Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 6, No. 1, March 2012116http://www.lajpe.org Introduccin al formalismo gauge con ligaduras en los casos clsico y cuntico Rafael Andrs Alema Berenguer1, 2 1Instituto Universitario de Fsica Aplicada a la Ciencia y a la Tecnologa. Universidad de Alicante (Espaa). 2Agrupacin Astronmica de Alicante (Divisin de Cosmomicrofsica), c/ Arzobispo Loaces, 12 - 4A, esc. dcha. Alicante 03003 (Espaa). E-mail: agrupacion.astroalicante@gmail.com (Recibido el 12 Enero de 2012; aceptado el 17 de Marzo de 2012) Resumen Las ecuaciones dinmicas obtenidas variacionalmente de un principio de accin estacionaria, junto con la imposicin deciertasligadurasalassimetrasgaugeasociadas,handemostradoserunodelosmtodosmspoderososenel tratamientoanalticodeextensasreasdelaFsicatantoclsicacomocuntica.Enesteartculosetrazalaslneas fundamentales de su desarrollo conceptual, as como algunos de los problemas que todava sufre este procedimiento en el mbito cuntico (consecuencias empricas de las supersimetras) y en el clsico (una pertinente interpretacin gauge de la variable tiempo). Palabras clave: Formalismo gauge con ligaduras, mecnica clsica hamiltoniana, teora cuntica no relativista. Abstract Thedynamicequationsvariationallyderivedfromaprincipleofstationaryaction,togetherwiththeimpositionof certainconstraintstotheassociatedgaugesymmetrieshaveproventobeoneofthemostpowerfulmethodsinthe analytictreatmentofextensiveareasofPhysics,bothquantumandclassical.Thispapertracesthemainlinesofits conceptualdevelopmentaswellassomeoftheproblemsthatthisprocedurestillsuffersinthequantum(empirical implications of supersymmetry) and classical domains (a proper gauge interpretation of the time variable). Keywords: Gauge formalism with constrictions, Hamiltonian classic mechanics, non-relativistic quantum theory. PACS: 02.30.Xx, 03.65.Db, 04.20.Fy, 45.20.Jj.ISSN 1870-9095 I. INTRODUCCIN Lateoraconocidacomoclculodevariacioneshoyda partedelateoradefuncionalesfuefundadaporelsuizo LeonardEuler(1707-1783)yelitalo-francsJosephLouis Lagrange(1736-1813).Estosmatemticosdescubrieron queunafuncinfproporcionaunvalorextremoaun funcionalFsiempreycuandosatisfagaunciertoconjunto deecuacionesdiferenciales(ecuacionesdeEuler-Lagrange). Laimportanciadeesteresultadosobrepasabaelmero mbitodelamatemticapura,puesprontosecomprob quemuchas delas ecuaciones diferenciales delamecnica ydelafsicaengeneralsonprecisamentedeltipoEuler-Lagrange.Comoconsecuenciadeello,talesecuaciones fsicaspodantomarsecomocondicionesdeEuler-Lagrangeparaciertosfuncionalesconvenientemente elegidos.De esta formamultitud de leyes fsicas se reformularon sustituyndolasporenunciadosenlosqueseexigaun valorextremo,normalmenteunmnimo,adeterminadas cantidades.As,enlugardeafirmarqueunsistemafsico obedecaunaleydadaporunaciertaecuacindiferencial de las variables del sistema, se comenzaba construyendo un funcionalcondichasvariables.Acontinuacinserequera que este funcional alcanzase un valor mnimo, por ejemplo, y se deduca por ello mediante el clculo variacional que lasecuacionesasobtenidascoincidanconlasdel planteamiento tradicional. La ventaja de esta formulacin de las situaciones fsicas esquemultituddeleyesnaturales,sinaparenterelacin entres,sonsusceptiblesdeexpresarsepormediodeun principiovariacional.Yconello,ademsdeunaviva impresinunificadora,ganamoslaposibilidadde simplificarbuennmerodeproblemasutilizandolas herramientas de la teora de funcionales para resolverlos. El funcionalescogido,porsupuesto,esdistintosegnelcaso fsico considerado, aunque en todos ellos se cumple que sus unidades han de ser iguales al producto de la energa por el tiempo, llamado tambin accin.Tantaeslatrascendenciadeesteprocedimientoqueen elsiguienteapartadoseesbozarnlosiniciosconceptuales delamecnicaanalticadelamanodelosfundadoresde sus dos principales desarrollos, la mecnica lagrangiana y la Introduccin al formalismo gauge con ligaduras en los casos clsico y cuntico Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 6, No. 1, March 2012117http://www.lajpe.org hamiltoniana. Los apartados tercero y cuarto se dedicarn a exponerlaimportanciadelasrelacionesqueliganlas variablescannicasentres,relacionesmsconocidas comoligadurasdelsistema.Elquintoysextoepgrafes entrandellenoenladecisivaimportanciadelas transformacionesgaugecomoingredienteesencialen nuestrasdescripcionesmatemticasdelanaturaleza,que juntoconlasligaduraspermitenformularecuaciones dinmicas ampliadas. Laextensindelamecnicaanalticaconsimetras gaugemediantelainsercindevariablesanticonmutativas, comoseveenelsptimoapartado,permiteincorporaren estetratamientolossistemasferminicos,caracterizados porsuespnsemienteroylafaltadeconmutatividaden algunasdesuspropiedades.Laconexinentrelosvalores enterosysemienterosdelespnsugierelaposible ampliacin de las simetras gauge hasta un nuevo gnero de transformacionesdenominadassupersimetras,loque serexaminadoenelepgrafeoctavo.Losproblemasque genera la interpretacin del carcter dinmico de la variable tiempoatravsdelformalismogaugeseabordarnenel octavo apartado, y las conclusiones,en eldcimo, cerrarn este trabajo. II. DE LAGRANGE A HAMILTON Losprimerospasosdelamecnicaanalticasedebenala obradeLagrangecontenidaensumonumentaltratado Mecnica Analtica, publicado por primera vez en 1788. En lseafirmabaquelossistemasfsicosevolucionanconel tiempodemodotalquelamagnituddesuaccinrepresentadaporunafuncindenominadalagrangiana, cuya integral es el funcional deseado sea mnima [1, 2].ElbritnicoWilliamRowanHamilton(1805-1865) aquilatelprincipiodemnimaaccinintroducidopor Lagrangealadvertirqueenbastantescasoslarealidad fsicanoinvolucrabaunmnimodelaaccinenabsoluto. Ampli las ideas deLagrange y desemboc en elprincipio deaccinestacionariaque,comosehasealadoantes, exigeunvalorestacionarioparalaaccin,odichodeotro modo, que la variacin de primer orden de la integral de la accin sea nula. Hamiltondesarrollinclusounnuevojuegode ecuaciones,equivalentesalasdeLagrangesibien matemticamentemssencillas,enlasqueinsertandoun funcionaldelasvariables del sistemaelhamiltonianose llegabaalasmismasconclusionesqueconelmtodo lagrangiano[3].Lasvariablesescogidasenlasecuaciones deHamiltonnosonlascoordenadasdeposicin,q,ysus derivadastemporales,dq/dt,sinolascoordenadasqylos impulsosdeducidosdeellaspq(puesenmecnicael impulsodeunapartculaconsistesimplementeenel producto de su masa por su velocidad).Es obvio que en un sentido estricto las q y las pq no son variables independientes, pero la esencia del procedimiento hamiltonianoestribaenoperarcomosilofueran.As obtenemos doble nmero deecuaciones quecon Lagrange, acambiodequetodasellascontengansoloderivadasde primer orden, menos complicadas de resolver. Enambosplanteamientosesnecesariorepresentarla evolucindelsistemaestudiadomedianteelauxiliodeun espacioabstractodemuchasdimensiones:3ndimensiones enelespaciodeconfiguracionesdeLagrange,y6nenel espaciofsicodeHamilton(ademsdeltiempo)paran partculas.Amenudosepresentalafuncinhamiltonianacomosi no fuesems queotro apelativo paralaenerga total deun sistema,asegurandosinmatizacionesqueH=T+U,lo cualesestrictamentefalso.Elhamiltonianocoincidircon laenergatotalnicamentecuandolasecuacionesque definanlascoordenadasgeneralizadasnodependandel tiempoylospotencialesnodependandelasvelocidades generalizadas.Cuestinaparteeslaconservacindesu valor,puesHserconstantesiemprequenodependa explcitamentedeltiempo(selellamaentoncesintegral primeradeJacobi,coincidaonoconlaenerga).As,en ocasiones podramos toparnos con una H que se conservase no siendo laenergatotal, o queno seconservase sindolo [4]. Enladinmicalagrangianasedefineigualmenteuna funcinenergah(q, ,t)deltodoanlogaal hamiltonianoy,peseasunombre,sometidaalasmismas restricciones que aqul en cuanto a su identificacin con la energa.Ladistincinsemantieneparasubrayarqueh depende de las coordenadas generalizadas, de sus derivadas temporales y, en su caso, del tiempo. Aplicando el hamiltoniano H, que en su modalidad ms simpleesfuncindecoordenadasqeimpulsosp,aun sistemaconkgradosdelibertad,sedesembocaenun conjunto de 2k ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, en lugar de las k ecuaciones lagrangianas de segundo ordenusuales.Lasecuacioneshamiltonianasasumenuna formaparticularmentesimpleenelcasodeunsistema conservativo, de modo que,

iipHqcc= iiqHpcc= .(1) Noesdeextraar,pues,queunavezdescubiertalaforma delafuncin hamiltonianaadecuadaen un caso particular, interese preservar dicha forma frente a cambios de variables enelespaciofsico.Deelloseencarganlas transformacionescannicas,esdecir,aquellas transformaciones de variables en el espacio de las fases que conservanlaformahamiltoninanadelasecuacionesdel movimiento.Aesterespecto,sondoslasmanerasdecontemplarel modoenqueactaunatransformacincannica.Elpunto devistapasivoseadoptacuandoconsideramosqueloque ocurre no es sino el paso de un cierto espacio fsico F (Fig. 1) en el que el punto figurativo del sistema estudiado posee unascoordenadas(q,p),aotroespacioFdondeelpunto figurativopermaneceinamovibleperoenelcualsus coordenadas (q', p') ya son otras. Frente a esta perspectiva, laopcincontrariaconsisteenjuzgarquenoeselespacio Rafael Andrs Alema Berenguer Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 6, No. 1, March 2012118http://www.lajpe.org fsicoelquecambia;msbiensediraqueeselpunto figurativoelquedesplazamodificandosuscoordenadas durantesumovimiento en elseno deun espacio inalterado Eseeselpuntodevistaactivoacercadelas transformaciones cannicas. Laimportanciaoperativadelastransformaciones cannicasenladinmicaanaltica,seveincrementadaal investigarquotrasexpresionesalgebraicasconservansu formabajoaqullas.Dosdelasmsimportantessonlos corchetesdeLagrangeyloscorchetesdePoisson.Enel primer caso, y suponiendo que las variables dinmicas q y p son funciones deciertos parmetrosuyv, los corchetes de Lagrange vendran dados por: { } , .q p p q c c c c= c c c cu vu v u v (2) Por el contrario, el corchete de Poisson de dos funciones A y B respecto de las variables q y p es qBpApBqAB Acccccccc = ] , [.(3) Larelacinentreamboscorchetesconsisteenquesi tenemosrivariablescannicasindependientessecumple que {ri , rn}[rj , rn] = oij. FIGURA1.Representacinfigurativadelatrayectoriadeun sistema dinmico en un espacio fsico. La relevancia de semejantes expresiones reside en el hecho dequelasecuacionesdeHamiltonpuedenescribirse mediante corchetes de Poisson de las variables cannicas y delhamiltoniano[5].Adems,todaslasfuncionesno explcitamentedependientesdeltiempo,cuyocorchetede PoissonconHesporellonulo,sonconstantesdel movimiento;yalainversa,silafuncinesconstantedel movimiento, su corchete de Poisson con H es nulo, |], H| = 0. Sustituyendo las funciones clsicas A y B por operadores cunticos,setienelatransicinformalalosconmutadores cunticos | | A B B A B A , = ,(4) indispensablesenlosteoremasdeincompatibilidadde Heisenberg. Sienunsistemahamiltonianoconkgradosdelibertad logramos k ecuaciones del movimiento independientes, una paracadagrado delibertad, elmovimiento delresultante esintegrable,ocompletamenteseparable.Lasconstantes oiquepermitenrealizartaloperacinmatemticade separacinsonllamadasintegralesaislantes,oinvariantes globales del movimiento [6].Resultamuydesafortunadoconstatarquenoexisteuna reglageneralparadeterminarlaintegrabilidaddeun sistema con k grados de libertad, habindose de recurrir con frecuenciaamtodosdeperturbaciones.Estastcnicas consistenenhallarunasolucinanalticamediante aproximacionessucesivasenaquellossistemasqueno admitenunasolucincerrada,peroquealavezdifieren muy poco de otros para los que ello s es posible.El estado del sistema cuya solucin deseamos obtener se consideraproductodeunapequeaperturbacinexistente sobreotrocuyocomportamientonosesconocido.La magnituddeestaperturbacinsesueleintroduciratravs deunpequeoparmetroc,respectodelcuallasolucin delproblemaperturbadoseconstruyecomoseriede potencias.Cuandolaaplicabilidaddelosmtodos perturbativosdecae,lascomplicacionesseacrecientan extraordinariamenteylasposibilidadesdesolucinse alejan en igual medida. III. LIGADURAS PRIMARIAS Lasvariablescannicas(q,p)determinanelestadodel sistema fsico por ellas descrito, pero no sucede lo mismo a lainversadebidoanuestralibertadaparaelegirdiversos juegosdecoordenadasqueconducenalasmismas ecuacionesdelmovimientocuandoseintroducenenlas ecuacionesdeHamilton.Estaposibilidaddeescoger distintasvariablescannicasfsicamenteequivalentes, recibe el nombre de libertad gauge. Aspues,acausadelastransformacionesdegauge,el valor de las variables (q, p) en un instante t especificado, no determinaunvocamenteelvalordetalesvariablesenun instante posterior. El procedimiento analtico que conduce a lasecuacionesdelmovimientoenelcasoclsicoy tambinenelmtododesumasobrehistoriasde Feynmanpartedeunprincipiolagrangianodeaccin estacionaria. Introduccin al formalismo gauge con ligaduras en los casos clsico y cuntico Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 6, No. 1, March 2012119http://www.lajpe.org o210ttLdt o =}.(5) Pormotivostantotericoscomoprcticos,resultara deseablequelasecuacionesdeLagrangefuesendetipo newtoniano, es decir, que la segunda derivada con respecto altiempodelacoordenadadeposicingeneralizada,q , pudiese despejarse en funcin deq y de q. Para ello habra de cumplirse la condicin por la cual la matriz Mnm 2n mLq q| | c |c c\ .,(6) debeserinvertibles,estoes,sudeterminantenodebe anularse. Precisamenteelcasomsinteresanteparasistemas dinmicos formalizados mediante el mtodo gauge es aqul enelqueeldeterminantedeMnmsseanula.Esentonces cuandosedicequetenemosunlagrangianodegenerado, razn por la cual no podemos despejarq en funcin de q y palpasaralformalismohamiltoniano.Sellegaassin apelaralasecuacionesdelmovimientoalconceptode ligadurasprimarias[7],apartirdeladefinicinde momentogeneralizadocomovariableconjugadadela coordenada de posicin generalizada:

.(7) Lasligadurasprimarias,portanto,sonrelaciones independientesentresestablecidasentrelasvariables generalizadas q y p, |m(q, p) = 0. A continuacin definimos el hamiltoniano cannico

,(8) talquelasvariacionesdHdebenpreservarlascondiciones deligadura,|m(q,p)=0.Precisamenteelhamiltoniano cannicoHsloestaunvocamentedeterminadosobrela subvariedaddefinidaporlacondicin|m(q,p)=0,yaque fueradeellaHpuedeextendersedeinfinitasmaneras distintas. La teora debe ser invariante bajo transformaciones de la formaHH+cm(q,p)|m(q,p),dondelascmson funciones arbitrarias pero regulares de q y de p. IV. LIGADURAS SECUNDARIAS Parafacilitarlosclculosenlassituacionesconinters fsico,introduciremosmultiplicadoresdeLagrange,um(t), asociadosalasligaduras|m(q,p)=0.Yalrecurriral principiodeaccinestacionaria,lascantidadesum(t)se varan independientemente de q y p, de modo que se tiene:

.(9) Poresteprocedimientollegamosalasecuacionesdel movimientoparaunavariabledinmicacualquiera,f,que sern:

. (10) Enconsecuencialosmultiplicadoresumhandeser compatiblesconlacondicindequeladerivadatemporal delasligadurasprimariasseanule,d|m/dt=0.Estonos enfrenta a tres posibilidades: 1)d|m/dt = 0 es una identidad, que es el caso trivial y nadaderelevanciafsicaaportaalproblemade determinarlasecuacionesdelmovimientoms generales para una variable dinmica cualquiera. 2)d|m/dt = 0 conduce a nuevas restricciones sobre las um; o bien, 3)d|m/dt=0establecemsligadurasentrelasqny pn. Esasnuevasligadurasintroducidasenlaopcin(3)se denominanligadurassecundarias[8],sibienladistincin entreambostiposdeligadurasresultairrelevanteenla forma final de la teora. Porotraparte,laevolucintemporaldelasligaduras primarias, d|m/dt = 0, puede escribirse: {|j, H}| = 0 + um{|j, |m}= 0. (11) Estaigualdadesensmismaunaecuacindiferencial inhomogneaenloscoeficientesum,queactansegnse indicyacomomultiplicadoresdeLagrange[9,10].La solucingeneraldeestaecuacinvienedadaporla expresin: um = Um(p, q) + va(t)Vam(q, p),(12) dondeUm(p,q)escualquiersolucinparticulardelaEc. (11), los coeficientes va(t) representan funciones totalmente arbitrariasdeltiempo,yVam(q,p)eslabasedelespacio linealdesolucionesasociadoalsistemahomogneoum{|j, |m}| = 0 = 0. Ahorapodemosllamarhamiltonianototalal funcional: HT = H' + va|a = H + Um|m + Vam|mva. (13) YtrasintroducirHTenlasecuacioneshamiltonianas obtenemoslaecuacindelmovimientodeunavariable dinmica arbitraria en la forma compacta | |0,Tf f H|== . (14) V. GENERADORES DE GAUGE Debidoalapresenciadelasfuncionesarbitrariasva(t), aunqueunacoleccin devariables cannicaspyqdefinan unvocamenteel estado delsistemaenun instante dado, se Rafael Andrs Alema Berenguer Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 6, No. 1, March 2012120http://www.lajpe.org tiene que a un mismo estado fsico puede corresponder ms deun conjunto devariables (q,p) queconducen apredecir losmismosresultadosempricosparacualquiermagnitud fsicamentemedible.Esaeslaambigedadcreadaporla libreeleccindelgaugedenuestrasvariablesdinmicas [11]. Tomemos entonces los parmetrosca(t) definidos como ca(t)otva(t).Apartirdeellospodemosobtener transformacionesgaugeparanuestrasvariablescannicas, cuyos generadores son las ligaduras |a: | || |( ) ,( ) ,n a n an a n aq t qp t p o = c |`o = c |).(15) Acontinuacindiremosqueunaigualdadesdbil (representada con el smbolo ~) cuando se satisface sobre la subvariedad | = 0. Por ejemplo, |j(p, q) ~ 0 indica que |j es numricamente igual a cero, aunque su corchete de Poisson no tiene que anularse necesariamente tambin. Cindonos ahora al caso de las variables dinmicas, se considerarqueunafuncinfdetalesvariablesesde primeraclasesisucorchetedePoissoncon|jseanula dbilmente, [f, |j]~0. Las funciones queno pertenezcan a la primera clase se denominarn de segunda clase [12]. Como se hamencionado previamente, un sistemafsico noalterasuspropiedadesobjetivassialgunadesus funcionesdinmicasfcambiabajounatransformacin gauge,of=ca[f,|a].Cabepreguntarse,pues,siesasson todas las transformaciones gauge posibles que no modifican en realidad el estado del sistema. Y la respuesta es negativa, ya que podra existir una ligadura primaria de segunda clase cuyo corchete de Poisson con HT fuese a su vez una funcin de primera clase en el sentido antes especificado. Enconsecuencia,seadmitecomopostuladoquetodas lasligadurasdeprimeraclasegenerantransformaciones gauge[13].Lajustificacinnodemostracindeeste postulado se apoya en los siguientes argumentos: 1)Ladistincinentreligadurasprimariasy secundariasdependedellagrangiano.Porel contrario, la distincin entre ligaduras de primera y de segunda clase, se basa en el corchete de Poisson del hamiltoniano. 2)Lastransformacionesgeneradasporunaligadura conservatodaslasligadurasdeprimerayde segundaclase.Consecuentemente,transforman estadospermitidosporlasecuacionesdel movimientodelsistemaenotrosestadostambin permitidos por dichas ecuaciones. 3)El corchete de Poisson de dos ligaduras de primera clase es otra ligadura de primera clase. Adems, el corchetededosgeneradoresgaugeestambinun generador gauge. 4)Sitodaslasligadurasdeprimeraclaseson generadoresgaugeylasvariablescannicasson conmutativas,ocurrequeunsistemaconun nmeropardecoordenadascannicas independientesadmiteunespaciodefases reducidoenelquecadapardevariables corresponde a un grado de libertad fsico. 5)Si |a y [|a, H'] son generadores gauge, suponemos implcitamentequeeltiempotesunobservable fsico.Sinembargo,enlossistemascovariantes generaleslasligadurasdeprimeraclaseasociadas ainvarianciasdereparametrizacindeltiempono songeneradoresgauge(generadoresde transformaciones queno cambian el estado fsico) sinogeneradoresdelaevolucindinmicadel sistema. Representandolasligadurasprimariascomoaylas secundariascomo_a,sedefineelhamiltonianoampliado HE a travs de la igualdad HE = H' + vaa. (16) Paralas variables dinmicasquesean invariantes degauge (esdecir,variablescuyocorchetedePoissonsea dbilmenteigualacero),loshamiltonianosH',HTyHE proporcionan las mismas ecuaciones de evolucin. Un modo alternativo de definir las ligaduras de segunda claseconsisteenidentificarlascomoaquellasparalas cuales ninguna combinacin lineal suya constituye de por s una ligadura de primera clase [14]. As, las ligaduras _o son dehechodesegundaclasesilamatrizCo|[_o,_|] resultainvertible.Lasligaduras_osonsiempredenmero par excepto en elcaso de los sistemasferminicos, pues el determinante de una matriz antisimtrica impar es cero. Podemosreescribirlaparticipacindelasligadurasde segundaclaseenlasecuacionesdeevolucindecualquier par de funciones F y Gmediante los corchetes de Dirac de dos variables dinmicas: [F, G]* = [F, _o]Co| [G, _|], (17) donde las matrices Co| cumplen la condicin Co|Co| = oo|. Pormediodeestoscorchetes,tambinesposible escribirlasecuacionesdeevolucinampliadascomo[F, HE]*, y las transformaciones gauge adoptan ahora la forma oF ~ ca[F, a]. VI. CONDICIONES GAUGE Lapresenciadeligadurasdeprimeraclaseimplicaqueel mismoestadofsicoessusceptiblededescribirseconlas variables(q,p)ycon(q+oq,p+op),teniendoencuenta que oq = ca[q , a] y op = ca[p , a], con participacin de las ligaduras primarias, a. Evitamosestaambigedadimponiendorestricciones externas para no contar varias veces el mismo estado fsico comosifuesendistintosestadosdelsistema.Tales restriccionessonlasquedenominamoscondiciones gauge.Acadasistemafsico,salvotransformaciones gauge,correspondeunnicoconjuntodevariables cannicascompatiblesconlasligaduras[15].Paraqueas ocurra han de satisfacerse dos requisitos: Introduccin al formalismo gauge con ligaduras en los casos clsico y cuntico Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 6, No. 1, March 2012121http://www.lajpe.org -Accesibilidad:Debeexistirunatransformacin gaugequepermitaalpasodesdelasvariables(q, p)alasvariables(q,p),lascualesobedecenlas condicionesgaugeprescritasycorrespondenal mismo sistema fsico. -Unicidad: Las condiciones gauge Cb(q, p) ~ 0, con b=1,2,3,,B,handefijarelgaugedemodo nico. Despus de fijar el gauge, todas las ligaduras pasan a ser de segunda clase, y utilizando los corchetes de Dirac podemos desembocarenunateorasinligadurasefectivas.Esdecir, en esta nueva formulacin de la teora todas las ligaduras se reducenaigualdadesqueexpresanalgunasvariables cannicas en funcin de las restantes. Lainvarianciagaugepropiciaqueen laformulacin de lateoracunticapormediodeintegralesfuncionalesel papel clave corresponda a la historia del sistema, esto es, sutrayectoriaenelespaciodefases.Cadahistoria especifica en funcin de t todos los argumentos de la accin (q(t),p(t))juntoconlosmultiplicadoresdeLagrange.Con ellotodaslashistoriasentranenpiedeigualdadenla integralfuncional,hastaelpuntodeextenderlanocinde historiasequivalentesbajotransformacionesgaugea cualquierhistoriaposible,sinlimitarsealasquehacen estacionarialaaccin(yporesomismosonsolucionesde las ecuaciones del movimiento). Dadalaposibilidaddetransformacionesgauge,resulta desumaimportancialadiscriminacinentrelosgradosde libertadcorrespondientesalaposibilidadderealizar distintas elecciones equivalentes del gauge, y aquellos otros que verdaderamente poseen significado fsico. Con ese propsito se emplea una relacin que establece laigualdadentreelnmerodegradosdelibertadfsicosy lamitaddelnmerodevariablescannicasindependientes [16],Nf=Nci.Asuvez,estenmerodevariables cannicasindependientesresultaserigualalnmerototal devariablescannicasmenoselnmerodeligadurasde segundaclasemenoseldobledelnmerodeligadurasde primera clase, Nci = Nc N_ 2N. Enpresenciadevariablescannicasanticonmutativas, elnmerodeligadurasdesegundaclasenoes necesariamente par. Si se da el caso de que dicho nmero es impar,ladimensindelespaciodefasesfsicotambines imparynollevaasociadounespacioreducidode configuracin. Veamosloquesucedeenelcasobienconocidodel campo electromagntico[17]. Paraesta clasedecampos la accin tetradimensional viene dada por S = } {(1/40)FvFv + JvAv}d4V.(23) dondeFvcAvcvA,conA eltetravectorpotencial electromagntico,d4Veselelementodevolumen tetradimensional, y Jv el tetravector de flujo de corriente. Lasvariablescannicassonaquqn(t)A(x,t),conx representando las coordenadas puramente espaciales, y pn(t) p(x, t) = cL/c(dA/dt). Por consiguiente, tendremos L } (1/4)FvFvd3x, y dA/dt = c0A. Conlaligadurap0=0ylacondicingaugeA0=0,la primeracomponentedeltetravectorpotencial electromagntico pasa aconvertirseenunmultiplicador de Lagrange,dejadeserunavariabledinmicayserompela simetra entre A0 y las componentes espaciales Ai. VII.VARIABLESANTICONMUTATIVASEN EL CASO FERMINICO Vienesiendohabitualqueunadelasvasmsutilizadas paraalcanzarunadescripcinpseudo-clsicadelos sistemas con espn semientero, sea la cuantizacin cannica desistemasconespnentero[18].Ytalprocedimiento sueleconsistirenlasustitucindeloscorchetesdeDirac porconmutadorescunticosacompaadosdelfactor multiplicativo (i)1.Estoesconsistenteconlanecesidaddeimponerreglas deanticonmutacinenelcasoferminico,demodoqueel corchetedeDiracsereemplace por un anticonmutador. En trminos fsicos, esto se debe a que no hay un lmite clsico paralosfermiones,entantoslohayparael comportamientobosnico.Noobstante,paraestudiar simplificadamentelossistemasferminicosrecurrimosa losnmeros-canticonmutativos[19].Graciasaestas cantidadesresultaposibledistinguirentreellmiteclsico para los operadores bosonicos descritos mediante nmeros-cconmutativosqi(variablesconparidadpar),yellmite clsicodelosoperadoresferminicosdescritospor nmeros-canticonmutativosuo(variablesconparidad impar). Retornemosalasecuacionesdelmovimientoobtenidas medianteelrequisitodeaccinestacionaria,dondeahora incluimoslasvariablesanticonmutativas,tomandoel lagrangianoparconelfindeconservarlaparidad(paro impar) de las variables:

.(18) Los momentos conjugados sern pi = cL/cqi y to = cL/cuo. LasecuacionesdeHamiltonsededucenimponiendola condicin:

. (19) Este procedimiento reviste gran importancia, pues en teora decamposlasecuacionesdelmovimientodeprimerorden enlavariabletsuelenestarasociadasaunespn semientero.Asuvez,lasvariablesimparesadmitenuna representacinmatricialentrminosdelasmatricesde Pauli, oo, de la forma: uo = i(/2) oo. (20) Enconsecuencia,ellagrangianodeunapartculalibrede masa m con espn ser: Rafael Andrs Alema Berenguer Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 6, No. 1, March 2012122http://www.lajpe.org

, (21) donde la parte de espn no contribuye al hamiltoniano.

.(22) VIII. SIMETRA Y SUPERSIMETRA Atenindonosalmtododelasintegralesfuncionales, hemosdegarantizarqueunatransformacingaugeno cambialahistoriafsicadelsistema,paralocuallaaccin debeserinvariante.Estainvarianciadelaaccinpuede satisfacerse de dos maneras [20]: a)Secumplepn(ci/cpn)i=0aunqueca(t1)=0= ca(t2) = b)Se tiene pn(ci/cpn) i = 0 y se cumple ca(t1) = 0 = ca(t2)Elcaso(a)conducealaclasedelasllamadassimetras internas,ejemplosdelascualessedanenloscamposde Yang-Mills, mientras la opcin (b) lleva a las simetras no internas, ms apropiadas para describir interacciones como la gravedad. Sinembargo,debenhacersemencionarseunaseriede puntualizacionesquecobrangranimportanciacuandose avanzahacialacuantizacindeunateorasometidaa simetrasgaugedealgntipo,especialmentesiadoptamos el planteamiento de suma sobre historias de Feynman. En primerlugar,conunasimetrainternaslocabehablarde equivalenciadehistoriasdeunsistema,nodesusestados concretos.nicamentecuandolasimetraesinternase puedeestablecerunaequivalenciaentredistintosestados individuales de un sistema considerndolos pertenecientes a unamismasituacinfsica[21].Ademsdeello,tambin hadetenerseencuentaquesloconrespectoasimetras internas deprimeraclasees posibledecir quelas ligaduras de primera clase generan transformaciones queno cambian el estado fsico del sistema [22]. Unaampliacindelconceptodesimetraconduceala nocindesupersimetra,cuyointersprincipalresideen la posibilidad deasociar bosonesyfermiones (o dicho con mayorprecisin,partculasdeespnJconpartculasde espnJ)reunindolosenunnicomarcoformalque pongademanifiestalasrelacionesentreambasclasesde partculas [23].Consideremoscomoejemploelcasodeundoblete formado por un escalar y un espinor, y , que represente unparfermin-bosn.Enconcreto,sitomamosunbosn escalarByunferminFconespn,buscaremosuna transformacin 1 i (con un nmero real infinitesimal) queconservelalagrangianalibretotal,L=LB +LF,con LB=(*)()yLF =o ic .Naturalmente,slo estamosinteresadosenaquellostrminosquevinculanlos bosones con los fermiones, = i y = i. Dadoquedebeserunespinoryunescalar,la magnituddebeserellamismatambindenaturaleza espinorial.Introduzcamos,portanto,unespinor infinitesimalyescribamos=,oalternativamente, =TC.Parasatisfacerlosrequisitosdela supersimetra,esteespinordebecumplirunaseriede condiciones: -Como los bosones tienen espn entero y los fermiones semientero,elespndedebersersemientero.La eleccinmssimpleesunvalor,loquenosdeja con un espinor de cuatro componentes. -Las propiedades 122estadsticas correctas (los campos bosnicosconmutanylosferminicosanticonmutan) las magnitudes y = 4, han de conmutar con los bosones y anticonmutar con los fermiones. Es decir, se garantiza el cumplimiento de {a , b} = {a ,a} = 0, dondelasletraslatinassimbolizanndices espinoriales, y se sigue la notacin habitual {A , B} = AB + BA. -Tambindebecumplirseque=c,teniendoen cuentaquec=CT.Lamatrizdeconjugacinde carga satisface CT = C y C1C = ()T. En todos los casos el superndice T expresa transposicin. Noobstante,unasimplemiradaalostrminoscinticos revelaqueelbosnposeedosderivadas,mientrasel fermin se las arregla con una sola. De ello se colige que la dimensindelcampobosnicoserigualaladelcampo ferminicomultiplicadaporunalongitudelevadaa.En consecuencia,hadetenerlasdimensionesdeuna longitud, elevadaa en elcaso de, pero elevadaa enlaexpresinde.Unaeleccintalnoacabade funcionar bien, lo que nos obliga a insertar una derivada en laexpresinde,cosaqueasuveznosacarreala necesidaddeunnuevo4-vectorconelquepodamos construir una cantidad escalar [24, 25]. Yaquepodemosincluirenladensidadlagrangiana tantasderivadastotalescomodeseemossincambiarsu contenidofsico,resultaposibleintegrarporparteslas variaciones correspondientes al bosn LB y al fermin LF. DeahseobtienequeLF=LB.Conelloencontramos unatransformacinquemezclalaspartesferminicay bosnicadelalagrangianasinalterareltrminocintico total, es decir, dejando invariante la lagrangiana libre [26].Restringindonosalaspartculassinmasa,unhallazgo como este implica el establecimiento de una nueva simetra, lasupersimetra(abreviadamente,SUSY).Graciasal teoremadeNoether,sabemosqueporcadanuevasimetra hadehabertambinunacorrienteconservadaJo= (v)ocuu*, dondeo es un ndice espinorial de valores 1 o 2.As pues tendremos, cJa = v[c]ocvu* + [v]occvu*,(24) expresinfcilmenteanalizable.Eltrminodelprimer parntesisseanulaacausadelaecuacindeDirac;el segundotrminoentrecorchetescontienetansolofactores enlosque=,puesdeotromodolosfactoresse cancelaran con los debido a la relacin [v , ]+ = 2gv. Aselsegundotrminodelasumaesproporcionala ccu*,queseanulaaresultasdelaecuacindeKlein-Gordon [27]. Introduccin al formalismo gauge con ligaduras en los casos clsico y cuntico Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 6, No. 1, March 2012123http://www.lajpe.org Consideremosactoseguido,elefectodedos transformacionessupersimtricasconsecutivas,conun parmetroanticonmutativo,querelacionenuncampo escalaryunespinordeMajorana,.Inicialmente tendramoso=iyo=c.Apliquemosahora diostransformaciones,deparmetros1y2,sobreel campo bosnico, de manera que ok = ik. As, o1(o2) = i1 2 c,(25) y el conmutador de ambas transformaciones sera: [o1, o2] = 2i2 1 c. (26) Esdecir,trasdostransformacionessupersimtricas consecutivas, obtenemos el mismo campo , desplazado en elespacio-tiempounacantidadconstanted=(221). Por ello se dice que existe un vnculo entre la supersimetra elmovimientoenelespacio-tiempo[28,29].Silas transformacionessupersimtricassonlocales,=(x), entonceslastraslacionestambindependedellugarenel cual se den, d = d(x).Cuando el lgebrasupersimtricaseexpresa apartir de losgeneradoresdesupercarga,Q,ladensidaddeenerga del vaco siempre es positiva o cero [30]. Y slo se anula si elvacoesunautoestadodeQconautovalorigualacero, Q|0>=Q|0>=0.Entoncesysloentoncescuando SUSYesunasimetraexactasinruptura,todoslos diagramasdeFeynmanquecontribuyenalaenergadel vaco se cancelan entre s [31].Elloimplicatambinqueentodateorasupersimtrica cualquierestadodeenerganonulatieneuncompaero cuyomomentoangulardifieredelsuyoen,ysobreel cualrigeunaestadsticaopuesta(Fig.2).Peroesonoes todo:comoelconmutadordedostransformaciones supersimtricasinvolucraeltetravectorimpulso-energa relativista,elgrupodePoincardebeserampliadohasta incluir la supersimetra misma [32].Latransformacininfinitesimaldeuncampobosnico puede reescribirse ahora como o = (a Qa ), donde Qa es unespinordeMajorana.Trasunaseriedemanipulaciones convenientes se llega a obtener: {Qa, Qb} = 2i()abc = 2(P)ab, (27) en el que P es el generador de las traslaciones. As se dice librementequelosgeneradoressupersimtricosQactan comolasracescuadradasdelastraslaciones.Las variedades que contienen unas coordenadas conmutativas y otrasconmutativas,permitiendoastransformaciones supersimtricas,sedenominansuperespacios,y supercampos los campos en ellas definidos [33]. FIGURA2.Lasupersimetraasocianuevaspartculasalasya usuales. Endefinitiva,laimportanciadelasupersimetranoestriba sloenlarelacinqueestipulaentrefermionesybosones, sinoespecialmenteenlaposiblevinculacinquesugiere entrepropiedadesdeinvarianciaespacio-temporal (simetrasexternas)ypropiedadesdeinvarianciagauge (simetrasinternas).Seadmitegeneralmentequesila gravedadhadeunificarseenalgnmomentoconlastres fuerzasrestantes,sermedianteunasimetraampliadaque contenga la invariancia por difeomorfismos y la invariancia gauge.Conrespectoaello,losfsicosnorteamericanosSidney RichardColemanyJeffreyMandulademostraronun teoremasegnelcualcualquiergrupoquecontuviese ambostiposdesimetra(difeomorfismosygauge)se escindira en dos subgrupos, cada uno portando una sola de esassimetras[34].Laformulacinoriginaldeteoremade Coleman-Mandulahablaba de que las teoras aceptables de partculaselementalesnoposeeransimetrasalgebraicas capaces de relacionar partculas con espn diferente (entero o semientero). Ensntesis,losgruposdesimetracomnmente utilizadosnoservan paraunificarfermionesy bosones.El obstculoaparentementeinsalvableerigidoporelteorema deColeman-Mandula,fuefranqueadograciasala invencindelassupersimetras,cuyonacimientocomo generalizacin de los grupos algebraicos clsicos la pona a salvo del fatdico teorema. IX. SISTEMAS COVARIANTES GENERALES Lasteorasfsicasquegozandecovarianciageneralpor ejemplo,lagravitacindeEinstein(RelatividadGeneral) soninvariantesbajoreparametrizacionestemporales.Esto significaquelasecuacionesdeevolucindeunsistema covariantegeneralconservansuformaycaractersticasal efectuarlasustitucintf(t),reemplazandolavariablet porunafuncincualquierasuficientementecontinuadel tiempo. Rafael Andrs Alema Berenguer Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 6, No. 1, March 2012124http://www.lajpe.org Estosignificaenlaprcticaqueeltiempotnoesun observableenpiedeigualdadconelrestodemagnitudes querecibenesemismonombrealrealizarlatransicin desdelasteorasclsicasasusversionescunticas.Este pareceserunproblemainherentealintentodeinsertarla nocindecovarianciageneralenelmarcodelformalismo gauge,unformalismoquetanbuenosserviciosharendido en la elaboracin de las teoras cunticas de campos. Noobstante,enlossistemascovariantesgeneraleslas ligadurasdeprimeraclaseasociadasareparametrizaciones deltiempo,nodeberangenerartransformacionesgauge sino la propia evolucin dinmica del sistema. OcurreaququeelhamiltonianoampliadoHEcoincide conelhamiltonianototalHT,yambospuedenexpresarse comoelproductodeunaligaduraHporu(t),unafuncin arbitraria de t, a su vez un parmetro tambin arbitrario que describe la evolucin dinmica del sistema. De hecho, toda lafsicadelossistemascovariantesgeneralesparece contenerseenlaligaduraH,queeselgeneradordela evolucin dinmica (Fig. 3). El hecho de que los sistemas covariantes generales no se comporten como el formalismo cannico esperara de ellos, creaeldenominadoproblemadeltiempo[35].Este escollosenospresentaconindependenciadelas dificultadesdecuantizarlagravitacineinsteiniana.Para situarloensucontexto,recordaremoslosfundamentosdel mtodo empleado. FIGURA3.Foliacindelespacio-tiempoMmedianteuna familia de hipersuperficies (Et)t e R. Tomemosunateoracuyasecuacionesdinmicaspuedan deducirse de un principio variacional o}Ldt = 0, con L(q,q ) yq dq/dt.Lasqdenotanlasvariablesdeposicin generalizadasyq susvelocidadesgeneralizadas.Las familiaresecuacionesdeEuler-Lagrangedeestemodo deducibles,puedenescribirsetambinentrminosdela matriz hessiana Hmn n mq qL c c c2,(28) cuyoposiblecarctersingularimplica,ensucaso,queno podamosdespejar mq enfuncindelasposicionesylas velocidades.Entalescircunstancias,losmomentos cannicosproporcionadosporlastransformacionesde Legendre (pn cL/cnq ) no son todos independientes, pues handesatisfacerlayadiscutidasligaduras,|m(p,q)=0, provenientes de la propia definicin de los momentos.Dirac,quieninicieldesarrollodeesteformalismo [36],propusoquelastransformacionesgaugese identificaranconlastransformacionesgeneradasporlas ligaduras de primera clase, mientras que los observables se identificaran con las funciones de las variables del espacio defases(p,q)queconmutasenconestasligadurasde primera clase [18].Pasemosahoraelcasoquenosocupa,estoes,la RelatividadGeneralentendidacomounateoragauge.Si decidimos deducir las ecuaciones gravitatorias de Einstein a partirdeunprincipiovariacional,laaccinadmitirel grupodelosdifeomorfismoscomosimetravariacional.Y al aplicar las transformaciones de Legendre para obtener la versinhamiltonianadelateora,llegamosauna formulacin con ligaduras como las discutidas previamente. Portanto,podemosdefinirunamagnitudfsicamente objetivaenRelatividadGeneralcomotodacantidad dinmicaqueseainvariantegaugeenelsentidodeDirac (esdecir,sucorchetedePoissonconlasligadurasde primera clase, se anule).Ahora bien, en Relatividad General el lgebra de Lie de las ligaduras no posee la propiedad de clausura, por lo cual no es un lgebra de Lie genuina. Y dado que la clausura es unapropiedaddistintivadelasteorasdeYang-Mills,se sigue de ello que lagravitacin einsteiniana no pertenece a la familia de las teoras de Yang-Mills [37]. Perolasorpresamsimpactantellegaacontinuacin, comosealPeterBergmannalestudiarladinmica espacio-temporaldelasligadurashamiltonianasenel marco delaRelatividad General[38]. Existen dos tipos de ligadurasenelformalismohamiltonianodelagravedad relativista:lasligadurasdifeomrficas(odelmomento cannico)ylasligadurashamiltonianas.Lasprimeras comosunombreindicageneranlosdiffeomorfismosen la3-superficiededatosiniciales,mientraslassegundas gobiernanlatransicindesdecadaunadeestas3-superficies a la siguiente. Si se prefiere decir de otro modo, lasligadurashamiltonianasgeneranelmovimientoylas ligadurasdiffeomrficasrelacionanlasdescripciones equivalentes de la misma situacin fsica. Ya que ahora elmovimiento viene dado por la ligadura hamiltonianaysegnDiraclasligadurasseidentifican contransformacionesgauge,elmovimientomismoes meramenteunapuratransformacingauge[39].En consecuencia, todas lasmagnitudes invariantesgaugedela teoralasnicasalasqueantesatribuamosautntico significado fsico son constantes del movimiento: ninguna Introduccin al formalismo gauge con ligaduras en los casos clsico y cuntico Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 6, No. 1, March 2012125http://www.lajpe.org propiedad fsica relevante debera cambiar con el tiempo en absoluto.YcomolaRelatividadGeneralseocupadela nicafuerzacompletamenteuniversal,lagravedad,sus conclusiones deberan aplicarse al universo entero.Aspues,nadahabradeexperimentarjamscambio alguno en todo el cosmos. Este es el problema del tiempo, o delformalismocongelado,tpicodelaRelatividad Generalsincuantizacin[40].Obviamente,losintentosde cuantizarlateoragravitatoriadeEinsteinnoslonohan solucionadoestaparadoja,sinoquesehanvisto enormemente obstaculizados por ella. Esmuyposiblequetropecemosaquconun impedimento esencial, relacionado con elhecho dequelos formalismoslagrangianoyhamiltonianonacieronenun mbito en el cual la variabletiempo permanecanetamente separadadelrestodevariables(lascoordenadas generalizadasysusmomentosconjugados).Esaesunade lasrazonesporlasqueeltratamientocannicodela RelatividadGeneralsesueledenominar(3+1),en contrasteconlaversincovariante4-dimensionalmsde acuerdoconelespritudelapropiateora.Enel planteamiento(3+1)lasvariablesbsicassonlas3-geometrasdefinidassobrehipersuperficesespacialespara unvalorconcretodeltiempocoordenado.Estasvariables satisfacenlasligaduras,demodoqueelhamiltoniano mismo se anula idnticamente.Laarbitrariedadenlaeleccindelgauge,afloracomo unreflejodelainvarianciapordifeomorfismosenla formulacincovariante4-dimensionaldelateoracuando stasetraduceensuversin(3+1).As,laevolucin temporaldeestas3-geometrasseexpresacomouna transformacingauge,queporsergaugenocomporta cambio alguno en los grados de libertad fsicos de la teora. Laconclusineslamisma:todoslosestadosfsicos resultanequivalenteseindependientesdelavariable tiempo. El universo entero existe en un eterno presente, sin evolucintemporal,nicambio,nidinmica.Nocabeduda que esta dificultad an sin resolver a plena satisfaccin de todoslosexpertosasehademostradounadelasms formidablesbarrerasenlabsquedadeunaformulacin cuntica de la gravedad, y por ende tambin ha estorbado la consecucindeunateoraunificadadelasfuerzas fundamentales. X. CONCLUSIONES Alolargodeesteartculosehanexpuestolaslneas generales del desarrollo del formalismo gauge con ligaduras paralamecnicaanalticaensusaplicacionesaloscasos clsicoycuntico.Sehaconstatadolacontinuidad existenteentrelasprimerasformulacionesvariacionalesde la mecnica clsicay sus posteriores derivaciones hacia las diversas ramas de la fsica cuntica.Elhechodequelamayoradelossistemasfsicosde intersclsicosocunticosobedeciesenunprincipiode accinestacionaria,estableciunpuentemetodolgicoen elmododeabordarlasteorascunticascomoversiones formalmente cuantizadas de sus contrapartidas clsicas. Por aadidura,lassimetrasgaugepermitieronconectarla existenciadelasinteraccionesfundamentalespresentesen lanaturalezaconunrequisitodeinvarianciaformal impuestosobreellagrangianodeciertossistemasfsicos. Los campos de fuerzas aparecan as como el precio a pagar poreluniversodebidoasudeseoderespetarlassimetras gauge. Como consecuenciadeello, esteelmtodoentraauna concepcinmuyconcretasobrelanaturalezadeluniverso. Laspropiedadesestructuralesmsprofundasdelmundo fsiconopuedendependerdelpuntodevistadel observador,osisequiere,delaherramientamatemtica empleadapararepresentarlas.Estonosloimplicala inexistenciadeposiciones o direcciones privilegiadas en el espacio-tiempo;tambinnosimponeunasuertede irrelevancia final del marco matemtico utilizado.Tomandoelcasodelosvectoresdeestadodelafsica cuntica,sabemosquepuedendefinirsecomounconjunto defuncionesdelasmagnitudesdelsistema,={1(q), 2(q), 3(q), . . .}, que residen en un espacio de Hilbert. Las funciones1(q),2(q),3(q),...,seinterpretanentonces como las proyecciones del vector sobre un cierto sistema deejesensuespaciodeHilbert.Resultamuyrazonable suponer que el significado fsico de la teora que se sirva de los vectores no debe depender de la eleccin del sistema deejescoordenadoseneseespacioabstracto.Odichoala inversa:nuestrasteorasfsicasdebenconstruirsedetal modoquesucontenidoseaindependientedelmarco matemticoenelcualloexpresemos.Aestacondicinla denominamos simetra gauge o invariancia gauge. Noobstante,lastransformacionesgaugeseven sometidasaciertasrestriccionesdependientesdellas caractersticasfsicasdelsistemafsicoestudiado.Tales restricciones,oligaduras,jueganunpapelcrucialenla formaquefinalmenteadoptarnlasecuacionesdinmicas obtenidas variacionalmente. Enriqueciendoellagrangianoconciertotipode variablesanticonmutativasseabrelaposibilidaddeincluir en esta descripcin analtica una descripcin pseudo-clsica delossistemasconespnsemi-entero.Yampliandoan mslassimetrasgaugeadmitidas,desembocamosenel terrenodelassupersimetras,quetratandevincularlas partculasdeespnentero(bosones)conaquellasdeespn semientero(fermiones).Estanuevasimetracarecede parangn en la naturaleza y hasta el momento no se ha visto empricamenterespaldadaconeldescubrimientodelas nuevas partculas que pronostica. Puestoquelasupersimetraesunatransformacin espacio-temporalindependientedelassimetrasinternas SU(N)yU(N),slopuederelacionarbosonesyfermiones que se hallen en la misma representacin del grupo SU(3) SU(2) U(1). Por desgracia, sucede que dentro del modelo Standardbosonesyfermionesnocompartenunamisma representacin.Portanto,silasupersimetravincula bosonesconfermiones,nosernlosbosonesylos fermionesquedehechoconocemos.Eseeselmotivode quesepostulenpartculasansindetectarcomo compaeras supersimtricas de la materia ordinaria. Rafael Andrs Alema Berenguer Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 6, No. 1, March 2012126http://www.lajpe.org Sinembargo,elproblemamsgravealqueseenfrenta todoelprogramadeinvestigacinbasadoenla supersimetra,eslafaltadeuncaminosencilloydirecto para romper la simetra de su estado de vaco, de modo que laspartculassupercompaerasdelamateriaordinaria posean masas tan grandes que justifiquen la actual ausencia depruebas sobresu existencia. Laestructurainternadelas teorassupersimtricasestalquenopuedenromper dinmicamenteporsimismaslasimetradesusestado fundamental.YsidecidimosemplearunmecanismodeHiggs equiparablealdelateoraelectrodbil,nosveremos abocadosapostulartodounnuevoconjuntodecamposy partculasademsdeaquelloscuyaspropiedadestratamos deexplicar.Puestoquenocontamosconunmecanismo nicoparalarupturadesimetra,lasampliaciones supersimtricasdelmodeloStandarddebenincluirun trminoaadidooriginadosportodaslasmanerasposible en las que puede romperse la simetra. As, junto con los 18 parmetros experimentales no determinados tericamente delmodeloStandard,acabamosteniendo105parmetros indeterminados ms, tambin sin ajustar. Enelentornoclsico,otrodelosescollosquedebe enfrentar el formalismo gauge surge de la consideracin del tiempofsicocomounavariabledinmica,planteamiento tpico de la Relatividad general de Einstein. Al hacerlo as, lascaractersticasdelpropiomtodogaugeconducenala sorprendente conclusin de que la evolucin temporal de un sistemadinmicoesensmismaunaligaduragaugeque, portanto,conectaestadosfsicamenteindistinguibles.Tan violentacontradiccinconloshechossiguealzndose,sin duda,comounodelosprincipalesobstculosenla bsquedadeunmarcounificadoparalasinteracciones fundamentalesdelanaturalezapormediodelmtodo gauge. REFERENCIAS [1]Fraser,C.,Lagrangeearlycontributionstothe principlesandmethodsofmechanics,Arch.Hist.Exact. Sci. 28, 197-211 (1983). [2]Fraser,C.,Lagrangeschangingapproachtothe foundations of the calculus of variations, Arch. Hist. Exact. Sci. 32, 151186 (1985). [3]Lanczos,C.,TheVariationalPrinciplesofMechanics, (Dover, New York, 1986). [4]Frank,P.,DasKausalgesetzundseineGrenzen, (Springer, Wien, 1932). [5]Goldstein,H.,Mecnicaclsica,(Revert,Barcelona, 1990). [6]Feynman,R.,TheFeymanlecturesonphysics, (Addison-Wesley, Massachussetts, 1963). 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