1. 1. Introduccin1.1. Introduccin a la Teora de ControlLo que conocemos hoy como Teora de Control es el resultado de la sinergia de algunasnociones que nos resultan familiares, trminos tales como feedback, optimizacin yciberntica nos plantean teoras matemticas como tecnolgicas necesarias para abordarproblemas complejos que requieran una estrategia de control en algn sistema.Se trata de una disciplina con interesantes aplicaciones, basta simplemente observar lacisterna de nuestro cuarto de aseo, lectores de discos, apertura y cierre de la puerta de ungaraje, calefaccin de un edificio u otras ms sorprendentes en la industria como losprocesos de lneas de ensamblaje de vehculos, perforaciones mineras, redes degeneracin y suministro elctrico, reacciones qumicas en la industria papelera,aeronutica, medicina, mecatrnica con enorme trascendencia, etctera.El desafo est entonces en comprender la base de la pirmide de los sistemas de controlel cual hace referencia a la Teora Matemtica para as de manera general aventurarnos enesta fascinante disciplina.La Ingeniera de Control est presente en virtualmente todos los sistemas modernos de1

2. ingeniera.Planta Industrial ModernaEl estudio de los Sistemas de Control puede ser de gran ayuda para establecer lazos de uninentre los diferentes campos de estudio, haciendo que los distintos conceptos se unan en unproblema comn de control. En este sentido, la Ingeniera de Control no es sino una pequeaparte de una teora ms genrica denominada Ingeniera de Sistemas, que estudia elcomportamiento de un sistema dinmico, esto es, de un sistema que evoluciona en el tiempo yque puede incluir un proceso de cualquier tipo: biolgico, econmico, de ingeniera, etc. Desdeun punto de vista, la Teora de Control proporciona una comprensin bsica de todos lossistemas dinmicos, as como una mejor apreciacin y utilizacin de las leyes fundamentalesde la Naturaleza.1.2. Conceptos BsicosSistema.- Conjunto de medios tales como: personas, materiales, equipos, software,instalaciones, datos, etc. integrados de tal forma que puedan desarrollar una determinadafuncin en respuesta a una necesidad concreta.Control.- Manipulacin de un conjunto de las magnitudes o acciones para obtener unarespuesta deseada.Teora de Control.- Estudia el desempeo de los sistemas dinmicos. Cuando una o msvariables de salida del sistema deben seguir una salida deseada (referencia).Sistema de Control.- Conjunto de dispositivos que actan juntos para lograr un objetivo decontrol.Proceso.- Grupo de elementos en interaccin que le dan al conjunto (o sistema) determinadascualidades dinmicas o temporales.Proceso y sistema.- proceso es un sistema, pero en el que sus elementos pueden ser solomateria, energa o informacin. 2 3. Sistema ControladorControlado (Planta o Proceso)Fig.1.1 .Estructura general de un Sistema de ControlDonde:Comandos de referencia, fijacin o de rgimen.-Es el valor deseado de la salida delsistema. Variable de entrada Perturbaciones.-. Estas variables pueden tener un impacto significativo en el rendimientodel sistema pues hacen que la variable controlada se desve del rgimen establecido.Salidas.-Es una variable del sistema cuya magnitud o condicin se mantiene o controladentro de algn valor deseado. Dispositivo que compara la referencia con la variable controlada y determina laaccin correctiva.Conforme los sistemas se hacen ms complejos, deben considerarse en la estructura lasinterrelaciones de muchas variables controladas (sistema de control multivariable).1.3. Tipos de Sistemas de ControlVarios son los criterios que pueden seguirse para clasificar los sistemas de control: en funcinde que el estado de la salida intervenga o no en la accin de control (lazo abierto o lazocerrado); segn las tecnologas puestas en juego (mecnicos, neumticos, hidrulicos,elctricos y electrnicos); atendiendo a las tcnicas de procesamiento de la seal (analgicos ydigitales); segn la forma de establecer la relacin entre los elementos del sistema (cableadosy programados), etc. Sin embargo considerando dos topologas de control generales:3 4. Mecnica Neumtica TecnologaHidrulicaProcesamiento de seal ElctricoRelacin Electrnico elementos del sistemaSistemas en lazo abierto.- Tambin llamados sistemas no realimentados, En este tipo desistema la variable de salida (variable controlada) no tiene efecto sobre la accin de control(variable de control).Los elementos de un sistema de control en lazo abierto se pueden dividir en d os partes: elcontrolador y el sistema controlado (planta). Una seal de comando o referencia se aplica alcontrolador, cuya salida acta como seal actuante ; la seal actuante controla la planta detal forma que la variable de salida (variable controlada) se desempee de acuerdo conestndares establecidos. En presencia de perturbaciones estos sistemas de control nocumplen su funcin adecuadamente. Sistema ControladorControlado (Planta)Fig.1.2.Diagrama de bloques de un sistema en lazo abiertoEjemplos:Lavadora: Funciona sobre una base de tiempos Variable de salida limpieza de la ropa no afecta al funcionamiento de la lavadora.Semforos de una ciudad Funcionan sobre una base de tiempo Variable de salida estado del trfico no afecta el funcionamiento del sistema.Sistemas en lazo cerrado.- En este tipo de sistema la variable de salida (variable controlada)tiene efecto sobre la accin de control (variable de control). 4 5. Detector de error ControladorSistema Controlado(Planta)Elemento de medida Fig.1.3.Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado (con realimentacin)La entrada de referencia , proporciona la salida deseada, la salida debe estar de acuerdocon el valor de referencia , y cualquier diferencia tal como la producida por , es detectadapor el Elemento de medida y el Detector de error (o elemento de comparacin). El controladoroperar sobre la diferencia y producir una seal para corregir el error. Ejemplos: Control automtico del nivel del aguaVariable controlada: nivel del agua en el tanqueValor de referencia: ajuste inicial del flotador y posicin de la palancaElemento de Comparacin: la palancaSeal de error: diferencia entre el valor real y la posicin inicial de la palancaControlador: palanca con pivote y la tapadera con la que abre o cierra el paso del agua.Planta: nivel del agua en el tanqueDispositivo de medicin: flotador y palanca Entrada del aguaFlotadorPivotePalanca5 6. Fig.1.4.Control automtico del nivel del aguaEl mecanismo de un piloto automticoLa entrada es la direccin especificada, la cual se puede ajustar con un marcador u otroinstrumento en el tablero de control del avin, y la salida es la direccin real, la cual sedetermina mediante los instrumentos de navegacin automtica. Un dispositivo decomparacin supervisa continuamente la entrada y la salida. Cuando hay correspondenciaentre la dos, no se requiere ninguna accin de control. Cuando existe una diferencia entre laentrada y la salida, el dispositivo de comparacin enva una seal de de accin de control alcontrolador, el mecanismo de piloto automtico. El controlador suministra las sealesapropiadas a los mecanismos de control del avin para reducir la diferencia entrada-salida. Laretroalimentacin se puede efectuar mediante conexiones elctricas o mecnicas de losinstrumentos de navegacin, que determinan la direccin, al dispositivo de comparacin. En laprctica, el dispositivo de comparacin puede integrarse dentro del dispositivo del pilotoautomtico. Fig.1.5.Piloto automtico 1.4. Lazo cerrado VS Lazo abiertoLas ventajas de tener una trayectoria de realimentacin y, por lo tanto, un sistema en lazocerrado en lugar de un sistema en lazo abierto se pueden resumir de la manera siguiente: Ms exacto en la igualacin de los valores real y requerido para la variable. Menos sensible a las perturbaciones Menos sensible a cambios en las caractersticas de los componentes. La velocidad de respuesta se incrementa y, por lo tanto, el ancho de banda es mayor, es decir, el intervalo de frecuencias en los que el sistema responder. Pero hay algunas desventajas: Existe una gran posibilidad de inestabilidad. El sistema es ms complejo y, por lo tanto, no slo ms caro, sino ms propenso a descomposturas.6 7. 1.5. Historia del Control AutomticoDesarrollo histrico Mquina de vapor y controlador desarrollado por James Watt. La mquina de vapor de Watt se utiliza con frecuencia para marcar el comienzo de la Revolucin 1769Industrial en Gran Bretaa. Durante la Revolucin Industrial, se produjeron grandes logros en el desarrollo de la mecanizacin una tecnologa que precede a la automatizacin.El concepto de Eli Whitney de fabricacin de piezas intercambiables se demostr 1800en la produccin de fusiles. El desarrollo de Whitney se considera a menudo como el comienzo de la produccin en masa. 1868J.C. Maxwell formula un modelo matemtico para el controlador de la mquina de vapor. 1913Introduccin de la mquina de ensamblaje mecanizado de Henry Ford para la produccin de automviles. 1927H.W. Bode analiza los amplificadores realimentados. 1932H. Nyquist desarrolla un mtodo para analizar la estabilidad de sistemas. 1952Control numrico desarrollado en el Massachusetts Instutute of Technology para el control de ejes de maquinas herramientas. 1954George Devol desarrolla el concepto de transferencia de artculos programados considerado como el primer diseo de robot industrial. 1960Introducido el primer robot Unimate, basado en los diseos de Devol. Unimate se instalo en 1961 para atender maquinas de fundicin. 1970Desarrollados los modelos de variables de estado y el control ptimo. 1980Estudios amplios sobre el diseo de sistemas de control robusto. 1990Empresas de fabricacin orientadas a la exportacin apuestan por la automatizacin. 1994Uso generalizado de los sistemas de control con realimentacin en los automviles. En los procesos de fabricacin se demandan sistemas fiables y robustos. 1997El primer vehculo de exploracin autnoma, conocido como Sojourner, explora la superficie marciana.1998-2003Avances en micro y nanotecnologa. Se desarrollan las primeras micromquinas inteligentes y se crean nanomquinas que funcionan.Fuente: Dorf, R.C., and Bishop, R.H., Modern Control Systems7 8. 2. La Transformada deLaplace 1.1. IntroduccinEn el estudio de los sistemas de control es necesario considerar modelos dinmicos, es decir,modelos de comportamiento variable respecto al tiempo, esto trae como consecuencia el usode ecuaciones diferenciales para representar matemticamente el comportamiento de lossistemas en el tiempo.Para facilitar y sistematizar la resolucin de tales ecuaciones se emplea extensamente elmtodo de la Transformada de Laplace. Esencialmente, la transformacin de Laplace elimina lavariable independiente (generalmente el tiempo) de las ecuaciones diferenciales, sustituyendoen su lugar el operador . Entonces es posible manipular la ecuacin diferencial mediantereglas algebraicas simples para obtener la solucin en el dominio de . La solucin final seobtiene tomando la transformada inversa de Laplace.La transformada de Laplace se presenta en dos variedades, 1) unilateral o de un lado y 2)bilateral o de dos lados. La transformada de Laplace unilateral es una herramienta convenienteen la solucin de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. La bilateral ofrececonocimiento respecto a caractersticas del sistema tales como estabilidad, causalidad yrespuesta en frecuencia. El papel fundamental de la transformada de Laplace en la ingenieraes el anlisis transitorio y de estabilidad de sistemas LIT causales descritos medianteecuaciones diferenciales. 1.2. Definicin.-La transformada de Laplace dees:8 9. y la transformada inversa de Laplace dees:Estas expresiones nos permiten calcular la expresin(dominio de Laplace) a partir de(dominio del tiempo) y viceversa1.3. Transformada de Laplace unilateral.-Se basa slo en porciones de tiempo positivo ( ), en esta se elimina la ambigedad de latransformada bilateral. Asimismo, es posible utilizar la propiedad de diferenciacin de latransformada de Laplace unilateral para analizar el comportamiento de un sistema causaldescrito por una ecuacin diferencial con condiciones iniciales. ste es el uso ms comn parala transformada unilateral en aplicaciones de ingeniera.DefinicinSeauna funcin definida para , su transformada de Laplace unilateral se definecomo:Donde es una variable compleja . Se dice que la Transformada de Laplace deexiste si la integral converge.1.4. Transformadas de funciones tpicasFunciones ExponencialesForma general:Donde: Representa la amplitud de la funcin exponencial medida en el tiempo Parmetro real, se presentan dos casos1 Crecimiento exponencial,2 Decaimiento exponencial, Si: 9 10. Crecimiento exponencial en tiempo continuoPor definicin se tiene:10 11. Si: Decaimiento exponencial en tiempo continuoPor definicin se tiene: Funcin Senoidal11 12. Forma General:Donde:Amplitud Frecuencia enAngulo de fase en Si:Por definicin se tiene: 12 13. 13 14. Funcin Escaln:Denotada comnmente por: 14 15. Por definicin se tiene:Funcin Impulso:Denotada comnmente por:y 15 16. oEl smbolo grafico para un impulso se describe:Ntese que el impulsoes la derivada de la funcin escaln con respecto al tiempo.Inversamente, la funcin escalnes la integral del impulsocon respecto al tiempo.Hay una cuestin mas que debe atenderse: No podemos generar una funcin de impulsofsico, ya que correspondera a una de amplitud infinita eny que es cero en cualquierotro lado. Sin embargo, la funcin de impulso sirve a un propsito matemtico brindando unaaproximacin a una funcin fsica de extremadamente corta duracin y alta amplitud.Por definicin se tiene:Funcin RampaDenotada comnmente por:16 17. Note que la integral de la funcin escaln es una funcin rampa de pendiente unitaria.Por definicin se tiene: 17 18. Funciones ParablicasPor definicin se tiene:18 19. Ntese que resulta una expresin recursiva, entonces:1.5. PropiedadesLas aplicaciones de la transformada de Laplace, en muchos casos se simplifican al emplear laspropiedades de la transformada.Si: Tabla: Propiedades de la Transformada de Laplace19 20. Tabla: Transformada de Laplace comunes Funcin del tiempoTransformada de LaplaceImpulso UnitarioEscaln Unitario 20 21. Fuente: Ogata, K., Modern Control EngineeringEjemplo 011.6. Transformada inversa de Laplace mediante la expansin en fracciones parciales.En el estudio de los sistemas LIT, encontramos con frecuencia transformadas de Laplace queson un cociente de polinomios de . Para funciones simples, la operacin de la transformadainversa de Laplace se puede llevar a cabo simplemente refirindose a la tabla detransformadas de Laplace, sin embargo para funciones un tanto complicadas primero se deberealizar una expansin en fracciones parciales para luego utilizar directamente las tablas.Si:21 22. Los mtodos sern dados para los casos asociados a la races del denominador o polos de :Caso I: Polos reales simplesEs posible representarcomo una suma de trminos sencillos utilizando una expresin enfracciones parciales del siguiente modo:Los coeficientesse determinan resolviendo un sistema de ecuaciones lineales.Caso II: Polos reales mltiplesEs posible representarcomo una suma de trminos sencillos utilizando una expresin enfracciones parciales del siguiente modo:Caso III: Polos complejos conjugados simplesLos dos trminos asociados en una expansin en fracciones parciales son: 22 23. 1.7. Solucin de ecuaciones diferenciales con condiciones inicialesLos mtodos clsicos para encontrar la ecuacin completa de una ecuacin diferencialrequieren la evaluacin de las constantes de integracin a partir de las condiciones iniciales.Sin embargo, en el caso del mtodo de la transformada de Laplace, no existe esterequerimiento, porque las condiciones iniciales se incluyen automticamente en latransformada de Laplace de la ecuacin diferencial.Los sistemas que se van a considerar estn descritos por modelos lineales, estacionarios, entiempo continuo. Estos pueden representarse por una ecuacin diferencial ordinaria de laforma:(* ) Ecuacin diferencial de un sistema de n-simoordenTomando la transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuacin diferencialobtenemos:Note quesi todas las condiciones iniciales son cero, ysi laentrada es cero. Luego, resolviendo para23 24. El primer trmino , representa la componente de la respuesta asociada a la entrada(respuesta forzada del sistema). El segundo trmino , representa la componente de lasalida debida a las condiciones iniciales (respuesta natural del sistema).1.8. La Funcin de Transferencia y las Ecuaciones DiferencialesEcuacin diferencial de un sistema de n-simo orden ( * ) presentado anteriormente relacionala seal de salidade un sistema con la seal de entrada cualquieraal mismo, ypermite conocer la respuesta de dicho sistema a una seal de entrada determinada mediantesu resolucin. Sin embargo, el tratamiento analtico del sistema a travs de la ecuacincaracterstica es en general complejo. Es por ello que se introduce el concepto de Funcin deTransferencia.La funcin de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo se obtiene realizandola transformada de Laplace de la ecuacin caracterstica del sistema, con condiciones inicialesnulas.Es decir:que puede expresarse alternativamente como:La funcines la funcin de transferencia del sistema, el cual representa elcomportamiento dinmico del sistema mediante ecuaciones algebraicas en .24 25. ConsideracionesConsidera la manera de relacionar las variables de salida y entrada de sistemas que sepueden describir mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo.Muy til para elaborar predicciones asociados al sistema.Define completamente la respuesta total del sistema (caractersticas de estadoestacionario y dinmico)Es una propiedad del sistema y es independiente de la entrada al sistema.Ceros del sistema: son las races dePolos del sistema: son las races del denominado polinomio caracterstico1.9. Las ecuaciones de Estado de la Funcin de TransferenciaConsidere de manera conveniente la ecuacin diferencial:El cual puede ser representada por la siguiente funcin de transferencia:Luego definimos las variables de estado:y la seal de salida como una combinacin lineal de los estados del sistema:Definiendo en forma matricial estos sistemas se obtiene la representacin espacio estado:25 26. Donde1.10.Representacin Grfica de las Funciones de TransferenciaSe representa por medio de los conocidos diagramas de bloques, sta es una representacingrfica y abreviada de la relacin de causa y efecto entre la entrada y salida de un sistema:Forma ms simple de un diagrama de bloquesDonde, las flechas representan el flujo de las variables o seales de control y el interior delrectngulo la funcin de transferencia de un componente del sistema. Combinar o conectarlos bloques de cada componente del sistema hace posible evaluar la interaccin de todos esoscomponentes en el desempeo total del sistema.26 27. Los diagramas de bloques se pueden tratar mediante ciertas reglas algebraicas:Los crculos son los puntos de sumatoria, en sta se genera una salida unidireccional el cual esla suma algebraica de las flechas que ingresan asociados con sus respectivos signos.Generalmente resulta til tener un bloque simple que represente la complejidad completa detodo el sistema, para ello se presenta algunas equivalencias para facilitar tal reduccin. 27 28. Combinacin de bloques en cascadaCombinacin de bloques en paralelo Movimiento de un punto de suma anterior a un bloqueMovimiento de un punto separacin posterior a un bloque28 29. Movimiento de un punto separacin anterior a un bloqueMovimiento de un punto de suma posterior a un bloque Eliminacin de un lazo de realimentacin 29 30. Cordialmente,Jimmy Osores RamosEstudiante de Pre Grado FIS-UNCPjimmy_030_56@hotmail.comHuancayo, Diciembre 2009 30