introduccion a la resistencia.pdf

JORGE EDUARDO SALAZAR TRUJILLO

RES ISTEN C IA D E M ATERIALESBS IC A PARA ESTU D IAN TES

D E IN G EN IER A

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIASEDE MANIZALES

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I.S.B.N 978-958-8280-08-0

2007 UNIVERSIDAD NACIONALDE COLOMBIA SEDE MANIZALES

AUTOR:

JORGE EDUARDO SALAZAR TRUJILLOIngeniero CivilProfesor AsociadoUniversidad Nacional de ColombiaSede Manizales

REVISADO:

LUIS EDGAR MORENO MONTOYAIngeniero IndustrialEspecialista en Planeamiento EducativoProfesor AsociadoUniversidad Nacional de ColombiaSede Manizales

JOS OSCAR JARAMILLO JIMNEZIngeniero CivilMagster Ingeniera CivilEspecialista en Planeamiento EducativoProfesor AsociadoUniversidad Nacional de ColombiaSede Manizales

IMPRESO:Centro de PublicacionesUniversidad Nacional de ColombiaSede Manizales

Marzo de 2007Primera edicin


C O N T E N I D O

PRESENTACIN .................................................................................................................. 7

CAPTULO 1INTRODUCCIN Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES .................................................. 9

1.1 PRINCIPIOS BSICOS DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES ............................. 151.2 CONCEPTO DE ESFUERZO Y DEFORMACIN ........................................................ 171.3 TIPOS DE ESFUERZOS ................................................................................................. 18

1.3.1 Esfuerzos normales ................................................................................................... 181.3.2 Esfuerzo de aplastamiento o de apoyo ....................................................................... 311.3.3 Deformaciones axiales .............................................................................................. 32

1.4 PROPIEDADES MECNICAS DE LOS MATERIALES .............................................. 321.4.1 Relaciones esfuerzo-deformacin .............................................................................. 38

1.5 LEY DE HOOKE ............................................................................................................. 391.5.1 Mdulo de elasticidad, ductilidad, resistencia .............................................................. 401.5.2 Mdulos de elasticidad de algunos materiales ............................................................. 41

1.6 ELASTICIDAD Y PLASTICIDAD ................................................................................. 441.6.1 Factores de seguridad ................................................................................................ 45

1.7 ESFUERZOS CORTANTES ............................................................................................ 461.7.1 Deformaciones por corte ........................................................................................... 481.7.2 Ley de Hooke para corte ........................................................................................... 481.7.3 Mdulo de corte de varios materiales......................................................................... 491.7.4 Esfuerzo cortante doble ............................................................................................. 491.7.5 Relacin de Poisson................................................................................................... 511.7.6 Relacin entre el mdulo de elasticidad y el mdulo cortante ..................................... 54

1.8 DEFORMACIONES EN ESTRUCTURAS CUYAS BARRAS ESTNSOMETIDAS A FUERZAS AXIALES ............................................................................. 54

1.9 ESFUERZOS TRMICOS ............................................................................................... 571.9.1 Coeficientes de dilatacin trmica .............................................................................. 58

1.10 INDETERMINACIN ESTTICA EN TENSIN Y COMPRESIN ......................... 591.11 ENERGA DE DEFORMACIN AXIAL ...................................................................... 71

CAPTULO 2ESFUERZOS BIAXIALES Y TRIAXIALES ......................................................................... 75

Esfuerzos en secciones inclinadas ...................................................................................... 75Esfuerzos complementarios: ............................................................................................... 77

2.1 LEY DE HOOKE EN DOS Y TRES DIMENSIONES .................................................... 79


2.1.1 Ley de Hooke para esfuerzos biaxiales ...................................................................... 802.1.2 Ley de Hooke para esfuerzos triaxiales ..................................................................... 81

2.2 ESFUERZOS PRINCIPALES, ESFUERZO PLANO Y CRCULO DE MOHR,ESFUERZOS Y PLANOS PRINCIPALES ....................................................................... 832.2.1 Construccin del crculo............................................................................................. 87

CAPTULO 3ESFUERZOS PRODUCIDOS POR FLEXIN. VIGAS....................................................... 101

Qu caracteriza una viga? .................................................................................................. 101Cmo trabajan las vigas? .................................................................................................... 102Los arcos y las cerchas ...................................................................................................... 102

3.1 ESFUERZOS NORMALES PRODUCIDOS EN FLEXIN ........................................... 1063.1.1 Flexin pura ............................................................................................................... 1063.1.2 Clculo de esfuerzos normales ................................................................................... 108

3.2 FLEXIN TRANSVERSAL: ESFUERZOS CORTANTES PRODUCIDOSEN FLEXIN.................................................................................................................... 1213.2.1 Efecto de corte horizontal en vigas ............................................................................ 121

3.3 VIGAS DE DOS MATERIALES ..................................................................................... 134

CAPTULO 4DEFORMACIONES EN VIGAS ........................................................................................... 145

Tipos de deformaciones ...................................................................................................... 1474.1 MTODO DE LA DOBLE INTEGRACIN................................................................... 150

4.1.1 Funciones de singularidad .......................................................................................... 1654.2 MTODO DEL REA DE MOMENTOS (TEOREMAS DE MOHR) ........................... 1724.3 MTODO DE LA VIGA CONJUGADA......................................................................... 1884.4 INTRODUCCIN A LOS MTODOS DE ENERGA ................................................... 1974.5 VIGAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS ........................................................ 199

CAPTULO 5ESFUERZOS COMBINADOS .............................................................................................. 207

Flexo-tensin y flexo-compresin ....................................................................................... 209Superposicin de esfuerzos................................................................................................. 211

CAPTULO 6COLUMNAS ......................................................................................................................... 2276.1 FENMENO DEL PANDEO O INESTABILIDAD LATERAL ..................................... 2276.2 CARGA CRTICA ........................................................................................................... 2326.3 TEORA DE EULER ....................................................................................................... 233

6.3.1 Clculo del valor de la carga crtica ........................................................................... 2336.4 DIFERENTES CONDICIONES DE APOYOS ............................................................... 2376.5 ESFUERZOS CRTICOS ................................................................................................. 240


6.6 CDIGOS ........................................................................................................................ 243CAPTULO 7TORSIN .............................................................................................................................. 249

Elementos estructurales sometidos a torsin ...................................................................... 2497.1 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN ELEMENTOS DE SECCIN CIRCULAR .. 2507.2 INDETERMINACIN ESTTICA................................................................................. 2617.3 TORSIN DE ELEMENTOS DE SECCIN RECTANGULAR .................................... 263

7.3.1 Esfuerzos y deformaciones en elementos de seccin rectangular a torsin ................. 2637.4 TORSIN DE SECCIONES ABIERTAS......................................................................... 2677.5 TORSIN DE TUBOS DE PARED DELGADA ............................................................ 269

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS .................................................................................... 273Referencias de tablas ......................................................................................................... 274Referencias fotogrficas y de grficos ............................................................................... 274


7P R E S E N T A C I N

El presente "Texto de Resistencia de Materiales bsica para estudiantes de ingeniera" elaboradodurante el ao sabtico 2005-2006 tiene el objetivo de servir como ayuda didctica a los estudiantes deingeniera en los primeros semestres de estudio del rea de la ingeniera estructural.

Consciente de la existencia de un sinnmero de textos de Resistencia de Materiales (verreferencias), que tratan el tema de manera exhaustiva he querido preparar una gua de apoyo paradichos textos que haga nfasis en aspectos como los siguientes:

Presentacin grfica de las situaciones en tres dimensiones de tal manera que desde el principiodel estudio de esta rea los estudiantes tengan clara la ubicacin de los elementos estructurales en unespacio tridimensional de tal forma que diferencien claramente aspectos como el eje longitudinal deuna viga, su seccin transversal y el eje neutro de la misma entre otros. Para hacer nfasis en esto mehe basado en mi experiencia de casi 30 aos como profesor de la asignatura, en los cuales he podidoobservar las dificultades que los estudiantes tienen al respecto.

nfasis mediante grficos y fotografas en el entendimiento del comportamiento mecnico de loselementos estructurales cuya comprensin considero previa a las formulaciones matemticas ycomputacionales con los cuales se abordan estos problemas hoy en da. En mi experiencia docente hevisto cuan tiles son la ayudas grficas y las simulaciones hechas con elementos como tizas, resortes,plastilina o balso para explicar muchos conceptos y cmo los estudiantes han apreciado el empleo deestos recursos en las clases.

Con iguales propsitos didcticos, he procurado presentar la resolucin de los diferentes problemasde manera similar a como lo hara en el tablero del aula de clase, partiendo de la expresincorrespondiente a la incgnita buscada en cada caso y a partir de la misma ir encontrando los diferentesparmetros necesarios para su clculo.

De esta forma, el clculo de cada uno de los parmetros mencionados, adquiere sentido para elestudiante quien lo ver como un paso necesario y til en la solucin del problema en cuestin.

He tratado asimismo de ilustrar con fotografas, las diferentes situaciones tratadas en los captulosdel texto con fines similares a los ya expuestos.

Espero finalmente como lo manifest al principio, que el texto sea motivador para los estudiantesque se inician en el estudio del rea de la ingeniera estructural y agradezco a las directivas de laFacultad de Ingeniera y Arquitectura de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales quecon la aprobacin del ao sabtico me hayan permitido hacerlo.


9C A P T U LO 1

IN T R O D U C C I N Y C O N C E P TO SF U N D A M E N T A L E S

En el curso de MECNICA se empezaron a estudiar los elementos estructurales y las estructurasdesde el punto de vista del EQUILIBRIO ESTTICO externo, es decir de la QUIETUD en quedeben estar para que cumplan su funcin. Se tenan por ejemplo las siguientes situaciones y se haca unDIAGRAMA DE CUERPO LIBRE en el cual se ponan todas las fuerzas externas que actuabansobre el mismo y a continuacin se aplicaban las ecuaciones de equilibrio con el fin de encontrar lasreacciones en los apoyos.


1 0

En los casos mostrados en la figura, las reacciones se calculan mediante la aplicacin de lasecuaciones de equilibrio (suma de fuerzas igual a cero y suma de momentos igual a cero). Aunque elclculo de las reacciones que garanticen el reposo es fundamental, ste es solo el primer paso en elproceso de anlisis y diseo que en cada situacin llevar a la definicin del tipo de material, de laforma y de las dimensiones que harn que las estructuras sean seguras y funcionales.

- Seguras quiere decir que no se rompan.

- Funcionales quiere decir que no se deformen excesivamente afectando el servicio que prestan.

Estas dos condiciones, RESISTENCIA y RIGIDEZ debern asegurarse para que las estructurascumplan su fin.


1 1

Es claro que en las situaciones mostradas a continuacin las estructuras pueden romperse odeformarse excesivamente.

Como puede verse, cualquiera de las dos situaciones (Deformacin excesiva o Rotura) esinadmisible.

Por lo tanto, el ingeniero debe asegurar con una buena probabilidad de xito que las estructurasque construya sean RGIDAS y RESISTENTES.

De esto trata la RESISTENCIA DE MATERIALES. Debemos ser capaces de garantizar quelas estructuras a construir no se deformen excesivamente y que no se fracturen.

Para hacerlo, es necesario que sepamos calcular las fuerzas internas que se producen en loselementos estructurales y que son en ltimas las que producirn las deformaciones y la rotura.


1 2

En general podemos afirmar que una fuerza interna produce un esfuerzo actuante que trata deromper el elemento. Que se rompa depende del esfuerzo resistente que tenga el elemento el cualdepender del material y de sus dimensiones transversales.

Anlogamente, esas mismas fuerzas internas producirn deformaciones del elemento las cualesdependern igualmente del material y de sus dimensiones.

La Resistencia de Materiales se ocupa del clculo de los esfuerzos y deformaciones que seproducirn debiendo garantizar el ingeniero que las deformaciones estn dentro de unos lmites permisiblesy obviamente que no se produzcan roturas.

Los esfuerzos resistentes del material deben calcularse con el fin de poder compararlos con losesfuerzos actuantes. Estos esfuerzos dependen no solo de las dimensiones del elemento estructuralsino de la forma como estn aplicadas las cargas las cuales pueden producir esfuerzos normales ocortantes dependiendo de que las fuerzas o momentos actuantes sean axiales, transversales ocombinados.

Debe por tanto determinarse primero que todo si el elemento en estudio est sometido a fuerzasaxiales, transversales (en cuyo caso se producir flexin), momentos torsionales (torsin) o unacombinacin de algunos de ellos.


1 3

Veamos las siguientes situaciones:

CABLES DE ANCLAJE, PUENTE DE LA BAHA, SAN FRANCISCO, ESTADOS UNIDOS. 2005


1 4


1 5

Como se observa en las figuras anteriores, los elementos estructurales quedan sometidos adiferentes tipos de fuerzas (o solicitaciones) dependiendo tanto de las acciones que se apliquen comode la conformacin de cada estructura y del punto de aplicacin de las fuerzas.

En cada situacin por tanto, el clculo de los esfuerzos actuantes ser distinto.

En consecuencia, estudiaremos los esfuerzos y deformaciones producidos en elementosestructurales en los siguientes casos:

- Axiales- Biaxiales- Triaxiales- Flexin- Combinados- Pandeo (caso particular de esfuerzo axial a compresin)- Torsin

1 . 1 P R I N C I P I O S B S I C O S D E L A R E S I S T E N C I A D E M A T E R I A L E S

Como en cualquier materia, en la resistencia de materiales se aceptan de entrada unas hiptesisiniciales que sin afectar en su esencia los resultados de los temas de estudio simplifiquen el anlisis que,de otra manera, se hara demasiado dispendioso.

Estos principios bsicos son:

Los materiales se consideran homogneos: esto quiere decir que se hace caso omiso de lasvariaciones de composicin que de punto a punto de los mismos tienen los materiales reales.


1 6

Los materiales se consideran contnuos: tampoco se tienen en cuenta en los anlisis lasdiscontinuidades o poros que presentan los materiales. Pinsese en los casos de la madera ydel concreto.

Los materiales se consideran istropos: significa que en los anlisis generales no setienen en cuenta las diferencias de propiedades en distintas direcciones del material. Osea que se supone que sus propiedades son iguales en todas las direcciones. (iso: igual,tropos: direccin).

No se tienen en cuenta las fuerzas internas de tipo intertomico existentes en los materiales.Solo se consideran las fuerzas causadas por la aplicacin de fuerzas externas.

Principio de superposicin: los efectos de un sistema de fuerzas sobre un elemento soniguales a la suma de los efectos individuales de cada una de las fuerzas. Es vlido en el rangoelstico lineal como se ver posteriormente.

Principio de Saint Venant (cientfico francs): Cuando a un elemento estructural se le aplicauna fuerza los esfuerzos que esta causa en puntos suficientemente alejados de ella no dependende la forma concreta en que la carga es aplicada:

PRINCIPIO DE SAINT VENANT

Los esfuerzos internos en la seccin A-A son iguales en los 3 casosindependientemente de la forma como se cuelgue la carga

A A A A A A


1 7

1 . 2 C O N C E P T O D E E S F U E R Z O Y D E F O R M A C I N

Tal como se dej establecido en el curso de Mecnica, en el anlisis esttico externo inicial no haynecesidad de considerar las deformaciones de los elementos estructurales (los cuerpos puedenconsiderarse rgidos) ni el tipo de material del cual estn hechos pues estos factores usualmente notienen incidencia en las reacciones generadas en los apoyos.

Si se tiene un objeto suspendido por un cable no habr necesidad de considerar el alargamientodel cable para calcular su tensin. El diagrama de cuerpo libre del cable estar sometido a las mismasfuerzas considrese o no el alargamiento.

Veamos:

Como muestra el ejemplo, para hacer el anlisis externo y calcular las reacciones no es necesarioconsiderar las deformaciones y el tipo de material.

Sin embargo para avanzar en el proceso de anlisis y diseo con el objetivo de definir finalmentelas dimensiones y el tipo de material del cual debern hacerse los elementos estructurales es necesarioconsiderar las deformaciones que tendrn los elementos y la resistencia de los diferentes tipos de materiales.

Se hace indispensable entonces proceder a considerar las caractersticas de:

RESISTENCIA (oposicin a la rotura)y

RIGIDEZ (oposicin a las deformaciones)

que tendrn los diferentes elementos estructurales.

Las fuerzas son las mismas (R y W), independientemente que seconsidere o no el alargamiento


1 8

En otros trminos, antes de construir una estructura es necesario saber la resistencia que tendry las deformaciones que sufrir. Lo anterior es apenas obvio si consideramos que cualquier estructuradebe satisfacer unas exigencias mnimas de seguridad (resistencia) y de funcionalidad y esttica(mnimas deformaciones).

Adems cuando se presenten casos de indeterminacin esttica (que se estudiarn ms adelante)se requiere contar con ecuaciones adicionales que usualmente surgen de la consideracin dedeformaciones.

Por las consideraciones anteriores, se hace necesario estudiar tanto los esfuerzos como lasdeformaciones que sufrirn los elementos sometidos a fuerzas, segn se vio al final del curso deMecnica.

1 . 3 T I P O S D E E S F U E R Z O S

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, MANIZALES, CAMPUS LA NUBIA(Construccin de estructura metlica)

1 . 3 . 1 E s f u e r z o s n o r m a l e s

Cuando una fuerza P acta a lo largo de una barra su efecto sobre la misma depende no solo delmaterial sino de la seccin transversal que tenga la barra, de tal manera que a mayor seccin mayorser la resistencia de la misma.

Se define entonces el esfuerzo axial o normal como la relacin entre la fuerza aplicada y elrea de la seccin sobre la cual acta. O en otros trminos como la carga que acta por unidad de readel material.


1 9

Esfuerzo normal:AP

Siendo P: Fuerza axialA: Seccin transversal

O a nivel diferencial:

dAdP

Unidades del esfuerzo normal:

Esfuerzo : 2LF

2cmKg psi

inlb :2 Pascalm

N :2

MKS Ingls Sistema internacional


2 0

CABLES SOMETIDOS A TENSIN. PUENTE DE BROOKLYN, NUEVA YORK, 2005

HILOS DE UNA TELARAA SOMETIDOS A TENSIN


2 1

SECCIN TRANSVERSAL DE UNO DE LOS CABLES PRINCIPALES DEL PUENTE GOLDEN GATEEN SAN FRANCISCO. NTESE EL GRAN DIMETRO (92.4CM) DE UNO DE LOS CABLES

PRINCIPALES CON LO CUAL SE GARANTIZA UN REA SUFICIENTEMENTE GRANDE PARA DISMINUIREL ESFUERZO ACTUANTE Y AUMENTAR LA SEGURIDAD DEL PUENTE.

COLUMNA A COMPRESIN, CAMPUS LA NUBIA, UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, MANIZALES


2 2

22 09.03.03.0 mF

mF

AF BCBC

BC

BCBC

FF

F

BC

y

0

Debemos calcular F

FF

F

AB

y

0

PROBLEMA

Sabiendo que el esfuerzo normal actuante en el tramo AB (cuya seccin es de 40x40cm) es de48 KPa calcular el esfuerzo correspondiente en el tramo BC (cuya seccin es de 30x30cm)

Debemos calcular por tanto el valor de FBC

Calculamos F:


2 3

Pero en el enunciado del problema se establece que: KPaAB 48

Por tanto: 22 16.04.04.048

mF

mF

AFKPa

AB

ABAB

KNmmKNmKPaF 68.716.0/4816.048 222

Al principio habamos encontrado que FFBC

Entonces: KNFBC 68.7

Y finalmente: KPamKN

mFBC

BC 33.8509.068.7

09.0 22

PROBLEMA

Se tiene un muro sometido a una carga de 13000 Kg por metro de longitud y soportado poruna cimentacin de concreto la cual a la vez se apoya sobre el suelo. Calcular los esfuerzosactuantes en el muro, la cimentacin y el suelo y compararlos con los esfuerzos admisibles delos tres elementos que son los siguientes:

MPa.KPamN

mcm

KgN.

cmKgcm/KgUROadmisibleM 923392010392

101

894040 24

2

24

22

MPa.CONCRETOIMENTACIONadmisibleC 834

MPa.KPaUELOadmisibleS 380380


2 4

Para simplificar el problema no consideremos los pesos propios del muro y del concreto.

Para el anlisis consideremos un tramo de muro de un metro de longitud.

Calculemos los esfuerzos actuantes en los niveles a, b, c y d:

E n e l n i v e l a :

Como KPaUROadmisibleM 3920

Entonces:

UROadmisibleMMUROactuante

El muro es seguro

KPaPaKg

NmKg

mKg

AF

MUROactuanteaactuante 7.4247.42466618.933.43333

3.0113000

22


2 5

E n e l n i v e l b :

Como

KPaMPaCONCRETOIMENTACIONadmisibleC 4830483

Entonces:

La cimentacin es segura en el nivel b

E n e l n i v e l c :

Como

Entonces

La cimentacin es segura en el nivel c

KPaPaKg

NmKg

mKg

AF

CONCRETOactuantecactuante 8.25425480018.926000

5.0113000

22

KPaPaKg

NmKg

mKg

AF

CONCRETOactuantebactuante 7.4247.42466618.933.43333

3.0113000

22

CONCRETOIMENTACIONadmisibleCCONCRETONCIMENTACIOactuante

KPaMPaCONCRETOIMENTACIONadmisibleC 4830483

CONCRETOIMENTACIONadmisibleCCONCRETONCIMENTACIOactuante


2 6

E n e l n i v e l d :

Como

KPaUELOadmisibleS 380

Entonces

UELOadmisibleSSUELOactuante

PROBLEMA

Calcular el valor de la fuerza admisible que puede aplicarse a la estructura sabiendo que losesfuerzos admisibles del material son los siguientes:

21400 cm/KgENSIONadmisibleT 2800 cm/KgOMPRENSIONadmisibleC

Las barras AC y BC tienen secciones transversales de 5x2 cm.

KPaPaKg

NmKg

mKg

AF

SUELOactuantedactuante 18218200018.943.18571

7.0113000

22

La cimentacin tambin es segura a nivel delsuelo

La barra BC est a tensin y la barraAC a compresin. Por lo tanto

la condicin que debe cumplirsees que el esfuerzo en BC

no sobrepase un valor de1400 Kg/cm2 y que el esfuerzo en ACno sobrepase un valor de 800 Kg/cm2.

En otros trminos:

Padmisible=?


2 7

21400 cm/KgENSIONadmisibleTactuanteBC

2800 cm/KgOMPRENSIONadmisibleCactuanteAC

Debemos por tanto calcular los esfuerzos actuantes en las 2 barras:

22 1025 cmF

cmF

AF BCBCBC

actuanteBC

22 1025 cmF

cmF

AF ACACAC

actuanteAC

Calculemos FBC y FAC

56.2635.1tan 1

0yF 0xF

05626 admisibleBC P.SenF 056.26 CosFF BCAC

admisibleBC P.F 242 admisibleadmisibleAC P..CosP.F 0025626242

Por lo tanto:

22 140010

242 cm/Kgcm

P.ENSIONadmisibleT

admisibleactuanteBC

KgPadmisible 6250

22 80010

002 cm/Kgcm

P.OMPRESIONadmisibleC

admisibleactuanteAC

KgPadmisible 4000


2 8

Hemos encontrado 2 valores para la carga permisible: el de 6250 Kg garantiza que la barraBC no se romper mientras que el de 4000 Kg garantiza que la barra AC no lo har.

Como debemos asegurarnos de que ninguna de las 2 se rompa escogemos el valor menorque nos lo garantiza.

Por lo tanto:

KgPadmisible 4000

Ninguna de las 2 barras se romper

PROBLEMA

Calcular los esfuerzos normales en el cable AB y en los 2 tramos de la barra CBD de la figura:

El cable tiene un dimetro de 1.5 cm y la barra tiene una seccin de 2 x 5 cm

87.36325.2tan 1

13.5387.3690


2 9

Los esfuerzos pedidos sern iguales a:

cable

ABAB A

F

barra

CBCB A

F

barra

BDBD A

F

222

77.14

)5.1(4

cmcmDAcable

21025 cmcmcmAbarra

Debemos calcular las fuerzas FAB FCB y FBD

Diagrama de cuerpo libre:

0CM

0425.22 ABF

KNFAB 5.4

0yF

KNCy 4

0xF

KNFC ABx 5.4

Esfuerzo en el cable AB:

MPamKN

mcm

cmKN

AFcable

ABAB 4.251054.2

1077.15.4

24

2

24

2


3 0

Clculo de FCB y FBD

Esfuerzos en los tramos CB y BD

MPamKN

mcm

cmKN

AFbarra

CBCB 9.51059.0

101090.5

24

2

24

2

MPamKN

mcm

cmKN

AF

barra

CBCB 2.31032.0

101020.3

24

2

24

2


3 1

1 . 3 . 2 E s f u e r z o d e a p l a s t a m i e n t o o d e a p o y o

Un caso particular de esfuerzo se presenta cuando hay un contacto entre dos superficies que sepresionan entre si, como puede ser el caso de una arandela metlica y una superficie de madera.

En este caso puede presentarse un aplastamiento local de una de las superficies debido al esfuerzode compresin que se denomina "esfuerzo de aplastamiento".

Cuando este tipo de situaciones se presenta, ser necesario calcular el esfuerzo permisible delmaterial mas susceptible de aplastarse, en este caso la madera para a partir del mismo calcular el reade la arandela que garantice que no se producir aplastamiento en la madera.

AL PRODUCIRSE LA FLEXIN SE GENERA UNA GRAN COMPRESIN DE LA ARANDELA SOBRE LA MADERAORIGINANDO EL APLASTAMIENTO QUE SE VE EN LA FOTO INFERIOR DERECHA. (Ensayo diseado

por el profesor Jos Christian Chanch, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales)


3 2

1 . 3 . 3 D e f o r m a c i o n e s a x i a l e s

El alargamiento total que sufre la barra se representa con la letra griega (Deformacin total)

Por tanto, la deformacin unitaria ser: l

1 . 4 P R O P I E D A D E S M E C N I C A S D E L O S M A T E R I A L E S

La resistencia de materiales diferencia claramente la parte terica y la experimental:

En la parte terica estudia mediante modelos matemticos (ecuaciones) los esfuerzos ydeformaciones producidos en el interior de los elementos estructurales por las fuerzas aplicadas. Haceuso intensivo de los diagramas de cuerpo libre y de las ecuaciones de equilibrio, as como de lasrelaciones geomtricas entre las dimensiones de los elementos y sus deformaciones tanto linealescomo angulares.

En la parte experimental ensaya en el laboratorio probetas de materiales sometindolas adiferentes tipos de cargas para calcular los esfuerzos resistentes de los materiales y adicionalmentemediante la medicin de las deformaciones producidas busca encontrar relaciones entre estas y losesfuerzos aplicados con el fin de determinar lo que se conoce como las caractersticas accin-respuestade los materiales lo cual permitir determinar parmetros como los mdulos de elasticidad y de corte,


3 3

la relacin de Poisson y la ductilidad de los materiales ensayados (posteriormente veremos el significadode cada uno de estos trminos).

En las siguientes fotos se observan algunos ejemplos de probetas sometidas a ensayos en loslaboratorios de resistencia de materiales y estructuras de la Universidad Nacional de Colombia, SedeManizales.

ENSAYO DE COMPRESIN DE CONCRETO


3 4

PROBETAS METLICAS ENSAYADASA TENSIN

MADERA ENSAYADA A CORTE

PREPARACIN DE LAS VIGUETASA SER ENSAYADAS


3 5

FLEXIN DE VIGUETA DE CONCRETO SIMPLE

CORTE DOBLE EN COBRE


3 6

ENSAYO DE COMPRESIN EN BLOQUES DE MORTERO

ENSAYO BRASILERO DEL CONCRETO

ENSAYO DE COMPRESIN DE MADERA


3 7

LABORATORIO DE RESISTENCIADE MATERIALES

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA,SEDE MANIZALES

ENSAYO DE CORTEDE TORNILLOS

(Diseo del profesor JosChristian Chanch,

Universidad Nacionalde Colombia,

Sede Manizales)


3 8

ENSAYO DE APLASTAMIENTO EN MADERA(Diseo del profesor Jos Christian Chanch, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales)

ENSAYO DE MURO. Realizado por los estudiantes William Garzn et al y dirigido por el profesor Jos Christian Chanchen la Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales.

1 . 4 . 1 R e l a c i o n e s e s f u e r z o - d e f o r m a c i n

Se dice que el primero en estudiar sistemticamente las propiedades de resistencia de un materialfue Leonardo Da Vinci a travs de ensayos en los cuales suspenda piedras con un alambre a fin deevaluar su resistencia.


3 9

1 . 5 L E Y D E H O O K E

Robert Hooke en su libro De potentia restitutiva (1679), estableci la famosa Ley que relacionafuerzas y deformaciones. Con un sencillo dispositivo en el cual aun plato se le van agregando pesos yse van midiendo las deformaciones producidas progresivamente en el resorte encontr unaproporcionalidad directa entre los pesos aplicados y las deformaciones.

A partir de un ensayo en el laboratorio puede graficarse la variacin de la Fuerza vs la Deformacin total:

Ley establecida originalmente por Hooke: kP

Sin embargo, para estudiar las propiedades de un material, deben relacionarse cantidades unitarias(esfuerzo y deformacin unitaria ) de tal manera que en la ley queden obviadas el rea y la longitudde la probeta ensayada.


4 0

Como se ve en la figura, a medida que aumenta el esfuerzo se incrementa la deformacin unitariadel material que se est ensayando, pudiendo de esta forma obtenerse las propiedades mecnicas delos materiales a partir de esta Grfica Esfuerzo-Deformacin.

1 . 5 . 1 M d u l o d e e l a s t i c i d a d , d u c t i l i d a d , r e s i s t e n c i a

La pendiente inicial de la grfica nos dice cmo varan las deformaciones unitarias al incrementarselos esfuerzos. Para varios materiales esta primera parte de la grfica es lineal presentndose por tantouna relacin directa entre Esfuerzo y Deformacin.

Si escribimos la ecuacin de la recta obtendremos la expresin actual de la Ley de Hooke:

E

Siendo E, la pendiente de la recta. Este valor que es caracterstico de cada material se conocecomo el mdulo de elasticidad o mdulo de Young del material y nos dice que tan rgido es unmaterial.

La rigidez, la resistencia y la ductilidad son propiedades mecnicas de los materiales:

- Rigidez: Capacidad de oponerse a las deformaciones

- Resistencia: Capacidad de oponerse a la rotura

- Ductilidad: Capacidad de deformarse antes de romperse.


4 1

A partir de la Ley de Hooke puede calcularse la deformacin total que sufrir un elementosometido a fuerza axial.

Segn la Ley de Hooke:

E

LE

AP

AEPL

Con esta expresin puede calcularse la deformacin conociendo la carga P la longitud de la barraL, la seccin transversal A y el mdulo de elasticidad E (en la zona elstica).

1 . 5 . 2 M d u l o s d e e l a s t i c i d a d d e a l g u n o s m a t e r i a l e s

Material GPa Kg/cm2 Lb/pulg2

Acero 200 2.1 x 106 30 x 106

Aluminio 70 0.7 x 106 10 x 106

Cobre 110 1.2 x 106 17 x 106

Concreto 17-31 0.18 x 106 - 0.32 x 106 2.5 x 106 - 4.5 x 106

Madera 11-14 0.11 x 106 - 0.14 x 106 1.6 x 106 - 2.0 x 106

Rigi

dez

Ductilidad

Res

iste

ncia

zona elstica zona inelstica


4 2

PROBLEMA

Calcular el alargamiento de cada cable y el desplazamiento vertical del punto C en el cual estaplicada la carga.

Considerar que la barra ACB es rgida (no se flexiona).

Dimetro de los cables: 1.5cm

GPaEacero 200

Alargamiento de los cables

AELF

AELF B

cableBA

cableA

2mL

241077.14

)015.0(4

mmDA22

29 /10200200 mNGPaE

Clculo de FA y FB:

KNFF

M

B

B

A

1202035

0

KNFFF

F

A

BA

y

8020

0


4 3

mmNm

mNmNm

mKNcableA

42924

3

2924 1052.4/102001077.12108

/102001077.128

mmNm

mNmNm

mKNcableB

42924

3

2924 1078.6/102001077.121012

/102001077.1212

Clculo del desplazamiento vertical del punto C:

Por relacin de triangulos:

35bcableAcableB 4

41036.1

51026.23

5

cableAcableB

3b

Finalmente

mc444 1088.51036.11052.4


4 4

1 . 6 E L A S T I C I D A D Y P L A S T I C I D A D

Grfica esfuerzo-deformacin para el acero. A partir del ensayo a tensin de una probeta en ellaboratorio, se obtiene la siguiente grfica esfuerzo-deformacin:

Con base en la grfica, pueden obtenerse los siguientes valores del esfuerzo normal:

LP: Esfuerzo en el lmite de proporcionalidad. Hasta este punto la grfica es lineal.Proporcionalidad directa entre Esfuerzo y Deformacin.

y : Esfuerzo de fluencia (yield point). A partir de este punto el material "fluye" producindoseun aumento de la deformacin sin necesidad de aumentar el esfuerzo.

max: Despus de la fluencia, al producirse un "endurecimiento por deformacin" (la energaaplicada calienta el material), el material adquiere capacidad de resistir mas esfuerzo producindose unaumento de la pendiente de la grfica hasta alcanzar el esfuerzo mximo.

ROTURA NOMINAL: A partir del esfuerzo mximo alcanzado se produce un angostamiento de laseccin de la barra ensayada (Estriccin) hasta que finalmente se produce la rotura. El rotura nominales igual a la carga de rotura dividida por el Area inicial de la probeta (sin tener en cuenta la estriccin).

ROTURA REAL: Es igual a la carga de rotura dividida por el rea final de la seccin transversal(calculada con el dimetro final de la probeta).


4 5

1 . 6 . 1 F a c t o r e s d e s e g u r i d a d

La ingeniera no es una ciencia exacta. Tanto en el clculo de las estructuras como en la previsinde las cargas que actuarn sobre ellas, los ingenieros estn expuestos a incertidumbres de distinto tipoque hacen que deban tomar previsiones que garanticen con una alta probabilidad que no se producirnfallas. Estas previsiones se denominan factores de seguridad.

Las incertidumbres que se presentan se deben a los siguientes factores:

Incertidumbre en las cargas a considerar: A pesar de todos los estudios estadsticos quese hagan para determinar las cargas mximas que actuarn sobre una estructura durante suvida til, nunca ser posible hacerlo con total exactitud. Pensemos en los casos de los camionessobre los puentes o en las cargas mximas producidas por sismos y entenderemos cuanincierta es la determinacin de sus efectos mximos.

Incertidumbre en las propiedades mecnicas de los materiales: Se calculan a partir deanlisis estadsticos de los resultados de ensayos practicados a muestras de los materiales quese emplearn en la construccin de estructuras. Es obvio que los propios materiales con loscuales se construyen las estructuras no se ensayan para cada construccin. Por lo tanto eneste caso tambin se tienen aproximaciones derivadas de los mtodos estadsticos empleadosy de los procedimientos de los ensayos de laboratorio utilizados.

Incertidumbre en las dimensiones de los elementos estructurales: Es muy difcilgarantizar que las dimensiones con que se construyen los elementos de una estructura seanexactamente iguales a los especificados en los planos arquitectnicos y estructurales. Debidoa las imprecisiones en los procesos constructivos se introducen incertidumbres que deben sercubiertas por los factores de seguridad.

Incertidumbre en la precisin de los clculos: En los mtodos de clculo de estructurase hacen suposiciones que simplifiquen el anlisis y disminuyan los tiempos del anlisis. Estoobviamente tiene un costo en el sentido de que los modelos matemticos empleados no siemprerepresentan de manera exacta la manera como se comportar la estructura en la realidad.

Por la relacin presentada la ingeniera emplea factores de seguridad. Hay varios enfoques paradefinir estos factores:

Esfuerzos admisibles: Se calcula dividiendo el esfuerzo que resiste el material por el factorde seguridad (mayor que 1), de tal manera que aunque uno "sabe" que el material tiene unaresistencia dada lo "pone a trabajar" a un esfuerzo menor (el esfuerzo admisible).

.S.FMATERIALresistente

admisible

Mtodos probabilsticos: la seguridad se relaciona con la probabilidad de falla de laestructura: mientras ms baja sea esta probabilidad, mas alto ser el factor de seguridad.


4 6

Diseo por estados lmite: A travs de los cdigos de estructuras de los diferentes pasesse definen los aspectos de seguridad de las estructuras a disear. La idea consiste en considerarque como una estructura puede colapsar o puede deformarse excesivamente o tener grandesvibraciones, el diseador debe considerar los lmites para los cuales la estructura se haceinaceptable desde los tres puntos de vista y garantizar que esos lmites no sern superados.

En los cursos de ingeniera estructural se estudiarn en detalle los mtodos mencionados aqubrevemente, cuando se estudia la Norma Sismorresistente Colombiana de 1998.

1 . 7 E S F U E R Z O S C O R T A N T E S

No en todas las ocasiones los elementos estructurales son tensionados o comprimidos porlas fuerzas externas que actan sobre ellos. En muchas ocasiones un elemento est tratandode ser cortado.

En este caso, las dos platinas estn intentando ser cortadas a lo largo del rea transversal que lasune, la cual es paralela a la fuerza P que est siendo aplicada.

EDIFICIO REFORZADO CONTRA SISMOS. BERKELEY, CALIFORNIA 2005


4 7

DETALLE DE LA BASE DEL EDIFICIO DE LA FOTO ANTERIOR (LOS PERNOS ESTN SOMETIDOS A CORTE)

PERNOS SOMETIDOS A CORTE. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales, Campus La Nubia, 2004

Se define el Esfuerzo cortante o de cizalladura como:

AV

Las unidades son las mismas del esfuerzo normal:

AP

cmKg

2 :psiinlb

2 :PascalmN

2


4 8

1 . 7 . 1 D e f o r m a c i o n e s p o r c o r t e

Al producirse una distorsin como la que se ve en la figura, la deformacin est dada por lavariacin angular que sufre el elemento al ser deformado por el esfuerzo cortante.

En el rango elstico lineal del material se ha encontrado relacin directa entre los esfuerzoscortantes y las deformaciones angulares sufridas por el elemento.

G

1 . 7 . 2 L e y d e H o o k e p a r a c o r t e

Siendo G el mdulo cortante o de rigidez del material

V

V

V


4 9

1 . 7 . 3 M d u l o d e c o r t e d e v a r i o s m a t e r i a l e s

1 . 7 . 4 E s f u e r z o c o r t a n t e d o b l e

En este caso, el corte se resiste a travs de 2 reas.

Por lo tanto:

AV2

Material GPa Kg/cm2 Lb/pulg2

Acero 77 0.77 x 106 11 x 106

Aluminio 28 0.28 x 106 4 x 106

Bronce 36-44 0.31 x 106 - 0.44 x 106 5.2 x 106 - 6.3 x 106

Cobre 40-47 0.41 x 106 - 0.48 x 106 5.8 x 106 - 6.8 x 106


5 0

PROBLEMA

Calcular los esfuerzos normales en las barras AB y CB y los esfuerzos cortantes en lospasadores en A y C, cuyo dimetro es de 1.2 cm.

22 1682 cmF

cmF

AF ABABAB

AB

22 1682 cmF

cmF

AF CBCBCB

CB

242.1

4 26.222222 cm

RRRA

F AADAA

pasadorA 2

42.1

4 13.122 cm

RRRA

F CCDCC

pasadorC

Debemos calcular FAB, FCB, RA y RC

Diagrama de cuerpo libre del punto B:

Corte doble Corte simple

KNFSenF

F

CB

CB

y

34.130886.36

0

67.10086.3634.13

0

AB

AB

x

FFCos

F


5 1

Diagramas de cuerpo libre de las barras AB y CB:

Finalmente calculamos los esfuerzos pedidos:

MPamN

mcmcmN

cmKN

CB 3.81083.0116101034.13

1634.13

27

22

243

2

MPamN

mcmcmN

cmKN

AB 3.31033.0116101034.5

16 27

22

243

2267.10

MPamN

mcmcmN

pasadorC 5.1181085.11113.1101034.13

27

22

243

MPamN

mcmcmN

pasadorA 2.471072.4126.2101067.10

27

22

243

1 . 7 . 5 R e l a c i n d e P o i s s o n

Cuando a un elemento se le produce un alargamiento en una direccin dada, automticamente segenera un acortamiento en la direccin perpendicular o viceversa.

Deducida por el francs Simeon Denis Poisson (1781-1840) quien encontr que la relacinentre la deformacin unitaria transversal y la longitudinal era constante para cada material, denominndosepor tanto esta constante, Relacin de Poisson ().

son 2 barras, a cada una le toca la mitad de la fuerza


5 2

El signo menos indica que a un alargamiento en un sentido corresponde un acortamiento en el otroy viceversa.

Valores de la relacin de Poisson para diferentes materiales

allongitudin

ltransversa

Material Relacin de Poisson

Corcho 0.0Concreto 0.1 0.2Acero 0.27 0.30Caucho 0.47

5,00


5 3

PROBLEMA

Calcular la carga admisible que se puede aplicar a un cilindro de concreto de 8cm de dimetropara que no sufra una expansin lateral mayor de 0.002cm.

El mdulo de elasticidad del concreto es de 20GPa y su relacin de Poisson es igual a 0.15

Calculemos admisible

Segn la ley de Hooke yy E

Aplicando la relacin de Poisson:

xyy

x

admisiblex

y E

AEP xadmisible

Ahora: 0002508002.0 .

cmcm

Dimetrox

x

Finalmente:

222

27.504

)8(4

cmcmDA

?P permisiblePadmisible=?

AP

AP

admisibleadmisible

yadmisible

KN.N.cm

mcm.

..

mN

cmm

cm..

.GPaAEP xadmisible 76166716756

101

2750150

0002501020

101

2750150

00025020 24

22

29

24

22


5 4

1 . 7 . 6 R e l a c i n e n t r e e l m d u l o d e e l a s t i c i d a d y e l m d u l o c o r t a n t e

A partir de un anlisis que puede consultarse en alguno de los libros de resistencia de materialesmencionados en la bibliografa, se ha encontrado que:

12EG

Como 5.00 entonces EGE 5.033.0

Las constantes E (mdulo de elasticidad), G (mdulo de corte) y (relacin de Poisson) sedenominan constantes elsticas de los materiales.

1 . 8 D E F O R M A C I O N E S E N E S T R U C T U R A S C U Y A S B A R R A S E S T N S O M E T I D A S AF U E R Z A S A X I A L E S

Si se aplica la fuerza P a la estructura de la figura, calcular el desplazamiento tanto horizontalcomo vertical del punto C.

Primero que todo encontremos las fuerzas en las barras AC y BC:

Diagrama de cuerpo libre del punto C:

0xF 0 CosFP BC

CosPFBC / (Compresin)

0yF 0 ACBC FCosF

CosFF BCAC (Tensin o traccin)


5 5

Esquemticamente sucede lo siguiente:

Debido a que en la realidad las deformaciones son muy pequeas, los arcos se pueden considerarperpendiculares a los radios de giro quedando el esquema de deformaciones o "diagrama de Williot"como sigue:

La barra AC al quedar a tensin se alarga y gira alrededorde A. Por su parte la barra AC se acorta por quedar acompresin y gira alredeor de A.

Por lo tanto el punto C se desplaza a C

P


5 6

Vista ampliada del Diagrama de Willot

Al aplicarse la carga P, la barra AC se estira una cantidad AC y gira mediante un arco. La barraBC se comprime una cantidad BC y gira mediante otro arco. Al final de este proceso, el punto C seha movido a una nueva posicin C'. Se trata ahora de calcular tanto el movimiento horizontal comovertical del punto C. Para hacerlo se aproximan los arcos a perpendiculares como se ve en la figura(aproximacin vlida por la pequeez de las cantidades involucradas en el grfico). En la grfica, quese ve ampliada a continuacin pueden determinarse mediante relaciones geomtricas y trigonomtricaslos dos desplazamientos mencionados del punto C.

Clculo de los desplazamientos horizontal y vertical del punto C:

Observando los grficos tenemos

ACCdevertical (alargamiento de la barra AC)

tan/CosSen BCACBCCdehorizontal

Recordando que:

AELF

AELF ACAC

ACACAC

AC


5 7

1 . 9 E S F U E R Z O S T R M I C O S

Cuando un material se somete a un incremento de temperatura se produce una dilatacin:

AL INCREMENTARSE LA TEMPERATURA SE PRODUCE UNA DILATACIN

Como se recordar, en los cursos de Fsica se ha estudiado que:

TL

Siendo Coeficiente de dilatacin trmicaT : Incremento de temperatura

Si al elemento se le impide la libre dilatacin mediante una restriccin como un empotramiento, elelemento quedar sometido a un esfuerzo al ser impedido el alargamiento por medio de los dosempotramientos.

AL MEDIRSE LA DILATACIN SE GENERAN ESFUERZOS DE COMPRESIN

La fuerza ejercida por el empotramiento se puede calcular quitndolo y dejando que seproduzca la deformacin y volvindolo a poner de tal manera que obligue a la barra a recobrar sutamao original.


5 8

Como en la realidad los empotramientos estn impidiendo completamente la deformacin debecumplirse que:

cargaaTemperatur

EL

AEPLTL

Por lo tanto el esfuerzo generado por el cambio de temperatura es:

TE

Siendo : Coeficiente de dilatacin trmicaT : Incremento de temperaturaE: Mdulo de elasticidad del material

1 . 9 . 1 C o e f i c i e n t e s d e d i l a t a c i n t r m i c a

Se quita el empotramientopermitiendo la deformacin por

temperatura

Se pone el empotramientorestituyendo la barra a su posicin

original

Material 10-6/ C 10-6/ F

Acero 14 8Aluminio 23 13Bronce 18 21 9.9 11.6Cobre 16.6 17.6 9.2 9.8


5 9

PROBLEMA

Calcular los esfuerzos inducidos en un riel de ferrocarril cuando la temperatura se incrementade 12 a 30 grados centgrados.

Coeficiente de dilatacin trmica del acero: C /1014 6

Como se vi, los esfuerzos inducidos por un incremento de temperatura son iguales a:

TE

Como: C /1014 6 29 /10200200 mNGPaE CT 181230

Entonces, el esfuerzo debido al incremento de temperatura ser:

2296 /5040000018/10200/1014 mNCmNC

MPa4.50

1 . 1 0 I N D E T E R M I N A C I N E S T T I C A E N T E N S I N Y C O M P R E S I N

Existen situaciones en las cuales por razones de seguridad es necesario colocar elementosestructurales adicionales que al tiempo que suministren ms seguridad a la estructura (resistencia),disminuyan las deformaciones que se presentarn (al aumentar la rigidez)

Veamos:


6 0

En este caso, mediante la aplicacin de las condiciones de equilibrio esttico pueden encontrarselas reacciones Ax , Ay y la tensin en el cable TB.

0xF 0yF 0M3 ecuaciones de equilibrio

Ax , Ay , TB3 incgnitas

Al existir un nmero igual de ecuaciones y de incgnitas se dice que el problema es Estticamentedeterminado.

Una vez calculadas las reacciones y la tensin en el cable pueden calcularse, por ejemplo, elesfuerzo cortante en el pasador del apoyo A y el esfuerzo normal en el cable B. Igualmente el alargamientodel cable B = TBL/AE.

Con los esfuerzos actuantes encontrados en el pasador y el cable y cable se tendr una idea delos factores de seguridad con que trabajar la estructura (comparndolos con los esfuerzos admisiblesde los materiales a emplear).

El alargamiento calculado del cable se comparar con las deformaciones admisibles.

A partir del anlisis anterior puede encontrarse la necesidad de colocar otro cable con el fin deincrementar la resistencia y la rigidez de la estructura.

Supongamos que se agrega un cable adicional en el punto D:

Evidentemente con el cable adicional en B se tendr una estructura mas segura y mas rgida.

Sin embargo surge la siguiente situacin:


6 1

0xF 0yF 0M3 ecuaciones de equilibrio

Ax , Ay , TB , TD4 incgnitas

Es obvia la dificultad para calcular 4 incgnitas con las 3 ecuaciones disponibles. Esta situacinconfigura lo que en mecnica estructural se conoce como un problema Estticamente indeterminado.

La nica posibilidad de resolverlo es a travs de la obtencin de una ecuacin adicional.

Esta ecuacin surge a partir del anlisis de las deformaciones como se muestra enseguida:

Como se ve, la ecuacin adicional se obtiene a partir de la semejanza de tringulos y se expresasegn la siguiente proporcin:

dbDB

Como B = TBL/AE y D = TDL/AE

dbDB

Por semejanza de tringulos


6 2

dAELT

bAELT DB //

y por tanto: d

Tb

T DB

Esta es la cuarta ecuacin que necesitamos para levantar la indeterminacin esttica.

PROBLEMA

Calcular las tensiones en los cables BC y DE. Seccin transversal: A Mdulo de elasticidad: E

Considerar que la barra ABD es rgida (no se flexiona)

Diagrama de cuerpo libre de la barra ABD:

030300 CosTCosTAF DEBCxx

060030300 SenTSenTAF DEBCyy

06004303300 SenTSen3TM DEBCA

3 ecuaciones, 4 incgnitasEstticamente Indeterminado


6 3

Por tanto, debemos encontrar una 4a ecuacin mediante la compatibilidad de deformaciones.

Los dos cables se alargan, quedando la estructura deformada (ampliada) de la siguiente forma:

Por lo tanto:


6 4

Por semejanza de tringulos:

530/

330/

SenSen DEBC

Pero:

AET

AECosT

AELT BCBCBCBC

BC46.330/3

AET

AECosT

AELT DEDEBCDE

DE77.530/5

Por tanto:

530/

330/ 77.546.3

SenSen AE

TAE

T DEBC

305

7.5303

46.3Sen

TSen

T DEBC

Combinamos esta 4a ecuacin con las 3 ecuaciones de equilibrio que tenamos y obtenemos lastensiones en los cables:

030300 CosTCosTAF DEBCxx

060030300 SenTSenTAF DEBCyy

06005305300 SenTSen3TM DEBCA NTBC 750

DEBC TT NTDE 750

4 ecuacin queestbamos buscando

DEBC TT


6 5

PROBLEMA

Calcular las reacciones en A y B

Diagrama de cuerpo libre de toda la barra:

8000 BAx RRF 1 ecuacin, 2 incgnitas

Estticamente indeterminado

Debe obtenerse una ecuacin basada en la compatibilidad de las deformaciones:

El alargamiento del tramo AC de la barra debe ser igual al acortamiento del tramo CB (porquela barra est empotrada en los extremos).

CBAC


6 6

Pero: AE

FACAC

4 y

AEFCB

CB3

Siendo FAC y FCB las fuerzas internas en los respectivos tramos.

Por tanto: AE

FAE

F CBAC 34 Esta es la segunda ecuacin.

Como est en funcin de AE1

(Flexibilidad) se conoce como el M t o d o d e l a F l e x i b i l i d a d o

d e l a s f u e r z a s (porque las incgnitas son las fuerzas).

Calculemos FAC y FCB : Hacemos dos cortes en la barra, uno en el tramo AC y otro en el tramo CB:

AACx RFF 0

ACBx RFF 8000

Reemplazando en 2:

38004 AA RR

NRA 85.342


6 7

Y por tanto:

NRB 15.457

Resolver el mismo problema considerando las deformaciones como incgnitas: Mtodo de laRigidez.

El anlisis externo es igual:

Diagrama de cuerpo libre de toda la barra:

8000 BAx RRF 1 ecuacin, 2 incgnitas


Anlisis interno

Tomemos el desplazamiento del punto C como incgnita:

Como se puede ver: CBACC

Haciendo cortes nuevamente:


6 8

AACx RFF 0

AERA

ACC4

Por tanto 4

AER CA

BCBx RFF 0

AERB

CBC3

Por tanto 3

AER CB

Ahora como: 800 BA RR

80034

AEAE CC

La ecuacin est en funcin de las rigideces AE: M t o d o d e l a R i g i d e z , y las incgnitas son losdesplazamientos

80012

7

AEC

AEC43.1371

Y finalmente: 85.342343.1371

4

AEAEAER CA

15.457343.1371

3

AEAEAER CB

En los dos problemas anteriores al calcular las fuerzas internas ha sido necesario tener en cuentasi cada tramo en consideracin estaba sometido a tensin o a compresin. Para evitar incurrir enerrores derivados de este hecho puede asumirse que todos los tramos estarn sometidos a tensiny por lo tanto sufrirn alargamientos. Al final el signo de las fuerzas halladas nos dir culesestn efectivamente a tensin y cules a compresin.


6 9

PROBLEMA

Calcular las reacciones en los empotramientos A y B:

Anlisis externo:

120 BAx RRF 1 Ecuacin, 2 Incgnitas


Debe obtenerse una ecuacin basada en la compatibilidad de las deformaciones.

La deformacin resultante de la barra es igual a cero pues los dos extremos son apoyos rgidos.Esto equivale a decir que la suma de las deformaciones internas de los diferentes tramos es iguala cero.

0 EBDECDAC

0 EBDECDAC

02431 AE

FAE

FAE

FAE

F EBDECDAC


7 0

Anlisis interno:

Reemplazando:

0212422371 AE

RAE

RAE

RAE

R AAAA

Por tanto: KNRA 3.13

y: KNRKNR BB 3.13.1 (flecha derecha)

Con estos valores pueden calcularse las fuerzas internas:

3.13 AAC RF

3.67 ACD RF

7.822 ADE RF 7.8DEF (Compresin)

3.112 AEB RF


Documents

introduccion a la resistencia.pdf