Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
154
INTRODUCCIÓN
La asignatura de Matemáticas II, es la segunda de un conjunto de cuatro, que forman el campo de
las matemáticas, su antecedente es la asignatura de Matemáticas I. En esta primera asignatura de
bachillerato, los estudiantes aprendieron a plantear y resolver problemas en distintos ámbitos de su
realidad, así como, justificar la validez de los procedimientos y resultados empleando el lenguaje
algebraico como un elemento más de comunicación. En el bachillerato, se busca consolidar y
diversificar los aprendizajes y desempeños adquiridos, ampliando y profundizando los
conocimientos, habilidades, actitudes y valores relacionados con el campo de las matemáticas,
promoviendo en matemáticas I, el uso de representaciones y procedimientos algebraicos para
resolver situaciones de su entorno, que impliquen el manejo de magnitudes, variables y constantes;
en las asignaturas consecuentes, este desempeño se fortalecerá con el manejo de las relaciones
funcionales entre dos o más variables, mismas que permitirán al estudiante modelar situaciones o
fenómenos, y obtener, explicar e interpretar sus resultados: En matemáticas II, con relación a
magnitudes físicas, espaciales o aleatorias; en matemáticas III, mediante el cambio y la equivalencia
entre representaciones algebraicas y geométricas; y finalmente en matemáticas IV, mediante el
empleo de relaciones funcionales.
Desde el punto de vista curricular, cada materia de un plan de estudios mantiene una relación
vertical y horizontal con el resto, el enfoque por competencias reitera la importancia de establecer
este tipo de relaciones al promover el trabajo disciplinario, en similitud a la forma como se
presentan los hechos reales en la vida cotidiana. En este caso, todas las matemáticas del
componente básico, retroalimentan a las asignaturas del campo de las ciencias experimentales
como: física, química y biología y constituyen un apoyo en las materias de las ciencias sociales.
155
UNIDAD I. UTILIZAS
TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y
RELACIONES MÉTRICAS
1.1 Elementos de la Geometría Euclidiana.
La palabra geometría tiene su origen en el vocablo griego geos, que significa tierra y metrein, que
significa medir. Surgió a partir de la necesidad práctica de resolver problemas relacionados con la
medida, dimensiones y deslinde de los terrenos.
Remontando al pasado con el invento de la rueda por los sumerios (3500 años a. C.), mostraban
figuras geométricas; siendo adaptada la rueda por parte de los babilonios a sus carros con fines
bélicos, lo que propició que con el uso de este artefacto, se descubriera la relación entre la
circunferencia y su diámetro.
Los egipcios realizaron divisiones constantes de la tierra, (probablemente esto tuvo que ver con la
etimología de la palabra geometría que significa “medida de la tierra”). Los conocimientos en
geometría fueron aplicados en la construcción de las pirámides, así como en el cálculo de las áreas
del triángulo isósceles y del círculo, con lo que se determinó un valor aproximado para π (3.116).
Los griegos, al haber reemplazado la observación y la experimentación por deducciones lógicas,
fundaron la geometría como ciencia.
Tales de Mileto (624-546 a. C.). Entre sus estudios sobre proporcionalidad de segmentos
determinados en dos rectas por un sistema de paralelas, destacan los teoremas que llevan su
nombre, pues dichos estudios representaron el inicio de la geometría como ciencia.
Pitágoras de Samos (570-496 a. C.). Discípulo de Tales y descubridor de la relación a2=b
2+c
2 para
cualquier triángulo rectángulo, así como su demostración, fundador de la escuela pitagórica, de la
cual, se obtiene la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo.
Euclides (330-275 a. C., aproximadamente). Se establecen las bases de lo que se conoce como
geometría clásica; su obra “Los elementos” fue tan exitosa que a su aportación se le conoce como
“Geometría Euclidiana”.
156
1.1.1 Términos no definidos de la geometría.
En la geometría se utilizan diversos términos para realizar descripciones o hacer referencias a
objetos de uso común; los cuales se mencionan a continuación:
Término Características Figura
Punto Carece de dimensiones y sólo
tiene posición. Se representa
por • y se designará
colocando una letra
mayúscula próxima al
símbolo
•P
Línea Presenta una sola dimensión:
la longitud. Se representa
mediante un trazo y su
designación es a través de
dos letras mayúsculas
correspondientes a dos
puntos cualesquiera por
donde pase.
Superficie Posee dos dimensiones:
longitud y anchura. Para
representarla se trazan líneas
que la limitan, y se designará
con una letra mayúscula
dentro de una región
limitada.
1.2 Ángulos.
Un ángulo es la abertura existente entre dos rectas que se tocan en un punto. La recta y la se
tocan en O; a este punto se le denomina vértice. El ángulo se puede escribir como: ˂AOB = ˂β
(generalmente se utiliza una letra del alfabeto griego).
A
A
O
B
157
1.2.1 Clasificación de los ángulos por sus medidas.
De acuerdo con su abertura los ángulos reciben nombres específicos, se ubican en algún rango sin
necesidad de realizar la medición de éstos, lo que permite su fácil localización en las figuras
geométricas:
Ángulo Medida Figura
Agudo Menor de 90°
Recto Mide 90°
Obtuso Mayor de 90° pero menor
que 180°
Llano Mide 180°
Entrante Mayor que 180° pero menor
que 360°
Perígono
1 Mide 360°
1 Se obtiene al hacer girar la semirrecta hasta colocarla en su posición inicial.
158
Con base en la abertura de cada ángulo se puede definir la perpendicularidad de dos rectas:
Las rectas perpendiculares son aquellas que al cortarse forman ángulos rectos y se representa
por el símbolo ┴.
La siguiente figura ilustra dos rectas perpendiculares:
y es perpendicular a
Por lo tanto:
1.2.2 Clasificación de los ángulos por
su posición.
Si se consideran la suma de las medidas de
los ángulos, se encontrarán dos casos
particulares. Los ángulos complementarios
y los ángulos suplementarios
Complementarios
Son dos ángulos adyacentes, esto es, que
tienen un lado en común. La suma de sus
aberturas es igual a un ángulo recto o 90°.
Si α1+α2 = 90°, entonces α1 y α2 son complementarios.
Suplementarios
Dos ángulos adyacentes son suplementarios si su suma es igual a la suma de dos ángulos rectos (es
decir, si ambos ángulos suman 180°). Si α + β = 180°, entonces α y β son ángulos suplementarios.
D
B C
A
O
A C
B
α2
α1
C
α β
B A
159
1.3 Triángulos.
Se le llama triángulos a las figuras geométricas planas que poseen tres lados. Se pueden clasificar
por la medida de sus lados o por la abertura de sus ángulos.
1.3.1 Por la medida de sus lados.
Tabla 1.3 Clasificación de los triángulos según sus medidas
Triángulo Descripción Figura
Equilátero Presenta tres lados que
miden lo mismo
Isósceles Dos de sus lados son iguales
Escaleno Sus tres lados son
totalmente diferentes.
1.3.2 Por la abertura de sus ángulos.
Considerando la abertura de los ángulos que forman los lados de un triángulo, estos se clasifican en:
1. Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto (90°).
160
2. Triángulo Obtusángulo: presenta un ángulo obtuso.
3. Triángulo acutángulo: sus tres ángulos son totalmente agudos.
4. Triángulo oblicuángulo: aquél que no es rectángulo, ya que no tiene ningún ángulo recto.
5. Triángulo Equiángulo: tiene sus tres ángulos iguales.
1.3.3 Propiedades relativas de los triángulos.
Los lados del siguiente triángulo son los segmentos de recta o c, b y a,
respectivamente.
Presenta tres ángulos internos: indicados con las letras griegas α, β y ϒ.
Los ángulos externos son los que se forman entre la continuación de un lado y su lado contiguo,
marcados por las letras griegas Ƞ, π, Ѳ.
Ѳ
ϒ
β
π
a
C
B
b Ƞ
α
c
A
161
1.3.3.1 Propiedades de los ángulos de un triángulo.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°
De acuerdo a la figura anterior, se establece que α+β+ϒ = 180°.
La suma de los ángulos externos del triángulo es de 360°, los ángulos de la figura anterior
su suma sería Ѳ+π+Ƞ = 360°.
El ángulo externo mide lo mismo que la suma de los ángulos internos no adyacentes a éste:
1.3.3.2 Propiedades de los lados de un triángulo.
Para un triángulo con lados a, b y c, se cumple que:
1. La suma de dos de sus lados es mayor que el tercero, es decir:
a + b > c
a + c >b
b + c >a
2. La resta de dos de sus lados es menor que el otro lado.
a – b < c
a – c < b
b – c < a
Ejemplo:
Una lámpara de mano ilumina un terreno en forma triangular. Los fabricantes indican que el ángulo
de proyección de la lámpara es el doble que el de su modelo anterior. ¿Cuál es la abertura del
ángulo de proyección del modelo anterior?
En la figura:
Ƞ= ϒ+β
π= α+ϒ
Ѳ= α+β
2x
x - 3 2x+33
162
De acuerdo a la figura, el ángulo de proyección de la lámpara es 2x, por lo tanto, el modelo anterior
presentaba un ángulo de proyección de la mitad, x. Para conocer el valor del ángulo de proyección
se procederá a encontrar el valor de x.
Los ángulos internos de un triángulo suman 180°, entonces, con los valores que se proporcionan se
puede establecer la siguiente igualdad:
Eliminando paréntesis y sumando términos iguales tenemos:
Despejando x de la ecuación nos dará el resultado que esperamos.
Lo que implica que el modelo anterior presentaba un ángulo de 30°.
Comprobación:
El resultado obtenido es correcto.
163
AUTOEVALUACIÓN 1 En la tabla que se presenta a continuación escribe en la segunda columna el término punto,
línea o superficie según corresponda a la descripción a la que hace referencia en la primera
columna. En la tercera justifica la respuesta proporcionada.
Descripción Término ¿Por qué?
Pantalla de un cine
Punta de un lápiz
Cuerda tensa
Cubierta de una mesa
Filo de una navaja
2 Con base en la clasificación de ángulos complementarios y suplementarios completa los
espacios en blanco según corresponda. Observa el ejemplo:
El complemento de 72° es 18°, ya que 72° + 18° = 90°
El suplemento de 45° es ________, ya
que
45° + =
El complemento de 34.5° es _______, ya
que
34.5° + =
El suplemento de 26.8° es _________,
ya que
26.8° + =
El complemento de 67° es _________,
ya que
67° + =
3 Calcula el valor de los ángulos restantes de los siguientes triángulos:
α
35°
β
164
x
X + 34
X _________________
X + 34 _______________
117°
α 43.5°
ϒ
β
Ѳ
α _________________
β _________________
Ѳ _________________
ϒ _________________
165
UNIDAD II. COMPRENDES LA
CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS
Un tema principal en la geometría es la congruencia de triángulos, es decir, cuando se trata de
figuras planas, no se dice que hay igualdad sino congruencia, siendo éste un término equivalente.
Refiere que un triángulo no es igual a otro, debido a que se tienen presentes dos triángulos y no uno
solo.
Supongamos que se tienen dos triángulos, uno con vértices ABC y otro con vértices en PQR, para
indicar la congruencia se escribe (el triángulo ABC es congruente al triángulo
PQR).
Los triángulos congruentes presentan exactamente la misma forma y las mismas dimensiones.
Cualquier pareja de triángulos congruentes tienen tres lados iguales y tres ángulos iguales.
Entonces para los triángulos congruentes ABC y PQR:
por lo que:
1. Todos los lados correspondientes son iguales entre sí, esto es:
2. Todos los ángulos correspondientes son iguales entre sí, por lo que:
Cuando todas las partes de dos triángulos se pueden hacer coincidir, los triángulos son congruentes.
Esto se escribe:
C
A B
R
P Q
166
2.1 Criterios de Congruencia.
Son las condiciones para considerar que dos triángulos son congruentes. En geometría se les
considera teoremas, por lo que son enunciados que se pueden demostrar a partir de axiomas y
postulados.
2.1.1 Criterio de Congruencia Lado, Lado, Lado (L, L, L)
Este criterio indica: Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son iguales. Para los triángulos
:
2.1.2 Criterio de Congruencia Lado, Ángulo, Lado (A, L, A).
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales y el ángulo formado entre ambos
también es igual, para que los triángulos sean congruentes se tienen que cumplir las
expresiones siguientes:
R
Q P B A
C
167
2.1.3 Criterio de Congruencia Ángulo, Lado, Ángulo (A, L, A).
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos iguales y el lado adyacente a ambos es igual.
Así, para los triángulos sean congruentes, se tiene que:
Ejemplo de aplicación:
Determina si los triángulos son congruentes, así como encontrar las longitudes del
lado x.
L
J K M
O
P
N
C
B A P
R
Q
168
1. Para la figura se considera el criterio A, L, A (Ángulo, Lado, Ángulo) para determinar que
son congruentes. Y se corrobora que en realidad sí lo son, debido a que se
cumple este criterio, como se puede observar dos parejas de ángulos correspondientes de
los triángulos son iguales y que los lados comunes a ambos pares de
ángulos también son iguales, puesto que los dos miden 12 unidades.
2. Una vez determinada la congruencia de los triángulos y se sabe que los lados
correspondientes tienen la misma medida. El lado corresponde al porque ambos
están enfrente del ángulo de 37°.
3. La longitud del lado es 9 unidades.
4. A partir de la afirmación 2se establece que mide 9 unidades.
5. De los datos se sabe entonces que
6. De acuerdo a las afirmaciones 4 y 5, se deduce que x =9
37°
37°
A
x
B
y
C 12 D
9
E
16
12
169
AFRIMACIÓN O RAZONAMIENTO EXPLICACIÓN
Por ser lados correspondientes de dos
triángulos congruentes.
Por los datos observados en la figura
A partir de las afirmaciones 2 y 3 dos
cantidades iguales a una tercera son iguales
entre sí
De los datos
x=9 A partir de 4 y 5 dos cantidades iguales a una
tercera son iguales entre sí
En Conclusión:
1. En triángulos congruentes, a ángulos iguales se oponen lados iguales y viceversa.
2. En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia.
3. En todo triángulo, al lado mayor se opone el ángulo mayor y viceversa.
4. En dos triángulos, con dos lados respectivamente iguales y ángulo desigual comprendido
entre ellos, a mayor ángulo se opone mayor lado.
170
AUTOEVALUACIÓN 1 Determina si los triángulos son congruentes. Si es así, anota el criterio que utilizaste
2 Determina si los siguientes triángulos son congruentes y determina la longitud del lado M
B
A
C
E
D
C punto medio de BD y AE
¿Son congruentes?
________________________
Criterio Utilizado:
________________________
D C A
B
M 8
7
5
34° 34°
H
¿Son congruentes?
__________________________
Criterio Utilizado:
__________________________
Valor de M
__________________________
171
UNIDAD III. RESUELVES
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS Y TEOREMAS DE
PITÁGORAS
3.1 Criterios de semejanza.
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados
correspondientes proporcionales; esto significa que, entre ellos se puede establecer una escala. Los
triángulos pueden estar girados entre sí, refiriéndose a una inclinación diferente, pero sí se puede
establecer una escala entre ellos, entonces se puede determinar su semejanza.
Para ello se definirán brevemente dos conceptos que servirán para comprender los criterios:
Razón: Comparación entre dos cantidades; se obtiene a partir de la división de dichas
cantidades o magnitudes.
Si se tienen las cantidades a y b, para encontrar su razón se divide a entre b:
Razón ; así la razón entre 12 y 4 es 3: Razón=
Proporción: Es la igualdad existente entre dos razones. Así, para las cantidades a, b, c y d;
la proporción se escribe de la siguiente forma:
Se interpreta como: a corresponde a b, como c corresponde a d.
Para que dos triángulos sean semejantes es necesario tener:
1. Sus ángulos correspondientes sean iguales.
2. Sus lados mantengan una misma proporción, que la razón entre cada uno de sus pares de
lados correspondientes sea el mismo, eso significa que los lados son proporcionales.
Considera los triángulos ABC y A‟B‟C‟
172
Para que los ángulos correspondientes de ABC y A‟B‟C‟ sean iguales se debe de cumplir que:
α = α‟
β = β‟
ϒ = ϒ‟
Para que los lados de ABC y A‟B‟C‟ mantengan la misma proporción debe ocurrir que:
Así, se establece la semejanza de los triángulos ABC y A‟B‟C‟, en símbolos matemáticos se
expresa:
Que se lee: El triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’.
Si dos triángulos cumplen con las condiciones anteriores, entonces son semejantes.
3.1.1 Criterio de Semejanza Lado, Lado, Lado (L, L, L)
Para que dos triángulos sean semejantes, sus tres lados deben ser proporcionales.
173
Si , entonces
3.1.2 Criterio de semejanza Lado, Ángulo, Lado (L, A, L).
Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo que forman ambos
lados es igual.
Si
3.1.3 Criterio de Semejanza Ángulo, Ángulo, Ángulo (A, A, A)
Dos triángulos serán semejantes si dos ángulos correspondientes son iguales
Si
174
Entonces
Si dos de los ángulos correspondientes de ambos triángulos el tercer par de triángulos será
semejante igual.
3.2 Teorema de Tales
Creado por Tales de Mileto, en donde menciona:
“Si varias rectas paralelas cortan a dos transversales, determinan en ellas segmentos
correspondientes proporcionales”
En la figura anterior, si un ángulo es cortado por paralelas, se originan segmentos proporcionales;
dividiendo en segmentos de rectas que son proporcionales:
Para los triángulos semejantes, se traza una recta paralela a cualquiera de las rectas que forman el
triángulo y esta recta corta el triángulo, entonces se forma otro triángulo de menor tamaño que es
semejante al triángulo inicial.
x
o
z
p
y
w
q
A
C
B A B
C
D E
175
por lo tanto, se establece una proporción entre los segmentos que forman ambos
triángulos.
3.3 Teorema de Pitágoras
Teorema propuesto por Pitágoras de samos en donde relaciona las longitudes de los lados de un
triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es un tipo especial de triángulo que tiene la
particularidad de que uno de sus ángulos interiores es un ángulo recto, es decir, que mide 90°.
El triángulo ABC de la figura es un triángulo rectángulo que tiene el ángulo C recto, los lados de
este tipo de triángulo tienen nombre:
El lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa y siempre es el lado con mayor
longitud.
A los lados opuestos a los otros ángulos se les llama catetos.
El teorema de Pitágoras se enuncia:
“La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”
El cual se representa con la siguiente igualdad:
176
AUTOEVALUACIÓN
1. En cada una de las siguientes figuras, calcula el valor de la incógnita.
B
h
h+4
28
D
20
C A
E
h:____________________________
177
2. Calcula el valor de la incógnita usando el teorema de Pitágoras de los siguientes triángulos
2z+14
5z
36
60
Z: ___________________
x 15
8
X:_________________
3 t
t + 1
3
t: ________
178
UNIDAD IV. RECONOCES LAS
PROPIEDADES DE LOS
POLÍGONOS
4.1 Polígonos
Los polígonos son figuras planas limitadas por la unión de tres o más segmentos de rectas, los
cuales se clasifican de dos formas:
1. Regulares: Polígonos cuyos lados tienen la misma longitud.
2. Irregulares: Polígonos cuyos lados tienen diferentes longitudes.
En relación con sus ángulos los polígonos se clasifican en:
1. Convexos: polígonos con ángulos interiores menores de 180°.
2. Cóncavos: Polígonos con al menos un ángulo interior mayor a 180°.
4.1.1 Elementos de los polígonos
Son las partes que identifican a los polígonos, las cuales se enumeran a continuación:
Vértice: punto en el que se intersectan las rectas que forman el polígono, es decir, las
esquinas de éste, en la figura son los puntos A, B, C, D, E
Ángulo interior: Es el ángulo que forman dos lados adyacentes o contiguos de un polígono,
en la figura son los conformados por las letras griegas α, β, ϒ, ξ, σ.
179
Ángulo exterior: Es el ángulo formado entre uno de sus lados y la prolongación de un lado
adyacente a éste. En la figura, éstos son la prolongación de los lados A, B, C, D, E.
Diagonal: segmento de recta con el que se pueden unir dos vértices no adyacentes de un
polígono. El número de diagonales que se pueden trazar en un polígono, está determinado
por la fórmula:
Donde n es el número de lados del polígono.
180
4.1.2. Elementos de los polígonos regulares.
Una propiedad de los polígonos regulares de n-lados es que cada uno de ellos tiene una
circunferencia inscrita, es decir, aquella que se dibuja en su interior y que toca todos sus lados y una
circunscrita que es aquella que pasa por todos los vértices del polígono.
181
Propiedad Descripción
Centro Es un punto interior que equidista al polígono
de todos sus vértices, coincide con el centro de
los círculos circunscritos e inscritos.
Radio Radio del círculo circunscrito
Apotema Radio de la circunferencia inscrita.
Ángulo Central Está formado por dos radios que pasan por
vértices consecutivos.
Ángulo Interno Formado por dos lados consecutivos
Ángulo Externo Formado por un lado y la prolongación de otro
consecutivo.
Los polígonos cumplen con determinadas particularidades a las que se les llama propiedades, las
cuales se enumeran a continuación en la siguiente tabla:
Propiedad Descripción
Suma de los ángulos interiores La suma de los ángulos interiores de un
polígono se obtiene a partir de la expresión:
Si es la suma de los ángulos interiores.
n: es el número de lados del polígono.
Suma de los ángulos exteriores Los ángulos exteriores de un polígono suman
360°.
Ángulo interior de un polígono regular La amplitud de los ángulos interiores de un
polígono regular se pueden calcular con la
expresión:
Ángulo exterior de un polígono regular La abertura de todos los ángulos exteriores de
un polígono regular tienen la misma medida
que se calcula como:
Suma de los ángulos centrales de un
polígono regular
Como un polígono se puede inscribir en un
círculo, entonces la suma de ellos mide 360°
Área Su área está dada por donde P es el
perímetro y a la apotema.
182
AUTOEVALUACIÓN
En los siguientes polígonos calcula los valores de su perímetro y área:
De las siguientes figuras calcula el valor de los ángulos interiores, exteriores y el área.
B
A
D
C
P:__________
A:__________
AD=DC=DB=4 BC=7.4
Apotema (a): 2.5
Ángulo Interior: _______________
Ángulo Exterior: _______________
5
O
O
5
Apotema (a): 2.5
Ángulo Interior: _______________
Ángulo Exterior: _______________
183
UNIDAD V. EMPLEAS LA
CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es una figura plana y cerrada cuyos puntos están a igual distancia de otro punto
interior llamado centro; gráficamente es el contorno de la figura.
El círculo es el conjunto de puntos interiores de la circunferencia.
De acuerdo a la figura anterior, la circunferencia únicamente presenta longitud, mientras que el
círculo tiene área, es entonces, que el perímetro del círculo se obtiene mediante la fórmula:
Y el área con la siguiente fórmula:
5.1 Elementos y ángulos asociados a la circunferencia
Consideremos una circunferencia con centro en el punto O:
Circunferencia
Círculo
184
Los términos que marcan a la circunferencia se describen en la siguiente tabla:
Término Descripción Línea
Tangente Es cualquier recta que toca a
la circunferencia en uno y sólo
un punto
HI
Secante Recta que corta a la
circunferencia en dos puntos
FG
Diámetro Segmento cuyos extremos
están en la circunferencia y
contiene al centro
BC
Cuerda Es el segmento cuyos
extremos están en la
circunferencia. La mayor
cuerda es el diámetro
DE
Radio Es cualquier segmento que
une al centro con un punto de
la circunferencia. También se
considera una distancia que es
la longitud del segmento
OA
I
A
C
G
F
O
E
D
B
H
185
Propieda
d
Descripción Figu
ra
Arco Es una parte de la circunferencia. Para representarlo se usa el símbolo
Ángulo
Central
Es aquél cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia y sus lados
son dos radios
Ángulo
Semiinsc
rito
Es aquél cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son una
secante y una tangente
Ángulo
Inscrito
Es aquél cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos
cuerdas.
En relación a sus ángulos, algunas propiedades se enuncian a continuación:
Un ángulo central en una circunferencia tiene por medida el arco que lo determina o subtiende.
A
O
B
F
H G
E
D
C
186
Un ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad del arco que lo subtiende
Un ángulo semiinscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad del arco que subtiende a su
correspondiente ángulo central.
187
Los ángulos inscritos en una circunferencia subtendidos por el mismo arco son iguales.
Todo ángulo inscrito en una circunferencia subtendido por una semicircunferencia es recto.
188
Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplementarios.
Los ángulos opuestos por el vértice, que determinan dos cuerdas de una circunferencia que se
cortan, tienen por medida la semisuma de los arcos limitados por sus lados.
189
El ángulo formado por dos secantes, que se cortan fuera de la circunferencia, tiene por medida la
semidiferencia de los arcos que lo subtienden.
5.2 Rectas tangentes a una circunferencia.
Es de suma importancia destacar que la tangente a una circunferencia tiene la propiedad de ser
perpendiculares al radio que pasa por el punto de tangencia.
Si se tienen dos rectas tangentes desde un punto P exterior a una circunferencia con puntos de
tangencia r y π, entonces los segmentos Pπ y Pr son iguales.
190
Si se tienen dos circunferencias que se cortan y dos rectas tangentes desde un punto P exterior a
ambas circunferencias con puntos de tangencia en C, D, E y F, respectivamente, entonces los
segmentos CD y EF son iguales.
O’ O
D
C
F
E
P
191
AUTOEVALUACIÓN
En cada una de las siguientes figuras calcula el valor que se indica de acuerdo con los datos
que se proporcionan.
α: 120°
β:_______
π:_______
A
β
α
π
C
B
α: 85° y
A
B α
D C
192
En las siguientes figuras, encuentra el valor de las incógnitas en grados
a:_______
b:_______
b
B
3a
C
4a
A
2a
a:__________
b:__________
F
E
a
3a
G
b
193
UNIDAD VI. DESCRIBES LAS
RELACIONES
TRIGONOMÉTRICAS PARA
RESOLVER TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
6.1 Funciones Trigonométricas
Se definen como las relaciones de proporcionalidad que hay entre las longitudes de dos de los lados
de un triángulo rectángulo, se obtienen al dividir la longitud de uno de los lados de un triángulo
rectángulo entre la longitud de otro de ellos.
En un triángulo rectángulo se puede conocer la longitud de un lado sabiendo la longitud de los otros
lados, o conociendo la abertura de uno de los ángulos y la longitud de uno de sus lados.
6.1.1 Sistema Sexagesimal y circular.
La medición de ángulos se puede hacer en dos sistemas distintos, el sistema sexagesimal y circular.
En el primero de ellos divide la medida de un arco completo de circunferencia ene 360 partes, las
cuales se denomina grado y se escribe (°), se divide en 60 minutos, representados con una comilla
(„) y cada minuto en 60 segundos, representados por dos comillas („‟). En este sistema un cuarto de
circunferencia mide 90°, media circunferencia 180° y un arco de circunferencia 360°.
194
En el sistema circular la unidad de medida de los ángulos son los radianes. Un radián se define
como un arco de longitud igual al radio de una circunferencia. Un arco completo de circunferencia
mide 2πradianes, usualmente, los ángulos se expresan en fracciones como: , etc.
Como ambos sistemas miden ángulos, se puede encontrar una equivalencia en ellos: igualando la
medida del arco completo de la circunferencia se tiene:
Despejando los radianes, se tiene que:
6.1.2. Razones Trigonométricas directas de ángulos agudos.
La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Por definición un triángulo rectángulo
tiene un ángulo recto, que mide 90°, por lo tanto, los ángulos restantes son agudos. Para la figura
siguiente se definen las siguientes funciones trigonométricas directas:
Función Descripción Ángulo α Ángulo β
Seno Es la relación entre el
cateto opuesto a un
ángulo y la hipotenusa
de un triángulo
rectángulo
Coseno Es la relación entre el
cateto adyacente y la
hipotenusa
Tangente Es la relación entre el
cateto opuesto y el
cateto adyacente a un
ángulo.
β
α
c
a
b
195
6.1.3. Razones trigonométricas recíprocas de ángulos agudos.
Existen otras funciones trigonométricas que son recíprocas a las anteriores.
Función Descripción Ángulo α Ángulo β
Secante Relación entre la
hipotenusa de un
triángulo rectángulo y
el cateto adyacente a
ese ángulo.
Cosecante Es la relación entre la
hipotenusa de un
triángulo rectángulo y
el cateto opuesto de ese
ángulo
Cotangente Es la relación entre el
cateto adyacente de un
ángulo y el cateto
opuesto a ese mismo
ángulo.
6.2 Resolución de triángulos rectángulos.
Conociendo el valor de una función trigonométrica de uno de los ángulos agudos del triángulo
rectángulo, se puede saber el valor de cualquier función trigonométrica. Esto se hace aplicando las
definiciones de las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras.
Para el siguiente triángulo se sabe que la función trigonométrica
Determinar los valores de los ángulos, así como las longitudes de los lados a, b y c.
Se sabe que , entonces, para la figura:
b
C
a
β
c
α
B
A
A
196
Por lo tanto, de las dos igualdades se deduce que:
a: 3 y c: 5
Una vez obtenidos a y c, se obtiene la longitud de b aplicando el teorema de Pitágoras:
Despejando b, se tiene:
Sustituyendo en la ecuación, los valores de a y c.
197
AUTOEVALUACIÓN
Convierte a radianes los siguientes ángulos.
1. 83.5°__________
2. 28° ___________
3. 27°25‟20‟‟ _______
4. 25° ____________
5. 40.55° _________
6. 53°22‟40‟‟_______
Convierte a grado los siguientes ángulos.
1. 43 rad _________
2. 102 rad ________
3. _________
4. 2 rad _________
5. 8 rad _________
6. 30 rad ________
Calcula el valor de las siguientes funciones trigonométricas de un ángulo de 60°
Sen 60°_________________________ csc 60°________________________
Cos 60° ________________________ sec 60°_________________________
Tan 60°________________________ cot 60° _________________________
Resuelve lo siguiente:
La tangente de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es , encuentra los
valores correspondientes a las longitudes de los catetos y la hipotenusa.
198
UNIDAD VII. APLICAS LAS
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS 7.1 Funciones Trigonométricas en el plano cartesiano.
El plano cartesiano es un espacio en dos dimensiones, formado por dos rectas dirigidas llamadas
ejes. Ambas son perpendiculares entre sí y se intersectan en un punto llamado origen al que se le
asignan las coordenadas (0,0).
Se establece un sistema de coordenadas (x,y). A los valores x se les llama coordenadas en x o
abscisas. A los valores y se les llama coordenadas en y u ordenadas.
Usualmente, las coordenadas en x, se representan las “variables independientes”, y en el eje y las
“variables dependientes”, llamadas así, porque su valor depende de los valores que tome o que se le
asignen a la variable x.
También se pueden representar las razones trigonométricas que ya se conocen.
Considerando la relación trigonométrica seno, sabiendo que es la razón entre la longitud del cateto
opuesto y la del cateto adyacente, tal y como se muestra en el triángulo de la siguiente figura
trazado en un sistema cartesiano, haciendo coincidir uno de los catetos con el eje x.
Como se aprecia, el triángulo está en el primer cuadrante del plano cartesiano, en el que las
magnitudes en x y y son positivas.
199
Significa que α es el ángulo cuyo seno es 0.707106781.
Este valor del seno es único para un solo ángulo o sus ángulos múltiplo. En términos matemáticos
esto se indica diciendo que la razón seno es una función. Entonces, a partir del valor de una función
trigonométrica para un ángulo, se puede conocer la abertura del ángulo, aplicando una función
inversa, que es lo equivalente a despejar.
Despejando α:
Considerando todos los posibles triángulos rectángulos con un cateto que coincida con el eje
horizontal y un vértice que coincida con el del plano cartesiano, como se muestra a continuación.
En el plano cartesiano de la figura anterior, para un ángulo α ubicado en cualquier cuadrante, el
cateto opuesto tiene el signo de las coordenadas en y, mientras que el cateto adyacente tiene el signo
de las coordenadas en x. Con base en esta información, se puede conocer el signo que tienen las
funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes de un sistema cartesiano.
7.2 Círculo Unitario.
Las razones trigonométricas se definen como la relación entre las longitudes de dos lados de un
triángulo rectángulo. A su vez, las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, determinan la
abertura de uno de los ángulos agudos de este triángulo.
Para determinar los valores de las funciones trigonométricas, se sugiere que uno de los catetos de
cualquier triángulo rectángulo coincida con el eje de las x y uno de sus vértices con el origen de un
sistema cartesiano, además, los triángulos deben de estar dentro de un círculo con radio r = 1. Por
esta razón, a este círculo se le llama círculo unitario.
A partir de las longitudes de los catetos de los diferentes triángulos rectángulos en un círculo
unitario, se pueden calcular los valores de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo.
Dado que la hipotenusa de los triángulos tiene como longitud 1, se determina el valor de las
funciones trigonométricas y sus funciones recíprocas para cualquier ángulo α como:
200
Sen α = x Csc α =
Cos α = y Sec α =
Tan α = Cotan α =
7.2.1 Gráfica de la función seno.
Una función se define como la relación biunívoca entre dos variables. Esto significa que para todo
valor de una variable independiente, corresponde un solo valor de la variable dependiente.
Al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x) se le llama dominio de la
función, mientras que los valores que puede tomar la variable dependiente (y) se le denomina rango
o recorrido de la función.
Las razones trigonométricas son funciones, ya que para cada ángulo corresponde un valor de una
función trigonométrica; si se representa al conjunto de ángulos en el eje x y a los valores que puede
tomar la función seno en el eje y, se encontrará la gráfica de la función seno para cualquier ángulox,
es decir, la gráfica y = sen (x)se lee como “y igual al seno de x”.
Visto en el bloque anterior, los valores de las funciones trigonométricas se calculan a partir del
círculo unitario y que la función y = sen (x) toma el valor de la ordenada al origen o la distancia y
para todos los puntos de la circunferencia que enmarca al círculo unitario.
Con esta información se puede completar una tabla de los valores de las funciones trigonométricas
para diferentes ángulos del primer cuadrante (de 0° a 90°). En la gráfica anterior se puede observar
que para un ángulo de 0°, y = 0, mientras que para un ángulo de 90° ( ) la función y = 1. Con esos
datos se puede completar una gráfica del primer cuadrante del círculo unitario.
201
Cuadrante I
ÁNGULO EN
RADIANES
0
ÁNGULO EN
GRADOS
0° 30° 45° 60° 90°
VALOR
FRACCIONARIO
DE LA FUNCIÓN
SENO
0
1
VALOR
DECIMANL DE
LA FUNCIÓN
SENO
0 0.5 0.7071 0.8660 1
Con los valores de la función para todos los cuadrantes se puede hacer una aproximación a la
gráfica de la función y = sen (x), como la que se muestra a continuación:
Cuadrante II
En el círculo unitario se nota que para un ángulo de 90°, y = 1, mientras que para un ángulo de
180°(π) y = 0.
A partir de la tabla y el círculo unitario anterior, se puede inferir los valores para ángulos mayores
que 90° o mayores que . Como se puede observar en el círculo unitario anterior, sen 120 ° = sen
60°, sen 135° = sen 45°, sen 150° = sen 30°.
ÁNGULO EN
RADIANES
ÁNGULO EN
GRADOS
90° 120° 135° 150° 180°
VALOR
FRACCIONARIO
DE LA FUNCIÓN
SENO
1
0
VALOR
DECIMANL DE
LA FUNCIÓN
SENO
1 0.5 0.7071 0.8660 0
202
Cuadrante III
Los ángulos miden 180° más o π más que los del cuadrante I. En el círculo unitario se observa que
para un ángulo 180°, y = 0, mientras que para un ángulo de 270°(π) la función y = -1.
Los valores absolutos de los ángulos intermedios son los mismos, porque las distancias al eje y son
las mismas, pero su signo es negativo por encontrarse abajo del eje x.
ÁNGULO EN
RADIANES
Π
ÁNGULO EN
GRADOS
180° 210° 225° 240° 270°
VALOR
FRACCIONARIO
DE LA FUNCIÓN
SENO
0
-1
VALOR
DECIMANL DE
LA FUNCIÓN
SENO
0 -0.5 -0.7071 -0.8660 -1
Cuadrante IV.
Los ángulos miden 90° más o más que los del cuadrante III. Para un ángulo 270°, y = -1, mientras
que para un ángulo de 360°(π) la función y = 0. Los valores absolutos son los mismos, porque las
distancias al eje y son las mismas. Su signo es negativo por encontrarse abajo del eje x.
ÁNGULO EN
RADIANES
ÁNGULO EN
GRADOS
270° 300° 315° 330° 360°
VALOR
FRACCIONARIO
DE LA FUNCIÓN
SENO
-1
0
VALOR
DECIMANL DE
LA FUNCIÓN
SENO
-1 -0.5 -0.7071 -0.8660 -1
Se puede resumir lo siguiente:
Dominio: su gráfica es continua, porque está definida para todos los valores reales de x. Rango o
recorrido: La función seno toma valores entre -1 y 1.
La gráfica de y = sen(x) intersecta al eje x en untos que son múltiplos de π, los cuales se pueden
representar con la expresión nπ, considerando que n es un número entero.
Sabemos que esta función trigonométrica tiene el mismo valor para sus ángulos múltiplo,
representados por las expresiones n360° o n2π. Así que la gráfica de esta función se repetirá cada
203
intervalo de 2π, por lo que se dice que la función seno es una función periódica, con periodos
iguales a 2π.
De acuerdo con lo anterior, se obtiene una gráfica extendida de la función y = sen (x) como la que
se presenta a continuación:
Gráfica de la función seno.
Gráfica de la función coseno
La función coseno se puede escribir como: f(x) = cos x.
Dominio: Su gráfica es continua, porque está definida para todos los valores reales de x. Rango o
recorrido: Toma valores entre -1 y 1. Es una función periódica, con un periodo de 2π.
Su gráfica intersecta al eje x en los puntos cuyas abscisas son , considerando que n puede ser
cualquier número entero.
204
Gráfica de la función Tangente
La función tangente se puede expresar como: f(x) = tan x. Su gráfica es la siguiente:
205
AUTOEVALUACIÓN
Encuentra el ángulo reducido y grafícalo
Ángulo Procedimiento Ángulo Reducido Figura
1997°
375°
580°
-763°
-3500°
206
UNIDAD VIII. APLICAS LAS
LEYES DE LOS SENOS Y
COSENOS. 8.1 Ley de los senos
Para cualquier triángulo oblicuángulo como el de la figura, con vértices A, B y C lados a, b, c y
ángulos A, B, C.
En el cual:
a es el lado opuesto al vértice A.
b es el lado opuesto al vértice B.
c es el lado opuesto al vértice C.
Se cumple lo siguiente:
Hay una razón constante entre la longitud de los lados y el valor de la función seno para el ángulo
interno del triángulo opuesto a cada uno de los lados. Esto se expresa en términos matemáticos de la
siguiente manera:
Utilizando esta ley se puede resolver completamente un triángulo, esto es, encontrar la abertura de
sus ángulos y la longitud de sus lados.
Analizando la expresión de la ley de los senos, nos damos cuenta de que se aplican cuando:
a. Se conocen dos de los ángulos de un triángulo y uno de los lados.
b. Se conoce la longitud de dos de los lados del triángulo y el ángulo opuesto a uno de esos
lados.
C
a
B
c A
b
207
Considere el triángulo siguiente:
Para el triángulo, se conocen las longitudes de dos lados y un ángulo opuesto a uno de esos lados.
Por lo tanto, para resolver el triángulo, se aplica la ley de los senos.
Reescribiendo los datos conocidos para que coincidan con la expresión anterior:
Utilizamos entonces la igualdad:
Sustituyendo en ella los datos conocidos, tenemos:
En la ecuación anterior sen 50° es un valor numérico (0.76604443), así que el único dato
desconocido es Sen B que será la variable a despejar en la ecuación anterior.
50
°
C
18
B
c A
15
208
Para conocer el ángulo B, se requiere despejar el seno inverso, entonces:
Considerando que los ángulos internos de un triángulo suman 180°, implica que:
Despejando el ángulo C se tiene:
Encontrando el valor de C considerando unidades en grados:
Para resolver totalmente el triángulo sólo nos falta conocer la longitud del lado c. Para encontrarlo
podemos aplicar nuevamente la ley de los senos y despejar sen C siguiendo un procedimiento
similar al anterior.
Sustituyendo datos en la ecuación:
Despejando la variable c:
8.2 Ley de cosenos
Para cualquier triángulo oblicuángulo como el de la figura, con vértices A, B y C lados a, b, c y
ángulos internos A, B, C.
209
En el cual:
a es el lado opuesto al vértice A.
b es el lado opuesto al vértice B.
c es el lado opuesto al vértice C.
A es el ángulo interno con origen en el vértice A.
B es el ángulo interno con origen en el vértice B.
C es el ángulo interno con origen en el vértice C.
Se cumple que:
El cuadrado de la longitud de cualquiera de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados, menos el doble producto de la longitud de esos lados por el seno del ángulo opuesto
al lado.
Esta ley se resume en forma algebraica mediante las expresiones:
Lados Ángulos
Esta ley se utiliza para resolver completamente un triángulo oblicuángulo. Analizando la expresión
de la ley de los senos, nos damos cuenta que se puede aplicar cuando:
a. Se conocen las longitudes de dos de los lados, así como la abertura del ángulo que forman.
b. Se conocen las longitudes de los tres lados.
Considera el triángulo siguiente y los pasos a seguir para resolverlo en tu cuaderno:
C
a
B
c A
b
210
C
11
B
13 A
12.5
211
AUTOEVALUACIÓN
Considerando los datos que se dan en cada caso, resuelve cada triángulo, determinando los
valores faltantes.
a: 12 b: 15 c: 18 A: B: C:
a: 5 b: 7 c: 10 A: B: C: 111°48’
212
UNIDAD IX. APLICAS LA
ESTADÍSTICA ELEMENTAL El nombre estadística proviene de la palabra Estado en el sentido de un gobierno central, ambas
palabras provienen de la palabra latina status, que significa el modo de ser o la situación de las
cosas.
En sus orígenes la estadística se utilizó para plantear cuestiones que eran importantes para los
Estados como son: La población, la distribución de la riqueza, el pago de impuestos, las cosechas
durante un año, entre otros.
9.1 Población.
Se le conoce como población al conjunto de todos los individuos de los que se desea conocer alguna
característica, comportamiento o propiedad. Un individuo es cualquier caso especial que tenga
información sobre una propiedad a estudiar.
Ejemplo:
Se quiere estudiar el consumo diario de kilos de alimento de los pandas de un zoológico, en este
caso, las características a estudiar es el consumo alimenticio diario en Kilogramos de los pandas.
9.2 Muestra
En poblaciones amplias no se puede hacer un estudio exhaustivo de todos los individuos que
forman una determinada para saber qué ocurre con algunas de las características que se quiere
estudiar en un grupo determinado. Para ello, se estudia un grupo más pequeño de la población, un
subconjunto menor que sea suficientemente representativo de la población en la que se desea
estudiar una propiedad o característica, de manera que la información sea más manejable. A este
grupo se le llama muestra.
Una muestra es un subconjunto de la población en la que se quiere estudiar determinada propiedad
o característica. Al número de individuos, o la cantidad de casos particulares de una muestra se le
llama tamaño de la muestra.
9.3 Datos agrupados y no agrupados.
En estadística, los datos no agrupados están dados por una lista de valores de la variable a medir.
Un ejemplo de datos es el siguiente:
Los coeficientes intelectuales (CI) de 20 personas dados en la siguiente lista de valores.
90, 95, 140, 100, 88, 115, 110, 150, 110, 100, 120, 96, 130, 150, 110, 88, 100, 70, 60, 115.
Para muestras más grandes, se tienen más valores de la variable a medir y algunos de esos datos se
repiten para varios individuos de la muestra. En estos casos, se acostumbra a agrupar los datos. Para
hacerlo, se representan los valores de la variable o propiedad a medir en una tabla de frecuencias,
213
una tabla en la que se registran los valores de la variable a estudiar indicando la frecuencia o el
número de ocurrencias de cada uno de los valores de la variable a medir.
Por ejemplo: En un estudio de la edad a la que empiezan a caminar los bebés, se toma una muestra
de 30 edades en que los niños empiezan a caminar. Esta es la propiedad a estudiar. Los individuos
de la muestra son cada uno de los valores de las edades en que cada uno de los bebés empezó a
caminar. Los datos o valores de la muestra se agrupan y se presentan en una tabla de frecuencias,
considerando la variable estadística (edad en meses en que los niños empezaron a caminar). La
frecuencia es el número de datos que indicaban determinada edad. En estadística, la frecuencia se
representa con la letra f.
Edad en meses Frecuencia (f)
9 1
10 1
11 4
12 2
13 3
14 6
15 3
Para la representación de datos estadísticos, en ocasiones se utilizan tablas en las que se registran de
manera ordenada las variables estadísticas y su frecuencia.
Otra forma de representar datos estadísticos es a través de gráficos de pastel, o de gráficas de barras.
Sin embargo, para resumir la información que hay en las tablas y las gráficas, se utilizan valores de
parámetros estadísticos. Estos se pueden clasificar en dos grupos: Las medidas de tendencia central
y las medidas de dispersión.
9.4 Medidas de tendencia central para datos no agrupados.
En un estudio estadístico, se puede estudiar una sola propiedad o varias propiedades
simultáneamente o cuando se requiere caracterizar alguna observación o propiedad en una
población, se hace a partir de un solo valor. Generalmente dicho valor se encuentra en la parte
central de la distribución de datos, por eso se llama medida de tendencia central o centralización.
Entre esas medidas están la media aritmética, la moda y la mediana.
214
Media aritmética:
Es la suma de todos los valores de la muestra, dividido entre el número de ellos (el tamaño de la
muestra). En términos matemáticos la media para datos no agrupados se expresa como:
Donde es el símbolo para la media aritmética. X1 a xn son los datos y n es el total de datos o el
tamaño de la muestra.
La expresión anterior también se puede representar como:
Para datos no agrupados, la media se calcula de la siguiente forma:
Donde f1 a fn son las frecuencias para los valores
Moda
Es el dato que tiene mayor frecuencia, el que se repite en una muestra.
Mediana.
Se ordenan los datos de menor a mayor y el valor de la variable a medir se encuentra justo a la
mitad de los valores bajos y los valores altos, cuando la cantidad de valores son un número
impar, es la mediana, en el caso de que la cantidad de valores sea un número par, se toman los
dos valores centrales, estos se suman y se dividen entre dos, y así se obtiene la mediana.
9.5 Medidas de dispersión: Para datos no agrupados y agrupados.
En estadística existen parámetros que sirven para medir qué tanto se alejan los datos de una medida
central. Estos parámetros son entre otros: El rango o recorrido, la desviación media y la varianza.
Rango o recorrido
Es la diferencia entre el dato de mayor valory el de menor valor de un grupo de datos o de una
distribución estadística. Así, para el ejemplo de la edad en que 30 niños empiezan a caminar el
rango son 15 meses – 9 meses = 6 meses.
Desviación media
Es la diferencia que hay entre cada uno de los valores de la muestra y la media aritmética. Por
lo tanto existe para cada individuo de la muestra; la desviación media se calcula como:
Donde i, puede tomar valores desde 0, hasta n, que es el número total de individuos en la
muestra.
215
Varianza:
Se define como la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una
distribución estadística. La varianza se representa por la letra griega sigma minúscula elevada al
cuadrado, es decir, :
Para datos no agrupados se calcula de la siguiente forma:
Para datos agrupados se calcula con la expresión:
La varianza es un valor que permite comparar poblaciones. Si la dispersión de los datos es
grande, el valor de este parámetro también es. Sus valores son positivos o cero.
Desviación estándar o desviación típica.
Se define como la raíz cuadrada de la varianza y se representa por la letra griega . Este
parámetro estadístico está en las mismas unidades de la variable que se está estudiando.
216
AUTOEVALUACIÓN
Calcula lo que se pide
Los salarios en pesos de 60 empleados de una empresa son los siguientes:
51 53 56 57 76 55 47 50 50 49
58 132 90 92 128 62 50 63 54 90
127 136 94 97 139 63 55 92 112 93
127 237 106 195 155 84 62 126 141 146
207 602 106 197 177 169 124 153 175 168
446 550 142 268 223 398 359 227 276 238
Haz una ordenación de la información anotando todos los elementos en la siguiente tabla:
Salarios ($)
51-150
151-250
251-350
351-450
451-550
551-650
217
Completa la siguiente tabla:
Salarios ($) X f fx Fx2
51-150
151-250
251-350
351-450
451-550
551-650
Determina la media aritmética.
Determina la mediana.
Encuentra la moda.
Encuentra la desviación estándar.
¿Cuál es el rango de la población?
Encuentra los límites del intervalo en donde se estima que se encuentre el 68% de los datos
de la población.
218
UNIDAD X. EMPLEAS LOS
CONCEPTOS ELEMENTALES DE
LA PROBABILIDAD 10.1 Probabilidad Clásica.
La estadística puede servir para tomar decisiones en política o en medicina. Por eso es importante
que los datos con los que se trabaja en estadística sean confiables. A veces los datos de una
estadística están influenciados por eventos azarosos o casuales y tienen cierto grado de
incertidumbre. En estos casos la probabilidad puede ser muy útil, determinando las reglas para
medir esa incertidumbre.
La palabra probabilidad se utiliza en la vida cotidiana, indicando la posibilidad de que algo ocurra.
En el ámbito de las matemáticas la probabilidad se refiere a algo más concreto: A la probabilidad de
que ocurra un suceso en particular, en términos del porcentaje de veces que ocurriría ese suceso si
se realizaran muchas observaciones o experimentos bajo las mismas condiciones.
Se acostumbra representar un suceso o evento con letras mayúsculas, por ejemplo si se estudia el
sabor preferido por los clientes de una heladería. A puede representar el hecho de que un cliente
compre un helado de vainilla y B el hecho de un cliente compre un helado de fresa.
La letra que se utiliza para un evento en forma general es la letra E, la probabilidad de que ocurra el
evento se expresa como: P(E). La probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1, esto es:
Los eventos que tienen probabilidades en este intervalo se llaman eventos aleatorios y son los que
estudia la probabilidad, estos eventos tienen que ver con el azar. La palabra aleatorio está
relacionada con la palabra “alea” que en latín significa azar y con la palabra “aleatorius”, que en
latín se refiere a los juegos de dados.
En los valores extremos de la probabilidad se encuentran los eventos deterministas, aquellos que se
sabe con certeza si ocurrirán o no. En los eventos o fenómenos deterministas, los resultados siempre
son los mismos.
Un evento o suceso que nunca ocurre tiene una probabilidad 0.
Un evento que siempre ocurre tiene una probabilidad 1.
Si se considera evento A, que ocurre en k elementos de una población total de N, la probabilidad de
A se determina con la expresión:
219
Ejemplo:
En una pecera con 100 peces dorados 5 de ellos tienen una infección en la piel, entonces si
definimos:
N: Población total de los peces.
A: El hecho de que un pez padeciera una infección en la piel.
La probabilidad de que un pez tenga una infección en la piel se estima como:
Así que, las probabilidades se expresan en forma de fracciones comunes, fracciones decimales o
porcentajes.
10.2 El espacio muestral.
Es el conjunto de todos los eventos o sucesos posibles en una prueba. Se acostumbra a representar
con la letra S.
Escribe el espacio muestral de los días de la semana.
Escribe el espacio muestral de los sentidos.
Escribe el espacio muestral de las estaciones del año.
Para un experimento lanzando un dado, el espacio muestral será:
S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Si el experimento consiste en tirar dos dados, cada elemento del espacio muestral será una pareja de
números y los sucesos posibles serán todas las parejas posibles de números del uno al seis.
En algunas ocasiones determinar S, puede resultar útil para encontrar la probabilidad de un evento:
Por ejemplo, si para el experimento anterior se quiere calcular la probabilidad de obtener dos veces
el mismo número, podemos hacer lo siguiente:
Definimos el evento A como el evento en el que ambos dados caen en el mismo número. Contamos
el número de elementos totales de S y establecemos que N = 36(que son las posibles caídas
diferentes). Contamos los elementos en los que se obtiene el mismo número y establecemos que
K=6. Sustituimos estos valores en la fórmula general de la probabilidad:
220
Así, sabemos que la probabilidad de obtener el mismo número cuando se lanzan los dados es del
16.66%.
10.3 Propiedades básicas del cálculo de probabilidades.
El complemento:
Dado un evento A, a su contrario (que no suceda A) se le conoce al complemento como , que
se lee: “complemento de A”. Se establece que:
Esto es que la probabilidad de que ocurra un evento A es igual a uno, menos la probabilidad de
que no ocurra tal evento2.
Eventos mutuamente excluyentes.
Dados los eventos A, B, C,… que son todos los posibles resultados en una observación o
experimento. Estos resultados son mutuamente excluyentes, si no pueden ocurrir
simultáneamente en una misma prueba.
Ejemplo
Lanzar un dado dos veces, lanzamiento 1 (A), lanzamiento 2 (B), los eventos son
independientes porque el resultado del primer evento no afecta sobre la probabilidad de que
caiga un número del 1 al 6 en el segundo lanzamiento, representado por un diagrama de Venn:
Las probabilidades de todos los posibles eventos o resultados en una observación suman 1.
2 Para aplicar directamente esta propiedad y las que se presentarán más adelante, hay que expresar la probabilidad en forma de fracción, conviene hacerlo en forma de fracción decimal.
221
Eventos no excluyentes entre sí. Cuando la ocurrencia de un evento no impide que suceda
también otro; por ejemplo que la edad de Alejandro sea 17 años y tenga bicicleta.
Representando este tipo de eventos en un diagrama de Venn sería:
222
AUTOEVALUACIÓN
Resuelve los siguientes ejercicios.
1. En el lanzamiento de dos dados, considera los eventos A: obtención de 11 y B: obtención de 7.
a) Calcula P(A)
b) Calcula P(B)
2. Dos contendientes de ajedrez se han enfrentado en 12 ocasiones. El jugador A ganó cinco
partidas y el jugador B ganó cuatro, quedando empatados en las restantes. Calcula la probabilidad
de:
a) Gane A en un nuevo encuentro.
b) Gane B en un nuevo encuentro.
c) Queden empatados en un nuevo encuentro.
3. Una baraja consta de 52 cartas.
a) ¿Qué probabilidad se tiene de obtener, en una extracción un as?
b) ¿En dos extracciones, sin reemplazo, dos ases…?
c) ¿En dos extracciones, sin reemplazo, un as y un rey…?
223
Bibliografía
Albarrán, Y. C. (2012). MATEMÁTICAS 2. México: Anglo.
Gutiérrez, S. S. (2009). MATEMÁTICAS 2. México: Nueva Imagen.
Vásquez, P. S. (2006). MATEMÁTICAS 2. México: Nueva Imagen.