Intro, Cap1

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    SINPSIS DEL CONTENIDO

    UNIDAD I Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

    UNIDAD II Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

    UNIDAD IIITransformadas de Laplace y Sistema de EcuacionesDiferenciales Lineales.

    ESTRATEGIAS GENERAL DE INSTRUCCIN

    y Clases terico prctico

    y Clases especficas de ejercicios, donde el estudiante muestre en s, ellogro de los objetivos propuestos

    y Horas especficas para consultas individuales con los alumnos

    BIBLIOGRAFA- BOYCE DIPRIMA. Ecuaciones diferenciales elementales y problemas decontornos. Limusa 1977.- MAKARENKO. Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. EditorialMIR Mosc 1972.- RAINVILLE BEDIENT. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Interamericana1977.- ROBERTS, CH. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Interamericana 1977.- ROOS. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Editorial Interamericana1985.

    -D. ZILL, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Wadsworth Internationa l/Iberoamrica 1982-D. SNCHEZ, Ordinary Differential Equations and Stability Theory. W. H.Freeman and Company 1968-C. EDWARDS,Jr. and D. PENNEY. Ecuaciones diferenciales elementales conaplicaciones. Printece-Hall Hispanoamericana 1986

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    2.5.1.1 Ejercicios2.5.2 Ecuaciones Lineales No Homogneas con Coeficientes Constantes.2.5.2.1 Mtodo de Coeficientes indeterminad os

    2.5.2.1.1 Ejercicios2.5.2.2 Mtodo de Variacin de Parmetros.

    2.5.2.2.1 Ejercicios

    2.5.3 Ecuaciones Lineales con Coeficientes Variables.2.5.3.1 Mtodo de Reduccin de Orden.2.5.3.1.1 Ejercicios

    2.5.4 Ecuacin de Euler - Cauchy2.5.4.1 Ejercicios

    UNIDAD III: TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SISTEMAS DEECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

    3.1 Objetivo Didctico3.2 Transformada de Laplace. Definicin.3.2.1 Ejercicios.

    3.3 Teorema de Linealidad.3.4 Inversa de la Transformada de Laplace.3.4.1Propiedad de Desplazamiento3.4.2Ejercicios3.5 Funcin Escaln Unitario.3.5.1 Ejercicios3.6Convolucin. Definicin. Propiedades3.7 Aplicaciones. Problemas de Valor Inicial3.7.1 Ejercicios3.8 Transformada de la Derivada3.9 Integracin de Transformadas3.10 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales3.10.1 Ejercicios

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    UNIDAD I

    ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

    ORDEN

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    1.1 OBJETIVO DIDCTICO: Adquirir los conocimientos esenciales deecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, que permitan formularsoluciones a problemas, tanto tericos como aplicados, los cuales conducen aplantear modelos matemticos, mediante el uso de tales ecuaciones.

    1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES

    Hay problemas de la vida diaria que se pueden modelar por una ecuacin en laque la incgnita es una funcin y entre las operaciones que se realizan seencuentra la derivada (ordinaria y parcial).

    Por ejemplo;

    (1) Determinar el tamao de la poblacin en cada instante t suponiendo quela tasa de nacimiento es directamente proporcional a la poblacinpresente en cada instante t y la poblacin inicial es p 0

    Entonces

    !

    !d

    0

    21

    )0(

    )(

    1.)(.)(

    pP

    tPktPktP

    (2) Sea )(tx la posicin de una partcula en el instante t. se conoce de la

    cinemtica que si la aceleracin es constante y el movimiento rectilneoentonces la velocidad es

    Entonces

    0)0(

    )(

    x

    atvtx o

    1.3 DEFINICIN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL

    Definicin (1): Una Ecuacin Diferencial definida en una regin nR esuna ecuacin de la forma

    0),,,,,,( 101 !kffxxTF--

    Para todon

    nxx ),,( 1 - donde las funciones jf son algunas de las

    derivadas parciales de algn orden de la funcin T con respecto a algunas (o

    todas) las variables nxx ,,1 - . Si n > 1 la ecuacin diferencial se llamaEcuacin Diferencial en Derivadas Parciales.Definicin (2): ecuacin en la que interviene una variable dependiente y susderivadas con respecto a una o mas variables independientes.

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    Ejemplo:

    a) Senxxydx

    yd!

    2

    2

    b) Cosxexyxyxy x.)(.3)()( )2()3( !d

    c) 02

    2

    2

    2

    2

    2!

    x

    xx

    xx

    xz

    u

    y

    u

    x

    u

    1.4 CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

    Las ecuaciones diferenciales se clasifican de distintas formas segn suspropiedades, se clasifican de la siguiente mane ra:

    Segn su tipo:

    Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): es aquella en la que solo existeuna variable independiente, de manera que todas las derivadas que aparecenen ella son derivadas ordinarias.

    Ejemplo:

    a) )(xLnxydx

    dy!

    b) Cosxexyxyxyx .)()()( !dddddd

    Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP): aquellas donde la ecuacincontiene derivadas de una o ms variables dependientes con respecto a mas

    de una variable independiente.

    Ejemplo:

    a) 02

    2

    2

    2

    2

    2

    !x

    x

    x

    x

    x

    x

    z

    u

    y

    u

    x

    u

    b) 0!x

    x

    x

    x

    t

    u

    s

    u

    Segn su orden:

    Segn el orden de la derivada. Orden uno, dos, tres, superior (cuando el ordende la derivada es mayor a uno).

    Ejemplo:

    a) )(xnxydx

    dy! Orden uno.

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    b) 02

    2

    2

    2

    2

    2

    !x

    x

    x

    x

    x

    x

    z

    u

    y

    u

    x

    uOrden dos. (Orden Superior)

    c) Cosxexyxyxy x.)(.3)()( )2()3( !d Orden tres (orden Superior)

    d) 0,

    4

    22 "!

    xCosxy

    dxdy

    dx

    yd Orden dos, ya que el mayor orden de

    derivacin es dos, sin importar el exponente (en este caso es 4)

    e) 0,).(

    4

    2

    2

    !

    xCosxy

    dx

    dy

    dx

    ydxx Orden uno. El trmino

    0! xx si 0x . Y por lo tanto podemos escribirla como

    0, ! xCosxydxdy

    . Este ejemplo muestra que cuando tenemos unaecuacin diferencial es importante saber en que intervalo estamos trabajando.

    Segn su grado: lo define el mayor exponente de la ecuacin diferencial.

    Ejemplo:

    a) 0,

    4

    2

    2

    "!

    xCosxy

    dx

    dy

    dx

    ydGrado 4.

    Segn su Linealidad: una ecuacin ordinaria es lineal de orden n en unintervalo RJ si es de la forma.

    )()().()()()()()()( 011

    1 xhxyxaxyxaxyxaxyxan

    n

    n

    n !d

    .

    Donde haaaa nn ,,,,, 011 - son funciones continuas en el intervalo y

    0)( {xan en dicho intervalo.

    A su vez, una ecuacin diferencial lineal posee las siguientes propiedades:

    - No debe aparecer la variable dependiente como argumento de otra funcin.- No deben aparecer producto de la variable dependiente por si misma y porsus derivadas.- Debe haber una sola variable dependiente y una independiente.

    Ejemplo:

    a) )(xnxydx

    dy! Lineal de orden uno.

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    b) 0,

    4

    2

    2

    "!

    xCosxy

    dx

    dy

    dx

    ydNo lineal, el exponente 4 es lo que

    hace que la ecuacin no sea lineal.

    1.5 SOLUCIN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIA

    Definicin: una funcin J se llamar solucin o solucin particular de la EDO

    ),,,,( )1()( d! nn yyyxfy - en el intervalo RJ si:a) J : RJp es una funcin.

    b) )(,,, nJJJ -ddd existen.

    c) ))(,),(),(,()( )1()( xxxxfx nnd! JJJJ - para todo Jx .

    En otras palabras si la funcin satisface a la ecuacin diferencial.

    Al conjunto de todas las soluciones de la EDO en algn intervalo J se llamasolucin general de la EDO cuando aparece la constante de integracin C sinningn valor conocido, y si no aparece esa constante o se conoce su valor se ledenomina solucin particular. Decimos que una solucin esta dadaexplcitamente si la variable dependiente esta despejada, en caso contrariodecimos que esta escrita implcitamente.

    Ejemplo:

    a) La funcin xecx 2.)( !J , c es constante, es solucin general de la

    EDO yy 2!d en x. Pues, )(.2).(2)(2

    xecx

    x

    JJ !!d

    quesatisface a la EDO. Observemos que dicha solucin esta escritaexplcitamente. Por otra parte si tenemos la solucin escrita

    cxex !)(.2 J , decimos que esta escrita implcitamente.

    Cuando nos encontramos con problemas de valor inicial, es decir, que tengan

    condicin inicial 00 )( yxy ! , la solucin de la EDO es una solucin particular.Siguiendo con el ejemplo anterior, si tenemos condicin inicial 1)0( !J , la

    solucin serx

    ex 2)(!J la cual es particular, ya que no aparece la constante

    de integracin como incgnita.

    1.6 Resumen

    Una ecuacin diferencial es una ecuacin donde aparece la operacinderivacin y se tiene que encontrar las funciones que satisfacen dicha ecuacin(si existen).

    Las ecuaciones las clasificamos de acuerdo al siguiente esquema:

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    Linealidad

    Grado

    SuperiorOrden

    UnoOrdenOrden

    Ordinaria

    arcialTipo

    DifEc.

    Solucin de una ecuacin, es cualquier funcin que satisface la ecuacindiferencial y la clasificamos de acuerdo al cuadro siguiente:

    plicitas

    xplicitas

    Particular

    eneralSolucion

    Im

    1.7 EJERCICIOS

    1. Verifique si la funcin o funciones son solucin de la E. D dada, y seale silas soluciones estn escritas en forma explcita o implcita:

    a. 1.3)( !d! xyycexx xJ

    b. 0.12.7.5.2)(43 !ddd! yyyeexy xx

    c.22 .4.2.37.6.2)( xyyyxxexf

    x !ddd!

    d. 0.2..)( !ddd! yyyexcxy x

    e. 02.4).1(1

    1)(

    2

    22

    2!

    ! y

    dx

    dyx

    dx

    ydx

    xxf

    f. ).(..1

    ..)( PbaP

    dt

    dP

    ecb

    ecatP

    at

    at

    !

    !

    g. 016)4(.)()4(.)( 21 !dd!! yyxCosbxxSenax JJ

    h. 04.5.)(.)()( 2222

    1 !ddd!! yyxyxxLnxxyxxy

    2. Determine los valores de m tales quemx

    ey ! sea solucin de cada E. D:

    a. 065 !ddd yyy b. 02510 !ddd yyy c. 02 !d yy

    3. a. Demuestre que 21 xy ! y3

    2 xy ! son solucin de

    0642 !ddd yyxyx .

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    b. Son tambin soluciones 1.ya y 2.yb con a y b constantes arbitrarias.

    c. La suma de 21 yy es solucin?

    1.8 TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE PICARD

    Es natural hacerse las siguientes preguntas:

    Cundo un problema de valor inicial tiene solucin? Cundo un problema de valor inicial que tiene solucin, tiene solucin

    nica?

    Teorema (Picard). Sea R una regin rectangular en el plano xy, definida por

    dycbxa eeee , que contiene al punto ),( 00 yx en su interior. Si

    ),( yxf yy

    f

    x

    xson continuas en R , entonces existe un intervalo - con centro

    en 0x y contenido en ? A,,ba y una nica funcin )(xy J! que satisface elproblema de valor inicial.

    !

    !d

    00 )(

    ),(

    yxy

    yxfy

    Para todo -x .

    Un conocido teorema de Peano asegura que la continuidad de ),( yxf en R

    es suficiente para garantizar la existencia de al menos una solucin del

    problema ),( yxfy !d sujeto a la condicin inicial 00 )( yxy ! , si ),( 00 yx

    est en el interior de R .

    Ejemplo:

    1) Determine la regin del plano xy que garantice la existencia de al menosuna solucin de la ecuacin diferencial dada

    yx

    y

    dx

    dy

    !

    y

    x

    d

    c

    a b

    R

    (x0, y0)

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    Solucin:

    Tenemos que la funcinyx

    yyxf

    !),( , donde se sabe que su dominio en

    el plano xy es _ ayxyx { /),( 2 , a su vez

    2)( yx

    x

    y

    f

    !

    x

    x, tambin tiene como dominio _ ayxyx { /),( 2 , por lo

    que en todo el plano xy menos en donde x = y, se garantiza que existe almenos una solucin de la ecuacin diferencial

    1.9 EJERCICIOS

    1. Para cada problema de valor inicial halle un rectngulodycbxa eeee , en el cual se pueda garantizar la validez del Teorema de

    Picard.

    a. 4)1(, !!d yxyy

    b. 1)1(,).2( !!d yyxyxy

    c. 0)0(,12 !!d yyy

    1.10 MTODOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES DEPRIMER ORDEN

    Tenemos:

    1.10.1 SEPARACIN DE VARIABLES:

    Sea la ecuacin E. D )().( yhxgdx

    dy! , o

    )(

    )(

    yh

    xg

    dx

    dy! donde cada una de las

    funciones )()( yhxg dependen de una sola variable; se procede entonces

    a separar variables.

    Pasos a seguir:

    1.-

    Se separan variables dxxgyh

    dy

    yhxgdx

    dy

    ).()()().(!!

    dxxgdyyhyh

    xg

    dx

    dy).().(

    )(

    )(!!

    2.- Integrar ambos lados de la igualdad de la E. D con respecto a la variable

    independiente ! dxxfdxdx

    dy).(.

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    3.- Simplificar dx de la primera integral ! dxxfdy ).( .4.- Integrar Cxy ! )(

    C constante de integracin de la integral indefinida.)(x funcin solucin de la E. D.

    Ejemplo:

    Resolver la ecuacin yxy .!d

    Solucin: la ecuacin toma la forma yxdx

    dy.! , es una ecuacin separable.

    Entonces resolviendo !!! cx

    ydxxy

    dydxx

    y

    dy

    4..

    2

    En este caso se puede tener una forma explcita de estas solucin gene ral, yaque al despejar la variable dependiente (y) resulta

    Rccxy

    ! ,4

    22

    1.10.1.1 EJERCICIOS:

    1. Resuelva la EDO por separacin de variables:

    a. 03 ! dyedx x b. 0)1( 2 ! dxydy

    c. yxyx eedx

    dyye

    ! 2. d.2

    54

    32

    !

    x

    y

    dx

    dy

    e. 0).3(.2).3(3 ! dyxCosydxxSen f. ).( aQk

    dt

    dQ!

    g. 0..)1(..)1( 32 ! dyeedxee xxyy

    h. 2..! tetNN

    dt

    dNi.

    842.

    33.

    !

    yxyx

    yxyx

    dx

    dy

    2. Resuelva la E. D por separacin de variables con valor inicial:

    a. 1)();1(44

    2 !! Txxdt

    dxb. 2)2(;

    1

    1

    2

    2

    !

    ! yx

    y

    dx

    dy

    1.10.2 CAMBIO DE VARIABLE:

    Se define una nueva variable en trminos de las variables dadas y luego sereescribe la E. D en trminos de una nueva variable indep endiente. Al final paradar la solucin se debe devolver el cambio.

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    Pasos a seguir:

    1.- Se aplica el cambio de variable )(),(),( ufyxfyxfdx

    dy!!

    Luegodx

    dx

    dx

    du

    dx

    dy

    dx

    dy

    dx

    dx

    dx

    du!!

    2.- Se procede con los mtodos anteriores; primero se aplica separacin devariable, segundo integracin directa y por ultimo se devuelve el cambio devariable.

    Ejemplo:

    Resolver la ecuacin 2)3( ! yxdx

    dy

    Solucin: se observa que por separacin de variable no se puede resolver yaque la funcin involucrada en el ejercicio es de dos variables, por lo tantoaplicamos el cambio de variable, quedando

    11

    113

    22 !!

    !!!

    udx

    duu

    dx

    du

    dx

    du

    dx

    dy

    dx

    dy

    dx

    duyxu

    Ahora aplicamos separacin de variables

    !!

    !

    cxugdx

    u

    dudx

    u

    du)(tan

    11

    1

    22

    )(tan3)(tan cxgyxcxgu !!

    Escribiendo en forma explcita es 3)(tan ! xcxgy

    1.10.2.1 EJERCICIOS:

    1. Resuelva la E. D por Cambio de variable:

    a. 2)1( ! yxdx

    dyb. )(

    2yxang

    dx

    dy!

    c. 322 ! xydxdy d. 51 ! xye

    dxdy

    2. Resuelva la E. D por Cambio de variable con valor inicial:

    a.4

    )0();( T!! yyxCosdx

    dyb. 1)1(;

    223

    23!

    ! y

    yx

    yx

    dx

    dy

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    1.10.3 FUNCIN HOMOGNEA:

    Una funcin se dice homognea de grado n si ),(),( yxftytxf ! , significaque las variables yx , se sustituyen por tytx, respectivamente, sacando

    luego el factor comn nt quedando la funcin original.

    Pasos a seguir:

    1.- Probar que la funcin ),( yxfdx

    dy! es homognea.

    2.- Hacer el siguiente cambio de variable: ,.xuyx

    yu !! luego

    uug

    du

    x

    dx

    dx

    duxu

    dx

    dyxyg

    dx

    dy

    !!!

    )(.)/(

    3.- Luego se aplican los dos primeros mtodos, devolviendo el cambio.

    Ejemplo:

    Resuelva la ecuacinxy

    xyy

    2

    22 !d

    Solucin: probando que la funcin es homognea tenemos,

    ),(),(

    2)2(

    )(),(

    ...2

    ..

    )..2(

    )()(),(

    2),(

    22

    2

    222

    2

    22222222

    yxftytxf

    xy

    xy

    xyt

    xyttytxf

    yxt

    xtyt

    tytx

    txtytytxf

    xy

    xyyxf

    !

    !

    !

    !

    !

    !

    Cumple con la definicin.

    Ahora, se realiza el cambio y nos quedau

    uux

    dx

    du

    2

    1.

    2 !

    Separando variables, resolviendo tenemos

    22

    2

    12

    12

    122

    2

    .

    1.)1(.

    )1ln(1lnln.1

    2

    yx

    xxk

    x

    yxkuex

    uucxduu

    u

    x

    dx

    c

    !

    !s!

    !!

    !

    Es una solucin general escrita de forma implcita.

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    1.10.3.1 EJERCICIOS:

    1. Resuelva la E. D aplicando el mtodo para ecuaciones Homogneas con lasustitucin adecuada:

    a. 0.).( ! dyxdxyx b. 0)( 22 ! dyxdxyxy

    c.xyxy

    dxdy

    ! d. 22. yxy

    dxdyx !

    2. Resuelva la E. D aplicando el mtodo para ecuaciones Homogneas con lasustitucin adecuada y valor inicial:

    a. 2)1(;..332 !! yxy

    dx

    dyyx

    b. 0)1(;0.).( !! ydyexdxeyx xy

    xy

    1.10.4 ECUACION DIFERENCIAL EXACTA:

    La expresin 0).,().,( ! dyyxdxyxM se le denomina exacta si y solo

    six

    yx

    y

    yxM

    x

    x!

    x

    x ),(),(.

    Pasos a seguir: 1.- La EDO debe estar de la forma 0).,().,( ! dyyxNdxyx , paraverificar si es exacta.

    2.- Calcular dxyxM ).,( dyyx ).,( Si )(),().,( yyxFdxyxM J! Si )(),().,( xyxdyyxN J!

    3.- Se determina )(yJd )(xJd , dependiendo de lo calculado en (2) y seiguala a la funcin ),( yx ),( yxN no usada en el paso anterior.

    Ejemplo:

    Si )(),(),(

    )(),().,( yyxFy

    yxFyyxFdxyxM JJ dd!

    x

    x!

    Luego ),(),()(),()(),( yxyxNyyxNyyx d!d!dd JJ

    4.- Se calcula )(yJ ,integrando ambos lados de ),(),()( yxyxNy d!dJ ; es decir

    ? A !d!d CydyyxFyxdyy )(.),(),().( JJ

    5.- Se da la solucin implcita Cyxf !),(

  • 8/9/2019 Intro, Cap1

    16/25

    Ejemplo:

    Resolverla ecuacin 0).3cos()..2( 223 ! dyeyyxdxeysenyx xx

    Solucin: verificamos si es exacta

    xxeyyxyxNeysenyxyx 223 3cos),(,.2),( !!

    xxeyyx

    x

    yxNeyyx

    y

    yx 223cos2

    ),(,3cos2

    ),(!

    x

    x!

    x

    x

    Observamos que es exactax

    yxN

    y

    yx

    x

    x!

    x

    x ),(),(

    Ahora, !! )()2().,(323

    yeysenyxdxeyxsenydxyxxx J

    cyyeyyxyeyyx xx !!d!d )(0)(3cos)(3cos 2222 JJJ

    Por lo tanto la solucin general en forma implcita es ceysenyx

    x ! 32

    1.10.5 ECUACION DIFERENCIAL NO EXACTA:

    La expresin 0).,().,( ! dyyxNdxyx se le denomina no exacta si y

    solo six

    yxN

    y

    yx

    x

    x{

    x

    x ),(),(.

    Pasos a seguir: 1.- Verificar que la EDO no es exacta.

    2.- Buscar un factor integrante:

    dxx

    N

    y

    Nexu

    .1

    )(

    !

    -

    x

    x

    x

    x

    dy

    y

    x

    N

    eyu.

    1

    )(

    !

    -

    x

    x

    x

    x

    3.- Multiplicar el factor integrante por la E. D no exacta para hacerla exacta.4.- Resolver aplicando los pasos de la E. D exacta.

    Ejemplo:

    Resolver la ecuacin 0).2().145( 22 ! dyxyxdxyxy

    Solucin: Se verifica si es o no exacta

    xyxyxyxyyxM 2),(,145),( 22 !!

    yxx

    yxNyx

    y

    yx22

    ),(,85

    ),(!

    x

    x!

    x

    x

  • 8/9/2019 Intro, Cap1

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    Observamos que no es exactax

    yxN

    y

    yx

    x

    x{

    x

    x ),(),(

    Al no ser exacta hay que determinar un factor integrante que la haga exacta,entonces

    ? A33

    )22()85(.22

    1

    )()( xexuexuxLn

    dxyxyxxyx !!

    !

    Ahora se multiplica la ecuacin por el factor integrante calculado y se trabajacomo en el caso de ecuacin diferencial exacta.

    Por lo que la solucin es cx

    yxyx !4

    4245

    1.10.5.1 EJERCICIOS:

    1. Determine si la ecuacin respectiva es Exacta, de ser as resulvala:

    a. 0).73().12( ! dyydxx b. 0).4.2().3.2( 22 ! dyyxdxyx c. 0).)(.)(()).(.)(( ! dyyyCosxxCosdxxSenyySen

    d. 0)3(.34.)3(1

    23

    2!

    xSenyxx

    y

    dx

    dyxCos

    xy

    e. 0.3).( 233 ! dyyxdxyx f. 26.2. xyexdx

    dyx x !

    g. 0)).().(()).().()(( ! dyyCosxCosdxySenxSenxTang

    2. Determine el valor de k para que la EDO sea Exacta:

    a. 0)...20.3().2..( 32243 ! dyyxyxdxxyxky

    b. 0)).(....2()).(.6( 223 ! dyySenxyxkdxyCosyx

    3. Verifique que la EDO no es Exacta. Multiplique por el factor integranteindicado ),( yxu y compruebe que la ecuacin resultante es exacta:

    a. yxyxudyxCosxdxxCosyxSenyx .),(;0).(.2)).(.2)(..( !!

    b.

    22222

    )(),(;0).2()..2(

    !!

    yxyx

    udyxxyydxyyxx

    4. Resuelva la EDO encontrando un factor integrante adecuado:

    a. 0..2).32(2 ! dyyxdxxy b. 0).2().1( ! dyyxdxyxy

    c. 0.2).610(3 ! dydxey x d. 0).()

    21().( ! dyxSen

    ydxxCos

  • 8/9/2019 Intro, Cap1

    18/25

    1.11 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

    La forma en que se presenta es )1()().( xqyxpdx

    dy! en su forma

    diferencial .0.)().( ! dxxqyxpdy

    Si la funcin 0)( !xq (1) se transforma en una E. D con variables separables,

    llamndose E. D lineal homognea. En caso que 0)( {xq , se resuelve por elmtodo llamado Factor Integrante.

    1.11.1 MTODO DEL FACTOR INTEGRANTE:

    Sea .0.)().( ! dxxqyxpdy una E. D lineal homognea:

    Pasos a seguir:

    1.- Dividir por dx toda la ecuacin; quedando )().( xqyxpdx

    dy! .

    2.- Calcular el factor integrante: !dxxp

    exu).(

    )(

    3.- Determinar la solucin general por medio de

    - !

    dxexqey

    dxxpdxxp ).().().(. ? Adxxuxqxuy ! ).().(.)(1

    Ejemplo:

    Resolver la ecuacin xy

    xdx

    dy3.

    1!

    Solucin: Observamos que la ecuacin esta escrita de forma lineal por lo tanto

    podemos determinar ax

    xp1

    )( ! .y xxq 3)( !

    Ahora calculamos el factor integrante xeexux

    ndx

    x !!

    !

    1

    )(

    Calculamos la solucin de la ecuacin ? A 1221 .3. !! xcxydxxxy 1.12 ECUACIN DE BERNOULLI:Cuando se nos presenta el caso de una E. D No Lineal para resolverladebemos hacerla Lineal, la clase mas importante de estas ecuaciones es de la

    forma kyxqyxpdx

    dy).().( ! , k .

    Estas ecuaciones se conocen como Ecuacin de Bernoulli, en honor a JakobBernoulli.

    i) Si 0!y , se obtiene una solucin de la ecuacin.

  • 8/9/2019 Intro, Cap1

    19/25

    ii) Si 0{y , se debe:

    1.- Dividir por toda la ecuacin por ky :

    )().(.)1(

    xqyxp

    dx

    dyy

    kk !

    2.- Hacer un cambio de variable )1( kyv !

    Dondedx

    dv

    kdx

    dyy

    dx

    dyyk

    dx

    dv kk.

    )1(

    1.).1(

    !!

    3.- Sustituir la nueva variable en la ecuacin que se obtuvo en el paso 1.

    Quedando )().(.)1(

    1xqvxp

    dx

    dv

    k!

    4.-

    Multiplicar esta nueva ecuacin por )1( k

    .

    5.- Resolver la ecuacin lineal resultante )().1().().1( xqkvxpkdx

    dv!

    por el mtodo de factor integrante.

    Ejemplo:

    Resolver la ecuacin 2..1

    yxyx

    y !d

    Solucin: escribamos la ecuacin de la forma 2..1

    yxy

    xdx

    dy!

    Aplicamos el mtodo de bernoulli, donde 2yyk !

    Entonces xyxdx

    dyy ! 12 .

    1.

    Hacemos el cambio de variable y nos queda

    xvxdx

    dvxv

    xdx

    dv

    dx

    dv

    dx

    dyy

    dx

    dyy

    dx

    dvyv

    !!

    !!!

    .1

    .1

    ..221

    Ahora, trabajamos como una ecuacin lineal y nos queda la solucin

    2

    1

    xcxy

    !

    1.12.1 EJERCICIOS

    1. Resuelva la E. D Lineal, dando la solucin general:

  • 8/9/2019 Intro, Cap1

    20/25

    a. ydx

    dy5! b. xey

    dx

    dy 3! c. 22 .3 xyxy !d

    d. 1..2 !d yxyx e. 52 2 !d xyy f. Senxxydx

    dyx ..

    2!

    g. 2.).1( xxyxdx

    dyx ! h. 0)..(4. 6 ! dyyxdxy

    i. 1).(. ! ySenxdx

    dyCosx j. 0).1.(..

    32 ! dxxCosydySenxxCos

    k. yxydx

    dyx .485)2(

    2 ! m. xeyxdx

    dyx

    3).13(.

    !

    2. Resuelva la E. D Lineal con valor inicial:

    a. 2)1(;. !!d yeyyx x b. 10)1(;).1( !! ynxydxdyx

    c. oo ymkmTkdt

    dT,;)0();.( !! constantes.

    3. Resuelva la E. D de Bernoulli dada empleando una sustitucin adecuada:

    a.2

    2.

    yy

    dx

    dyx ! b. 2.yey

    dx

    dy x! c. )1..( 3 ! yxydx

    dy

    d. 2.).1( yxyx

    dx

    dyx ! e. )1.(.2).1.(3 32 ! yyt

    dx

    dyt

    4. Resuelva la E. D de Bernoulli con valor inicial:

    a.2

    142 )1(;3.2. !! yyyxdx

    dyx b. 4)0(;1. 2

    32

    1!! yy

    dx

    dyy

    1.13 APLICACIONES. MODELOS MATEMTICOS

    Es la relacin estrecha que puede surgir en ciertos aspectos de la vida real quepueden ser asociados a E. D. entre los cuales tenemos:

    Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton. Propagacin de enfermedades. Crecimiento Biolgico o Poblacional. Mezclas. Inters compuesto.

    Hay expresiones del lenguaje coloquial que tiene una traduccin sencilla allenguaje matemtico. La siguiente tabla muestra la traduccin de algunas deesas expresiones.

  • 8/9/2019 Intro, Cap1

    21/25

    LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE MATEMTICOTasa, rapidez, velocidad, razn decambio de variable y con respecto a lavariable t dt

    dytyy ),(d!d

    A es directamente proporcional a B teconskBkA tan.! A es inversamente proporcional a B

    teconskk tan. 1!

    Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton

    La relacin es Temperatura con respecto al tiempo: ).( TmTkdt

    dT!

    Donde se involucraT Temperatura.Tm Temperatura del medio.k Constantet Tiempo.

    i) Si 0"k y TmT " , se va calentando.ii) Si 0"k y TmT , se va enfriando.iii) Si 0k y TmT " , se va enfriando.iv) Si 0k y TmT , se va calentando.

    Ejemplo:

    Un pastel es retirado del horno a 210 F y dejado enfriarse a la temperaturaambiente, 70 F. Despus de 30 minutos, la temperatura del pastel es de 140F. Cundo estar a 100 F?

    Solucin:

    Primero extraemos los datos del ejercicio

    ?100)(

    140)min30(

    210

    70

    0

    !r!

    r!

    r!

    r!

    tFtT

    FtT

    FT

    FTm

    !!!

    !!

    ).()70()70(

    .)70(

    )70.().(

    ctkTLndtkT

    dTdtk

    T

    dT

    Tkdt

    dTTmTk

    dt

    dT

  • 8/9/2019 Intro, Cap1

    22/25

    70..70

    )70( )70(

    !!

    !!

    ktkt

    ktTLn

    eBTBeT

    eeAktTLn

    ttLnt

    eeFtT

    eTk

    LnkeeFT

    eTBeBFT

    tt

    t

    kk

    tkk

    min67)140

    30(.023,0

    140

    3070.140100100)(

    70.140023,0

    )21(30

    1407070.140140140)30(

    70.14014070.210210

    .023,0.023,0

    .023,0

    3030.

    .0.0

    !!

    !!r!

    !!

    !!!r!

    !!!r!

    El pastel estar a 100F despus de 67 mint

    Propagacin de enfermedades. Crecimiento Biolgico o Poblacional

    La relacin es poblacin con respecto al tiempo: )(. tPkdt

    dP!

    Donde se involucran:P Poblacin.k Constantet Tiempo.

    i) Si 0"k la poblacin crece con respecto al tiempo.ii) Si 0k la poblacin decrece.

    Ejemplo:La poblacin de una comunidad crece a razn proporcional a la poblacin encualquier momento t. Su poblacin inicial es de 500 y aumenta 15% en 10aos. Cul ser la poblacin en 30 aos?

    Solucin:

    Primero extraemos los datos del ejerciciohabP 5000 !

    habPaost 5757550010 !!! ?)30( !aosP

  • 8/9/2019 Intro, Cap1

    23/25

    !!!! dtkP

    dPdtPkdPPk

    dt

    dPtPk

    dt

    dP...)(.

    761.500?)30(

    .500014,0

    500

    575.500575575)10(

    .500500.500500

    .).()(

    )30.(014,0

    .014,0

    1010.

    0.0

    !!!

    !!

    !!!

    !!!!

    !!!

    ePP

    ePk

    eeP

    ePBBeP

    BePePctkPLn

    t

    kk

    ktk

    ktAkt

    La poblacin dentro de 30 aos ser de 761 habitantes

    Mezclas

    La relacin es cantidad de concentracin de la mezcla con respecto al tiempo:

    XtV

    rcr

    dt

    dX oii .

    )(. !

    Donde se involucran:X(t) Cantidad de concentracin.

    )(tV Volumen de concentracin. trrt oio ).()( !

    o Volumen inicial.

    ir Entrada de fluido.

    or Salida de fluido.

    ic Concentracin.

    Ejemplo:

    ir

    or

  • 8/9/2019 Intro, Cap1

    24/25

    Un tanque contiene 100 litros (L) de una solucin de agua y sal, que consta de10 Kg de sal disueltos en agua. Se bombea dentro del tanque a razn de 6L/min una solucin que contiene Kg de sal por cada litro de agua, se extraea una razn de 4 L/min. Hallar la cantidad de sal que hay en el tanque encada instante t?

    Solucin:Primero extraemos los datos del ejercicio

    )(t Volumen de concentracin. ttt 2100).46(100)( !! 100!oV

    min/6Lri ! min/4Lro !

    LKgci /2/1!

    350

    2

    50

    .23

    2100.43

    2100.42/1.6.

    )(.

    !

    !

    !!!

    t

    X

    dt

    dX

    t

    X

    dt

    dX

    t

    X

    dtdX

    t

    X

    dtdX

    XtVrcr

    dtdX

    oii

    ? A

    2442

    22

    3222

    22)50()50(250

    2

    )50.(10*10)50()(10*10)50.(5010

    )050.()050(10)50.()50()(

    ))50.(()50()50.(3.)50(

    )50()(

    !!!!!

    !!

    !!!

    !

    tttXcc

    ctcttX

    cttXdtttX

    teeetutLntLn

    dtt

    La funcin resultante nos da la ecuacin que permite calcular la cantidad de salque hay en el tanque en cualquier instante t.

    Inters Compuesto

    La relacin es Cantidad de dinero con respecto al tiempo:

    rtSrdt

    dS)(.! tasa de inters

    Ejemplo:

    Se deposita una suma de dinero 0S en una cuenta bancaria que paga inters

    a una tasa anual r (con capitalizacin continua). Hallar el valor de r que produceuna duplicacin del capital inicial transcurrido 7 aos.

    Solucin:

  • 8/9/2019 Intro, Cap1

    25/25

    !!!! ).()(... ctrSLndtrS

    dSdtr

    S

    dSSr

    dt

    dS

    %.10

    10,0.7)2(2..27

    .

    .

    .77.00

    00.

    00

    .

    !

    !!!!!

    !!

    !

    r

    rrLneeSSaost

    SBeBSS

    eBS

    rr

    r

    tr

    El inters ser del 10% transcurrido 7 aos al haber duplicado el capital inicial.

    1.13.1 EJERCICIOS:

    a. En cualquier tiempo t la cantidad de bacterias en un cultivo crece a raznproporcional al nmero de bacterias presentes. Al cabo de tres horas se

    observa que hay 400 individuos. Despus de 10 horas hay 2000 especimenes.Cul era la cantidad de bacterias inicial?

    b. Un termmetro se lleva del interior de una habitacin al exterior, donde latemperatura del aire es 5 F. Despus de un minuto, el termmetro indi ca 55F; 5 minutos despus marca 30 F. Cul era la temperatura del interior?

    c. Si una barra metlica pequea, cuya temperatura inicial es de 20 C, se dejacaer en un recipiente con agua hirviente con una temperatura de 120C,Cunto tiempo tardar en alcanzar 90 C si se sabe que su temperaturaaument 2 C en un segundo? Cunto tiempo tardar en llegar a 98 C?

    d. Un cultivo bacterial se multiplica en cada instante t (medido en horas) conrapidez proporcional al nmero de bacterias presentes en dich o instante. Si alcabo de una hora el cultivo aument 50%, calcule el tiempo necesario para queel cultivo se quintuplique.

    e. Se disuelve inicialmente 50 libras (lb) de sal en un gran tanque que contiene300 galones (gal) de agua. Se bombea salmuera al t anque a razn de 3gal/min; y luego la solucin adecuadamente mezclada se bombea fuera deltanque tambin a razn de 3 gal/min. Si la concentracin de la solucin queentra es de 2 lb/gal, determine la cantidad de sal que hay en el tanque en uninstante cualquiera. Cunta sal hay despus de 50 min? Cuanta despus deun tiempo largo?

    f. En una cuenta de ahorros se depositan 5000 Bsf a un inters compuesto, quese capitaliza continuamente, del 5 % anual. Calcule la cantidad de dineroacumulada despus de 5 aos. En cuantos aos se duplicar la sumadepositada inicialmente?