Introduccion a Las Ecuaciones Diferenciales ERES-Ccesa007

8/20/2019 Introduccion a Las Ecuaciones Diferenciales ERES-Ccesa007

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ECUACIONES DIFERENCIALES


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ENRIQUE RAFAEL ESPINOSA SANCHEZ

RED TERCER MILENIO


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AVISO LEGAL

Derechos Reservados 2012, por RED TERCER MILENIO S.C.

Viveros de Asís 96, Col. Viveros de la Loma, Tlalnepantla, C.P. 54080, Estado de México.

Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de

los derechos.

Datos para catalogación bibliográfica

Enrique Rafael Espinosa Sánchez

Ecuaciones diferenciales

ISBN 978-607-733-115-5

Primera edición: 2012

DIRECTORIO

Bárbara Jean Mair Rowberry Directora General

Rafael Campos Hernández Director Académico Corporativo

Jesús Andrés Carranza CastellanosDirector Corporativo de Administración

Héctor Raúl Gutiérrez Zamora Ferreira Director Corporativo de Finanzas

Ximena Montes Edgar Directora Corporativo de Expansión y Proyectos


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INDICE

Introducción

Mapa conceptual

UNIDAD 1. Ecuaciones diferenciales

OBJETIVO 9

TEMARIO 9

MAPA CONCEPTUAL 10

INTRODUCCIÓN 11

1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL 12

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 14

1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 14


1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL 15


AUTOEVALUACION 20

RESPUESTAS AUTOEVALUACION 22

UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

OBJETIVO 27

TEMARIO 27


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MAPA CONCEPTUAL 28

INTRODUCCION 29

2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES 30


2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS33


2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 35


2.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE 38


2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI 42


2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMERORDEN 43


AUTOEVALUACION 47


UNIDAD 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

OBJETIVO 54

TEMARIO 54


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4

MAPA CONCEPTUAL 55

INTRODUCCION 56

3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS 57


3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNASOLUCIÓN CONOCIDA 58


3.3 EL WRONSKIANO 60


3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS 61


3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER 63


3.6 SERIES DE POTENCIA 65


AUTOEVALUACION 68


UNIDAD 4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE

OBJETIVO 72

TEMARIO 72

MAPA CONCEPTUAL 73


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5

INTRODUCCION 74

4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 75


4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE 77


4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LASTRANSFORMADAS DE LAPLACE 80


AUTOEVALUACION 83


Bibliografía 86

Glosario 87


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INTRODUCCION

La presente, es una guía teórico-didáctica de la materia de EcuacionesDiferenciales que pretende orientar al estudiante en bases y conceptosgenerales.

Sin embargo, el estudiante habrá de realizar diversas investigacionesbibliográficas, ejercicios y prácticas extra clase para poder complementar elaprendizaje de la materia.

El estudio de las Ecuaciones Diferenciales se enfoca en modelarsituaciones de la vida cotidiana de forma matemática.

Previo a este curso de Ecuaciones Diferenciales el estudiante tendrá que

dominar las áreas del cálculo diferencial e integral, mismas que le facilitaran eldesarrollo de la aplicación de los métodos de solución de las ecuaciones.

El presente libro didáctico está compuesto de cuatro unidades queabarcan los conceptos necesarios para que el estudiante maneje lasEcuaciones Diferenciales y dar un sentido conceptual que sea aplicable a sucarrera profesional.

El curso parte desde cero en el estudio de las ecuaciones diferenciales,

en la primera unidad se aborda la definición de ecuación diferencial para nocrear ambigüedades en la construcción del conocimiento del estudiante, seretoma los momentos históricos del desarrollo de las ecuaciones diferencialesdesde Arquímedes hasta Newton.

Las siguientes dos unidades de forma general realizan un estudio de lasecuaciones diferenciales desde la solución de ecuaciones de primer ordenhasta la solución de ecuaciones de orden superior, tomando en cuenta diversosmétodos de solución.

La cuarta unidad trata de las Transformadas de Laplace, requiere que losconocimientos adquiridos en las tres unidades anteriores hayan logradoconstruir un cimiento cognitivo que brinde las herramientas indispensables paraestudiar y comprender este tema, por complicado que parezca nos llevara a laesencia de la representación de una función en su forma algebraica.


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Los temas curriculares de esta materia pretenden que al finalizar el cursoel estudiante sepa aplicar los conocimientos adquiridos a la carrera profesionalque estudia.


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MAPA CONCEPTUAL


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UNIDAD 1


OBJETIVOExplicar la definición, el origen y solución de las ecuaciones diferenciales

TEMARIO1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL


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MAPA CONCEPTUAL


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INTRODUCCIÓN

En esta unidad se describe la definición de una ecuación diferencial, su origen yla solución, para comprender los problemas matemáticos en los cuales se venimplicadas las ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales tienen una relación con fenómenos físicos,químicos, eléctricos, etcétera, los cuales han requerido una explicación deforma matemática.

El alumno aprenderá que las ecuaciones diferenciales se clasificansegún su tipo, orden y linealidad, conceptos esenciales que le ayudarán aplantear problemas con diferente grado de dificultad.


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12

1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de unafunción desconocida de una o más variables.

En cálculo se aprende que la derivada dxdy / (se lee derivada de y con

respecto a x) de la función )( x y es otra función de x , por ejemplo:2 xe y

la derivada de esta función es

2

2 x xedxdy

en ecuaciones diferenciales, al remplazar2 x

e por y se obtiene la ecuacióndiferencial

xydxdy

2

La integración y la derivación están estrechamente ligadas, la integraciónde una función se puede calcular una vez que se conoce su antiderivada, lasecuaciones diferenciales toman un sentido de matemáticas más puras, ya queahora dada la función

xydxdy

2

hay que encontrar su derivada, cuestionando si hay algún método para obtenerla función desconocida )( x y .

Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden ylinealidad.

Clasificación según su tipo: si la función desconocida depende sólo deuna variable, es decir, que las derivadas sean derivadas ordinarias, la ecuaciónse llama ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo:

y xdxdy

2 o y x y 2´ 0622

ydxdy

dx

yd


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Normalmente escribimos )( x f y y llamamos a x la variable

independiente, y a y la variable dependientes de x . Para sintetizar la

denotación de y en x en una función )( x f y , simplemente podemos escribir

)( x y y sus derivadas sucesivas por )(),...,(''),(' x y x y x y n

, o tambiénúnicamente n y y y ,...,'',' .

En otro caso, si la función desconocida depende de más de una variable,es decir, que las derivadas sean derivadas parciales, la ecuación se llamaecuación diferencial parcial. Por ejemplo:

V y

V

x

V 2

2

2

2

2

V es la función desconocida de las dos variables independientes x y y es unaecuación diferencial parcial. Se escribe ),( y x F V para hacer más claro que x

y y son las variables independientes y V es la variable dependiente, de

manera más sencilla para marcar que se trata de una ecuación diferencialparcial, denotamos el valor de V en x y y por ),( y xV .

Clasificación según su orden: el orden de una educación diferencial yasea ordinaria o parcial, es el orden de la derivada más alta que aparece en la

ecuación. Por ejemplo: y x y 2´

El orden de esta ecuación diferencial es de primer orden ya que sólotiene una derivada de y con respecto a x.

062

2

ydxdy

dx yd

El orden de esta ecuación diferencial es de segundo orden, de y con

respecto a x .V

y

V

x

V 2

2

2

2

2

Esta ecuación diferencial es parcial, note que ambas derivadas son desegundo orden, por tanto, la ecuación diferencial es una ecuación diferencial desegundo orden.


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14

Clasificación según su linealidad: una ecuación diferencial es linealcuando puede ser escrita de la forma

)()(')(..)()()()( 11

10 x F y xa y xa y xa y xa nnnn

donde )( x F y los coeficientes

)(,),..,(),(,1

xa xa xa son funciones dadas de x y)(, xa no es idéntica a cero.

Por ejemplo:04)( xdydx x y 0´2´´ y y y

Cuando una ecuación diferencial no puede ser escrita de la formaanterior, se dice que es una ecuación no-lineal. Por ejemplo:

xe y y y 2´)1( 0244

2

2

ydx

yd sen

dx yd

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Indicar si las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales o no lineales

1. 212´ x y yy

2. (1-x)y´´-4xy´+5y=cosx

3. 0)(2 dx xe xy ydy x x

4.22

2

r k

dt r d

5. 0)1( 2 xdydx y

1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES La Mecánica es la más antigua de las ciencias físicas, los escritos más vetustosa cerca de esta materia se deben a Arquímedes (287-212 a.C.), referentes al


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principio de la palanca y del empuje. Galileo estudió problemas dinámicos sobrela caída de los cuerpos. Copérnico formuló el sistema heliocéntrico para darpaso a la Mecánica celeste.

La integración antecedió a la diferenciación por dos mil años, Arquímedes representó procesos de sumas integrales, pero hasta el siglo XVIIFermat pudo encontrar las tangentes y puntos críticos por métodos equivalentesa la evaluación de cocientes incrementales. Fermat descubrió la inversa deestos procesos y dio la explicación de la antiderivación en la determinaciónlímite de sumas.

El calculus apareció impreso, por primera vez, en una memoria de seispáginas de Leibniz, que contenía una definición de la diferencial con simples

reglas para su cálculo en sumas, productos, cocientes, potencias y raíces.El problema de la integración de las ecuaciones diferenciales se

presentaba como del problema inverso del análisis infinitesimal.Leibniz fue el primero en usar el término aequatio differentialis en 1676

para denotar una relación entre las diferenciales dx y dy y dos variables x y

y . Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias surgen prácticamente con la

aparición del Calculus, en una polémica entre Newton y Leibniz, cuando Newton

publica que “dada una ecuación con cantidades fluentes, determinar lasfluxiones y viceversa”. Newton dio la primera clasificación de las Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias de primer orden.Tanto Newton como Leibniz estudiaron problemas con una visión

geométrica-euclidiana, debido a la época el concepto de función era muy vago yestaba ligada únicamente a la curva geométrica. Pero ambos sentaron lasbases del cálculo moderno.

En el siglo XVII James y JohanBernoulli introducen los términos deintegrar una educación diferencial y el proceso de separación de variables deuna ecuación diferencial.

Euler se encargó de establecer la primera teoría de las ecuacionesdiferenciales ordinarias, la expresión dxdy / significa para Euler un cociente

entre diferenciales y no lo que actualmente expresa.


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Liapunov y Poincaré aportaron métodos y conceptos fundamentales delas ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.

Galileo fue el pionero en estudiar el comportamiento del movimiento delpéndulo.

Todos aquellos matemáticos que tratado de modelar problemas defísicos, químicos, electrónicos, etc., han contribuido al desarrollo histórico de lasecuaciones diferenciales, a pesar de que en la recopilación de los estudios ytratados para conocer el origen de las ecuaciones diferenciales se discriminalas aportaciones de algunos matemáticos.


Realizar una investigación documental sobre el origen de las EcuacionesDiferenciales con la bibliografía señalada, para que el alumno tenga mayoresreferencias de las aportaciones de algunos matemáticos que se pudieron haberomitido en este trabajo.

1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface laecuación, esto es, la reduce a una identidad.

Cuando una función , definida en algún intervalo I , se sustituye en una

ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que esuna solución de la ecuación en el intervalo. Una solución de una ecuacióndiferencial ordinaria como la ecuación

0)´,...,,,( )( n y y y x F

es una función con al menos n derivadas y

0))(),...,´(),(,( )( x x x x F n

para todo xen I .


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Se dice que )( x y satisface la ecuación diferencial. El intervalo

I puede ser intervalo abierto, (a, b), cerrado, [a,b], infinito ),( a , etcétera.

Ejemplo 1. Sea la función x xe y una solución de la ecuación lineal

0'2'' y y y en el intervalo ),( .

Solución: sustituyendo x x e xe y ´

y x x e xe y 2´´

obtenemos

0)(2)2(´2´´ x x x x x xee xee xe y y y Ejemplo 2. La ecuación

015222

xdt dx

dt xd

Sean las funciones t e x 5 y t e x 3 soluciones de la ecuación ya que alsustituir dan por resultado:

015)5(225 555 t t t eee

015)3(29 333 t t t eee Ejemplo 3. La función definida por:

y seneV x 23

es una solución de la ecuación

V y

V

x

V 2

2

2

2

2

debido a que sustituyendo encontramos la identidad:

y sene y sene y sene x x x 2)24(229 333

La solución de ecuaciones diferenciales se divide en solucionesexplícitas e implícitas. Las soluciones explícitas son aquellas en la variabledependiente se expresa tan solo en términos de la variable independiente yconstantes. Las soluciones implícitas son aquellas en las que la ecuación


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diferencial depende de dos variables y al menos una función satisface laeducación dentro de un intervalo.

Solución implícita: Sea la ecuación diferencial

y x

dxdy

su solución implícita es la función

0422 y x

dentro del intervalo 22 x , derivado la función obtenemos

022 dxdy

y x

despejando

dxdy

se obtiene la ecuación diferencial.El nombre de solución general de ecuaciones diferenciales se aplica

únicamente para ecuaciones diferenciales lineales ya que existen ecuacionesno lineales que son difíciles de resolver bajo los parámetros en los que seencuentra la familia de soluciones que contienen todas las soluciones posiblesde la ecuación.

Un sistema de ecuaciones diferenciales es el conjunto de dos o másecuaciones donde aparecen las derivadas de dos o más funcionesdesconocidas de una variable independiente.

El problema de valor inicial es aquel que busca determinar una solución auna ecuación diferencial que está sujeta a condiciones de la funcióndesconocida y sus derivadas específicas en un valor de la variableindependiente, estas condiciones se conocen como condiciones iniciales.

El problema de valor de frontera busca determinar la solución de laecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocidaespecificadas en dos o más valores de la variable independiente. A estascondiciones se les denomina condiciones de frontera.


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Verificar si la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada.

1. 2

;0´2 x

e y y y

2. x x x ee ye ydxdy 233 10;2

3.2

2 1;02 x

y xydxdy x

4. 0,ln;11´ x x x y y x

y

5. x x ecec y y y y 4231;012´´´


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AUTOEVALUACIÓN

Indique si la ecuación es lineal o no lineal, así como el orden de cada ecuación.


2.22

2

r

k

dt

r d

3. x y xy y x cos5´4´´)1(

4. 212' x y yy

5.2

2

2

1

dx

yd dxdy

Comprobar si la función inicial dada es una solución de la ecuación diferencial.

6. x x xee y ydxdy

dx yd 222

2

;044

7. senhx x y y y cosh;´´


24/93

21

8. 0,;02 12122

x xcc ydxdy

dx yd

x

9. 212 ln;0´)(´´ cc x y y y

10. xc y y y 5cos;025´´ 1


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22

RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN

Indique si la ecuación es lineal o no lineal, así como el orden de cada ecuación.


Respuesta:

0)(2 dx xe xy ydy x x

x xe y xdxdy

x )1(2

la ecuación es una ecuación diferencial lineal ordinaria de primer orden.

2. 222

r k

dt r d

Respuesta:

0222

22

2

r

k

dt

r d

r

k

dt

r d

la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de segundo orden.

3. x y xy y x cos5´4´´)1(

Respuesta: x y xy y x cos5´4´´)1(

la ecuación es una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden.

4. 212' x y yy

Respuesta:212' x y yy

la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de primer orden.

5.2

2

2

1

dx

yd dxdy


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23

Respuesta:2

2

2

1

dx

yd dxdy

012

2

2

dxdy

dx yd

la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de segundo orden.

Comprobar si la función inicial dada es una solución de la ecuación diferencial.

6. x x xee y ydx

dy

dx

yd 222

2

;044

Respuesta: Tomando la función que evaluará a la ecuación diferencialpara realizar la primera y segunda derivada dicha función teniendo que

x x xee y 22

calculando la primera derivada

x x x xeeedxdy 222 22

es igual a

x x xeedxdy 22 23

calculando la segunda derivada

x x x xeeedxdy 222 426

es igual a

x x xeedxdy 22 48

sustituyendo la función inicial, la primera y segunda derivada en la ecuacióndiferencial que se desea comprobar, se obtiene

0)(4)23(448 222222 x x x x x x xee xee xee

04481248 222222 x x x x x x xee xee xee


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24

0881212 2222 x x x x xe xeee

7. senhx x y y y cosh;´´

Respuesta: La función a evaluar hay que pasarla a la forma querepresente que es una ecuación diferencial, realizado el procedimiento seobtiene:

0´´´´ y y y y

dónde0´´ y y

es ahora nuestra ecuación diferencial inicial y senhx x y cosh

la función que evalúa la ecuación diferencial inicial, al realizar la primera ysegunda derivada se obtiene

senhx x y cosh´

senhx x y cosh´´

sustituyendo la función que evalúa la ecuación diferencial y la segunda derivadaen la ecuación diferencial inicial se concluye que

0)(coshcosh senhx x senhx x

8. 0,;02 12122

x xcc ydxdy

dx yd

x

Respuesta: siendo la ecuación diferencial

022

2

dxdy

dx

yd x

que se desea comprobar con la función1

21 xcc y se requiere la primera y segunda derivada de dicha función, primera derivadaigual a

22 xcdx

dy


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25

segunda derivada

322

2

2 xcdx

yd

sustituyendo ambas derivas en la ecuación diferencial se tiene:

0)(2)2( 223

2 xc xc x

por lo tanto

022 222

2 xc xc

9. 212 ln;0´)(´´ cc x y y y

Respuesta: siendo la ecuación diferencial

0´)(´´ 2

y y que se desea comprobar con la función

21ln cc x y

se requiere la primera y segunda derivada de dicha función, primera derivadaigual a

1

1´

c x y

segunda derivada

21 )(

1´´

c x y

sustituyendo ambas derivadas de la función que evalúa en la ecuacióndiferencial, se obtiene:

01

)(

12

12

1

c xc x

concluyendo

0)(

1

)(

12

12

1 c xc x


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10. xc y y y 5cos;025´´ 1

Respuesta: siendo la ecuación diferencial025´´ y y

que se desea comprobar con la función

xc y 5cos1

se requiere la segunda derivada de dicha función

x senc y 55´ 1

como primera derivada y como segunda derivada

xc y 5cos25´´ 1 sustituyendo ambas derivadas de la función que evalúa en la ecuación

diferencial, se obtiene:05cos255cos25 11 xc xc


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MAPA CONCEPTUAL


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29

INTRODUCCIÓN

En esta unidad se abordan las ecuaciones diferenciales de primer orden,pasando por los conceptos básicos de éstas para llegar a la aplicación de lasecuaciones diferenciales en problemas reales.

La solución general de una ecuación diferencial de variables separablesdebe tener la forma de una función igualada a cero, concepto que el alumnodebe aprender, ya que existen diversos casos en las ecuaciones diferencialesque no se pueden resolver directamente por no ser de variables separables ypara resolver; el alumno tendrá que aprender métodos para separar lasvariables de la ecuación.


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30

2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES El matemático y físico Leonhard Paul Euler 1 en el siglo XVIII se encargo desistematizar estudios anteriores de ecuaciones diferenciales, dando origen a laprimera teoría de ecuaciones ordinarias donde aparecen las ecuaciones deprimer orden, y respectiva clasificación de ecuaciones de variables separables,homogéneas, lineales y exactas, así como también las de orden superior.

Las ecuaciones diferenciales las encontramos por todas partes, enfenómenos naturales, químicos, físicos y electrónicos la mayoría de estosfenómenos necesitan de un modelo matemático para comprender sucomportamiento, expresados en una ecuación diferencial; la informática noqueda exenta de tratar de modelar procesos computacionales como la

transmisión de datos a través de un cable de red o la impresión de documentos,todo ello con el fin de mejorar los componentes del hardware actual.

La ecuación diferencial de primer orden

),( y x F dxdy

considere a

dxdy

como cociente de diferenciales, puede expresarse también como0),(),( dy y x N dx y x M

para dar paso a la siguiente expresióndy y x N dx y x M ),(),(

Ejemplo:

x y y x

dxdy

523

puede ser escrita como0)25()3( dy y xdx y x

donde y x N y x M 25,3

1 http://www.eulersociety.org/


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31

La solución general de una ecuación diferencial de variables separablesse puede representar de la forma siguiente:

0)()( dy y g dx x f

donde un término de la ecuación involucra sólo a la variable x y el otro a lavariable y , la solución de la ecuación puede ser por integración, dando lasolución general

cdy y g dx x f )()(

donde c es el equivalente a la constante de integración. Para regresar a laecuación inicial se aplica la diferencial en ambos lados de la ecuación y asíeliminar a la constante c , siendo de la siguiente manera:

cdy y g d dx x f d )()(

igual a0)()( dy y g dx x f

El método de variables separables consiste en separar en dos términosla ecuación diferencial para poder encontrar la solución que satisfaga dichaecuación.

Sea la ecuación diferencial de variables separables0)1( ydxdy x

tenemos ydxdy x )1(

)1( xdx

ydy

integrando

)1( xdx

ydy

11lnln c x y 11ln c xe y

11ln 1 cc x ee y 11 ce x y


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32

)1(1 xe y c 1),1(1

1,11

x x x

x x x

si la constante c se puede escribir como1c

e tenemos que)1( xc y

La solución general de

y x

dxdy

212

pasando la ecuación a función

0)2()1( 2 dy ydx x

donde se requiere integrar ambas partes

cdy ydx x )2()1( 2

obtenemos

c y y

x x

223

23

ahora bien, requerimos determinar una solución particular cuando y=4 y x=-3 ,sustituyendo en la solución general obtenemos que

12)4(22

4)3(33

23


Resuelva la ecuación diferencial por variables separables.

1. x sendxdy

5

2. 2)1( xdxdy


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33

3. 03 dyedx x

4. 02 dy xdx

5. xdxdy

e x 2

6. x

ydxdy 1

7. x

y x

dx

dy

1

22

2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS Existen ecuaciones diferenciales cuyas variables no son separables, para poderresolver esas ecuaciones tienen que trasformarse en una con variablesseparables. Una ecuación que casi siempre puede transformarse a variablesseparables es

x y

f dxdy

llamada ecuación diferencial homogénea por la forma en que se escribe yaquellas que se puedan escribir de igual manera se les denominará así. Paracambiar tal ecuación a una ecuación separable, usamos las transformación de

v x y

o tambiénvx y

lo que se realiza es un cambio de la variable dependiente de y por v conservando la variable independiente x , teniendo entonces

dxdv

xvdxdy


37/93

34

para que

x y

f dxdy

se transforme en

)(v f dxdv

xv

de tal manera que

vv f dv

xdx

)(

obtenemos la ecuación donde las variables se encuentran separadas.Ejemplo: Sea la ecuación

y x y x

dxdy

el lado derecho es una función x y , por tanto es una ecuación homogénea,

haciendo vx y , se tiene

vv

dxdv

xv11

v

vv

dx

dv x

1

221

221)1(

vvdvv

xdx

aplicando las reglas de lo logaritmos

12 )21ln(

21

ln cvv x

o

222 )]21(ln[ cvv x

de tal manera que

cvv x )21( 22

reemplazando v por x y se obtiene

c y xy x 22 2


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35


Realizar una investigación documental respecto al tema de ecuacionesdiferenciales con coeficientes homogéneos con la bibliografía señalada paratener mayores bases de conocimiento y solucionar problemas en que lasecuaciones diferenciales no sean separables las variables.

2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es aquella denominadaecuación diferencial ordinaria de primer orden la cual contiene dos funciones

denominadas y las cuales trabajan respecto a dos variable y , que alaplicar las derivadas parciales de las funciones y son iguales, se puedeseguir aplicando la segunda, tercer y derivada, las funciones mantendrán elconcepto de linealidad, es decir, sin cambios. En informática la aplicación de lasecuaciones diferenciales exactas tiene gran importancia, por ejemplo, supongaque se desea saber la fuerza de propagación y distorsión de una señalinalámbrica en la transmisión de datos con una microonda del rango de los

2Ghz a los 40Ghz, al representarlo como una ecuación diferencial latransmisión y distorsión es igual dentro de este rango.

Una ecuación diferencial),(),( y x N y x M

es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la

diferencial de alguna función),( y x f

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma0),(),( dy y x N dx y x M

es una ecuación diferencial exacta, sidy y x N dx y x M ),(),(

es una diferencial exacta.


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36

Si son continuas),( y x M

y),( y x N ,

con derivadas parciales continúas en una región rectangular R , definida por losintervalos

b xa ,d yc

para las variables y y x , la condición única y necesaria para que

dy y x N dx y x M ),(),(

sea una diferencial exacta es que

x N

y M .

Ejemplo 1: La ecuación

02332 dy y xdx y x

es exacta, por que

dy y xdx y x y xd 23323331

aplicando la regla de que el lado izquierdo tiene que ser una diferencia exactady y x N dx y x M ),(),(

tenemos que32),( y x y x M

y23),( y x y x N

aplicando la diferencial se tiene que

223 y xdy M

que es igual a

223 y xdx N


40/93

37

Ejemplo 2: La ecuación

0)1(2 2 dy x xydx

se resuelve igualando primero xy y x M 2),(

y

1),( 2 x y x N

realizando las diferenciales respecto a y y x tenemos

x y

M 2

y

x x N

2

por lo tanto

x N

y M

con esto se comprueba que la ecuación es exacta y por el criterio paradeterminar si la ecuación diferencial es exacta entonces existe una función

),( y x f tal que

xy x f 2

y

12 x y f

al integrar la primer ecuación de las dos anteriores se obtiene que

)(),( 2 y g y x y x f

determinando la derivada parcial con respecto a y

)´(2 y g x y f

igualando con ),( y x N se tiene

1)´( 22 x y g x

despejando )´( y g obtenemos


41/93

38

1)´( 22 x x y g

1)´( y g

y y y g )(

la solución es entoncesc y x f ),(


Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas.1. 0)73()12( dy ydx x

2. 0)6()2( dy y xdx y x

3. 0)84()45( 3 dy y xdx y x

4. 0)cos(cos)(

dy y y x xdx ysenx seny

5. 0)42()32( 22 dy yxdx x y

2.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE El factor integrante es aquel que al multiplicar las derivadas parciales de unaecuación diferencial no exacta la convierten en una ecuación diferencial exacta,para que con esto esa ecuación diferencial no exacta se pueda resolver por elmétodo de ecuaciones diferenciales exactas.

Si la ecuación0 Ndy Mdx

no cumple con la condición de que


42/93

39

X N

y M

entonces no es una ecuación exacta, para poder hacerla exacta se requieremultiplicarla por un factor integrante apropiado , de tal manera que la

ecuación que se obtenga sea de la forma0 Ndy Mdx

será exacta, debido a que

)()( N x

M y

Hay diferentes métodos para obtener factores integrantes pero el máscomún es el de separación de variables.

Ejemplo. Sea

y xY

xy xdxdy

2

23 , si 3)1( y .

Solución:

0)()3( 22 dy y x ydx xy x

se obtiene M y N quedando de la siguiente manera23 xy x M y y x y N 2

aplicando la diferencial obtenemos que

xy y

M 2 y xy

x N

2

la ecuación no es exacta. Tanto M y N pueden ser factorizadas comoproducto de una fundón con respecto a y y x , esto es

0)1()3( 22 dy x ydx y x

un factor integrante es

)1)(3(1

22 x y

que al multiplicarlo por lo que se obtuvo por factorizar a M y N resulta lafunción


43/93

40

031 22

dy y

ydx

x x

que es separable y exacta. Integrando dicha función obtenida tenemos

c y x

)3ln(2

1

)1ln(2

1 22

ó )3()1( 22

y A x

puesto que 3 y cuando 1 x , encontramos61

A .

Por lo tanto, la solución es

)3(61

)1( 22 y x

o

36 22 x y

El método de inspección considera que 0 Ndy Mdx no es separable o

exacta y es necesario multiplicar la ecuación por el factor integrante para

volver la ecuación exacta, que dando de la forma:

)()( N x

M y

Considerando dos casos en particular, cuando es una función sólo de

x que dando la ecuación como

)(1

x f x N

y M

N

entonces dx x f

e )(

es un factor integrante y cuando es una función sólo de y tomando la función

como

)(1 y g y

M x N

M

entonces dy y g

e )(

es un factor integrante.


44/93

41

Ejemplo: resolver0)33( dy y x ydx

primero hay que comprobar si es una ecuación diferencial exacta obteniendo M y N de lo que resulta que

y M

y y x N 33

aplicando la diferencial

1 y

M

y

3 x N

la ecuación no es exacta. Ahora

y x3331

no es una función sólo de x . Pero

Y Y 213

es una función sólo de y. por lo tanto

2lnln2)2( 2

yeee y ydy y

es un factor integrante. Así, multiplicando la ecuación dada por2 y

la solución que se obtiene esc

y y xy

4

433


45/93

42


Realizar una investigación documental para reforzar la aplicación del factorintegrante en ecuaciones diferenciales con la bibliografía señalada, comoresultado de esa investigación, el alumno tendrá que entregar un diagrama deflujo donde represente el algoritmo para poder resolver ecuaciones diferencialesno exactas a través del uso del factor integrante.

2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI

La ecuación de Bernoulli representa el principio de la conservación de la

energía mecánica, el nombre de tal ecuación es en honor a Daniel Bernoulli,quien plasmó sus estudios en el libro Hidrodynamica , donde trata de lamecánica de fluidos; así, la ecuación de Bernoulli es aquella en la cual laecuación diferencial en que n es cualquier número real. Cuando 0n y 1n laecuación

n y x f y x P dxdy

)()(

es lineal. Cuando 0n y 1n , la sustituciónn

y 1

reduce cualquier ecuaciónde la forma de la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.

Ejemplo: Resolver 22 y x ydxdy

x .

Solución: Ordenar la ecuación a la forma de Bernoulli quedando:

21 xy y xdx

dy

dividiéndola entre x. A continuación sustituimos, con 2n ,1u y

y

dxdu

udxdy 2

en la ecuación a resolver sustituyendo tenemos


46/93

43

xu xdx

du 1

el factor integrante para esta ecuación en el intervalo ),0( , es

1lnln 1

xeee x x x

dx

integrando

1][ 1u xdxd

donde se obtiene

c xu x 1 despejando u

cx xu 2

como 1u y , sustituyendo u , la solución de la ecuación es

cx x y 2

1


Realizar una investigación documental sobre la ecuación de Bernoulli y cómo seaplica en fenómenos como la sustentación de un avión, la determinación de laaltura en la instalación de una bomba de agua, la extracción del calor por eldisipador del procesador interno de una computadora.

2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

El problema de valor inicial con la ecuación diferencial kxdt dx , 00 )( xt x en

donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea en modelos dedistintos fenómenos como físicos, químicos, electrónicos, etcétera dondeinterviene el crecimiento o decrecimiento.


47/93

44

Ejemplo 1: Un cultivo tiene una cantidad inicial 0 N de bacterias. Cuando

1t , la cantidad medida de bacterias es 023

N . Si la razón de reproducción es

proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcular el tiempo necesariopara triplicar la cantidad inicial de bacterias.

Solución: Utilizando la ecuación diferencial del valor inicial, sustituyendolas variables iniciales del problema se obtiene

kN dt dN

sujeta de acuerdo a 00 )( xt x será igual a 0)0( N N . Donde la condición queda

0

2

3)1( N N

para hallar la constante de proporcionalidad k . Al escribir la ecuación

kN dt dN

de manera lineal para que sea separable obtenemos

0kN dt dN

que al aplicar el método de inspección se observa que el factor integrante eskt e , se debe multiplicar la ecuación por este factor, quedando de la forma

0 N edt d kt

al integrar, se llega a la solución general

c N e kt despejando N por los requerimientos que se plantearon al inicio del problema,

la ecuación se puede escribir comokt cet N )(

Cuando 0t , cce N 00 , por consiguiente kt e N t N 0)(


48/93

45

El caso cuando 1t , k e N N 0023 , o bien

23k e para obtener

4055.023

ln k , Así t e N t N 4055.00)( .

Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias,hay que despejar t de t oo e N N 4055.03 ; por consiguiente 3ln4055.0 t , así

ht 71.24055.0

3ln

Ejemplo 2: Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie LR , con

una inductancia de henry21 y una resistencia de 10 ohms. Determine la corriente

i, si la corriente inicial es cero. Usando la ecuación diferencial que describe lacorriente

)(t E Ridt di

L

se tiene que

121021

idt di

sujeta a 0)0( i . Debemos multiplicar la ecuación diferencia por 2, para que el

factor integrante seat

e20

, que sustituyéndolo en la ecuación quedaría como

t t eiedt d 2020 24

al integrar cada lado y despejar i se obtiene

t cei 2056

si 0)0( i , entonces c56

0 , o bien56

c , la respuesta es

t et i 2056

56)(

a partir de la ecuación

dx x f eece yp yc y dx x P dx x P dx x P

)()()()(

se puede formular una solución general de


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46

t L Rt L R ecdt t E e L

t L Ret i )/()/( )(

)/()(

Cuando 0)( E t E es una constante, la ecuación anterior queda como

t L R

ce R

E t i

)/(0

)(


Realizar una investigación documental sobre planteamientos de problemascotidianos, los cuales requieran su representación en modelos de ecuaciones

diferenciales de primer orden. Los problemas cotidianos pueden ir desde losrelacionados con la salud, por ejemplo, la forma en que se propago el virus dela influenza H1N1 en nuestro país; también, el alumno puede considerarproblemas ecológicos como el derrame de petróleo en el Golfo de México delaño 2010, problemas en los cuales ya se tienen cifras oficiales pero no unmodelo matemático que ayude a determinar tales cifras.


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47

AUTOEVALUACIÓN

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variables separables.

1. xdxdy

e x

2

2. x

ydxdy 1

3. x

y xdxdy

1

22

4. y x y x eedxdy

ye 2

Determine si las siguientes ecuaciones son exactas5. 0)73()12( dy ydx x

6. 0)6()2( dy y xdx y x

7. 03343cos12 32

x ysen x x

ydxdy

x x

y


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48


Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variables separables.

1. xdxdy

e x

2

Respuesta: Es necesario separar las variables, tomando la ecuacióninicial

xdxdy

e x 2

despejando

dx xedy x 2

ahora hay que aplicar la integral en ambos miembros de la ecuacióndx xedy x 2

integrando se obtiene

c xe xe y x x 22

2. x

ydxdy 1

Respuesta: Al separar las variables, tomando la ecuación inicial

x y

dxdy 1

se obtiene

dx x

dy y

11

1

aplicando la integral en ambos miembros

dx x

dy y

11

1

integrando

c x y lnln1ln

es igual a

cx y ln1ln


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49

obteniendocx y 1

por lo tanto1cx y

3. x

y xdxdy

1

22

Respuesta: Se requiere despejar la ecuación diferencial para que tengala forma en la cual permite separar las variables, se obtiene:

x y x

dxdy

1

22

dy ydx x

x 22

1

dx x

xdy y 2

2 1

aplicando la integral en ambos miembros de la función

dx x

xdy y 2

2 1

dx x xdy y )( 122

integrando la ecuación1

13 ln31

c x x y

por lo tanto

113 ln33 c x x y

4. y x y x eedxdy

ye 2

Respuesta: De la ecuación y x y x ee

dxdy

ye 2

realizando los despejes

)1( 2 x y x eedxdy

ye


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50

dxeedy ye x x y )1( 2

separando las variables

dxeedy ye x x y )( 3

aplicando la integral en ambos miembrosdxeedy ye x x y )( 3

integrando

ceee ye x x y y 331

por lo tanto

cee yee x x y y 331

Determine si las siguientes ecuaciones son exactas

5. 0)73()12( dy ydx x

Respuesta: Sea la ecuación inicial0)73()12( dy ydx x

que se compone de12),( x y x M

y73),( y y x N

con

0)12(

y x

y M

y

0)73( x

y x N

esto es igual a tener

x N

y M


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51

debido a esto, la ecuación inicial es exacta. Por lo que existe una función),( y x f

para la que

12 x x f

y

73 y y f

con esto se puede Integrar la primera educación respecto a x, se obtiene

)(),( 2 y g x x y x f

entonces

)´( y g y f

al igualar con73),( y y x N

se obtiene73)´( y y g

donde

y y y g 723)( 2

que al sustituir en

)(),( 2 y g x x y x f

se tiene

y y x x y x f 723

),( 22

por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial inicial es:

c y y x x 723 22

6. 0)6()2( dy y xdx y x

Respuesta: De la ecuación diferencial inicial


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52

0)6()2( dy y xdx y x

se tiene y x y x M 2),(

y)6(),( y x y x N

quedando como y x y x N 6),(

con

1)2(

y y x

y M

y

1)6(

x y x

x N


x N

y M

con esto se concluye que la ecuación no es exacta.

7. 03343cos12 32 x ysen x x y

dxdy x

x y

Respuesta: De la ecuación diferencial inicial

03343cos1

2 32

x ysen x x

ydxdy

x x

y

al despejar el segundo termino para reorganizarlo se tiene

03cos1

2334 32

dy x x

ydx x ysen x x

y

para esta ecuación se tiene

x ysen x x

y y x M 334),( 3

2

y

x x

y y x N 3cos1

2),(


56/93

53

con

x sen x y

x ysen x x

y

y M

331

334

2

32

y

x sen x x

x x

y

x N

331

3cos1

2

2


x N

y M

con esto se concluye que la ecuación no es exacta.


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54

UNIDAD 3

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

OBJETIVOResolver ecuaciones diferenciales de orden superior mediante de diversosmétodos.

TEMARIO

3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA SOLUCIÓN CONOCIDA3.3 EL WRONSKIANO3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER3.6 SERIES DE POTENCIA


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55

MAPA CONCEPTUAL


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56

INTRODUCCIÓN

En esta unidad el alumno conocerá ecuaciones diferenciales denominadas deorden superior, distinguiendo de las ecuaciones homogéneas y no homogéneaspara aplicarlas en problemas de modelamiento.

Las ecuaciones homogéneas son aquellas ecuaciones que secategorizan de forma lineal y las no homogéneas aquellas que no cumplen eserequisito de ser lineal en un intervalo determinado, ambos planteamientos llevana que en esta unidad se demuestren diversos métodos para poder llegar a unasolución de esas ecuaciones diferenciales, mismos que los alumnos tendránque aprender.


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57

3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS

Una ecuación lineal de orden n de la forma

0)()(...)()( 0111

1 y xa

dxdy

xadx

yd xa

dx yd

xa nn

nn

n

n

Se llama homogénea, mientras que una ecuación

)()()(...)()( 0111

1 x g y xadxdy

xadx

yd xa

dx yd

xa nn

nn

n

n

donde )( x g no es idénticamente cero, se llama no homogénea.

Toda función p y libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación

)()()(...)()( 0111

1 x g y xadxdy

xadx

yd xa

dx yd

xa nn

nn

n

n

se llama solución particular de la ecuación no homogénea.Por ejemplo:

0532 y y y

es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, mientrasque

xe y y y x 1063

es una ecuación diferencial de tercer orden lineal y no homogénea.

Seank y y y ,...,, 21

soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n , ecuación

0)()(...)()( 0111

1 y xa

dxdy

xadx

yd xa

dx yd

xa nn

nn

n

n

donde x esta en un intervalo I . La combinación lineal

)(...)()( 2211 x yc x yc x ycY k k

en donde lasic , k i ,...,2,1

son constantes arbitrarias, también es una solución cuando x está en elintervalo.


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58


Determinar si la función dada es homogénea o no homogénea.

1. x y xy x /2 43

2. )34( y x y x

3.442 y x y

x

4. y x

x2cos

5. y x

x sen

3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA SOLUCIÓN CONOCIDA

Sea el caso 2k , donde L sea el operador diferencial, )(1 x y y )(2 x y

soluciones de la ecuación homogénea 0)( y L , definiendo

)()( 2211 x yc x yc y

aplicando la linealidad de L , resulta

)()()}()({)( 22112211 y Lc y Lc x yc x yc L y L

)()()(2211

y Lc y Lc y L

00)( 21 cc y L

0)( y L

Las funciones 21 x y y x x y ln22 son soluciones de la ecuación lineal

homogénea


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59

0423 y y x y x

para xen el intervalo ),0( , la combinación lineal es

x xc xc y ln222

1

es una solución de la ecuación en el intervalo.Sea L el operador diferencial, )( xY y )( x y p soluciones particulares de

la ecuación no homogénea )()( x g y L . Definiendo )()()( x y xY xu p , por la

linealidad de L se debe cumplir

0)()()(())(()}()({)( x g x g x y L x L L x y xY Lu L p p

se demuestra que )( xu es una solución de la ecuación homogénea 0)( y L

Utilizando la sustitución para la función

x y p 21

1211

es una solución particular de la ecuación no homogénea

x ydx

dy

dx

yd

dx

yd 36116

2

2

3

3

Para llegar a la solución general de la ecuación anterior, hay que resolverla ecuación homogénea asociada

061162

2

3

3 y

dxdy

dx yd

dx yd

la cual tiene como solución x x x

c ececec y 3

32

21

en el intervalo ),( ; por lo tanto la solución general de la ecuación inicial en

el intervalo es

pc y y y

xececec y x x x1211

12113

32

21


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60


Realizar una investigación documental en la que, como ejemplos, tengansoluciones de ecuaciones diferenciales a partir de una solución conocida paraque el alumno reafirme los conocimientos obtenidos en clases.

3.3 EL WRONSKIANO

El wronskiano en matemáticas denomina así a una función en honor a elmatemático y filósofo Józef Maria Hoene-Wronski, aplicable al estudio de lasecuaciones diferenciales ordinarias. Wronski en 1812 dice que cada ecuacióntiene una solución algebraica.

Suponga que cada una de las funciones)(),...,(),( 21 x f x f x f n

posee1n

derivadas al menos.El determinante

)1()1(2

)1(1

21

21

21

...

'''

...

),...,,(

nn

nn

n

n

n

f f f

f f f

f f f

f f f W

en donde las primas representan las derivadas, es el wronskiano de lasfunciones.

Sean n soluciones n y y y ,...,, 21 de la ecuación

0)()(...)()( 0111

1 y xa

dx

dy xa

dx

yd xa

dx

yd xa n

n

nn

n

n

lineal, homogénea y de orden n , en un intervalo I , si y solo si

0,...,,( 21 n y y yW

para toda x en el intervalo.


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61


Realizar una investigación documental del uso del método del Wronskiano en lasolución de ecuaciones diferenciales y poder calcular el determínatecorrespondiente.

3.4 V ARIACIÓN DE PARÁMETROS La solución particular de una ecuación de diferencial lineal de primer orden

)()( x f y x P dxdy

en un intervalo, se aplica a ecuaciones lineales de orden superior. Para adaptar

el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundoorden

)()()()( 012 x g y xa y xa y xa

es necesario manejar la ecuación diferencial de la forma reducida)()( x f y xQY W Y

Para hallar una solución particular de la ecuación )()( x f y x P dxdy para

la ecuación )()()()( 012 x g y xa y xa y xa , se debe buscar una solución de laforma:

)()()()( 2211 x y xu x y xu y p

para que 1 y y 2 y formen un conjunto de soluciones en I .

Aplicando dos veces la regla del producto para diferenciar p y obtenemos

22221111 u y yuu y yu y p

22222221111111 ; yuu yu y yu yuu yu y yu y p

sustituyendo las ecuaciones obtenidas en )()()()( 012 x g y xa y xa y xa y

agrupando los términos:

22221111)()( Qy y P yuQy y P yu y xQ y x P y p p p

2211221122221111 u yu yu yu y P yuu y yuu y


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62

221122112211 u yu yu yu y P u ydxd

u ydxd

)(221122112211 x f u yu yu yu y P u yu ydxd

Es necesario determinar dos funciones desconocidas 1u y 2u , estasfunciones satisfacen a 02211 u yu y , reduciendo la ecuación

)(221122112211 x f u yu yu yu y P u yu ydxd

a

)(2211 x f u yu y

se Obtienen las dos ecuaciones que se necesitaban. Aplicando la regla de

Cramer y la solución del sistema02211 u yu y

)(2211 x f u yu y

se puede expresar en términos de los determinantes

W W

u 11 y W W

u 22

en donde

)(0,

)(0,

1

12

2

21

21

21

x f y yW

y x f yW

y y y yW

Las funciones 1u y 2u se determinan integrando los resultados

W W

u 11 y W W

u 22

donde el determinante W es el wronskiano de 1 y y 2 y , que por la independencia

linean entre 1 y y 2 y en I , que 0))(),(( 21 x y x yW para toda xen el intervalo.


Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por variación de parámetros.


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63

1. x y y sec´´

2. senx y y ´´

3. x

e y y

x2

4´´

4. x sene y y y 2´3´´

5. xe y y y x ln´2´´

3.5 ECUACIÓN DEC AUCHYEULER Augustin Louis Cauchy y Leonhard Paul Euler trataron de buscar un factor deintegración que transforma ecuaciones diferenciales que no son lineales aecuaciones diferenciales exactas para poder llegar a su solución.

Toda ecuación diferencial lineal de la forma

)(... 0111

11 x g yadx

dy xa

dx yd

xadx

yd xa n

nn

nn

nn

n

donde los coeficientes 01 ,...,, aaa nn son constantes, tienen los nombres de

ecuación de Cauchy-Euler ó Euler-Cauchy.La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado

0.....1, nnk

de los coeficientes nominales k x coincide con el orden k de la diferenciaciónk k dx yd / .

Solución de la formam x y

donde m esta por determinar. La primera y segunda derivadas son,respectivamente


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64

1 mmxdxdy

y

2

2

2

)1( m xmmdx

yd

en consecuencia

mmm cxmxbx xmmaxcydxdy

bxdx

yd ax 1222

22 )1(

mm bmx xmam )1(

))1(( cbmmam xm

así,m x y

es una solución de la ecuación diferencial siempre m que sea una solución dela ecuación auxiliar

0)1( cbmmam

ó

0)(2 cmabam


Realizar una investigación documental del empleo de la ecuación de CauchyEuler en la solución de ecuaciones diferenciales, para reforzar losconocimientos obtenidos en clase; el alumno debe proponer un análisis delalgoritmo para solucionar ecuaciones diferenciales a través de la ecuación de

Cauchy-Euler.


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65

3.6 SERIES DE POTENCIA Determinar la solución de

02 xydxdy

como una serie de potencias en x . Suponiendo que la solución de la ecuaciónexiste y tiene la forma

0n

nn xc y

aplicando una derivación a la educación da como resultado

1

1

0

1

n

nn

n

nn xnc xncdx

dy

tomando de referencia la ecuación a determinar y la que se derivo obtenemos

0

1

1

1 22n

nn

n

nn xc xnc xydx

dy

Para sumar las dos series es necesario que ambos índices de lassumatorias comiencen con el mismo número y las potencias comiencen igual.

Entonces es necesario identificar que en la primera serie 1nk y en lasegunda serie 1 nk , la anterior ecuación el lado derecho se transforma en

1 11 11 2)1( k k

k k

k k xc xck c

Después de sumar término a término las series, se sigue que

0]2)1[(2 11

11 k k

k

k k xc xck c xydx

dy

para que esta ecuación sea idéntica a 0 , los coeficientes de la potencias igualesde xdeben ser cero; es decir,

01 c

y,...3,2,1,02)1( 11 k k ck ck

siendo esta última ecuación una relación de recurrencia o relación recursiva que

determina las k c . Dado que

01k


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66

para todos los valores indicados dek

se puede expresar la siguiente ecuación

1

2 11

k

cc

k k

por interacción, esta fórmula genera los siguientes resultados:

002 22

,1 ccck

032

,2 13 cck

0024 !21

21

42

,3 cccck

052

,4 35 cck

0046 !31

!231

62

,5 cccck

072

,6 57 cck

0068 !41

!341

82

,7 cccck

y así sucesivamente para que de la ecuación

0n

nn xc y

se obtenga que

'''665

54

43

32

2100

xc xc xc xc xc xcc xc yn

nn

'''0!3

10

!21

00 604

02

00 xc xc xcc

...!3

1!2

11 6420 x x xc

0

2

0 !n

n

n x

c


70/93

67

esta es la solución general ya que la interacción ha dejado a 0c totalmente

indeterminado.


Realizar una investigación documental para reforzar los conocimientosobtenidos en clase donde aplique el uso de las series de potencia en la soluciónde ecuaciones diferenciales, como resultado de dicha investigación el alumnoserá capaz de analizar ecuaciones diferenciales y aplicar la interacción querequiere la solución de educaciones a través de este método sobre todo paracomprender si la ecuación diferencial en estudio será convergente o divergentepara el intervalo en que se estudie.


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68

AUTOEVALUACIÓN


1. x y xy x /2 43

2. )34( y x y x

3.442 y x y

x

4. y x

x2

cos

5. y x

x sen


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69

RESPUESTAS AUTOEVALUACION


1. x y xy x /2 43

Respuesta: Sea

x y xy x y x f /2),( 43

xtytytxtxtytx f /)())((2)(),( 423

tx yt yt txtytx /)(2 442233

x yt xyt xt /2 432333

)/2(),( 4233 x y xy xt tytx f

por lo tanto

x y xy x y x f y x f t tytx f /2),(:),(),( 4233

resultando ser una función homogénea de tercer grado.

2. )34( y x y x

Respuesta:

)34(),( y x y x y x f

)34())(3)(4(),( 21

y xt y xt tytxtytxtytx f

)34(),( 23

y xt y xt tytx f

por lo tanto

)34(),(:),(),( 23

y xt y x y x f y x f t tytx f

función homogénea de grado2

3

3.442 y x y

x

Respuesta:


73/93

70

442),(

y x y

x y x f

442 )()()(),(

tytxty

txtytx f

444422),(

yt xt yt

txtytx f

)(),(

44422 y xt yt

txtytx f

)(),(

44222 y xt yt

txtytx f

))((),( 4422 y x yt

txtytx f

))((),(

442 y x yt

xtytx f

))((),(

442

1

y x y

xt tytx f

por lo tanto

442

1

),(:),(),( y x y

x y x f y x f t tytx f

es una función homogénea de grado -1

4. y x

x2cos

Respuesta:

y x

x

y x f

2

cos),(

tytxtx

tytx f 2)(

cos),(

)(cos),(

22

y xt xt

tytx f


74/93

71

y x xt

tytx f 2

cos),(

entonces

y x x

t y x xt 22

coscos

por lo tanto

y x x

y x f 2

cos),(

función no homogénea.

5. y x

x sen

Respuesta:

y x x

sen y x f ),(

entonces

tytxtx

sentytx f ),(

)(),( y xt tx sentytx f

y x x

sentytx f ),(

y x x

sentytx f 1),(

y x x

sent tytx f 0),(

por lo tanto),(),( 0 y x f t y x f

función homogénea de grado 0.


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72

UNIDAD 4

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

OBJETIVO Aplicar la transformada de Laplace a ecuaciones diferenciales

TEMARIO4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE


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77/93

74

INTRODUCCIÓN

En esta unidad se aborda la transformada de Laplace, el cual es un método quetiene la finalidad de convertir una ecuación diferencial para su solución a formaalgebraica.

La transformada de Laplace sirve para verificar la validez de unaecuación diferencial en un intervalo dado, hay el caso en que las ecuacionesdiferenciales dadas en problemas no existen y mediante este método, ya sea ensu forma directa o inversa, se comprueba si la ecuación existe.


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75

4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Sea

0),( t t F

dada. La transformada de Laplace de)(t F

se define como

0)()}({)( dt t F et F s f st L

donde s es un parámetro real. El símbolo L se llama operador de latransformada de Laplace.

La integral impropia de la ecuación anterior se define como

M st M

dt t F elím0

)(

y la transformada de Laplace se dice que existe o no de acuerdo a si el límiteexiste o no. Si

M st

M dt t F elím

0)(

existe decimos que la integral converge.Ejemplo 1. Encontrar }1{L , solución:

0 0)1()}1{b st

b

st dt elímdt eL

se

lím se

lím st

b

b

o

st

b

1|

s1

)}1{ L

si 0 s ya que el exponente sb es negativo, 0 sbe cuando b . Cuando

0 s se dice que integral es divergente.

Ejemplo2. Encontrar }{ at eL , solución:

0 0)()(}{

M t a s

M

at st at dt elímdt eeeL

a se

líma s

elím

M a s

M

M

o

t a s s

M

11)(

)()(

|


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76

a se at

1}{L

La transformada de Laplace existe si a s pero no existe si a s .En general para las funciones donde a s , existirá también para a s ,

aunque hay funciones cuyas transformadas de Laplace no existen para ningúnvalor de s , por ejemplo la integral de

dt ee t st x 2

0

no converge para ningún valor de s , la transformada de Laplace de2t e no

existe.


Aplique la transformada de Laplace para determinar )}({ t f L para los casos

cuando )(t f este condicionada por los valores.

1.

11

10,1)(

r t

t t f

2.

11

10,)(

r t

t t t f

3. t t sent

t f 0

0,)(

4.20

20,4)(

t

t t f


80/93

77

5.

l r t

t t t f

0

20,12)(

4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE La transformada directa de Laplace es aquella cuando una función

)(t f

se transforma en otra función)( s F

a través de la integral

dt t f e st

)(0

representada de forma general por)()}({ s f t f L

Algunas transformadas de Laplace de funciones básicas son:

a) s1

}1{ L

b) ,...3,2,1,!}{ 1 n sn

t nnL

c) a s

e at 1

}{L

d) 22)}{ k s

k senkt L

e) 22)}{cos k s s

kt L

f)22)}{ k s

k senhkt L

g) 22)}{cosh k s

skt L


81/93

78

La transformada inversa de Laplace, se ocupa en invertir el proceso, esdecir, dada

)( s F

hallar la función)(t f

que corresponde a esa transformación.Se considera que

)(t f

es la transformada inversa de Laplace de)( s F

expresada como

)}({)( 1 s f t f L

Algunas transformadas inversas de Laplace de funciones básicas son

a) s1

1 1-L

b) ,...3,2,1,!

1 n

sn

t nn 1-L

c)a s

e at 11-L

d)22 k s

k senkt

1-L

e)22cos k s

skt 1-L

f)22 k s

k senhkt

1-L

g) 22cosh k s s

kt 1-

L

1-L es una transformación lineal. La transformada de Laplace es unatransformación lineal si y son constantes, esto es

)()()()( sG s F g s F 1-1-1- LLL


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79

donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser

única. Es posible que

)}({)}({ 21 t f t f LL

y

21 f f ,

pero si 1 f y 2 f son continuas en el intervalo ),0[ , entonces 21 f f en dicho

intervaloEjemplo 1: Evalúe

5

1 s

1-L ,

para dar solución hay que coincidir la ecuación a la forma

1

!n

n

sn

t 1-L ,

donde se determina que 4n , para después multiplicar y dividir la ecuación por

!4 , resolviendo la ecuación de la siguiente manera.

t s s 24

1!4!4

1155

1-1- LL

t s 24

115 1-L

Ejemplo 2: Evalúe

641

2 s1-L

Solución: como 642k , utilizando

22 k sk

senkt 1-L

se divide la expresión y se multiplica por 8, quedando resulta de la siguienteforma:

648

81

641

22 s s1-1- LL


83/93

80

t sen s

881

64

12

1-L


Realizar una investigación documental respecto a la transformada directa einversa de Laplace para reforzar los conocimientos obtenidos de clase y podersolucionar ecuaciones diferenciales a través de este método. _Debido a que laTransformada de Laplace se define en términos de una integral impropia quepuede ser divergente, el estudiante tiene que conocer a través de esta

investigación las condiciones necesarias para la existencia de la transformadade Laplace, las condiciones que puede investigar son la de la transformada deLa place en funciones continuas a trozos, en funciones de orden exponencial,funciones acotadas, además, debe investigar el teorema de la existencia de latransformada de Laplace y su linealidad.

4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Con condiciones iniciales, la transformada de Laplace reduce un sistema deecuaciones diferenciales a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneaspara las funciones transformadas.Ejemplo: Resolver

2

2

t y x

t y y x

sujetas a 0)0(,1)0( y x .

Solución: Si )}({)( t x s X L y )}({)( t y sY L , entonces después de

transformar cada ecuación se obtiene:

2

1)()0()()]0()([2

s sY y s sY x s sX


84/93

81

3

2)0()()0()(

s y s sY x s sX

es decir

2

12)()1()(2

s sY s s sX

3

21)()(

s s sY s sX

Al multiplicar por 2 la segunda ecuación y restar se obtiene

32

41)()1(

s s sY s

es decir

)1(

4)( 3 s s

s sY

que al desarrollarlo en fracciones parciales da

15455

)(32 s s s s

sY

aplicando transformadas inversas la ecuación se transforma en

11

5!2

51

51

5)( 32 s s s sr y

1-1-1-1- LLLL

t et t r y 5255)( 2 De acuerdo a la ecuación

3

21)()(

s s sY s sX

4

21)()(

s s sY s X

en consecuencia

4

!3!3

21)}({)( s s sY t x

1-1-1-

LLL

t et t t t x 531

254)( 32

se concluye que la solución del sistema


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82

2

2

t y x

t y y x

es

t

et t t t x

531

254)( 32

t et t t y 5255)( 2


Realizar una investigación documental donde se utilicen soluciones de

ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace, con dichainvestigación el alumno deberá presentar el algoritmo en forma de diagrama deflujo donde se especifica los pasos ordenados para hallar la solución de lossistemas de ecuaciones.


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83

AUTOEVALUACIÓN

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando la transformada de

Laplace para determinar )}({ t f L

.

1. ot t f ,1)(

2. }{ at eL

3. kt senht f )(

4. kt t f cos)(

5. t sent f 2)(


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84


Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando la Transformada de

Laplace para determinar )}({ t f L

.

1. ot t f ,1)(

Respuesta:

dt e st

0

}1{L

0,1

}1{ s s

L

2. }{ at eL

Respuesta:

0 0)()(}{

M t a s

M

at st at dt elímdt eeeL

a se

líma s

elím

M a s

M

M

o

t a s s

M

11)(

)()(

|

a se at 1}{L

3. kt senht f )(

Respuesta

22 k sk

senkt 1-L

4. kt t f cos)(

Respuesta:

22cos k s s

kt 1-L


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5. t sent f 2)(

Respuesta:

dt et sen

st

0

}2{L

tdt e s s

t senet sen

st st

2cos22

}2{00

L

0,2cos2

}2{0

stdt e s

t sen st

L


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BIBLIOGRAFIA

Blanchard, Paul, Ecuaciones Diferenciales , México, Thomson, 1999.

Braun, Martín, Ecuaciones Diferenciales y sus aplicaciones , México,Iberoaméricana, 2000.

Rainville, Earl D., Ecuaciones diferenciales elementales , México, Pearson,2000.

Richard, Bronson, Ecuaciones diferenciales , México, McGraw-Hill, 2008

Simmons, George, Ecuaciones diferenciales teoría y práctica , México,McGrawHill, 2007.

Spiegel, Murray R.,Ecuaciones diferenciales , México, Prentice Hall, 2000.

Zill, Dennis G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones , México,Iberoamérica, 2001.


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87

GLOSARIO

ÁLGEBRA : Parte de las matemáticas que se dedica en sus aspectos máselementales a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

ARITMÉTICA : Parte de la matemática que se ocupa del estudio elemental delos números, de las relaciones entre ellos y de las técnicas de realización deoperaciones básicas como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación,radicación y logaritmos.

BASE : Se llama base de una potencia al factor que se repite tantas veces comolo indica el exponente.

COEFICIENTE : Es el número que va situado a la izquierda de una letra o literal.Si el coeficiente es la unidad, se omite.

CONSTANTE : Valor de tipo permanente

DERIVADA : La derivada de una función es la representación de un valor sobrela pendiente de la recta tangente que cambia su valor.

ECUACIÓN : Igualdad entre dos expresiones algebraicas.

EXPONENTE : Un exponente es un número que indica cuántas veces debeusarse la base como factor.

FACTORIZACIÓN : Es la transformación de una expresión algebraica racionalentera en el producto de sus factores racionales y enteros primos entre sí.


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FUNCIÓN : Usada en matemáticas para modelar situaciones de la dependenciade una variable sobre otra.

IGUALDAD : Expresión que se obtiene de igualar dos cantidades que tienen elmismo valor.

INTEGRACIÓN : Es la suma de infinitos sumados, infinitamente pequeños.

INTERVALO : Conjunto de números reales comprendidos entre otros dosnúmeros reales.

LIMITE : Tendencia de una sucesión o función al acercase a un valor.

LOGARITMO : Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al quehay que elevar la base para obtener dicho número.

NÚMERO DECIMAL : Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimalque se obtiene al dividir el numerador entre el denominador.

NÚMERO NATURAL : Denota una cantidad entera y positiva de una especie. Elconjunto de los naturales se denomina N, excluye al cero y se expresa: N= {1,2, 3, 4, ...}

NÚMERO RACIONAL : Comprende las cantidades numéricas expresables enforma de fracción. El conjunto de los números racionales se denota por Q eincluye a los números enteros y naturales.

NÚMEROS PRIMOS : Son aquellos números que solo son divisibles por símismos y por la unidad, es decir estos números solamente presentan dosdivisores. También son llamados "números primos absolutos" (1, 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29, 31, etc.).


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POTENCIA : Representación de un producto de factores iguales entre sí.

RELACION : Conjunto de pares ordenados.

SISTEMA DE ECUACIONES : Conjunto de ecuaciones que presentansoluciones comunes.

TRANSFORMACIONES : Cambios de escala con el propósito de conseguirlinealidad, normalidad en los datos

VALOR ABSOLUTO: Siendo x un número real cualquiera, se llama valor

absoluto de x y se representa por | x | al número real que verifica las siguientescondiciones: | x |=x; sí y solo sí x>0 ó x=0; | x |=-x; sí y solo sí x


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90

Lambda Mi

Ni Xi

Ómicron Pi Ro

Sigma Tau Ípsilon

Fi

Ji

Psi

Omega

Documents

Introduccion a Las Ecuaciones Diferenciales ERES-Ccesa007