Profesor: Dr. Juan Carlos Vielma

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ral 1 Ingeniería Estructural 1

Sección 63

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El método de la rigidez

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Matriz elemental de rigidez

La resolución de los problemas de estructuras se pueden formular de manera matricial, organizando convenientemente las entradas a partir de la matriz de rigidez de cada elemento, conocida como matriz elemental de rigidez.

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Matriz elemental de rigidez

Las ecuaciones elásticas rigen las relaciones que existen entre las fuerzas aplicadas en los extremos de los elementos y los movimientos que se producen en dichos extremos.

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Matriz elemental de rigidez

Para plantear la matriz elemental de rigidez se parte de un elemento recto e sección constante, sometido a fuerzas axiales y cortantes además de momentos flectores en sus extremos, que se muestra en la diapositiva siguiente:

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Elemento a-b

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Elemento a-b

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Matriz elemental de rigidez

De la figara anterior es posible verificar las relaciones que impone el estado de equilibrio del elemento:

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Matriz elemental de rigidez

Operando sobre las ecuaciones de equilibrio:

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Matriz elemental de rigidez

El alargamiento del elemento debido a la carga axial se define como:

De esta expresión se pueden obtener las componentes axiales en ambos extremos en función de las componentes axiales de los desplazamientos:

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Matriz elemental de rigidez

Además, se pueden plantear los momentos extremos en función de los desplazamientos:

Donde:

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Matriz elemental de rigidez

Al sustituir la expresión de la rotación de la deformada elástica:

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Matriz elemental de rigidez

Además, como sabemos que:

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Matriz elemental de rigidez

Es posible determinar las componentes cortantes en función de los desplazamientos:

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Matriz elemental de rigidez

De forma general, las ecuaciones anteriores se pueden ordenar de forma matricial:

Donde f es el vector de fuerzas en los nodos del

elemento, K es la matriz elemental de rigidez y

d es el vector de desplazamientos de los nodos del elemento

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Matriz elemental de rigidez

Seguidamente se especifican los componentes de la matriz y de los vectores que forman el equilibrio del elemento.

Vector de fuerzas del nodo

“a”Vector de

fuerzas del nodo “b”

Vector de desplazamientos del nodo “a”

Vector de desplazamientos del nodo “b”

Matriz elemental de rigidez

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Matriz elemental de rigidez

Los vectores de desplazamientos de cada nodo son:

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Matriz elemental de rigidez

Los vectores de fuerza de cada nodo son:

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Matriz elemental de rigidez

Puede notarse que el número de términos del vector de fuerzas y de desplazamientos dependerá del número de grados de libertad por nodo.

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Matriz elemental de rigidez

La matriz elemental de rigidez tiene unas submatrices que la conforman:

Sub matriz de rigidez del nodo “a”,

producida por los

desplazamientos del nodo “a”

Sub matriz de rigidez del nodo “a”,

producida por los

desplazamientos del nodo “b”

Sub matriz de rigidez del nodo “b”,

producida por los

desplazamientos del nodo “a”

Sub matriz de rigidez del nodo “b”,

producida por los

desplazamientos del nodo “b”

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Matriz elemental de rigidez

Los coeficientes de cada una de las sub matrices de rigidez las obtenemos de las ecuaciones de equilibrio:

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Matriz elemental de rigidez

Las cuales se deben colocar en la sub matriz:

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Matriz elemental de rigidez

Puede notarse además que esta matriz Kaa es simétrica:

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Matriz elemental de rigidez

Operando de manera similar con los desplazamiento de b:

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Matriz elemental de rigidez

Se pasa luego a la parte de la matriz de rigidez del nodo b:

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Matriz elemental de rigidez

Finalmente:

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Matriz elemental de rigidez

El número de términos de la matriz elemental de rigidez dependerá del tipo de problema que se está resolviendo (plano o espacial) o de las características de las estructuras (articuladas o reticuladas).