INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA - UNJu Practicos - Intr a la... · 3 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Introducción a la Matemática TRABAJO PRÁCTICO

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Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Introducción a la Matemática

INTRODUCCIÓN

A LA

MATEMÁTICA

Trabajos Prácticos

2020

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Integrantes de la Cátedra

Profesora Adjunta

– Lic. Edna Isabel Agostini

Jefes de Trabajos Prácticos

– Lic. Víctor Eduardo Mérida

– Cdor. Diego Zeballos Noguera

Ayudantes de Primera

– Lic. Cecilia Adaro

– Cdor. Raúl Aguilera

– Lic. María José Aisama

– Ing. Agustina Fiad

– Ing. Daniel Garabito

– Ing. Eduardo García

– Prof. Patricia Gutiérrez

– Lic. Vanesa Tentor

– Cdor. Luciano Tolaba

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TRABAJO PRÁCTICO N°1

LOGICA Y CONJUNTOS

1.- Analizar las siguientes oraciones, indicar que función cumplen y decir cuales son

proposiciones.

a) Borges fue un escritor argentino.

b) ¡No existe la justicia!

c) Entreguen los parciales.

d) ¿Qué día es hoy?

e) Llueve.

f) Los bienes de arte y cultura pertenecen al activo de una empresa.

g) Me acuesto tarde y me siento agotado todo el día.

h) Prohibido estacionar

i) Juan es un artista jujeño reconocido por trabajar con arcilla y lana.

j) El producto bruto interno creció un 2,9% en el 2017.

k) ¡Feliz cumpleaños!

l) Los encuestados se manifiestan a favor o en contra del nuevo régimen

previsional.

m) El conjunto de los números enteros es finito.

n) 5 + 7 = 20

2.- Unir con flechas cada proposición con su forma simbólica.

p: Llueve, q: Hace calor, r: Es verano

Llueve y hace calor ~ r ~ (pq)

Si llueve y no hace calor, entonces es veranos p q

Llueve o hace calor y no es verano (p q) ~ r

No llueve ni hace calor cuando no es verano ( p ~ q) r

p: Las estrellas emiten luz, q: Los planetas reflejan la luz,

r: Los planetas giran alrededor de las estrellas

Si las estrellas emiten luz, entonces los

planetas la reflejan y giran alrededor de ellas.

( p q ) r

Las estrellas emiten luz o los planetas la

reflejan y, por otra parte, los planetas giran

alrededor de ellas.

~ p ~ q

Los planetas reflejan luz si y solo las estrellas

la emiten. q p

Si las estrellas no emiten luz, los planetas no

la reflejan. p q r

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3.- Para los siguientes enunciados identificar las proposiciones simples intervinientes, y escribirlos en forma simbólica.

a) Los encuestados se manifiestan a favor o en contra del nuevo régimen provisional.

b) La suma y el producto de dos números naturales, es otro número natural.

c) Durante el 2008 residiré en Francia o en Argentina.

d) La demanda de un bien aumenta si y solo si bajan los precios.

e) Alberto es un empleado en un trabajo formal o precario.

f) Aprobarás el examen si y solo si obtienes 4 puntos o más.

g) Si el triángulo ABC es equilátero, entonces es isósceles.

h) Un número es racional porque es entero.

i) Matías es una persona económicamente activa, por lo tanto, está ocupado o

desocupado.

4.- Simbolizar, negar y retraducir los siguientes enunciados, identificando las proposiciones

simples que intervienen.

a) Las inversiones no forman parte del pasivo de una empresa.

b) María trabaja o estudia.

c) Si estudio todos los temas entonces aprobaré la materia.

d) Estudio y apruebo Introducción a la Matemática.

e) Pedro está escolarizado porque asiste a la escuela primaria o secundaria.

5.- Completar los siguientes enunciados:

a) En la implicación qp ; p se denomina………….y q se denomina……………….

b) Si la negación de una proposición es falsa, la proposición es: ………………………

c) El bicondicional es verdadero solo cuando: ……………………………………….

d) Si ~ pr es verdadero; r ~p es ……………………………….

e) Si )r(qp es falsa; entonces ~r ~p es ……………………………………

f) Si rq)(m es falsa; r es ……………, q es …………………. y m es …………...

6.- Los valores de verdad de las proposiciones p, q y r son respectivamente V, F, V; obtener

los valores de verdad de las proposiciones dadas:

a) (p r ) q

b) (pq)(qp)

c) [(r q) (r p)] r

d) (p q) (pr)

e) [(p q) r ] (q r)

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7.- Completar los siguientes cuadros, justificando el procedimiento:

p q r ∼ p ∼ q ∼ r p ⇒ (q ∨∼ r)

F

p q r ∼ p ∼ q ∼ r (∼ p ⇒ ∼ q) ∨ (q ∧ r)

F

8.- Determinar, en cada caso, si la información que se da es suficiente para conocer el valor

de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:

a) (𝑝 ⟺ 𝑞) ⇒ 𝑟; sabiendo que 𝑟 es V.

b) (∼ 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∧ 𝑟); sabiendo que 𝑞 y 𝑟 son V.

9.- Simplificar las siguientes proposiciones usando propiedades.

a) (𝑝 ∨ 𝑞) ∧∼ (∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞) c) 𝑞 ∧ ∼ (𝑝 ⇒ ∼ 𝑞)

b) ~ [~p ~ (~q )] ~(~ p) d) { [(p q) r ] q

10.- Para cada una de las siguientes proposiciones compuestas; confeccionar las tablas

de valores de verdad y clasificarlas en tautologías, contradicciones o contingencias.

a) [(𝑝 ∧∼ 𝑞) ⇒ 𝑞] ⟺ (𝑝 ⇒ 𝑞)

b) [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ∼ 𝑝] ⇒ ∼ 𝑞

c) ∼ [(𝑝 ∧ ∼ 𝑞) ⇒ (𝑝 △ 𝑞)]

d) 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ⟺ [(𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ (𝑟 ∧ 𝑝)]

e) [(p q) q] (p q)

f) [(p q) (p r)] [p (q r)]

g) [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)] ⇔ [𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)]

h) [( a b ) ( b c )] ( a c )

11.- Indicar cual o cuales de las siguientes proposiciones son equivalentes a

∼ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ∼ 𝑟]

a) 𝑝 ⟹ ∼ (𝑞 ∨∼ 𝑟) b) 𝑟 ∧ (𝑝 ⟹ ∼ 𝑞)

12.- Expresar simbólicamente y retraducir: la contraria, la recíproca, la contra-recíproca y

la negación de las siguientes proposiciones:

a) Me quedo en casa y estudio porque llueve.

b) Si no resuelvo todos los ejercicios, el práctico está incompleto y no estudio.

c) Si la humedad es alta, lloverá esta tarde o mañana.

d) Me quedo en mi casa y no voy al parque cuando llueve o hace frío.

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13.- Determinar la validez de los siguientes razonamientos:

a) El que estudia, aprende. El que aprende, es inteligente. Entonces, el que estudia, es inteligente. b) Si bajan los impuestos, se eleva el ingreso. El ingreso se eleva. Por lo tanto, los impuestos bajan. c) Si Juan invierte en el mercado de valores, se hará rico. Si Juan se hace rico, será feliz. Por lo tanto, si Juan no invierte en el mercado de valores, será feliz. d) Si estudio, no falto a la clase de Matemática. Si no juego al básquet, estudio. Falto a la clase de Matemática. Por lo tanto, juego al básquet. e) Si me gusta Contabilidad, estudio. Estudio o fracaso. Por lo tanto, si fracaso entonces no me gusta Contabilidad. f) El triángulo es isósceles si tiene dos lados iguales. El triángulo no es isósceles. En consecuencia, el triángulo no tiene dos lados iguales. g) Si Pedro resolvió el último problema del examen correctamente, entonces aprobó el semestre. Pedro avanza en la carrera, si aprueba el semestre. Luego, Pedro resolvió el último problema correctamente y avanza en la carrera.

14.- Negar las siguientes expresiones.

a) ∃ 𝑥 ⁄ 𝑃(𝑥) ∨ ∼ 𝑄(𝑥) b) ∀ 𝑥 ∶ ~𝑃(𝑥) ⟹ 𝑄(𝑥)

15.- Simbolizar, negar y retraducir, usando cuantificadores.

a) Todos los números naturales son pares y finitos.

b) Ningún empresario tiene deudas.

c) Algunos comerciantes tramitan el libre deuda cuando pagan sus impuestos.

d) Todos los científicos son distraídos o temperamentales.

e) Algunos empleados no son amables cuando atienden al público.

f) Algunos jóvenes no estudian ni trabajan.

g) Ningún empresario tiene deudas.

h) Si todos los niños van a la escuela y practican deportes entonces no juegan con la

computadora.

16.- Determinar el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados en el conjunto

de los números reales:

a) x: x = -x b) x / x2= x

c) x: x + 1 x d) x / x + 2 = x

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17.- Definir por extensión los siguientes conjuntos:

A = x/x N x es un Nº impar menor que 3

B = x/x Z –4 x 3

C = x/x N x 3 x 8

D = x/x es un dígito par y mayor que 8

E = { x/x es una vocal de la palabra murciélago }

18.- Definir por comprensión los siguientes conjuntos:

A = 1, 3, 5, 7, 9

B = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

C = 4

D = 5, 10, 15, 20

E = { m, s }

19.- Sea el conjunto U = x/x es un Nº dígito

a) Definir por extensión los siguientes conjuntos:

A = x U / x es un Nº par mayor que 6

B = x U / 4 x 9

C = x U / x2 = 1

D = x U / 5 x 6

E = x U / x 7

F = x U / x 3 x 9

b) Indicar cuáles de los conjuntos son vacíos y cuáles unitarios.

c) Escribir el signo o según corresponda:

7.......A 0.......D

4.......B 1........E

0.......C 3........F

1.......C 4........F

d) Indicar, sobre la línea de puntos, si son verdaderas o falsas las siguientes

relaciones entre conjuntos definidos anteriormente:

C A ....... D = E.......

C E ...... F C.......

B A ....... D E.......

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20.- Dados los siguientes conjuntos definidos por comprensión:

A = { x/x Z x - 4 = 6 }

B = { x/x Z positivos x < 12 }

C = { x/x Z positivos impares x < 12 }

E = { x/x Z }

a) Definir los conjuntos por extensión, si es posible.

b) ¿Existen relaciones de subconjuntos entre ellos?, ¿cuáles?, explicar.

21.- Escribir, sobre la línea de puntos y según corresponda, alguno de los siguientes

símbolos: , , , , =,

a) 2, 3 ........ 4 d) 4............. 1, 2, 3, 4

b) 2, 3 ........ 2, 3, 4 } e) ............{ 2, 3 }

c) 5 ............... 2, 3 f) 2, 3 ...... 2, 3

22.- Dados los conjuntos:

A = x/x N 0 x 9

B = y/y N y = 2x + 2 x A

a) Definir por extensión los conjuntos A y B.

b) Determinar la unión y la intersección entre ambos, analítica y gráficamente.

23.- De acuerdo con el diagrama, escribir y graficar los siguientes conjuntos:

A B A B A BC AC B AC BC A BC

AC B AC BC A – B B – A (AB)C (AB)C

(AC)C A B

U

A B . 6 . 1 . 2 . 5 . 4 . 8 . 3 . 7 . 9

24.- Dados los conjuntos U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} , y sus subconjuntos C = {a, e, i} ,

D = { a, e} y E = {c, d, f, g}

Hallar: C D, C D, C EC, CC E, D E, C E, C – E, E – D, (CE)C, C E

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25.- Completar las tablas, sabiendo que A = {1, 2}:

{1} {2} {1, 2} {1} {2} {1, 2}

{1} {1}

{2} {2}

{1, 2} {1, 2}

26.- Dados los conjuntos U = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , y sus subconjuntos:

A = 1, 3, 5, 8 , B = 1, 2, 4, 5, 7 y C = -1, 1, 2, 3 , comparar analítica y

gráficamente los siguientes pares de conjuntos:

a) A (B C) (A B) (A C)

b) A (B C) (A B) (A C)

c) (A B) c Ac Bc

d) (A B) c Ac Bc

27.- Expresar, mediante operaciones de conjuntos, lo que se indica en la parte sombreada

de cada gráfico:

U U

a) A B c) A B

C C

U U

b) A B e) d) A B

C

28.- Dado U = {x/x es un número dígito} y dadas las funciones proposicionales:

P(x): x es un dígito impar

Q(x): x es un dígito mayor que 4

A B C

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a) Escribir el conjunto P que tiene como elementos los valores de x que hacen que la

proposición p sea verdadera y el conjunto Q que tiene como elementos los valores

de x que hacen que la proposición q sea verdadera.

b) Escribir ~ P(x), P(x) ∨ Q(x), P(x) ∧ Q(x)

c) Determinar PC, P Q, P Q

29.- Dados los conjuntos finitos: A = a, b, c, d , B = d, e, f, g, h, i, j

a) Determinar el número de elementos de A y de B.

b) Usando diagramas de Venn, determinar: n (A B) y n (A B)

c) Verificar que: n (A B) = n (A) + n (B) – n (A B)

30.- Analizar los siguientes problemas en términos de conjuntos:

a) Juan toma café o leche (o ambos) en su desayuno cada mañana durante el mes

de enero. Si toma café 25 mañanas y leche 18 mañanas, ¿cuántas mañanas toma

café con leche?

b) Se efectuó una encuesta a 60 jóvenes sobre el consumo de bebidas gaseosas:

23 de ellos dicen tomar gaseosas sabor cola, 25 consumen sabor lima-limón, 20

sabor naranja, 8 toman gaseosas cola y lima-limón, 6 cola y naranja, 14 lima-limón

y naranja y sólo 2 afirman consumir de los tres sabores. En base a los datos,

realice el diagrama de Venn y responda:

i) ¿Cuántos jóvenes consumen gaseosas sabor naranja y lima-limón, pero

no cola?

ii) ¿Cuántos jóvenes consumen gaseosas de naranja o cola?

iii) ¿Cuántos consumen gaseosas sabor cola o lima-limón, pero no naranja?

iv) ¿Cuántos jóvenes no consumen estos sabores de gaseosas?

31.- Dados los conjuntos: A = 1, 2, 3 y B = a, b :

a) Definir por extensión los conjuntos: A x B, B x A, A x A, B x B

b) ¿A x B = B x A?. Justificar la respuesta.

32.- Si el producto cartesiano de los conjuntos T y S es:

T x S = (7,9); (7,10); (8,9); (8,10); (3,9); (3,10); (4,9); (4,10)

a) Escribir por extensión los conjuntos T y S

b) Graficar el producto cartesiano TxS

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CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.- Sean los conjuntos: N, Z, Q, I, R, Im y C, que representan respectivamente a los

números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales, imaginarios puros y complejos.

Indicar si son verdaderas (V) o falsas (F) cada una de las siguientes afirmaciones:

a) – 3 ∈ Z f) π ∈ R

b) 2,5 ∈ N g) √−4 ∈ I

c) √3 ∈ Q h) ¾ ∈ Im

d) 1 + 3i ∈ R i) 1 – 2i ∈ C

e) 2 ∈ Q j) 0 ∈ R

2.- Unir con flechas las operaciones indicadas en la columna A con sus respectivos

resultados de la columna B:

Columna A Columna B

N Z Q

R I Ø

I Q Z-

Z - {N {0}} I

Z F Z

3.- Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda. Justificar si es falso.

a) 8 es un número natural por lo tanto es irracional.

b) -36 es un entero, entonces -36 es racional.

c) Cualquier número racional es natural.

d) 3 2 es un irracional, pero no es real.

e) La suma de dos números racionales es otro número racional.

f) El producto de dos números irracionales es otro número irracional.

4.- Escribir el nombre de la propiedad de los números reales que se aplica en cada caso:

a) 2 (x + y) = 2 x + 2 y

b) 2 (3 y) = (2. 3) y

c) 2 (x – y) = (x – y) 2

d) (7 + x) y = 7 y + x y

e) (x + 1) (y + 1) = x y + x + y + 1

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5.- Indicar si cada una de las igualdades siguientes es válida o no. Reemplazar cada

proposición no válida por la que corresponda:

a) 27 = 24 . 23 = 26 . 2 f) (– 4)2 = – 42

b) 25 = 52 g) (32)3 = 35

c) (3 . 5)2 = 32 . 52 h) (3 + 5)2 = 32 + 52

d) 2 –5 = – 10 i) (4

3)

−2=

32

42

e) 2

x+

4

x=

6

x , con x ≠ 0 j)

x

y+

z

w=

x+z

y+w , con y, w ≠ 0

6.- Aplicar propiedades de la potenciación y resolver:

a) (- 3)-2. (- 3)-3 g) 2-9 .34 . 4-3 . 35

b) 2-5 . 24. 2-5 h) [(12 a4 b2)-3]

c) 34.3-3.3-5 i) 3-3 : 56 . 3 -9

d) 2-5 : 24 j) 2 h+1 : 24

e) [ (0,4)-3]-7 k) 165 : 46

f) 610 .60 . 3-2 . 34 l) 145: 146

7.- Efectuar los cálculos y escribir cada expresión de manera que todos los exponentes sean

positivos

a) (2x3y−3

5x4y2 )−1

b) (7a−3b−4

2a2b2 )−2

8.- Escribir el valor de x que haga verdadera cada una de las siguientes igualdades:

a) 3x . 35 = 38 b) 2 –5 . 2x = 29 c) 4−3

4x= 45

9.- Si 18 32x , entonces 2x es igual

a) 48 b) 50 c) 98 d) Ninguna

10.- Resolver las siguientes operaciones combinadas con números racionales:

2 4 1 3 1 42

3 5 2 4 3 5

2 21 2 1

1 32 3 2

1 37.

2 5

12

4

11 2 1 11

18 3 2 20

1 11

4 5

13


2

12

11

312

111

25

3 7

2 3

2 2 5

3 3 4

1 11

4 4

( ) ( )

( )

2 3

2

1,4 0,9 3 1,3 1,1

0,1

- - -

223

0,5 0,16 0,22

11.- Resolver:

a) 18 50 2 8

f) 4 33 555

b) 27- 50+ 12+ 8

g) 44 324 3 5125 xyyxyx

c) 800.580.3320.4450.7 h) 2

1016

d) 8 √81 . 𝑎2 . 𝑏44− 3 √16 . 𝑎 . 𝑏2 − 2 √𝑎3 . 𝑏66

i) 10 3

5 24

3

33

e) 55 45 32 248 mnnmnm j)

√9 𝑥2 𝑦35 . √36 𝑥3 𝑦

4

√12 𝑥3 𝑦2

12.- Racionalizar los denominadores:

a) 3

2

h) 1+2 √3

1−2√3

b) 3

5 i)

√7 − √3

√7 + √3

c)

3 2

2 1 j)

𝑥2−3𝑏

√3𝑏 + 𝑥

d)

2 3

2 3 k)

√𝑦− √𝑧

√𝑥 𝑦− √𝑥 𝑧

e) x y

x y

l)

−3 𝑦 +4 𝑥2

2 𝑥 + √3 𝑦

13.- Resolver los siguientes logaritmos:

a) log 3 27 + log 3 1 d) log 5 25 – log 5 5

b) log 0,1 – log 0,01 e) log 20 + log 5

c) log 3 7 – log 3 21 f) log 2 4 250

14


14.- Hallar el valor de x en las siguientes expresiones:

a) 7log x 3 c)

2log x -3

b) 6log 4 x 1 2 d) 2x 3log 81 2

15.- Resolver aplicando propiedades de logaritmo:

a) log3 (32 . 93

3−2 )2

b) log (102 . 1003

1000.2 . 104)4

c) ln (𝑒2.𝑒4

𝑒−3 )3

d) ln √𝑒3

𝑒2.𝑒5

4

16.- Representar gráficamente los siguientes intervalos de números reales:

A= x N / x 5 D= x N / 1 x 7

B= x Z / -2 x 2 E=x Z / x 2 -2

C=x R / x ≥ 7 F=x R / 4 ≤ x ≤ 9

17.- Representar, en la recta real, los siguientes intervalos de números reales:

[4, 7] (-, -2) (-2, 5]

[1

3, ) [0, 3) (

5

2, )

18.- Realizar gráficamente, en la recta real, las operaciones indicadas entre los

siguientes intervalos:

[-2, 4) (0, 5) [-2, 3] [-1, 1] (-, 2) (4, )

(-, 5] [5, ) [-1, 3) [3, 5] R – [1

2, 2]

19.- Dadas los siguientes gráficos en la recta real, indicar la parte sombreada en término

de intervalos y en término de conjuntos:

( ] ) [

–2 -1 x 0 2 x –2 0 x

20.- Resolver las siguientes operaciones de números complejos:

a) i3 – i4 + i5 – i6 f) 2 + i3 + 3 i2 + 4 – i5

b) (3; – 5) + (2; –1) g) 2i . (–5 + 6i) – (6 – 7i)

c) (3; 2i) (4; – 2) h) (3 – 2i)(3 + 2i) – 8i3

d) 5+𝑖

−2−2𝑖 i)

3−2𝑖

4−𝑖+

𝑖

2−𝑖

15


21.- Dados los siguientes números complejos:

Z1= (-3; 4) Z2= 5-3i Z3= (-2; -1) Z4= (2; -4) Z5= -1+2i

Calcular las siguientes operaciones:

a) (Z2+Z4) – (Z1+Z3) d) (Z1)3

b) Z2 . Z4 – Z1 . Z5 e) Z2

Z1

c) (Z2)2 f) Z1

Z3

22.- Calcular aplicando potencias de la unidad imaginaria:

a) i 2342 . i 3523 . i 6531

b) i3744 . i5754

i2765 . i5371 . i3527

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REGLA DE TRES SIMPLE - PORCENTAJE

1.- Calcular aplicando regla de tres simple directa o inversa, según corresponda: a) De una tela de 12 metros se hicieron 18 remeras. ¿Cuántas remeras se harán de una

tela de 14 metros?.

b) El precio de una gaseosa de 1,5 litros es de $100. Si el precio fuera proporcional al

tamaño, ¿cuánto tendría que costar la botella de 2,25 litros?.

c) Un avión que viaja a unos 600 kilómetros por hora aproximadamente en promedio

tarda en llegar de Buenos Aires hasta Mendoza, más o menos 2 horas. ¿Cuánto tarda

entonces en llegar un helicóptero, que en promedio su velocidad aproximada es 200

kilómetros por hora?

d) Un remis le cobró a Emiliano $350 por llevarlo de su casa a la casa de Lucas, que

queda a unas 56 cuadras de su casa. Si al otro día llama a la misma remisería para

que lo lleve a la casa de Marcelo que queda a 64 cuadras de su casa: ¿Cuánto le van

a cobrar esta vez?.

e) Para fabricar 80 bolillas de vidrio se necesitan 320 gramos de vidrio. ¿Cuántas bolillas

se podrán fabricar con 360 gramos de vidrio?.

f) A una estación de servicio le alcanzan los depósitos que tienen de nafta para vender

durante 5 días vendiendo en promedio unos 1600 litros de nafta por día. Si aumentan

las ventas diarias y el promedio de ventas pasa a ser 2000 litros por día. ¿Para cuantos

días de ventas le alcanzan sus depósitos?

g) Para emparejar el césped de la cancha de Gimnasia y Esgrima de Jujuy, con una

máquina cortadora se hace el trabajo en 8 horas. Si hay poco tiempo y se necesita que

en un lapso de 2 horas se haga ese trabajo. ¿Cuántas máquinas cortadoras se

deberían usar simultáneamente?

2.- Completar el siguiente crucigrama de números:

1

3

4

5

2 7

6

17


a) Referencias Horizontales:

1. Peso en gramos de un paquete con 120 galletitas, si un paquete de 50

galletitas iguales pesa 620 gramos.

2. Cantidad de minutos que se tarda en pintar una pared de 5 metros si para

pintar una de 3 metros se tarda 1 hora.

3. Horas que se tardan en llenar la pileta con 2 mangueras juntas, si con 3

mangueras se tardan 8 horas.

4. Precio de 34 docenas de facturas, si 8 facturas cuestan $2.

5. Cantidad de cerámicos de 20 cm² que se necesitan para cubrir un patio, si

con cerámicos de 24 cm² se necesitan 1420.

6. Distancia que se recorre en auto a 80 km/h, si en el mismo tiempo, a 50

km/h se recorren 800 metros.

b) Referencias Verticales:

1. Cantidad de litros de pintura para pintar una pared de 424 m². Si 3 litros de

pintura alcanzan para 8 m².

2. Costo de una llamada de larga distancia de 1 hora y media, si cuestan $0,40

los 3 minutos.

3. El cuádruple de 31.

4. El triple del triple del triple del triple del triple de 7.

5. La cantidad de meses del año que no empiezan con la letra “j”.

7. Cantidad de ventanillas de un tren de 4 vagones si un tren de 7 vagones

tiene 140 ventanillas.

3.- Expresar en porcentaje:

a) 0,12 b) 0,72 c)1,7 d) 3 e) 1/10 f) 0,333.... g) 3/4 h) 0,425 i) 4,12 4.- Completar la siguiente tabla:

Número 10% 12,5% 20% 25% 3

133 % 50% 75% 100% 200%

24

3

30

3

120

4,8

18


5.- Calcular:

a) El 12% de descuento por un artículo que vale $5.400.

b) El 35% de páginas leídas de un libro de 380 páginas.

c) El 15% de goles marcados por Messi de un total de 40 goles marcados por el

goleador del campeonato.

d) El 48% de alumnos varones en un colegio de 450 alumnos en total.

e) Si en una libreta de notas, de 56 notas, 32 están sobre la nota 4 y 20 sobre o

igual a la nota 3, ¿Qué porcentaje de las notas son deficientes?

6.- Determinar el porcentaje de:

a) 35 alumnos de un colegio de 700 alumnos.

b) $2.540 de rebaja por una compra de $63.500

c) 357 manzanas podridas de un total de 1.500 manzanas.

d) 40 horas de trabajo semanal de una jornada de 48 horas.

7.- Calcular:

a) el total de una deuda, sabiendo que el 8% de ella es $56.000

b) el precio de un artículo cuyo 12% es $3.600

c) la edad de un padre si el 24% de su edad equivale a la edad de su hija de 12

años.

d) el descuento del sueldo de un empleado si recibió $84.000 que equivale al

85%.

19



EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.- Identificar si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios, expresiones

algebraicas fraccionarias o expresiones algebraicas irracionales:

P(a)= 3a + 2 P(b)= 5b−2+3

2 P(c)= √c + 1 − 3

P(d)= −1

3d − 5d2 + d5 P(e)=

(e+3 )2

e5 P(f)= f 2+f

12

√2f

2.- Unir con flechas, indicando el grado del polinomio.

-1/2 x4 + 3 x2 – 5 x + 1 6

-3 + 9 x3 -7 x + 15 x4

x6 + x4 – 7x3 + 1 3

0 x4 + 3 x3 – x

-4 x + 2 x3 – 7 x6 4

3.- Completar y ordenar en forma decreciente, los siguientes polinomios:

a) P(x)= 2x2 + 4x5 – x3

b) P(y)= 4y + 3y3 – y4 – 1

c) P(w)= 2w – 10 + w5

d) P(t)= 3t3 + t

4.- Dados los polinomios:

5 4 2

4

4 2

A(x) 12x 18x 2x 2x 4

B(x) 6x x

7 1C(x) x x x 10

3 2

Calcular:

a) El valor numérico del polinomio A cuando x= -1

b) 2 A(x) – 3 C(x) + B(x)

c) A(x) : B(x) , indicando el cociente y el resto.

d) [C(x) – A(x)].B(x)

20


5.- Dados los polinomios:

352)( 2 xxxA 62)( 2 xxxB 5)( 2 xxxC

672)( 23 xxxxD 1)( xxE 2)( xxF

Resolver:

a) )(:)()()( xExCxBxD

b) )()()()( xExBxFxC

c) )()()(22

xAxExF

6.- a) Escribir el polinomio que representa la superficie de la siguiente figura:

b) Escribir el polinomio que representa el perímetro de la siguiente figura:

7.- Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades:

a) (5x3 + 1

2 x2 -3x +

3

4 ) + (

4

5 x3 + 3x2 +

1

5 x –

1

2 ) =

295

x3 + 7

2 x2 –

14

5 x +

1

4

b) (4x2 – 5x + 3) . (x2 – 4x +1) = 4x4 - 21 x3 + 27x2 – 17x + 3

c) (2x – 1 – 2x2) . (6x – 9 – x2) = 2x4 + 21 x3 – 30x2 -24 x + 18

d) (-2b² + b - 1 + 2b³) . (b - 2b²) = -4b⁵ + 6b⁴ - 4b³ + 3b² - b

e) (3c² - 2c + 1) . (c³ + 2c²) = 3c⁵ + 4c⁴ - 3c³ + 2c²

f) (d² - ⅓) . (d² +⅓) = d⁴ - ⅟₉

g) (½ e⁵ - 10) . (½ e⁵ - 10) = ¼ e¹⁰ - 100

R P

N M

h

h

C

B

A

2

2

MN x 5 x 5

NP 2x 10 x 3

3RP MN

2

h 4 x

2

2

AC 2x 3 x 4

CB x 5 x 2

h 3 x 5

21


8.- Hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones y comprobar que el cociente

por el divisor, más el resto, es igual al dividendo:

a) (15𝑥7 + 20𝑥5 − 10𝑥2): (5𝑥2)

b) (3𝑥4 − 12𝑥2 + 9𝑥 − 5): (𝑥2 − 2𝑥 + 1)

c) (−7𝑥 + 𝑥4 + 6𝑥5 + 4𝑥2 + 1): (2𝑥2 − 3 + 𝑥)

f) (𝑥4 − 16): (𝑥2 − 2)

g) (8y³ - 3y + y² +1) ÷ (2y² - y + 2)

h) (w⁴ +7w³ ) ÷ (0,5w³ - 3)

d) (12𝑥5 −5

3+ 𝑥3) : (−3𝑥 + 5 − 6𝑥2) i) (x5 + 2x3 − x – 8) : (x2 − 2x + 1)

e) (𝑥3 − 27): (𝑥 − 3) j) (4 𝑥3 + 𝑥6 − 𝑥 − 1

16 𝑥4 + 2) : (2𝑥2 −

1

2𝑥)

9.- Interpretar y responder:

a) Dado 3 27 xP(x) x x 2

8 3 , ¿cuál es el valor numérico de P para x = 6?

b) ¿Cuál es valor de la constante “k” para que Q(-1) = 2 siendo Q(x) = -x2+3x+k?

c) ¿Cuál es el valor de “m” en el polinomio 3 2R(x) 2x mx 4x 5 para que el

mismo sea divisible por (x - 1)?

d) Dado 2S(x) x ax a , ¿cuál es el valor de “a” para que al dividirse S por (x +

0,2) el resto sea igual a 3?

e) Si T(x)= x2 + b, ¿cuál es el valor de “b” para que 5 sea raíz del polinomio T?

10.- Realizar las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini. Escribir el polinomio C(x) y el resto para cada división. Verificar utilizando el teorema del resto

a)

4 2

6 4 3

4 3 2

) 3 2 1 : 4

) 2 3 2 3 1 : 2

) 3 2 1 : 3

a x x x x

b x x x x x

c x x x x

d)

6 3 4

4 2

3 2

1) 2 :

2

) 2 15 6 : 3

) 5 2 6 : 2 2

d x x x x

e x x x x

f x x x x

b)

4 2

6 4 3

4 3 2

) 3 2 1 : 4

) 2 3 2 3 1 : 2

) 3 2 1 : 3

a x x x x

b x x x x x

c x x x x

e)

6 3 4

4 2

3 2

1) 2 :

2

) 2 15 6 : 3

) 5 2 6 : 2 2

d x x x x

e x x x x

f x x x x

c)

4 2

6 4 3

4 3 2

) 3 2 1 : 4

) 2 3 2 3 1 : 2

) 3 2 1 : 3

a x x x x

b x x x x x

c x x x x

f)

6 3 4

4 2

3 2

1) 2 :

2

) 2 15 6 : 3

) 5 2 6 : 2 2

d x x x x

e x x x x

f x x x x

11.- Sin efectuar la operación, calcular el resto de las siguientes divisiones y decir cuáles

son exactas:

a) (x3 + 27) : (x + 3) e) (3x³ + 4x² + 5x – 6) : (3x – 2)

b) (x4 – 16) : ( x - 2) f) (3x – 7 x3 + 1

5 x2 – 12 x + 4 ) : (x −3)

c) ( x6 – 3 x2 + 4) : (x – 1) g) (x5 − 2x2 − 3) : (x −1)

d) (x2 – 2x + 5) : (2x + 1) h) (2x3 – x2 – 7x + 6) : (x + 2)

22


12.- Factorear los siguientes polinomios, si es posible:

a) 6 a2 x2 + 9 ab x2 + 3 ac x2 l) x 2 + 36 – 12x

b) 3 x ( 2 - x) + 4 x2 ( 2 – x) m) y6 – 36 x4

c) 2 m x2 + 3 p x2 - 4m – 6p n) 8 a6 – x3

d) 4 + 4 a + a2 o) 5 a x² – 20 a x y + 20 a y²

e) a4 + 2 a2 x3 + x6 p) m⁴ q⁵ + m⁴ r⁵ – 36 q⁵ – 36 r⁵

f) x2

a2 - y2

b2 q) x³ + a x² – x – a

g) x5 + 1 r) 125 x3 + 5 x5 – 50 x4

h) 2x3 y – 3 y2x2 + 11 x4 – 9x5y3 s) 20 x3 – 45 x + 8 x2 – 18

i) 1

6 x3 y6 –

2

9 x3 y5 +

1

4 x2 y12 t) 4 x6 – 108 x3

j) 2 ax + 2 b x – a y + 5 a – b y + 5 b u) 27

125 a3 b −

3

5 a b

k) 1 – 2a + a² v) 5 x2y4 – 30 x2y2 + 45 x2

13.- Indicar la forma totalmente factorizada de:

a) 9x3 – xy2 + 9x2y – y3 b) x2 (x-2) – 4x (x-2) + 4 (x-2)

i) (9x2 + y2) . (x+y) i) (x – 2) . (x + 2)2

ii) (3x + y2) . (x+y) ii) (x - 2) . (x2 – 2x + 4)

iii) (3x – y)2 . (x+y) iii) (x + 2) . (x - 2)2

iv) (3x + y) . (3x – y) . (x+y) iv) (x - 2)2

v) ninguna v) ninguna

14.- Indicar para que valores de la variable son válidas las siguientes expresiones

algebraicas:

a) 2

x+2 b)

x+2

x+ 1

2

c) 3x−7

x2−1 d)

−5

4x e)

−2x

x2−25

15.- Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:

23


a) 5 x2−5

x+1 g)

44

1232

3

xx

xx

b) x2−1

x2−x h)

xxx

xx

4914

4923

3

c) 2 x−14

x2−14 x+49 i)

𝑧2 − 3𝑧 + 2

𝑧²−4

d) a2 x− a2 b

a x2−a b2 j)

𝑎2 𝑥2− 𝑎2 𝑥−2𝑎2

𝑎3𝑥2− 𝑎3

e) x2−36

x3−216 k)

𝑥3+2 𝑥2− 9 𝑥−18

2 𝑥2− 2𝑥−12

f) y3+5 y2

y3−25 y l)

2𝑥4𝑏2− 32 𝑏2

𝑏2 𝑥4−8 𝑏2 𝑥2+16𝑏2

16.- Resolver:

a) (x4 − 1

x2) . ( x3 + 1

x) .

x4

x4+1 j)

3x

16x:

9x

4x 4

2

2

b) x2−1

3 .

6 a

x+1 .

x2−2x+1

10 a k)

1

63:

1

1052

x

x

x

x

c) ( x4 − 1

x2) : ( x2 + 1

x) l)

2𝑥+4

4𝑥3−9𝑥:

𝑥2−4

2𝑥2−3𝑥

d) ( x + x

x−1) : ( x −

x

x−1 ) m)

7

20𝑏6−

28

5 𝑎2

𝑏2− 𝑎2 : 7

2𝑏3− 14𝑎

5𝑏2−5𝑎2

e) 10 x−20

x2 .

3x2

5 .

20

x2−4x+4 n)

3

2𝑥−4−

1

𝑥+2−

12

2𝑥2−8

f) ( x2

a2−

a2

x2) : ( x

a+

a

x) o)

8

𝑥2− 25+

2𝑥−4

2𝑥−10−

𝑥

𝑥+5

g) 8x12x6x

12x6

x2

4x4x

23

2

p) 2 𝑥

𝑥− 2−

1

𝑥−1−

𝑥+2

𝑥2−3𝑥+2

24


h) 𝑥2+2𝑥

3𝑥4+12𝑥.

𝑥4−16

𝑥2+4+4𝑥.

6𝑥

4𝑥+8 q)

2 𝑥+3

𝑥−

2𝑥

𝑥−2−

1

𝑥−2

i) 𝑥2 − 4

2𝑥 − 4.

4𝑥 + 4𝑦

𝑥2 + 4 𝑥 + 4.

𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2

𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 + 𝑦3 r)

1

1− 𝑥+

1

1+𝑥−

2𝑥

1−𝑥²

17.- Resolver las siguientes operaciones combinadas:

a) (3

4x+

x

4− x) . (

1+x

1−x−

1−x

1+x)

b) ( 1

x+a+

1

x−a) : (

x2

x3− a2x)

c) (1

𝑥²−

6

𝑥+ 9) :

3𝑥−1

𝑥

d) 𝑣2 − 2𝑣 + 1

𝑎𝑣 +2𝑣 − 𝑎−2.

5

𝑣 −1+ 1

e) (3𝑥)

(𝑥²+4𝑥+4): [

(𝑥−1)

(𝑥+2)−

(𝑥+1)

(𝑥−2) ]

f) 𝑥3− 6 𝑥2+ 9 𝑥

3 𝑥3− 9 𝑥2 : 𝑥2− 9

6 𝑥+

12

𝑥2− 9

g)

𝑥−𝑦

𝑥+𝑦 − 1

1 − 𝑥+𝑦

𝑥−𝑦

h)

𝑎2− 25

𝑎2+ 5 𝑎2 𝑎−10

𝑎+5

+ 𝑎+5

2 𝑎

25



ECUACIONES - SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES

1.- Dadas las siguientes igualdades:

i) Indicar cuáles son identidades y cuáles son ecuaciones.

ii) Clasificar las ecuaciones.

a) 3x + 7 + 5x = 3 + 8x + 4 f) (a + b) (a – b) = a2 – b2

b) 5 + √𝐱 − 𝟓 = 15 g) 𝟓𝐦

𝐦+𝟑=

𝟑

𝟐𝐦−

𝟐

𝐦+𝟑

c) log (x – 7) = 1 h) (x2 + 2y)2 = x4 + 4x2y + 4y2

d) 2h – 5 = (1/32) 2 h i) 2 k1/2 + 4 = 16

e) (x + 3) (x + 2) = x2 + 5x + 6 j) √1

4x + 8 = √

3

4x

2.- Resolver las siguientes ecuaciones:

a) (8x + 1) (x – 3) = 2x (4x – 2) k) 2x – 3 = x/2

b) 3x + 6 = 3 (2 – x) + 2x l) x

bc+

x

ca+

x

ab= a + b + c; a, b, c constantes

c) x+4

x−1+ 2 = 5 m) 2x – 4 =

x

6−

2x−1

9

d) 2z+3

4− z +

3

2z =

5+2z

4 n)

x+3

2−

𝑥−1

3=

2x+5

6+ 1

e) x+5

x2−4−

x−4

x2+4x+4= 0 o)

x+2

x−2=

x+5

x+2

f) (3x + 1)2 – 2x = 9x2 + 5 p) 𝑥−5

𝑥2−4𝑥+4−

5

𝑥2−4=

1

𝑥+2

g) 3x + 𝟏

𝟐 – 5 =

𝟓

𝟐 (2x – 4) q) (3x + 1)² - 2x = 9x² + 5

h) 2(x+3)

4x2−25=

2

2x+5−

4

2x−5 r)

9

26

62

8

62

22

xxx

i) 4x

x2−4=

2x

x+2− 2 s)

5

𝑥−1+

𝑥+2

𝑥2− 1=

−7

𝑥+1

j) 1

3 (2y + 1) +

1

2 y =

2

5 (1 – 2y) – 4

26


3.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

242

923

yx

yx h) {

ax + by = 2ab3ax − 2by = ab

; a y b constantes

b)

8).(3).(2

1334

yxyx

xy

i)

12

3,125

1

yx

yx

c)

926

63

yx

xy

j)

12

24

52

3

yx

yx

d)

3

1

1

1

31

1

y

x

y

x

k)

275,0

13

yx

yx

e)

x yx -1

2

x - yy 1

2

l)

148

3

6

5

26

1

3

1

yx

yx

f)

1452

22

17

yx

yx

m)

7

22

7

13

7

44

7

13

yx

yx

g) x y 4

-2x y 10

n)

2=2

xy+

3

4x

0=4

2y +

3

12x

4.- Plantear las ecuaciones que sugieren los siguientes enunciados; (las cantidades

desconocidas deben ser representadas por letras, no resolver):

a) La suma de los productos fabricados por las secciones A, B y C de la empresa es de

6.000 unidades.

b) La cantidad de ingresantes a la facultad en 2017 es un 10% mayor que en 2016.

c) Si se compra una remera pagando con tarjeta de crédito el precio es de $500, pero

si se paga de contado se obtiene un descuento del 5%.

27


5.- Plantear y resolver los siguientes problemas:

a) La suma de tres números pares consecutivos es igual a 300. ¿Cuáles son dichos números?

b) Se le informa a un comerciante que el precio con el I.V.A. (del 21%) de cierto producto es de $ 423,50. ¿Puede determinar cuál es el precio del producto sin el I.V.A.?

c) La diferencia entre un número y el duplo de su consecutivo es –1. ¿Cuáles son dichos números?

d) El largo de un rectángulo es el triple de su ancho y su perímetro es de 56cm. Hallar las dimensiones del rectángulo.

e) La diferencia entre la base y la altura de un rectángulo es de 3 cm. Hallar las dimensiones de la figura sabiendo que el perímetro es de 62 cm.

f) El departamento de Marketing de una empresa tiene asignado un presupuesto de $ 80.000 para gastar en publicidad el próximo semestre. Se decide invertir $25.000 en la elaboración de un comercial televisivo y el resto se utilizará en la contratación con los canales de televisión. Si estos cobran $10 el segundo de publicidad, ¿Cuántos segundos podrán contratarse para el próximo semestre?

g) Hallar dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.

h) Un grupo de amigos planea una excursión a la montaña. Llaman a un albergue para preguntar cuántas habitaciones hay. La persona que les atiende les dice que hay 70 camas disponibles repartidas en 29 habitaciones, y que las habitaciones son dobles y triples. ¿Cuántas habitaciones hay de cada tipo?.

i) María y su hija Sara tienen en la actualidad 56 años entre las dos. Si dentro de 18 años Sara tendrá 5 años más que la mitad de la edad de su madre, ¿qué edad tiene actualmente cada una?.

j) Una parcela rectangular tiene un perímetro de 240 m, si mide el triple de largo que de ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?.

k) Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado $ 3500. Si en el primero nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiéramos pagado $ 3170. ¿Cuál es el precio de cada artículo?.

l) Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de las cifras es 12 y que la primera de ellas es el triple de la segunda.

m) En un concierto benéfico se venden todas las entradas y se recaudan 23 mil

dólares. Los precios de las entradas son 50 dólares las normales y 300 dólares las

vip. Calcular el número de entradas vendidas de cada tipo si el aforo del

establecimiento es de 160 personas.

n) En el aula de Alberto hay un total de 27 alumnos, habiendo el doble de chicas que de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase de Alberto?

o) Javier tiene 7 vehículos en su garaje: bicicletas (2 ruedas) y triciclos (3 ruedas). ¿Cuántas bicicletas y cuántos triciclos tiene Javier si suman un total de 17 ruedas?

p) Tomás utiliza en el gimnasio 9 pesas, siendo algunas de 5kg y otras, de 10kg. ¿Cuántas pesas de cada utiliza si en total levanta 65kg?

28


q) Un equipo de básquet anotó un total de 55 canastas, obteniendo 125 puntos. ¿Cuántos tiros de campo (2 puntos) y triples (3 puntos) realizaron?

6.- Determinar la forma general de cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas. A

partir de ellas, identificar los coeficientes a, b, y c, y completar el cuadro

7.- Dadas las siguientes ecuaciones:

i) Resolverlas.

ii) Clasificarlas en incompletas o completas. Si son completas, resolverlas aplicando

la fórmula.

a) x (x + 3) – (3x + 4) = 0 f) x (x + 1) (x + 3) = (x + 2)3

b) (2x + 4)2 = (x + 3)2 g) 5x

2x+4−

x−4

x2+4x+4=

2

x+2

c) 3x2

2−

2x

3=

x

6+

5x2

4 h) x2 = 2 (x – 1) (x + 2)

d) x2 − 2√2x + 3 = 0 i) 4x2 + 10 = 26

e) – 25x2 + 4 = 0 j) x2 = x

8.- Sabiendo que 3 es una de las raíces de la ecuación: ax2 + 5x = 33, obtener el valor de

a y de la otra raíz.

9.- Dada la ecuación 2x2 + bx + c = 0, calcular los valores de b y c, sabiendo que la suma

de sus raíces es – 2 y el producto es – 4.

10.- Analizar el discriminante para responder Verdadero o Falso, según corresponda en

cada caso:

a) La ecuación 2x2 – 4x = 5 no tiene solución en el conjunto de los números

reales.

b) La ecuación 3x2 + 60x + 300 = 0 tiene solución única en los reales.

c) La ecuación 8x2 = 5x + ¼ no tiene solución en el conjunto de los números reales.

Ecuación a b c

a) 2x2 = 3 – 4x

b) 8

3 + 2x = 3x2 – 7x

c) – 5x + x2 = 3 + 12

5 x + 2x2

d) 3x (x2 + 2) – 7x = x (2 + 3x) + 3x3

29


11.- Dada las siguientes ecuaciones cuadráticas:

i) Clasificarlas como completa o incompleta.

ii) Analizar el discriminante y clasificar sus soluciones o raíces.

iii) Resolver y determinar cada una de las soluciones o raíces.

iv) Expresar la ecuación en su forma factoreada si es posible.

a) (𝑥 − 2)2 + (𝑥 − 3)2 = 181

b) 7𝑥 = 2 (10 𝑥 − 25) + 5 𝑥2

𝑥

c) 5

𝑥+3=

3

2𝑥+

2

x−3

d) 3 (𝑥2 − 1) − 2 (𝑥2 + 2) = 18

e) 𝑥 (4𝑥 + 3) − 2

3 𝑥 =

7

3𝑥 − 4

f) 5𝑥−3

𝑥=

7−𝑥

𝑥+2

g) 𝑥+2

𝑥−2+

𝑥−2

𝑥+2=

40

𝑥2−4 h)

𝑥+14

𝑥−1− 4𝑥 = 14

12.- Analizar la naturaleza de sus raíces y resolver las siguientes ecuaciones aplicando la fórmula:

a) x² + 6x – 27 = 0 b) 4x² - 8x + 3 = 0

c) 9x² - 12x + 4 = 0 d) 2x² - 6x – 8 = 0

13.- Reconstruir las ecuaciones de segundo grado, cuyas raíces son:

a) x1 = 6 ; x2 = 4 c) x1 = 4 – 3i ; x2 = 4 + 3i

b) x1 = – 2 + √2 ; x2 = – 2 – √2 d) x1 = 0 ; x2 = 3

14.- Dados:

a) x1 = – 6 ; x2 = 7; a = – 3 c) x1 = 5 + 3i ; x2 = 5 – 3i ; a = – 2

b) x1 = x2 = – 5 ; a = 2 d) x1 = 2 + √5 ; x2 = 2 – √5 ; a = 3

Escribir las ecuaciones en la forma ax2 + bx + c = 0 y en forma factoreada.

15.- Una raíz de la ecuación: 2x² - 7x + k = 0 es “2”. Hallar la otra raíz y determinar el valor de k.

16.- La ecuación 𝑥2 + 𝒎 𝑥 + 12 𝒎 = 0 tiene a 4 como raíz. Calcular la otra raíz.

17.- Determinar k de tal modo que la ecuación 4𝑥2 + 2(𝒌 − 10)𝑥 + 8𝒌 = 0 tenga una única raíz.

30


18.- Determinar los valores de k para que la ecuación 𝑥2 + 𝒌 𝑥 + 9 = 0 , tenga:

a) Dos soluciones reales.

b) Una única raíz.

c) Carezca de soluciones reales.

19.- Resolver los siguientes sistemas de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas.

a) {2x − y = 3

x2 − y2 = 3

e)

8

35 2

yx

xxy

b) {x2 + y2 = 52

x − y = 1

f)

xxy

yxx

4

02

2

2

c) {2(x + 3)2 − 2(x2 + 5) = −4y

y = x2 g)

2

22 452)32(

xy

yxx

d) {2x + y = 8

2x + y2 = 10 h)

13

42

22 yx

yx

20.- En las siguientes situaciones escribir en forma simbólica e identificar la incógnita:

Situación Expresión Simbólica

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21.- Resolver las siguientes inecuaciones expresando la solución como intervalos y

representarlo gráficamente sobre la recta real.

a) 2 (x + 1) – 3 (x – 2) < x + 6 h) 7x² + 21x – 28 ˂ 0

b) x2 – 3x – 10 > 0 i) x² + 2x + 1 ≥ 0

c) x−4

3≥

2−3x

3 j)

x+2

x−2≤ 0

31


d) – 5 + x/2 > 3 – 2x k) x2+x−2

x−3˃0

e) 1 + 2x < – 2x + 5 l)(3x+1

7−

2−4x

3) ≥ (

−5x−4

14+

𝑥

6)

f) x2−4

x+3 ≤ 0 m)

𝑥

x+3˂ 0

g) 6 (x+1

8−

2x−3

16) ˃ 3 (

3

4x −

1

4) −

3

8(3𝑥 − 2)

22.- Aplicar propiedades del valor absoluto para resolver las siguientes inecuaciones:

a) | 2x | 8 i) |x+4

5| ≤ 2

b) |4x – 2 | < 1 j) (2x – 3)2 > 25

c) 3x+1 4

5

k) 15 x

d) x2 – 16 ≥ 0 l) 10

1

2

1x

e) (2x)2 ≤ 81 m) 33

5x

f) | 3x +5 | < 4 n) 19

12 x

g) | 4x + 2 | 10 o) 2423 x

h) 9 – x 2 > 0 p) 35374 x

23.- Resolver y expresar en notación de intervalos:

a) Un estudio estadístico revela que el nivel de ventas x de una pequeña empresa

(expresado en miles de unidades), tiene una variación anual dada por la expresión:

15,12

x

Bajo esta condición, ¿entre que valores varia el nivel de ventas anualmente?

b) Una revista médica establece que los niveles de colesterol en sangre x son

considerados anormales cuando cumplen la condición: 5

180x>4

32


Se desea determinar explícitamente los niveles de colesterol en sangre que se

consideran anormales.

c) Una empresa se dedica a la fabricación de una línea de detergentes para el hogar.

En el proceso de producción se incurre en un costo diario de $500 para iniciar el

proceso y $0.80 por litro de detergente fabricado. Si el gerente de finanzas de la

empresa ha establecido que se gaste diariamente entre $1.000 y $1.200 en dicha

producción ¿Cuáles son los litros de detergente que se podrían producir?

24.- Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 5 3 – x = 125 g) (2𝑥)2 − 3 . 2𝑥 − 4 = 0

b) 2 x + 2 + 2 x + 1 + 2 x = 7

2 h) 4𝑥 − 2𝑥+1 + 1 = 0

c) 2 2x + 1 = 8 i) 9𝑥 + 3𝑥+1 − 108 = 0

d) 2 x + 3 . 2 x – 1 = 0 j) √8𝑥+2

= √16𝑥4

e) 31−x2=

1

27 k)

[(16)𝑥]2

8𝑥=

1

32

f) [(27)𝑥]2 ∶ 39𝑥 = 1

729 l) 3x + 3x–1 + 3x–2 + 3x–3 + 3x–4 = 363

25.- Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) log x + log 50 = 3 h) (log3 x)2 – 12 log3 x = – 32

b) log (x + 1) + log ( x – 2) = log (x2 + 5) i) (log2 x)2 – 3 log2 x = 10

c) log 3 x2 + log 3 x – 6 = 0 j) log3 2(x + 1) – log3 (–x + 2) = 2

d) log (3 + x) = 2 log (3 – √x) k) log2 (x2 – 1) – log2 (x + 1) = 2

e) log (x + 3) + log (2x – 1) = log (2x2 + 8) l) 2)4log(

)7log( 2

x

x

f) log (x + 1) – log (x – 2) = log 2 m) log (x + 9) – log x = log (x + 1)

g) 3 log x – log 32 = log x – log 2 n) log (7x – 9)2 + log (3x – 4)2 = 2

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