Introducción a la Inferencia Estadística

Tema 4: Contrastes de Hipótesis

Paramétricas

Prof. Rosario Martínez Verdú

TEMA 4: CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICAS

1. Planteamiento general de la contrastación de hipótesis estadísticas.

2. Contrastes de hipótesis bilaterales.

3. Contrastes de hipótesis unilaterales.

Bibliografía específica Tema 4:

- NEWBOLD, P. (1997). Estadística para los Negocios y la Economía. Madrid: Prentice Hall. 4ª Edición. Capítulo 9.

- NEWBOLD, P. y otros (2008). Estadística para Administración y Economía. Madrid: Pearson-Prentice Hall. 6ª Edición. Capítulo 10 y Capítulo 11 apartados 1 a 4.

- ESTEBAN GARCÍA, J. y otros: Curso Básico de Inferencia Estadística. Reproexpres Ediciones, Valencia, 2008. Tema 6 y y Tema 7 apartados 1 a 4.

- LIND D.A y otros. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. Ed. McGraw Hill, México, (13ª Edición). Capítulos 10 y 11.

- MURGUI, J.S. y otros (2002). Ejercicios de Estadística. Economía y Ciencias Sociales. Valencia: Tirant lo Blanch. Capítulo 8 apartados 2 y 3 y Capítulo 9 apartados 1 a 3.

Objetivos del apartado: Comprender los conceptos de hipótesis nula y

alternativa. Conocer los tipos de hipótesis estadísticas y de

contrastes. Saber formular las hipótesis y tomar una decisión en

base a una prueba estadística o test. Medir la fiabilidad de una prueba estadística o test

en base a los errores de tipo I y de tipo II. Comprender los conceptos de nivel de significación

y de potencia de un test estadístico.

1) Planteamiento general de la contrastación de hipótesis

estadísticas

¿Qué es una hipótesis? Una afirmación o suposición sobre la población,

principalmente acerca del valor de un parámetro : Valor de la Media de la Población μ Valor de la Varianza de la Población σ2

Valor de la Proporción poblacional p en una Bernoulli Ejemplos de hipótesis sobre parámetros:

1) Población X: peso paquetes de cereal, en gramos.El peso medio de los paquetes de cereal es de 500 gramos. (μ=500)

2) Población con distribución Bernoulli X: si un hogar tiene o no problemas para llegar a fin de mes.

El porcentaje de hogares con problemas para llegar a fin de mes es del 45% (p=0,45)

¿Qué es un contraste de hipótesis?

Es un procedimiento, basado en la evidencia que nos proporciona la muestra y en una prueba o test estadístico, usado para tomar una decisión acerca de la hipótesis. Se trata de determinar la validez o no validez de esa hipótesis. Si esa hipótesis se puede aceptar (no rechazar) o rechazar como válida. Esta hipótesis se llama hipótesis nula H0 y se contrasta frente a una hipótesis alternativa H1.

0

1

H : párametro toma uno o varios valores

H : parámetro toma otro u otros valores

TIPOS DE HIPÓTESIS Simples: parámetro toma un único valor. H0: μ=500 ó H0: p=0,45

Compuestas: parámetro toma distintos valores. Bilaterales: H1: μ500 ó H1: p0,45

Unilaterales: H1: μ>500 ó H1: μ<500 H1: p>0,45 ó H1: p<0,45

TIPOS DE CONTRASTES H0 y H1 simples (no es lo habitual) H0: μ=500 H1: μ=405

H0 simple y H1 compuesta y bilateral→Contraste Bilateral (tema 4.2)

H0 simple y H1 compuesta y unilateral→Contraste Unilateral (tema

4.3)

H0 y H1 compuestas y unilaterales→Contraste Unilateral (tema 4.3)

Hipótesis nula Ho Es la que contrastamos, es la más simple de

las dos hipótesis. Siempre hay una igualdad: = , ,

Los datos pueden refutarla.

No debería ser rechazada sin una gran evidencia en contra. Supondremos que es cierta a no ser que se pruebe lo contrario.

Hip. Alternativa H1 Es lo opuesto de la H0

No hay igualdad: suele haber , > , <

Los datos pueden mostrar evidencia a favor.

No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.

:H

:H

1

00,45p

0,45p

, , , ,

:H

:H

1

0500

500

Ejemplo 1) peso medio paquetes de cereales

Ejemplo 2) % hogares que no llegan a fin de mes

, , , ,

Bilateral

Bilateral

Unilateral

Unilateral

, , > ,< ,

, , > ,< ,

Para resolver el contraste y tomar una decisión respecto a la H0 nos vamos a basar en: La información que nos proporciona una muestra (es la única

evidencia que tenemos de la población). Una prueba o test estadístico, basado en un estadístico muestral del

tema 2. En base a este estadístico de prueba y a su distribución de probabilidad se establece una regla de decisión que nos indica cuando debe rechazarse o aceptarse la HO. Se establecen dos regiones:

- La región de Rechazo o región crítica: si el valor del estadístico está en esta región entonces se Rechaza la H0.

- La región de Aceptación: si el valor del estadístico está en esta región entonces se Acepta la H0.

Tomar una decisión respecto a la H0 en base a un test y con la información parcial de la muestra no es proceso fiable al 100% y cabe la posibilidad de cometer errores.

Tipos de error al contrastar hipótesisDecisión

Realidad

No Rechazar H0

(Aceptar H0)

Rechazar H0

(Aceptar H1)

H0 cierta

H0 falsa

Tipos de error al contrastar hipótesisDecisión

Realidad

No Rechazar H0

(Aceptar H0)

Rechazar H0

(Aceptar H1)

H0 cierta Correcto

H0 falsa

Tipos de error al contrastar hipótesisDecisión

Realidad

No Rechazar H0

(Aceptar H0)

Rechazar H0

(Aceptar H1)

H0 cierta Correcto

H0 falsa CorrectoProbabilidad 1- β →potencia del contraste = P(Rechazar H0/ H0 falsa)

Tipos de error al contrastar hipótesisDecisión

Realidad

No Rechazar H0

(Aceptar H0)

Rechazar H0

(Aceptar H1)

H0 cierta Correcto Error de tipo I

Probabilidad = P(Error tipo I)

= P(Rechazar H0/ H0 cierta)

H0 falsa CorrectoProbabilidad 1- β →potencia del contraste = P(Rechazar H0/ H0 falsa)

Tipos de error al contrastar hipótesisDecisión

Realidad

No Rechazar H0

(Aceptar H0)

Rechazar H0

(Aceptar H1)

H0 cierta Correcto Error de tipo I

Probabilidad = P(Error tipo I)

= P(Rechazar H0/ H0 cierta)

H0 falsa Error de tipo II

Probabilidad β = P(Error tipo II)

= P(Aceptar H0/ H0 falsa)

CorrectoProbabilidad 1- β →potencia del contraste = P(Rechazar H0/ H0 falsa)

No se puede tener todo: Para un tamaño muestral fijo, no se pueden

reducir a la vez ambos tipos de error. Si ↓ α entonces ↑ β y viceversa.

Como los dos errores no se pueden minimizar a la vez, hay que controlar o fijar uno de los dos errores. Lo usual es controlar la probabilidad del error de tipo I α, ya que este error se considera el más grave de cometer de los dos.Se llama nivel de significación α al mayor permitido o tolerado para la probabilidad del error de tipo I. Es el valor que se fija para α.

La fiabilidad de un test depende de lo pequeños que sean las probabilidades de los errores α y β.

0,1

= 0,05

0,01

Se fija nivel de significación

Nos determina un test

concreto

Resulta un valor concreto

para β

Analogía con un juicio: Se juzga a un individuo por la Analogía con un juicio: Se juzga a un individuo por la presuntapresunta comisión de un delito comisión de un delito

H0: Hipótesis nula Acusado inocente

H1: Hipótesis alternativa Acusado culpable

Los datos pueden refutarla

La que se acepta si las pruebas no indican lo contrario

Rechazarla por error tiene graves consecuencias

Riesgos al tomar decisiones

No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.

Rechazarla por error tiene consecuencias consideradas menos graves que la anterior

Tipos de error al tomar una decisiónDecisión

Realidad

Aceptar H0

Declararlo Inocente

Rechazar H0

Declararlo Culpable

H0 cierta Inocente Correcto Error de tipo I = P(Rechazar H0/ H0 cierta)

= P(Decl. Culpable/ Inocente)

Error muy graveH0 falsa Culpable Error de tipo II

= P(Aceptar H0/ H0 falsa)

= P(Inocente / Culpable)

Error menos grave

Correcto

Decisión

Realidad

Aceptar H0

No Adelantar

Rechazar H0

Adelantar

H0 cierta

No hay tiempoCorrecto Error de tipo I

= P(Rechazar H0/ H0 cierta)

= P(Adelantar/ No hay tiempo)

Error muy graveH0 falsa

Hay tiempoError de tipo II = P(Aceptar H0/ H0 falsa)

= P(No Adelantar / Hay tiempo)

Error menos grave

Correcto

EJEMPLO 2: Conductor decide si efectúa o no un adelantamiento H0: No adelantar ya que cree que no hay tiempo H1: Adelantar ya que cree que hay tiempo

Procedimiento a seguir en un Contraste de Hipótesis:Paso 1: Establecer la hipótesis nula y la alternativa

Ho y H1

Paso 2: Fijar el nivel de significación α

Paso 3: Identificar el estadístico de pruebay su distribución de probabilidad (Normal, t Student, Chi Cuadrado, F Snedecor)

Paso 4: Establecer una regla de decisión(identificar las regiones de rechazo y de aceptación de Ho)

Paso 5: Seleccionar una muestra,calcular el valor del estadístico de prueba

Paso 6: Tomar una decisión respecto a la Ho

Aceptar (No rechazar) la hipótesis nula Rechazar la hipótesis nula y aceptar la alternativa

EJEMPLO CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICAS

Sea Población X: peso de los paquetes de cereal, en gramos.X~N( , 2=100)Muestra: (x1, x2,...., xn) m.a.s. n=16

Se pretende contrastar las siguientes hipótesis:

Ho: = 500 →afirmación del fabricante

H1: = 495 →opinión organización de consumidores

Para resolver el contraste se proponen tests basados en el estadístico

y definidos mediante su región crítica o de rechazo:

Rechazar Ho si:

Cada posible valor de k es un test distinto, ¿cómo elegir un test

concreto?

x

k x

495,89

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

0,3500

0,4000

0,4500

0,5000

495 495,5 496 496,5 497 497,5 498 498,5 499 499,5 500

Valores de k

prob

abili

dade

s

alpha beta

Alpha=α

Beta=β