Transformada Inversa de Laplace:

Manejo de Expresiones Racionales, directivas bsicasLa clave est en el denominador. Lo que debe de hacerse depende centralmente de l. Primeramente se factoriza y dependiendo del resultado se procede. Estos son algunos de los casos importantes. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.9. Otros casos: Solo queda fracciones parciales.Ejercicios? Ir sin regreso

Un resultado bsico sobre la transformada indica que El lmite de una expresin en s, que es la transformada de Laplace de una funcin, cuando s tiende a infinito debe ser cero. Para que en una expresin racional esto pase el exponente del denominador debe ser mayor que el exponente del denominador. Por eso en todos los ejemplos que se dan a continuacin esto se cumple. EJEMPLOS Caso: Denominador potencia de s Ejemplo Determine:

Solucin Distribuimos primeramente el denominador:

Usando la propiedad de linealidad tenemos:

Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:

Por tanto:

ndice

Caso: Denominador potencia de (s-a) Ejemplo Determine:

Solucin El denominador domina el proceso; para aplicar el primer teorema de traslaci debemos hacer que la expresin sea una en s+4. Para ello todas las s en el numerador las cambiaremos por s+4-4:

O:

El termino s+4 es s-a, es decir a=-4 y al aplicar el primer teorema de traslacin tenemos:

Y siguiendo la propiedad de linealidad:

Haciendo uso de la tabla de transformadas:

Por tanto

ndice

Caso: Denominador producto de factores lineales diferentes. Ejemplo Determine:

Solucin Aqu las races del denominador:

son: r1= -3 y r2 = 2, utilizando fracciones parciales queda:

Existe una tcnica rpida para fracciones parciales que slo es aplicable para determinar el coeficiente de una fraccin de un factor lineal no repetido, a saber:

con:

Es decir: El coeficiente numrico para un factor lineal es simplemente la evaluacin de la fraccin original en el valor de la variable donde se hace cero, excluyendo el factor de la fraccin parcial Es decir podemos imaginarnos el coeficiente A asociado al factor (s-a) como:

Aplicando esto, tenemos que A es el coeficiente asociado al factor (s+3) que se hace cero en s=-3, asi:

mientras que

Por tanto:

ndice

Caso: Ejemplo Determine:

Solucin Distribuyendo el denominador:

Usando la propiedad de linealidad tenemos:

Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:

Por tanto:

ndice

Caso: En este caso: Y se procede como en el caso 3ndice

Caso: El denominador es una expresin cuadrtica cuyas races son iguales. En este caso: Y la expresin se escribe:

Y se procede como en el caso 2ndice

Caso: El denominador es una expresin cuadrtica cuyas races son iguales. En este caso: Y la expresin se escribe:

Y se procede como en el caso 3ndice

Caso:

El denominador es una expresin cuadrtica cuyas races son complejas. Idea: En este caso las races r1 y r2 de esa ecuacin cuadrtica son complejas(imaginarias) y conjugadas (que sean iguales salvo que difieren en el signo de la parte compleja). En este caso se procede a formar un trinomio cuadrado perfecto en el denominador y posteriormente se aplica el primer teorema de traslacin. Ejemplo Determinemos

Soluci Aqu las races del denominador: obtenidas mediante la aplicacin de la frmula general para la ecuacin de segundo grado son: El denominador se trabaja de la siguiente forma:1. los dos primeros trminos del denominador se imaginan como formando parte

de un trinomio cuadrado perfecto. El trmino faltante es el nmero 4.

2. se factoriza el trinomio cuadrado perfecto.

El denominador es usado ahora como base para presentar la expresin completa debe presentarse como una expresin en s-2:

Ahora aplicamos el primer teorema de traslacin; todas las apariciones de s-2 con cambiadas por s y esto involucra la aparicin del factor :

Ahora separamos las fracciones:

Por linealidad

Aplicando las frmulas de la transformada:

Por tanto:

ndice

Caso: El denominador queda factorizado con muchos trminos En este caso lo mas recomendable es utilizar fracciones parciales. Si esto le resulta cansado utilice el comando de maple: > convert( Expresion , parfrac , variable );

Transformada Inversa de LaplaceEn matemtica, la transformada inversa de Laplace de una funcin F(s) es la funcin f(t) que cumple con la propiedad donde es la transformada de Laplace.

La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un nmero de propiedades que las hacen tiles para el anlisis de sistemas dinmicos lineales.

Forma integralUna frmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de Bromwich, integral de Fourier-Mellin o frmula inversa de Mellin, es dada por la integral lineal:

donde la integracin se realiza a lo largo de la lnea vertical en el plano complejo tal que es mayor que la parte real de todas las singularidades de .

Tabla de transformadas mas usadas

EjemplosEjemplo 1Calcular la Transformada de Laplace

Puesto que

por lo tanto tenemos que:

Ejemplo 2Determinar

Utilizando las transformaciones de la Tabla1 obtenemos:

Ejemplo 3Determinar

Ejemplo 4Determinar Por fracciones parciales.....

Ejemplo 5Determinar

Ejemplo 6Determinar

Dado que

obtenemos que

Ejemplo 7Determinar podemos separar el 6 en y sacamos el 3

Luego tenemos que Por lo que obtenemos que

es de la forma

Ejemplo 8

Determinar Podemos separar en dos partes

Podemos factorizar un 2 en ambas partes

Por lo que nos queda de la forma Por lo tanto obtenemos que

y

respectivamente

Ejemplo 9Determinar obtenemos que

restamos el corrimiento y obtenemos

Ejemplo 10Determinar obtenemos que

Ejemplo 11Calcular la Transformada de Laplace

Puesto que

por lo tanto tenemos que:

Ejemplo 12Calcular Aplicando conpletacion al cuadrado obtenemso los siguiente. Ahora expresando la ecuacion como finalmente aplicando las transformadas inversas basicas q conocemos obtenemos que:

Ejemplo 13Calcule

Ejemplo 14Calcule Suponga que y utilizando Fracciones parciales encontramos los valores de nuestas constantes.

ya que tenemos nuestros valores tenemos que

Ejemplo 15Calcular la transformada inversa de Laplace

identificamos que Entonces

valuada de 0 a T

Ejemplo 16Calcular:

Ejemplo 17Calcular:

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