INVESTIGACIÓN: APLICACIÓN DE METODOLOGÍA DE MALLAS

INVESTIGACIÓN: APLICACIÓN DE METODOLOGÍA DE MALLAS TRINOMIALES PARA LA EVALUACIÓN DE UN CASO DE OPCIONES

REALES.

JUAN MANUEL OSORIO CUSGÜEN JUAN DARÍO ORTIZ CASTAÑEDA

PROFESOR: PEDRO ANGEL DIRECTOR GRUPO INVESTIGACION EN OPCIONES REALES

UNIVERSIDAD DE LA SABANA ESPECIALIZACIÓN EN FINANZAS Y NEGOCIOS INTERNACIONALES

2011

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CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN pág. 4

2. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN pág. 6

2.1. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA pág. 6

2.2. JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA pág. 7

3. OBJETIVOS pág. 8

3.1. OBJETIVO GENERAL pág. 8

3.2. OBLETIVOS ESPECIFICOS pág. 8

4. MARCOS DE REFERENCIA DEL PROYECTO pág. 9

5. METODOLOGÍA pág. 17

6. CONCLUSIONES pág. 36

7. ANEXOS pág. 39

8. BIBLIOGRAFÍA pág. 49

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RESUMEN

La Teoría de Opciones Reales para valoración sobre activos financieros se encuentra todavía en pleno desarrollo, el cual ha facilitado la concepción y evolución de varias metodologías para abordar sus aplicaciones Las mallas trinomiales son un método alternativo que ofrece una aproximación más refinada en una valoración, que la resultante de aplicar la ampliamente utilizada y conocida malla binomial. Mediante una comparación práctica se abordó un caso de opciones reales de una empresa de tecnología de los autores Copeland y Antikarov1 donde se incluyen decisiones simultaneas de expansión y abandono en la valoración de un proyecto, y que es evaluado mediante mallas binomiales. El presente ejercicio introduce la aplicación de malla trinomiales que siguen los supuestos del método browniano2 y el método desarrollado por Johnantan Mun3, con la idea de identificar diferencias significativas respecto a su formulación y su influencia sobre los resultados analíticos. También se analizará la influencia de la volatilidad en el valor y la estructura de las mallas binomiales, observando el impacto que puede tener sobre la estrategia detrás de la aplicación de opciones reales para la valoración de proyectos.

1 En adelante C&A. El libro: COPELAND T., ANTIKAROV V. 2001, Real Options: A Practitioner's Guide, Texere

Publishing, New York. 2 Proviene del movimiento Browniano. 3 MUN, J., 2002. Real Options Analysis: Tools and Techniques for Valuing Strategic Investments and

Decisions. Wiley Finance. New Jersey.

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1. INTRODUCCIÓN

Las personas en su vida diaria están sujetas en todo momento a la toma de decisiones, donde siempre hay un riesgo presente y un grupo de alternativas de acuerdo a sus necesidades, sin embargo también pueden tomar el camino de no realizar acción alguna o de aplazar en el tiempo las opciones que se le presentan. Teniendo en cuenta lo anterior y extendiéndolo a la teoría y aplicación de las opciones reales, observamos que es generalizado el uso de mallas o árboles binomiales, y es limitado el uso de las trinomiales, las cuales supondríamos son una mejor aproximación a la experiencia humana frente a decisiones personales, emprendimientos y de proyectos ya que expande el abanico de posibilidades. Las decisiones en los proyectos de inversión tienen siempre un componente de incertidumbre debido a diversos tipos de factores. El método más conocido de Flujo de Caja, se desarrolla a partir de un escenario estático, bajo un solo proceso de toma de decisiones, donde no existen variables dependientes del tiempo y solo existe un camino u opción por recorrer. C&A4 llama a esto un escenario sin flexibilidad. En otro sentido, las opciones reales toman en cuenta la administración estratégica de esas opciones y la incertidumbre de cada una de ellas (riesgo), permitiendo así flexibilidad en el ejercicio o abandono de cada una de éstas opciones cuando el nivel de incertidumbre ha decrecido o se empieza a conocer a través del tiempo. La identificación y valoración de estas opciones como estrategia son las que le dan un valor adicional al valor de un simple Flujo de Caja Descontado5. Es más, entre más inciertos puedan llegar a ser estas opciones, mas valor será añadido a la valoración del proyecto. Esto debido a que pueden ser corregidas con la nueva información conocida y tomar mejores decisiones. Actualmente existen diversos modelos que buscan la valoración de este tipo de opciones reales6. Uno de ellos, y el más utilizado por su sencillez para interpretarlo, es la metodología de mallas binomiales. Ésta metodología usa un árbol o malla básico de dos ramas (dos escenarios, cada uno con una probabilidad

4 Copeland & Antikarov 5 DFC siglas en inglés. 6 El modelo Black Scholes es el más conocido, pero aplicado a opciones financieras. Los árboles o mallas binomiales son los más usados en opciones reales.

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de ocurrencia: mejor o peor), donde la decisión o el proyecto puede tomar uno u otro camino de acuerdo a las condiciones del entorno en determinado espacio de tiempo. Las mallas o árboles trinomiales, análogamente, hacen uso de un árbol básico de tres ramas donde cada una representa una situación mejor, peor, o similar a la actual. En este caso la complejidad del análisis aumenta un poco, lo mismo que las posibles aplicaciones. La presente investigación tratará de buscar una diferencia clara entre la implementación, el análisis y los posibles usos del modelo trinomial aplicado a un ejercicio incluido en el libro Real Options: A Practitioner's Guide de Thomas E. Copeland y Vladimir Antikarov7. El ejercicio comparativo permitirá contrastar los resultados del modelo binomial y trinomial. Se buscarán identificar fortalezas y debilidades del modelo trinomial usando la metodología de aplicación del autor Johnathan Mun8, quién propone un procedimiento específico para la valoración de inversiones y decisiones de inversión usando opciones reales. Más allá de la simple aplicación de las opciones reales, encontramos un tema determinante en la evolución del valor y la estrategia dentro de los nodos de las mallas al aplicar ésta práctica de valoración: la volatilidad. Ésta volatilidad es la traducción matemática del riesgo, el cual se refleja en la incertidumbre que genera presupuestar o proyectar el comportamiento de las variables que afectan el valor de un proyecto de inversión. Su cálculo y observación deben ser cuidadosos debido a que impacta no solo el valor, sino el momento y la calidad de las decisiones en la vida del proyecto.

7 PORTES CASE. Tomado del Libro: COPELAND T., ANTIKAROV V. 2001, Real Options: A Practitioner's Guide, Texere Publishing, New York. Capítulo 11. 8 MUN, J., 2002. Real Options Analysis: Tools and Techniques for Valuing Strategic Investments and Decisions. Wiley Finance. New Jersey. Capítulo 4

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2. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

2.1. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

En la literatura y estado del arte de las opciones reales se encuentra bastante información de tipo analítico y aplicativo de la metodología de mallas binomiales, pero poca en el sentido empírico sobre mallas trinomiales. Por esto, se ha seleccionado como escenario analítico un ejercicio práctico tomado del libro Real Options: A Practitioner's Guide de Thomas E. Copeland y Vladimir Antikarov que hace referencia a la valoración de una opción de expansión y de abandono conjuntas para un proyecto de una empresa de tecnología. En el ejercicio los autores utiliza la metodología de mallas binomiales para la valoración del proyecto. La intención de ésta investigación es utilizar la metodología de las mallas trinomiales usando tanto los supuestos del autor Johnathan Mun así como los supuestos del modelo browniano9 en el cálculo de los parámetros de las mallas trinomiales. El objetivo es poder derivar conclusiones respecto al contraste y comparación de éstas metodologías en lo relacionado a los efectos de la volatilidad, la definición de las probabilidades y el mismo valor de la opción. La literatura sobre los temas en opciones reales disponible es amplia, pero en el grupo de investigación de la Universidad de La Sabana, se desea establecer problemas concretos donde se apliquen y se analicen las metodologías binomiales y trinomiales, en este caso con ayuda de la bibliografía de Johnathan Mun y Copeland/Antikarov referenciada. Para esto se ha escogido un modelo especial aplicado a un caso particular del cual se esperan obtener los resultados y observaciones pertinentes que aporten al grupo de investigación. Paralelamente nos interesamos en observar que sucede con la estructura y el valor de la malla binomial del caso10, cuando el valor del riesgo se subestima y/o se sobreestima. Esto nos guiará a entender un poco más acerca de la evolución y

9 Movimiento Browniano descubierto por Robert Brown en la explicación del choque de partículas pequeñas con partículas de mayor tamaño. 10 Referencia al caso PORTES de C&A

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el impacto que ésta variable riesgo11 tiene sobre la estrategia al aplicar las mallas y obviamente la aplicación de opciones reales en valoración.

2.2. JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA Los árboles o mallas trinomiales generalmente son presentados como metodologías que intentan ofrecer un acercamiento mejorado a la realidad que el que ofrece el muy usado árbol binomial para la valoración de opciones reales en proyectos. Él árbol trinomial presenta un grado de complejidad mayor porque incluye un escenario alternativo adicional en cada unidad de tiempo en la vida del proyecto. En muchos casos éstos escenarios que describen el abanico de posibilidades por las cuales puede encaminarse el proyecto, permiten mostrar optimismo, pesimismo o en general estados que tienen una incertidumbre y una probabilidad de ocurrencia. De ésta manera se espera que estos modelos se ajusten a algunas aplicaciones específicas donde haya más de dos alternativas de escenarios a medida que transcurren las diferentes etapas de la vida del proyecto. Para lograr una aproximación al perfilamiento de las mallas trinomiales inicialmente se utilizará el caso Portes de C&A, donde los autores han usado la metodología de mallas binomiales, y poder comparar resultados. Adicionalmente, entendiendo la importancia que tienen los supuestos para el cálculo de los parámetros de la valoración con mallas, utilizamos las fórmulas de Mun y las fórmulas del modelo Browniano para la deducción de las probabilidades de salto entre los distintos nodos (ramas) de las mallas trinomiales. Por otra parte, el análisis del impacto de la volatilidad en el ejercicio de C&A, deberá ayudarnos a reconocer cual es el objetivo estratégico detrás de la valoración con éste tipo de metodología. Debemos encontrar si la flexibilidad que pueda ofrecer las opciones reales tiene un comportamiento similar bajo el escenario sin flexibilidad, o si el comportamiento de las entradas que afectan el proyecto tiene de alguna manera un impacto considerable en el resultado. Se debe analizar cuál es la flexibilidad que ofrecen las opciones. Se espera que con los resultados obtenidos se puedan realizar comparaciones y observaciones que ayuden a mejorar el proceso modelación desde el punto de vista de selección de las metodologías de valoración y del impacto de los supuestos en los resultados, todo esto considerando el escenario que plantea el ejercicio escogido, y aumentar el conocimiento en la implementación y aplicación de los árboles o mallas trinomiales. 11 El riesgo se asocia con la volatilidad que matemáticamente es representada por la desviación estándar.

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3. OBJETIVOS

3.1. OBJETIVO GENERAL

Incrementar el conocimiento y la experiencia del grupo de investigación sobre Opciones Reales de la Universidad de la Sabana, en el uso de mallas o arboles para la valoración en proyectos de inversión con opciones reales, y observar el impacto que tiene el riesgo en la estrategia detrás del uso de ésta metodología.

3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Modelar el uso de opciones reales en la valoración de un proyecto con la implementación de arboles trinomiales y binomiales. Implementar y validar las metodologías recomendadas de la bibliografía referenciada del cual se extrae el procedimiento analítico, y concluir sobre estos resultados. Analizar el impacto que tienen los supuestos utilizados, para el cálculo de los parámetros de las mallas binomiales, específicamente lo relacionado al riesgo, y que afecta directamente el resultado final de la valoración. Perfilar conclusiones sobre las ventajas y debilidades entre las metodologías de mallas analizadas, así como deducir cuales son las características iníciales de un proyecto que indican cual metodología podría ser la más acertada para la valoración del mismo. Aumentar la experiencia dentro del grupo de investigación de la Universidad de La Sabana sobre el tema de opciones reales, específicamente en el desarrollo empírico de metodologías de valoración y en el análisis del modelo de árboles trinomiales.

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4. MARCOS DE REFERENCIA DEL PROYECTO

4.1. ESTADO DEL ARTE

ANTECEDENTES

El término de opciones reales fue establecido por Stewar Myers12 en 1977, para hacer referencia a la aplicación de la teoría de opciones en la valoración de bienes no financieros, específicamente a la inversión en activos reales que presentaran un componente de flexibilidad, tal como la inversión en investigación y desarrollo y/o en la expansión de una planta de manufactura13.

Enmarcados en la presente investigación, restringimos el marco teórico al tema de mallas trinomiales para la valoración con opciones reales. Originalmente la metodología de mallas trinomiales fue propuesta por Phelim Boyle (Option Valuation Using a Three-Jump Process, 1986) como un intento de mejorar la definición de los movimientos que se observan en un mercado de acciones (al alza, a la baja o estable).

Posteriormente las aplicaciones a las opciones financieras fueron desarrolladas por Derman, E., Kani, I. & Chriss, N. (Implied Trinomial Trees of the Volatility Smile, 1996), formalizando los parámetros que definen una malla Trinomial con una volatilidad implícita definida.

Mark Rubinstein es uno de los teóricos más destacados dentro del área de las Opciones Reales, en su documento de investigación del año 2000 Between Binomial and Trinomial Option Pricing Models plantea que un modelo de valoración de opciones binomial, con parámetros adecuadamente definidos, se puede mostrar como un caso especial del método de las diferencias finitas, es decir que el modelo de mallas Trinomial es una generalización extendida del modelo binomial descrito originalmente por Cox, Ross y Rubinstein (1979).

12 Myers, S.C., 1977. Determinants of corporate borrowing. Journal of Financial Economic.

13, Calle A., Tamayo V., 2008 Decisiones de Inversión a través de Opciones Reales, Revista Estudios Gerenciales, Vol. 25 No. 111 (Abril ‐ Junio, 2009), 107‐126

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Un articulo enfocado al aspecto académico de enseñanza destacable fue escrito en 2008 por Paul Clifford y Oleg Zaboronski Pricing Options Using Trinomial Trees donde comentan como el modelo Trinomial fue frecuentemente utilizado hace 15 años pero progresivamente a entrado en desuso para la determinación de precios de opciones financieras debido en parte a su mayor complejidad. Un autor explícitamente práctico es Johnatan Mun, quien ofrece inicialmente una exploración de las mallas trinomiales para Opciones Reales en forma marginal, dentro del apéndice en el libro de 2002 Real Options Analysis Tools and Techniques for Valuing Strategic Investments and Decisions expone un caso real donde se aplica la metodología sin profundizar en la parte operativa detrás del análisis. Complementariamente el mismo autor desarrolla ejercicios y es mas explicito en el procedimiento específico con datos reales, mostrando el procedimiento operativo haciendo uso dos tipos de software Trinomial como se observa en su libro Real Options Analysis Course: Business Cases. La emisión de documentos de investigación sobre las mallas trinomiales para opciones reales no son prolíficas. Observamos artículos universitarios llamativos como Real Options and Product Life Cycles realizado por Nicolás P.B. Bollen donde incorpora varias parametrizaciones k-nomiales entre ellas trinomiales en el desarrollo de un modelo de valuación de Opciones Reales que incluyera implícitamente el ciclo de vida de un producto.

MALLAS O ÁRBOLES TRINOMIALES

Los árboles o mallas trinomiales, al igual que las binomiales parten de asumir un proceso de movimiento Browniano14, pero matemáticamente un poco más difícil de resolver. Son una metodología de valoración de opciones así como el conocido y ampliamente difundido, desarrollado por Black-Scholes para las opciones financieras15. Las mallas o árboles representan un mundo discreto, mientras BS muestran el lado continuo.

14 Se dice que las mallas binomial o multinomiales son un tipo de simulación discreta, análoga al proceso estocástico de movimiento Browniano, que es una simulación continua. 15 Donde el activo subyacente son acciones o índices bursátiles.

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Cuadro 1.

Fuente: Mun, J., Tools and Techniques for Valuing Strategic Investments and Decisions

Veamos, en la gráfica 1, hagamos S el valor presente neto de un flujo de caja inicial, u y d los factores de salto del movimiento browniano, de pasar al brazo superior e inferior respectivamente (en este caso, la malla es del tipo recombinante, donde los brazos intermedios convergen en puntos comunes).

Se puede demostrar que las ecuaciones trinomiales para calcular las probabilidades riesgo-neutrales16 son pL, pM y pH, respectivamente para cada uno de los brazos.

16 Estás probabilidades riesgo neutrales hacen referencia a que el nodo inicial hace uso de un flujo de caja descontado a unas tasa de descuento ajustada al riesgo. La idea es ajustar las probabilidades halladas en cada nodo, haciéndolas neutrales a ese riesgo específico (es decir, independiente del riesgo de la tasa de descuento del flujo de caja inicial).

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Cuadro 5.

LAS SEIS POSICIONES BÁSICAS EN OPCIONES REALES

Opción de

Expandir/Contraer Alterar la capacidad dependiendo de las condiciones de mercado.

Opción de Abandonar Deshacerse de un proyecto rentable.

Opción de Cambiar Cambiar los parámetros de salida o de entrada, o el modus

operandi.

Opción de Crecer Aprovechar oportunidades futuras relacionadas con el proyecto.

Opción de Aplazar Esperar hasta que reduzca aún más la información de

incertidumbre del mercado.

Opción de Etapa Fraccionar de la inversión incrementalmente con medidas

condicionales.

Fuente: Branch, M.,2003. Real Options in Practice. Wiley Finance. New Jersey

SIMULACIÓN DE MONTECARLO Y CRYSTAL BALL®18

La simulación de Montecarlo es una metodología que se utiliza para modelar el mundo real, cuando las matemáticas son muy complejas para analizar o difíciles de reproducir19. La intención es poder generar entradas de un modelo, de acuerdo a las salidas y la identificación del comportamiento de éste. Normalmente, con base en datos históricos, se puede interpretar el tipo de distribución de probabilidad que pueden seguir estos datos. Luego, con base en esa identificación, se generan unos nuevos datos de manera aleatoria que tengan los parámetros identificados de la función de distribución.

En la aplicación de la simulación de Montecarlo se vuelven importantes los conceptos de volatilidad (desviación estándar), funciones de distribución de probabilidad (como la distribución norma, que es la más utilizada) y el uso de las hojas de cálculo (como Excel® de Microsoft Office).

18 Crystal Ball™ es un software 19 Ver MUN, J., 2002. Real Options Analysis: Tools and Techniques for Valuing Strategic Investments and Decisions. Wiley Finance. New Jersey. Pág. 102

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Se pueden construir diversas clases de arboles y aplicar una variedad de criterios para el cálculo de éstos parámetros pero que deben ser equivalentemente razonables. Sin embargo a pesar de tal paridad limitante, una clase de malla puede ser más conveniente que otra. En cualquiera de los supuestos observamos que la volatilidad (desviación estándar) afecta los coeficientes y las probabilidades de salto entre los nodos de las mallas. Esta es la causalidad entre riesgo y estrategia que se desarrolla al aplicar las opciones reales.

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5. METODOLOGÍA La metodología utilizada para el desarrollo de la investigación está dividida básicamente en dos etapas: Adaptación y análisis del caso de la empresa PORTES de Copeland/Antikarov, la cual presenta la valoración de un proyecto de inversión para una empresa de software usando opciones reales con mallas binomiales. La idea es obtener el flujo de caja y crear las mallas Trinomiales en Excel para obtener el valor del proyecto y el valor de las opciones y compararlas con lo obtenido por los autores. Valoración y análisis del proyecto de la empresa PORTES usando los supuestos de Johnathan Mun en la valoración con opciones reales usando mallas trinomiales. Igualmente, se utilizarán los supuestos del modelo Browniano para realizar la valoración. Aquí se desea obtener el contraste entre usar mallas binomiales y trinomiales para el proceso de valoración, y conjuntamente obtener conclusiones sobre el impacto de los supuestos usados en la configuración del modelo de valoración. Específicamente los cálculos de las probabilidades de avance entre los nodos de las mallas usando los supuestos de Mun y los del modelo Browniano. DESCRIPCIÓN DEL CASO PORTES20 Para analizar buscar conclusiones sobre los objetivos de este proyecto, se utilizó el caso Portes de la bibliografía de COPELAND / ANTIKAROV, (Real Options: A practitioner´s Guide, 2001) Portes es una empresa que se ha especializado en programas (software Recover™) para la recuperación de datos en discos duros. En este momento la empresa analiza el proyecto de invertir en un sitio en internet para comercializar sus productos en otro país.

20 Real Options: A practitioner´s Guide, Capitulo 11, pág. 381.

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Este proyecto se caracteriza por que el sector en el que se trata de desarrollar puede generar gran incertidumbre en sus proyecciones para valorarlo. Sin embargo el equipo financiero y directivo de la compañía logran establecer unas metas claras en ventas y precios a 6 años y unos costos definidos gracias a su experiencia en el sector. No obstante cabe señalar que hay gran cantidad de volatilidad contenida en estos datos asumidos y los supuestos El grupo que hace la valoración logra determinar un flujo de caja inicial del proyecto y se encuentra que éste caso base tiene un Valor Presente Neto Negativo. Debido al convencimiento y los argumentos de la gerencia sobre la viabilidad del proyecto deciden realizar un análisis más profundo, identificando, modelando y proyectando los factores claves de riesgo que están afectando la rentabilidad del caso base. Se encontró que los factores más importantes y riesgosos eran las proyecciones de ventas y del precio, y se usó la Simulación de Montecarlo para calcular su volatilidad. Después se encontró que la sola venta de productos no tenía en cuenta la verdadera estrategia detrás del uso del sitio web para la comercialización. Dé esta manera se llegó en algún momento a pensar en un proyecto de expansión con un capital adicional en la introducción de un nuevo producto de uso en tiempo real a través del site en internet y que era complementario al producto inicial (software para backup de información). Esto genera una opción de expansión la cual puede ser ejercerse en cualquier momento de acuerdo a como se comporten las ventas del producto inicial. Seguido a esto también se piensa que ante un eventual fracaso en la ventas de la empresa, ésta puede ser vendida y acabar así con la operación en este nuevo país. Esto genera una opción de abandono que también puede ser ejercida en cualquier momento de acuerdo a como se desempeñen las ganancias de la empresa. FLUJO DE CAJA Y VALOR PRESENTE NETO Aquí el primer paso es encontrar el flujo de caja (FCF) del proyecto usando los valores esperados de las variables que el grupo directivo de PORTES proyecta. Seguidamente se calculará el valor presente (VPN) de éstos flujos y se determinaré la viabilidad del proyecto desde el punto de vista de la metodología de Flujo de Caja Descontado (DCF). A esto lo llamaremos el caso base.

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El flujo de caja del caso base se construye en base a las siguientes expectativas del grupo directivo: Vender 200 programas en el 1er año, y pasar a 400 programas en los

siguientes 5 años. El precio se reducirá de $30.0 a $20.0 en los primeros 6 años. El costo de ventas por unidad caerá de $9,0 en el año 1 hasta $7,0 en el

año 6. Arriendo de oficina y de espacio de almacenamiento $200.0 año. Gastos de administración y ventas el 10% del ingreso. Inversión inicial de $35000 con depreciación a 10 años. Impuesto de renta 40%. Tasa de retorno esperada 13%. Valor terminal (después del 6º. año) de $50960 (anualidad perpetua con

crecimiento de 4% y tasa de retorno de 12%).

Cuadro 9.

El resultado de los cálculos difiere levemente del autor del caso a causa del uso de decimales adaptados en Excel.

0 1 2 3 4 5 6 7Unidades 200 230 264 303 348 400Tasa de Crecimiento 13,9% 13,9% 13,9% 13,9% 13,9% 13,9%Precio 30,00 27,66 25,51 23,52 21,69 20,00Tasa de Crecimiento -8,1% -8,1% -8,1% -8,1% -8,1% -8,1%Costo por unidad 9,0 8,6 8,1 7,7 7,4 7,0Ventas 6.000 6.355 6.731 7.130 7.552 7.999Costo de Ventas 1.800 1.976 2.137 2.334 2.577 2.800Margen Bruto 4.200 4.379 4.594 4.796 4.975 5.199Costos Fijos 200 200 200 200 200 200Gastos Adm. y Ventas 600 636 673 713 755 800EBITDA 3.400 3.544 3.721 3.883 4.020 4.199Impuestos (40%) 0 18 88 153 208 280Ingresos Netos -100 26 132 230 312 419Depreciación 3.500 3.500 3.500 3.500 3.500 3.500Inversión 35.000Flujo de Caja Libre -35.000 3.400 3.526 3.632 3.730 3.812 3.919

Valor Terminal 46.853Tasa de Descuento 13%VP FCL 34.942 35.979 37.022 38.092 39.200 40.366 41.573FCL Descontado 34.942 39.379 40.549 41.724 42.930 44.178 45.493Payout 8,63% 8,70% 8,71% 8,69% 8,63% 8,62% 100,00%

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El valor presente de éste flujo de caja da un valor de $34942, restando el valor de la inversión inicial $35000 nos da un valor neto de -$58. De ésta manera el análisis por flujo de caja descontado nos indicaría que el proyecto puede no ser viable debido a que su VPN es negativo. MODELAJE CON INCERTIDUMBRE (VOLATILIDAD) Se identifican las variables de Unidades y Precio como los factores que mayor riesgo añaden al proyecto. Copeland/Antikarov21 usan una metodología para calcular el valor esperado y la volatilidad del retorno del proyecto (necesaria para el cálculo de los parámetros de las mallas) donde asumen un intervalo de confianza de 95% y un límite inferior de éste tanto para las Unidades como para el Precio y toman los supuestos de crecimiento mencionados. La idea es utilizar estos datos para realizar una Simulación de Montecarlo y encontrar la volatilidad del proyecto (la distribución de probabilidad del retorno). Supuestos:

1. El precio se reduce de $30.0 a $20.0 en 6 años. 2. Las unidades vendidas pasaran de 200 en al 1er. Año a 400 en el 6to. Año.

Cálculo de la tasa de crecimiento promedio (valor esperado) de Precio y Unidades: Se utiliza la fórmula de crecimiento: ∆

∆ · Para el supuesto 1, sobre el precio, tenemos que la tasa r que satisface la ecuación:

· 30 · 20 8.11% Para el supuesto 2, sobre las unidades vendidas, tenemos:

· 200 · 400 13.86%

21 COPELAND T., ANTIKAROV V. 2001, Real Options: A Practitioner's Guide, Texere Publishing, New York. Capítulos 9 y 11. Ver anexo 2 para mayor detalle.

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Estos valores son los valores esperados del crecimiento de las variables Unidades y Precio. Calculo de la volatilidad (desviación estándar) de Precio y Unidades: Teniendo una volatilidad definida, el precio en el año 6 debería encontrarse con una confianza del 95% en el siguiente intervalo22:

30 . % √ , 30 . % √

Lo que hacen Copelan/Antikarov es preguntar además del valor esperado en el año 6 (igual a $20.0), ¿Cuánto puede o cree la administración que el precio puede llegar a caer en el año 6? Para el ejercicio la respuesta fue $15.0. Así, y utilizando el límite inferior del intervalo de confianza igualado al valor de $15.0 despejamos el valor de la desviación estándar:

∑

2√

5 8.11%1530

2√56.43%

De la misma manera para las unidades vendidas, utilizando un límite inferior del intervalo de confianza igual a $190.0, obtenemos

5 13.86%190200

2√516.65%

De ésta manera encuentran los parámetros de la distribución de probabilidad media y desviación estándar para las variables Unidades y Precio, utilizamos Simulación de Montecarlo utilizan el caso base del DCF para encontrar la volatilidad y valor esperado del retorno del proyecto Es importante señalar la importancia que tiene en esta etapa un componente de incertidumbre acerca de las ventas y los precios futuros, que son las variables

22 COPELAND T., ANTIKAROV V. 2001, Real Options: A Practitioner's Guide, Texere Publishing, New York. Capítulo 11

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Cantidad:

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23 El modelo su Web http24 Ver Anexo

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22 ‐

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2. Abinm

VALORAC Caso Port

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25 Apéndice d

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N MALLAS

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BINOMIA

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23 ‐

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ndo 10,5 m

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metodologí

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ue an

el

ma

se El

‐ 24 ‐

valor en negrilla es el valor calculado, y el valor de la segunda línea hace referencia al descuento del FCF de cada período26.

NOTA: Ver Anexo 1. Para entender cómo se desarrollan los payouts en los nodos. Se asume el FCL del periodo como pago de dividendos.

Cuadro 13. Malla de coeficientes de ascenso y descenso

A continuación se muestra la malla donde se incorporan las decisiones de acuerdo a las opciones de abandono y/o expansión presentes en el caso. En la valoración con malla binomial vemos que el proyecto tendría un valor de $37837 y por lo tanto el valor de la opción sería de $2933 (la resta entre el valor del proyecto y el DCF inicial).

26 El caso establece un dividen variable o payout periódico definido como el Flujo de Caja del Periodo sobre el Valor Presente del Flujo de Caja del mismo.

134.317

122.745

108.901

99.504

88.352 73.715

80.676 67.364

71.694 59.766

65.452 54.609

58.171 48.488 40.455

53.112 44.276 36.970

47.166 39.346 32.800

43.094 35.921 29.970

34.942 31.925 26.611 22.202

34.942 29.149 24.299 20.290

25.886 21.594 18.001

23.651 19.714 16.448

17.521 14.604 12.185

15.997 13.336 11.135

11.851 9.879

10.819 9.027

8.015 6.687

7.319 6.111

5.422

4.954

3.670

3.354

‐ 25 ‐

Cuadro 14. Malla de opciones reales

Es interesante notar que la opción de expandir se podría hacer efectiva a partir del segundo año en adelante, y la opción de abandono sería viable estratégicamente a partir del cuarto año.

VALORACIÓN CON MALLAS TRINOMIALES Caso Portes analizado por medio de la metodología Trinomial Browniana:

A diferencia de las mallas binomiales, se tienen tres posibilidades de avance al siguiente nodo. El valor del cual se parte es nuevamente el valor del caso base del DCF.

Expandir 149.068

Continuar 160.640

Abandonar 118.856

128.252

94.379 77.073

102.054 83.424

74.588 60.492

80.830 65.649

58.546 47.262 37.561

63.605 51.474 41.046

46.636 37.826 30.257

50.708 41.251 33.087

37.875 31.094 25.279 20.290

37.875 33.871 27.590 22.202

26.257 21.905 18.250

28.492 23.785 19.804

19.563 17.017 15.000

21.086 18.285 16.050

16.186 15.046

17.218 15.899

15.000 15.000

15.696 15.576

15.000

15.468

15.000

15.316

‐ 26 ‐


Al igual que la malla binomial, los nodos del gráfico contienen los valores del cálculo de los coeficientes multiplicados por el valor descontando el FCF de cada período.

283.096

258.706

202.707 185.216

185.216 169.259

145.239 132.621 121.178

132.621 121.178 110.738

104.084 95.023 86.767 79.281

95.023 86.767 79.281 72.450

74.583 68.097 62.169 56.768 51.869

68.097 62.169 56.768 51.869 47.401

53.407 48.796 44.553 40.674 37.140 33.936

48.796 44.553 40.674 37.140 33.936 31.012

34.942 34.942 31.925 29.149 26.611 24.299 22.202

34.942 31.925 29.149 26.611 24.299 22.202 20.290

22.861 20.887 19.070 17.410 15.898 14.526

20.887 19.070 17.410 15.898 14.526 13.274

13.665 12.477 11.391 10.401 9.504

12.477 11.391 10.401 9.504 8.685

8.163 7.452 6.805 6.218

7.452 6.805 6.218 5.682

4.876 4.452 4.068

4.452 4.068 3.717

2.913 2.661

2.661 2.432

1.741

1.591

‐ 27 ‐


Expandir 325.818

Continuar 350.208

Abandonar

230.281 209.536

247.771 225.494

161.907 147.031 133.459

174.525 158.474 143.899

113.030 102.298 92.565 83.685

122.091 110.553 100.052 90.516

78.026 70.319 63.298 56.930 51.121

84.512 76.248 68.699 61.829 55.590

53.373 48.136 43.321 38.899 34.843 31.012

57.984 52.379 47.200 42.433 38.048 33.936

37.889 34.363 31.092 28.062 25.240 22.602 20.290

37.889 37.380 33.869 30.599 27.552 24.699 22.202

23.783 21.831 20.034 18.376 16.810 15.000

25.756 23.647 21.695 19.888 18.182 16.251

17.261 16.390 15.649 15.087 15.000

18.449 17.476 16.639 15.985 15.819

15.074 15.000 15.000 15.000

15.785 15.647 15.587 15.536

15.000 15.000 15.000

15.424 15.384 15.350

15.000 15.000

15.251 15.229

15.000

15.150

‐ 28 ‐

Caso Portes analizado por medio de la metodología Trinomial Mun


501.645

458.426

326.528 298.353

298.353 272.649

212.679 194.202 177.445

194.202 177.445 162.158

138.553 126.491 115.502 105.536

126.491 115.502 105.536 96.443

90.253 82.404 75.230 68.695 62.767

82.404 75.230 68.695 62.767 57.359

58.750 53.678 49.010 44.743 40.856 37.331

53.678 49.010 44.743 40.856 37.331 34.115

34.942 34.942 31.925 29.149 26.611 24.299 22.202

34.942 31.925 29.149 26.611 24.299 22.202 20.290

20.782 18.987 17.336 15.827 14.452 13.205

18.987 17.336 15.827 14.452 13.205 12.067

11.293 10.311 9.413 8.595 7.854

10.311 9.413 8.595 7.854 7.177

6.132 5.598 5.112 4.671

5.598 5.112 4.671 4.268

3.330 3.040 2.778

3.040 2.778 2.539

1.808 1.652

1.652 1.510

983

898

‐ 29 ‐


La estrategia bajo el esquema de Mun difiere ligeramente frente a las dos anteriores, se observa que la opción de expansión se puede activar anticipadamente en el primer periodo, así mismo la opción de abandono aparece tempranamente en el tercer periodo a comparación de las otras dos metodologías.

Comparación de la malla binomial vs. Volatilidad de los retornos del proyecto:

Cuando el valor de la volatilidad de los retornos del proyecto cambia, se observa un cambio significativo no sólo en el valor de la opción, sino en la estrategia contenida en la forma de las mallas. A mayor volatilidad el riesgo debe ser mayor, y por consiguiente, un mayor retorno debe compensar ésta mayor incertidumbre. Se crearon nuevas mallas binomiales con 10% y 50% de desviación estándar en los retornos del proyecto:

Expandir 585.454

Continuar 628.673

Abandonar

377.359 343.943

405.534 369.648

241.963 220.179 200.305

260.440 236.936 215.593

153.938 139.652 126.696 114.876

166.000 150.641 136.662 123.968

96.625 87.299 78.803 71.097 64.067

104.474 94.473 85.339 77.025 69.475

59.281 53.213 47.880 42.977 38.424 34.115

64.354 57.881 52.147 46.864 41.949 37.331

37.862 34.302 31.044 28.030 25.235 22.654 20.290

37.862 37.319 33.820 30.567 27.547 24.750 22.202

22.227 20.523 18.975 17.568 16.269 15.000

24.021 22.174 20.484 18.943 17.516 16.138

16.222 15.643 15.217 15.000 15.000

17.204 16.540 16.035 15.742 15.677

15.000 15.000 15.000 15.000

15.534 15.486 15.441 15.402

15.000 15.000 15.000

15.289 15.262 15.239

15.000 15.000

15.156 15.142

15.000

15.085

‐ 30 ‐

Escenario Volatilidad 10% Cuadro 19. Binomial – 10% Volatilidad

Expandir 37.561

Continuar 41.046

Abandonar 37.087

40.544

36.625 30.268

40.074 33.122

36.197 29.970

39.623 32.800

35.794 29.679 24.782

39.185 32.503 27.118

35.418 29.410 24.537

38.752 32.214 26.855

35.042 29.155 24.299 20.290

35.042 31.931 26.611 22.202

28.912 24.102 20.090

31.642 26.398 21.987

23.947 19.986 16.612

26.220 21.879 18.178

19.970 16.806

21.850 18.359

17.039 15.000

18.589 16.282

15.429

16.700

15.000

16.050

‐ 31 ‐

Cuadro 20. Trinomial Browniano – 10% Volatilidad

Expandir 51.121

Continuar 55.590

Abandonar

48.038 42.994

52.290 46.874

45.117 40.318 35.940

49.187 44.010 39.308

42.376 37.782 34.026 31.012

46.255 41.316 37.231 33.936

39.780 35.593 32.280 29.460 26.922

43.464 38.960 35.348 32.242 29.460

37.307 33.701 30.669 27.990 25.575 23.372

40.782 36.899 33.592 30.653 27.990 25.575

35.193 31.985 29.159 26.613 24.299 22.202 20.290

35.193 35.002 31.936 29.151 26.611 24.299 22.202

27.752 25.339 23.132 21.115 19.274 17.614

30.371 27.749 25.335 23.122 21.095 19.274

22.134 20.243 18.515 16.921 15.291

24.227 22.155 20.257 18.501 16.733

18.087 16.751 15.641 15.000

19.747 18.264 17.013 16.251

15.900 15.355 15.000

17.213 16.546 16.086

15.212 15.000

16.245 15.943

15.000

15.819

‐ 32 ‐

Cuadro 21. Trinomial Mun – 10% Volatilidad

Al observar éstos árboles encontramos que con una volatilidad menor en los retornos del proyecto, la cantidad de nodos de decisión donde se pueden ejercer las opciones disminuyen.

También se observa que el intervalo que contiene los valores de cada uno de los nodos también se reduce, indicando que el valor presente del proyecto en cualquier momento también será menor.

Estas dos características, de menor cantidad de nodos donde se ejercen las opciones, y el menor valor del proyecto en cada momento, se traduce en una valoración menor en el momento 0 del proyecto. Es decir, el valor presente del proyecto usando una volatilidad menor, disminuye. Lo mismo sucede con el valor de la opción.

Expandir 64.067

Continuar 69.475

Abandonar

58.121 52.208

63.105 56.756

52.657 47.207 42.236

57.279 51.399 46.060

47.666 42.613 38.030 34.115

51.933 46.500 41.555 37.331

43.080 38.416 34.502 31.363 28.689

47.006 42.004 37.770 34.328 31.394

38.851 34.830 31.617 28.840 26.375 24.127

42.438 38.131 34.634 31.589 28.868 26.401

35.132 31.888 29.067 26.541 24.254 22.181 20.290

35.132 34.905 31.843 29.078 26.566 24.277 22.202

26.773 24.463 22.354 20.429 18.676 17.063

29.310 26.798 24.488 22.373 20.439 18.671

20.808 19.098 17.563 16.202 15.000

22.771 20.892 19.198 17.685 16.353

17.094 16.118 15.405 15.000

18.603 17.493 16.652 16.138

15.575 15.224 15.000

16.731 16.273 15.957

15.072 15.000

15.954 15.805

15.000

15.677

‐ 33 ‐

Escenario Volatilidad 50%

Cuadro 22. Binomial - 50% Volatilidad

Cuadro 23. Trinomial Browniano - 50% Volatilidad

Expandir 519.285

Continuar 557.706

Abandonar 341.125

366.668

222.912 184.397

239.994 198.531

144.541 118.856

155.913 128.252

92.520 75.367 61.199

100.067 81.652 66.398

60.806 49.421 39.060

65.780 53.604 42.517

41.521 34.242 27.536 20.290

41.521 37.018 29.848 22.202

25.346 21.351 17.576

27.176 22.890 18.848

17.903 16.085 15.000

18.924 16.936 15.704

15.225 15.000

15.791 15.468

15.000 15.000

15.313 15.259

15.000

15.172

15.000

15.095

‐ 34 ‐

Expandir 1.825.074

Continuar 1.958.192

Abandonar

979.891 894.564

1.051.835 960.200

523.946 477.831 435.759

563.060 513.304 468.122

278.090 253.019 230.281 209.536

299.259 272.305 247.771 225.494

145.364 131.795 119.433 108.221 97.993

156.784 142.233 128.942 116.846 105.861

75.204 67.940 61.140 54.736 48.667 42.994

81.322 73.571 66.287 59.424 52.919 46.874

41.514 37.735 34.153 30.724 27.370 24.004 20.290

41.514 40.752 36.929 33.261 29.682 26.101 22.202

22.101 20.487 18.988 17.592 16.220 15.000

23.588 21.856 20.239 18.732 17.253 15.943

15.800 15.329 15.011 15.000 15.000

16.475 15.946 15.573 15.510 15.465

15.000 15.000 15.000 15.000

15.304 15.277 15.251 15.229

15.000 15.000 15.000

15.137 15.124 15.113

15.000 15.000

15.061 15.056

15.000

15.027

‐ 35 ‐

Cuadro 24. Trinomial Mun – 50% Volatilidad

Al contrario, una volatilidad mayor en los retornos del proyecto, aumenta la cantidad de nodos donde se ejercen las opciones. El valor presente en cada momento del proyecto también aumenta, y lo podemos observar en que cada valor que aparece en los nodos hace parte de un intervalo mayor de posibles valores.

Nuevamente estas dos características se traducen en una valoración mayor para el proyecto y para la opción. A mayor volatilidad se espera una mayor recompensa por el riesgo al que se expone.

Expandir 4.752.457

Continuar 5.097.874

Abandonar

2.181.771 1.992.895

2.341.020 2.138.184

998.692 911.613 832.168

1.072.551 978.597 893.280

454.373 413.986 377.359 343.943

488.473 445.053 405.534 369.648

203.681 185.035 168.047 152.641 138.586

219.373 199.378 181.115 164.492 149.398

88.170 79.589 71.746 64.601 58.121 52.208

95.342 86.189 77.779 70.097 63.105 56.756

41.028 37.309 33.799 30.456 27.199 23.897 20.290

41.028 40.326 36.576 32.994 29.511 25.993 22.202

20.094 18.861 17.704 16.630 15.691 15.000

21.363 20.029 18.771 17.603 16.573 15.805

15.033 15.000 15.000 15.000 15.000

15.525 15.449 15.409 15.371 15.338

15.000 15.000 15.000 15.000

15.189 15.172 15.156 15.142

15.000 15.000 15.000

15.072 15.066 15.060

15.000 15.000

15.028 15.025

15.000

15.011

‐ 36 ‐

6. CONCLUSIONES

El resultado de la aplicación de las 3 metodologías seleccionadas de opciones reales en el caso Portes resulta interesante, es llamativo que los valores de las opciones reales trinomiales no difieren en gran magnitud.

Cuadro 25. Comparativo resultados

Binomial Trinomial

Browniano Trinomial

Mun

Valor del Proyecto con Flexibilidad $ 37.875 $ 37.889 $ 37.862

Valor de la Opción Real27 $ 2.933 $ 2.947 $ 2.920

Comparando las tres metodologías es evidente que los supuestos son marcadamente diferentes, desde la concepción de la formulación como se presento en la sección de modelaje, la integración de las constantes del caso como la volatilidad que son la fuente para la estimación de las probabilidades a través del cálculo de los coeficientes. En el siguiente cuadro se observa que la ponderación que se le asigna cada metodología a la volatilidad es progresivamente diferente, ampliando el efecto del mismo.

Cuadro 26. Comparativo resultados

27 Valor de la Opción Real = Valor del Proyecto con Flexibilidad – Valor del Presente del Proyecto (34.942).

Como esdiferentesdeterminasignificativ

Cuadro 27.

Aunque alternativaponderac

Estratégicdiferenciaexpansión

0,0000

0,5000

1,0000

1,5000

2,0000

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Prob

s claro, las entre loante para vamente d

Comparativo

las mallas a adicionaión asigna

camente eas respecton. Dadas

Binomia

Coeficiente d

0,49

‐

0,50

Bino

babilidad de d

a distribucios modeloque los

iferente.

o resultados

trinomialeal, la ponda por las

l modelo bo al momelas condic

al Trin

de ascenso (U

903

‐

097

mial

descenso:(PL)

‐

ón de proos, sin emodelos t

es dentro dderación probabilida

binomial y nto de eje

ciones del

nomial Browni

U) Coe

Trino

Probabilida

37 ‐

obabilidadeembargo etengan un

del caso Pode las mades de las

el modelocución de caso Port

iano Trin

eficiente de de

0,2437

0,4999

0,2564

mial Brownian

ad de estable (

es tienen esto no na valorac

ortes recomismas que

s tres rami

o trinomiallas opciontes, se po

nomial Mun

escenso (D)

no

(PM) Proba

valores aconstituyó

ción de la

nocen el vedan diluiificaciones

l browniannes de abaodría aseg

0,1619

0,6667

0,1715

Trinomial

bilidad de asc

ampliament un facto flexibilida

valor de unidas por .

o no tieneandono y dgurar que

9

7

5

Mun

censo: (PH)

te or ad

na la

en de la

‐ 38 ‐

estrategia anticipada resultante de la aplicación de la metodología de Mun resta valor a la opción real del proyecto

La utilización de la metodología trinomial exige mayor capacidad operativa frente a la binomial. Bajo las condiciones del caso analizado, la mallas trinomiales no ofrecen ganancia analítica determinante para su selección frente a un método binomial, siendo este ultimo mas practico de aplicar y presentar.

VOLATILIDAD vs. ESTRATEGIA

La construcción de los árboles o mallas incluye el cálculo de los coeficientes de ascenso u y descenso d, y las probabilidades de salto entre nodos. Estos cálculos están relacionados matemáticamente con el valor de la volatilidad (desviación estándar). Ésta relación es la que explica porque la volatilidad afecta directamente la estructura y evolución de la malla (binomial o trinomial).

La Volatilidad y la estrategia en las mallas binomiales o trinomiales tienen una relación muy importante (Ver Anexo 2.). Vimos que una mayor volatilidad significaba una mayor valoración del proyecto y un mayor valor de la opción. Lo contrario sucede si la volatilidad es menor. Estratégicamente la evolución de las decisiones dentro del árbol o la malla se verá afectadas por la incertidumbre generada por los retornos del proyecto. Esto se vio claramente en los resultados de los árboles donde a medida que se incremente la volatilidad (mayor riesgo), la cantidad de nodos donde se podía ejercer una opción (la de expansión o abandono) aumentaba.

Una conclusión destacada respecto a la estimación de la volatilidad en el caso Portes por medio de la Simulación de Montecarlo es la importancia que tiene la incertidumbre acerca de los precios y las cantidades futuras, estos datos se utilizan para estimar los intervalos de confianza y los respectivos parámetros de su distribución de probabilidad que se ingresan para realizar la simulación. Lo anterior implica que el grado de incertidumbre acerca del futuro, o el criterio del gerente del proyecto para realizar sus proyecciones influyen directamente en la volatilidad, que específicamente en el caso Portes tiene una relación directa en el desarrollo estratégico de las opciones dentro de las mallas y en el valor agregado por la flexibilidad. Y no sólo es eso, la misma valoración del proyecto se ve positivamente relacionada con el aumento del riesgo (volatilidad). Un proyecto que con un simple

‐ 39 ‐

Flujo de Caja descontado (DCF) tenía un valor negativo, pasó a obtener una valoración positiva y apreciable utilizando las opciones reales. Esto nos llevaría a concluir que el hecho de poseer y pronosticar opciones que se puedan ejercer en cualquier momento de la vida del proyecto, pueden convertir una inversión desfavorable desde el punto de vista del DCF, a un proyecto totalmente rentable con la ayuda de la teoría de opciones reales. Es más, entre mas riesgoso o volátil pueda ser el proyecto, es más seguro que el uso de opciones reales sea favorable para su valoración.

ANEXO 1

La malla explicaciómodelo bi

Cuadro 28.

DESARR

El desarrproyecto bajada d

S+

1 = S0*

Cuadro 29.

. DETALL

presentadón del proinomial con

OLLO DE

rollo de la S0 multipldefinidos e

*u

E DE CON

da en cueoceso de cn 50% de V

MALLA MU

opción deicado por

en cada mo

S-1 = S0*d

‐

7. AN

NSTRUCCI

erpo del dconstruccióVolatilidad.

ULTIPLICA

el caso Polos corres

odelo.

40 ‐

NEXOS

IÓN DE LA

ocumentoón. Todos.

ATIVA

ortes inicia spondientes

AS MALLAS

se desags los ejem

con el vas coeficien

S CASO P

grega paramplos se b

alor presenntes de su

PORTES

a facilitar basan en

nte neto dbida u y d

la el

el de

PAYOUT

La malla e(payout ra

Pt = FCLt

Donde: FCLt es eVP FCL t e Por ejemp P4 = 3.730 Para realpago del p VA+

t = S+

t

En el sigu

Cuadro 30.

en el caso atio) que se

/ (VP FCL

el Flujo de es el Valor

plo en el pe

0 / (39.200

izar los sigpayout de

- S+t*Pt

uiente cuad

Portes tiene paga en

t + FCLt)

Caja Librer Presente

eriodo 4 el

0 + 3.730)

guientes pla siguient

dro esquem

‐

ne una varcada perio

del perioddel Flujo d

payout se

= 8,69%

asos de lae forma:

matizamos

41 ‐

riación impoodo y se de

do t. de Caja Lib

e calcularía

a malla, se

el proceso

ortante, seefine con la

bre hasta e

a así:

e ajusta el

o para el no

e define un a siguiente

el periodo t

valor del

odo del pe

dividendo fórmula:

nodo por

riodo 1:

el

La construcoeficient

S+2 = VA

Cuadro 31.

DESARR

ucción de ltes corresp

+1 *u

OLLO DE

la malla copondientes

S-2 =

LA MALLA

‐

ontinúa secy ajustánd

= VA-1 *d

A DE VALO

42 ‐

cuencialmedolos con e

ORACIÓN

ente multipel payout.

licando por los

‐ 43 ‐

El caso Portes utiliza simultáneamente opciones de expansión y de abandono, a continuación recordamos la dinámica de cada opción independientemente.

OPCIÓN DE EXPANSIÓN

Ext = VA+

t + MAX [x*VAt - Cx ; 0]

La opción de expansión implica la generación de un valor agregado al activo que hace crecer su valor en determinada proporción, al mismo tiempo que adiciona costos al realizarla. Donde x es el porcentaje de expansión y Cx es el costo de implementarla. . Si el valor del activo es menor que valor resultante de la expansión, se fija en la malla este valor.

OPCIÓN DE ABANDONO

Eat = MAX [VAt ; G]

La opción de abandono se desarrolla cuando retirarse de un proyecto genera un ahorro de la inversión que no se utilizará. Si el valor del activo es menor que monto ahorrado G se activa la opción de abandono, fijando en la malla el valor de (15.000 para el caso Portes).

Simultáneamente en el caso Portes, se combina la opción de expansión y abandono, por lo cual la ecuación de maximización inicial para el cálculo reversito está definida así:

E6+ = MAX [Ex

6 ; Ea

6]

El siguiente cuadro muestra cual es el resultado de la aplicación de la anterior formula, señalando en colores la selección de cada una de las estrategias en los nodos extremos del sexto periodo.

Cuadro 32.

Dado quedebemos

HA+t = Et +

Cuadro 33.

e la constagregar el

+ St*Pt

trucción del valor que

‐

e la mallaextrajimos

44 ‐

a de valors por el aju

ración se uste del pay

hace regreyout P.

esivamentee,

CALCULO

La maximinternameopciones.

La opciónde abando

El costo desperadospor medio

El factor d

f = e(-rf)

donde rf e

Las proba(binomial

Dadas las

OAt =[ HA

Entonces con la sig

Et = MAX

O DE NOD

mización dente dos c.

n de continono no sup

de mantens de los noo de un fac

de descuen

esla tasa li

abilidades y trinomial

s anteriores

A+t+1*p + HA

la ecuacióuiente max

[OAt ; Ea

t ;

DOS INTER

de los nocomponen

nuar se da peran el va

ner abiertaodos anterictor de des

nto es:

bre de ries

de ascensles).

s variables

A-t+1*q] *f

ón para reximización

; Ext]

‐

RNOS

odos intertes, el va

cuando loalor del nod

la opcióniores (ajustcuento.

sgo (el cas

so p y des

s, el valor d

ealizar la v:

45 ‐

rnos de lalor de eje

os valores do traído a

está defintados con

o Portes e

scenso q e

de continua

valoración

la malla ecución y

de la estra valor pres

nido por lapayout) tra

s igual a 5

están defin

ar es el sig

reversiva

de valorano ejecuc

ategia de esente.

a suma de aídos al va

%).

nidas según

uiente:

de la mall

ación llevación de la

expansión

los valorelor present

n el mode

la se defin

an as

y

es te

lo

ne

EJEMPLO

Extendiennegrilla en

Cuadro 34.

Identificac

E+t+1 = 519

E-t+1 = 184

Se realiza

HA+t+1 = 5

HA-t+1 = 18

Multiplica

HA+t+1*p =

HA-t+1*q =

Desarrollovalor pres

OA+5 =[ 2

Calculo d

Ea5 = MAX

Ex5 = 270

Solución d 28 Para el esc0,4267 y la d

O NODO E

ndo la expln el próxim

ción de los

9.285

4.397

a el ajuste

19.285 + 4

84.397 +

ción por su

= 237.993

= 113.811

o de la ecsente con e

37.993 + 1

e las opcio

X[ 270.481

.481 + MA

de la maxim

cenario que sede bajada es 0,

E5

licación demo cuadro),

nodos pre

devolviend

445.948 *

164.055 * 8

us respecti

cuación deel factor de

113.811] *e

ones de ab

; 15.000 ]

AX [30%*27

mización d

e utiliza en est,5733.

‐

el cálculo d, por medio

ecedentes:

do el valor

8,62% = 55

8,62% = 19

vas probab

e mantenime descuento

e-5% = 334.6

bandono y

= 270.481

70.481 – 10

del nodo:

te anexo, con

46 ‐

de uno de o de la des

sustraído p

57.706

98.531

bilidades d

miento de o.

646

de expans

1

0.500 ; 0] =

una volatilida

los nodos sagregació

por el payo

de ascenso

la opción

sión.

= 341.125

d es de 50%, l

internos (sn de la ecu

out.

o y descens

abierta, tr

5

a probabilidad

señalado euación.

so28.

rayéndola

d de subida es

en

a

s

‐ 47 ‐

E5 = MAX [ 334.646 ; 270.481 ; 341.125 ] = 341.125 Para el cálculo del nodo en el cuarto periodo, así sucesivamente se continúa emulando el mismo proceso hasta encontrar el valor del proyecto con flexibilidad. ANEXO.2 USO DE INTERVALOS DE CONFIANZA PARA ESTIMAR PARÁMETROS Un intervalo de confianza, en estadística, se refiere a un par de números o límites de intervalos, entre los cuales se estima con cierta probabilidad (nivel de confianza), si un valor desconocido se encuentra dentro de éste intervalo.

En el movimiento browniano geométrico, ∆∆ · es decir, Vt crece a una

tasa constante r por un tiempo ∆t. Si r es normalmente distribuido con media y desviación estándar de σ, al final del período r cae con una confianza de 95% en el siguiente intervalo29:

2 , 2 Al final de un período , el crecimiento total esperado se distribuye

normalmente con media y desviación estándar √ , así el intervalo de 95% de confianza será

2 , 2 √

Como la tasa r determina el nivel de V, √ , son los limites inferior (-) y superior respectivamente (+). Si definimos que conocemos alguno de éstos límites (por ejemplo, preguntando a la gerencia cual cree que puede ser el límite inferior al cual el precio puede caer en el periodo T), podemos despejar σ:

√

2√

29 Tomado de COPELAND T., ANTIKAROV V. 2001, Real Options: A Practitioner's Guide, Texere Publishing, New York. Capítulo 9. Página 260.

‐ 48 ‐

Además como el crecimiento total en T debe ser la suma de los rendimientos de cada periodo. ∑

∑

2√

De ésta manera obtenemos un valor para la volatilidad si conocemos los crecimientos en cada periodo , un valor limite inferior (o superior) para el

estimado de la variable en el periodo T, , y el valor inicial de de

ANEXO.3 CÁLCULO DEL RENDIMIENTO DEL PROYECTO El rendimiento del proyecto es calculado con la siguiente formula del caso Portes utilizada por Copeland:

. ln VP FCLt+1 FCt+1

VP FCLt

Donde VP FCL es el valor presente de los flujos de caja del proyecto y FC es el flujo de caja del periodo. Como se observa en la formula, se realiza un cociente que calcula retorno del proyecto en función del valor presente del periodo actual y el siguiente. Tomando el flujo de caja: Cuadro 35.

Se desarrolla la formula:

. ln35.979 3.400

34.942 11,96%

0 1 2 3 4 5 6 7Flujo de Caja Libre -35.000 3.400 3.526 3.632 3.730 3.812 3.919Valor Terminal 46.853

VP FCL 34.942 35.979 37.022 38.092 39.200 40.366 41.573Retorno del Proyecto 11,96%

‐ 49 ‐

ANEXO.4 RELACIÓN DE ESCENARIOS DE VOLATILIDAD Cuadro 36.

Cuadro 37.

Cuadro 38.

0,0000

0,2000

0,4000

0,6000

0,8000

1,0000

1,2000

1,4000

1,6000

1,8000

10% 30% 50%

Coeficientee

Volatilidad

Coeficientes Ascenso

Coeficientes Descenso

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

10% 30% 50%

Probab

ilidad

Volatilidad

Probabiliad Ascenso

Probabilidad Descenso

‐ 50 ‐

$‐

$5.000

$10.000

$15.000

$20.000

$25.000

$30.000

$35.000

$40.000

$45.000

10% 30% 50%

Valoración $

Volatilidad

Valor Proyecto

Valor de la Opción

‐ 51 ‐

8. BIBLIOGRAFÍA PRINCIPAL

BRANCH, M.,2003. Real Options in Practice. Wiley Finance. New Jersey.

COPELAND T., ANTIKAROV V. 2001, Real Options: A Practitioner's Guide, Texere Publishing, New York.

HULL, J., 2003. Options, Futures, and Other Derivatives, 5th. ed. Prentice Hall. New York. LÓPEZ GUILLERMO DUMRAUF, Material Finanzas Corporativas - Opciones Reales disponible en la web http://www.dumraufnet.com.ar/. MUN, J., 2002. Real Options Analysis: Tools and Techniques for Valuing Strategic Investments and Decisions. Wiley Finance. New Jersey. MUN, J., 2002. Real Options Analysis Course: Bussiness Cases and Software Applications. Wiley Finance. New Jersey. MUN, J. 2002. Modeling Risk: Applying Monte Carlo Simulation, Real Options Analysis, Forecasting and Optimization Techniques. Wiley Finance. New Jersey.

No. VARIABLES DESCRIPCIÓN DE LA VARIABLE1 NOMBRE DEL POSTGRADO ESPECIALIZACIÓN EN FINANZAS Y NEGOCIOS INTERNACIONALES2 TÍTULO DEL PROYECTO APLICACIÓN DE METODOLOGÍA DE MALLAS TRINOMIALES PARA LA EVALUACIÓN DE UN CASO DE OPCIONES REALES3 AUTOR(es) JUAN MANUEL OSORIO CUSGÜEN, JUAN DARÍO ORTIZ CASTAÑEDA4 AÑO Y MES 2011, ENERO5 NOMBRE DEL ASESOR(a) PEDRO ANGEL

6 DESCRIPCIÓN O ABSTRACT

El trabajo de investigación inicialmente explora los desarrollos en teoría de opciones reales especialmente las relacionadas con la metodología de mallas trinomiales, encontrando dos alternativas: mallas Brownianas y mallas Mun. Realizando un análisis práctico, se selecciona un caso extraído de la bibliografía seleccionada de una empresa de desarrollo de software, el cual es desarrollado bajo la perspectiva de las dos metodologías trinomiales y la metodología binomial. La conclusión analítica de los resultados y el desarrollo estratégico de las mallas, se observó la pertinencia y las ventajas de la aplicación del método binomial sobre los trinomiales, así como la importancia de la estimación de la volatilidad, y su impacto en la estrategia y el resultado de la opción real.

7 PALABRAS CLAVES Opciones Reales, Arboles Binomiales, Arboles Trinomiales, Caso PORTES, Volatilidad

8 SECTOR ECONÓMICO AL QUE PERTENECE EL PROYECTO Sector financiero.

9 TIPO DE ESTUDIO Proyecto Institucional (Investigación)

10 OBJETIVO GENERAL Incrementar el conocimiento y la experiencia del grupo de investigación sobre Opciones Reales de la Universidad de la Sabana, en el uso de mallas o arboles para la valoración en proyectos de inversión con opciones reales, y observar el impacto que tiene el riesgo en la estrategia detrás del uso de ésta metodología.

11 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Modelar el uso de opciones reales en la valoración de un proyecto con la implementación de arboles trinomiales y binomiales.

Implementar y validar las metodologías recomendadas de la bibliografía referenciada del cual se extrae el procedimiento analítico, y concluir sobre estos resultados.

Analizar el impacto que tienen los supuestos utilizados, para el cálculo de los parámetros de las mallas binomiales, específicamente lo relacionado al riesgo, y que afecta directamente el resultado final de la valoración.

Perfilar conclusiones sobre las ventajas y debilidades entre las metodologías de mallas analizadas, así como deducir cuales son las características iníciales de un proyecto que indican cual metodología podría ser la más acertada para la valoración del mismo.

Aumentar la experiencia dentro del grupo de investigación de la Universidad de La Sabana sobre el tema de opciones reales, específicamente en el desarrollo empírico de metodologías de valoración y en el análisis del modelo de árboles trinomiales.

UNIVERSIDAD DE LA SABANAINSTITUTO DE POSTGRADOS- FORUM

RESUMEN ANALÍTICO DE INVESTIGACIÓN (R.A.I)

ORIENTACIONES PARA SU ELABORACIÓN: El Resumen Analítico de Investigación (RAI) debe ser elaborado en Excel según el siguiente formato registrando la información exigida de acuerdo la descripción de cada variable. Debe ser revisado por el

12 RESUMEN GENERAL

La Teoría de Opciones Reales para valoración sobre activos financieros se encuentra todavía en pleno desarrollo, el cual ha facilitado la concepción y evolución de varias metodologías para abordar sus aplicaciones. El estudio del estado del arte nos ayudó a identificar la importancia de los árboles o mallas en valoración de Opciones Reales y la importancia de su estudio para le grupo de investigación de la Universidad de La Sabana.

Las mallas trinomiales son un método alternativo que ofrece una aproximación más refinada en una valoración, que la resultante de aplicar la ampliamente utilizada y conocida malla binomial. Mediante una comparación práctica se abordó un caso de opciones reales de una empresa de tecnología de los autores Copeland y Antikarov (caso PORTES) donde se incluyen decisiones simultaneas de expansión y abandono en la valoración de un proyecto, y que es evaluado mediante mallas binomiales.

El presente ejercicio introduce la aplicación de los árboles o mallas trinomiales que siguen los supuestos del método browniano y del método desarrollado por Johnantan Mun , con la idea de identificar diferencias significativas respecto a su formulación y su influencia sobre los resultados analíticos. Para ésto se tomó el caso y se desarrolló el flujo de caja del proyecto (de acuerdo a los supuestos), se utilizaron las mismas variables de Precio y Cantidades de la bibliografía para estimar la volatilidad del rendimiento del proyecto (Crystal Ball), y se aplicaron los árboles trinomiales siguiento los supuestos del método Browniano, y los del método del autor Mun para contrastar con los resultados del caso original. Se desarrolló una hoja de cálculo en Excel para la evaluación del caso de opciones reales con árboles o mmalas trinomiales.

También se analizará la influencia de la volatilidad en el valor y la estructura de las mallas binomiales, observando el impacto que puede tener sobre la estrategia detrás de la aplicación de opciones reales para la valoración de proyectos. Aquí se crean varios escenarios de distinta volatilidad y evaluamos el comportamiento en estructura, cantidad de nodos (donde se ejercen las opciones) y el valor como tal de la opción en cada uno de los árboles (binomial, trinimial: browniano y Mun).contrastar con los resultados del caso original.

13 CONCLUSIONES.

El resultado de la aplicación de las 3 metodologías seleccionadas de opciones reales en el caso Portes resulta interesante, es llamativo que los valores de las opciones reales trinomiales no difieren en gran magnitud. Comparando las tres metodologías es evidente que los supuestos son marcadamente diferentes, desde la concepción de la formulación como se presento en la sección de modelaje, la integración de las constantes del caso como la volatilidad que son la fuente para la estimación de las probabilidades a través del cálculo de los coeficientes. En el siguiente cuadro se observa que la ponderación que se le asigna cada metodología a la volatilidad es progresivamente diferente, ampliando el efecto del mismo. Como es claro, la distribución de probabilidades tienen valores ampliamente diferentes entre los modelos, sin embargo esto no constituyó un factor determinante para que los modelos tengan una valoración de la flexibilidad significativamente diferente. Aunque las mallas trinomiales dentro del caso Portes reconocen el valor de una alternativa adicional, la ponderación de las mismas quedan diluidas por la ponderación asignada por las probabilidades de las tres ramificaciones. Estratégicamente el modelo binomial y el modelo trinomial browniano no tienen diferencias respecto al momento de ejecución de las opciones de abandono y de expansión. Dadas las condiciones del caso Portes, se podría asegurar que la estrategia anticipada resultante de la aplicación de la metodología de Mun resta valor a la opción real del proyectoLa utilización de la metodología trinomial exige mayor capacidad operativa frente a la binomial. Bajo las condiciones del caso analizado, la mallas trinomiales no ofrecen ganancia analítica determinante para su selección frente a un método binomial, siendo este ultimo mas practico de aplicar y presentar.VOLATILIDAD vs. ESTRATEGIALa construcción de los árboles o mallas incluye el cálculo de los coeficientes de ascenso u y descenso d, y las probabilidades de salto entre nodos. Estos cálculos están relacionados matemáticamente con el valor de la volatilidad (desviación estándar). Ésta relación es la que explica porque la volatilidad afecta directamente la estructura y evolución de la malla (binomial o trinomial).La Volatilidad y la estrategia en las mallas binomiales o trinomiales tienen una relación muy importante. Vimos que una mayor volatilidad significaba una mayor valoración del proyecto y un mayor valor de la opción. Lo contrario sucede si la volatilidad es menor. Estratégicamente la evolución de las decisiones dentro del árbol o la malla se verá afectadas por la incertidumbre generada por los retornos del proyecto. Esto se vio claramente en los resultados de los árboles donde a medida que se incremente la volatilidad (mayor riesgo), la cantidad de nodos donde se podía ejercer una opción (la de expansión o abandono) aumentaba.Una conclusión destacada respecto a la estimación de la volatilidad en el caso Portes por medio de la Simulación de Montecarlo es la importancia que tiene la incertidumbre acerca de los Precios y las Cantidades futuras, estos datos se utilizan para estimar los intervalos de confianza y los respectivos parámetros de su distribución de probabilidad que se ingresan para realizar la simulación. Lo anterior implica que el grado de incertidumbre acerca del futuro, o el criterio del gerente del proyecto para realizar sus proyecciones influyen directamente en la volatilidad, que específicamente en el caso Portes tiene una relación directa en el desarrollo estratégico de las opciones dentro de las mallas y en el valor agregado por la flexibilidad.Y no sólo es eso, la misma valoración del proyecto se ve positivamente relacionada con el aumento del riesgo (volatilidad). Un proyecto que con un simple Flujo de Caja descontado (DCF) tenía un valor negativo, pasó a obtener una valoración positiva y apreciable utilizando las opciones reales.Esto nos llevaría a concluir que el hecho de poseer y pronosticar opciones que se puedan ejercer en cualquier momento de la vida del proyecto, pueden convertir una inversión desfavorable desde el punto de vista del DCF, a un proyecto totalmente rentable con la ayuda de la teoría de opciones reales. Es más, entre mas riesgoso o volátil pueda ser el proyecto, es más seguro que el uso de opciones reales sea favorable para su valoración.

14 FUENTES BIBLIOGRÁFICAS

BRANCH, M.,2003. Real Options in Practice. Wiley Finance. New Jersey.

COPELAND T., ANTIKAROV V. 2001, Real Options: A Practitioner's Guide, Texere Publishing, New York.

HULL, J., 2003. Options, Futures, and Other Derivatives, 5th. ed. Prentice Hall. New York.

LÓPEZ GUILLERMO DUMRAUF, Material Finanzas Corporativas - Opciones Reales disponible en la web http://www.dumraufnet.com.ar/.

MUN, J., 2002. Real Options Analysis: Tools and Techniques for Valuing Strategic Investments and Decisions. Wiley Finance. New Jersey.

MUN, J., 2002. Real Options Analysis Course: Bussiness Cases and Software Applications. Wiley Finance. New Jersey.

MUN, J. 2002. Modeling Risk: Applying Monte Carlo Simulation, Real Options Analysis, Forecasting and Optimization Techniques. Wiley Finance. New Jersey.

CRISANTO QUIROGA OTÁLORA

Vo Bo Asesor y Coordinador de Investigación:

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INVESTIGACIÓN: APLICACIÓN DE METODOLOGÍA DE MALLAS