INTRODUCCION A LA FISICA MODERNA

NOTAS DE CURSO

Marco A. Taquichiri T.

2018

INTRODUCCION A LA FISICA MODERNA Que es la Física Moderna?

El término “moderno” tiene una definición de reciente o de una nueva tendencia. Sin embargo en el estudio de la Física, este término se refiere para designar ciertos campos específicos de la Física, los cuales tienen características comunes en dos sentidos: primero, éstos se han desarrollado a partir del año 1900, y segundo, las teorías empleadas para explicar los fenómenos propios de dichos campos son absolutamente diferentes a las que existían antes de 1900.

El término opuesto al de Física Moderna es el de Física Clásica que comprende la

Mecánica de Newton y los diversos fenómenos que puede explicarse de la misma; la teoría electromagnética de Maxwell; la termodinámica y la teoría cinética de los gases. Los temas que comprende la Física Moderna son: La teoría de la relatividad y los fenómenos asociados a ésta; las teorías y los fenómenos cuánticos y en particular, la aplicación de las teorías y los fenómenos cuánticos y en particular la aplicación delas teorías de la relatividad y la cuántica al átomo y al núcleo. Reseña histórica

Hasta antes de finalizar el siglo XIX, Newton desarrolló una teoría elegante y simple de la mecánica. Los trabajos de observación de Tycho Brahe y las interpretaciones de Kepler, sumadas a los experimentos de Galileo cristalizaban en una magnifica descripción de los fenómenos astronómicos y mecánicos conocidos hasta ese entonces. La mecánica también brindaba bases teóricas para la descripción de la teoría cinética de los gases que a su vez explicaba muchas incógnitas de la termodinámica, la que tuvo su máxima aplicación en la era industrial precisamente a principios del siglo XX.

En el siglo XIX se descubrieron nuevos y numerosos fenómenos relativos a la

interacción de los campos eléctricos y magnéticos. En 1864 Maxwel brindó una explicación de estos fenómenos en una teoría que unía ambos campos en una teoría electromagnética, la que además brindaba explicaciones por demás satisfactoria de la teoría ondulatoria de la luz que estaba acorde con los fenómenos que hasta ese entonces se conocían como óptica geométrica y óptica física.

Se cuenta que hasta finales del siglo XIX los físicos se vanagloriaban de su ciencia, ya

que casi todos los fenómenos conocidos hasta entonces se podían explicar, ya sea por la mecánica de Newton o por la teoría electromagnética de Maxwell. Muchos de los físicos antiguos mencionaban que sus sucesores se dedicarían en el futuro simplemente a mejorar las mediciones y a “aumentar la siguiente cifra decimal”. Sin embargo, a principios del siglo XX una importante revolución sacudió el mundo de la física y todo este mundo sereno se derrumbó por el impacto de una serie de fenómenos que exigían el rechazo de ideas profundamente pre arraigadas sobre el espacio y tiempo, y de ideas preconcebidas acerca

de la naturaleza de las partículas sub atómicas que harían tambalear la noción intuitiva de la continuidad en la naturaleza.

En 1900 Max Planck dio las ideas básicas que llevaron a la formulación de la teoría

cuántica y el 1905 Albert Einstein formuló la teoría especial de la relatividad. Einstein pudo captar la agitación de aquellos tiempos con la frase: “fue una época maravillosa para vivir”. Ambas teorías iban a ejercer un profundo efecto en la comprensión de la naturaleza y en una pocas décadas inspiraron nuevos desarrollos en los campos de la física atómica, la física nuclear y la física de la materia condensada.

Este curso presentará una descripción muy somera acerca de estas dos teorías que

dieron un cambio revolucionario en las mentes de los físicos logrando una nueva y mas profunda visión de las leyes físicas, aún cuando las predicciones de estas teorías destrozan por completo el sentido común, ambas teorías describen correctamente los resultados de experimentos que hasta ese entonces habían quedado casi pendientes. Los dispositivos de almacenamiento digital; las celdas fotovoltaicas y la guías de onda de fibra óptica y por supuesto los teléfonos inteligentes son los resultados prácticos de la aplicación de la teoría cuántica cuyas bases fueron sentadas por las hipótesis de Planck. Aunque la relatividad desempeña un papel importante en el campo de la física teórica, también tiene aplicaciones prácticas: por ejemplo en el diseño de aceleradores de partículas, en unidades de sistemas de posicionamiento global GPS y en la pantallas de televisión de vacío. Estos dispositivos sencillamente no funcionarían si fueran diseñados utilizando la mecánica newtoniana.

No se debe olvidar sin embargo, el no volver a caer en la tentación de los físicos del

siglo XIX, ya que si bien la física que se desarrolló durante el siglo XX llevó a múltiples logros tecnológicos, la historia de la ciencia continúa escribiéndose pues seguirá habiendo descubrimientos que revolucionarán nuestra vida y muchos de ellos profundizarán o refinarán la comprensión de la naturaleza y el mundo que rodea a la humanidad.

LA TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

Las ondas de luz y otras formas de radiación electromagnética se propagan en el vacío con una velocidad m/s. Según se verá en este capítulo, la velocidad de la luz es el límite superior de la velocidad de las partículas y de las ondas mecánicas.

Nuestro planeta se desplaza superficialmente a razón de 24 horas por día, y todos

sabemos que podemos desplazarnos por el espacio a velocidades que van desde un caracol hasta la de un avión supersónico o un transbordador espacial. Sin embargo pocas personas saben que el movimiento en el espacio está relacionado con el movimiento en el tiempo. La primera persona que entendió la relación entre el espacio y el tiempo Albert Einstein quien desafió el sentido común al afirmar que al movernos en el espacio también alteramos la razón con la que avanzamos hacia el futuro.

La transformación galileana y la mecánica clásica

La mayoría de nuestras experiencias y observaciones cotidianas están relacionadas con objetos que se mueven con una velocidad que es pequeña comparada con la velocidad de la luz. La mecánica de Newton, que describe muy bien los fenómenos de movimiento, falla cuando se aplica a partículas cuya velocidad se aproxima a la de la luz.

Fig 1. Un evento ocurre en un punto P. El evento es visto por dos observadores en marcos de referencia inerciales S y S’, donde S’ se mueve con velocidad v relativa a S

Consideremos el problema de describir el sistema de la figura donde un evento (fenómeno físico) ocurre en un punto del sistema de coordenadas espaciales (x’,y’,z’,t’), o sistema S`; el cual se mueve hacia la derecha con velocidad uniforme v. Estas coordenadas son tal que en el tiempo t=0 ambos sistemas coinciden. Se pregunta: ¿Cuál es la relación entre estos cuatro números (x,y,z,t) y (x’,y’,z’,t’) que pueden emplearse indistintamente para especificar la ubicación de la partícula (o el evento en P) en cualquier instante de tiempo t y t’ ? (que son los tiempos medidos en los dos marcos de referencia). Una respuesta intuitiva es sin duda:

x’ = x – vt y’= y

O’ x’

y

O

S y’

S’

P

x

x’

vt

v

z’ = z (1) t’ = t

Este conjunto de ecuaciones (1) se conoce como la transformación galileana de

coordenadas que es la respuesta de la física clásica a la pregunta sobre movimiento de traslación uniforme entre dos marcos de referencia. Nótese que la cuarta coordenada: el tiempo se supone como la misma en ambos sistemas inerciales. Dentro del marco de la mecánica clásica, el tiempo es universal de tal forma que el tiempo en que sucede un evento para un observador en S es el mismo tiempo en que sucede el evento en S’. En consecuencia el intervalo entre tiempos sucesivos debe ser el mismo para ambos observadores.

Ahora supongamos que dos eventos están separados por una distancia y un

intervalo de tiempo medidos por un observador en S . De las ecuaciones (1) se sigue que el deslazamiento correspondiente medido por un observador en S` está dado por:

de tal manera que al dividir entre un intervalo de tiempo (supuesto constante el tiempo…) se tiene una expresión para la relación de velocidades:

donde vx’ y vx son las velocidades instantáneas del objeto relativas a S` y a S respectivamente. Este resultado se conoce como la ley galileana de velocidades.

La transformación galileana y la teoría electromagnética

Es natural preguntarse acerca del comportamiento de los fenómenos

electromagnéticos al realizar una transformación galileana. Los fenómenos electromagnéticos –en términos de la física clásica- se discuten con un conjunto de ecuaciones diferenciales llamadas ecuaciones de Maxwell. En este curso no presentaremos explícitamente la transformación de las ecuaciones de Maxwell ya que el cálculo es bastante complicado. Sin embargo, el análisis que sigue permite aproximar, con un razonable nivel de aceptación, el fenómeno de la propagación de un frente de onda electromagnético en el vacío..

Fig 2. Sistemas de referencia en movimiento relativo de traslación uniforme. Dos observadores O y O’ observan al evento llegar al punto A, midiendo r(x,y,z,t) y r(x’,y’,z’,t’) respectivamente.

Analizando la figura 2, supongamos que en un tiempo t=0 se emite un pulso de luz

en el origen común a los dos observadores en movimiento relativo con velocidad v. Ambos

v

(el sistema S’ se mueve con velocidad constante v)

A

O’ x’

y’

z’

S’

O x

y

z

S Evento: Un pulso de luz se emite en el tiempo t=0 r’ r

observadores usan ejes coordenados XYZ y X’Y’Z’ paralelos con los ejes X y X’ en la dirección del movimiento relativo. Supongamos que cuando O y O’ coinciden se produce una señal luminosa en el origen común. Si c es la velocidad de la luz en el vacío medida por O, después de un tiempo t el observador O ve que el frente de onda de la señal es una esfera de radio r, por lo que cuando la onda llega al punto A se debería tener r = ct; y como:

se tiene (2) asumiendo que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores inerciales1.

Por tanto, si el observador O’ también mide c para la velocidad de la luz en todas las direcciones (de modo que la O’ el frente de onda de la señal también es una esfera), debe escribir r’=ct’ cuando la onda luminosa llega al punto A, o sea:

(3)

Es de notar que el observador O’ no solo mide para el punto A coordenadas

espaciales diferentes de las que mide O , sino que también el tiempo de llegada de la señal luminosa al punto A. Por la simetría del problema podemos asegurar que y’=y y z’=z. Realizando las transformaciones de un sistema a otro, utilizando las ecuaciones (1):

obteniendo entonces una expresión como:

(3-a)

desde el sistema S’ no estamos viendo una esfera (la ecuación 3-a describe un elipsoide), por la que la transformación galileana no es aplicable a un fenómeno donde se involucran ondas de luz.

El paso siguiente es entonces encontrar una transformación alternativa que relacione las ecuaciones (2) y (3) y se elige:

x’ =(x – vt) y’= y z’ = z (4) t’ = a(t-bx)

donde las constantes a determinar son , a y b. (para la transformación galileana =

a = 1 y b=0 ) Haciendo éstas sustituciones en la ecuación (3):

ordenando:

1 Los experimentos de Michelson y Morley midieron la velocidad de la luz respecto a la tierra en diferentes direcciones y hallaron que el resultado es el mismo independientemente de la dirección de propagación.

Este resultado debe ser idéntico a (3), por tanto:

al resolver este conjunto de ecuaciones para , a y b tenemos:

√

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (4) se tiene:

√

y’ = y (5)

√

El conjunto de ecuaciones (5) fue obtenido por primera vez por Einstein en 1905, y

lo llamó transformación de Lorentz, quien propuso anteriormente una relación ligeramente distinta en relación al problema del campo electromagnético de una carga en movimiento.

Notación estándar

El uso cotidiano de las ecuaciones (5) de la relatividad en campos especializados

hace necesario introducir la siguiente notación:

√

Con esta notación las ecuaciones de transformación se convierten:

y’ = y (5-a)

Transformaciones inversas Las transformaciones inversas expresan las coordenadas x, y, z, t medidos por O en

términos de x’, y’, z’ , t’ medidos por O’ pueden encontrarse invirtiendo las ecuaciones (5). Sin embargo una manera mas intuitiva consiste en realizar el siguiente razonamiento; si O’ se mueve hacia la derecha de O con velocidad v entonces es justo decir que desde el punto

de vista de O’ es el sistema S el que se mueve en la dirección –x’ de S’ con velocidad –v . Por lo tanto tiene derecho a usar las mismas ecuaciones de transformación de Lorentz escribiendo –v por v e intercambiar x’ por x y t’ por t, lo que da como resultado para las ecuaciones de transformación inversa:

y = y’ (6) ’

Efectos cinemáticos de la relatividad

En esta sección presentaremos dos fenómenos que salen fuera de nuestro sentido

común por ser netamente relativistas: la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud de cuerpos que se mueven a altas velocidades. a) Dilatación del tiempo

Un observador O’ que se mueve con velocidad v respecto a O, desea comparar los intervalos de tiempo medidos en su reloj con los intervalos de tiempo medidos en los relojes correspondientes a O.

Un pulso luminoso viaja desde la fuente hasta un espejo perpendicular a su trayectoria y rebota con dirección a la fuente. (si la distancia entre fuente y espejo es de 300000km, el viaje durará 1 segundo; si la distancia es de 3 km, el viaje durará 0,000001 segundo)

Al tiempo t=0 tanto O como O’ miden el tiempo t0 como el tiempo de viaje de ida y

vuelta a la velocidad de la luz c, el tiempo de ida: to/2 por tanto to/2 = lo/c , donde lo es la distancia entre el espejo y la fuente. El valor to es llamado el tiempo propio del sistema

Ahora consideremos el mismo pulso de luz pero viajando a una velocidad v hacia la

derecha. Un observador O en reposo verá el haz de luz describir una trayectoria en zigzag:

l0

El tiempo de ida y vuelta es:

𝑡𝑜 𝑙0

𝑐 (7)

espejo

Pulso de luz

espejo

vt/2

Pulso de luz

l0

ct’/2 v es la velocidad del sistema S’

Un poco de geometría elemental muestra:

(

)

(

)

finalmente encontramos que el tiempo que tarda el haz de luz en volver al punto de partida:

√

pero el factor 2lo/c es el valor del tiempo propio to:

√

o también: (8)

Aquí debemos recordar: to = intervalo de tiempo medido en reposo (tiempo propio) t’ = intervalo de tiempo medido por un observador en movimiento v = velocidad relativa del sistema S’ c = velocidad de la luz

En la ecuación (8) se observa que el término √ es siempre menor que 1 para un objeto en movimiento, por tanto t’ es siempre mayor que to …! (un reloj en movimiento se mueve mas lento). Este fenómeno se conoce como dilatación del tiempo

El fenómeno de la dilatación del tiempo involucra a todos los fenómenos de la

naturaleza incluyendo las reacciones químicas y los procesos biológicos. Éstos se retrasan respecto a un reloj estacionario cuando ocurren en un marco en movimiento (el pulso de un astronauta que se mueve en el espacio debe medirse en la nave espacial, tanto el reloj del astronauta como el pulso de éste se retrasarán respecto al reloj estacionario en la tierra, esto es, el astronauta no tendrá ninguna sensación de que la vida avanza mas lento dentro de su nave espacial)

La dilatación del tiempo es un fenómeno real que se ha verificado

experimentalmente: los muones son partículas inestables que tiene una carga igual a la del electrón y una masa 207 veces mas grande (los muones se producen por la absorción de la radiación cósmica en la atmósfera superior de la tierra) Estas partículas inestables tienen una vida media de 2,2 s medido en un marco de referencia en reposo (vida media del muón to = 2,2 s ) y se mueven con velocidades relativistas (velocidad media del muon =

0,99 c, esto es v/c =0,99). Estas partículas llegan a la superficie terrestre mas o menos a razón de una partícula por centímetro cuadrado cada minuto. Sin embargo, en el tiempo t=2,2 s el muon solo puede recorrer una distancia:

d=v.t=(0,993108 m/s) (2,210-6 s) = = 653 m

antes de decaer (o desaparecer como tal), y recordemos: estas partículas se han creado en la atmósfera superior (a más de 5000 m sobre la superficie terrestre).

(Decaimiento del muon: µ → e -+ νe + νµ)

Para resolver esta paradoja observemos que el tiempo del muon to = 2,2 es el

tiempo propio, medido por un sistema de referencia en reposo con respecto a éste. Como éstas partículas se mueven con velocidad 0,99c su vida media se alarga por un factor de de acuerdo la expresión:

√

√

en ese tiempo, el muón puede recorrer una distancia:

(

)

es por ello que se pueden detectar muones cerca de la superficie de la tierra. Este

fenómeno es una prueba de que los efectos predichos por las ecuaciones (8) son reales. Otro ejemplo de aplicación de la ecuación (8) podría enumerarse de la siguiente

manera: ¿Cuál es el periodo de un péndulo cuyo periodo en un sistema en reposo es de 3 s si éste se mueve en una nave que viaja a 0,960 c ? Este es otro ejemplo simple de aplicación de la ecuación

√

√

lo que quiere decir que el péndulo tardará 10,7 segundos en completar un ciclo. Que es mas de tres veces el tiempo del péndulo en reposo. ¿Qué pasa si la velocidad de la nave se incrementa en 4%. El intervalo de tiempo también se incrementa en ese porcentaje?

600 m

Tiempo de vida media de los muones to =2,2 us (tiempo propio)

4800 m

Tiempo de vida de los muones calculada por la ecuación (8) t’ = to = 16

Para responder a esa pregunta primero encontremos la nueva velocidad de la nave:

y el nuevo periodo es:

√

√

el aumento de un 4 % en la velocidad de la nave involucra un 400% en el tiempo dilatado. Ejercicios

- A partir de que velocidad se hacen presentes los efectos relativistas? (sugerencia: tome

el ejemplo anterior y haga aproximaciones sucesivas desde velocidades lentas hasta 0,99 c . Considere efecto relativista al alcanzar el 20% de discrepancia entre el valor calculado en movimiento y el valor en reposo)

- Viajes en el espacio y el tiempo: Es posible viajar al futuro? Suponga que unos astronautas viajan al 99% de la velocidad de la luz y deciden viajar hasta la estrella Procyon (11,4 años luz de distancia). Demuestre que el viaje de ida y vuelta les tomaría 3 años a los astronautas y que en la tierra transcurrieron 22,8 años terrestres. Cuánto tiempo terrestre transcurre mientras los astronautas viajan 5 años al 99,9% de la velocidad de la luz?. Basado en este resultado, responda: Seria posible salir de la tierra en cierta época y retornar al cabo de 1000 o 2000 años, vivir un tiempo con los terrícolas y luego volver a viajar para retornar luego de otros miles de años? (…y por favor, no haga filosofía sobre las respuestas…)

b) Contracción de la longitud

La distancia medida entre dos puntos depende también del marco de referencia, la longitud propia se define como la longitud medida en el marco de referencia en el cual el objeto se encuentra en reposo. La longitud de un objeto medida en un marco de referencia en el cual el objeto se mueve siempre es menor que la longitud propia. Este efecto se conoce como contracción de la longitud

Fig 3. Dos observadores en movimiento relativo miden simultáneamente al longitud de una regla paralela a la dirección del movimiento

Consideremos dos sistemas S y S’ , el último en movimiento relativo respecto al

primero. Si en el tiempo t=0 ambos observadores O y O’ miden simultáneamente la longitud de una regla paralela a la dirección de movimiento con las correspondientes lecturas x1 y x2 dentro del sistema en reposo, de tal manera que la longitud de la regla está dada por: lo = x2 – x1 y las coordenadas que mide el observador O’ son x’1 y x’2 de tal manera que la longitud medida por éste es l’ = x’2 – x’1.

Tomemos lo = x2 – x1 reemplazando las ecuaciones de transformación, tenemos:

o bien:

√ (9)

muy a menudo esta ecuación se escribe como:

√ (10) Este acortamiento o contracción de la longitud cuando un tiempo se mueve se

denomina contracción de Lorentz . Se nota que solamente las coordenadas paralelas a la dirección del movimiento se ven afectadas por la contracción de Lorentz, las coordenadas perpendiculares no se ven afectadas

Fig 4 Según aumenta la velocidad relativa, aumenta la contracción en la dirección del movimiento

O x

y

z

x2 x1

Lo = x2 – x1

x1’ x2’

O’ x’

y’

z’

L’ = x’2 – x’1

v=0 v=0,87c v=0,995c v=0,999c v= c (?)

La paradoja de los gemelos: Ahora nos encontramos en condiciones de comprender el famoso efecto relativista conocido como la paradoja de los gemelos. Esta paradoja involucra a dos relojes idénticos, uno de ellos permanece en la tierra y el otro realiza un viaje espacial a velocidad v y eventualmente retorna a tierra. Los dos relojes pueden ser reemplazados por dos relojes biológicos, es decir, dos hermanos gemelos idénticos. El gemelo A emprende viaje cuanto tiene 20 años de edad a una velocidad v=0,8 c hacia una estrella que se halla a una distancia Lo = 20 años luz y retorna a tierra. En estas condiciones A mide un tiempo t’ dado por la ecuación (8): t’ = to . Cuánto tiempo ha durado el viaje? B calcula y responde: t0=2lo/v= 50 años , es decir B tiene ahora 70 años. Sin embargo A calcula: t’=2l’/v, aquí la longitud l’ se ve afectada por la velocidad y mide, usando la ecuación (9):

√ √ y responde: t’=2(12)/0,8 =30 años y en efecto, A tiene 50 años Ejercicio: Un astronauta pasa junto a un planeta esférico con tal velocidad que le parece que es elipsoidal (en forma de huevo). Si le parece que el diámetro menor tiene la mitad de la longitud del diámetro mayor. ¿Cuál es la velocidad del astronauta respecto al planeta?

Solución: tomemos la ecuación (9): √ y despejemos v, (o mejor v/c). Como la distancia vertical no se encoje, aquí l’=lo/2 , al reemplazar los valores dados, tenemos:

√

√

*

+

de donde se tiene: v= 0,866 c

Adición de velocidades Uno de los postulados de la relatividad especial es que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores sin importar sus movimientos relativos. Consideremos las transformaciones de Lorentz y por simplicidad tomemos una dirección horizontal en el eje x:

tomemos diferenciales a ambas ecuaciones:

ahora la velocidad está dada por dx/dt, por lo tanto:

(10-a)

no olvidar: v es la velocidad del sistema S’. (la velocidad del sistema que se mueve); vx es la velocidad que mide el observador S. V’ es la velocidad de un objeto moviéndose dentro del sistema S’ Ahora preguntémonos: que pasa si S’ “lanza” un haz de luz hacia la dirección con la que mueve? (V’= c) Usando la ec. 10-a tenemos:

sorpresa…!! El sentido común pierde

Efecto Doppler Relativista Otra importante consecuencia de la dilatación del tiempo es el corrimiento de la frecuencia que se obtiene en el caso de luz emitida por átomos en movimiento, en comparación con la luz emitida por átomos en reposo. El efecto Doppler acústico: Cuando una fuente de sonido está en movimiento relativo respecto a un observador el sonido percibido por éste es diferente de la frecuencia emitida.

El emisor está en reposo (vE=0):

Se dibujan los sucesivos frentes de ondas que son circunferencias separadas una longitud de onda, centradas en el emisor. El radio de cada circunferencia es igual al producto de la velocidad de propagación por el tiempo transcurrido desde que fue emitido. La separación entre dos frentes de onda es una longitud de onda, λ=vsT, siendo T el periodo o tiempo que tarda en pasar dos frentes de onda consecutivos por la posición del observador.

La longitud de onda medida por el emisor y por el observador es la misma: λE=λO

El emisor está en reposo (vE<vs): Consideramos primero el caso de que la velocidad del emisor vE sea menor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs. Si el movimiento del emisor va de izquierda a derecha (velocidades positivas), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha es más pequeña que la unidad, y la longitud de onda medida por el observador situado a la izquierda del emisor es mayor que la unidad.

Observador situado a la derecha del emisor λO<λE Observador situado a la izquierda del emisor λO>λE

Como λ=vT, o bien λ=v/f, hay una relación inversa entre longitud de onda λ y la frecuencia f.

Observador situado a la derecha del emisor fO>fE

Observador situado a la izquierda del emisor fO<fE Si el emisor emite ondas sonoras, el sonido escuchado por el observador situado a la derecha del emisor, será más agudo y el sonido escuchado por el observador situado a la izquierda será más grave. En otras palabras, cuando el emisor se acerca al observador, éste escucha un sonido más agudo, cuando el emisor se aleja del observador, éste escucha un sonido más grave.

Cuando el emisor está en movimiento (vE=vs)

Cuando la velocidad del emisor vE sea igual que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs, la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha del emisor es cero. Si el emisor es un avión que va a la velocidad del sonido, los sucesivos frentes de las ondas emitidas se agrupan en la punta del avión.

Cuando el emisor está en movimiento (vE>vs)

Cuando la velocidad del emisor vE sea mayor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs, el movimiento ondulatorio resultante es entonces una onda cónica (la envolvente de los sucesivos frentes de onda es un cono con el vértice en el emisor), esta onda se llama onda de Mach u onda de choque, no es más que el sonido repentino y violento que se escucha cuando un avión supersónico pasa cerca de nosotros. Estas ondas se observan también en la estela que dejan los botes que se mueven con mayor velocidad que las

ondas superficiales sobre el agua. La envolvente, es la recta tangente común a todas las circunferencias. En el espacio, los frentes de onda son esferas y la envolvente es una superficie cónica. En el instante t=0, el emisor se encuentra en B, emite una onda que se propaga por el espacio con velocidad vs. En el instante t el emisor se encuentra en O y se ha desplazado vE·t, En este instante, el frente de onda centrado en B tiene un radio vs·t. En el triángulo rectángulo OAB el ángulo del vértice es sin θ=vs/vE. El cociente vE/vs se denomina número de Mach Efecto Doppler Relativista: Las ondas de luz deben ser analizadas de manera diferente debido a que no existe un sistema de referencia preferencial

Consideremos una fuente de luz en reposo en el sistema S, emitiendo ondas de frecuencia f y longitud de onda 𝜆 . Se desea medir la frecuencia f’ y 𝜆’ medida por otro observador en movimiento S’:

Figura 5. (a) Una fuente de luz enel sistema S emite ondas con longitud de onda𝜆 y moviéndose a velocidad c (b) Cual es el valor de la longitud de onda 𝜆’ por un observador en reposo en le sistema S’ ?

Figura 6. Tres posiciones sucesivas: 1,2 y 3 de O separadas por el tiempo T’, el periodo de la luz medida por S’

El tiempo entre dos posiciones sucesivas medida en S’ es T’. En ese tiempo el frente de onda se habrá movida una distancia cT’. En ese mismo tiempo, la fuente habrá avanzado una distancia vT’, y la distancia entre dos sucesivos frentes de onda serán medidos en S’:

𝜆

Como para la luz

𝜆 , se tiene:

Ahora bien utilizando el concepto de tiempo propio

√

Usando esta expresión y recordando que el periodo es el inverso de la frecuencia, se obtiene el siguiente resultado:

√

O de una mejor conocida forma:

√

√

√

√

El efecto Doppler relativista se convirtió una excelente herramienta para el campo de la Astrofísica. La luz emitida por las estrellas lejanas tienen un corrimiento al rojo indicando que se alejan de nosotros. La velocidad de alejamiento es proporcional a la distancia, lo que sugiere que el Universo se está expandiendo

Fig 7. Gráfico que muestra la velocidad de alejamiento vs distancia para varias galaxias

La expansión del universo aparentemente comenzó hace 15 mil millones de años en el Big Bang.

Dinámica Relativista

Se ha indicado ya que la modificación de Einstein a las ecuaciones de transformación requerirá a su vez una modificación compensadora en las leyes de la mecánica, de modo que satisfagan el requisito de conservar su forma bajo la influencia de una transformación de coordenadas. A través de este análisis se obtiene la variación de la masa con la velocidad y la equivalencia masa-energía. En esta sección estableceremos las leyes de una nueva dinámica llamada mecánica relativista.

Comencemos considerando la colisión elástica (la energía cinética se conserva)

entre dos partículas idénticas A y B (mA = mB) vistas por dos observadores O y O’ donde O’ se mueve en la dirección positiva.

Sea Y la distancia de separación entre ambas partículas y t el tiempo involucrado en

la colisión. Tanto la partícula A como B tienen movimiento relativo uniforme entre si. (En este experimento no tiene sentido considerar la aceleración de la gravedad ya que podemos imaginar el eje Y como horizontal, o mejor aún: podemos imaginar que el experimento se realiza en algún lugar del espacio donde no existe gravedad)

A es arrojada en la dirección +y (desde el sistema S, con

velocidad vA), y B es arrojada en la dirección –y (desde el sistema S’ , con velocidad v’B de tal manera que vA= v’B

Ambas partículas colisionarán en la distancia y

=Y/2 (el observador O’ dirá que la colisión ocurrirá en y’=Y/2). La partícula A rebota en la dirección –y con velocidad vA mientras que B rebota en la dirección +y’ con velocidad v’B

El tiempo para un “viaje” de ida y vuelta para la

partícula A, medida en el sistema S es:

(11)

mientras que para la partícula B en el sistema S’ se tiene:

(12)

de la ecuación (11) obtenemos:

S’

Y

x’

y’

v’

B

S v

x A

Colisión vista desde el sistema S Colisión vista desde el sistema S’

Ahora, en el sistema S la velocidad de la partícula B puede ser encontrada como:

(13)

Como las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas, debe conservarse la

cantidad de movimiento: . (14) pero en la ecuación (13) el tiempo t’ está relacionado con t según la ecuación (8) : t’

= to (Aunque ambos observadores ven el evento, no concuerdan con las mediciones del tiempo según los resultados del apartado anterior). Al reemplazar este resultado en (13) se tiene:

√

junto con

, al reemplazar estos dos valores en (14) se obtiene:

√ Nuestra hipótesis original fue que tanto A como B son idénticas cuando se

encuentran en reposo. El resultado anterior significa diferencias en la medición de masas, éstas dependen de la velocidad relativa entre los observadores.

Podemos hacer en el sistema S : mA = mO y mB = m , obteniendo por tanto:

√

(15)

La masa de un cuerpo moviéndose a velocidad v relativa a un observador es mayor que cuando está en reposo.

El incremento relativista en la masa es significante solamente cuando las

velocidades involucradas se aproximan a la velocidad de la luz

Ejercicio: Encuentre la masa relativista de un electrón (mo=9,110-31 kg) cuya velocidad dentro de un acelerador de partículas es 0,99c

Solución: v/c = 0,99, entonces por reemplazo directo en la ecuación (15):

√

es decir comprándola con la masa en reposo:

es decir la masa en movimiento es 7 veces la masa en reposo del electrón

Energía Relativista (de donde sale E=mc2 ?) Prosiguiendo con nuestra discusión sobre la mecánica relativista, consideremos una

partícula de masa mo inicialmente en reposo y que se encuentra bajo la acción de una fuerza F aplicada en la dirección x .

El trabajo total efectuado sobre la partícula al desplazarla una distancia x es:

∫ ∫

Ojo: aquí necesitaremos la definición de la segunda ley de Newton generalizada:

No ( f= ma) es decir :

y de ahí obtenemos Fdt =dp

∫ ∫

∫

integramos por partes: (∫ ∫ )

∫

(16)

aquí P=mv pero relativista, así que usamos la ecuación (15) para la masa

√

al reemplazar en la ecuación (16):

*

√ +

∫

√

usamos la forma canónica de la integral del segundo miembro:

∫

√ √

es decir: [

√ ]

⌈ √ ⌉

al evaluar los límites: (algo de algebra elemental…)

*

√

√ +

0

√

(18)

Ahora bien. El teorema Trabajo Energía establece que el trabajo total efectuado

sobre una partícula debe ser igual a su energía cinética, por tanto la expresión (18) debe ser igual a la energía cinética:

0

√

(18)

como verificación hagamos v/c 0 :

[(

)

]

se deberá usar la aproximación del binomio:

por lo que a bajas velocidades, la Energía cinética es:

*

+

. (19)

Esto concuerda con la expresión clásica para la energía cinética y confirma la

identificación del teorema Trabajo-Energía en la ecuación (18) Observemos algo mas: la ecuación (18) puede ser interpretada como la suma de dos

términos de energía: uno función de la velocidad E(v), y el otro, una constante E(0) , por lo que se podría escribir:

Ek = E(v)- E(0)

De donde: E(v) = Ek (v) + E(0)

Conclusión inevitable: debemos interpretar E(v) como la energía Total de la

partícula que se mueve con velocidad v como la suma de la energía cinética Ek (v) y una energía intrínseca E(0) asociada a la partícula cuando se encuentra en reposo.

Acabamos de establecer la famosa relación de Einstein entre la masa y la energía. La

energía de una masa en reposo es igual al valor de ésta por c2 Eo= mo c2 (20)

Y la energía relativista total es igual a c2 por su masa relativista:

E(v)= m c2 (21) La ecuación (20) es la energía en reposo de la materia, una pequeña cantidad de

masa corresponde a una tremenda cantidad de energía. Este concepto ha revolucionado el campo de la energía nuclear habiendo tenido su primera aplicación experimental en la segunda guerra mundial con las implicaciones que es de conocimiento general.

Partículas sin masa Puede existir una partícula sin masa..? Observemos por un momento las ecuaciones relativistas para la energía y la

cantidad de movimiento ( momentum):

Energía relativista:

√ (22)

Momentum relativista:

√ (23)

Cuando mo=0 y v<c , esta claro que E = p = 0 . (Cuando una partícula sin masa se

mueve a velocidad baja comparada con la velocidad de la luz, no tiene ni energía en reposo, ni energía en movimiento)

Pero que pasa si mo= 0 y v = c Entonces

y

, que es una

indeterminación, esto es: tanto la energía como el momentum pueden tener cualquier valor . por tanto las ecuaciones (22) y (23) son consistentes con la existencia de partículas sin masa con la condición de que éstos viajen a la velocidad de la luz.

Existe aún otra restricción para las partículas sin masa (si estas quieren existir).

Elevemos al cuadrado las ecuaciones (22) y (23) para luego restarlas.

restando E2 – p2, tenemos:

de donde:

Finalmente llegamos a una relación entre la energía Total y la Cantidad de Movimiento relativista (válido para todas las partículas)

√ . (24)

De acuerdo con la ecuación (24), si una partícula con masa en reposo existe (mo= 0),

la relación entre su energía y su momentum es:

E = p c

Todo lo anterior significa que no necesariamente deben existir partículas con mas en reposo cero, simplemente dice que las leyes de la mecánica no excluyen la posibilidad de que existan, siempre y cuando su velocidad sea igual a la velocidad de la luz v= c y que su energía este dada por E = pc. De hecho, se han detectado partículas cuya masa en reposo es cero , el fotón y el neutrino.

Unidades alternativas de energía

Cuando se manejan electrones u otras partículas subatómicas, es conveniente

expresar sus energías en electrón-volts (eV), ya que a éstas partículas se les suministra esta energía cuando son aceleradas por una diferencia de potencial. El factor de conversión es justamente el valor de la carga del electrón:

1eV = 1,610-19 J Por ejemplo, la masa de un electrón es: 9,1110-31 kg. Entonces la energía en reposo

del electrón es: moc2 = (9,1110-31 kg)( 3108 m/s) = 8,210-14 J

el cual, expresado en eV:

moc2 = (8,210-14 J)( 1eV = 1,610-19 J) = 0,511 MeV (donde 1Mev = 106 eV)

Ejercicios:

1.- Un cuerpo estacionario explota y se fragmenta en dos pedazos idénticos de 1 kg de masa, los cuales se separan en línea recta a velocidad 0,6 c . Cuál es la masa original del cuerpo en reposo? Solución: la energía total del cuerpo original debe ser igual a la suma de las energías de los dos fragmentos:

√

√

√

2.- La energía total de un fotón es tres veces su energía en reposo. Cual es la velocidad con la que se mueve el fotón? Solución: Como su energía total es tres veces la energía en reposo, la ecuación (22) da:

√

√

de donde

√

(observar los resultados de ambos ejercicios…….en el primer caso falta masa y en el segundo el fotón tiene la velocidad de la luz.) La teoría de la relatividad especial ha sido verificada por un gran número de experimentos. La liberación de grandes cantidades de energía en los procesos de fisión y fusión es una manifestación de la equivalencia masa – energía, en todas las reacciones (incluyendo las reacciones químicas) la liberación de energía se la hace a expensa de la masa. El concepto de relatividad y sus consecuencias afectas a todos los aspectos de la física. Si bien en este curso ha abordado algunas consecuencias de la mecánica, se deben tomar en cuenta estas particularidades al momento de aplicarlas a otros campos de la física como ser el electromagnetismo y la óptica. Debemos reexaminar cada campo de la física desde la perspectiva de la relatividad especial verificando que cada uno de ellos sea consistente con los dos postulados de la relatividad especial:

- Las leyes de la física son las mismas en cualquier sistema de referencia. - La velocidad de la luz en el espacio libre tiene el mismo valor constante c en todos los

sistemas de referencia inerciales.