La ecuación diferencial lineal general de orden n

Una ecuación diferencial lineal de orden tiene la forma: +

donde y dependen solo de y no de .Si todos los coeficientes son constantes, esto es, no dependen de la ecuación se llama ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.

Sin embargo, si no todos los coeficientes son constantes, la ecuación se llama ecuación diferencial lineal con coeficientes variables.

Ejemplo: las ecuaciones

son E. D. lineales con coeficientes constantes.

•

son E. D. lineales con coeficientes variables.

ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Una E. D. lineal de – ésimo orden de la forma

+

se dice que es homogénea, mientras que una ecuación

+

con , se dice que es no homogénea. Por ejemplo, es una E. D. lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constante, mientras que es una E. D. lineal no homogénea de tercer orden con coeficientes variables.

En cálculo, la diferenciación se denota muchas veces por la letra mayúscula , es decir, . El símbolo se llama operador diferencial debido a que transforma una función diferenciable en otra función. Por ejemplo, .

Las derivadas de orden superior se expresan en términos de así:

y en general

donde representa una función diferenciable.

En general, si definimos el operador polinomial como

Las E.D.O lineales de orden no-homogéneas y homogéneas se pueden escribir, respectivamente como

y

El operador polinomial es un operador lineal. Esto es, cumple la siguiente propiedad

donde son funciones diferenciables y son constantes.

Principio de superposición: E.D. homogéneas

Sean soluciones de la ecuación homogénea de n – ésimo ordenen un intervalo . Entonces la combinación lineal.

donde las con son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo .

Dependencia e independencia lineal

Se dice que un conjunto de funciones es linealmente dependiente (L.D) en un intervalo si existen constantes no todas cero, tales que

para todo en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente el intervalo, se dice que es linealmente independiente (L.I).

En otras palabras, un conjunto de funciones linealmente independiente (L.I) en un intervalo si las únicas constantes para las que

Para todo en son

wronskiano

Criterio para soluciones linealmente independientes

Sean soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n – ésimo orden en el intervalo . El conjunto de soluciones es linealmente independientes en si y sólo si para toda en el intervalo.

Conjunto fundamental de soluciones

Cualquier conjunto de soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de n – ésimo orden en un intervalo es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

Solución general: ecuaciones homogéneas

Sea un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n – ésimo orden en el intervalo . Entonces la solución general de la ecuación en el intervalo es

donde las con son constantes arbitrarias.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: