INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA

MATERIA:

SIMULACION

CATEDRATICO:

M.C. ZINATH JAVIER GERONIMO

ALUMNAS:

YEIMI DEL CARMEN GARCIA CASTAÑEDA

YESENIA DEL ROCIO OLAN GARCIA

CARRERA:

ING. INDUSTRIAL

6TO SEMESTRE

UNIDAD 1 Y 2

1

INDICE

INTRODUCCIÓN.................................................................................................................................... 3

1.1 INTRODUCCION A LA SIMULACIÓN DE EVENTOS...................................................................4

1.2 DEFINICIONES Y APLICACIONES................................................................................................5

1.3 ESTRUCTURA Y CARACTERÍSTICAS DE LA SIMULACIÓN DE EVENTOS DISCRETOS.....6

1.4 SISTEMAS, MODELOS Y CONTROL............................................................................................7

1.5 MECANISMOS DE TIEMPO FIJO Y TIEMPO VARIABLE............................................................8

1.6 ETAPAS DE UN PROYECTO DE SIMULACIÓN...........................................................................9

2.1 NUMEROS ALEATORIOS.............................................................................................................10

2.2 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS PSEUDOALEATORIOS................................................12

2.3 PRUEBAS ESTADÍSTICAS DE ALEATORIEDAD PARA LOS NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS....................................................................................................................... 13

2.4 OBTENCIÓN DE NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS UTILIZANDO PAQUETES COMPUTACIONALES......................................................................................................................... 17

2.5 METODO DE MONTE CARLO......................................................................................................21

2

INTRODUCCIÓN

La simulación se encarga de mejorar el desarrollo de sistema de computación

innovando y diseñando tanto en la toma de decisiones como de procesos y

productos. Esta también encarga de la modelación, el análisis y el mejoramiento

de los sistemas esta nos provee una gran diversidad de herramientas estadísticas

que permite interpretar de una manera más sencilla cualquier información.

La simulación tiene diferentes modelos que presentan diferentes tipos de

situaciones como: Modelos continuos, modelos discretos, modelos dinámicos,

modelos estáticos modelos determinísticos y modelos probabilísticos.

Los seres humanos vivimos en un medio aleatorio y nuestro comportamiento lo es

también. Si deseamos predecir el comportamiento de un material, de un fenómeno

climatológico o de un grupo humano podemos inferir a partir de datos estadísticos.

Para lograr una mejor aproximación a la realidad nuestra herramienta predictiva

debe funcionar de manera similar: aleatoriamente. De esa necesidad surgieron los

modelos de simulación.

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1.1 INTRODUCCION A LA SIMULACIÓN DE EVENTOS

Simulación se refiere a un gran conjunto de métodos y aplicaciones que buscan

imitar el comportamiento de sistemas reales, generalmente por medio de una

computadora con un software apropiado.

Este proceso consiste en relacionar los diferentes eventos que pueden cambiar el

estado de un sistema bajo estudio por medio de distribuciones de probabilidad y

condiciones lógicas del problema que se esté analizando.

En la simulación de eventos se generan y administran eventos en el tiempo por

medio de una cola de eventos ordenada según el tiempo de simulación en que

deben ocurrir y de esta forma el simulador lee de la cola y dispara nuevos eventos.

Entre otros un evento puede ser: la llegada de un cliente, la llegada de un camión,

el inicio del proceso de una pieza, la finalización de un proceso de fabricación.

Esta modalidad de simulación se usa típicamente en el diseño de la mayoría de

eslabones de la cadena de suministro tales como:

Líneas de producción, plantas de procesamiento, bodegas de materia prima,

bodegas de producto terminado, puntos de atención a clientes, hospitales, centros

de atención médica.

Una variación importante de la simulación de eventos discretos es la simulación de

agentes, en ella las entidades tales como moléculas, células, árboles o

consumidores son representados directamente, estos agentes poseen estados

internos y reglas sencillas individuales que definen como son actualizados estos

estados entre los diferentes puntos en el tiempo, definiendo así el comportamiento

del conjunto de los agentes. Un ejemplo típico para este tipo de simulación es el

de peatones en un evento de evacuación, para que dado unas reglas generales

del comportamiento de movimiento de cada individuo se logre simular y determinar

el tiempo de evacuación de todo el grupo de peatones dado un número de salidas

en una locación determinada.

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1.2 DEFINICIONES Y APLICACIONES

Simulación de eventos discretos es el conjunto de relaciones lógicas, matemáticas

y probabilísticas que integran el comportamiento de un sistema bajo estudio

cuando se presenta un evento determinado.

El objetivo del modelo de simulación consiste, precisamente, en comprender,

analizar y mejorar las condiciones de operación relevantes del sistema.

Otras definiciones importantes dentro de la simulación son:

Sistema: se trata de un conjunto de elementos que se interrelacionan para

funcionar como un todo; desde el punto de vista de la simulación tales

elementos deben de tener una frontera clara.

Entidad: es la representación de los flujos de entrada y salida de un

sistema; al entrar en un sistema una entidad es el elemento responsable de

que el estado del sistema cambie.

Estado del sistema: es la condición que guarda el sistema bajo estudio en

un momento de tiempo determinado

Evento: es un cambio en el estado actual del sistema. Esta se cataloga en

dos tipos eventos actuales: que están sucediendo en el sistema en un

momento dado y los eventos futuros: cambios que se presentan en el

sistema después del tiempo de simulación de acuerdo con una

programación específica.

Localizaciones: son todos aquellos lugares en los que la pieza puede

detenerse para ser transformada o esperar a serlo.

Recursos: son los dispositivos diferentes a las localizaciones necesarios

para llevar a cabo una operación.

Atributo: es una característica de una entidad.

Reloj de simulación: es el contador de tiempo de la simulación y su función

consiste en responder preguntas: como cuánto tiempo se ha utilizado el

modelo en la simulación y cuánto tiempo se requiere que dure esta última.

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1.3 ESTRUCTURA Y CARACTERÍSTICAS DE LA SIMULACIÓN DE EVENTOS DISCRETOS

Los modelos de simulación de eventos discretos se utilizan para estudiar sistemas

y procesos cuyo estado va cambiando con el tiempo de forma discreta, por lo que

permiten conceptualizar el curso de una enfermedad y su manejo en términos de

los eventos que pueden suceder durante el modelado, y cuyo impacto afecta tanto

a los pacientes como a otros componentes del sistema.

Por todo ello, y dado que en el mundo real es frecuente encontrarse con procesos

y sistemas cuyo análisis, mediante métodos matemáticos, resulta

extraordinariamente complejo o incluso imposible de llevar a cabo, el uso de

MSED permite resolver problemas de esta índole. En tales circunstancias, la

alternativa más eficaz para afrontar este tipo de estudios consiste en construir

unos modelos lógico-matemáticos de forma que permitan imitar o simular el

comportamiento del mundo real. Como resultado de repetir dicha simulación un

número suficiente de veces, se obtendrá un histórico artificial de observaciones

sobre el comportamiento del sistema o proceso. A partir de dichas observaciones,

y utilizando técnicas de análisis estadístico, será posible extraer conclusiones

sobre el funcionamiento de dicho sistema.

La principal característica de un sistema de eventos discretos es que el sistema

está determinado por una secuencia de eventos que ocurren en momentos

aleatorios de tiempo t1, t2... y el cambio de estado del sistema tiene lugar en esos

instantes. Los pacientes son las entidades del sistema y los diferentes eventos

serán las visitas y cambios de estado de salud (respuesta) desde un nivel basal al

final, tras la toma de un tratamiento farmacológico que modificará la fisiología del

paciente o la aplicación de una tecnología sanitaria.

Algunos de los sistemas más estudiados son los problemas de colas que se

aplican en determinadas situaciones, como la espera que deben tener los

pacientes entre visita y visita, si los centros donde son tratados no pueden

absorber toda su demanda.

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1.4 SISTEMAS, MODELOS Y CONTROL

Puleo define sistema como ―un conjunto de entidades caracterizadas por ciertos

atributos, que tienen relaciones entre sí y están localizadas en un cierto ambiente,

de acuerdo con un cierto objetivo‖. El concepto de sistema en general está

sustentado sobre el hecho de que ningún sistema puede existir aislado

completamente y siempre tendrá factores externos que lo rodean y pueden

afectarlo, por lo tanto podemos referir a Muir citado en Puleo (1985) que dijo:

―Cuando tratamos de tomar algo, siempre lo encontramos unido a algo más en el

Universo‖.

ENTIDAD: es algo que tiene realidad física u objetiva y distinción de ser o de

carácter.

Las entidades tienen ciertas propiedades que las distinguen a unas de otras. 

RELACIÓN: es la manera con la cual dos o más entidades dependen entre sí.

Relación es la unión que hay entre las propiedades de una o más entidades; por

consiguiente, el cambio en alguna propiedad de una entidad ocasiona un cambio

en la otra 

ACTIVIDADES: tareas realizadas en el sistema que están involucradas directa o

indirectamente en el procesamiento de entidades (cortar una pieza). 

RECURSOS: elementos necesarios para realizar bien las actividades

(montacargas de transporte, operadores) escasas. 

CONTROLES: dictaminan dónde, cuándo, y como se efectúan a las actividades,

imponen orden en el sistema. 

MODELOS: es la representación de un sistema, situación o problema de acuerdo

al objetivo del estudio que sobre el sistema se desea realizar.

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1.5 MECANISMOS DE TIEMPO FIJO Y TIEMPO VARIABLE

La naturaleza propia de la dinámica de los modelos de simulación de eventos

discretos requiere que se lleve un registro de los Valores actuales del tiempo

simulado conforman la simulación se ejecuta, y también se requiere de un

mecanismo de alcance del tiempo de un valor a otro. Por ello, introduciremos de

nuestro modelo de simulación una variable que más proporcionará el valor actual

del tiempo simulado y lo llamaremos reloj de simulación.

Mecanismo de tiempo fijo: este tipo de mediciones será cada determinado

lapso de tiempo igual, es decir se cuantifican a los datos en un determinado

tiempo histórico. Como el número de accidentes en un año.

Mecanismo de tiempo variable: este tipo de mediciones se lleva a cabo en

tiempos variables, es decir se, agrega cada ciclo de tiempo al momento de

realizar la medición, por ejemplo cada cuando sucede un tornado.

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1.6 ETAPAS DE UN PROYECTO DE SIMULACIÓN

1. Se define el problema que se pretende estudiar.

2. Establecer objetivos.

3. Definición del sistema bajo estudio.

4. Conocer el sistema a modelar, qué origina el estudio de simulación y

establecer los supuestos del modelo.

5. Definir con claridad las variables de decisión del modelo.

6. Determinar las interacciones entre éstas y establecer con precisión los

alcances y limitaciones que aquel podría llegar a tener.

Es necesario en primer lugar definir claramente los objetivos de nuestra

investigación, antes de hacer cualquier intento encaminado a planear la

realización de un experimento en simulación.

Los ítems a trabajar en esta etapa son:

1. Definición de hipótesis

2. Causas y Efectos que deben predecirse, estimarse y evaluarse.

3. Conjunto de criterios para evaluar los resultados.

4. Decisión si es o no la Simulación la herramienta para estudiar.

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2.1 NUMEROS ALEATORIOS

Un número aleatorio es aquel obtenido al azar, es decir, que todo número tenga

la misma probabilidad de ser elegido y que la elección de uno no dependa de la

elección del otro.

PROPIEDADES

 Su generación se basa en el uso de mecanismos físicos. Entre las distintas

propuestas se incluyen el recuento de partículas emitidas por una explosión, el

lanzamiento de monedas, aparatos mecánicos basadas en ruedas de la fortuna,

etc.

 Tienen el  inconveniente de ser generados lentamente. Además, los

números aleatorios no pueden almacenarse de forma automática. Por tanto, se

deben buscar procedimientos algorítmicos computacionales que generen números

aleatorios de forma muy rápida y los puedan almacenar sin utilizar mucha

capacidad de memoria.

GENERADORES

Una de las características más poderosas de la simulación es la habilidad de

imitar el comportamiento aleatorio que es característico de la mayoría de los

sistemas reales. Para poder imitar este comportamiento aleatorio la simulación

necesita utilizar un generador de números aleatorios, el cual es responsable de

producir un ciclo grandísimo e independiente de números aleatorios.

Métodos manuales

Lanzamiento de monedas, lanzamientos de dados, dispositivos mecánicos,

dispositivos electrónicos.

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Métodos de computación analógica, son métodos que dependen de ciertos

procesos físicos aleatorios, por ejemplo, el comportamiento de una corriente

eléctrica.

Métodos de computación digital, cuando se usa el ordenador digital.

Tablas de bibliotecas, son números aleatorios que se han publicado; de los

cuales podemos encontrar listas en los libros de probabilidad y tablas de

matemáticas. Estos números fueron generados por alguno de los métodos de

computación analógica.

  TABLAS DE NÚMEROS ALEATORIOS  

Se han utilizado en estadística para la selección de muestras aleatorias. Estas

tablas resultan mucho más eficaces que la selección manual de muestras al azar

(con dados, cartas, etc.) Hoy en día, las tablas de números aleatorios han sido

sustituidas por los generadores de números aleatorios.

Las tablas de números aleatorios tienen las propiedades deseadas de

aleatoriedad, sin importar el método de elección de la muestra: por fila, columna,

diagonal o irregularmente. La primera tabla fue publicada por un estudiante de Karl

Pearson en 1927, y desde entonces diversas tablas han sido desarrolladas. Las

primeras tablas fueron generadas a través de una variedad de métodos; Leonard

Henry Caleb Tippett tomó sus números «al azar» del registro de censo, Ronald

Fisher y Frank Yates hicieron lo propio con las tablas de logaritmos y en

1939 Maurice Kendall y B. Babington Smith publicaron una tabla con 100.000

cifras, producida por una máquina especializada y un operador humano. A

mediados de la década de 1940, la RAND Corporation se dedicó a desarrollar una

amplia tabla de números aleatorios para su uso con el método de Montecarlo, y

mediante un hardware generador de números aleatorios publicaron A Million

Random Digits with 100,000 Normal Deviates. La tabla RAND utiliza simulación

electrónica de un ruleta conectada a un ordenador.

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2.2 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS PSEUDOALEATORIOS

Los números pseudoaleatorios son necesarios cuando se pone en práctica un

modelo de simulación, para obtener observaciones aleatorias a partir de

distribuciones de probabilidad.

Es deseable que los números pseudoaleatorios uniformes posean las siguientes características:

1. Uniformemente distribuidos.

2. Estadísticamente independientes.

3. Reproducibles.

4. Periodo largo.

5. Generados mediante un método rápido.

6. Generados mediante un método que no requiera mucha capacidad de

almacenamiento de la computadora.

 

Los números pseudoaleatorios se usan de la siguiente manera1. Primero, se generan mediante algún algoritmo determinístico

2. Se aplican las pruebas necesarias para comprobar que son aptos (es decir,

pueden mostrar aleatoriamente) para usarse en la simulación.

3. Con ellos se generan variables aleatorias para distribuciones continuas o discretas

(cada una conlleva una serie de pasos a seguir). Con métodos como el de la

transformada inversa.

4. Las cuales se usan para describir el comportamiento de materiales, personas.

Sus características son

Pseudo--------> falso

Se forman a partir de algoritmos determinísticos.

Deben de pertenecer a una distribución ~ U(0,1)

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2.3 PRUEBAS ESTADÍSTICAS DE ALEATORIEDAD PARA LOS NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS

Las propiedades estadísticas que deben poseer los números pseudoaleatorios

generados por los métodos congruenciales, tienen que ver con independencia y

aleatoriedad estadísticas.

Medias

Consiste en verificar que los números generados tengan una media

estadísticamente igual a ½, de este modo la hipótesis planteada es:

1. Calcular la media de los n números generados

2. Calcular los limites superior e inferior de aceptación

3. Si el valor se encuentra entre li y ls, aceptamos que los números tienen una

media estadística igual a ½ con un nivel de aceptación 1-α

De varianza

Consiste en verificar si los números aleatorios generados tienen una variancia de

0.083, de tal forma que la hipótesis queda expresada como:

1. Calcular la variancia de los números generados v(x)

2. Calcular los limites superior e inferior de aceptación

3. Si v(x)se encuentra entre los valores de y, aceptamos la hipótesis nula y los

números aleatorios tiene una variancia estadísticamente igual 1/12

De independencia

Para la aleatoriedad o independencia

1. Corridas por arriba y por abajo del promedio

2. Corridas ascendentes y descendentes

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Corridas por arriba y por abajo del promedio

Procedimiento1. Generar la muestra de tamaño N de números aleatorios.

2. Con base en esta muestra, obtener una nueva sucesión binaria, según el

criterio siguiente:

3. Si rj es menor o igual a 0.50 entonces asignarle a rj el símbolo 0.

4. Si rj es mayor a 0.50 entonces asignarle a rj el símbolo 1.

5. La frecuencia esperada para cada longitud de corrida i, es:

Corridas ascendentes y descendentes

Procedimiento

1. Generar la muestra de tamaño N de números aleatorios.

2. Construir la sucesión binaria de acuerdo al siguiente criterio:

Si rj es menor o igual a rj+1 entonces asignarle a rj el símbolo 0.

Si rj es mayor que rj+1 entonces asignarle a rj el símbolo 1.

3. Con base en la distribución X2, efectuar la prueba, donde la frecuencia esperada

de las longitudes de corrida i se calculará con:

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Prueba de bondad de ajuste ji cuadrada

Procedimiento

1. Generar la muestra de números aleatorios de tamaño N.

2. Subdividir el intervalo [0,1] en n subintervalos.

3. Para cada subintervalo contar la frecuencia observada F0 y calcular la

frecuencia esperada FE de números aleatorios, la cual se obtiene

dividiendo N/n.

4. Calcular el estadístico de prueba.

5. Comparar el valor calculado X02 contra el valor tabulado

de la distribución X2, con (n-1) grados de libertad y una significancia ?. Si

X02 es menor que X2(n-1),? entonces no se puede rechazar la uniformidad

de los números aleatorios.

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Prueba de bondad de ajuste de kolmogorov-smirnov

Procedimiento

1. Generar una muestra de números aleatorios uniformes de tamaño N.

2. Ordenar dichos números en orden ascendente.

3. Calcular la distribución acumulada de los números generados con la

siguiente

expresión

6. Donde i es la posición que ocupa el número aleatorio Xi en el vector

ordenado obtenido en el paso 2.

7. 4. Calcular el estado de prueba Kolmogorov-Smirnov del modo

siguiente

Dn = máx | Fn (Xi) – Xi | para toda Xi

Si Dn es menor dalfa,n, entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los

números generados provienen de una distribución uniforme. La distribución

de Dn ha sido tabulada como una función de n y alfa para cuando Fn (x) = F0

(x).

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2.4 OBTENCIÓN DE NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS UTILIZANDO PAQUETES COMPUTACIONALES

El enfoque moderno es usar una computadora para generar números

pseudoaleatorios mediante alguna fórmula matemática con lo que nos

encontramos generando por un método determinístico una secuencia de número

que dan la apariencia de ser aleatorios cuando no lo son, dado que en algún

momento no determinado esta lista comenzara a repetirse, el objetivo en si es

generar una lista lo suficientemente larga como para evitar llegar al comienzo del

ciclo..

Método congruencial multiplicativo

Dónde

Xn : es el número pseudoaletorio que se genera

a: es una constante numérica seleccionada al azar.

Xn-1: al comienzo se le denomina valor semilla, el cual será un número

tomado al azar.

m: es un número primo lo suficientemente grande como para evitar las

repeticiones.

La operación modulo recordemos que es la operación en la que dividimos dos

números no para obtener el cociente sino el residuo o resto de dividirlos.

El valor obtenido de Xn se convertiría en el nuevo valor de Xn-1 al calcular el

siguiente número aleatorio.

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A continuación vemos como queda en Excel esta fórmula y la generación de

números pseudoaleatorios.

En algunas versiones de Excel la función para calcular el modulo se llama residuo

y en otras se llama resto.

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Método congruencial mixto

A

este método se le denomina congruencial mixto porque posee un término

multiplicativo (aXn-1) y uno aditivo (+c), tal como se ve solo se agrega una

constante más que se sumara al resultado de multiplicar a por Xn-1.

Con esta simple modificación se logra obtener series más largas, cómo queda en

Estos métodos generan una lista de números pseudoaleatorios, pero como su

nombre lo indica parte de un valor influenciado por nosotros. Los lenguajes de

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programación poseen una instrucción para que podamos generar números

aleatorios, en estos no se hace uso de una semilla dada por nosotros ya que ese

pequeño requisito se toma de la secuencia numérica que forma la fecha y la hora

de la computadora.

2.5 METODO DE MONTE CARLO

¿Qué es la simulación de Monte Carlo?

La simulación de Monte Carlo es una técnica cuantitativa que hace uso de la

estadística y los ordenadores para imitar, mediante modelos matemáticos, el

comportamiento aleatorio de sistemas reales no dinámicos (por lo general, cuando

se trata de sistemas cuyo estado va cambiando con el paso del tiempo, se recurre

bien a la simulación de eventos discretos o bien a la simulación de sistemas

continuos).

La clave de la simulación Monte Carlo consiste en crear un modelo matemático del

sistema, proceso o actividad que se quiere analizar, identificando aquellas

variables (inputs del modelo) cuyo comportamiento aleatorio determina el

comportamiento global del sistema. Una vez identificados dichos inputs o variables

aleatorias, se lleva a cabo un experimento consistente en (1) generar – con ayuda

del ordenador-muestra aleatorio (valores concretos) para dichos inputs, y (2)

analizar el comportamiento del sistema ante los valores generados. Tras repetir n

veces este experimento, dispondremos de n observaciones sobre el

comportamiento del sistema, lo cual nos será de utilidad para entender el

funcionamiento del mismo –obviamente, nuestro análisis será tanto más preciso

cuanto mayor sea el número n de experimentos que llevemos a cabo.

El método de Monte Carlo es un método no determinístico o estadístico numérico

usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar

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con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Montecarlo

(Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un

generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de

los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron

enormemente con el desarrollo de la computadora.

El método de Monte Carlo proporciona soluciones aproximadas a una gran

variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos

con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es

aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista. A

diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos

en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método

de Monte Carlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como  en

virtud del teorema del límite central1.

La importancia actual del método Montecarlo se basa en la existencia de

problemas que tienen difícil solución por métodos exclusivamente analíticos o

numéricos, pero que dependen de factores aleatorios o se pueden asociar a un

modelo probabilística artificial (resolución de integrales de muchas variables,

minimización de funciones, etc.). Gracias al avance en diseño de los ordenadores,

cálculos Montecarlo que en otro tiempo hubieran sido inconcebibles, hoy en día se

presentan como asequibles para la resolución de ciertos problemas.

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REFERENCIAS

http://alexrosete.orgfree.com/materiales_2004/06-Simulacion/Manual_Asignatura-

Simulacion_a.pdf

http://simulacionequipouno.blogspot.mx/p/unidad-i.html

http://dd-books.com/simulacion-y-analisis-de-sistemas-con-promodel-2da-edicion-eduardo-garcia-dunna/

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