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Introducción a la Física Cuántica
BibliografíaMillman, “Dispositivos electrónicos”Mesa Ledezma, F. “Complementos de Física”Lluís Prat Viñas, “Circuitos y dispositivos electrónicos”Varias páginas web
IntroducciónLa física que estudia y explica los fenómenos queocurren en el dominio de los átomos, de sus núcleos yde las partículas elementales se denomina cuántica; y lateoría matemática básica que explica los movimientos yrelaciones en este campo se denomina mecánicacuántica. No es excluyente, al contrario, es la físicageneral.
Introducción
En física, ciertas magnitudes consideradas por muchos años como continuas, en realidad están compuestas de cuantos elementales. La energía es una de estas magnitudes. Al estudiar los fenómenos del mundo de los átomos se detectó que su naturaleza no era continua sino discreta y que existe una unidad mínima o cuanto elemental de energía. Este fue el descubrimiento de Max Planck con el que se inicia la teoría cuántica.
Magnitudes discretas y magnitudes continuasLas magnitudes pueden ser discretas o continuas. Magnitudes discretas son las que constan de unidades o partes separadas unas de otras, como tres lápices, cuatro mesas, dos niños, etc. Las magnitudes discretas pueden ser contadas y reciben por ello el nombre de contables. Existe una unidad (mínima e indivisible) por la que se puede contar.Las magnitudes continuas, por el contrario, no están formadas por partes separadas entre sí. "Continuo" significa "sin interrupción". Las magnitudes continuas, como la longitud, la temperatura, etc no son contables; son medibles si seleccionamos una unidad de medida y vemos cuántas veces contiene dicha cantidad la unidad de medida elegida. Por ejemplo, dos metros, tres grados y medio, etc. 39
Primer concepto: La energía es una magnitud discreta
Veamos el siguiente gráfico:
Una visión de la energía empezando por el mundo macroscópico y terminando en el mundo microscópicoAparentemente es una magnitud continua pero en niveles subatómicos es discreta.
Segundo concepto:
Los elementos subatómicos y la luz tienen doble comportamiento:Se comportan como partículas y Se comportan como ondas.
Los planteamientos básicos de la física cuántica
Partamos de algunos conocimientos previos necesarios.Hablemos brevemente de las ondas:
El espectro electromagnéticoLa radiación electromagnéticaLas cargas eléctricas estacionarias producen camposeléctricos, las cargas eléctricas en movimiento producencampos eléctricos y magnéticos. Los cambios cíclicos enestos campos producen radiación electromagnética,de esta manera la radiación electromagnética consiste enuna oscilación perpendicular de un campo eléctrico ymagnético. La radiación electromagnética transportaenergía de un punto a otro, esta radiación se mueve a lavelocidad de la luz (siendo la luz un tipo de radiaciónelectromagnética).
Características de las ondas electromagnéticas
Parámetros de las ondas electromagnéticas
Las ondas de radiación electromagnética se componen de crestasy valles, convencionalmente las primeras hacia arriba y lassegundas hacia abajo. La distancia entre dos crestas o valles sedenomina longitud de onda (λ). La frecuencia de la onda estadeterminada por las veces que ella corta la línea de base en launidad de tiempo (casi siempre medida en segundos), estafrecuencia es tan importante que las propiedades de la radiacióndependen de ella y está dada en Hertz. La amplitud de ondaesta definida por la distancia que separa el pico de la cresta o vallede la línea de base (A). la energía que transporta la onda esproporcional al cuadrado de la amplitud. La unidad de medidapara expresar semejantes distancias tan pequeñas es el nanómetro(10-9 metros).
Espectro electromagnético
Los átomos y sus modelos
La física cuántica estudia el comportamiento de la materia en niveles microscópicos, en los niveles subatómicos.Estudiemos como modifica la física cuántica el modelo de los átomos.
Un poquito de historia…
Dalton considero al átomo como indivisible.Más tarde Thomson estableció y demostró el hecho de la presencia del electrón.Rutherford, en 1911, descubrió que el átomo consiste en un núcleo cargado positivamente que contiene casi toda la masa del átomo. Rodeando a éste núcleo están los electrones cargados negativamente.Bohr por su parte considero a los electrones girando alrededor del núcleo como los planetas entorno al sol y revoluciona la física moderna con sus postulados posteriores.Sommerfield modificó la teoría de Böhr planteando que los átomos giraban en torno al núcleo en órbitas elípticas.Schröndinger por su parte planteó una ecuación diferencial mediante la cual es posible determinar los orbitales en el espacio de mayor probabilidad en que se encuentren. Esta ecuación se ha tomado como base para la teoría moderna del átomo.
Algunos modelos
Modelo de átomo de Böhr Modelo de átomo de Schrödinger
Luego volvemos a hablar del porqué de estos modelos.
Las líneas espectrales*
Cuando la luz blanca normal, tal como la del sol, atraviesa un prisma, la luz se convierte en un continuo espectro de colores separados:
*Extraído de internet
Las líneas espectrales…
Cuando se calentaba un elemento distinto y se veía la luz a través de él. Lo que se veía no era ya el espectro continuo sino unas cuantas líneas. La respuesta sólo la podía dar la física cuántica.Cuando una luz de un elemento animado atraviesa un prisma, sólo se puede ver líneas específicas (u ondas) de luz. A estas delgadas líneas se las llama líneas espectrales. Por ejemplo, cuando se calienta el hidrógeno y la luz atraviesa un prisma, se puede ver la siguiente línea espectral:
El planteamiento de BöhrEn 1913, el físico danés Niels Böhr propuso otra modificación a lateoría de la estructura atómica basada en el curioso fenómeno quehemos visto: el de la línea espectral.Para Böhr, el fenómeno de la línea espectral demostró que los átomosno podían emitir energía de manera continua, sino sólo en cantidadesmuy precisas (el describió la energía emitida como cuántica). Ya que elmovimiento de electrones producía la luz emitida, Böhr sugirió que loselectrones no podían moverse continuamente en el átomo (tal comosugirió Rutherford), sino sólo a pasos muy precisos. Böhr supuso quelos electrones tienen niveles de energía específicos. Cuando se excitaun átomo, p.e. al calentarlo, los electrones pueden saltar a niveles másaltos. Cuando los electrones caen a niveles de energía más bajos, seliberan cuantos de energía precisos en la forma de ondas (líneas) de luzespecíficas.
Niveles de energía
¡El cambio energético está asociado a una determinada frecuencia de oscilación!
EnergíaEnergía
Podemos observar las líneas espectrales de otros dos elementos:
Líneas espectrales del Helio
Líneas espectrales del Neón.
Los modelos. Un punto de vista conceptualLa radiación es causada por cargas oscilantes y que la frecuencia de oscilación determina la longitud de onda. Si solamente algunas longitudes de onda están saliendo del átomo, eso significaría que los electrones están oscilando solamente a ciertas frecuencias. ¿Cómo ocurre esto? Böhr produjo un modelo radical del átomo que tenía electrones orbitando al rededor del núcleo. Para explicar los colores particulares de cada elemento. Böhr propuso una regla extraordinaria que deberían seguir los electrones: Los electrones sólo pueden estar en órbitas "especiales". Todas las otras órbitas simplemente no eran posibles. Ellos podrían saltar entre estas órbitas especiales y cuando lo hacían oscilaban en frecuencias particulares…
Y eso produciría la radiación propia de cada elemento.
Quanta (cuántico)El modelo de Böhr fue considerado radical: manifestaba que la energía sólo podría cambiar en pequeños saltos. Estos son llamados quanta (plural de quantum) y por eso es que tenemos la Física Cuántica
Concepto básico del “fotón”
Cuando los electrones pasan a las orbitas menores una pequeña cantidad de energía es emitida en forma de luz. A esta emisión se le llama fotón. Para que el electrón pase a las órbitas mayores necesita la absorción de un “fotón”.
Entonces esas pequeñas descargas de luz tienen ese nombre.
Qué podemos inferir…
La energía es una magnitud discreta.Las entidades cuánticas se comportan como partícula y como onda.
Concepto básico de niveles de energía
El concepto de "órbitas especiales“ planteado porBöhr fue extremadamente útil. Este modelo, en loshechos deja de lado las órbitas, en cambio, planteaque los electrones se encuentran en nivelesespeciales de energía.
Mayor Órbita = Mayor Energía
Niveles de energíaEl planteamiento de Böhr pensado en niveles de energía tiene más sentido,porque si la energía disminuye, entonces la energía sobrante tiene que ir aalguna parte, así que sale como radiación electromagnética.
Al contrario para que la energía aumente tiene que llegar de algúnlugar, así que toma alguna radiación y el electrón viajará haciauna órbita exterior.
El criterio más importante es el del cambio de la energía delelectrón y la radiación electromagnética hace la diferencia. Si laenergía del electrón disminuye, la energía adicional aparece comoun fotón. Y para que el electrón adquiera más energía, necesitaabsorber un fotón.
Niveles de energíaAlgo importante de notar es que las transiciones entre niveles iguales de energía siempre producen el mismo color de fotón. Cada vez que el electrón salta hacia abajo un nivel produce un fotón y el mismo salto produce los mismos colores y como hay una gran cantidad de átomos aparece el espectro atómico. Que debe ser la marca de cualquier elemento.
Modelos…
El átomo es neutro eléctricamente (la carga de losprotones tienen igual magnitud que los electrones).Supongamos el átomo más sencillo (el de hidrógeno)como el del modelo de Böhr. La fuerza de atracciónentre el electrón y el protón sigue la ley de Coulomb.Según la mecánica clásica la trayectoria será un círculo ouna elipse. (Igual que los planetas se tiene una relacióncuadrática inversa respecto a la distancia entre laspartículas). Es decir:
Análisis
221
4 rqqFoπε
= 2
2
4 reF
oπε=
rvmmaF
2
==
La fuerza que se establece entre las partículas cargadas cumple la Ley de Coulomb:
Según la segunda ley de Newton:
O lo que es lo mismo
Es la fuerza centrípeta. Si ambas están enequilibrio electrón se mantendrá en órbita como laTierra alrededor del sol
reEp
oπε4
2
−=2
21 mvEc =
Además las energías cinética y potencial del electrón son respectivamente:
Es negativa porque es respecto al infinito
Entonces según la ley de Conservación de la energía:
remvE
oπε421 2
2 −=
Un fácil despeje, nos muestra que la energía será:
re
oπε8E
2
−=
La energía será más negativa conforme se vaya acercando al núcleo(porque r se hace más pequeña).
Una carga acelerada debe radiar energía y la energía tendrá la mismafrecuencia de oscilación de la carga.
Si el electrón radia energía, significa que tendrá cada vez menos lo quehará que se vaya acercando al núcleo gradualmente. Del mismo modo sufrecuencia también cambiará.
Sin embargo esto no concuerda con las frecuencias claramentedefinidas de las líneas del espectro.
Hipótesis de Planck“Los osciladores atómicos realizan intercambios de energíacon la radiación de modo que la acción S (energía x tiempo)varíe únicamente en múltiplos de h=6,62 x 10-34 J.s” Enfísica cuántica es aconsejable medir las relaciones de energía enelectrón-volts: eV (1 eV=1.6x10-19 J). Entonces h=4.135x10-15
eV.sCuando hay intercambio de acción ΔS = nh = ΔE.tSe puede decir entonces que: ΔE=(n.h/T) = nh.fCualquier cambio de energía es función de h y necesariamentetiene una frecuencia específica en el proceso de la acción
El planteamiento de Böhr
Bohr resuelve el problema planteando las siguientes tres leyes:
1.- El átomo posee ciertas energías discretas. El electrón no emite ninguna radiación mientras está en estas energías discretas (está en un estado “estacionario”). Estado en el cual la energía es constante en el tiempo.
2.- Se emite una energía cuando hay una transición de un estado estacionario a otro. Que tienen energías asociadas. Dicho de otro modo, si un electrón está inicialmente en una órbita de energía Ei y transita hasta Ef, se emite una radiación electromagnética (fotón) cuya frecuencia es:
Donde h es la constante de Planck en Jules-segundo, las E están en Jules y la f en Hertzs.
hEE
f fi −=
3.- Un estado estacionario se determina por la condición de que el momento angular del electrón en este estado está cuantificado y debe ser igual a un múltiplo entero de h, es decir, si su momento angular es:
L=r x p (donde a su vez p=m v) sabemos que la masa del electrón es:me= 9,109 x 10-31 kg y que v, es la velocidad y r el radio.
Con las leyes de Böhr se pueden obtener los radios de los estados estacionarios , el nivel de energía de cada estado.
Los niveles de energía se obtienen experimentalmente.
nhvrmL e ==
Momento angular
El momento angular es una magnitud característica de los cuerpos en rotación, también es llamado momento cinético o momento de la cantidad de movimiento.
Se puede calcular multiplicando la cantidad de movimiento del cuerpo que gira por el radio, en el caso del movimiento circular.
Momento…
Ejemplos: La Tierra gira en torno al Sol, por lo tanto tiene una cantidad de movimiento lineal p = M * v siendo p la cantidad de movimiento, M la masa de la tierra y v la velocidad de traslación de la Tierra. También tiene un MOMENTO ANGULAR, o mejor, MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO que se puede calcular mediante la fórmula L = p * R siendo:L el momento de la cantidad de movimiento, p es la cantidad de movimiento lineal de la Tierra y R la distancia entre la tierra y el Sol. Todos los planetas y satélites tienen un momento angular con respecto al astro alrededor del cual giran.
Momento…
La propiedad más importante consiste en que "el momento angular permanece constante” mientras no actúe un momento estático que varíe su movimiento. Esto significa de alguna manera la primera ley de la dinámica (principio de inercia) para las rotaciones.
Momento…
En el átomo de Böhr se considera el modeloplanetario según el cual el electrón gira alrededor delnúcleo, en consecuencia tendrá un momento angular,en esta teoría Böhr estableció que el electrón estaríaen una órbita estable cuando su momento angulartuviese un valor equivalente a un número entero de hsiendo h la constante de Planck.
En general L = n *h con n=1,2,3.. esto se conocecomo "cuantificación del momento angular delelectrón”
Consecuencias del modelo de Böhr
2
22
4 reFey
rvmFc
o
e
πε==
Fc
De cumplirse que: Fc=Fe
Donde Fc = F. centrípeta
Fe = F. electrostática
Pero:
Haciendo operaciones y recordando que mevr=nh, se obtiene que el radio de la “órbita” del electrón será para un nivel n:
Consecuencias del modelo de Böhr
e
on me
hnr 2
224πε=
o
e
o
mehr A53.04
2
2
1 ≈=πε
Y el radio para n=1 es:
Las órbitas son discretas y se puede asumir que:
rn=n2r1
Los posibles estados de energía con n › 1 se conocen como estados excitados en el átomo de hidrógeno.
Cuantización de la energía del átomo
revm
re
rvm
oe
o
e
πε
πε
4
42
2
2
22
=
=
reE
revmEEE
o
oepc
πε
πε2
22
41
21
41
21
−=
−=+=
En un estado estacionario la energía del electrón será la suma de su energía cinética, Ec, más la energía potencial electrostática Ep:
Cuantización de la energía del átomo
Pero rn=n2r1 como se vio hace un instante, la energía para un nivel n será por tanto:
12
2
81
rneEoπε
−=
eVr
eEo
6.1381
1
2
1 −≈−=πε
21
nEEn =
La energía para n=1 es:
Por tanto:
Naturaleza del fotón de luz
Para volver el electrón a su estado debe perder una cantidad de energía igual a la diferencia entre los dos estados que sucesivamente ha ocupado. Esta energía aparece en forma de radiación: un fotón de luz (cuya longitud de onda es la que se expresa en la ecuación anterior), según Böhr.El fotón expresa una cantidad de energía radiada = h*f es la naturaleza cuantificada de la onda electromagnética.Un átomo, por tanto, radia un fotón solamente cuando hace una transición de un nivel de energía a otro de energía más bajo.
Espectro del hidrógeno
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−=
−=
221
221
21
21
11
11
fi
fi
fifi
nnhcE
nnhE
hnE
nE
hEE
f
λ
EjemploUn átomo de hidrógeno es excitado de manera que al volver a su estado fundamental (de mínima energía) emite una radiación de frecuencia f=2,9235 x 1015 Hz. Calcule el número cuántico del estado excitado así como su radio.
Hipótesis de De Broglie
En 1924, L. de Broglie, suponiendo la existencia de una simetría interna en la naturaleza, sugirió que el carácter dual onda/corpúsculo exhibido por los fotones era igualmente aplicable a todas las partículas materiales.
Dualidad de la materia
Al resolver la ecuación de Schrödinger de lamecánica cuántica, se obtiene que el electrón nopuede tener un valor cualquiera de energía, sinoque presenta unos valores discretos determinadosformando una serie de “niveles de energía”. Losvalores de energía que los electrones pueden teneren un átomo se conocen como estados o nivelespermitidos, pudiendo situarse diferente número deelectrones en cada nivel permitido.
Por eso si se le aporta energía al átomo un electrón puedepasar de un nivel de energía a otro.Cuando vuelve el electrón a su nivel normal (menosenergético) el átomo tiene que emitir un nivel de energía iguala la diferencia entre los niveles.Si la energía que se le aporta al átomo es mayor que la energíade ligadura del electrón, éste podrá “liberarse” del átomo, yentonces se dice que el átomo está ionizado.
Algunos datos necesarios…Carga del electrón: 1,602 x 10-19 C (Coulombs)
Electrones por Coulomb: 6 x 1018
Masa del electrón: No se puede medir directamente, pero la relación e/m se ha determinado = 1,759 x 1011 C/kg
De ahí se ha calculado la masa del electrón que resulta ser 9,109 x 10-31 kg.
La masa del átomo, basada en le peso atómico del oxigeno igual a 16. Si se toma un átomo con peso unidad (16ava parte del oxigeno) se ha calculado que es 1.660 x 10-27 kg. Para calcular cualquier peso atómico en kg se multiplica por el valor.
El radio del electrón se estima que es 10-15 m, y el del átomo 10-10 m
Lo anterior es una conceptualización del modeloclásico del átomo (no el modelo cuántico).Para gran escala (trayectorias de electrones entubos de vacío) el modelo clásico da buenosresultados. Para pequeña escala este modelo noresponde a los resultados experimentales paraestos se usa la mecánica cuántica que atribuye alelectrón propiedades de onda.
Algunos datos necesarios…
Anexo
Configuración electrónica
Configuración electrónicaEs la distribución con que se ubican los electrones en los diferentes orbitales atómicos.
Orbital atómico: función de probabilidad que define la distribución de la densidad electrónica en el espacio que rodea al núcleo atómico.
Electrones de valencia: se ubican en la capa más externa del átomo y participan en la formación de enlaces químicos. Los átomos de un mismo grupo tienen igual número de electrones de valencia.
Orbital: es la región del espacio atómico donde hay mayor probabilidad de encontrar un electrón. Un orbital queda descrito por los llamados números cuánticos.
Número cuántico principal (n) determina la energía del electrón en un átomo. Los valores que puede tomar este n son: 1,2,3 hasta el infinito. Cada valor de n determina un nivel o capa en el átomo. Si el valor de n aumenta, la distancia del electrón al núcleo y la energía que esta partícula posee también se incrementan.
Número cuántico secundario o azimutal (l) designa la forma del orbital. Los valores permitidos de l son: 0,1,2,3,…(n-1) denotados por los símbolos s, p, d, f, g, …, respectivamente. Los valores de l correspondientes a un mismo valor de n se llaman subniveles.
Número cuántico azimutal 0 1 2 3 4 Nombre del orbital s p d f g
Número cuántico magnético (m) define las orientaciones del orbital en el espacio. Puede tener los valores –l, -l+l, … -1,0,+1, …+l…
Número cuántico de spin (ms) determina la orientación del giro del electrón frente a un cuerpo magnético. Puede tomar los valores +1/2 o -1/2
Los niveles de energía establecidos para los orbitales dependen, en el caso del hidrógeno, solo de n, y en los átomos polielectrónicos, de n y l.
Principio de Aufbau: es un conjunto de reglas por las que se obtiene la configuración electrónica de la mayoría de los átomos polielectrónicos en su estado fundamental (el de menor energía). Las reglas son:A) Los e- se van ubicando en los orbitales de menor a mayor energía (regla de las diagonales).B) Dos e- no pueden tener sus cuatro números cuánticos iguales (principio de Exclusión de Pauli). Cada orbital puede contener solo hasta 2e- con espines opuestos.C) El orden en que los electrones ocupan un subnivel está determinado por la distribución que presenta un mayor número de espines paralelos, es decir, con igual número de espin (Regla de Hund o de la máxima multiplicidad de espin).
Diagrama de contorno de los orbitales1s, 2s y 3s
Todos los orbitales “s” son esféricos.
El tamaño de un orbital es proporcional a n2, donde n es el número cuántico principal.
(n=1 estado de mínima energía. Estado fundamental máxima estabilidad)
Estos orbitales tienen idéntica forma y energía, pero sus orientaciones son distintas. Los orbitales p de números cuánticos principales superiores tienen una forma parecida.
Diagrama de contorno de superficie de los tres orbitales 2p
Diagrama de contorno de superficie de los cinco orbitales 3d
Diagrama de contorno de superficie de los cinco orbitales 3d. Aunque el orbital 3d parece distinto, en todos los sentidos es equivalente a los otros cuatro orbitales. Los orbitales d de números cuánticos principales superiores tienen una forma parecida.
Diagrama de contorno de superficie de los siete orbitales f
Niveles de energía de orbitales en un átomo de hidrógeno
Cada línea horizontal pequeña representa un orbital. Todos los orbitales que tienen el mismo número cuántico principal (n) por lo tanto tienen la misma energía.
Niveles de energía de orbitales en un átomo poli electrónico.
Observe que el nivel de energía depende tanto del valor de ncomo el de l.
Para los átomos poli-electrónicos, el nivel energético 3d está muy cerca delnivel 4s. La energía total de un átomo, sin embargo, depende no sólo de lasuma de las energías de los orbitales, sino también de la energía derepulsión entre los electrones de estos orbitales (cada orbital puedeacomodar hasta dos electrones, como se verá más adelante. Resulta que laenergía total de un átomo es menor cuando se llena el sub nivel 4s antesque el 3d.
Orden de llenado de los orbitales atómicos en los átomos poli-electrónicos.
Se empieza con el orbital 1s y se continúa hacia abajo siguiendo la dirección de las flechas. El orden de llenado es: 1s < 2s < 2p < 3s < 3p < 4s < 3d …
Ejercicios
Para escribir la configuración electrónica de un átomo debemos:
Conocer su Número atómico
Distribuir los e- en orbitalesen orden creciente de energía, respetando regla de las diagonales, el principio de Exclusión de Pauli y la regla de Hund.
Configuración de los materiales semiconductores
Elemento Número Atómico
Configuración
C 6 1s22s22p2
Si 14 1s22s22p63s23p2
Ge 32 1s22s22p63s23p63d104s24p2
Sn 50 1s22s22p63s23p63d104s24p64d105s25p2
Modelo de bandas de energíaSegún los resultados de la resolución de la ecuación de Schrödinger para el potencial mostrado para átomos de un material semiconductor, como por ejemplo el Si, se obtiene el siguiente resultado para los niveles energéticos de la última capa:Se presentas tres niveles fundamentales los cuales son: Banda de valencia (4)Un nivel sin ningún tipo de nivel energético, al que se le denomina banda prohibida.
Luego aparece un nivel llamado banda de conducción.
En forma de cristal puro, la banda de valencia está copada y la banda de conducción queda completamente vacía.Esta estructura en bandas descrita para los materiales semiconductores, se produce también, con algunas diferencias notables, en materiales aislantes y conductores.
En el caso de los aislantes la anchura de la banda prohibida es tan grande, que es muy difícil que los electrones de la banda de valencia pasen a la banda de conducción, por lo que poseen una conductividad eléctrica despreciable. En los conductores las bandas de valencia y de conducción están superpuestas, de modo que no es necesario un aporte de energía para tener electrones en la banda de conducción, por lo que estos materiales presentan una conductividad muy grande. Los semiconductores puros poseen una anchura del gap intermedia entre las situaciones anteriores, por lo que tienen valores de conductividad intermedios entre conductores y aislantes.
BV
BC
Eg = 10 eV
BV
BC
Eg = 1 eV
BV
BC
Aislante Semiconductor Conductor
Bandas de energía para distintos materiales
En los semiconductores la anchura de la bandaprohibida es pequeña (de modo que aportándole almaterial una pequeña cantidad de energía, habráelectrones que podrán pasar de la banda de valencia a lade conducción: este proceso es “equivalente” a laruptura de un enlace covalente descrito en el modelo delenlace covalente.los electrones que han pasado a la banda de conduccióndejan un hueco en la banda de valencia, que puedemoverse por el material como una partícula de cargapositiva.
