Introduccion a la modelacion matemáticasgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/jhmb/modelos_I_19P_1_1.pdfcaos. Entonces, ¿como se mantiene el orden y, más importante auń, como surge?

Introduccion a la modelacionmatematica

J. Hector Morales Barcenas

[email protected]

Departamento de Matematicas

Universidad Autonoma Metropolitana

Unidad Iztapalapa

J. Hector Morales Barcenas c� 2015

Aspectos estadısticos y matematicos de los problemas inversos 1/403

Christiane Nusslein-Volhard (1943), Premio Nobel de Medicina (1995).

¿Hay algo mas fascinante que la vida? Un simple huevo de gallina, que no

es mas que un pequeno saco de vitelo envuelto por una cascara protectora,

se convierte en cuestion de dıas en un pollo capaz de caminar, ver y comer.

Todo un milagro, si tenemos en cuenta que el unico aporte exterior ha sido una

temperatura adecuada, que incluso se puede conseguir con una incubadora.

Pero, milagros aparte, los seres vivos tambien estamos formados por moleculas,

y estas, por atomos de distintos elementos, en su mayorıa carbono, oxıgeno,

nitrogeno e hidrogeno. Sus estructuras determinan su manera de reaccionar

con otras moleculas y estan regidas por las leyes de la fısica y la quımica,

que a su vez nos recuerdan que lo unico que se crea espontaneamente es el

caos. Entonces, ¿como se mantiene el orden y, mas importante aun, como surge?

Prefacio de “Genesis y desarrollo de la vida”. Crıtica Barcelona, 2009.



Desarrollo del embrion de pollo sin cascaron: video

(Loading Chicken)



Desarrollo del embrion de pollo sin cascaron: publicacion



¿Que es la modelacion matematica?

(Irina Kareva)



Ejemplo introductorio de ecologıa

Modelo de predador-presa como proceso de nacimiento-muerte

• Un ejemplo muy conocido es el de la interaccion entre el lince (Lynx canadensis) y lasliebres (Lepus americanus).

Figura 1: Ejemplares de lince canadiense y liebre

• La “contabilidad” del numero de individuos de cada especie se obtuvo a partir de la recolectapor ano que realizo la Hudson Bay Company entre 1900 y 1920. Los datos son mostradosen la Tabla 1.




Figura 2: Region de la Bahıa de Hudson, Canada, en donde se tomaron las “muestras”.




Ano Linces Liebres Ano Linces Liebres1900 4.0 30.0 1911 8.0 40.31901 6.1 47.2 1912 12.3 57.01902 9.8 70.2 1913 19.5 76.61903 35.2 77.4 1914 45.7 52.31904 59.4 36.3 1915 51.1 19.51905 41.7 20.6 1916 29.7 11.21906 19.0 18.1 1917 15.8 7.61907 13.0 21.4 1918 9.7 14.61908 8.3 22.0 1919 10.1 16.21909 9.1 25.4 1920 8.6 24.71910 7.4 27.1

Cuadro 1: Numero de pieles (miles) recolectadas por la Hudson Bay Company.




1900 1905 1910 1915 19200

20

40

60

80

An~o

Pobl

acio

nes

(mile

s)

Numero de pieles colectadas por la Hudson Bay Company

LincesLiebres

Figura 3: Numero de pieles (miles) recolectadas por ano por la Hudson Bay Company.




• Una gran variedad de fenomenos se pueden modelar por una clase particular de procesosllamados de nacimiento-muerte.

• Dicho nombre proviene, obviamente, de los modelos de poblaciones humanas y animales enla que los individuos nacen y mueren.

• Un modelo muy conocido en ecologıa de poblaciones es un sistema de predador-presa, queconsiste de dos clases de animales: un que predar al otro y ese otro que representa unafuente inagotable de individuos.




• Escribamos con X a la presa, con Y al predador y con A al alimento de la presa. De formaabstracta consideremos el siguiente proceso

X + A ! 2X,

X + Y ! 2Y,

Y ! B.

Lo cual posee la siguiente ingenua pero encantadora interpretacion.

• La primer expresion simboliza a la presa comiendo una unidad de alimento y reproduciendoseinmediatamente.

• La segunda simboliza a un predador consumiendo una presa (la que irremediablementemuere – este es, en realidad, el unico mecanismo considerado de muerte de la presa) einmediamente se reproduce.

• La expresion final simboliza la muerte natural de un predador.




Ahora consideremos, en vez de individuos, una densidad o concentracion de losmismos.

• Nuestro caso seguira siendo un numero de individuos localizados en una posicion de-terminada del espacio: la region de la Bahıa de Hudson en Canada, lo que representaen si mismo una concentracion; sin embargo, cabe destacar que los modelos basados enecuaciones diferenciales ordinarias no toman en cuenta la variable espacial, los modelosque la incuyen son las ecuaciones diferenciales parciales.

• Escribimos x en vez de X y y en vez de Y denotando, respectivamente, las concentracionesde presas y predadores y construimos, paso a paso, un sistema de ecuaciones diferencialesde este proceso de nacimiento-muerte.

• Por cierto, la expresiones anteriores, bien pueden ser consideradas como el prototipo dereacciones quımicas en donde tenemos reactivos, Y , y sustratos, X. Estos ultimos sonconsumidos con cierta rapidez, llamada tasa de reaccion, dando lugar a productos.




• Las ecuaciones diferenciales son modelos matematicos que consisten de procesos contınuos,en este caso, en el tiempo. Las variables x y y dependeran, por lo tanto, de esta variableindependiente, ası como de parametros y de condiciones iniciales.

• Supongamos que la “primer reaccion” simboliza una tasa de produccion de presas, propor-cional al producto de x (su densidad) y la cantidad de alimento que consumen.

• Si las presas solo se reprodujeran comiendo sin la intervencion de predadores, es de esperarque

tasa de crecimiento

poblacion actual=

�x/�t

x= k1a = constante,

donde k1 es la tasa de reaccion, o tasa de alimentacion de la presa y a es la cantidad dealimento a su disposicion.

• La hipotesis anterior nos conduce, en el lımite �x ! 0 y �t ! 0, a la ecuacion diferencialde reproduccion normal o de Malthus con k1a > 0.




• Si renombramos a k1a por � > 0, obtenemos que

dx

dt= �x

y, por lo tanto, que x(t) = x0 exp(�t), donde x0 = x(t = 0) es la condicion inicial.

• Pero insistimos en la intervencion de los predadores en la vida de las presas; luego entonces,la segunda “reaccion” nos conduce a que la reproduccion de Y (que es igual a la tasa deconsumo de X) es proporcional al producto xy; es decir,

tasa de crecimiento presa

poblacion actual presa=

�x/�t

x= k1a � k2y,

donde k2 es la tasa a la cual se encuentran ambas especies. El signo menos del termino�k2y significa que la poblacion de presas disminuye por la intervencion o interaccion conlos predadores.




• El termino xy, que representa el producto de las concentraciones de presas y predadores esmuy importante y, de hecho, en el contexto de las reacciones quımicas, se conoce como leyde accion de masas.

• La ley de accion de masas establece que una reaccion entre dos compuestos quımicos selleva al cabo en proporcion al producto de la concentracion de ambas sustancias.

• La interaccion entre especies en un sistema ecologico se supone parecida a la que establecedicha ley.

• Regresando a nuestras ecuaciones diferenciales, establecemos en el lımite �x ! 0 y�t ! 0 que,

dx

dt= k1ax � k2xy,

representa la tasa de consumo de la presa.




• De la misma forma llegamos a la ecuacion diferencial de crecimiento del predador. Para ellotomamos encuenta la tercer expresion que representa la tasa de muerte de Y , que nos diceque es simplemente proporcional a su concentracion y; es decir,

dy

dt= k2xy � k3y,

• En conclusion, establecemos un modelo matematico que dicta la dinamica contınua en eltiempo de las concentraciones de ambas especies en “competencia”. Tal modelo se conoceen la literatura como Lotka-Volterra.

dx

dt= k1ax � k2xy,

dy

dt= k2xy � k3y.

• El estudio de este modelo, como sistema dinamico, lo dejaremos pendiente. Nos enfocaremosen resolver el problema practico de compararlo con los datos de la Hudson Bay Company.




Historia.

• El modelo predador-presa de Lotka-Volterra, fue inicialmente propuesto por Alfred J. Lotkaen la teorıa de reacciones quımicas autocatalıticas en 1910. En realidad se trata de laecuacion logısitica, que fue obtenida por Pierre Francois Verhults. En 1920 Lotka extendio elmodelo a “sistemas organicos”, empleando especies de plantas y animales herbıvoros comoun ejemplo y, en 1925, utilizo las ecuaciones para analizar las interacciones predador-presaen su libro de biomatematicas, llegando a las ecuaciones como las conocemos hoy dıa. VitoVolterra, quien hizo una analisis estadıstico de pesquerıas en el Mar Adriatico, investigoindependientemente las ecuaciones en 1926.

• C. S. Holling extendio este modelo en dos artıculos en 1959, en los cuales propuso la idea dela respuesta funcional. Tanto el modelo Lotka-Volterra como las extensiones de Holling, hansido usadas para modelar poblaciones de alces y lobos en Parque Nacional Isle Royale en losEUA que, con mas de 50 publicaciones al respecto, es uno de los casos mejor estudiados derelaciones predador-presa.




En economıa.

• Las ecuaciones Lotka-Volterra tienen una larga historia en la teorıa economica, cuyaaplicacion inicial se le acredita a Richard Goodwin entre 1965 y 1967. En los estudioseconomicos las ligas son entre las industrias supone una competencia; una forma de proponerun modelo dinamico de varias industrias ha sido introducido mendiante funciones troficasentre varios sectores, ignorando los sectores menores y considerando solo las interaccionesentre los dos de mas peso.




Problema 1. Supongamos que la solucion al modelo de Lotka-Volterra fuera una “buena”aproximacion a las mediciones de la Hudson Bay Company. ¿Cuales son los valores de losparametros del modelo que mejor reproducen, como solucion al modelo, la tendencia de losdatos?

• ¿Que valores deben tener los parametros k1, k2, k3 y a en el sistema de ecuaciones dife-renciales? ¿Cuales son los valores iniciales x0 y y0?

dx

dt= k1ax � k2xy,

dy

dt= k2xy � k3y.

• ¿Es posible que soluciones al sistema Lotka-Volterra reproduzcan las oscilaciones que seobservan en los datos?




Ajuste de curvas sobre datos

La idea central, para resolver el problema planteado, es poder hacer regresiones linealessobre los datos transformados.

• Reescribimos al sistema Lotka-Volterra de la siguiente forma:

1

x

dx

dt= k1a � k2y,

1

y

dy

dt= k2x � k3,

siempre que x y y no se anulen y renombramos variables y constantes:

L := 1ydydt , H := 1

xdxdt ,

k2 = c, k3 = r,k1a = a, k2 = b.




• Por lo que el sistema es ahora:

0 = a � by � H,

0 = cx � r � L,

0 10 20 30 40 50 60 70 80−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Phase Space

Har

es

Lynx0 10 20 30 40 50 60

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6Phase Space

Hares

Lynx

Figura 4: Datos transformados graficados en el plano fase H vs y y L vs x.




• Regresion sobre el sistema:0 = a � by � H.

0 10 20 30 40 50 60 70 80−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 5: Regresion lineal a datos transformados graficados en el plano fase H vs y.




• Regresion sobre el sistema:0 = cx � r � L.

0 10 20 30 40 50 60−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figura 6: Regresion lineal a datos transformados graficados en el plano fase L vs x.




1 %% Sc r i p t to f i t Lotka�Vo l t e r r a to data .2 % Data : Number o f p e l t s c o l l e c t e d by the Hudson Bay Company3 % c x � r = dy/y45 c l e a r a l l , c l f , c l c67 %% Loading data and p l o t t i n g8 import LV ( ’ l v d a t a . t x t ’ )9 % load l v d a t a . t x t

10 % g l o b a l data11 T = data ( : , 1 ) ;12 L = data ( : , 2 ) ;13 H = data ( : , 3 ) ;14 f i g u r e (1 )15 p l o t (T, L , ’�.o ’ ,T,H, ’�.o ’ , ’ L ineWidth ’ , 2)16 t i t l e ( ’Number o f p e l t s c o l l e c t e d by the Hudson Bay Company ’ )17 y l a b e l ( ’ Popu l a t i o n s ’ )18 x l a b e l ( ’ Year ’ )19 l egend ( ’ Lynx ’ , ’ Hare ’ )


Documents

Introduccion a la modelacion matemáticasgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/jhmb/modelos_I_19P_1_1.pdfcaos. Entonces, ¿como se mantiene el orden y, más importante auń, como surge?