Introducción a la geometría

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Universidad NacionalAutónoma de México

Antecedentes de Geometría

Ing. Jaime Martínez Martínez

Facultad deIngeniería

División de Ciencias Básicas

Departamento de Mecánica

y Análisis

Semestre 2004-1



Elementos de Geometría Básica

para IngenierosAdaptación de un trabajo realizado por alumnos que cursaron la AsignaturaAnálisis Gráfico en el semestre 2001-2

Cruz Andrade Jorge Pedro

Romero Serrano Noe de Jesús Sánchez Galicia Roberto

Uribe López Oscar



ÍndiceGeometría: definición.

Elementos básicos:

conceptos y teoremas.

Polígonos: características,

clasificación. Triángulos.

Circunferencia y círculo.

Áreas, perímetros y volúmenes.



Geometría

Definición.

� Geometría (del griego geo,

'tierra'; metrein, 'medir '), rama delas matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. Se le con-sidera como la ciencia de la posi-ción, la forma y la magnitud , y quetiene por objeto el estudio de la ex-

tensión considerada bajo sus tresdimensiones línea, superfice ycuerpo.



Elementos Geométricos Básicos

� Punto

� Línea

� Superficie

� Cuerpo

� Estos elementosno tienendefinición.

Sin embargo es importante tener una idea concreta de dichos elementos.



Punto

� Se le considera como laintersección de dos líneas

y es denotado con una letramayúscula. Es la mínimaexpresión de la extensión y,

por tanto no tiene longitud,

ni anchura ni altura; sólo

nos indica una posición en

el espacio.

P



LíneaSe considera generada por un punto en movimiento que siguecierta dirección . Su longitud es

indefinida. También se le con-sidera como la intersección dedos planos.

Es posible conceptualizarla como

aquello que limita a una super-ficie o como un conjunto de pun-

tos que tienen como única medida

la longitud.



SuperficieSuperficie

Se considera generada por una líneaSe considera generada por una línea

en movimiento con una direcciónen movimiento con una dirección

determinada.determinada.

Se entiende intuitivamente como laSe entiende intuitivamente como laforma experior de los cuerpos.forma experior de los cuerpos.

También se considera como el límiteTambién se considera como el límite

que separa a un cuerpo del espacioque separa a un cuerpo del espacioque lo rodea.que lo rodea.

Es importante resaltar que superficieEs importante resaltar que superficie

y área no son sinónimos.y área no son sinónimos.



Cuerpo

Se le considera como la parte del

espacio limitado por superficies

llamadas caras.

El sólido entonces está limitado

por superfcies planas, como los poliedros, por curvas, como la es-

fera, o planas y curvas, como el

cilíndro.



Ángulo. Es la magni-

tud de rotación deuna semirrecta que

gira sobre otra que

permanece f ija.

A

E



TIPOS DE ÁNGULOS

Ángulo agudo es menor de 90°

Ángulo recto mide 90°



Ángulo obtuso mayor de 90°y menor de 180°

Ángulo llano es igual a 180°



Ángulo entrante es mayor de180° y menor de 360°

Ángulo perigonal es igual a 360°



Ángulos adyacentes complementarios.

O

E

F

A

BC

Son dos ángulos quesuman un ángulo recto

Ángulos Adyacentes Suplementarios

O

E

F

A

B

C

Son dos ángulos que sumandos ángulos rectos



Ángulos opuestos por el vértice.

Son dos ángulos tales quelos lados de uno de ellos,son las prolongaciones de

los lados del otro.

O

A

B

C

D

OA

B C

D

EDos ángulos se llamanconsecutivos si tienen un

lado común que separe alos otros dos.



Ángulos formados por dos rectas paralelas, cortadas por una secante.

� Correspondientes (a, e) (c, g), ( b,f ),(d, h).

� Adyacentes (a,c), ( b, d), (e, f ),

(e,g), (f,h), (g,h), (c, d)� Opuestos por el vértice (a,d), ( b,c),

(e, h), (g, f ).

� Alternos internos (c, f ), (d, e)

� Alternos externos (a, h), ( b, g).

� Colaterales internos (c, e), (d, f ).

� Colaterales externos (a, g), ( b, h).

a b

h

c d

e f

g



Polígonos� Definición

� Clasificación

� Características



PoligonalEs la unión de segmentos de un plano

que se intersecan sólo en sus extremos,sin formar otro segmento. Los extre-

mos de los segmentos que integran la

poligonal se llaman vértices de la poli-

gonal y los segmentos son lados de la

poligonal.

Poligonal abierta. Es una poligonal

donde se puede determinar cual es su

lado inicial y cual su lado final.

Poligonal cerrada. Es cualquier poli-

gonal que no tiene determinados su

lado inicial y lado final.

Abierta

Cerrada



PolígonosUn polígono es una poligonal

cerrada.Polígono circunscrito. Es aquél cuyoslados son tangentes a una circunferencia.

Polígono inscrito. Es aquél cuyos vértices pertenecen a una circunferencia.

Polígono convexo. Es áquél cuyos ángu-los interiores (todos) son menores de180°.

Polígono cóncavo. Es aquél que tieneal menos un ángulo interior mayor de

180°.



Clasificación de los Polígonos

Escriba aquí el nombre

Escriba aquí el cargo

ConvexosLos que tienen sus diagonales en el interior

del polígono

CóncavosLos que tienen alguna diagonal en el

exterior del polígono

Regulares e Irregurales

Poligonos



Clasificación de acuerdo a sus lados

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

Paralelogramos

Tienen dos pares de lados paralelos

Rectángu lo Isósceles Escaleno

Trapecios

Un icamente tienen un par de lados paralelos

Simétr ico Asimétr ico

Trapezoides

No t ienen lados paralelos

Cuadr iláteros



La suma de los ángulos interiores y ángulos exteriores deun polígono.

Teorema. La suma de los ángulosinteriores (S) de un polígono con-vexo es igual a tantas veces dos án-

gulos rectos como lados menos dostiene el polígono.

Características

La suma de los ángulos exteriores

de todo polígono convexo es iguala cuatro ángulos rectos.

S = 180° (n-2)

Ángulo exterior de un polígono. Son cada uno de los ángulos formadosal prolongarse sucesivamente los lados de un polígono convexo.



TriángulosUn polígono con una trascendencia diferente.

� Definición

�Elementos

�Clasificación

�Congruencia

� Semejanza

�Rectas y puntos notables



Definición� Es la porción de plano

limitado por tres rectasque se cortan dos a dos.

� Polígono de tres lados.



Características� Los puntos de intersecciónson los vértices detriángulo: A , B, C.

� Los segmentosdeterminados, son loslados del triángulo:a, b, c. A

B

C

a

b

c



Elementos del triángulo

� Un triángulo tiene

como elementos:3 ángulos

3 lados

3 vértices



Clasificación de los triángulosSegún los lados que loconforma.

Según sus ángulosinteriores.



Atendiendo a sus ladosTriángulo Equilátero

Es aquél que tiene sus

tres lados congruentes

CBAtambién,CA !!!! BC A B

A B

A B

C

Triángulo Isósceles

Es aquél que tiene dos lados congruentes

B BC A B !! Atambién,



.desigualessontambiénángulossusqueAsi

C.BA

tantoloor CA

{{

{{

p

BC B

� TTriángulo

Escaleno

Es aquél quetiene todos sus

ladosdesiguales A B

C



� Acutángulo

Es aquél que tiene lostres ángulos agudos.

Atendiendo a sus ángulos

A B

C

A B

CObtusángulo

Es aquél que tieneun ángulo obtuso.



� RTriángulo Rectángulo

Es aquél que tiene un ángulorecto.

Hay que resaltar que los lados de untriángulo rectángulo reciben nombresespeciales:

Catetos son los lados que forman alángulo recto.

Hi potenusa es el lado opuesto al

ángulo recto: BC



Rectas y puntos notables del

triánguloEn el estudio de los tríánguloslos siete sabios de Grecia des-

cubrieron y desarrollaron através de la busqueda de las propiedades de elementos

geométricos, trazos que hacen

al triángulo un poligono bas-tante trascentedente.

� Mediana

� Altura� Bisectriz

� Mediatriz



MedianaEs el segmento trazadodesde un vértice hasta el

punto medio del ladoopuesto:

Hay tres medianas unacorrespondiente a cadalado. Se designan con la

letra ³m´ y un subíndiceque indica el lado:

� Donde el punto deintersección G de lasmedianas se denominabaricentro.CQyBP,AR



Altura

� Es la perpendicular trazadadesde un vértice opuesto oa su prolon- gación:

Hay tres alturas, unacorrespondiente a cadalado. Se designan con la

letra h y un subíndice queindica el lado. El punto O

donde concurren las tresalturas se llama ortocentro.

CNBP,, AM

ALTURAS



Bisectriz� Es la recta notable que

corresponde a la bisectrizde un ángulo interior. Por

lo tanto hay tres bisectrices para cadaángulo, aquí nombradas

por las letras griegas , ,.

<1 = <2;<3 = <4;<5 = <6;

� El punto I dondeconcurren las tres

bisectrices se llamaincentro.



Mediatriz� Es la perpendicular en

el punto medio de cada

lado se denominan conla letra ³M´ y unsubíndice que indica ellado.

� El punto K deintersección de la tres

mediatrices se llamacircuncentro.

;

;

;

c

b

a

M KT

M KU

M KS

!

!

!

MEDIATRIZ



ConceptosSemejanzaSe refiere a elementos geométricos quetienen la misma forma pero diferente medida.

EquivalenciaSe da cuando elementos geométricos tienenla misma área pero diferente forma.

Congruencia

Se da cuando dos figuras son semejantes yequivalentes al mismo tiempo.Se presenta cuando mediante superposicióndirecta los puntos de una figura caen exac-tamente sobre la otra.

� HomólogoSe designa así a los lados o a

los ángulos correspondientes defiguras que son congruentes osemenjantes.



Primer CriterioDos triángulos son semejantes

si por lo menos tienen dos

ángulos homólogos congruentes. U E E' U'

egundo Criterio

A

C B

A'

C' B'

Dos triángulos son semejantessi tienen proporcionales dos

lados homólogos y el ángulo

comprendido entre ellos es

congruente.



Tercer Criterio� Dos triángulos son

semejantes cuandotiene proporcionalessus tres lados

homólogos.

Q R

P'

Q' R '

R 'Q'P'PQR

entonces

R 'P'PR yR 'Q'QR ;Q'P'PQi

(}(

}}}



Congruencia en triángulos

� Dos triángulos son congruentes si y

solo sí on semejantes y equivalentes,

es decir los ángulos homólogos

interiores son congruentes así comocongruentes sus lados homólogos.



Primer Criterio

� Dos t riángulos soncongruentes si tienenrespectivamente dos

lados homólogoscongruentes y elángulo comprendidoentre ellos también

es congruente.P R

Q

P' R '

Q'



Segundo Criterio

� Dos triángulos soncongruentes cuandotienen respectivamentecongruentes un ladohomólogo y susángulos adyacentes.

P

Q

R P' R '

Q'



Tercer Criterio

� Dos triángulos soncongruentes cuandotienen respectivamente

congruentes sus treslados homólogos.

P R

Q

P' R '

Q'

''' RQ P PQR (}(



Teorema del Cateto� En todo triángulo

rectángulo un cateto es

media proporcionalentre la hipotenusa ysu proyección sobreella.

2

2)ABq(

tantoloor

bqc

b

C B

!

!

!



Teorema de Pitágoras� La relación aritmética entrelos catetos y la hipotenusade cualquier triángulorectángulo se conoce con el

nombre deTeorema de Pitágoras elcual se enuncia de lasiguiente manera:en un triángulo rectángulo

la suma de los cuadradosconstruidos sobre los cate-tos es igual al cuadradoconstruido sobre la hipo-tenusa.

c b

a b

2

a2

c

2



Teorema de la altura

� La altura relativa a hipotenusa de un trián-gulo rectángulo es me-dia proporcional entrelos segmentos en quedivide a ésta.

2hq p !



Circunferencia. Es el

conjunto de puntos quese encuentran a la mismadistancia de otro puntofijo, llamado centro.

Círculo. Es el conjuntode puntos de la circunfe-

rencia y de los del interior de ella.



Rectas y segmentos asociados la

circunferencia� Radio. Es un segmento

que une al centro concualquier punto de lacircunferencia.

� Cuerda. Es un segmentoque une dos puntos de lacircunferencia.

� Diámetro. Es una cuerdaque pasa por el centro dela circunferencia.



Rectas y segmentos asociados a la

circunferencia� Secante. Es una recta que

corta a la circunferencia endos puntos.

� Tangente. Es una recta quecorta a la circunferencia en

un solo punto.

� Punto de tangencia. Es el punto que tienen en comúnla tangente y la circunferencia.



Ángulos en la circunferencia

� Ángulo central

� Ángulo interior

� Ángulo inscrito� Ángulo semi-inscrito

� Ángulo exterior



Ángulo central

� Es el ángulo formado por dos radios.

� Es el ángulo que tienesu vértice en el centrode la circunferencia.

AB

E

O



Ángulo interior � Es el ángulo formado

por dos cuerdas y que

tiene su vértice dentrode la circunferencia.

A

B

C

D

E



Ángulo inscrito

� Es el ángulo formado por dos cuerdas que se

cortan en un punto dela circunferencia A

B

C

E



Ángulo semi-inscrito

� Es el ángulo formado por una cuerda y una

tangente, tiene su vérticeen el punto de tangencia.

� Es el ángulo que tiene suvértice en la

circunferencia y uno desus lados es una tangentey el otro una secante.

E

A B

C



Ángulo exterior

� Es el ánguloformado por dossecantes que se

cortan en un puntoexterior de lacircunferencia.

A

B C

D E

E



Figuras en el círculo

� Segmento circular

� Sector circular

� Corona circular � Trapecio circular



Segmento Circular

� Es la zona delimitada por una cuerda dentro

de un círculo.



Sector circular

� Es la zona de un círculodelimitada por dosradios

Sector circular



Corona Circular

� Es la porción del planolimitada por dos

circunferenciasconcéntricas.



Perímetros, áreas yvolúmenes



Perímetro

Es la medida de límite o

frontera, de un polígono,

se obtiene sumando todaslas longitudes de sus lados.



Área

Es la medida de la superficiedelimitada por el perímetro.

l f l l l



Algunas fórmulas para calcular áreas



Volumen

Es la medida del espacio que se localiza en el interior y exterior del sólido geométrico.



Algunas fórmulas para calcular volúmenes



Bibliografía

� Jesus García Arenas y Celestí Bertran Infante

³Geometría y ExperienciasÉditorial:

Biblioteca de Recursos Didacticos Alambra

Longman Editores

Alambra Mexicana

5 reimpresión

México 1997



Bibliografía

� Doctor J. A. Baldor

³Geometría plana y del espacio; y trigonometríaÉditorial:

Publicaciones Cultural

Décima Sexta reimpresión

México 1999



Bibliografía

� Daniel Robles Robles y Maria de Lourdes Minquini yCastañeda

³El Matemático de Segundo de SecundariaÉditorial:

Fernández Editores

Tercera Edición

México 1993



Bibliografía

� Frank Ayres Jr. y Robert E. Moyer

³Trigonometría (Serie Shaums)Éditorial:

McGraw Hill

Segunda Edición

México 1991



Bibliografía

� Arquimedes Caballero

³Matemáticas Primer CursoÉditorial:Esfinge

Trigésima Sexta ediciónMexico 1992



Bibliografía

� Arquimedes Caballero

³E jercicios de Arimética y Geometría para lasEscuelas Primarias´ ( Cuadernos Alfa)Editorial:Esfinge

Vigésimo Quinta Edición

Mexico 1985



Bibliografía

� Microsoft

³Enciclopedia EncartaÉditorial:

Microsoft

1999 y 2000



Bibliografía

� Lectus Vergara

³Enciclopedia Temática de Matemáticas LectusVergaraÉditorial:

Lectus Vergara



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