4.1 Conceptos De Incremento Y De Razn De Cambio La Derivada De Una FuncinConceptos de crecimiento y tasa de cambio, derivada de una funcinLa derivada de una funcin es un vector que apunta hacia la direccin donde la funcin ve un mayor incremento en su valor.A la luz de la afirmacin anterior se puede concluir que la derivada de la funcin es generalmente cero en algunos mnimos locales o mximos locales dado que en esa posicin la funcin no nota incrementos hacia una direccin en particular.En algunos lugares la palabra gradiente tambin se usa para denotar la derivada de la funcin.Sin embargo, esta palabra es ms apropiada para la derivada de la funcin de un vector o para una funcin con mltiples variables.El smbolo griego delta, representado como un tringulo es utilizado para mostrar el cambio en el valor de una variable. y significara un cambio en el valor de y.La pendiente de una lnea recta se puede calcular como

La expresin anterior se denomina como cociente de la diferencia. Esto se debe a que representa la diferencia entre dos cocientes.La tasa o razn de cambio puede ser constante o no. Una tasa de cambio constante es aquella que no cambia durante un perodo de tiempo.Supongamos que la tasa de cambio del nmero de migrantes de los aos 1978 a 1988 es 2.16 mientras que es de 6.9 desde el ao 1988 a 2008.As podemos notar que en el ejemplo anterior la tasa de cambio no es constante. En tal situacin se puede calcular una tasa de cambio promedio en un intervalo.Una frmula general para representar una tasa de cambio promedio en un intervalo sera,

Aqu y es una funcin en trminos de t, representando la ecuacin y = f (t). El intervalo es considerado entre t = a y t = b.Si la tasa de cambio es constante durante todos los intervalos, entonces tal funcin es llamada funcin lineal.Si la tasa de cambio de una funcin se calcula sobre un tipo de intervalo o en un punto especfico, entonces la llamamos tasa de cambio instantnea.La tasa de cambio de una funcin g en un punto x, llamada la razn o tasa instantnea de cambio en x es el lmite de la tasa promedio de variacin de g a lo largo de intervalos cada vez ms pequeos alrededor de x.Como sabemos la variacin en la tasa es un cociente de la diferencia, la tasa instantnea de cambio ser el lmite de esos cocientes.La tasa de cambio instantnea es popularmente conocida por el nombre de derivada.No es posible calcular la derivada de una funcin en algn instante determinado, por tanto la derivada de una funcin se calcula sobre un intervalo, aunque este intervalo sea muy pequeo.Entonces el clculo de la derivada de una funcin tambin se puede hacer mediante el clculo de la tasa promedio de cambio en intervalos ms cortos.Considere a el tamao del intervalo, entonces la tasa promedio de variacin en el intervalo x + a y x ser,f(x + h) f(x)/ (x + h) x que puede ser escrito como, f(x + h) f(x)/ hAhora bien, para determinar el valor exacto de la derivada, tome el lmite de la funcin como h. Por lo cual la derivada de la funcin se calcula como,Lim f(x + h) f(x)/ h h 0

4.2 Interpretacin Geomtrica De La DerivadaLa Interpretacin Geomtrica de la DerivadaAdems de evaluar el valor de una funcin en cierto punto, tambin es esencial que evaluemos la variacin en el valor de la funcin a medida que la entrada de la funcin vara. Esto se conoce como la pendiente de la recta en el caso de una recta lineal. Mientras que para una recta curva, la pendiente de la recta vara en cada punto.Esto significa que para una lnea recta / funcin lineal se obtiene un nmero constante como su pendiente. Mientras que para una recta curva la pendiente es una funcin del valor de entrada de la funcin.La nocin de derivada puede explicarse de dos maneras, una como la pendiente de la curva, que es la representacin geomtrica, y la otra como la tasa de variacin, que es la representacin fsica. La pendiente de la tangente de la curva extrae la derivada de la funcin geomtrica.Supongamos que una funcin f(x) = x2. La grfica de la funcin lucira de la siguiente forma La curva de color azul representa el grfico de la funcin. Tome dos puntos en el eje x, supongamos x y x0 como en el grfico de arriba. Determine el valor de la funcin en esos valores de x. Ahora trace una lnea que pase por esos puntos sobre la curva de la funcin para obtener una lnea recta. La lnea roja en el grfico anterior representa esa lnea.A medida que muevo los puntos sobre el eje x ms cerca uno del otro conseguimos una recta menos pronunciada que pasa a travs de la curva de la funcin. En el instante que x = x0, la grfica se vera as,

En tal situacin, la recta tocara el grafico en un solo punto y por tanto tendra la misma pendiente que la pendiente de la grfica en ese punto. Esta recta se conoce como la tangente de la funcin en ese punto.Determinar la pendiente de la tangente en ese punto te extraer la derivada de la funcin en ese punto. La pendiente de la recta que posee los puntos(x, f(x)) y (x0, f(x0)) ser,

Aqu el valor de x no debe ser igual a x0. Mientras que la pendiente de la tangente, lo que es igual, la derivada de la funcin, donde tenemos que x = x0 es, Los valores de m y m(x) son casi iguales cuando los puntos x y x0 estn muy cerca uno del otro.Vale la pena saber que en ciertos lugares es mucho ms fcil calcular el lmite cuando el valor de la variable es casi igual a cero. Podemos hacerlo mediante la traslacin a lo largo del eje x. En efecto, estableciendo el valor de h cuando x x0 obtenemos, Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la curva y la recta tangente pueden simplemente compartir este punto en comn.Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la recta de tangencia deja la curva en una mitad donde se separa del plano.Sin embargo, la pendiente de la tangente o la derivada de la funcin es simplemente una estimacin lineal de la curva en un punto.

4.3 Concepto De DiferencialEn clculo, la diferencial representa un cambio en la linealizacin de una funcin.En los enfoques tradicionales para el clculo, las diferenciales (Por ejemplo, dx, dy, dt etc ..) se interpretan como infinitesimales. A pesar de los infinitesimales son difciles de dar una definicin precisa, hay varias maneras de hacer sentido de ellos rigurosamente.Interpretacin Geomtrica De Las DiferencialesLa Interpretacin Geomtrica de la DerivadaAdems de evaluar el valor de una funcin en cierto punto, tambin es esencial que evaluemos la variacin en el valor de la funcin a medida que la entrada de la funcin vara.Esto se conoce como la pendiente de la recta en el caso de una recta lineal. Mientras que para una recta curva, la pendiente de la recta vara en cada punto.Esto significa que para una lnea recta / funcin lineal se obtiene un nmero constante como su pendiente. Mientras que para una recta curva la pendiente es una funcin del valor de entrada de la funcin.La nocin de derivada puede explicarse de dos maneras, una como la pendiente de la curva, que es la representacin geomtrica, y la otra como la tasa de variacin, que es la representacin fsica. La pendiente de la tangente de la curva extrae la derivada de la funcin geomtrica.Supongamos que una funcin f(x) = x2.La grfica de la funcin lucira de la siguiente forma

La curva de color azul representa el grfico de la funcin.Tome dos puntos en el eje x, supongamos x y x0como en el grfico de arriba.Determine el valor de la funcin en esos valores de x. Ahora trace una lnea que pase por esos puntos sobre la curva de la funcin para obtener una lnea recta.La lnea roja en el grfico anterior representa esa lnea.A medida que muevo los puntos sobre el eje x ms cerca uno del otro conseguimos una recta menos pronunciada que pasa a travs de la curva de la funcin. En el instante que x = x0, la grfica se vera as,

En tal situacin, la recta tocara el grafico en un solo punto y por tanto tendra la misma pendiente que la pendiente de la grfica en ese punto. Esta recta se conoce como la tangente de la funcin en ese punto.Determinar la pendiente de la tangente en ese punto te extraer la derivada de la funcin en ese punto.La pendiente de la recta que posee los puntos(x, f(x)) y (x0, f(x0)) ser,

Aqu el valor de x no debe ser igual a x0.Mientras que la pendiente de la tangente, lo que es igual, la derivada de la funcin, donde tenemos que x = x0es,

Los valores de m y m(x) son casi iguales cuando los puntos x y x0estn muy cerca uno del otro.Vale la pena saber que en ciertos lugares es mucho ms fcil calcular el lmite cuando el valor de la variable es casi igual a cero.Podemos hacerlo mediante la traslacin a lo largo del eje x.En efecto, estableciendo el valor de h cuando x x0obtenemos,

Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la curva y la recta tangente pueden simplemente compartir este punto en comn.Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la recta de tangencia deja la curva en una mitad donde se separa del plano.Sin embargo, la pendiente de la tangente o la derivada de la funcin es simplemente una estimacin lineal de la curva en un punto.