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Introducción Y Propiedades De Los Límites
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INTRODUCCIÓN Y PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
INTRODUCCIÓN Y PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Conceptualización Intuitiva de Límite:
Definamos la función P(n) como un polígono regular de n lados, la idea es observar que pasaría si n se hace muy grande; es decir, cuando n tiende a infinito.
En la ilustración se muestra que cuando n aumenta, el polígono se acerca cada vez más al círculo.
Luego:
P = Polígono; C = Circunferencia
La expresión anterior, está indicando que cuando el número de lados se hace muy grande, el polígono se acerca al círculo.
Conceptualización Básica de Límite:
Sea la función y = f (x), si se hace que la variable se acerque mas y mas a un valor fijo c, entonces la función se acercara a un valor fijo L. Lo anterior se puede escribir simbólicamente de la siguiente manera:
Si aplicamos la definición a un caso especifico, se puede entender mejor el principio.
Sea: 42
42
2
x
xLimx
Lo que vamos a hacer es tabular algunos valores de x muy cercanos; por encima y por debajo de 2 y, reemplazando en la función, se obtiene el valor del límite de la función.
Tomamos valores de la variable por debajo de 2:
X 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999
Límite 3,9 3,99 3,999 3,9999 3,99999 3,999999
Tomamos valores de la variable por encima de 2:
X 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001
Límite 4,1 4,01 4,001 4,0001 4,00001 4,000001
Los cuadros dejan ver claramente que a medida que la variable x se acerca a 2; por encima o por debajo, el límite de la función L se acerca a 4.
Definición de límite
Propiedades de los límites:
Con el fin de comprender de una mejor manera el desarrollo de los límites vamos a analizar algunas propiedades esenciales de esta temática.
1. Límite de una Constante: kkLimax
para k una constante
2. Límite de una Variable: nn
axaxLim
Para Zn
3. Límite de Constante por Función: )()( xfLimkxkfLimaxax
4. Límite de Suma / Resta de funciones:
)()()()( xgLimxfLimxgxfLimaxaxax
5. Limite de Producto de Funciones: )(*)()(*)( xgLimxfLimxgxfLimaxaxax
6. Límite de Cociente de Funciones:
)(
)(
)(
)(
xgLim
xfLim
xg
xfLim
ax
ax
ax
Para
0)(
xgLimax
Definición:
Se dice que ,
Que se lee: “El límite de f(x) cuando x tiende a a, es igual a L”,
Si es posible hacer que los valores de f(x) se aproximen tanto como queramos a L, al tomar valores para x suficientemente próximos a a, pero no igual a a.
En símbolos: entonces
7. Límite de una Potencia: nax
n
axxfLimxfLim )()(
Para Zn
8. Límite de la Raíz: nax
n
axxfLimxfLim )()(
Siempre que 0)(
n
axxfLim si n es
par
9. Límite de Función Exponencial: 0K
)()(
K
xfLimxf
ax
axKLim
Evaluar un límite
Evaluar un límite es reemplazar la tendencia de la variable en la función, para obtener su límite.
Ejemplo 1:
Sea la función xxxf 25)( 4 Evaluar el límite cuando x tiende a 3.
Solución: Escribamos analíticamente la expresión anterior: xxLimx
25 4
3
Aplicando las propiedades de suma / resta y constante por función:
xLimxLimxLimxLimxxLimxxxxx 3
4
33
4
3
4
3252525
El siguiente paso es evaluar el límite:
399640532)3(525 4
3
4
3
xLimxLim
xx
Observemos que cuando se evalúa el limite, la expresión ax
Lim
Desaparece, ya
que la variable es reemplazada por su tendencia. Ejemplo 2:
Hallar el límite de la función 643)( 23 xxxf cuando x tiende a 4.
Solución:
Expresemos el ejercicio de manera analítica: 643 23
4
xxLim
x
Aplicando la propiedad de suma: 6434
2
4
3
4
xxxLimxLimxLim
El primer límite es de una constante por una función al igual que el segundo y el tercero es el límite de una constante, entonces:
66436434
2
4
3
44
2
4
3
4
xxxxxxLimxLimxLimLimxLimxLim
Aplicando las propiedades 1 y 2, y evaluando obtenemos:
2506641926)4(4)4(3643 23
4
2
4
3
4
xxxLimxLimxLim
Entonces:
250643 23
4
xxLim
x
Es de anotar que en el desarrollo de un límite se pueden utilizar una o varias de las propiedades mencionadas.