Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL MATRICES 1.Definicin de matrices: Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros dispuestosen filasy columnas encerrados entre corchetes o parntesis. |||||.|

\|mn m mijnna a aaa a aa a a 2 12 22 211 12 11 donde cada ijacon n i , 1 = ,n j , 1 = son nmeros que se denomina elementoo componente de una matriz. Ejemplo: ||.|

\|=6 5 43 2 1A|||.|

\|=t31B |||.|

\|=1 4 12 56 454 7 0C 2. Orden de una matriz: El orden de una matriz est dado por el producto expresado del nmero de filas por el nmero de columnas. Ejemplo: 3 26 5 43 2 1||.|

\|= A1 331|||.|

\|=tB 3 31 4 12 56 454 7 0|||.|

\|= C Nota: Sea( )n mija A= matriz A de ordenn m

ija elemento que se encuentra en la fila i y la columna j Filas: m Columnas: n Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz |||||.|

\|0 . . . 0 0 0. . . . . . .. . . . . . .0 . . . 0 0 03. Matriz Fila:Sea ( )nija A=1 matriz fila | |na a a A1 12 11 = 4. Matriz Columna:( )1 =nijb Bmatriz columna |||||.|

\|=12111nbbbB 5. Matrices Especiales:

a)Matriz Cuadrada: Es aquella matriz cuyo nmero de filas es igual al nmero decolumnas. Ejemplo:

|||.|

\| =9 7 02 4 54 2 1A|||||.|

\|=16 15 14 1312 11 10 98 7 6 54 3 2 1B - Donde la diagonal principal est formado por los elementos a11, a12, .. , anm - La suma de estos elementos se conoce con el nombre de traza de la matriz Sea( )n nijb B= , luego nnb b b b B traz + + + + = .... ) (33 22 11 b)Matriz Nula: Es aquella matriz que todos sus elementos son ceros. Ejemplo:

O = c)Matriz triangular superior: Es aquella matriz cuadrada cuyos elementos 0 =ija , j i > . Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz Ejemplo: ||||||.|

\|=nnnnnaa aa a aa a a aA0 0 0 0... 0 0... 0...3 332 23 221 13 12 11

d)Matriz triangular inferior:Llamaremos matriz triangular inferioraaquella matriz cuyos elementos ija son ceros para j i +=j i j ij i j iaij;; d)( )6 7=ija A donde < > +=j i j ij i j i iaij;; /4 33 2.- Un carpintero fabricasillas y mesas, que debenpasar por un procesode armadoy acabado. Los tiempos necesarios para estos procesos estn dados Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz en horas por la matriz. 4 22 3. .MesaSillaAcabado P Armado P El carpintero tienedos plantasuna en Chimbote y la otra en Chiclayo el costo por cada proceso esta dado en solespor la matriz. 4 22 3Acabado PArmado PChiclayo ChimboteQu indica el productode matrices AB? Como lo interpreta. 3.- Un fabricanteelaboraproductos P, Q y R en tres plantas X, Y, Z. Durantela fabricacin se producenlos contaminantes bixidos de azufre, xido ntrico y partculas suspendidas. Las cantidades de cada contaminanteestn dado enkilogramospor la matriz: A =4 2 4 Pr5 3 2 Pr1 5 3 PrR oductoQ oductoP oductoPartculasntricoxidoazufre deBixido Los reglamentos estatales y regionalesexigen la eliminacin de estos contaminantes. El costo diario por deshacersede cada kilogramo de contaminante esta dado en solespor la matriz, B =40 20 4050 30 2010 50 30Partculasntrico xidoazufre de Bixidoz Planta y Planta X Planta Cul es la interpretacin del productode matrices AB? Tiene sentido para el fabricanteel producto de BA? 4.Un proyecto de investigacinnutricionalcomprende nios y adultos de ambos sexos. La composicinde los participantesesta dada por la matriz.A =200 60100 50MujeresHombresNios Adultos El nmero de gramosde protenas, grasa y carbohidratosque consume cada nioesta dado por la matriz. Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz B= 40 30 1030 20 20PrNiosAdultostos Carbohidra Grasas otenas

a) Cuntos gramos de protenas ingieren diariamentetodos los hombresdel proyecto? b) Cuntosgramos de grasaconsumen diariamentetodas las mujeres? 5.Una empresa de fotografa tiene una tienda en cada una de las siguientes ciudades Trujillo, Chimbote y Chiclayo. Cierta marca de cmarasesta disponible en los modelos automtica,semiautomticos y manual. Adems cada una tieneuna unidad de flashcorrespondientela cual se vende por lo generaljunto con la cmara. Los precios de ventasde las cmaras y de las unidadesde flash estn dadosen solespor la matriz:A =40 50 100200 250 300ash UnidaddeFlCamaraManual tica Semiautom Automtica,el nmero de equipos, cmara y unidad de flash disponible en cada tiendaesta dado por la matriz: B = 350 250 100100 250 30050 150 200Manualtico SemiautomAutomticoChiclayo Chimbote Trujillo Determinar la matriz que proporcione los costos totales. 1.Mediante igualdad de matrices encontrar las incgnitas, justifique si es posible la proposicin: ||.|

\|=||.|

\|+24y xy x ||.|

\|=||.|

\|+25 320 9) 1 ( 3422a zy x ||.|

\|+=||.|

\|++0 22 31 13 2bayx |||.|

\| =|||.|

\| +5 7 66 2 8 32 56 4 32 58 3 2pb drcb ay x Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz ||||.|

\| =|||.|

\| ++ ++ q dp rb ay c xx y xc y x81 1062 44 3 22 422 ||.|

\|+=||.|

\|+210 2 100 10844eab eb ayx 2.Dadas las matrices ;2 1 01 1 10 1 3;2 1 43 2 01 3 1;1 3 11 2 38 4 2|||.|

\| =|||.|

\| =|||.|

\| = C B A|||.|

\|=1 2 22 1 22 2 1D . Determinar: C B A 2 + + D B A 3 + B A2A D2 A B 2 t tC B A + A I D 2 42+ ( ) I D Btt t+ B A. C B. ( ) D B A . . ( )tB A( ) C B B At. + ( ) ( )tC D A + t tA AX si A X = + ) ( Determinante de una matriz Definicin: Determinante de una matrizA denotada porA A = ) det( . Si ||.|

\|=22 2112 11a aa aA ; entonces 12 21 22 11. . ) det( a a a a A =Ejemplo: 1.5 2 3 ) 1 ( 2 ) 3 ( 1 ) det(3 12 1= + = = ||.|

\|= A A2.39 54 15 ) 6 )( 9 ( ) 3 )( 5 ( ) det(3 69 5= + = = ||.|

\|= B BMENOR COMPLEMENTARIO Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz Definicin: Llamaremos menor complemento" "ijMde un elemento de una matriz A de tercer orden al determinante de una matriz cuadrada de segundo orden que se obtiene despus de eliminar la filaiy la columnaj ; ) (ijM . El menor complementario de ijase denota por ijM . Ejemplo: ( )|||.|

\|= =33 32 3123 22 2113 12 113 3a a aa a aa a aa Aij

el menor complementario de: 11aes ||.|

\|=33 3223 2211a aa aM21aes ||.|

\|=33 3213 1221a aa aM COFACTOR DE UN ELEMENTO Seaijaun elementode una matrizA denotaremos cofactor ijAy se define como: ( )ijj iijM A+ = 1Sea |||.|

\|=33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aAentonces( )( )( )13 133 11312 122 11211 111 111111M M AM M AM M A= = = == =+++ Entonces 13 13 12 12 11 11M a M a M a A + =Ejemplo: 1.105 , 03 . 21 ) det(5 0 03 2 10 0 1= = |||.|

\|= A A Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz 2.( ) ( ) ( ) ) 0 ( 3 ) 2 )( 2 ( 3 ) 0 ( 4 ) 1 )( 2 ( 5 ) 2 )( 4 ( ) 1 ( 3 2 ) det(1 2 04 3 23 5 2 + = |||.|

\| = B B Por lo tanto44 12 10 ) 11 ( 2 ) det( = + + = B Propiedades: 1.Si se intercambian una fila por una columna en su determinante su valor no se altera. Es decir: 3 3 32 2 21 1 13 2 13 2 13 2 1c b ac b ac b ac c cb b ba a a=2.Si todos sus elementos de una fila o columna son ceros el determinante es cero. 3.Siseintercambiandosfilasodoscolumnascontinuaseldeterminantecambiade signo. Es decir: 3 2 13 2 13 2 13 2 13 2 13 2 1c c ca a ab b bc c cb b ba a a=4.Si un determinante tiene dos filas dos columnas iguales o proporcionales su valor es cero. Es decir:03 2 13 2 13 2 1=c c cka ka kaa a a 5.Todos los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplica por un nmero el valor del determinante queda multiplicado por el nmero. Es decir: 3 2 13 2 13 2 13 2 13 2 13 2 13 2 13 2 13 2 1c c cb b ba a akc c ckb kb kba a ac c kcb b kba a ka= =6.Si todos los elementos de una fila o columna son expresados como la suma de dos o msnmeros,eldeterminantepuedeexpresarsecomolasumadedosoms determinantes. Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz Es decir: 3 23 23 23 2 13 2 13 2 13 2 13 2 13 2 1c c zb b ya a xc c cb b ba a ac c z cb b y ba a x a+ =+++ 7.Si a cada uno de los elementos de una fila o columna se le multiplica por m y a este resultado se le suma otra fila o columna el valor del determinante no se altera. Es decir:3 2 2 13 2 2 13 2 2 13 2 13 2 13 2 1c c mc cb b mb ba a ma ac c cb b ba a a+++= MATRIZ DE COFACTORES Sealamatriz |||.|

\|=33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aA entoncesllamamosmatrizdecofactoresdela matrizA a la matriz |||.|

\|=33 32 3123 22 2113 12 11A A AA A AA A ACA ;donde( )ijj iijM A+ = 1 Ejemplo: |||.|

\| = |||.|

\|=4 14 2214 22 422 4 143 1 51 5 35 3 1CA A MATRIZ ADJUNTA Sellamaasalamatriztranspuestadelamatrizdecofactoresysedenotapor tCA A adj = ) ( ,|||.|

\|= =33 23 1332 22 1231 21 11) (A A AA A AA A ACA A adjt Ejemplo: |||.|

\| = |||.|

\| = |||.|

\|=3 6 36 12 63 6 3) (3 6 36 12 63 6 39 8 76 5 43 2 1A adj CA A Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz MATRIZ INVERSA Supongamos la matriz cuadradaA tiene0 ) det( = A , entonces la inversa de la matrizA denotada por 1 Aes:ACAA adjAAt= =) (11 Ejemplo:9 ) 10 12 ( 3 ) 12 4 ( 2 ) 13 (1 3 26 5 43 2 1= + = |||.|

\|= A A|||.|

\| = |||.|

\| =3 1 26 5 83 7 13) (3 6 31 5 72 8 13A adj CA|||.|

\| =3 1 26 5 83 7 13911AVerificando tenemos: |||.|

\|=|||.|

\| |||.|

\|=1 0 00 1 00 0 13 1 26 5 83 7 13.1 3 26 5 43 2 1911AAUna matriz cuadrada tiene inversa si y slo si es una matriz no singular en este caso se dice que es una matriz invertible. Propiedades: 1.( )1 1 1 = A B AB2.( ) A A =11 3.( ) IR A A e = 1 1 1 4. 1) (=nA A adjDondenes el orden de la matrizA RANGO DE UNA MATRIZ: Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz SellamarangodeunamatrizAdeordennxn,alordendelamatrizcuadradamas grande contenida en Acuyo determinante es diferente de ceroy se denota r(A) = rango de A.Debemos resaltar que el r(A) min{m,n} donde la matriz A en de orden de mxn. Paradeterminarelrangodeunamatrizsedebedetenerenconsideracinqueal determinarlas matrices cuadradases suficiente que una de ellas tenga su determinante diferente de cero.Ejemplo: Hallar el rango de la siguiente matriz: |||||.|

\|=9 8 08 7 66 5 04 2 1ASolucinComo la matriz es de orden 4x3, esto quiere decir que r(A) min{4,3} en otras palabras r(A) 3 Determinamos las matrices de 3x3: |||.|

\|8 7 66 5 04 2 1;|||.|

\|9 8 06 5 04 2 1;|||.|

\|9 8 08 7 66 5 0;|||.|

\|9 8 08 7 64 2 1 Como no existen ms matrices de orden de 3x3cuyos determinantessean cerosesto quiere decir que el ordende la matriz dada es 3. Siencasoquesusdeterminantesfuerancerosentoncesseprosigueadeterminarlos determinantes de orden 2x2.Observacin: - Toda matriz nula tiene como rango cero, -SiunamatrizAesdeordenmxnnonulaentoncessurangoesmayorqueceroy menor igualquemin{m,n} - Si la matriz es de orden nxnsu rango es mayor que cero y menor o igual a n; -Silamatrizesnonuladeordennxn,entoncesexistesuinversasisolosisu determinante es diferente cero , en este caso se dice que la matriz es no singular. -Delaafirmacinanteriortambinsedicequeunamatrizcuadradadeordennxntiene inversa si y solo si r(A) =n. Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz - Supongamos dos matrices A y B y que existaAB, entonces r(AB) min{r(A), r(B)}; OPERACIONES O TRANSFORMACIONES ELEMENTALESSonoperacionesconmatricesquenoalteransuordennisurango,existiendo operaciones elementales por fila o por columnas. 1.La permutacinde una fila por una columna se denota por Hij, 2.El producto de todos los elementos de la fila i por un escalar a distinto de cerose representa por Hi(a); 3.Elproductodetodosloselementosdeunacolumnajporunescalarbse denota por Kj(b); 4.LasumadeloselementosdelafilaIconloscorrespondienteselementosdela fila jmultiplicados por un escalark es representado por Hij(k); Ejercicios 3.Demostrar: a) Mostrar: si |||.|

\|=1 0 01 1 01 1 1AEntonces |||||.|

\| +=1 0 01 02) 1 (`1nnnAn b) Mostrar||.|

\|=||.|

\|nn nnana aaa0011 c) Si |||.|

\|+++=|||.|

\||||.|

\|a cc bb azyxcba0 00 00 0; calcular ) 1 )( 1 )( 1 ( z y x 4.Hallar la inversa de las siguientes matrices; si esta existe |||.|

\|=8 5 34 3 21 1 1A|||.|

\|=1 1 00 0 11 1 1B|||.|

\| +=35 20 1x bab aC Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz |||||.|

\|=6 3 2 13 2 1 11 5 4 01 0 2 3A |||||.|

\|=1 1 1 12 1 2 34 3 2 14 3 2 1B |||||.|

\| =10 3 17 74 0 12 53 5 5 31 1 2 1C |||||.|

\| =1 0 0 02 1 0 07 2 1 038 11 3 1A||||||.|

\|=1 0 0 0 02 1 0 0 03 2 1 0 04 3 2 1 05 4 3 2 1A||||||.|

\|=1 0 0 0 02 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 1 00 0 1 2 1A |||||.|

\|=1 2 3 40 1 2 30 0 1 20 0 0 1A|||||.|

\|=4 0 0 10 1 0 00 0 1 00 0 0 4A |||||.|

\|=2 2 3 40 2 2 30 0 2 20 0 0 2A

5.Hallar el rango de: |||.|

\|=3 3 11 2 14 3 2A|||.|

\|=5 2 1 22 1 2 33 4 3 1A |||.|

\|=1 1 43 1 03 2 1A |||||.|

\|=1 1 1 11 1 8 61 2 3 24 3 2 1A||||||.|

\|=1 2 1 1 12 3 1 2 16 3 1 0 05 2 0 1 04 1 0 0 1A|||.|

\| =1 0 1 32 1 0 25 4 1 2A |||||.|

\|=1 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 1A |||.|

\|=1 1 12 2 15 4 3A||||||.|

\| =2 2 3 88 2 2 12 4 2 54 2 3 42 1 1 2A||||||.|

\| =1 2 3 88 2 1 12 3 2 54 2 2 42 1 1 2A Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz 12.Se tiene una matrizcuadradade orden n donde,j i si 1; - nj i ; 1== siaij; que valor debe tomar npara que su rangosea igual a su orden. 13.Determinar apara que el rango de la matriz A seamenor que 4 (((((

=a aa aa aa aA1 00 11 00 1 . SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definicin: Llamaremos sistema de ecuaciones lineales al conjunto de ecuaciones con dos o ms incgnitas (variables) de tal manera que se verifiquen simultneamente para ciertos criterios asignados a sus incgnitas. Ejemplo: 1. 24= = +y xy x;esunsistemadedosecuacionesy2incgnitasqueseverifican simultneamentepara1 ; 3 = = y x . 2. 4 364 2= = + += + +y xz y xz y x;esunsistemade3ecuacionesy3incgnitasqueseverifican simultneamente para2 ; 2 ; 2 = = = z y x3.En general podemos considerar:2 22 211 12 11b y a x ab y a x a= += +; unsistemade2ecuacionesy2incgnitasqueseverificansimultneamente para un nmero real determinado dey x, . 4.En general se pueden considerar m ecuaciones y n incgnitas. Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz SOLUCIN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES Si existe la solucin de un sistema de ecuaciones esto depende del nmero de incgnitas o variables; esto es: a)Si el sistema tiene dos ecuaciones, la solucin si existe tendr dos incgnitas; es decir) , ( y xy se llamar par ordenado. b)Sielsistematiene3ecuacioneslasolucintendrtresincgnitas;esdecir ) , , ( z y x y se llamar triada o terna. c)Sielsistematienenecuacioneslasolucintendrnincgnitas;esdecir ) , ... , , (2 1 nx x xy se llamar n-ada. Definicin:Llamaremos conjunto solucin( ) S C.al conjunto de valores formado por todas las soluciones del sistema. } , ... , , , { .3 2 1 nx x x x S C =Ejemplos: 1. 24= = +y xy x; entonces1 , 3 = = y xes solucin nica Forma grfica. 2.Sea 16 4 44= + = +y xy x;estasdosecuacionessonequivalentespuesunaecuacin depende de la otra. Lasolucinesy x = 4 ;esdecir) , 4 ( y y esunasolucindelsistemapara cualquiervalordey real.Enotraspalabraselsistematieneinfinitassoluciones por decir:.... ) 4 , 0 ( ) 3 , 1 ( ) 2 , 2 ( ) 1 , 3 ( ) 0 , 4 ( 4 = + y x2 = y x Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz Forma grfica. 3.Seaelsistema: 20 4 44= + = +y xy x;elsistemanotienesolucinpueslaprimerafila contradice a la segunda; es decir es un sistema inconsistente o incompatible. Forma grfica. SISTEMA DE m ECUACIONES LINEALES CON n INCOGNITAS Debemos resaltar que muchos problemas prcticosy reales se reducenaun sistema de ecuacionesdeestetipo,paraverestosepuederecurriracualquierdocumentode investigacindeoperaciones.Pordecir:ProblemadeDietas,Problemasdemanode obra,Problemadeinversin,problemadefabricarproductos,problemadetransporte, etc. En general este sistema ser representado por: Infinitas soluciones 16 4 44= + = +y xy x 20 4 4 = + y x 4 = + y x Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz ) 1 (3 3 2 2 1 13 3 2 2 1 12 2 2 3 23 2 22 1 211 1 1 3 13 2 12 1 11m n mn j mj m m mi n in j ij i i in n j jn n j jb x a x a x a x a x ab x a x a x a x a x ab x a x a x a x a x ab x a x a x a x a x a= + + + + + += + + + + + += + + + + + += + + + + + + Donde:n j m i IR b IR ai ij,..., 2 , 1 ,..., 2 , 1 ; = = e e ;el sistema (1) se puede escribir: m i b x a b x ainjj ij injj ijmi,..., 2 , 1 ;1 1 1= = = = = = FORMA MATRICIAL El sistema (1) se puede escribir: ) 2 (... ...... ...... ...... ...21213 2 13 2 12 2 23 22 211 1 13 12 11(((((((((

=(((((((((

(((((((((

mimimn mj m m min ij i i in jn jbbbbxxxxa a a a aa a a a aa a a a aa a a a a Es decir: b Ax =Donde: ( )n mn mijIR a A e = ; es llamada matriz de coeficientes. ( )nnjIR x x e =111; es llamado vector de variables, entidades, incgnitas. ( )111 e =mmiIR b b ;esllamadovectorindependiente,bienesy requerimientos. Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONES -Resolver) 2 ( ) 1 ( consisteendeterminarlosvectoresx quecumplanlos requerimientos. -Si0 =ib paratodom i ,..., 2 , 1 = ,elsistema) 2 ( ) 1 ( sellamahomogneoysi 0 =ibel sistema es no homogneo. -Supongamos que es definida la siguiente matriz llamada aumentada del sistemaAa; formada por la matriz de coeficientesA y adjuntando el vector independienteb ; as: | | | |i ijmimn mj m m min ij i i in jn jb abbbba a a a aa a a a aa a a a aa a a a ab A Aa (((((((((

= = 213 2 13 2 12 2 23 22 211 1 13 12 11... ...... ...... ...... ... -Si el rango de la matriz de coeficientesA y de la matriz aumentadaAa son iguales entonceselsistema(1)esconsistente;esdecirtienesolucin.Enotraspalabras ) ( ) ( Aa r A r =caso contrario el sistema es inconsistente esto es) ( ) ( Aa r A r =no tiene solucin. -Sielsistemaesconsistenteyocurrirquen Aa r A r = = ) ( ) ( entonceselsistema tiene solucin nica. -Si el sistema es consistente y ocurre quen k Aa r A r < = = ) ( ) (entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz Grficamente: Ejemplos: 1. a)Dado el sistema:20 10 512 8 4= += +y xy x 1 ) (0 02 110 58 4= ||.|

\|~||.|

\|= A r A 2 ) (530 02 1201210 58 4= ||.|

\|~||.|

\|= Aa r A Como) ( ) ( Aa r A r = ,entonceselsistemaesinconsistente;esdecirnotiene solucin. b)Si el sistema fuerahomogneo es decir 0 10 50 8 4= += +y xy x 1 ) ( ) ( = = Aa r A r ,esdecir:2 ) ( = < n A r enestecasoexisteunnmero infinito de soluciones. AX=B Si r(A) r(Aa) Inconsistente no hay solucin Si r(A) = r(Aa) = k, Consistenteexiste solucin Si K = n la solucin es nica Si k< n;infinitas soluciones Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz 2.Dado el sistema de ecuaciones: 5 214 5 3= = +y xy x 2 ) (3 / 13 03 / 5 11 25 3= ||.|

\|||.|

\|= A r A2 ) (13 / 141 03 / 5 13 / 133 / 143 / 13 03 / 5 15141 25 3= ||.|

\|||.|

\| ||.|

\|= Aa r AaEntonces el sistema tiene una nica solucin} 1 , 3 { . = S C Ejercicios Desarrollar los siguientes sistemas de ecuaciones por los mtodosanalizados en clase. 1. 13 4 55 3 25 4 3 23 2 13 2 13 2 1= += + = +x x xx x xx x xRpta:2 / 9 , 7 / 30 , 14 / 13 2 1= = = x x x2. 1 2 34 3 263 2 13 2 13 2 1 = + + = += + x x xx x xx x xRpta:5 , 3 , 43 2 1= = = x x x3.9 2 378 3 23 2 13 2 13 2 1= += + + = + x x xx x xx x xRpta:2 , 4 , 13 2 1= = = x x x4. 19 3 24 2 2 3153 2 13 2 13 2 1= + = + = + +x x xx x xx x xRpta: inconsistente 5. 11 3 3 2 411 2 31 2 3 2104 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1= + += + + = + = + + +x x x xx x x xx x x xx x x x Rpta:4 , 3 , 2 , 14 3 2 1= = = = x x x x Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz 6. 2 2 3 2 20 4 2 32 2 3 3 2 37 2 2 295 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 1= + + = + = + + += + += + + + +x x x x xx x x x xx x x x xx x x x xx x x x x

Rpta:= = = = =5 4 3 2 1, , , , x x x x x7. 10 5 3 4 3 421 4 2 3 4 313 3 2 2 2 20 2 3 38 3 25 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 1 = = + + += + = + + + += + x x x x xx x x x xx x x x xx x x x xx x x x xRpta:3 ,2 , 2 , 1 , 154 3 2 1= = = = =xx x x x 8. 16 5 8 51 3 4 4 2 45 2 4 3 2 37 2 2 36 25 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 1 = + + = + + = + = + + = + +x x x x xx x x x xx x x x xx x x x xx x x x x Rpta: == = = =54 3 2 1,, , ,xx x x x 9.6 214 8 4 2 6 217 6 2 3 3 39 3 245 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 1= + + + = + + + = + += + + = + +x x x x xx x x x xx x x x xx x x x xx x x x x Rpta: 2 ,1 , 1 , 0 , 054 3 2 1= = = = =xx x x x 10. 0 2 3 2 212 2 3 4 38 6 2 438 3 2 44 3 2 14 3 2 15 4 3 25 4 3 2 15 3 2 1= + + = + = + + = + = +x x x xx x x xx x x xx x x x xx x x x Rpta: == = = =54 3 2 1,, , ,xx x x x 11. 4 2 256 4 3 29 5 34 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1 = + + = + = + + = + +x x x xx x x xx x x xx x x x

Rpta: == = = =54 3 2 1,, , ,xx x x x3 , 2 , 1 , 14 3 2 1 = = = = x x x x Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz 12. 7 26 2 337 2 5 24 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1= + + = + = = + +x x x xx x x xx x x xx x x x Rpta:2 , 2 , 1 , 04 3 2 1= = = = x x x x13. 3 38 5 42 2 214 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1 = + = + + = + + = + + x x x xx x x xx x x xx x x xRpta:0 , 1 , 1 , 14 3 2 1= = = = x x x x14. 3 4 31 219 4 30 24 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1= + = + += + + = + +x x x xx x x xx x x xx x x xRpta:1 , 6 , 1 , 24 3 2 1= = = = x x x x15.Un carpintero fabrica sillas, mesas para cafy mesas para comedor.Se necesitan 15 minutosparalijarunasilla,10parapintarla,y20parabarnizarla.Senecesitan12 minutospara lijaruna mesapara caf,se necesitan 25 minutos para lijar una mesa de comedor, 20 para pintar y 30 para barnizar. La mesa de lijadoesta disponible40 horasa la semanala mesa de pintura22 horasa la semanay la mesa de barnizado 50 horas Cuntasunidadesdecadamuebledebenfabricarseporsemanademodoquelas mesasde trabajose ocupenel tiempo disponible ?