1

Las matemáticas nacieron en las antiguas civilizaciones que poblaron la tierra. Las necesidades sociales y económicas en cada comunidad impulsaron el desarrollo del pensamiento matemático y sus aplicaciones.

En casi todos los pueblos surgió un sistema de numeración que permitió contar los objetos, pero el desarrollo del concepto de número fue muy lento. Transcurrieron muchos siglos desde el momento en que los números se utilizaron para contar hasta que se pudieron escribir. Las ramas de las matemáticas que primero se desarrollaron fueron la aritmética y la geometría, a pesar de que en algunos casos, la aritmética se limitaba al arte de contar, y la geometría a medir tierras y trazar fronteras.

Introducción

LA RECTA NUMÉRICA, UN CAMINO AL ESTUDIO DE LOS NÚMEROS REALES

Descripción del conjunto de números racionales

Los antiguos chinos utilizaron un sistema de numeración decimal y multiplicativo. En cambio los romanos utilizaron un sistema aditivo y acumulativo. En Egipto existió la tendencia a utilizarlas matemáticas en la solución de problemas prácticos cotidianos: dividir porciones de alimentos

116

132 1

64

12

18

14

Figura 1. Niño

Figura 2. Sistema de numeración decimal

Observa la animación donde se consume una pizza por fracciones, y se presentan algunos tips para que puedas identificar aspectos de los números racionales.

2

entre hombres o animales; calcular la cantidad de ladrillos para construir una edificación o el número de hombres necesarios para transportar un bloque pesado. La egipcia fue la primera gran civilización que utilizó las fracciones y el cálculo con fracciones, las cuales no surgieron de la división de los números naturales, sino del proceso de medición que combina la aritmética con la geometría.

La geometría nació en Egipto y más tarde fue transmitida a los griegos. La medición de los

Figura 3. Conjunto de los racionales

Determinar las características del conjunto de los números racionales.

A partir de la anterior animación y el siguiente diagrama sobre el conjunto de los números racionales ℚ, responde los siguientes interrogantes:

Objetivos de aprendizajeIdentificar las propiedades del conjunto de números racionales

Actividad 1Definición y elementos de los números racionales

NZ

Q

cuerpos sólidos: pirámides, cubos y esferas, fue hecha probablemente por medios experimenta-les, más que por cálculo matemático. Pero los más importantes descubrimientos en geometría son obra de los griegos. Con ellos el mundo pasó de los intentos por resolver problemas prácticos de aritmética y geometría, a la construcción de las más audaces y afortunadas estructuras teóricas. Los antiguos afirmaban que Tales, que vivió en la primera mitad del siglo VI A.C, aprendió la geometría en Egipto (Escobar, O. 2014).

1. ¿Qué conjuntos numéricos están dentro del conjunto de los racionales?

_____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

3

3. Si tienes un tira de papel como esta, y la doblas a la mitad, ¿qué número obtienes? Si la vuelves a doblar a la mitad, ¿qué número obtienes?

¿Cuántas veces puedes seguir doblando el papel? Ahora piensa en la recta numérica, ¿cuantos números racionales hay en un segmento de unidad, por ejemplo entre el tres y cuatro?

5. Teniendo en cuenta el comportamiento de los números enteros en la recta numérica:• Un número racional que esté a la derecha del cero, y más alejado de este, ¿cómo es con respecto a los demás números? _____________________________________________________________________________• En igual sentido, un número que esté a la izquierda del cero y más alejado de este, ¿cómo es con respecto a los números que están a la derecha de él? ______________________________________________

6. Retomando la animación de los niños comiendo pizza:¿Un número racional se puede representar en qué formas?___________________________________________ y __________________________________________

4. ¿De acuerdo al signo o la posición en la que se encuentren con respecto al cero, sobre la recta numérica, los racionales pueden ser?

_______________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

2. Escribe dentro de la gráfica, al menos cuatro elementos diferentes para cada uno de los conjuntos

Figura 4.Segmento

NZ

Q

0 10

4

7. De acuerdo a las preguntas anteriores:

Enuncia cuatro características de los números racionales

__________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

8. Por último, y teniendo en cuentas las preguntas anteriores:

Da una definición del conjunto de los números racionales

_________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

Figura 5. Recta 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ......

Actividad 2

Observa la animación de la actividad y luego resuelve el siguiente ejercicio:

Ubicación de los números racionales en sobre la recta numérica.

5

Ejercicio

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Teniendo en cuenta la animación de la actividad, ubica los siguientes números racionales sobre la recta. Recuerda que el denominador indica el número de partes iguales en que se divide la unidad, y el numerador el número de partes que se toman.Para ello, escribe el número en el lugar exacto que le corresponde sobre la recta

¿A qué conjunto numérico pertenecen los números que representan las oraciones?

_________________________________________________________________________________________________________

Figura 6. Ubicación en la recta

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

3/7 9/4 -3/4 -7/5 6/3 1,5 3,5 -8/3

Actividad 3Transformación de los números racionalesLee las siguientes oraciones y luego resuelve los ejercicios: a) Deme un octavo de pintura.b) Necesito un cuarto de galon de gasolina.c) Media libra de arroz.d) Un cuarto de pulgada. e) Compraré cuatro kilos y medio de papa.f) He caminado un tercio del recorrido

Escribe el número específico que representa cada oracióna) b) c) d) e) f)

6

Ejercicio 1

Ahora observa la animación de la actividad y resuelve los ejercicios

Figura 7. Ciclista

De acuerdo a la animación de la actividad, y a la clasificación de los decimales, realiza las operaciones e indica qué tipo de decimales son (da el resultado con tres decimales)

954 =

1272 =

2812 =

2508 =

3626 =

452360 =

Tipo de decimal:

Tipo de decimal:

Tipo de decimal:

Tipo de decimal:

Tipo de decimal:

Tipo de decimal:

Posteriormente indica que características tienen los números que calculaste

1.__________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

2.__________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________

7

3._________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________

4._________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________

5._________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________

6._________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

Ejercicio 2Transformar de decimal a fraccionarios los siguientes valores; simplifícalos hasta donde sea posible

0,12 = ; 0,88 = ; 0,35 =

Actividad 4Racionales equivalentesSi los racionales que se presentan en la imagen son equivalentes, resuelve las siguientes preguntas y ejercicios:

Figura 8. Equivalencias

12

24

48

510

36

8

Figura 9. Flores

Pregunta 1

Pregunta 2

De acuerdo a la imagen anterior, ¿cómo es cada racional y la torta que representa, con respecto a los demás racionales de la imagen?

_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

Completa la siguiente oración en la que se da una definición de los racionales equivalentes, para ello usa las siguientes palabras:

misma, diferentes, fracciones

Racionales equivalentes son aquellas ________________ que representan una________________ cantidad a

pesar de que se escriben con números ____________

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Multiplica en cruz los siguientes racionales, y observa el resultado de cada multiplicación e Indica cuál par de racionales es equivalente, encerrando con un círculo rojo aquellos que sí lo son.

Si en un cultivo de flores, las rosas ocupan del total del cultivo, indica: ¿Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes al área que cubre el cultivo de rosas? Marca con una x en los recuadros las que NO lo son, y con un chulo las que SÍ los son:

3

3

3 2512 6 8

5

9

8

6 =

=

=

=

6

5

16

4

5

10 30 20 10 12

4

2

3

8

8

3

6

•

•

•

•

9

Actividad 5Amplificación y simplificaciónObserva detenidamente el diagrama y resuelve los ejercicios

Figura 10. Ampliación y simplificación

==

2∙2∙

==

2∙2∙

==

==

1∙1∙ ÷ 1

÷ 1 ==÷ 2

÷ 2 =

=÷ 2÷ 2

Fracción original

3248

46

23

1624

812

812

812

Amplificación Simplificación

Ejercicio 1De acuerdo a la imagen de ampliación y simplificación, define cada proceso y descríbelo:Ampliación:

____________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

Simplificación:

____________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

¿ Qué relación tienen entre sí, las fracciones resultantes del proceso de amplificación y simplificación?

______________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

10

Ejercicio 2Ejercicio de amplificación

División inicial

Piensas dividir la torta para tu fiesta en ocho porciones iguales, y repartir solo la mitad entre tus cuatro invitados, dando a cada uno de ellos la misma cantidad. Pero si el número de invitados se duplica, ello te obliga a dividir la torta de otra forma. Encuentra, por medio de la amplificación, la fracción equivalente que te permita dar un pedazo de torta igual a cada uno, y que solo implique la repartición de la mitad de la misma.

Figura 11. Torta

11

Figura 12. Galpón

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212

Ejercicio 3Ejercicio de simplificaciónUna granja está dividida en doce corrales iguales, de los cuales nueve están destinados para gallinas. Debido a que hoy se vendió una tercera parte de las gallinas, el granjero desea reducir el número de corrales y así brindar a las gallinas corrales más amplios, pero sin cambiar el área total que sumaban los doce anteriores, ni la proporción del área total que se usaba para las gallinas. Encuentra, por medio de la simplificación, la fracción equivalente que le permita lograr su deseo.

12

23

25

15

25

13

25

Figura 14. Fracciones 1 Figura 15. Fracciones 2 Figura 16. Fracciones 3

Si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor la de ___________ denominador

Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor la de ___________ numerador

Si las dos fracciones tienen dife-rente numerador y denomina-dor, un camino para saber cuál es mayor, es utilizar el Mínimo común múltiplo (m.c.m).

Ahora observa las imágenes y completa las oraciones con las palabras: mayor o menor

Preguntas

1. ¿Es mayor -5, 25 que -1, 5? : ____________________________________________

2. ¿Es menor -11/3 que -1/3? : _____________________________________________

3. ¿Es mayor 1/2 que 11/3? : _____________________________________________

4. ¿Es mayor 4,5 que -1.5? : ____________________________________________

5. ¿Es mayor -11/3 que 11/3? : ______________________________________________

Actividad 6Compara números racionales en sus diversas presentacionesTeniendo en cuenta las preguntas que resolviste en la primera actividad, y la posición de los números racionales sobre la recta numérica, resuelve las siguientes preguntas:

Figura 13. Regla

-6

-5,25 -1,5 1,5 4,5113

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

113-

13-

12

13

Después de ver el ejemplo compara 2/4 y 1/3 y socializa tu resultado en clase

6 , 1 4 7

6,147

6 , 1 9 5

6,195

Figura 17. Fracciones 4

4. Para comparar decimales:Compara las cifras del número de la izquierda, con las cifras del número de la derecha, y al final indica cuál de los dos números es menor que el otro.Para ello usa los signos de = y <

3. Después multiplica el numerador y el denominador de cada fracción por el número obtenido en el paso anterior, así:

Ejemplo:

Si deseas comparar las fracciones: y , considera los siguientes pasos:

1. Saca el mínimo común múltiplo de los denominadores (5 y 3), para lo cual puedes multiplicar ambos números, si ninguno de los dos contiene al otro un número exacto de veces. En este caso el m.c.m es 15

1

15 15

23

5 = 3 = 53

5

25

13

33

55

615

515= =• •

2. Luego divide el m.c.m por cada uno de los denominadores de las fracciones, así:

Actividad 7Ubica y ordena números racionales De acuerdo a la actividad anterior, ubica los siguientes números sobre la recta numérica (escríbelos sobre la recta)

128 -1,5 0,75 0,25 9

466

Luego ordénalos de mayor a menor en los recuadros, de tal forma que se cumpla la relación planteada:

es > es > es >es > es >

Figura 18. Regla

-2 -1 0 1 2

14

El conjunto de los números racionales

Estar representados por fracciones Entre dos números

positivos, el mayor es el que esté mas alejado del cero

Son infinitos Se pueden representar con

una recta

No poseenun consecutivo

fijo

Estanrepresentados por decimales

Entre dos números

negativos, el mayor es el que

esté más cercano al cero

Fracciones decimales

La amplificacion

EquivalentesFinitos

Periódicos puros

Fracciones comunes

La simplificación

Infinitos

Periodicos Mixtos

Sus números tienen caracteristicas como

Aquel que contiene los números fraccionarios, los decimales (positivos

y negativos), y los números enteros

Es

Las cuales pueden ser

Se pueden obtener de ellas

Y a ellas se pueden llegar através de

Los cules pueden ser

Que se dividen en

15

Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales, utiliza para ellos el signo <:

Transformar a fraccionario o decimal los siguientes números, luego simplifica cada fracción, si es posible.

78

89

49

150,25 ; 2,5 ; 0,4; ; ; ;

6,2597258,1217586578

160

Soluciona la siguiente situacion problema Un grupo de 4 estudiantes decide realizar un taller de matemáticas de 24 ejercicios:

El primero decide hacer 1/4 El segundo piensa en hacer 8/32 El tercero dice hacer 4/16 El cuarto se decide por 2/8 Y entre los 4 deciden que si falta algo lo hará un 5° miembro. ¿Cual hizo más ejercicios?

Actividad 1

Actividad 2

Actividad 3

16

Lista de figurasFigura 1. Niño

Figura 2. Sistema de numeración decimal

Figura 3. Conjunto de los racionales

Figura 4. Segmento

Figura 5. Recta 1

Figura 6. Ubicación en la recta

Figura 7. Ciclista

Figura 8. Equivalencias

Figura 9. Floreshttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tulip_field_Kamiyubetsu_Hokkaido_japan.jpg

Figura 10. Ampliación y simplificación

Figura 11. Torta

Figura 12. Galpón

Figura 13. Regla

Figura 14. Fracciones 1

Figura 15. Fracciones 2

Figura 16. Fracciones 3

Figura 17. Fracciones 4

Figura 18. Regla

Lista ReferenciasEscobar, O. (s.f.). es.slideshare.net. Recuperado el 19 de Agosto de 2014, tomado de http://ima ge.slidesharecdn.com/numerosracionales