1. Ingeniera IndustrialMtodo Simplex en Investigacin de Operaciones 1. Exprese el modelo matemtico en la forma estndar. 2. Elabore la tabla inicial del simplex 3. Determine la variable no bsica que entra 4. Determine la variable que sale: 5. Aplicacin del mtodo Gauss-Jordan (o de operaciones sobrerenglones). 6. Criterio para terminar el proceso. 7. Algoritmo del Mtodo de la Gran M1.-Exprese el modelo matemtico en la forma estndar.Todas las restricciones del modelo matemtico deben convertirse en igualdades.No debe haber ningn lado derecho negativo.Si es "=" entonces se agregan Ai - SiSi es " =" entonces se agrega una Ai2.Elaborela tablainicialdel simplex: Note que en la fila superior de la matriz se enlistan todas las variables del problema ( lasde decisin y las agregadas). Adems observe que en la columna izquierda, es decir en labase, no se colocan las variables de decisin ni las sobrantes. Esto es en la tabla inicial,pero no implica que dichas variables no puedan entrar a la base en tablas posteriores.Base X1 X2 H1H2 H3H4ZLDH1 a11a121 00 0 0b1H2 a21a220 10 0 0b2H3 a31a320 01 0 0b3H4 a41a420 00 1 0b4Z-c1-c20 00 0 103. Determine la variable no bsica que entra:Se elige como la variable que entra en maximizacin (minimizacin) como la variable nobsica que tiene el indicador ms negativo (positivo), en la fila de coeficientes de laFuncin Objetivo (Z). Los empates se rompen arbitrariamente.4. Determine la variable que sale:Se determina tomando el cociente de los valores en la columna del lado derecho (LD) decada restriccin entre los coeficientes positivos de la columna de la variable que entra. Siel coeficiente es "cero o negativo" entonces el cociente se considera infinito. La variablebsica asociada al cociente ms pequeo (en ambos casos, maximizacin y

2. minimizacin) es la variable que sale. Los empates se rompen arbitrariamente. Sinembargo, en caso de haber empate y que una de las variables involucradas sea unavariable artificial, se elige a sta como la variable saliente.5. Aplicacin del mtodo Gauss-Jordan (o de operaciones sobre renglones).Mediante este procedimiento se elimina (en realidad se sustituye) la variable que entra, entodas las filas de la tabla. Es decir, se tiene que convertir la columna de la variable queentra en un vector columna unitario (un 1 y puros ceros). Esto se logra de la siguientemanera:5.1. El primer paso en la eliminacin de Gauss-Jordan es multiplicar la fila pivote por elinverso multiplicativo del elemento pivote (para formar la unidad) y reemplazar el nombrede la variable que sale por el nombre de la variable que entra.5.2. La eliminacin (o sustitucin) se logra sumando un mltiplo adecuado de la fila pivote( elemento pivote = 1) a cada una de las dems filas. Es decir, se multiplica la fila pivote por el negativo del nmero que deseamos que se convierta en cero y el resultado de esta multiplicacin se suma a la fila donde queremos que aparezca el cero. 1. Criterio para terminar el proceso.Los pasos 2, 3, 4 y 5 se repiten hasta que todos los indicadores de la funcinobjetivo sean no negativos (si es de maximizacin) o sean no positivos (si es deminimizacin).Cuando esto ocurre se dice que se ha llegado a la solucin ptima delproblema.Variables artificialesEn los problemas anteriores del mtodo simplex hemos utilizado las variables de holguracomo una solucin inicial factible. Sin embargo, si la restriccin original es una " , ya notenemos una solucin factible inicialecuacin ("=") o es del tipo " preparada.Por lo que es necesario generar una solucin inicial. La idea de utilizar VariablesArtificiales es muy simple. Es necesario sumar una variable no negativa a todas laecuaciones que no tengan variables bsicas iniciales. Las variables agregadasdesempearn la misma funcin que una variable de holgura. Sin embargo, como estasvariables no tienen un significado fsico desde el punto de vista del problema original ( deaqu el nombre de "artificial"), el procedimiento ser valido slo si hacemos que estasvariables sean cero cuando se llegue a la tabla ptima.Algoritmo del Mtodo de la Gran M1. Pasar a la forma estndar el modelo matemtico.2. Agregar variables artificiales en las ecuaciones que no tienen variables de holgura. 3. 3. Se deben penalizar a las variables artificiales en la funcin objetivoasignndoles coeficientes positivos muy grandes. Sea M un nmero muygrande. ( En los modelos de Minimizacin la penalizacin para cadavariable artificial se suma y en los de Maximizacin se restan). 4. En la funcin objetivo no deben aparecer variables bsicas por lo que sehace necesario eliminar las variables artificiales de la F.O.(Quitar las "M" delas columnas de las artificiales). 5. Con la solucin inicial artificial se aplica el mtodo simplex de la formaacostumbrada generando las tablas necesarias para llegar a una solucin. Notas: Cuando una solucin contiene variables artificiales bsicas igual a cero entoncesla solucin s es factible con respecto al problema original. Si el problema no tiene solucin factible, cuando menos una variable artificial serpositiva en la solucin ptima.Cuando tenemos restricciones de igualdad, de mayor o igual; cuando algunas de las bison negativas o queremos minimizar, para usar el simplex, debemos identificar unasolucin bsica inicial.Se revisa el problema aadiendo variables artificiales, slo con el propsito de que sea lavariable bsica inicial para esa ecuacin. Son variables no-negativas y se altera la funcinobjetivo para que imponer una penalidad exhorbitante en que estas variables artificialestengan valores mayores de cero. El mtodo del simplex entonces hace desaparecer estasvariables hasta que el problema real es resuelto.Utilizando el mtodo simplex resuelva el siguiente problema de programacin lineal.Max Z = 40X1 + 60X2 + 50X3s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3 9502 X1 + 2 X2 410+X1 + + 2 X3 610X1 , X2 , X3 0VB ZX1X2X3X4 X5X6SOLUCIONZ1-40 -60 -50 00 0 0X4 0104 2 10 0 950X5 02 2 0 01 0 410X6 11 0 2 00 1 610Z1200 -50 0300 12300 60RP + FO 4. X4 06 02 1-20130 -4RP + R1X2 01 10 01/2 0205 1/2RPX6 01 02 00 1610Z1170 00 25 -20 015550 50RP + FOX3 03 01 1/2-10651/2 RPX2 01 10 01/2 0205X6 0-500 -1 2 1480 -2RP + 3Z1120 00 15 0 20 20350 20RP + FOX3 01/2 01 00 0305 RP + R1X2 09/4 10 1/40 -1/2 851/2RP + R2X5 0-5/2 0 0 -1/2 1 1240 1/2RPMax Z -40X1 - 60X2 - 50X3s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3 + X4 = 9502 X1 + 2 X2 + + X5 = 410X1 + + 2 X3 + X6 = 610 5. X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 0 Solucin bsica actual:X4 = 950 min950/4 , 410/2 , -X5 = 410 min237.5 , 205 , -X6 = 610 Solucin bsica actual:X4 = 130 min130/2 , - , 610/2X2 = 205 min65 , - , 305X6 = 610 Solucin bsica actual:X3 = 65 min- , 205/0.5 , 480/2X2 = 205 min- , 410 , 240X6 = 480 Por lo tanto la solucin ptima es:Z* = 20350X2* = 85X3* = 305X5* = 240X1* = X4* = X6* = 0 Comprobacin en la funcin objetivo:Max Z = 40X1 + 60X2 + 50X3Z = 4 (0) + 3 (85) + 50(305)Z = 20350 Comprobacin en las restricciones: 6. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3 + X410(0) + 4( 85) + 2(305) + 0 = 9502 X1 + 2 X2 + X52(0) + 2(85) + 240 = 410X1 + 2 X3 + X6 1. + 2(305) + 0 = 610Utilizando el mtodo simplex resuelva el siguiente problema de programacin lineal.Max Z = 5X1 + X2 + 3X3s.a. 2 X1 - X2 + 2 X3 4X1 + X2 + 4 X3 4X1 , X2 , X3 0VB Z X1X2 X3 X4 X5 SOLUCIONZ 1-5-1 -3 000X402 -1 2104X501 14014Z 10 -7/2 25/2 0 10 5RP + FOX101 -1/2 11/2 0 21/2RPX500 3/2 3 -1/2 12-RP + R2 7. 7/2RP +Z10 0 94/3 7/3 44/3 FOX1 01 0 21/3 1/3 8/31/2RP + R1X2 00 1 2-1/3 2/3 4/3 2/3RPMax Z - 5X1 - X2 - 3X3s.a. 2 X1 - X2 + 2 X3 + X4 = 4X1 + X2 + 4 X3 + X5 = 4X1 , X2 , X3 , X4 , X5 0Solucin bsica actual:X4 = 4 min 4/2 , 4/1X5 = 4 min 2 , 4Solucin bsica actual:X1 = 2 min - , 2/1.5X5 = 2 min - , 1.33Por lo tanto la solucin ptima es:Z* = 44/3X1* = 8/3X2* = 4/3X3* = X4* = X5* = 0Comprobacin en la funcin objetivo:Max Z = 5X1 + X2 + 3X3 8. Z = 5 (8/3) + 4/3 + 0Z = 44/3Comprobacin en las restricciones:2 X1 - X2 + 2 X3 + X42 (8/3) 4/3 + 2 (0) + 0 = 4X1 + X2 + 4 X3 + X58/3 + 4/3 + 4 (0) + 0 = 4Utilizando el mtodo simplex resuelva el siguiente problema de programacin lineal.Max Z = 25X1 + 50X2s.a. 2 X1 + 2X2 10003 X1 600 X1 + 3X2 600X1 , X2 0VB Z X1X2 X3X4X5SOLUCIONZ1 -25 -500 0 0 0X3 0 2 21 0 0 1000X4 0 3 00 1 0 600X5 0 1 30 0 1 600Z1 -25/3 00 0 50/3 10000 50RP + FOX3 0 4/3 01 0 -2/3 600 -2RP + R1X4 0 3 00 1 0 600X2 0 1/3 10 0 1/3 2001/3RPZ1 0 00 23/9 50/3 35000/325/3RP + FOX3 0 0 01 -4/9 -2/3 1000/3 -4/3RP + R1X1 0 1 00 1/3 0 2001/3RPX2 0 0 10 -1/3 1/3400/3-1/3RP + R3 9. Max Z - 25X1 - 50X2s.a. 2 X1 + 2X2 + X3 = 10003 X1 + X4 = 600X1 + 3X2 + X5 = 600X1 , X2 , X3 , X4 , X5 0 Solucin bsica actual:X3 = 1000 min 1000/2 , - , 600/3X4 = 600 min 500 , - , 200X5 = 600 Solucin bsica actual:X3 = 600 min 600/4/3 , 600/3 , 200/1/3X4 = 600 min 450 , 200 , 600X2 = 200 Por lo tanto la solucin ptima es:Z* = 35000/3X1* = 200X2* = 400/3 10. X3* = 1000/3X4* = X5* = 0 Comprobacin en la funcin objetivo:Max Z = 25X1 + 50X2Z = 25 (200) + 50 (400/3)Z = 35000/3 Comprobacin en las restricciones:2 X1 + 2X2 + X32 (200) + 2 (400/3) + 1000/3 = 10003 X1 + X43 (200) + 0 = 600X1 + 3X2 + X5200 + 3 (400/3) + 0 = 600Considere el siguiente problema.Min W = 3X1 + 5X2 + X3s.a. 4 X1 + 2 X2 + X3 1 8X1 , X2 , X3 0DualMax Z= 18Ys.a. 4Y1 32Y1 5Y1 1Y1 0Para el primal 11. Min W 3X1 5X2 X3 =0s.a. 4X1 2X2 X3 + S1 = -18X1 , X2 , X3 , S1 0VB WX1X2X3S1 SOLUCIONW1-3-5-100S1 0-4-2-11-18El primal no tiene solucin porque no se puede establecer la variable de entrada.Para el dualMax Z- 18Y1 =0s.a. 4Y1 + S1 = 32Y1 + S2 = 5Y1 + S3 = 1Y1 , S1 ,S2, S3 0VB ZY1S1 S2S3 SOLUCIONZ 1 -18 00 00S10 4 10 03S20 2 01 05S30 1 00 11VB ZY1S1 S2S3 SOLUCIONZ 1 0 18/4 0 027/2 18/4RP+FOY10 1 1/40 03/41/4RPS20 0 1/2-10-7/2 1/2RP-R2S30 0 1/40 -1 -1/4 1/4RP-R3 12. Solucin bsica actual:S1 = 3 min 3/4 , 5/2 , 1/1S2 = 5 min 0.75 , 2.5 , 1S3 = 1 Por lo tanto la solucin ptima es:Z* = 27/2Y1* = 3/4S2* = S3 =0 Comprobacin en las restricciones:Z = 18(3/4) = 27/24(3/4) = 3 ACTIVA2(3/4)=1.5 < 5 INACTIVA Y DEFICIT 3/4 = 0.75< 1 INACTIVA Y DFICITCambiar el coeficiente de x1 a 4 de la funcin objetivo y resolver el primal y el dual.Min W = 4X1 + 5X2 + X3s.a. 4 X1 + 2 X2 + X3 1 8X1 , X2 , X3 0DualMax Z= 18Ys.a. 4Y1 42Y1 5Y1 1 13. Y1 0Para el primalMin W 4X1 5X2 X3 =0s.a. 4X1 2X2 X3 + S1 = -18X1 , X2 , X3 , S1 0VB W X1 X2X3S1 SOLUCIONW1 -4 -5-100S1 0 -4 -2-11-18El primal no tiene solucin porque no se puede establecer la variable de entrada.Para el dual:Max Z- 18Y1 =0s.a. 4Y1 + S1 = 42Y1 + S2 = 5Y1 + S3 = 1Y1 , S1 ,S2, S3 0VB Z Y1 S1 S2S3 SOLUCIONZ 1-1800 00S10410 04S20201 05S30100 11VB Z Y1 S1 S2S3 SOLUCIONZ 1018/4 0 018 18/4RP+FOY1011/40 011/4RPS2001/2-10-3 1/2RP-R2 14. S3 001/4 0-10 1/4RP-R3 Solucin bsica actual:S1 = 4 min 4/4 , 5/2 , 1/1S2 = 5 min 1 , 2.5 , 1S3 = 1 Por lo tanto la solucin ptima es:Z* = 18Y1* = 1S2* = S3 =0 Comprobacin en las restricciones:Z = 18(1) = 184(1) = 4=4 ACTIVA2(1)=2 < 5 INACTIVA Y DEFICIT 15. 1 = 1 ACTIVA Y DFICITCambiar el coeficiente de x3 a 1 y a la funcin objetivo y resolver el primal y el dual.Min W = 3X1 + 5X2 *- X3s.a. 4 X1 + 2 X2 + X3 1 8X1 , X2 , X3 0DualMax Z= 18Ys.a. 4Y1 32Y1 5Y1 -1Y1 0Para el primalMin W 3X1 5X2 +X3 =0s.a. 4X1 2X2 X3 + S1 = -18X1 , X2 , X3 , S1 0VBWX1 X2 X3 S1 SOLUCIONW 1-3 -5 100S10-4 -2 -1 1-18VBWX1 X2 X3 S1 SOLUCIONW 1-7 -7 01-18X30421-1 18-RP+FO 16. -RP Solucin bsica actual:S1 = -18 min -18/-1 min 18 Por lo tanto la solucin ptima es:W* = -18X3* = 18X1*, X2*, S1*,= 0 Comprobacin en las restricciones:W = 3(0) + 5(0) 18 = -184(0) + 2(0) + 18 = 18 ACTIVAPara el dual:Max Z- 18Y1 =0s.a. 4Y1 + S1 = 32Y1 + S2 = 5Y1 + S3 = -1Y1 , S1 ,S2, S3 0VB ZY1S1S2 S3 SOLUCIONZ 1 -18 0 000S10 4 1 003S20 2 0 105S30 1 0 01-1VB ZY1S1S2 S3 SOLUCIONZ 1 0 18/4 0 027/2 18/4RP+FOY10 1 1/4 003/41/4RP 17. S2 001/2 -10-7/21/2RP-R2S3 001/4 0 -1 -1/41/4RP-R3 Solucin bsica actual:S1 = 3 min 3/4 , 5/2 , -1/1S2 = 5 min 0.75 , 2.5 , -S3 = -1 Por lo tanto la solucin ptima es:Z* = 27/2Y1* = 3/4S2* = S3 *=0 Comprobacin en las restricciones:Z = 18(3/4) = 27/24(3/4) = 3=3 ACTIVA2(3/4)=1.5 < 5 INACTIVA Y DEFICIT 18. 3/4 = 0.75 > -1 INACTIVA Y DE SUPERAVITUtilizando el mtodo simplex resuelva el siguiente problema de programacin lineal.Min W = 6X1 + 8X2 + 16X3s.a. 2 X1 + X2 5X2 + 3X3 4X1 , X2 , X3 0VB W X1X2 X3X4 X5SOLUCIONW1 -6-8 -16 00 0X4 0 2 10 10 5X5 0 0 13 01 4W1 -6-8/3 0 016/3 64/316RP + FOX4 0 2 10 10 5X3 0 0 1/31 01/3 4/31/3 RPW1 0 1/30 316/3 109/3 6RP + FOX1 0 1 1/20 1/20 5/21/2 RPX3 0 0 1/31 01/3 4/3Min W - 6X1 - 8X2 - 16X3s.a. 2 X1 + X2 + X4 = 5 X2 + 3X3 + X5 = 4 19. X1 , X2 , X3 , X4 , X5 0 Solucin bsica actual:X4 = 5 min - , 4/3X5 = 4 min - , 1.33 Solucin bsica actual:X4 = 5 min 5/2 , -X3 = 4/3 min 2.5 , - Por lo tanto la solucin ptima es:W* = 109/3X1* = 5/2X3* = 4/3X2* = X4* = X5* = 0 Comprobacin en la funcin objetivo:Min W = 6X1 + 8X2 + 16X3W = 6 (5/2) + 8 (0) + 16 (4/3)W = 109/3 Comprobacin en las restricciones:2 X1 + X2 + X42 ( 5/2) + 0 + 0 = 5X2 + 3X3 + X50 + 3 (4/3) + 0 = 4Utilizando el mtodo simplex resuelva el siguiente problema de programacin lineal.Min W = X1 + 3X2 + 2X3s.a. X1 + 4X2 8 20. 2 X1 + X3 102 X1 + 3X2 15X1 , X2 , X3 0VB WX1 X2 X3 X4X5 X6 SOLUCIONW1-1 -3 -2 0 000X4 01401 008X5 02010 1010X6 02300 0115W1-1/4 0-2 3/4 0063RP + FOX2 01/4101/4 0021/4 RPX5 02010 1010X6 05/400-3/4 0 19-3RP + R3W115/4 003/4 2026 2RP + FOX2 01/4101/4 002X3 02010 1010X6 05/400-3/4 0 19Min W - X1 - 3X2 - 2X3s.a. X1 + 4X2 + X4 = 82 X1 + X3 + X5 = 10 21. 2 X1 + 3X2 + X6 = 15X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 0 Solucin bsica actual:X4 = 8 min 8/4 , - , 15/3X5 = 10 min 2 , - , 5X6 = 15 Solucin bsica actual:X2 = 2 min - , 10/1 , -X5 = 10 min - , 10 , -X6 = 9 Por lo tanto la solucin ptima es:W* = 26X2* = 2X3* = 10X6* = 9X1* = X4* = X5* = 0 Comprobacin en la funcin objetivo:Min W = X1 + 3X2 + 2X3W = 0 + 3 (2) + 2 (10)W = 26 Comprobacin en las restricciones:X1 + 4X2 + X40 + 4 (2) + 0 = 82 X1 + X3 + X5 22. 2 (0) + 10 + = 102 X1 + 3X2 + X62 (0) + 3 (2) + 9 = 15Use variables artificiales y pngalas en la tabla inicial de: a. Formule el problema dual b. Elabore la tabla inicial para el problema dual Min W = 6X1 + X2 + 3X3 - 2X4 Min W 6X1 X2 3X3 + 2X4 = 0 s.a. X1 + X2s.a. X1 + X2 + X6 = 42 2 X1 + 3X2 X3 - X4 10 2X1 + 3X2 X3 X4 X5 + X7 = 10 X1 + 2X3 + X4 =30 X1 + 2X3 + X4 + X8 = 30 X1 , X2 , X3 , X4 0 X7 X8 VB W X1X2X3X4 X5 X6 SOLUCION W 1-6-1-3200-M -M 0 X601 1 0 0010042 X702 3 -1-1 -1 01010 X801 0 2 1000130 VB W X1X2X3X4 X5 X6 X7 X8 SOLUCION W 13M-6 3M-1 M-3 2-M 00040M X601 1 0 0010042 X702 3 -1-1 -1 01010 X8 0 1 0 2 100X7 X01 308X1 X2 X3 X4 X5 X6 SOLUCION M2 3 -1-1 -1010102M3M-M-M -M0M010M-6-1-320 0-M -M 02M- 3M--6 1 -M-3 M+2 -M00-M 10MX1X2X3X4 X5X6 X7 X8 SOLUCION M1 0 2 10 00130M 0 2MM0 00M30M 23. 2M- 3M--6 1 -M-3 M+2 -M0 0 -M 10M3M- 3M-6 1 M-3 2-M0 0 040MConsidrese el problema siguiente: c. Formule el problema dual d. Elabore la tabla inicial para el problema dualMin W = 3X1 - 5 X2 + 4X3s.a. 4 X1 - 2 X2 + X3 = 203 X1 + 4X3 12-2X2 + 7X3 7X1 , X2 , X3 0DUALMax Z = 20Y1 + 12Y2 + 7Y3s.a. 4 Y1 + 3 Y2 3-2Y1 - 2Y3 -5Y1 + 4Y2 + 7Y3 -4Y1 =NR Y2 , Y3 0VB Z Y1Y2 Y3 Y4 Y5Y6 SOLUCIONZ 1-20 -12-7 00 00Y404 3010 03 24. Y5 0-2 0-20 10-5Y8 0147 0 014Use variables artificiales y el mtodo simplex para resolver el problema lineal:Min W = -2X1 - X2 4X3 - 5X4s.a. X1 + 3 X2 + 2 X3 + 5X4 202 X1 + 16 X2 + X3 + X44 3 X1 - X2 - 5X3 + 10X4 -10 X1 , X2 , X3 ,X4 0VBWX1X2X3 X4 S2 S1 R2S3SOL.W 12 1 4500-M0 0S101 3 2510 10 0 20R202 1611-1 01 0 4S303 -1-5 10 000 1 -10VBWX1X2X3 X4 S2 S1 R2S3SOL.W 12M+2 16M+1 M+4 M+5-M 00 0 4MS101 3 2510 10 0 20R202 1611-1 01 0 4S303 -1-5 10 000 1 -10VBWX1X2X3 X4 S2 S1 R2S3SOL.(-M-W 115/80 63/16 79/16 1/16 0-M-1/16 0 -1/4 1/16)RP+FO -S10- -5/8 0-29/16 -77/16 163/16 -1 3/160 -77/43/16RP-R1R201/8 1 1/16 1/16 -1/1601/160 1/41/16 RPS3025/80 -79/16 161/16 -1/1601/161 -39/41/16 RP+R3 25. Min W + 2X1 + X2 + 4X3 + 5X4= 0 s.a. X1 + 3 X2 + 2 X3 + 5X4 + S1 = 202 X1 + 16 X2 + X3 + X4 -S2 + R2 = 4 3 X1 - X2 - 5X3 + 10X4 +S3 = -10X1 , X2 , X3 , X4 0Max Z -40X1 - 60X2 - 50X3s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3 + X4 = 950 26. 2 X1 + 2 X2 + + X5 = 410X1 + + 2 X3 + X6 = 610X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 0 Solucin bsica actual:S1 = 20 min 20/3 , 1/16 , -10/-1R2 = 4 min 6.6 , 0.25 , 10S3 = -10 Por lo tanto la solucin ptima es:W* = -1/4X2* = 1/4S3* = -39/4X1*, X3*, X4*, S1*, S2* = 0 Comprobacin en las restricciones:W = -2(0) 1/4 + 4(0) 5(0) = -1/40 + 3(1/4) +2(0) + 5(0) = 3/4 20 INACTIVA Y DEFICIT2(0) +16(1/4) + 0 +0 = 16/4 = 4 = 4 ACTIVA 3(0) 1/4 5(0) + 10(0) = -1/4 -10Por el metodo simplexMin W+2X1+X2+4X3+5X4=0s.a. X1 + 3X2 + 2X3 + 5X4 + S1 =20-2 X1 - 16X2 - X3 - X4 + S1 =-43 X1 - X2 - 5X3 + 10X4 + S3 =-10X1 , X2 , X3 , X4 0 S1 ,S2 ,S3 0 27. VBWX1X2 X3X4 S1S2S3 SOL.W 12 14 50 0 00S101 32 51 0 020S20-2-16-1-1 0 1 0-4S303 -1 -510 0 0 1-10VBWX1X2 X3X4 S2S1S3 SOL.W 1-8-79-100 5 0-20 5RP + FOS10-9-77-301 0 00 5RP+R1X402 16 1 10 1 04 -RPS20-17 -161 -15 00 101-50 10RP+R3Solucin bsica actual:S1 = 0 min -20/5 , - , -50/10X4 = 4 min -,-,-S3 = -50No tiene solucin porque se puede establecer la variable de entrada pero no la salida. 28. En los ejercicios 1-4, escriba la tabla simples inicial para cada problema dado deprogramacin lineal.1.- Max Z= 3X1 + 7X2 Max Z- 3X1 - 7X2 =0s.a. 3X1 2X2 7 s.a. 3X1 2X2 +S1 =72X1 + 5X2 6 2X1 +5X2 +S2 =62X1 + 3X2 8 2X1 + 3X2 + S3 =8X1, X2 0 X1, X2 ,S1, S2 ,S3 0VBZX1 X2S1S2 S3SOL.Z 1-3 -70 00 0S103-21 00 7S2025 0 10 6S3023 0 01 82.- Max Z= 2X1 + 3X2 4X3 Max Z- 2X1 - 3X2+4X3 =0s.a. 3X1 2X2 +X34 s.a. 3X1 2X2 +X3 + S1 =42X1 -4X2 +5X3 6 2X1 -4X2 +5X3 +S2 =6X1, X2, X3 0 X1, X2 ,X3, S1, S2 0VBZX1 X2X3S1 S2SOL.Z 1-2 -34 00 0S103-21 10 4S202-45 01 63.- Max Z= 2X1 + 2X2 +3X3+X4 Max Z- 2X1 - 2X2 -3X3 -X4 =0s.a. 3X1 2X2 +X3 + X4 6 s.a. 3X1 2X2 +X3 + X4 + S1 = 6X1 + X2 + X3 + X4 8 X1 + X2 + X3 + X4 +S2 = 8 29. 2X1 - 3X2 +X3 + 2X4 10 2X1 - 3X2 + X3 + 2X4 +S3= 10X1, X2, X3,X4 0 X1, X2 ,X3, X4, S1, S2 , S3 0VBZ X1X2X3X4S1 S2 S3 SOL.Z 1 -2-2-3-10000S10 3 -21 1 1006S20 1 1 1 1 0108S30 2 -3-12 001104.- Max Z= 2X1 - 3X2 + X3 Max Z- 2X1 + 3X2 - X3 =0s.a. X1 2X2 + 4X3 5 s.a. X1 2X2 +4X3 + S1 = 52X1 + 2X2 + 4X3 5 2X1 + 2X2 + 4X3 +S2 = 53X1 + X2 - X3 7 3X1 + X2 - X3 +S3 = 7X1, X2, X3, 0 X1, X2 ,X3, S1, S2 , S30VBZ X1 X2 X3S1S2 S3 SOL.Z 1 -2 3-10 000S10 1-2 4 1 005S20 224 0 105S30 31-10 017 30. En los ejercicios 5-11 resuelva cada problema de programacin lineal mediante elmtodo simplex. de alguno de los problemas podran no tener una solucin optimainfinita.5.- Max Z = 2X1 + 3X2 Max Z - 2X1 - 3X2 =0s.a. 3X1 + 5X2 6 s.a. 3X1 + 5X2 +S1 = 62X1 +3X2 7 2X1 +3X2 +S2 = 7X1 , X2 0 X1, X2, S1, S2 0VB Z X1 X2S1S2 SOLUCIONZ1 -2 -30 00S1 0 35 1 06S2 0 23 0 17VB Z X1 X2S1S2 SOLUCIONZ1 -1/5 0 3/5 018/5 3/5RP+FOX2 0 3/51 1/5 06/51/5RPS2 0 -1/5 0 3/5 -1 -17/53/5RP-R2VB Z X1 X2S1S2 SOLUCIONZ1 01/3 2/3 041/3RP+FOX1 0 15/3 1/3 025/3RPS2 0 01/3 2/3 -1 -3 1/3RP+R2Solucin bsica actual:S1 = 6 min 6/5 ,7/3 31. S2 = 7 min 1.2, 2.3 Solucin bsica actual:X2 = 6/5 min 6/5 / 3/5 , -17/5 / -1/5min 2 , 17 Por lo tanto la solucin ptima es:Z* = 4X1* = 2X2* , S1*,S2*=0 Comprobacin en la funcin objetivo:Max Z = 2(2)+3(0)=4Z=4 Comprobacin en las restricciones:3 (2) + 5 (0) = 6=6 ACTIVA2 (2) +3(0) = 4< 7 INACTIVA Y DEFICIT6.- Max Z = 2X1 + 5X2s.a. 3X1 + 7X2 62 X1 + 6X2 73 X1 + 2X2 5X1 , X2 0VB Z X1X2 S1 S2 S3SOLUCIONZ 1-2-5 000 0S103 7100 6S202 6010 7S303 2001 5VB Z X1X2 S1 S2 S3SOLUCION 32. W11/7 05/70030/75/7RP+FOX2 03/7 11/7006/7 1/7RPS2 04/7 06/7-1 0-13/7 6/7RP-R2S3 0-15/7 02/70-1 -23/7 2/7RP-R3Solucin bsica actual:S1 = 6 min6/7 ,7/6 , 5/2S2 = 7 min0.85 ,1.16 ,2.5S3 = 5Por lo tanto la solucin ptima es:Z* = 30/7X2* = 6/7S1* = S2* = S3*=X1*=0Comprobacin en la funcin objetivo:Min Z = 2(0) + 5(6/7)=30/7Comprobacin en las restricciones:3(0)+7(6/7) = 42/7=6=6 ACTIVA 33. 2 (0) + 6(6/7) = 36/7=5.14 < 7 INACTIVA Y DEFICIT3 (0) + 2(6/7) = 12/7 =1.71 < 5 INACTIVA Y DFICIT7.- Max Z = 2X1 + 5X2 Max Z - 2X1 - 5X2 =0s.a. 2X1 - 3X2 4 s.a. 2X1 - 3X2 +S1 = 4X1 2X2 6 X1 - 2X2 +S2 = 6X1 , X2 0 X1, X2, S1, S2 0VB Z X1X2 S1 S2 SOLUCIONZ1 -2-5 000S1 0 2 -3 104S2 0 1 -2 016Solucin bsica actual:S1 = 4 min4/-3 , 6/-2S2 = 6 min-1.33, -3No hay solucin porque se puede establecer la variable de entrada pero no la de salida.8.- Max Z = 3X1 + 2X2 +4X3s.a. X1 - X2 X3 6- 2 X1 + X2 -2X3 73 X1 + X2 4X3 8X1 , X2, X3 0VB ZX1 X2 X3 S1 S2S3 SOLUCIONZ1-3 -2 -4 00 00S1 01-1 -1 10 06 34. S2 0-2 1 -2 01 0 7S3 031 -4 00 1 8Solucin bsica actual:S1 = 6 min 6/-1, 7/-2, 8/-4S2 = 7 min -6, -3.5, -2S3 = 8No hay solucin porque se puede establecer la variable de entrada pero no la de salida.9.- Max Z = 2X1 - 4X2 + 5X3s.a. 3X1 + 2X2 + X3 63X1 - 6X2 + 7X3 9X1 , X2 , X3 0VB Z X1X2X3 S1 S2SOLUCIONZ1 -24 -5 00 0S1 0 3 2 110 6S2 0 3 -6701 9VB Z X1X2X3 S1 S2SOLUCIONZ1 1/7 -2/7 0 05/7 45/75/7RP+FO --S1 0 18/7 20/7 0-1 1/7 -33/7 1/7RP-R1X3 0 3/7 -6/7 1 01/7 9/7 1/7RPVB Z X1X2X3 S1 S2SOLUCION -Z1 2/5 0 01/10 7/1069/10 1/10RP+FO 35. -X209/10 10 7/20 7/140 33/20 -7/20RP-X306/5 0 1 3/10 1/1027/10 3/10RP+R2 Solucin bsica actual:S1 = 6 min 6/1 , 9/7S2 = 9 min 6 , 1.28 Solucin bsica actual:X3 = 9/7 min -33/7 / -20/7 , 9/7 / -6/7min 33/20, - Por lo tanto la solucin ptima es:Z* = 69/10 36. X2* = 33/20X3* = 27/10X1* = S2=S1 = 0Comprobacin en la funcin objetivo:Max Z = 2 (0) 4(33/20)+5(27/10) = 69/10Z = 69/10Comprobacin en las restricciones:3 (0) + 2(33/20)+ 27/10 = 6=6 ACTIVA3(0)- 6(33/20) +7(27/10) =9 = 9 ACTIVA10.- Max Z = 2X1 + 4X2 -3X3s.a. 5X1 + 2X2 + X3 53X1 2X2 +3 X3 104 X1 + 5X2 - X3 20X1 , X2 , X3 0VB ZX1 X2 X3S1S2 S3 SOLUCIONZ1-2 -4 3 0 000S1 0521 1 005S2 03-2 3 0 1010S3 045-10 0120VB ZX1 X2 X3S1S2 S3 SOLUCIONZ1805 2 0010 2RP+FOX2 05/211/2 1/2 005/21/2RPS2 0804 1 1015 RP+R2S3 017/2 07/2 5/2 0-1 -15/ 5/2RP-R3 37. Solucin bsica actual:S1 =5 min5/2 ,10/-2 , 20/5S2 = 10 min 2.5 , - , 4S3 = 20 Por lo tanto la solucin ptima es:Z* = 10X2* = 5/2S2* = 15X1* = X4* = S1* =S3*= 0 Comprobacin en la funcin objetivo:Max Z = 2(0)+4(5/2)-3(0) =10Z = 10 Comprobacin en las restricciones:5(0)+2(5/2)+0 = 5=5 ACTIVA3(0)-2(5/2)+3(0) = -5 < 10 INACTIVA Y DEFICIT4(0)+5(5/2)-0 = 25/2 = 12.5 < 20 INACTIVA Y DEFICIT11.- Max Z = X1 + 2X2 X3 + 5X4s.a. 2X1 + 3 X2 + X3 - X4 8 3 X1 + X2 - 4X3 + 5X4 9 X1 , X2 , X3 , X4 0VB Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 SOL.Z1 -1 -2 1-5 000S1 0 231-1 108 38. S203 1-4501 9VBZX1X2 X3X4 S1 S2SOL.Z 12 -1 -3001 9RP+FOS1013/516/5 1/5 011/5 49/5 1/5RP+FOX403/5 1/5-4/5101/5 9/51/5RPVBZX1X2 X3X4 S1 S2SOL.Z 14147 0 015 4 15615RP+FOX301316 1 051 49 5RPX401113 0 141 41 4RP+R2Solucin bsica actual:S1 = 8 min 8/-1 , 9/5S2 = 9 min - , 1.8Solucin bsica actual:S1 = 49/5 min49/5 / 1/5 , 9/5 / -4/5X4 = 9/54Por lo tanto la solucin ptima es:Z* = 156X3* = 49X4* = 41 39. X1*= X2* = S1*= S2* = 0Comprobacin en las restricciones:Z = 0+2(0)-49+5(41) = 1562(0)+ 3(0) +49 -41 = 8=8 ACTIVA3(0)+0 4(49)+5(41) = 9 = 9 ACTIVA