INTRODUCCION A LAS ESTRUCTURAS INDETERMINADAS

TEMA I

INTRODUCCION A LAS ESTRUCTURAS INDETERMINADAS

Inicialmente se debe identificar cuando es una estructura indeterminada.

Las estructuras rgidas se componen de miembros rectos conectados por medio de conexiones rgidas (que resisten los momentos), o bien, por conexiones articuladas, para formar configuraciones estables. Por lo general, los miembros de las estructuras se conectan por uniones rgidas, aun cuando a veces se usan las conexiones articuladas.

Una unin rgida impide las traslaciones y rotaciones relativas de lo miembros conectados a ellas, de modo que la unin es capaz de transmitir dos componentes rectangulares de fuerza y un par entre los miembros conectados.

En general, bajo la accin de cargas externos, los miembros de una estructura pueden quedar sujetos a momento flexionante, fuerza, cortante y tensin o compresin axiales.

Se considera que una estructura es estticamente determinada, si los momentos flexionantes, las fuerzas cortantes y las fuerzas axiales, en todos sus miembros, asi como las reacciones externas, se pueden determinar mediante las aplicaciones de las ecuaciones d equilibrio y de condicin.

Fx=0 ; Fy=0 ; M=0.

Se considera una estructura internamente estable o rgida, si mantiene su forma y sigue siendo un cuerpo rgido cuando se separa de los apoyos. De manera inversa, una estructura de denomina inestable (o no rgida), sino pede conservar su forma y puede sufrir grandes desplazamientos bajo pequeas perturbaciones cuando no esta apoyada desde el exterior.Para una estructura, si el nmero de incgnitas es igual al nmero de ecuaciones, es decir:

6m + r = 3 (m + j) + ec ( 1)

Siendo:

. m = N de miembros.

. r = N de reacciones.

. j = N de juntas.

. ec= ecuaciones de condicin.

O bien:

6m + r = 3m + 3j + ec

Despejando se tiene:

3m + r= 3j + ec

Entonces se pueden determinar todas las incgnitas al resolver las ecuaciones de equilibrio y las de condicin y la estructura es estticamente determinada.

Para una estructura, si el nmero de incgnitas es menor que el nmero de ecuaciones disponibles; esto es:

3m + r < 3j + ec

Se dice que esa estructura es estticamente inestable.

Si una estructura tiene ms incgnitas que ecuaciones de las que dispone; es decir,

3m + r > 3j +ec

No se pueden determinar todas las incgnitas mediante la resolucin de las ecuaciones disponibles, (ecuaciones de equilibrio) y se dice que la estructura es estticamente indeterminada.

Las estructuras estticamente indeterminadas tienen ms miembros o reacciones externas, o ms de ambos, que las mnimas requeridas por la estabilidad.

Se dice que los miembros y reacciones en exceso son redundantes y el nmero de miembros y reacciones en exceso se menciona como grado de indeterminacin esttica, i, el cual se puede expresar como:

.- i = (3m + r) (3j + ec)

Las condiciones para la inestabilidad, la determinacin y la indeterminacin de las estructuras se pueden resumir como lo siguiente:a. 3m + r < 3j + ec 3m + r 3j ec < 0 estticamente inestableb. 3m + r = 3j + ec 3m + r 3j ec = 0 estticamente determinadoc. 3m + r > 3j + ec 3m + r 3j ec > 0 estticamente indeterminadoEs decir;

.- i < 0, inestable.

.- i= 0 , determinado.

.- i> 0 , indeterminado

En la aplicacin de las ecuaciones (a, b, c); los extremos de la estructura sujetos a los apoyos, asi como cualquier extremo libre; se tratan como (nodos) juntas. Las condiciones para la determinacin e indeterminacin estticos, como lo expresaron las ecuaciones (a,b,c), son necesarios, pero no suficientes.

Para que estos criterios en relacin con la determinacin e indeterminacin estticos sean validos, la disposicin de los miembros, las reacciones en los apoyos, y las articulaciones y rodillos internos (si los hay), debe ser tal que la estructura seguir siendo geomtricamente estable bajo un sistema general de cargas coplanares.

Recordemos que las ecuaciones de condiciones que se generan en una articulacin interna proporcionan una ecuacin de condicin y que un rodillo interno da lugar a dos de esas ecuaciones.Cuando varios de los miembros de una estructura se conectan en un nodo anticuado, el nmero de ecuaciones de condicin en este ltimo es igual al nmero de miembros que se encuentran en el menos uno.

Como ya se ha dicho anteriormente las estructuras indeterminadas tienen mas reacciones en los apoyos o miembros, o ambas cosas, que los requeridos por la estabilidad esttica, las ecuaciones de equilibrio por si solas no son suficientes para la determinacin de las reacciones y las fuerzas internas de esas estructuras y deben complementarse por medio de relaciones basadas en la configuracin geomtrica de la deformacin de las estructuras.

Estas relaciones adicionales, que se denominan condiciones de compatibilidad, garantizan que se mantenga la continuidad de los desplazamientos de uno u otro lado de la estructura y que las diversas partes de esta se ajustan entre si. Por ejemplo: En un Nodo o junta rgida, las deflexiones y las rotaciones de todos los miembros que se unen en este nodo deben ser las mismas. Por lo tanto el anlisis de una estructura indeterminado comprende, adems de las dimensiones y la disposicin de los miembros de la estructura, sus propiedades y de los materiales (como las reas de las secciones transversales, los momentos de inercia, los mdulos de elasticidad, etc); las cuales a su vez, dependen de las fuerzas internas de la estructura. Por lo tanto, el diseo de una estructura estticamente indeterminada, se lleva a cabo de manera iterativa, con la cual inicialmente se suponen el tamao (relativos) de los miembros estructurales y se usan para revisar el tamao de los miembros; si el tamao revisado de estos no estn cercanos a los que se supusieron en un principio, entonces se vuelve a analizar la estructura usando el tamao mas reciente de esos miembros, se continua la iteracin hasta que el tamao de los miembros basado en los resultados de un anlisis son cercanos a los supuestos para este anlisis. Anlisis de las Estructuras Indeterminadas:

Relaciones fundamentales:

Sin importar si una estructura es estticamente determinada o indeterminada, su anlisis completo requiere el uso de tres tipos de relaciones:

.- Ecuaciones de Equilibrio.

.- Condiciones de Compatibilidad.

.- Relaciones de fuerza. Deformacin de los miembros.

.- Las ecuaciones de equilibrio relacionan las fuerzas que actan sobre la estructura o sus partes), garantizando que la estructura completa as como sus partes permanezcan en equilibrio..- Las ecuaciones de compatibilidad relacionan los desplazamientos de la estructura de modo que sus diversas partes se ajustan entre si.

.- Las relaciones de fuerza - deformacin en los miembros, las cuales comprenden las propiedades de los materiales y de las secciones transversales (E, I y A) de los miembros, proporcionan el enlace necesario entre las fuerzas y los desplazamientos de la estructura.

En el anlisis de las estructuras estticamente indeterminadas, las ecuaciones de equilibrio por si solas no son suficientes para la determinacin de las reacciones y las fuerzas internas. Por lo tanto, se vuelve necesario resolver las ecuaciones de equilibrio en conjuncin con las de condiciones de compatibilidad de la estructura, para determinar su repuesta. En virtud de que las ecuaciones contienen las fuerzas desconocidas, en tanto que las condiciones de compatibilidad comprenden los desplazamientos como incgnitas, se utilizan las relaciones fuerza- deformacin de los miembros para expresar las fuerzas desconocidas en trminos de los desplazamientos desconocidos o viceversa.

Entonces se resuelve el sistema resultante de ecuaciones, que solo contiene un tipo de incgnitas, para las fuerzas o desplazamientos desconocidos, los cuales entonces se sustituyen en las relaciones fundamentes para determinar las caractersticas restantes de respuestas de la estructura.Mtodos de anlisis

Desde mediados del siglo XIX, se han desarrollado muchos mtodos para analizar las estructuras estticamente indeterminadas. Estos mtodos se pueden clasificar en trminos generales en dos categoras, a saber:

Los mtodos de las fuerzas (flexibilidad).

Los mtodos de los desplazamientos (rigidez).

Dependiendo del tipo de incgnitas (fuerza o desplazamiento, respectivamente) que intervengan en la solucin de las ecuaciones que rigen.