza 1 – α = 0.95 0.95Z 1.96=

e = 0.3 soles.

La población es finita de tamaño N=600 trabajadores.

La formula a utilizar será la siguiente:

2 21 2

2 2 21 2

Z s Nn

Z s e (N 1)-a

-a

´ ´=

´ + ´ -

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2 2

2 2 2

(1.96) (1.47) 600n

(1.96) (1.47) (0.3) (600 1)

´ ´=

´ + ´ -

n 56.9 57 trabajadores.= @

Ejemplo 4:

Se quiere hacer una encuesta para estimar el tiempo promedio por semana que los niños

utilizan la Internet. Por estudios anteriores se sabe que la desviación estándar de dicho

tiempo es de 2.5 horas, con un nivel de confianza del 95% ¿Qué tamaño de muestra se

debería elegir si el error de estimación puntual no es superior a media hora, si se

población de 500 niños de un colegio “X”?

Solución:

La desviación estándar es conocida se ha obtenido a través de la población.

.horas5.2

Para el nivel de confianza 1 – α = 0.95 96.1Z 975.0

.horas5.0e

La población es infinita o desconocida.

La formula a utilizar será la siguiente:

)1N(eZ

NZn

22221

2221

)1500(5.05.296.1

5005.296.1n

222

22

.niños81n

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