INTKRPOLACION DE BIRKHOFF A PARTIR D~ UNA FORMULACION VARI~CIONAL

ASOCIADA AL METODO DE LOS E~QS Fl~ITOS

J. CARDONA, A. SAMARTIN

Departamento: Analisis de Estructuras

E.T.S. de Ingenieros de Caminos

Universidad de Santander

RESUMEN

El problema de la interpolacion pol~nomica de Birkhoff,como es co­nocido,no siémpre admite solucion.Se presenta un metodo como alternativa a este tipo ~e problemas para la obtencion de interpolantes con unas con­diciones de continuidad determinadas y en el cual el criterio de aproxi­maciones el :de minimiz~cion de un cierto funcional real utilizando el .etodo de loa elemento• finitos.Se anal.tza la eficiencia del método en -divereos ejedplos de aplicacion 1-D y 2-D.

1.-INTRODUCCÍON

Existen numerosos problemas en la Ci Jncia y en la Tecnica que pre­

cisan para su resolucion la utilizacion de procedimientos de interpola­

cion,como por. ejemplo:

a)En f a fabricacion automatizada de objetos mecanicos existe la

necesidad de algoritmos que permitan pasar de un diseño definí -1 do por un conjunto de datos puntuales mas unas condiciones de

estetica y/o aerodinamicas,etc .. ,a la reali zacion de la forma

.continua.

b) En el trazado de vias de comunicacion puede ser interesante el

diseño del eje de forma que sea lo mas suave posible (condicion

de 1 comodidad y seguridad de la circulacion) y ademas satisfaga­

~a serie de datos puntuales exactamente o dentro de un entorno

de error.

Se trata aqui el problema de interpolacion yaproximacion de fun-

· ciones 1-D y 2-D con un orden de continuidad Ck a partir de un conjunto

de datos de Birkhoff sobre un conjunto n y con la condicion de minimiza

cion de un determinado funcional cuadratico. n Despues del planteamiento general en R se pasa a una formulacion-

1-D y 2-D con distintos ejemplos de aplicacion,comparandose la solucion -

exacta con la generada por el metodo.

2.-PLANTEAMIENTO GENERAL

Sea O un dominio acotadq de R,N • W ~( o~ es pacio de las funcio­

nes u El¿ ( O ) cuyas derivadas de <Wden ~ m son de L 2

( n ) , con el produc-

to escalar (u,v) = r

~( o ) lil~ m

ti 1 a. u

i i (D u~D v)

L2 < n )

i D u = i _ i2 i ax1 l ax2 •••axNN

+ •• • •• + iN

constituye un espacio de Hilbert[1],[2]

Dada la SUCesion de formas lineales COQtinuas so~re wn2

( O)

1~ i~ n y los datos r=( r 1 ,r2 , • • • rn) m

u e w2 ( o) que satisfaga

L1

(u)=r. y ademas minimice el funcional

1real

Fu = ¡ r rl ~~~ m

i 2 a. (x) (D u) dx

1

,n E R , ~,ncoQtrar una funcion

con ai(x) funciones reales , medibles Lebeegue y acotaqas a0

(x'P J

ai(x)~ O y m;>O.

3.-FORMULACION 1-D

(3.1)- Enunciado

L. 1

( 1 )

Dados los nodos de ínterpolacion a~ X{ .. ..... xnn'S: b y los numeres

reales rik 1~ ~nn, O~ k~ ki donde k¡ indica el maximo orden de deriva -

cion en el nudo i .La determinacion de una funcion u E P(a,b) que interpo­

le los datos k

u ( xi) = r ik (n ecuaciones)

y cumpla la condicion J b(

dnu 2 d xh ) dx = O

n-1

(2)

( 3)

constituye un probl~ma típi co de interpolacion polinomica dentro del cual

se pueden distinguir los siguientes casos:

l)Si k . =0 'lf i ,es un problema de Lagrange . 1.

2)Si la sucesion o~ k~ k. 1

,no tiene salto,setrata de

un problema de Hermite.

3)Si x i = x 1 (un solo nudo) y la sucesion O< k~ ki es ininte

rrumpida,estaremos en el problema de Taylor.

En general se tiene el problema de interpolacion de Birkhoff.

Como es conocido [ 3 ] ,existe solucion unica de (2) para los

tres casos y ademas hay metodos de construccion del polinomio interpola-

dor.Mientras que en el caso general para la interpolacion de Birkhoff no

se puede asegurar lo mismo [4) ~Por otra parte , un serio inconveniente -

a la interpolacion polinomica en un gran numero de puntos se debe a que

el error de interpolacion puede aumentar con el grado del polinomio [3][s.]

Una extension a este problema corresponde a sustituir la condicion -

(3) por la de que el siguiente funcional real sea mínimo

b m Fu = f L

a i=O

i 2 a . ( x) (u ) dx ~

(4}

con ai suficientemente uniformes y no negativos en[a,b], a( x )> o y m t.q o

IFul < •

La integral (4) tiene sentido en el espacio ~ (a ,b).El problema

entonces se puede formular

min{Fu,ut:U}

(3.2)-Metodo de los elementos finitos

Es una particularizacion del metodo de Ritz y permite generar una

solucion aproximada de la forma

n

u (x) = Í u . '. (x ) n F1 J J

en un subespacio finitodimensional Vncw; (a,b) mediante una eleccion muy

concreta de las funcíones base • }x).

Se discretiza el dominio n =[a,b] en NE elementos ,obteniendo

asi el dominio

Q h = NE u Q

e=l e El metodo conduce al sistema glo ,al

K ll u1 = -K1 . U. -- - - l -l

donde el vector de incognitas ~1 contiene los grados de libertad libres

asociados a cada nudo.Los subíndices 1 e i varían entre los g .d.l. libres

e impuestos iespectivamente.De las propiedades de la forma (4) se deduce

que la matriz de rigidez ~1 es simetrica ,definida positiva e invertible

,por tanto el sistema es unicamente resoluble para cada n>O , asi como la

convergencia de la sucesion de Ritz un(x) a lasolucion exacta . ((1] , [2],

[6 ) f¡ b. -1

-~1 = ~11(-~}i ~i) El valor del mínimo se obtiene al sustituir ésta en la expresion del fun

cional(4)

Este metodo permite generar interpolantes u (x) de clas e Cm en el domi--n K

nio de cada elemento , pero con un orden de continuidad en los nudos C -

K=min l. determinado por el tipo de elemento utilizado. 1

Se puede r educir el orden de continuidad K en un nudo si se dis

minuye el numero de g.d .l. asoc iados a ese nudo .Sin embargo es posible -

sin necesidad de modificar las funciones de forma vari ar el orden de conti

nuidad y el crecimiento del interpolante e n un punto x al asociar dos i

nudos a la misma posicion x. , con lo cual se independizan los g.d.l . co--1

rrespondientes , e imponiendo ademas las condici ones requeridas.

Este hecho se puede aprovechar para aproximar funciones con dis- -

continuidades puntuales . Un caso tipico corresponde a las soluciones fun-­

damentales de problemas con valores de contorno (funciones de Green) ;¡ue

presentan discontinuidades de este tipo {10).

(3 . 3)- Ejemplo de aplicacion

Encontrar u(x),xt[-1,1) t . q. u( -1 ) = 1 u'(O) = u0 (dato) u( 1) = 1

y minimice l os siguientes funcionales

1 2 2 2 Fu= 1_1 (a

0• u +a

1 • u' +a

2• u" )dx

( 5)

En general este problema de interpo1ac i on (5) no admite solucion por po­

linomios p tP2f.- l , 1) , ya que el determinante del sistema p(-1) = 1 p'(O) =u' o p(l) = 1

es igual a cero.

Con la condicion de suavidad introducida en la minimizacion de F se apor­

ta una solucion a este problema .

Se ha utilizado una malla formada por dos elementos· de igual longitud con

distintos gdl asociados a cada nudo (Fig. 1)

Variando el dato u• , el numero de gdi y los coe ficientes a se obtienen o

distintos casos de estudio .Algunos resultados &e--pr·esenta:rt é'n la Tabla 1

S~ observa un aumento en la exactitud con el orden de los elemen-1 .. 2 2 1 2 1 2

tos (casos J u +U' dx j J u dx ) . Con el funcional 1 u 1 dx .. , solo admite -1 -l . 1

solucion clásica(soluc1on ec . Euler)1

con u0 =O ,siñ embargo se da una s o-

luc ioh aproximada , Finalm~n•~ •" 1 ut• 2 dx se observa el acuerdo en-

tre las dos soluciones si se utilizaÁ elementos d d 3 (' e or en polinomios

de tercer grado ),no asi par~ qtrqs orde~es.

(3. 4)-Ejemplo de aplicaeion

Conocidos una serie de datos de una funcion f(x) en [ o,w] corres­

pondientes a Yalores de la funcion y derivadas Qe orden ~2(datos de

Birkhoff ) en distintos puntos del intervalo,se trata de obtener la fun­

cion u(x) qu~ los satisface y minimiza los funcionales

Fu = 1f 2 ,2 2 2 1 a u a u a u' ' a u ' ' ' dx o + 1 + 2 + 3 o

En la 'Tabla 2 se presentan los resultados obtenidos con una malla 2

formada por 41 nodos igualmente espaciados y elementos e .Los casos 4,5,6

corresponden adatos aleatorios ,mientras que en los tres primeros se ha

optado por una distribucion mas regular,con un porcentaje de datos mayor

para los gdl •de orden mas bajo •.

Se observa el incremento de la calidad de la aproximacion con el -

numero de datos . Así,con un rendimiento del 36.59% se obtiene una exac-­

titud hasta la cuarta cifra decimal.

A continuacion se ha estudiado el efecto de una discontinuidad de

salto en la derivada primera.Los datos corresponden ahora a la funcion

f(x)=ls~n xl en [0,•2]Y 2W

2 2 2 Fu = 1 a u + a u ' a u ' ' dx

o o 1 + 2 2 La malla utilizada consta de 42 nudos y elementos C .Los gdl asociados

a los nudos 21 y 22 se han independizado al -imponer x21 =x22 . Existe sin­

embargo la posibilidad de hacer coincidir alguno de estos gdl,obteniendo­

se así los casos de analisi s indicados en la Tabla 3 .

En la Tabla 4 se observan los resultados obtenidos con distintas -

distribuciones de datos .

Conclusione~ similares al caso anterior se aplican aquí.Por otra­

parte con el mismo numero de datos , se obtienen mejores resultados al

imponer el valor de la funcion en el nudo que presenta discontinuidad .

En las Figs.3 y 4 se ilustran las soluciones aproximadas para los

casos indicados en las Tablas 2 y 4 respectivamente.

4-EXTENSION A PROBLEMAS 2-D

(4.1)-Enunciado

Dado el conjunto de puntos del plano p1. 1~ i~ N y los numeres

i reales rl-k,l • se trata de encontrar una funcion u dentro del espacio

de funciones admisibles \11~ ( n) que sati.sfaga

1-k k a x ay =

í rl-k, l O~l~k .

l ~k~ l (sucesion inte

rrumpida,datos de Birkhoff

con k el maximo orden de derivacion asociado al punto p y minimice el 1 i '

funcional

2 Existen configuraciones concretas de n puntos de R y espaci os

finitodimensionales de polinomios de manera que el correspondiente pro--­

blema de Hermite o Lagrange tiene solucion unica ( (3][8] ) . Se sabe tam­

bien que (como en el caso 1-D)al añadir nuevos nudos ,mas que aumentar el

grado del polinomio,conviene subdividir n en elementos

(4.2)-M~todo de los Elementos Finitos

El metodo sigue una pauta similar a la descrita anteriormente por­

lo~~~ no se expone.Cabe indicar que se ha empleado una metodología nrasdi­

recta desde el punto de vista numerico .Asimismo se ha utilizado la fami­

lia de tñ~erelementos ~extraclase H [9)como elementos finitos.En la Fig

5 se representan las funciones de forma de un hipere lemento típico .

(4.3)-Ejemplo de aplicacion

Con objeto de comprobar la eficiencia de esta interpolacion 2-D

se ha estudiado la interpolacion de una serie de datos de Birkhoff co---

2 2 2 rrespondientes a la superficie esferica x +Y+ z =gen (0,1Jx[0,1] .

Unicamente se presentan los resultados obtenidos con el hiperele-­

mento K.-:1, H=l (Fig5) ,de clase C 1 y la malla de 50 elementos indicada en la

Fig 6 .La Tabla 5 corresponde a una distribucion de datos con mayor por­

centaje para los gdl de orden inferior . Y l ~Tabla 6 a una dis tribucion

aleatoria .La Figura 7 represent a los cortes por planos z=cte . con la ·

superficie interpolante para\el. caso i ndicado en la Tabla 6

Se observan mejor es r esultados a l i mponer un mayor peso en el fun­

cional a l os gdl que aparecen en menor porcent aje como datos de entrada -

Asimismo se ha notado el incremento en la exactitud de los resu l ­

tados con el or den de los elementos .

El metodo puede extender se uti lizando elementos de mayor orden de

continuidad,pero con un mayor coste de calculo,debido entre otros aspec-­

tos al aumento del ancho de banda y a un mayor numero de puntos de Gauss

en la integrac i on numer ica¡ pero con la ventaja de una mayor aceleracion -

de la convergencia.

REFERENCIAS

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[ld CÓurant á~d Hilber t : "Methods of M th . 1 p 1 a ematlca hysics". Vol I. Interscience Publ i shers.(l953)

Flq 3 Sotuclon aprcnclmada

-------~~ /~"~

// ~/ •• ~ 1. l. l. lo 1,,\, / • • . • • l. " " " " " .. ' . " ,. ~' ~.,,,. ,,, .,,,.,,. e e ",0 ~,;;, ~' Í • '~ , ,. ,, ~ --<>- <"--- .,_ .. " •• 11 11 •• >• .> " , . " ' 38l

l t 10 11 • >

1

3 , , 1 " oo <t >O r IC'I • 9. • } • 1 l ) 't 4 :0 ~ 6 f) f 1 ¡ ') q; t i 11 1] H , .,.

Flq 4 Soluclon •proKimede

3

2

FU"(JON O~ rCRM• ~

l

3

¡ ..,J.

J

.,

0 • /./1,/l ./lk.ZVl./ll

• • /NI

Fiq 5 Funciones de forma

hlperelemento K=1 H=1

~NCIOII~L -

CASO RDIOI"IDITO SCLUCJON

lxu"uo ~tOS/NUitLRO GOL SCUUC ION APROXIMADA rx~cTA

~o 4 1 6 :1 6 3

(\) ru r f f (x) n

1 1 1 o 1 14.63 4.7113!1 .. . 71239 senx ' 2 7~ . 33 4 . 7121'1

1 3 36 $9 ... 71738 (f"~g.)) '

' .. ~~ .63 .. . 710 17

l ~ 20 . 33 4. 709<,8 6 36. ~9 --. 71:?3• ¡o :> l o 1 1~ .63 1. 5701)8 l. 'Jf08'"' ~eux

2 ~C .33 1. 57077

¡ 3 ; r .s<- 1 . 5707') 4 l' . 63 1. S70SS

1 S ~(. 33 l. 570: J 1) ;¡~.5 9 1 .!.7, 7~

CASO CONDICIONES F.S Ll\ DI SCOtlTINUlOAD

u(x21) U(XH) u ' (x21) u ' 1x22

1 u·' 1"21 1 u '' 1x22

1

1 lii¡>UeStOS

1 (dato ) 1 ndeper.d 1 entes igual os

2 iqueles : 1nde¡..end u.nte~ lndependlonte s

--- -· 3 independlenté~ 1ndependien tes lquale!>

Tabla 3 Casos de anallsis

fUNCION.>.L MALU.l CASO NUM. OATOS VALOR DE ru

"o a a2 a l IIUM. C.O.L. .>.PROXIMADO EXACTO

1

1 1 1 o 1 l6. S 1 9. 42 439 9 . 4 2478 riq.'o

1 2 H.92 9. 39950

l 34.92 9.39950

1 1 l6.SI 9. 42141

1 2 2 J4 .92 9.)912)

) 34.92 9.390lS

Tabla 4 Resultados lnterpolacton 1-D. ffxl=l sen x 1

2 2

3 u -1. o. • 1. u• u• u'

~u, ~~~l

fl_q 1 Malla con dlstintosq_d_l ,/nudo

¡

OliL/JI\' 110 Y.r.lJ'~ DE l'v fiKJOIA1. '"'~ • ••tri ~'""' JU!IOl 11 t(IYJ~·~ r.UC'TO

1 2 1 1. ~2VII 1.)2)19

' •C~)·1

i ....... · ·<a,>.o 1 2 a 1. )2)11

1 ' ' ' l.) HI9

..c-,>·1 • • • 1.)2U9

..C•¡)•1 a 2 2 0.1))8) fll2 O,OOOCIO

··<-,> ... ' ' ' 0,0(,061 t lll

1 11(•,>·1 • • • O.C:)104 tl12 f .... a 2 2 0.16111 4 w(&¡)el

··<~>·' ' ' ' o.O?Olt

.c-,M • • • O. O)M)

-~~~·· · ··(~oC

t 2 1 c.~ O. C«<O

1 t.c,._).t J ..... .CS¡)·1 1 •'( )o 2 2 .2 • 0.2~

•í•) o1

•("1)·1 a 2 a O,OOOCIO "''2 •'Ca,).c: o 1 • ttldlol

~- ••• z._ .c"l )•1

F-1 •'(:f)· 2 2 2 6,CCOCO .c.., •1

tUL& 1 ,. looulu«oo • J"I'lo • • ooUuoln 1-D

1

1 1 1

1 1

r 1

- - - ------------~--

e

IWI 1 CIO' r.ucr•

.-'!, •• )

.- . •> u[-1,1)

~·~2[-l. 1)

lt L2 (-t . ~

b

f IU"I • 0 . 060606

Fiq 2 Soluclon aproximad a con

elementos c1 e? c3

.,

Flq 6 Malla de elementos finitos

fuNciONAL

• (u2 •u2 + ;: XX xy

u2

ldn YY

R!:NDl MlEIITO 11!0.\TOS/)I!C.OL( \ )

)2.22

55.48

12.22

55.411

PIUNI• ··~

ll

VALOR DE ru APROXIMADO EXACTO

8.64769 8.67850

8.67287

o. 2))24 o. 262)2

<;.25718

Tabla~ Resultados e¡emplo 2-0

KA~: tiE•50

[FUNCIONAL ltDID 1 Ml OM'O VALOR DE ru 1 ti!OATOSI)I!COt.(\ l APROXIMADO I:XAC:TO

IJ, ru2• u2 •u2+ 4).19 8.65720 8.67150

ll " y 55.48 8.66791 f+u2 +u2 +u2 ldll ':5 . 45 8 . 6701)

"" xy yy

Flq 7 Solucl on aprolt lmada

OBSEPVAC I O ­

NES

ODSU.'/1\C I O-!lES

flq 7

Tabla 6 Auultados 2 - D (datos a leator ios)

23

TITULO: FRECUENCIAS DE SCATTERING EN EL PROBLEMA DE VIBRACION DE

UN CUERPO VISCOELASTICO INMERSO EN UN FLUIDO COMPRENSIBLE

DE PEQUERA DENSIDAD.

AUTOR(ES): J .CAI NZOS.

CENTRO DE TRABAJO: Universidad de Santaigo de Compostela.

RESUMEN: Se pretende estudiar las frecuencias propias de vibraci6n

de un sistema formado por un cuerpo viscoel~stico que ocu­

pa un d ominio acotado de R3 , rodeado de un fluido de pequ~

ña dens i dad E~O que llena el dominio exterior. Se a w0 un

elemento de l espectro discreto del problema de vibraci6n

del cue rpo viscoel~stico en el vac!o tal que su mult i plic!

dad algebraica es m<~. Se demuestra que si E e s suficien­

temente pequeño, existen exactamente m frecuencias propias

wi{ E) c o nve rgentes, cuando E -~0, a w0

• La multiplicidad

algebraica t otal es m.

TITULO: INTERPOLACÍON DE BIRKHOFF A PARTIR DE UNA FORMULACION VARIA

CIONA.L ASOCIADA AL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.

AUTOR(ES): J.CARDONA PARDO Y A.SAMARTIN QUIROGA.

CENTRO DE TRABAJO: Universidad de ~Q.tander.

RESUMEN: Como es c o nocido¡ no siempre admite solución el problema

de inte r polaci6 n poliri6mica de Birkhoff. En este trabajo

se presenta un mét~do como alternativa a e ste tipo de p r2

blemas para l a obtención de interpolantes con unas condi­

cione s d e continu i dad determinadas y en el cual el criterio

de apro x imaci6n es el de minimización de un cierto funcio­

nal r ea l u t i l izando el método de los elementos finito s . Se

~escribe e l mé todo e mpleado y s e analizan diversos ejemplos

de apl icaci6n para las s ituaciones 1-D y 2~0.