INTRODUCCIÓN A LAINTRODUCCIÓN A LAINTRODUCCIÓN A LA INTRODUCCIÓN A LA INFORMACIÓN CUÁNTICA INFORMACIÓN CUÁNTICA

AVANCES RECIENTES EN FÍSICA APLICADA A LA INGENIERÍAESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROSDEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA III

11LIBRE CONFIGURACIÓN. CURSO 11/12

Semana I (Prof Alberto Casado)Semana I (Prof. Alberto Casado) I. Fundamentos de Mecánica Cuántica.

ó á í III. Comunicación Cuántica: Criptografía, Codificación densa y Teletransporte.

Semana II (Prof. José Martínez) IV. Computación Cuántica

22

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOSFUNDAMENTOS MATEMÁTICOSFUNDAMENTOS MATEMÁTICOSFUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

La Mecánica Cuántica se desarrolla en La Mecánica Cuántica se desarrolla en espacios vectoriales denominados espacios vectoriales denominados espacios de Hilbert.espacios de Hilbert.pp

Para comenzar, repasaremos Para comenzar, repasaremos brevemente las ideas fundamentalesbrevemente las ideas fundamentalesbrevemente las ideas fundamentales brevemente las ideas fundamentales relativas al espacio euclídeo relativas al espacio euclídeo tridimensional tridimensional EE3.3.

33

v

OPERACIONES BÁSICAS

vOPERACIONES BÁSICAS

1) SUMA DE VECTORES

EED d

321

3231

EvvSUMAla

EvyEvDados

3, EvyRrDado 2) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

3

3,Evr

y

32211 Evrvr

• COMBINACIONES LINEALES

44

32211 Evrvr

3) PRODUCTO ESCALAR1v1v

2v

| || | cosv v v v

1 2 1 2

1 2 2 1

| || | cos( )

v v v vv v v v conmutativo

1 2 3 1 2 1 3( ) ( )v rv sv r v v s v v linealidad

2| | 0

| |

v v v

1 2 1 1 2 2| |

( )v v v v v vdesig Cauchy Schwarz

55

( . )desig Cauchy Schwarz

BASE ORTONORMAL

ijji ee

3e vijji

erererv 332211

2e ii evrsiendo

1e 332211 eaeaeaa

3

332211 ebebebb

31

332211 ii

ibababababa

66

3

1

2

iiaaa

UN BREVE REPASO DE FÍSICA CLÁSICA1 Partícula clásica: su estado1. Partícula clásica: su estado

queda determinado a partir de su posición y su cantidad de movimientocantidad de movimiento.

2. Ambas variables tienen valores precisos, bien d f d d

mdefinidos en cada instante de tiempo.

3. Siempre es posible, al r v3. Siempre es posible, al

menos en principio, medir ambos valores sin perturbar apreciablemente

F

perturbar apreciablemente el sistema.

4. Conociendo las fuerzas que actúan sobre la partícula la vmdF )( actúan sobre la partícula, la aplicación de la 2ª ley de Newton permite determinar su estado en cualquier

dtF )(

77

su estado en cualquier instante de tiempo, a partir de las condiciones iniciales.

La Mecánica CuánticaLa Mecánica Cuántica La Representación matemática de la La Representación matemática de la

Mecánica Cuántica se desarrolla en Mecánica Cuántica se desarrolla en espacios vectoriales lineales complejos espacios vectoriales lineales complejos p p jp p jdenominados espacios de Hilbert. denominados espacios de Hilbert. Los escalares son NÚMEROS COMPLEJOSLos escalares son NÚMEROS COMPLEJOS Los escalares son NÚMEROS COMPLEJOS.Los escalares son NÚMEROS COMPLEJOS.

Los elementos (vectores) de este espacio Los elementos (vectores) de este espacio ( ) p( ) pse representan mediante los “kets”:se representan mediante los “kets”:

88

I LOS POSTULADOS DE LAI LOS POSTULADOS DE LAI. LOS POSTULADOS DE LA I. LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICAMECÁNICA CUÁNTICAC C CU CC C CU C Postulado 1: La descripción del estado

á ticuántico Postulado 2: La descripción de las magnitudes

fí ifísicas Postulado 3: Resultados de las medidas. Postulado 4: Probabilidades de los resultados Postulado 5: La medida. El colapso del vector

de estado. Postulado 6: La ecuación de Schrödinger.

99

Postulado 1: La descripciónPostulado 1: La descripción del estado cuántico

Cada sistema cuántico tiene asociado un espacio de Hilbert Hasociado un espacio de Hilbert H.

El estado del sistema se representa por un vector de Hpor un vector de H.

Sistema S Espacio de Hilbert H

1010H Estado de S

Postulado 2: La descripción de las magnitudes físicas

Cada magnitud física del sistema está representada por una matriz hermítica

(observable) que opera en el espacio de(observable) que opera en el espacio de Hilbert que representa al sistema.

Rep o de Álgeb M t i he míti e q ell q e e ig l t p e t

Magnitud física “A” de S Matriz hermítica ARepaso de Álgebra: Matriz hermítica es aquella que es igual a su traspuesta conjugada. Sus propiedades son: 1) Sus valores propios son reales y 2) En el caso no degenerado, los vectores propios forman una base ortonormal del espacio.

ˆ ;i i i iA a a R

i j ij 1111

i j ij

Postulado 3: Los resultadosPostulado 3: Los resultados de las medidas

Cuando se mide una magnitud física de n sistema c ántico losfísica de un sistema cuántico, los

únicos valores que se pueden q pobtener son los valores propios de la matriz correspondiente a dichala matriz correspondiente a dicha

magnitud.ˆ ;i i i iA a a R

1212

naaa ...,..........,, 21Resultados posibles al medir:

Postulado 4:ProbabilidadesPostulado 4:Probabilidades de los resultados

La probabilidad de obtener el valor propio aiLa probabilidad de obtener el valor propio aide la magnitud A es igual al cuadrado del módulo del producto escalar de la funciónmódulo del producto escalar de la función propia correspondiente a dicho autovalor, por la función de onda que representa alpor la función de onda que representa al

estado del sistema.

2( ) | |i iP a 1313

Postulado 5: La medida. ElPostulado 5: La medida. El colapso del vector de estado.

El t d t d i di t tEl vector de estado inmediatamente después de la medida es el vector

propio correspondiente al valor obtenido de dicha magnitud.g

Se produce lo que se denomina “colapso del vector de estado”del vector de estado .

1414

Supongamos n=2 (espacio de Hilbert bidimensional) Estado Estado Magnitud Observable:

V l i

A

Aaya Valores propios

Vectores propios Probabilidades:

21 aya1 2y

1 1 2 2c c 2( ) | |P a c

21 1( ) | |P a c

2 2( ) | |P a c

)(

EJEMPLO GRÁFICO (no riguroso) DEL COLAPSO:

)( t2

MEDIDA

15151 1a1)( t

Vector propio 2

Aestado

De la magnitud A

Vector propio 1

De la magnitud A

Se mide la magnitud A

g

SISTEMA

Estado después de la

a

Estado después de la medida=vector propio 1

a1

Se obtiene uno de los1616

Se obtiene uno de los autovalores

Postulado 6: La ecuación de Schrödinger

La evolución temporal del vector de estado del sistema, cuando no se producen medidas, está gobernada por la ecuación de Schrödinger

d )(|ˆ)(| tHt

dtdi

es el observable asociado a la energía del sistema, y se denomina Hamiltoniano

H

sJhh 106266; 34

se denomina Hamiltoniano

sJh .10626.6;2

es la constante de Planck.1717

es la constante de Planck.

HSistema S Espacio de Hilbert H

E t d d S HEstado de S

Magnitud física “M” de Matriz hermíticaMagnitud física M de S

Matriz hermítica

M¿Q é d bt l di¿Qué podemos obtener al medir “M”?

Uno de los autovalores

¿Qué nos proporciona el vector de estado?

Las probabilidades de los autovaloresde estado? los autovalores

¿Cómo cambia el estado del l d d ?

Colapsa al autovector sistema en la medida? correspondiente al valor

obtenido¿Cómo evoluciona el estado ó d

1818cuando no se mide? Ecuación de

Schrödinger

SISTEMAS DE DOS NIVELES

• Física Clásica: Sistemas que pueden estar en dos estados.Fí i C á ti Si t b bl ti d• Física Cuántica: Sistemas cuyos observables tienen dos

autovalores y dos autovectores. El principio de Superposición permite generar superposiciones de los dos estados base.

Ó

Niveles electrónicos

SUPERPOSICIÓN

de átomos

PolarizaciónEjemplos de sistemas cuánticos

Polarización de fotón

EspínY

Espín de partículas espín 1/2

ZX

1919

Quantum bits Quantum bits (qubits)(qubits)(qubits)(qubits) 0

1INFORMACIÓN CLÁSICA EL “Bit”

1|0||

1CLÁSICA: EL “Bit”

INFORMACIÓN|1>

INFORMACIÓN CUÁNTICA: EL “Quantum Bit” |0>

Base computacional

22 ||)"1(";||)"0(" PP

||1>

| 1|'| 0|'|

|0>Medida del qubit

Si se obtiene el valor 1 Si bti l l 02020El conocimiento que se adquiere a partir de la medida El conocimiento que se adquiere a partir de la medida

está ligado a la pérdida de la superposición. está ligado a la pérdida de la superposición.

Si se obtiene el valor 1 Si se obtiene el valor 0

El Principio de incertidumbre de Heisenbergp g

El conmutador de dos operadores se define como:

ABBABA ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[ Los operadores conmutan cuando satisfacen la relación:

ABBABA ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[

Ó

|]ˆˆ[| BA

RELACIÓN DE INCERTIDUMBRE

Magnitudes A y B

2|],[| BA

BA Observables ABB

Estado del sistema El producto de las desviaciones estándar asociadas a la medidas de dos observables en un estado cuántico, es mayor o igual que el módulo del valor medio del

2121

y g qconmutador de ambos observables en dicho estado, dividido por 2.

Magnitudes compatibles e incompatiblesMagnitudes A y B Operadores A

BMagnitudes Compatibles

B

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B édespués, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida coincide con

el de la tercera medida.

Magnitudes Incompatibles

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B después y en tercer lugar A el resultado de la primera medida no coincidirádespués, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida no coincidirá, en general, con el de la tercera medida.

Teorema de compatibilidadTeorema de compatibilidad

Las siguientes afirmaciones son equivalentes: Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A y B son compatibles.2. Los observables asociados a dichas magnitudes

tconmutan.3. Los observables asociados a dichas magnitudes

poseen una base común de vectores propios.poseen una base común de vectores propios.

Para Magnitudes Incompatibles:1. A y B son incompatibles2. Los observables asociados a dichas magnitudes

no conmutanno conmutan. 3. Los observables asociados a dichas magnitudes

no poseen una base común de vectores propios.

MAGNITUDES COMPATIBLES

ABBABA ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[ Magnitudes A y B

Observables A 1) Se mide A: hay probabilidad no nula de

Bobtener a1 y de obtener a2. Supongamos que se obtiene a2

2) Inmediatamente después se mide B: se obtiene con certeza el

111

ˆ

ˆ

aA

aA

22 mide B: se obtiene con certeza el

valor b2

3) Inmediatamente después se mide de nuevo A: se obtiene con|

| antes

222 aA

111ˆ bB

mide de nuevo A: se obtiene con certeza el valor a2

. 2 2| desp

Si l l d l it d A d d i t t bié d

222

111

ˆ

bB 11

Si el valor de la magnitud A se puede predecir con certeza, también se puede predecir con certeza el valor de la magnitud B.

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, BSi se miden de forma consecutiva, y simultáneamente , primero A, B después, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida coincidirá con el de la tercera.

MAGNITUDES INCOMPATIBLES

ABBABA ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[ 2) Se mide B

3) Se mide A

Se hacen tres medidas consecutivas y “simultáneas”:

1) Se mide A

22 22

3) Se mide A

'||

1) Se mide A

1|

1

11 11

Si el valor de una de las magnitudes se puede predecir con certeza, entonces no se puede predecir con certeza el valor de la otra magnitud.

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B después, y en tercer lugar A el resultado de la primera medida en general no coincidirá

p p g

en tercer lugar A, el resultado de la primera medida, en general, no coincidirá con el de la tercera medida.

CRIPTOGRAFÍACRIPTOGRAFÍA

CRIPTOLOGÍA

CRIPTOGRAFÍA CRIPTOANÁLISIS

¿?

ÍEVA= ESPÍA

BLAS RECEPTOR2626

ALICIA= EMISOR BLAS= RECEPTOR

MÉTODOS EN CRIPTOGRAFÍA CLÁSICAMÉTODOS EN CRIPTOGRAFÍA CLÁSICA

Las letras del mensaje se reorganizan mediante una permutación especial.

• TRANSPOSICIÓN: p p

INGENIEROS NIEGINRESO

Las letras del mensaje se reemplazan por otras letras números o símbolos arbitrarios

• SUSTITUCIÓN:por otras letras, números o símbolos arbitrarios.

A DB EB EC F, etc

2727INGENIEROS LQJHQLHURV

PROBLEMAS DE LA CRIPTOGRAFÍA CLÁSICAPROBLEMAS DE LA CRIPTOGRAFÍA CLÁSICA

SEGURIDAD: Los métodos de transposición y sustitución NO son seguros. La frecuencia con la que aparece una determinadaLa frecuencia con la que aparece una determinada

letra en un texto inteligible es aproximadamente constante.

75100 Número de veces

(frecuencia) que

0

5025

aparece cada letraen el abecedarioinglés (tanto por mil).

a b c d e f g h i j k l m n op q r s t u v w x z

EL DESARROLLO DEL CRIPTOANÁLISIS ESTÁ LIGADO AL DE LA COMPUTACIÓN

2828

Claves secretas EVA

CLAVE

CRIPTOGRAMA

ALICIA BLAS

MENSAJECRIPTOGRAMA

CRIPTOGRAMAMENSAJE

CLAVECRIPTOGRAMA

CLAVE

MENSAJE

1 L l it d i t ió d if i t d i i t1. Los algoritmos de encriptación y desciframiento son de conocimiento público.

2. El criptograma puede ser susceptible de ser interceptado (no p g p p p (problema).

3. La seguridad depende del secreto de la clave, que debe generarse entre Alicia y Blas antes de enviar el mensaje

2929

entre Alicia y Blas antes de enviar el mensaje.

4. ¡Atención! “Siempre es posible, en principio, espiar el sistema de distribución de clave sin que emisor y receptor se enteren.

CRIPTOGRAFÍA DE CLAVE PÚBLICA

Blas, quiero mandarte l

Vale Alicia, espera que te

CRIPTOGRAFÍA DE CLAVE PÚBLICA

algo. mando la clave para encriptar

MENSAJE

ALICIA BLAS

Clave públicaMENSAJE p

Clave privada

CRIPTOGRAMA

3030

1. No necesitan estar de acuerdo en la clave antes de enviar el mensaje.

2. Dos claves: Una pública, para encriptar el mensaje, y otra privada, para descifrarlo.p

3. Es posible obtener la clave privada a partir de la clave pública, pero es muy difícil.

4. SE BASAN EN EL DIFERENTE GRADO DE DIFICULTAD DE4. SE BASAN EN EL DIFERENTE GRADO DE DIFICULTAD DE CIERTAS OPERACIONES MATEMÁTICAS, SEGÚN LA DIRECCIÓN EN QUE SE REALICEN (FACTORIZACIÓN DE GRANDES ENTEROS)GRANDES ENTEROS).

5. Para factorizar un número entero de N dígitos decimales, el número de operaciones que debe hacer un ordenador lá i i l t Nclásico crece exponencialmente con N.

6. ¡¡¡SON VULNERABLES A ALGORITMOS DE COMPUTACIÓN CUÁNTICA!!! LA CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA RESUELVE EL

ÁPROBLEMA, AUNQUE EXISTIESEN ORDENADORES CUÁNTICOS.

3131

CRIPTOGRAFIA CUÁNTICACRIPTOGRAFIA CUÁNTICAAlicia y Blas tienen que compartir una CLAVE SECRETA, pero ¿quién nos asegura

que mientras se estaban comunicando dicha clave, un espía no estaba “ i h d ” l i ió ?“pinchando” la comunicación?

AliciaCRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA

(Espía)MEDIR ES PERTURBAR

(Emisor)Eva

Esta perturbación puede ser detec-

Blas

tada por Alicia y Blas, percatándo-se de la existencia de un espía y cortando la comunicación.

3232(Receptor)

Implementación física de los qubits con fotones

Física clásica: la luz es una onda Física clásica: la luz es una onda electromagnética.electromagnética.

Xelectromagnética.electromagnética.

POLARIZACIÓN: Propiedad de la luz POLARIZACIÓN: Propiedad de la luz asociada al plano donde vibra el asociada al plano donde vibra el campo eléctricocampo eléctrico

cE

campo eléctrico. campo eléctrico. POLARIZADOR: Aparato que sirve POLARIZADOR: Aparato que sirve

para cambiar la polarización de la para cambiar la polarización de la luz La intensidad de la luz al pasarluz La intensidad de la luz al pasar

ZY

B

luz. La intensidad de la luz al pasar luz. La intensidad de la luz al pasar por el polarizador es (ley de Malus)por el polarizador es (ley de Malus)

20 cosII

Y

Mecánica cuántica: la cuantización Mecánica cuántica: la cuantización del campo electromagnético lleva al del campo electromagnético lleva al

dd f óf ó d ld l

0 cosII

concepto de concepto de fotónfotón, o cuanto de luz, , o cuanto de luz, que conjuga la dualidad ondaque conjuga la dualidad onda--partícula en el caso de la luz.partícula en el caso de la luz. Eje del polarizador

3333

ESTADOS DE POLARIZACIÓN DEL FOTÓN

Magnitud: Polarización en la dirección OXX

YESTADOS DE POLARIZACIÓN DEL FOTÓN

XZVectores propios

|V>Yp p

|H>X |

1001

PObservable correspondiente en la base0

01

101

1001ˆ HP

0

)1(001ˆ

0010

VP3434

1)1(

110VP

MEDIDA DE LA POLARIZACIÓN EN LA BASE {|H>, |V>}

DH

Detector

Detector

Fotones polarizados horizontal o verticalmente

DV

SEPARADOR DE POLARIZACIÓN (H, V)

o verticalmente

0)(;1)(|| DVPDHPH

FUENTE

0)(;1)(|| DVPDHPH

1)(;0)(|| DVPDHPV

|V>}|,{| VH|H’>

|V’> ¿Se puede medir

|H

|}'|,'{| VH

¿Se puede medir simultáneamente la

polarización en ambas 3535

|H> bases?

DH

Detector

Detector

Consideremos º45

DV¿?SEPARADOR DE POLARIZACIÓN (H, V)

Fotón polarizado a 45 grados

FUENTE

11121)()(|

21|

21'|| DVPDHPVHH

Las polarizaciones en sendas direcciones no pueden tomar valores con certeza simultáneamentevalores con certeza simultáneamente.

ˆˆ36360],[ PP

Los observables asociados a la polarización en dos direcciones que forman entre sí 45º no conmutan entre sí.

Es imposible tener, de forma simultánea, valores p , ,definidos de la polarización en la base rectilínea y en la base diagonal.

C l i i t t d di l l i ió bCualquier intento de medir la polarización en una base, produce una perturbación en la polarización asociada a la otra basela otra base.

3737

PROTOCOLO BB84 de Criptografía Cuántica

}|,{| VH }'|,'{| VH

(1) Alicia PREPARA, de forma aleatoria, fotones en las bases

y , y los ENVÍA a Blas.y , y

|V>|H’>|V’>

0

10 |

|H> 1

(2) Para cada fotón que recibe, Blas MIDE su polarización, l i l b l b Ali i (Bl )aleatoriamente en la base o en la base . Alicia (Blas) anota

la secuencia de bits que envía (recibe) y las bases utilizadas.

1

1

3838ALICIABLAS

1

0

0

0

ALICIABLAS

0

50% de probabilidad de obtener “0”0

50% de probabilidad de obtener 0

50% de probabilidad de obtener “1”

MEDIDA

(3) Blas ANUNCIA PÚBLICAMENTE la BASE que utilizó para cada(3) Blas ANUNCIA PÚBLICAMENTE la BASE que utilizó para cada medir cada fotón. NO DICE EL RESULTADO OBTENIDO.

(4) Alicia ANUNCIA PÚBLICAMENTE la BASE que utilizó para(4) Alicia ANUNCIA PÚBLICAMENTE la BASE que utilizó para preparar cada fotón.

LOS RESULTADOS ESTARÁN PERFECTAMENTE CORRELACIONADOS

3939

CUANDO USARON LA MISMA BASE, Y PERFECTAMENTE DESCORRELACIONADOS CUANDO USARON BASES DISTINTAS.

(5) Ali i Bl d l t l bit(5) Alicia y Blas se quedan solamente con los bits correspondientes al uso de la misma base.

(6) AUTENTIFICACIÓN: Alicia y Blas anuncian públicamente

p te ( le to i ) de lo e lt do g d do SI SON TODOSparte (aleatoria) de los resultados guardados. SI SON TODOS IGUALES, entonces no ha habido intercepción por parte de un espíaespía.

(7) En tal caso ya tienen una clave secreta, a partir del resto d l l d d dde los resultados guardados.

(8) Pero si los resultados que anuncian no coinciden en su(8) Pero si los resultados que anuncian no coinciden en su totalidad, entonces ALGUIEN HA INTERCEPTADO LOS QUBITS EMITIDOS POR ALICE, ES DECIR, LOS HA MEDIDO

4040

, ,“DESTRUIDO”.

ALICIA BLAS CLAVE

1 | V > 0

Qubit eviado por Alicia

Valor delbit

Base usada por Alicia

0

Base usada por Blas

Resultado obtenido por Blas

NO

Discusiónpública

Autenti-ficación

SECRETA

12

| V >| H>

01

01

NOOK 1

34

| H’>| V >

10

10

NOOK (0,0) SI

56

| V’ >| H >

01

01

OKNO

0

78

|V >| V’>

00

00

OKOK (0,0) SI

(0,0) SI

910

||H > 1

0| V >00

NOOK

( )

0

4141

0 0| V 0 O 0

Qubit eviado por Alicia

Valor delbit

Base usada por Alicia

ALICIABase usada por Blas

Resultado obtenido

BLASDiscusiónpública

Autenti-ficación

12

| V >| H>

01

por Alicia bit por Alicia

00

por Blas obtenido por Blas

NOOK

pública ficación

(1 0) NO2

3| H>| H’>

11

01

OKNO

(1,0) NO

45

| V >| V’ >

00

01

OKOK

(0,0) SI

(0,1) NO

67

| H >|V >

10

10

NOOK (0,0) SI

89

| V’>|H >

01

00 NO

OK (0,0) SI

10 0| V > 0 OK

4242Como consecuencia de la intercepción del espía, se aborta el

proceso de distribución cuántica de clave.

Estados separables o no entrelazados

SISTEMAS COMPUESTOS EN MECÁNICA CUÁNTICA: ENTRELAZAMIENTO

Estados separables o no entrelazados“el estado de cada parte está definido”

|1>1 24232 1|0|| cc

|0>

12111 1|0|| cc

|0>1

SISTEMA 1 SISTEMA 2 2121 |||

Entrelazamiento (entanglement)

2121 |||

“el estado de cada parte NO está definido”

4343

Qubits múltiplesInformación clásica

Sistema compuesto por dos bits clásicos

0SISTEMA 2

0SISTEMA 1

Sistema compuesto por dos bits clásicos

1

0

1

0

00, 01, 10, 11El sistema formado por los dos bits clásicos puede estar en 4 posibles estadospuede estar en 4 posibles estados

000, 001, 010, 011 100 101

El sistema formado por los tres bits clásicos p ede e t en 8 po ible e t do

Para un sistema de n bits clásicos, existen 2n estados posibles.

011, 100, 101, 110, 111

puede estar en 8 posibles estados

Para un sistema de n bits clásicos, existen 2 estados posibles.

4444

Información cuántica

|1>1SISTEMA 1 SISTEMA 2 SISTEMA 1+2

}11|,10|,01|,00{|

|0>Base Computacional

|0>1

11|10|01|00|| Para un sistema de n qubits:

• El espacio de Hilbert del sistema tiene 2n dimensiones.p

• 2n es el número de estados de la base computacional.

• El estado del sistema se especifica con 2n amplitudes complejas.

• Ejemplo: Para n=500, 2n es mayor que el número estimado de átomos en el universo. Es inconcebible que un ordenador clásico pueda almacenar tal cantidad de datoscantidad de datos.

4545

LA PARADOJA E.P.R. (1935)LA PARADOJA E.P.R. (1935)Einstein, A.; Podolsky, B.; Rosen, N. (1935). «Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered C l t ? Ph i l R i 47 777 780

Si la Mecánica Cuántica es una teoría completa, entonces está en Si la Mecánica Cuántica es una teoría completa, entonces está en contradicción con el Realismo Local.contradicción con el Realismo Local.

Complete?». Physical Review 47: pp. 777-780.

PRINCIPIO DE REALIDAD: Si, sin perturbar a un sistema físico, se puede predecir con certeza el valor de una magnitud física, entonces existe un elemento de realidad g ,asociado a esta magnitud física.

PRINCIPIO DE LOCALIDAD: Si dos sistemas están causalmente desconectados, el resultado de una medida realizada sobre un sistema no puede tener influencia sobre el resultado de otra medida realizada en el otro sistema.

11 , tx 22 , tx X|||| tcx

4646

1 21 2

11 , tx 22 , txX

|||| tcx

Fuente de qubits entrelazados (conversor paramétrico a la baja)RESULTADO DE LA

RESULTADO DE LA MEDIDA

21212

1 HVVH

RESULTADO DE LA MEDIDA

Colapso del vector de estado al medir la partícula 1

21' HV

4747

1. El resultado de la medida sobre la partícula 2 se sabe con certeza antes de medir.

2. Como las dos medidas están causalmente desconectadas (principio de localidad), entonces existe un elemento de realidad asociado a la polarización de la partícula 2 en la base rectilínea (principio de realidad). Este elemento de realidad existía antes de medir la partícula 1.

3. La invariancia rotacional del estado entrelazado implica que existe un elemento de realidad asociado a la polarización de la partícula 2 en cualquier base.

4. Pero estos elementos de realidad no tienen contrapartida en la Teoría Cuántica, porque:

• La descripción a través del estado entrelazado no permite tal asignación del elemento de realidad.

• Los operadores asociados a la polarización en la base rectilínea y diagonal no conmutan• Los operadores asociados a la polarización en la base rectilínea y diagonal no conmutan, luego la Teoría cuántica no permite la asignación de valores definidos, de forma simultánea, de la polarización en cualquier dirección.

LA MECÁNICA CUÁNTICA ES INCOMPATIBLE CON EL REALISMO LOCAL

La Mecánica Cuántica es incompleta (conclusión EPR)Dos posibles conclusiones enfrentadas:

La Mecánica Cuántica es completa, pero el realismo local no se cumple. 4848

Codificación densaEs una forma de transmitir dos bits de información a través de la manipulación de sólo una de dos partículas entrelazadas, cada una de las cuales lleva individualmente un bit de p ,información.

Clásicamente, un sistema compuesto por dos subsistemas de dos niveles sólo puede almacenar 4 elementos de información clásica: 00, 01, 10 y 11.

La codificación de dos bits de información requiere la manipulación de los dos sistemas (ej. Partículas).

La Mecánica Cuántica permite codificar dos bits de información manipulando sólo una

1

partícula, lo que se consigue gracias a la superposición de combinaciones clásicas de estados de dos o más partículas (estados entrelazados). Se usan los estados de la base de Bell:

01101

01102

1

00111

01102

00112

1

00112

2

4949

TeletransporteAlice tiene una partícula en un estado, y quiere transferir este estado

Alice

111 1|0||

Alice tiene una partícula en un estado, y quiere transferir este estado cuántico a Bob, pero no le puede enviar la partícula.

11 Para hacerlo, Alice y Bob usan un sistema auxiliar formado por un par de partículas entrelazadas. Alice dispone de un aparato para medir los estados de la base de Bell.

La partícula 2 se envía a Alice y la partícula 3 a Bob

BSM

La partícula 2 se envía a Alice, y la partícula 3 a Bob.

Alice mide el estado de Bell de las partículas 1 y 2, e INFORMA Bob a través de un canal clásico (le manda dos bits de información clásica), con objeto de que Bob haga una transformación unitaria sobre su partícula que le permita

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Bob haga una transformación unitaria sobre su partícula que le permita reproducir el estado inicial de la partícula 1.

1

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3312

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21

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2

Bob 5050

TrabajosTrabajosTrabajosTrabajos

T1: Experimentos recientes de criptografía cuántica con T1: Experimentos recientes de criptografía cuántica con fotones.fotones.fotones.fotones.

T2: Ataques a sistemas criptográficos cuánticos.T2: Ataques a sistemas criptográficos cuánticos. T3: Experimentos recientes de comunicación cuántica con T3: Experimentos recientes de comunicación cuántica con

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cuántica: criptografía,cuántica: criptografía, teletransporteteletransporte, codificación densa…., codificación densa….cuántica: criptografía, cuántica: criptografía, teletransporteteletransporte, codificación densa…., codificación densa…. T5: Empresas dedicadas a la comunicación cuántica.T5: Empresas dedicadas a la comunicación cuántica. T6: La enseñanza de la información cuántica en las T6: La enseñanza de la información cuántica en las

i id d ñ li id d ñ luniversidades españolas.universidades españolas.

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