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Investigación de la capacidad de un modelo numérico para determinar una sección transversal de un canal aluvial.

*M.I. José Manuel Ramírez-León, Prof. Mark Sterling y Dr. Xiaonan Tang

*ramirezleon@iteso.mx

The University of Birmingham, School of Civil Engineering

Birmingham, R.U.

1. Resumen

El trabajo consiste en identificar y analizar el comportamiento del flujo en un canal

abierto con taludes autoformados, con el propósito de explorar la capacidad de un modelo

numérico de predecir la geometría transversal de tales cauces. Para dicho fin se optó por

comparar el modelo numérico con datos de laboratorio producidos. Respecto al numérico, se

trata de una estructura de flujo cuasi 2D, i.e. el Modelo de Shiono y Knight (MSK) (Shiono y

Knight, 1991), en combinación con el método de Yu y Knight (1998) que determina

secciones autoformadas, para tramos rectos y en material granular uniforme. La ventaja del

MSK radica en su simplicidad y flexibilidad, permitiendo incorporar variables para

considerar el flujo secundario, el cambio de viscosidad de los vórtices y la variación del

coeficiente de fricción a través de la sección. Respecto al método de Yu y Knight (1998), este

relaciona el equilibrio de fuerzas actuando en una partícula sobre el talud con la distribución

del esfuerzo cortante en la sección.

Acerca de los datos de laboratorio, se construyó un modelo físico sobre un canal de

pendiente variable de 10m de largo y 46cm de ancho, con una sección transversal compuesta

por taludes parabólicos unidos por el centro. Los taludes se basaron en el experimento

realizado por Ikeda (1981), el cual obtuvo un canal autoformado para media sección

transversal. Se corrieron pruebas en el canal con dos superficies, una lisa (PVC) y otra rugosa

(d50=1.46mm), usando tres tirantes y tres pendientes cada una. Los experimentos en PVC se

llevaron a cabo en con el objetivo de tener una superficie regular con un factor de fricción

conocido, mientras que la rugosa para validar los resultados encontrados, emulando el flujo

en una sección natural. La distribución de la velocidad fue medida por medio de tubos Pitot

Estáticos, mientras que el esfuerzo cortante en la frontera por medio de tubo Prestons.

De la interacción de ambos modelos se han obtenido resultados preliminares. Siendo

la contribución del trabajo la mejora en la estimación de la geometría para este tipo de

cauces y por ende de su capacidad hidráulica, incorporando el flujo secundario, la variación

de la viscosidad de los vórtices y del factor de fricción.

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2. Introducción

Un problema común en hidráulica fluvial consiste en predecir la sección transversal

estable que una corriente natural alcanzará, debido a estar envuelto en el intenso proceso de

erosión-transporte-depósito de sedimentos, alterando la geometría del cauce y con ello su

capacidad hidráulica. Sobreestimar la sección del canal natural implica un desperdicio de

recursos, y subestimar pone en riesgo de inundación las zonas aledañas.

Existen numerosos métodos para diseñar estos cauces, los cuales pueden ser divididos

en fuerza permisible y teoría de régimen, esta último a su vez se puede dividir en empírico

(p.e. Kennedy, 1895; Lacey, 1930; Leopold y Maddock, 1953) y analíticos o racionales

(p.e.Griffiths, 1981; Julien y Wargadalam, 1995; Cao y Knight, 1996; Yalin y Da Silva,

1999; Huang, Nanson et al., 2002; Lee y Julien, 2006). Entre ellos, algunos otros fueron

encontrados que predicen la geometría transversal de la sección del cauce, tipo teoría de

régimen, pero definiendo la forma de los taludes, y tomando en cuenta el esfuerzo cortante

permisible del material de fondo: p.e Glover y Florey (1951), Henderson (1961), Stebbings

(1963), Parker (1978; 1978; 1979), Diplas y Vigilar (1992), Cao y Knight (1996; 1997;

1998), Yu y Knight (1998), Dey (2001), Ikeda (1981), Ikeda et al. (1988), Diplas (1990),

Babaeyan-Koopaei y Valentine (1998), Vigilar y Diplas (1997; 1998), y Paquier y

Knodashenas (2002). Algunas de las desventajas que fueron encontradas yacen en la poca o

nula atención prestada al flujo secundario, cuando existe evidencia que muestra influencia en

los límites de la sección (i.e. Ikeda, 1981; Diplas, 1990). Por otro lado la forma del fondo del

centro canal no está definido y este no es plano. La mayoría de los métodos son para suelo

uniforme, excepto Ikeda, Parker et al. (1988) y Cao y Knight (1998). Finalmente no se

considera vegetación ni suelos cohesivos.

Entonces, con el objetivo de predecir la sección de un canal aluvial, incorporando el

flujo secundario, se pretende analizar el comportamiento del flujo en este tipo de secciones,

por medio de un modelo físico y comparar los resultados con uno numérico. El modelo

numérico seleccionado consta de un modelo del flujo cuasi 2D (i.e. Shiono y Knight, 1990) y

el método de Yu y Knight (1998) para secciones transversales. El resultado de este trabajo

pretendo proporcionar factores para la incorporación del flujo secundario, la variación de la

viscosidad de los vórtices y del factor de fricción, clarificando los mecanismos involucrados.

A continuación se presenta la metodología empleada, seguida de los resultados obtenidos y

las conclusiones preliminares del proyecto.

3

3. Metodología

La estrategia que se siguió consiste en comparar un modelo físico con uno numérico

equivalente, una vez que ambos fueron construidos y los resultados de laboratorio están

disponibles es posible calibrar el modelo numérico. En seguida se describen brevemente.

a. Modelo numérico

El modelo numérico empleado se divide en dos partes, la primera es una estructura de

flujo cuasi-2D y la segunda es un método que describe la sección transversal del cauce.

Debido a su simplicidad y flexibilidad, el modelo de flujo de Shiono y Knight (1990) (MSK)

fue seleccionado (ecuación 1), el cual proporciona una solución ingeniosa para las ecuaciones

de Reynolds Navier-Stokes, obteniendo como resultado la distribución transversal de la

velocidad promedio (Ud) y por consecuente el esfuerzo cortante en la frontera (τ0). Este se

puede resolver de manera analítica, dividiendo la sección en paneles, o de manera numérica,

p.e. método del volumen finito. La segunda parte trata del método de Yu y Knight (1998),

quienes definieron una función cosenoidal (ecuación 2) para las márgenes de un cauce aluvial

recto y con material uniforme, basados en el equilibrio dinámico de la partícula. Dicho

equilibrio está ligado a τ0, tomando esta variable de la ecuación 1, y siendo la restricción del

modelo el esfuerzo cortante crítico (τ0c) del material en la base del talud.

( )1 2 1 2

2 2

2

11

8 8

dd d d

Uf fghS U h U h UV

s y y yρ ρ ρλ ρ

∂∂ ∂ − + + = ∂ ∂ ∂

(1)

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

2 23 2 2

0 0 0 01 1 1cos

1 1

c cµ β τ τ µ µβ µ τ τ µ β µ

θµβ µ

2 2 2

2

+ + + + − +=

+ + (2)

Figura 1. Fuerzas actuando sobre la partícula en la margen del cauce (Yu y Knight, 1998).

Donde ρ es la densidad del agua; g, la constante gravitacional; h, el tirante local; S, la

pendiente longitudinal; f, la factor de fricción de Darcy; s, la pendiente transversal; y, la

distancia horizontal desde el centro de línea; λ, la viscosidad adimensional del vórtice;

4

( )d

h UVy

ρ∂ ∂

, el gradiente lateral de flujo secundario (Γ); 1 DF Fβ = , tomado como 0.85;

Fd, la fuerza de arrastre; F1, la fuerza de ascenso; α, el ángulo de reposo del material; µ=tanα;

W, el peso sumergido de la partícula; y θ el ángulo de inclinación del talud para un

determinado τ0.

El modelo parte de un tirante y un ancho dados, para un determinado suelo y

pendiente longitudinal. Enseguida se aplica el MSK para encontrar la distribución de τ0 en el

canal (ecuación 1), con el cual se calcula θ para cada punto correspondiente de τ0 (ecuación 2

), conservando h y modificando el ancho. El proceso se repite para la sección obtenida,

iterando hasta que el ancho y la distribución de τ0 converjan.

b. Modelo físico

El modelo físico consiste en un canal recto (10m de largo) con una sección transversal

simétrica, compuesta por dos taludes parabólicos unidos por una línea central recta de 2cm,

montado sobre un canal de pendiente variable. Dichos taludes simulan la geometría de un

canal autoformado, los cuales fueron obtenidos de los experimentos de Ikeda (1981), pero

maximizados a las dimensiones del canal (46cm de ancho) (figura 2). Con el objetivo de

analizar el comportamiento del flujo en la sección, se emplearon tres tirantes, tres pendientes

y dos superficies en canal. Siendo la meta alcanzar 18 corridas experimentales. Los tirantes

fueron 7.1cm, 5.1cm y 3.5cm, las pendientes 1/675, 1/575 y 1/200, y las superficies fueron

una lisa (PVC, figura 3) y otra rugosa (arena sílica, d50=1.46mm, figura 4). El objetivo del

PVC es tener una superficie regular con un factor de fricción conocido, mientras el de la

rugosa es el de emular las condiciones equivalentes a un canal autoformado.

Figura 2. Se presenta la sección transversal evaluada sobre un canal de pendiente variable.

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De cada corrida proyectada se midió la distribución de la velocidad longitudinal (Ui) y

el esfuerzo cortante en la frontera (τ0), mediante tubos Pitot estáticos y Preston

respectivamente, para media sección únicamente. La técnica del tubo Preston únicamente se

pudo aplicar a los experimentos en PVC, dada la naturaleza de sus ecuaciones, por lo que se

determinó de manera indirecta τ0 para superficie rugosa.

Figura 3. Canal en superficie lisa terminado.

Figura 4. Canal en superficie rugosa.

4. Resultados

De las corridas experimentales se obtuvieron curvas de isovelocidad, mostrando

cuatro casos en las figuras 5-8. Los cuales corresponden a hc=7.1cm, para S=1/675, 1/575,

1/200, tres de ellos en superficie PVC y uno de ellos en rugosa. Del análisis de estas curvas se

pueden apreciar dos células de flujo, ubicando la división entre ellas alrededor de x=16cm,

donde cambia la concavidad de las curvas. Esto coincide con las observaciones de Tominaga

et al. (1989), quienes sugieren dos células de flujo para taludes con secciones trapezoidales.

De las curvas de isovelocidad se obtuvo la velocidad promedio por segmento

transversal (Ud), además de la distribución transversal de τ0. Los resultados fueron graficados

junto con valores simulados por medio del MSK (ecuación 1). El siguiente paso fue proponer

valores para las incógnitas del modelo numérico, principalmente para Γ. A continuación se

presenta uno de los mejores casos obtenidos (figuras 7, 9 y 10), el cual corresponde a

hc=6.95cm y S=1/200 en superficie de PVC, obteniendo Γ/ρgRS=0.25, 0.25, -0.125 y 0,

respectivamente para los paneles empleados por el MSK.

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Figura 5. Curvas de isovelocidad para hc=7.02cm, S=1/675 en superficie lisa. La línea punteada señala el

cambio de concavidad, infiriendo la división entre células de flujo.

Figura 6. Curvas de isovelocidad para hc=7.08cm, S=1/575 en superficie lisa. La línea punteada señala el

cambio de concavidad, infiriendo la división entre células de flujo.

7

Figura 7. Curvas de isovelocidad para hc=6.95cm, S=1/200 en superficie lisa. La línea punteada señala los

paneles para simulación en MSK. Mientras que las flechas señalan el sentido del flujo.

Figura 8. Curvas de isovelocidad para un hc=7.02cm, S=1/200 en superficie rugosa. La línea punteada

señala el cambio de concavidad, infiriendo la división entre células de flujo.

.. 0 - + +

8

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

1.4000

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250

Ud

(m/s

)

.

y (m)

Ud vs. y

Run H3S3

SKM Analytical Solution

H3S3

SKM:

Γ/(ρgHS)=+0.25,+0.25,-0.125,0

λ=0.07

n=0.00831

Hc=6.95 cm

So=0.005044

A= 224.91 cm2

R= 4.62 cm

V= 1.08 m/s

Q SKM = 24.29 lps

Lab:

QPitot=24.43 lps

QFlowmeter= 25.00 lps

E%= 2.28%

Figura 9. Se presentan los datos experimentales de distribución de velocidad para hc=6.95cm, S=1/200 en

superficie lisa, junto con los valores simulados en MSK tomando en cuenta el flujo secundario como

Γ/ρgRS=0.25, 0.25, -0.125 y 0, para cuatro paneles MSK.

0.0000

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

2.5000

3.0000

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250

τ (

N/m

2)

.

y (m)

τ vs y

Run H3S3

SKM Analytical Solution

H3S3

SKM:Γ/(ρgHS)=+0.25,+0.25,-0.125,0

λ=0.07

n=0.00831

Hc=6.95 cm

So=0.005044

A= 224.91 cm2

R= 4.62 cm

Lab:

τm= 2.2760 N/m2

τ=ρgRS=2.3170 N/m2

E% = 1.80%

Figura 10. Se presentan los datos experimentales de distribución de esfuerzo cortante para hc=6.95cm,

S=1/200 en superficie lisa, junto con los valores simulados en MSK tomando en cuenta el flujo secundario

como Γ/ρgRS=0.25, 0.25, -0.125 y 0, para cuatro paneles MSK.

9

5. Conclusiones

Se puede concluir que se han identificado dos células de flujo en los taludes

autoformados, coincidiendo con los trapezoidales propuesto por Tominaga et al. (1989). Esto

deberá tomarse en cuenta para la calibración del modelo. Aunque los resultados mostrados de

las simulaciones son alentadores, estos a su vez requieren ser validados con el resto de las

corridas, por lo que un mayor trabajo es necesario. Con respecto al modelo numérico, las

simulaciones dan muestra de su flexibilidad.

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