Introduccin a las
Funciones
Logartmicas MATE 3171
Logaritmos de base a
Anteriormente repasamos que para 0 < a < 1 o a > 1 ,
la funcin exponencial f(x) = ax es uno-a-uno, y por lo
tanto tiene una funcin inversa.
Sea a un nmero real positivo distinto de 1.
El logaritmo base a de x se define como
y = loga x si y solo si x = ay
para cada x > 0 y cada nmero real y.
Forma Logartmica vs. Forma Exponential
Note que las dos ecuaciones mencionadas en
la definicin anterior son equivalentes.
y = loga x y x = ay .
El diagrama muestra que el logaritmo es un
exponente.
Ejemplos A continuacin se muestran varios ejemplos de formas
equivalentes:
381 = 4 34 = 81
16913 =12 169
12 = 13
515 = 1 5
1 =1
5
21 = 0 20 = 1
Ejemplos Determine el nmero si es posible:
Debemos encontrar el exponente tal que ay = x.
Propiedades de loga x Visualizar el loga x como un exponente nos lleva a
las propiedades generales siguientes:
(La propiedad 4 sale directamente de la
definicin de loga x como la inversa de ax .
Noten la composicin f(g(x))= )
Grfica de loga x
Como loga x es la funcin
inversa de ax , la grfica de
loga x es una reflexin de la
grfica de ax sobre la lnea y =
x .
Aqu se muestran las formas
generales de las grficas para
a > 1 :
Grfica de loga x
Ambas grficas son
crecientes.
Dominio ax : R
Rango: (0,)
Dominio loga x: (0,)
Rango: R
Ambas grficas tiene
asntotas.
ax : asntota horizontal y = 0
loga x: asntota vertical x = 0
Grfica de 2x y log2 x
Grfica de 2x y log2 x
Teorema: loga x es uno-a-uno
Cuando a > 1 la funcin
loga x es creciente. Se
muestra f(x)=log2(x)
Cuando 0 < a < 1 , loga x
es decreciente. Se muestra
f(x)=log1/2(x)
Por lo tanto la funcin loga
x es uno-a-uno.
Ejemplo
El teorema anterior es especialmente til al
resolver ecuaciones logartmicas.
Resolver:
Ejemplo
Resolver:
Prctica
Resolver usando la definicin de
logaritmos o el teorema de funciones uno-
a-uno:
a) log3(x+2) 2 = 1
b) log2(x2 2x) = 3
c) log3(2x2) = log3(5x + 3)
d) logb(x2 30) = logb(x)
Casos Especiales
Cuando la base a es
10 , llamamos log10 x el logaritmo comn de x ;
normalmente se escribe log x en vez de log10 x .
e, llamamos loge x el logaritmo natural de x ;
normalmente escribimos ln x en vez de loge x .
Algunos ejemplos:
Ejemplos
Determinar x si:
Propiedades para ln y log
Aqu se presentan las propiedades de logaritmos
discutidos anteriormente, expresadas para los casos
especiales a = 10 y a = e :
Frmula para cambiar de base
Las propiedades de logaritmos se pueden usar para derivar
una frmula para cambiar de base .
La frmula es til ya que muchas calculadoras slo incluyen
formas para determinar el logaritmo comn y el logaritmo
natural.
Sea u > 0 y a,b nmeros reales positivos distintos de 1,
entonces
=
Formula para cambiar de base
Determine el valor, redondeado a 2 lugares
decimales, de
log3100
Usando la frmula para cambiar de base
log3100 =
=
.
Nota que si utilizamos el logaritmo natural
log3100 =
.
=
Formula para cambiar de base
Trazar la grfica de f(x)= log4(x+2) 2 con calculadora grfica
Usando la frmula para cambiar de base:
f(x)= log4(x+2) 2
=log( + 2)
log (4) 2
Determinar dominio, rango e
interceptos para: g(x) = log2(x) 1 Primeramente, recordemos que esta funcin es
una traslacin vertical en el plano de
f(x) = log2(x).
dominio:
para la funciones logartmicas lo importante
es que el argumento no puede ser
negativo.
en este caso el argumento es x, as que los
valores posibles para x son > .
campo de valores:
aunque la grfica haya sido traslada hacia
arriba, el campo de valores sigue siendo
todos los reales; (, ).
Determinar dominio, rango e interceptos
para: g(x) = log2(x) 1
intercepto en y: g(0) no existe por que
0 NO pertenece al dominio de la funcin.
intercepto en x: y=0
log2(x) 1 = 0 int-x ocurre cuando y=0
log2(x) = 1 sumar 1 a ambos lados para dejar
la expresin logartmica sola.
x = 21 Usar la definicin de logaritmo
para hallar la forma exponencial
equivalente.
x = 2 Simplificacin
( 2,0) Expresar como un punto
Determinar dominio, rango e interceptos
de h = +
Observacin: h(x) es una traslacin
vertical y horizontal en el plano de
f(x) = log3(x).
dominio:
campo de valores:
Nota: La asntota
vertical tambin se ha
trasladado a x = - 3
Determinar dominio, rango e interceptos
de h = + (continuacin)
intercepto en y:
intercepto en x: y=0
Prctica
Hallar el dominio y los interceptos, si existen, de las
siguientes ecuaciones.
h = +
=
+
g = +
p(x) = 3log2(x + 8)
