Investigacion de Operaciones Teoria de Colas

TEORÍA DE LÍNEAS DE ESPERA (COLAS)

Conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas específicos de líneas de espera o colas, usados en la toma de decisiones al encontrar el estado estable o estacionario del sistema y determinar un nivel de servicio apropiado. Definiciones Línea de espera o cola. Efecto resultante en un sistema de servicio; como por ejemplo, en una caja registradora en un supermercado, en un peaje, en un puerto, etc., cuando la demanda del servicio supera la capacidad de prestar dicho servicio. Estado estable. El sistema alcanza un nivel normal de operación. Nivel de servicio. Número apropiado de servidores que minimizan el costo de operación del sistema. Proceso básico

Las unidades (personas, autos, productos, máquinas,…) de una población llegan al sistema requiriendo un servicio, se unen a la cola, son atendidas por un servidor de acuerdo a una regla determinada de atención. Luego de ser atendida, sale del sistema y se regresa a la población. Elementos de un sistema de líneas de espera La teoría de líneas de espera tiene que ver con dos procesos principales: entrada y salida. Proceso de entrada Es el insumo del sistema constituido por:

Teoría de líneas de espera _______________________________________________________________________ 2

• La población de unidades potenciales que requieren el servicio.

Ejemplos: • Todas las personas que pagan en una caja de un supermercado. • Las máquinas de un taller que fallan.

La población puede ser Finita si el número potencial de unidades es pequeño (generalmente menos de 30). Ejemplos: • El número de máquinas de un taller metalmecánico.

• El número de trabajos atendidos por una secretaria. Infinita si el número potencial de unidades que requieren el servicio es muy grande (por lo general 30 o más). Ejemplos: • Todas las personas de una ciudad que requieren un servicio

• Todos los autos de una ciudad que requieren aprovisionar de gasolina.

• El patrón de llegadas

Las unidades que llegan al sistema en busca de un servicio se caracterizan por la forma en que estas llegan, que puede ser: • Individual • En lotes Tasa de llegada. Es el número de unidades que llegan por unidad de tiempo, ya sea en intervalos regulares o en intervalos aleatorios lo que implica una distribución de probabilidad. Tiempo entre llegadas. Tiempo que transcurre entre llegadas sucesivas.

Proceso de salida o de servicio

Determinado generalmente por la forma de atención de las unidades, y por el tiempo que se requiere para concluir el servicio o por el número de unidades atendidas por unidad de tiempo.

• Tasa de servicio. Número de unidades atendidas por unidad de tiempo. La tasa se servicio

puede ser: • Constante • Variable ⇒ Distribución de probabilidad del tiempo de servicio. Tiempo de servicio. Tiempo que transcurre entre servicios sucesivos.

• La disciplina de la cola

Es el orden de atención a las unidades. Entre los métodos para determinar el orden en que se atienden las unidades, están:

FIFO (First in first out) = Primero en llegar primero en salir. LIFO (Last in first out) = Último en llegar primero en salir. SIRO / SEOA = Selección en orden aleatoria. OP = Orden prioritario (Ejemplo: Caja rápida para 5 o menos artículos)


• Capacidad del sistema de servicio

Número máximo permisible de unidades en el sistema de servicio en un instante t. Incluye las unidades que esperan y las unidades que están siendo atendidas. La capacidad de un sistema de líneas de espera puede ser: Limitada. En este caso cuando el sistema está lleno las unidades que llegan deben retirarse (Se genera un rechazo por parte del sistema). Ilimitada. Sistemas de servicio en los que siempre habrá espacio para las unidades que llegan.

Ejemplos de sistemas de colas Situación Llegadas Cola Mecanismo de servicio

Aeropuerto Aeropuerto Compañía telefónica Lavado de carros La corte Carga de camiones Fábrica Fotocopiadora Hospital Banco Peaje

Aviones Pasajeros Números marcados Autos Casos Camiones Subensamble Copias Pacientes Clientes Vehículos

Aviones en carreteo Sala de espera Llamadas Autos sucios Casos atrasados Camiones en espera Inventarios en proceso Trabajos Personas enfermas Clientes en la fila o filas Autos en fila

Pista Avión Conmutador Mecanismo de lavado Juez Muelle de carga Puesto de trabajo Copiadoras Hospital Cajero o cajeros Punto de pago

Como se observa, es posible reconocer diferencias en las estructuras de los sistemas de líneas de espera, independientes unas de otras. Por ejemplo, los bancos pueden tener más de un cajero, cada uno con una fila separada. Los aeropuertos tienen más de una pista de aterrizaje, las fábricas generalmente tienen una serie de estaciones de trabajo, no solo una. De lo anterior, vemos que se permite que varíe el número de filas y el número de servidores. Tipos de sistemas de líneas de espera A. Sistemas de una sola fase. Sistemas en los cuales la unidad requiere únicamente de un

servicio. Sistemas de una línea de espera con un solo servidor

Sistemas de una línea de espera con varios servidores

Supuesto: Todos los servidores prestan el mismo servicio y con igual eficiencia.


B. Sistemas multifásicos. Sistemas de líneas de espera con varias estaciones o servidores

en serie. La unidad requiere por lo menos dos servicios en serie.

En estos sistemas las estaciones de servicio pueden tener diferente eficiencia. El análisis matemático es más complejo.

Modelos de líneas de espera Notación de Kendall – Lee (1951). Básicamente los sistemas de colas de una sola estación de servicio se representan usando las siguientes características:

A / B / C / d / e / f Patrón de llegadas Tamaño de la población Patrón de servicio Capacidad del sistema Número de servidores en paralelo Disciplina de la línea de espera • Modelos de líneas de espera para población infinita

Modelo M / M / 1

Características:

• Población es infinita (Siempre estarán llegando unidades al sistema)

• El patrón de llegadas por unidad de tiempo se describe por una distribución Poisson con parámetro λ.

λ = Tasa promedio de llegadas (Número promedio de unidades que llegan al sistema por unidad de tiempo).


• El patrón de servicio se describe por una distribución exponencial con parámetro β.

β = Tiempo promedio de servicio por unidad β = 1/μ.

μ = Tasa promedio de servicio (Número promedio de unidades que se atienden por unidad de tiempo).

• La tasa promedio de llegada es menor que la tasa promedio de servicio (Para asegurar que exista estado estable o estacionario) ⇒ λ < μ.

• Hay un canal o estación de servicio ⇒ K = 1.

• Disciplina de la cola es primero en entrar primero en salir.

• No hay abandono ni rechazo del sistema

• Régimen permanente o condición de estado estable. (La probabilidad de que en cada instante t haya n unidades en el sistema, es independiente del tiempo de operación del mismo, o, la probabilidad de que llegue una unidad al sistema es igual en todos los intervalos de tiempo de la misma longitud.)

Medidas de desempeño de los sistemas de líneas de espera Evalúan como es el funcionamiento, en promedio, de un sistema de servicio. Medidas de desempeño de los sistemas M/M/1 Número promedio de unidades en el sistema: λμ

λ−

=L

Número promedio de unidades en la cola:

)(

2

λμμλ−

=qL

Tiempo promedio de una unidad en el sistema: λμ −

=1W

Tiempo promedio de espera de una unidad en la cola:

)( λμμλ−

=qW

Factor de utilización o probabilidad de que el sistema esté ocupado. (Número esperado de unidades que están siendo atendidas en cualquier momento o fracción de tiempo que el sistema está ocupado).

wP==μλρ

Probabilidad de que el sistema esté vacío:

ρ−=−= 110 wPP

Probabilidad de que haya n unidades en el sistema en cualquier momento t:

,...,n,,nμλ

μλ-P

n

n 321;1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Probabilidad de que el número de unidades en el sistema exceda a n:

)1(

)(+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=>

n

nLPμλ


Ejemplo: A cierto sistema de servicio las unidades llegan a una tasa de 21 unidades por hora según un proceso Poisson y son atendidas exponencialmente con un tiempo promedio de 0,03334 horas por unidad. a) Evaluar las características de operación del sistema. b) ¿Qué efecto tiene cambiar la tasa de servicio?


Modelo M / M / K

Características: • Las del modelo M/M/1 excepto que el número de servidores es mayor que 1. ⇒ λ > μ. Si λ > μ hay congestión en el sistema de servicio. Para descongestionarlo, se requiere de

varios servidores en paralelo ⇒ λ < K μ para que exista estado estable ∴ K > λ /μ Medidas de desempeño Número promedio de unidades en el sistema:

μλ

+= qLL


⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−××−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

= 20)(!)1( λμ

μλμλ

KKPL

K

q

Tiempo promedio de una unidad en el sistema: λμ

LWW q =+=1

Tiempo promedio de espera de una unidad en la cola: λ

qq

LW =

Probabilidad de que el sistema esté ocupado. (Número esperado de unidades que están siendo atendidas en cualquier momento o fracción de tiempo que el sistema está ocupado). ⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−××

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

×=≥ )(!0 λμμλμ

KK

KPP

K

Kn


1

1

00 )(!!

−

−

=⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−××

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= ∑ λμμλμ

μλ

KK

K

nP

K

K

n

n


Probabilidad de que haya n unidades en el sistema en cualquier instante t:

KnKK

PP

Knn

PP

Kn

n

n

n

n

≥×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

=

<≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

=

− si

si

)(

0

0

!

0!

μλ

μλ

Utilización:

μKλU ×

=

Ejemplo: A un centro de copiado llegan en promedio 60 trabajos por hora y la tasa de servicio es de 36 trabajos por hora. Las llegadas y los servicios siguen procesos de Poisson. Analice las características de operación de este sistema.


Modelo con tiempos de servicio con distribución general M / G / 1

Supuestos: Son los mimos del modelo M/M/1, excepto que los tiempos de servicio sigue una distribución de probabilidad general con media μ y desviación estándar σ. Medidas de desempeño Número promedio de unidades en el sistema:

μλ

+= qLL


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

μλμλλσ

12

)(2

2

qL

Tiempo promedio de una unidad en el sistema: μ

1+= qWW

Tiempo promedio de espera de una unidad en la cola: λ

qq

LW =

Ejemplo: En un autobanco los tiempos de servicio de los cajeros tienen distribución normal con media 0,125 horas y una desviación estándar 0,08333 horas. La tasa de llegadas es Poisson con un promedio de 4 autos por hora. Analizar las características de operación de este sistema de servicio.


Modelo con tiempo de servicio constante M / D / 1

Supuestos: Este modelo tiene los mismos supuestos del modelo M/M/1, excepto que se supone que el tiempo de servicio es constante o determinístico. Por lo general el servicio lo presta una máquina. Medidas de desempeño Número promedio de unidades en el sistema:

μλ

+= qLL

Número promedio de unidades en la cola: )(2

2

λμμλ

−×=

qL

Tiempo promedio de una unidad en el sistema: )(2

)2(λμμλμλ

λ −×−×

==LW

Tiempo promedio de espera de una unidad en la cola: )(2 λμμ

λλ −×

== qq

LW

Utilización:

μλU =

Ejemplo: Un lavadero automático de autos tiene una línea de remolque de manera que los autos se mueven a través de la instalación de lavado como una línea de ensamble. Supóngase que se acepta un auto cada 5 minutos y que la tasa promedio de llegadas es de 9 autos por hora según Poisson. Analice las características de operación de este sistema de lavado.


Modelo con capacidad limitada Q: M / M / 1 / Q Supuestos: Este modelo sigue los mismos supuestos del modelo M/M/1, excepto que la capacidad del sistema es limitada a un máximo de Q unidades en cualquier instante t. Medidas de desempeño

Número promedio de unidades en el sistema:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+−

×=+

+

1

1

11

)1(1

Q

QQ

QQL

μλ

μλ

μλ

μλ

μλ


⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

Q

QQ

q

QQL

μλ

μλ

μλ

μλ

μλ

11

)1(11

2

Tiempo promedio de una unidad en el sistema: μ

1+= qWW

Tiempo promedio de espera de una unidad en la cola:

)1( Q

qqq P

LA

LW

−×==λ

Tasa de llegadas aceptadas:

)1( QPA −×= λ

Tasa de llegadas rechazadas:

AR −= λ Probabilidad de que haya n unidades en el sistema en cualquier instante t:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+1

1

1

Q

n

nP

μλ

μλ

μλ

Ejemplo: En una autopista hay una estación de gasolina. Los autos llegan a tanqueo siguiendo un proceso Poisson con una tasa promedio de 10 por hora. El tiempo necesario para tanquear es exponencial con una media de 3 minutos. En la estación cabe un máximo de 4 autos y las leyes de tránsito local prohíben que los autos esperen en la vía. Encontrar: a) El número promedio de autos que se encuentran simultáneamente en la estación de gasolina. b) El tiempo promedio de espera de cada auto. c) El ingreso promedio que se pierde cuando la estación está completamente llena, si la compra promedio por

auto es $ 70.000.



• Modelos de líneas de espera para población finita de tamaño N (Modelos de servicios de máquinas) Cuando la población que genera las llegadas es finita (N < 30), la tasa promedio de llegadas cambia dependiendo del número de unidades que se encuentran en la línea de espera; es decir, la tasa promedio de llegadas se define en términos de la frecuencia con la que cada unidad llega o solicita servicio. Modelo M / M / 1 Supuestos: • El patrón de llegadas: Markov. • Tasa de llegadas: λ igual para todas las unidades. • El patrón de servicios: Markov. • Un solo servidor K = 1. • Una sola fase: Cada unidad requiere un solo servicio. • Disciplina de la fila: Primero en entrar primero en salir. Las medidas de desempeño para este sistema de líneas de espera son: Factor de utilización: μ

λ


1

00 !)(

!−

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

−= ∑

N

n

n

nNNP

μλ

Número promedio de unidades en el sistema: )1( 0PNL −×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=λμ


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×−−=

λμ1)1( 0PNLq

Tiempo promedio de una unidad en el sistema: ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−×

=λμ1

)1( 0PNW

Tiempo promedio de espera de una unidad en la fila:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

λμ

μ1

)1(1

0PNWq


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=

!)(!

0 nNNPP

n

n μλ

Probabilidad de que haya que esperar o de que el sistema esté ocupado:

01 PPW −=


Ejemplo: Un contratista desarrolla 4 proyectos. Una falla en las obras ocurre en promedio cada 20 días en cada sitio. Toma 2 días en promedio solucionar la falla. Los tiempos entre llegadas y entre servicios se distribuyen exponencialmente. Analice las características de operación.


Modelo M / M / K Supuestos: Los mismos del M/M/1, excepto que el número de servidores es mayor que 1, (K > 1) y, además 1 < K ≤ N. N = tamaño de la población. Para este sistema de colas, las medidas de desempeño son: Factor de utilización: μ

λK


11

00

!!)(!

−

=−

−

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

××−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑

N

Kn

n

Kn

nK

n KKnNN

nN

Pμλ

μλ

Número promedio de unidades en el sistema: ∑ ∑∑

=

−

=

−

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−×+×−+×=

N

Kn

K

nnn

K

nn PKPKnPnL

1

0

1

0

1)(

Número promedio de unidades en la fila:

n

N

Knq PKnL ×−=∑

=

)(

Tiempo promedio de una unidad en el sistema:

)( LNLW−×

=λ

Tiempo promedio de espera de una unidad en la fila:

)( LNL

W qq −×=λ


KnKKnN

NPP

KnnN

PP

Kn

n

n

n

n

≥××−

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=

−

si

si

!!)(!

0

0

μλ

μλ

Ejemplo: Un contratista desarrolla 4 proyectos. Una falla en las obras ocurre en promedio cada día en cada sitio. Toma 2 días en promedio solucionar una falla. Los tiempos entre llegadas y entre servicios se distribuyen exponencialmente. Analice las características de operación del sistema.



Análisis económico de las líneas de espera Las medidas de desempeño son usadas para determinar los costos mínimos del sistema de líneas de espera. Para ello, se requiere estimar costos tales • Costo por unidad de tiempo de trabajo por servidor. • Costo de espera de la unidad por unidad de tiempo en la fila o en el sistema. ¿Qué cantidad de servidores K para la atención de las unidades deben ser usadas con el fin de minimizar el costo total de operación de un sistema de líneas de espera? El costo total esperado de operación de un sistema de servicio dado por:

Costo total esperado, CT = Costo total del servicio + Costo total del tiempo de espera Costo total de servicio. Es el costo operativo del sistema que depende por lo general del número de servidores K y del costo de operación por tiempo y servidor. Costo total de servicio, CS = Costo por unidad de tiempo y servidor × Número de servidores Costo total del servicio, CS = Cs × K Costo total de espera. Costo por unidad de tiempo que depende del tiempo de espera de una unidad en el sistema y del número promedio de unidades en el sistema. Costo total de espera, CE = Costo de espera por tiempo y unidad × Número promedio de unidades en el sistema Costo total de espera, CE = Ce × L La relación entre estos dos costos y el nivel de incremento del servicio se ilustra gráficamente, así:

De la figura vemos que el costo total esperado es mínimo al nivel de servicio óptimo designado como K*. Por lo tanto en los modelos de líneas de espera el objetivo real es determinar el nivel específico de servicio que minimice el costo total de operación del sistema.


Ejemplo: Un supermercado tiene varias cajas de pago idénticas, cada una de las cuales puede servir un promedio de 16 clientes por hora. En promedio llegan 24 clientes por hora. El supermercado tiene capacidad ilimitada. Si el costo promedio de espera es de $2000/ hora - cliente, y el costo de operación de una caja es $1500/hora, determine el número óptimo de cajas para el supermercado.


Ejemplo: Para el siguiente sistema de líneas de espera hallar el número óptimo de servidores. Tasa promedio de llegadas 225 unidades por hora. Tiempo promedio de servicio 0.025 horas por unidad. Costo de servicio por unidad y por hora $1600. Costo de espera $800 por unidad y hora


Ejemplo: A un centro de copiado llegan en promedio 60 trabajos por hora y la tasa de servicio es de 25 trabajos por hora. Las llegadas y los servicios siguen procesos de Poisson. Si el costo de espera es $10 por hora y por trabajo, y el costo de servicio es $100 por hora y por fotocopiadora, ¿cuál debe ser el número óptimo que minimice el costo total de espera?


Problemas 1. En un supermercado se está evaluando un sistema de bandas para las cajas registradoras el cual reduciría el tiempo el tiempo de servicio de 6 a 5 minutos por cliente. Este tiempo es exponencial negativo. La administración ha establecido que el tiempo promedio entre llegadas es también exponencial e igual a 10 minutos por cliente. También se sabe que el tiempo de espera de un cliente cuesta $1.000/hora. Si la banda aumenta en $3.000/hora los costos de operación, ¿deberá instalarse? 2. Una planta de producción puede manejar un promedio de 25 unidades/hora, aunque los tiempos varían debido a la condición del material que llega. La tasa de llegada y la tasa de servicio pueden aproximarse mediante una distribución de Poisson. ¿Cuántas unidades por hora se deben asignar para hacer que el tiempo medio del sistema no sea mayor que 4 minutos? 3. Un aeropuerto puede atender 3 aviones en 2 minutos ya sea que despeguen o que aterricen. Si esta tasa tiene una distribución de Poisson, ¿cuál es el tiempo medio entre llegadas (de aterrizaje o despegue) para asegurar que el tiempo promedio de espera sea 5 minutos o menos. Suponer una distribución exponencial del tiempo entre llegadas. 4. Una agencia que alquila autos recibe un promedio de 15 solicitudes/día. Puede cubrir 20 de tales solicitudes/día. Sin embargo, si son rentados menos de tres autos la compañía pierde dinero así: si sólo se rentan dos, la pérdida llega a $22.000/día; si sólo se renta uno, la pérdida llega a $26.000/día; si no se renta ninguno, la pérdida es de $29.000 diarios. Las pérdidas son, por supuesto compensadas por las ganancias de rentar 3 o más autos. Considerando sólo las pérdidas, cuál es el valor esperado de las pérdidas por día ? Suponga llegadas y servicios Poisson. 5. Los pacientes llegan a un consultorio en un tiempo promedio de 20 minutos según una distribución de Poisson y son atendidos por el médico en un tiempo exponencial promedio de 15 minutos. Si el médico desea que no más del 2% de los pacientes permanezcan de pie, ¿cuántas sillas deberá colocar? 6. Una refinería distribuye sus productos mediante camiones que se descargan en el terminal de carga. Se cargan camiones de la compañía y camiones de distribuidores independientes. Las compañías independientes se quejan de que algunas veces deben esperar en la línea y perder dinero por mantener esperando al conductor y al camión. Ellos han solicitado a la refinería disponer de un segundo terminal de carga o descontar un precio equivalente al tiempo de espera. Se tienen los siguientes datos: tasa promedio de llegada (para todos los camiones) = 2/hora; tasa promedio de servicio = 3/hora. El 30% de todos los camiones son independientes. Suponiendo que estas tasas son aleatorias distribuidas según Poisson, determinar: a) La fracción de tiempo que un camión tiene que esperar. b) El tiempo estimado que los camiones independientes esperan por día. c) Si el costo estimado de espera de un camión independiente se estima en $1.500/hora, ¿cuál es el costo por

día? 7. Se debe contratar un mecánico para reparar máquinas que fallan a una tasa promedio de 4 por semana. Las fallas ocurren aleatoriamente en forma de Poisson con el tiempo. El tiempo no productivo de una máquina se estima tiene un costo de $50.000 pos semana. Se tienen dos alternativas de selección: Un mecánico lento con un costo de $30.000 por semana y que repara las máquinas que fallan a una tasa de 5 por semana, y un mecánico rápido con un costo de $45.000 por semana y que repara las máquinas a una tasa de 7 por semana. Suponiendo que se cumplen las condiciones características de un sistema M/M/1 población infinita, ¿cuál de los dos mecánicos debe ser contratado? 8. Una empresa de teléfonos está planeando la instalación de casillas telefónicas en un nuevo aeropuerto. Se ha establecido la estrategia de que una persona no tenga que esperar más del 5% de las veces que intente usar un teléfono. Se estima que la demanda de uso tiene una distribución de Poisson con un promedio de 30 por hora. La llamada telefónica promedio tiene una distribución exponencial con un tiempo medio de 5 minutos. ¿Cuántas casillas telefónicas se deben instalar? 9. El proceso de descarga de volquetas se realiza por medio de una pala. El tiempo entre llegadas es 15 minutos y se distribuye exponencial. La tasa de descarga es de 2 volquetas por hora. El costo de la pala y el operario es de $700 por hora. El costo de tiempo ocioso de una volqueta y su conductor es de $ 1.000 por hora. ¿Cuántas palas deben usarse?


10. Un mecánico atiende 4 máquinas. Para cada máquina, el tiempo medio entre requerimientos de servicio es 10 horas y se supone que tiene una distribución exponencial. El tiempo de reparación tiende a seguir la misma distribución y tiene un tiempo medio de 2 horas. Cuando una máquina queda en reparación, el tiempo perdido tiene un valor de $2.000 por hora. El costo por día del mecánico es de $15.000. a) ¿Cuál es el número esperado de máquinas en operación (funcionando)? b) ¿Cuál es el costo esperado del tiempo perdido por día? c) ¿Sería deseable tener dos mecánicos para que cada uno atendiera sólo dos máquinas? 11. Una compañía ha decidido utilizar subestaciones localizadas en la región de mercadeo para atender sus camiones de reparto. El vicepresidente de mercadeo desea que los requerimientos de servicio y mantenimiento no interfieran el servicio de entrega. Puesto que los camiones operan 24 horas, pueden llegar a solicitar servicio en cualquier momento pero generalmente lo requieren cada 8 horas. Los procedimientos de mantenimiento requieren una estación con capacidad para atender 10 camiones durante un período de 8 horas. El tiempo entre llegadas se aproxima a una distribución exponencial, y la tasa de servicio tiene una distribución de Poisson. El vicepresidente ha solicitado que sólo la mitad de los camiones que llegan estén obligados a esperar servicio. ¿Por cuántos camiones debe responder cada estación? 12. Un supermercado tiene varias cajas de pago idénticas, cada una de las cuales puede servir un promedio de 8 clientes por hora. En promedio llegan 30 clientes por hora. El supermercado tiene capacidad ilimitada. Si el costo promedio de espera es de $50/ hora- cliente, y el costo de operación es de $150/hora-caja, determine el número óptimo de cajas para el supermercado. 13. En una carretera hay una estación de gasolina. Los autos llegan a tanqueo siguiendo un proceso Poisson con una tasa promedio de 12 por hora. El tiempo necesario para tanquear es exponencial con una media de 3 minutos. En la estación cabe un máximo de 4 autos y las leyes de tránsito local prohíben que los autos esperen en la vía. Encontrar: a) El número promedio de autos que se encuentran simultáneamente en la estación de gasolina. b) El tiempo promedio de espera de cada auto. c) El ingreso promedio que se pierde cuando la estación está completamente llena, si la compra promedio por

auto es de $ 80.000? 14. Si una escalera eléctrica en un gran almacén puede aceptar 30 personas/minuto, ¿cuál es la tasa de llegadas máxima que se permite para mantener el tiempo medio de espera por debajo de 10 segundos? 15. Una pastelería tiene dos trabajadores, cada uno de ellos es capaz de atender 30 clientes por hora, con los tiempos reales de servicio distribuidos exponencialmente. Los clientes llegan a la pastelería de acuerdo a un proceso Poissoniano, con una tasa media de 40 por hora. Determínese: a) La fracción del tiempo que un cierto trabajador está ocioso. (R: 0.33) b) La probabilidad de que haya más de dos clientes esperando servicio en un momento dado. (R: 0.356) 16. Una empresa tiene actualmente una máquina con una capacidad de producción de 10 piezas por hora con distribución Poisson. El costo de funcionamiento de esta máquina es de $1.500 por hora. La empresa está interesada en sustituirla por una máquina completamente automática con una capacidad de producción de 10 piezas por hora cuyo costo de funcionamiento se estima en $2.000 la hora. El costo de tener la materia prima en inventario es de $600 por hora-pieza. Si la entrada de materia prima es de 9 piezas por hora según Poisson y se considera una disciplina de la línea de espera fifo, calcular: a) El costo promedio por hora con la máquina actual. b) El costo promedio por hora con la máquina automática. c) El costo unitario de mantener el inventario para que sea indiferente el seleccionar cualquiera de las dos

máquinas. 17. El banco nacional W.B. opera una ventanilla para automovilistas que permite a los clientes realizar sus transacciones bancarias sin bajar de su automóvil. En las mañanas de los días entre semana, las llegadas a estas ventanillas ocurren al azar, con una tasa promedio de llegadas Poisson de 24 clientes/hora. Los tiempos de servicio son exponenciales con un promedio de 36 clientes por hora. a) ¿Cuál es el número promedio o esperado de clientes que llegan en un lapso de 5 minutos?

b) Se espera tener problemas de demoras si llegan más de tres clientes durante cualquier período de 5

minutos. c) ¿Cuál es la probabilidad de que se presenten problemas de demora?


18. Un estudio de la operación de canales múltiples de un expendio de alimentos en un estadio muestra que el tiempo promedio entre la llegada de un cliente al mostrador del local y su salida con un pedido ya surtido es de 10 minutos. Durante un juego, los clientes llegan a una tasa promedio de 4 por minuto según Poisson. La operación del expendio de alimentos requiere de un promedio de 2 minutos por cada pedido de un cliente. Este tiempo es exponencial. a. ¿Cuál es la tasa promedio de servicio por canal, en términos de clientes por minuto? b. ¿Cuál es el tiempo promedio de espera en la línea antes de hacer el pedido? 19. Llega un promedio de 15 automovilistas por hora, con tiempos exponenciales entre llegadas, que desean que se les atienda en la ventanilla de servicio en el auto de un restaurante. Si hay una cola de más de 4 autos, incluyendo el de la ventanilla, el auto que llegue se va. Si en promedio toman dos minutos en atender a un automovilista: a) Ud. acaba de formarse en la cola. En promedio, ¿cuánto tiempo pasará para que reciba su pedido? b) ¿Cuál es el ingreso promedio por hora en esta ventanilla de servicio en el auto, si cada automovilista

consume en promedio $ 8.000? 20. Una empresa transporta en camiones que normalmente esperan un promedio de 45 minutos en cada viaje antes de descargar. La empresa está considerando establecer un centro de recolección diferente con un costo extra de $400 por viaje y camión. El nuevo centro puede operar a una tasa de 30 camiones por hora con una desviación estándar de 0.10 horas. Las llegadas al nuevo centro son Poisson con una tasa promedio de 24 camiones por hora. Si el tiempo de espera de un camión se valora en $2.000 por hora, ¿cuánto ahorro resultará? 21. Un taller puede atender un promedio de 10 autos por hora. Sin embargo, llega un promedio de 8 autos por hora. Dado que solo existe espacio para dos autos, ¿cuál es el ingreso que se pierde si cada auto representa un ingreso medio de $20.000? 22. Los autobuses llegan a ciertas instalaciones de servicio de acuerdo a un proceso Poissoniano, con una tasa media de 10 por día. Las instalaciones pueden dar servicio a uno por uno, el tiempo de servicio se distribuye exponencialmente alrededor de una media de 1/12 por día. A la compañía de autobuses le cuesta $2.000 diarios operar las instalaciones de servicio y $500 por cada día que un autobús permanece en las instalaciones. Comprando equipo más moderno, la compañía de autobuses puede disminuir el tiempo medio de servicio a 1/15 por día, pero esto aumentaría los costos diarios de operación de las instalaciones de servicio a $2.450. ¿Resulta conveniente desde el punto de vista económico hacer este cambio? 23. Tres mecánicos atienden doce máquinas. La tasa de entrada de máquinas a reparación es de una por día y ellos atienden a una tasa de 1.9 máquinas por día. Las entradas como los servicios tienen distribución Poisson. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres mecánicos estén ociosos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hayan tres máquinas esperando servicio? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera una máquina por el servicio? d) Si el costo improductivo de una máquina es de $ 100.000/día y el costo de la mano de obra es de $40.000/día,

¿cuál es el costo esperado por día?


Medidas de desempeño para LÍNEAS DE ESPERA − POBLACIÓN INFINITA M/M/1 M/M/K M/G/1 M/M/1/Q Servidores: Fase: Tasa de llegadas: Tasa de servicios: Capacidad:

K = 1 Única Poisson Poisson Ilimitada

K > 1 Única Poisson Poisson Ilimitada

K = 1 Única Poisson General Ilimitada

K = 1 Única Poisson Poisson Limitada, Q

U

Utilización μ

λ μK

λ ×

0P

Probabilidad sistema vacío

μλ

−=

−

1

1 wP

1

1

0)(!!

−

−

=⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−××

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∑ λμμλμ

μλ

KK

K

n

K

K

n

n

L

Número promedio en el sistema

λμλ−

μλ

+qL

μλ

+qL

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+−

×+

+

1

1

11

)1(1

Q

QQ

QQ

μλ

μλ

μλ

μλ

μλ

qL

Número promedio en la fila

)(

2

λμμλ−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−××−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

20)(!)1( λμ

μλμλ

KKP

K

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

μλμλλσ

12

)(2

2

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

Q

QQ

QQ

μλ

μλ

μλ

μλ

μλ

11

)1(11

2

W

Tiempo promedio en el sistema

λμ −1

λμLWq =+

1 μ

1+qW

μ1

+qW

qW

Tiempo promedio de espera en la fila

)( λμμλ−

λqL

λqL

)1( Q

qq

PL

AL

−×=λ

nP

Probabilidad de n unidades en el sistema

,...,n,,nμλ

μλ-

n

321

1

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Kn

KK

P

Knn

P

Kn

n

n

≥×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

<≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

− si

si

)(

0

0

!

0!

μλ

μλ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+1

1

1

Q

n

μλ

μλ

μλ

n= 1, 2, 3, …, Q

Kn

W

PP

≥=

Probabilidad de esperar o de que el sistema este ocupado

μλ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−××

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

×)(!0 λμ

μλμ

KK

KP

K

)( nLP >

Probabilidad de más de n unidades en el sistema

)1( +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

μλ

A

Tasa de llegadas aceptadas

)1( QPA −×= λ

R

Tasa de llegadas rechazadas

AR −= λ

Nota: Las ecuaciones para el sistema M/D/1 se obtienen haciendo σ = 0 en las ecuaciones del modelo M/G/1.

Q = Número máximo de llegadas que puede tener el sistema en un momento dado, tanto esperando como siendo atendidas. σ = Desviación estándar de la distribución del tiempo de servicio.


Medidas de desempeño para LÍNEAS DE ESPERA − POBLACIÓN FINITA

M/M/1 M/M/K

Servidores: Fase: Tasa de llegadas: Tasa de servicios: Capacidad:

K = 1 Única Poisson Poisson Ilimitada

K > 1 Única Poisson Poisson Ilimitada

U

Utilización

μλ

μK

λ ×

0P

Probabilidad sistema vacío

1

0!)(

!−

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

−∑N

n

n

nNN

μλ

11

0 !!)(!

−

=−

−

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

××−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∑∑N

Kn

n

Kn

nK

n KKnNN

nN

μλ

μλ

L

Número promedio en el sistema

)1( 0PN −×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−λμ

∑ ∑∑=

−

=

−

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−×+×−+×

N

Kn

K

nnn

K

nn PKPKnPn

1

0

1

0

1)(

qL

Número promedio en la fila

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×−−

λμ1)1( 0PN

n

N

Kn

PKn ×−∑=

)(

W

Tiempo promedio en el sistema ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−× λμ

1)1( 0P

N )( LN

L−×λ

qW

Tiempo promedio de espera en la fila

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λμ

μ1

)1(1

0PN

)( LNLq

−×λ

nP

Probabilidad de n unidades en el sistema

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

!)(!

0 nNNP

n

μλ

KnKKnN

NP

KnnN

P

Kn

n

n

≥××−

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

−

si

si

!!)(!

0

0

μλ

μλ

Knw PP ≥=

Probabilidad de esperar o de que el sistema este ocupado

01 P−

)( KnP ≥

λ = Tasa promedio de llegadas μ = Tasa promedio de servicio N = Tamaño de la población

n = Número de unidades en el sistema en cualquier momento K = Número de servidores o estaciones de servicio


Valores de P0 para los modelos de líneas de espera M / M / K − Población infinita

Número de servidores, K λ / μ 1 2 3 4 5 6 7 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 2,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,10 4,20 4,30 4,40 4,50 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00

0,9000 0,8000 0,7000 0,6000 0,5000 0,4000 0,3000 0,2000 0,1000

0,9048 0,8182 0,7391 0,6667 0,6000 0,5385 0,4815 0,4286 0,3793 0,3333 0,2903 0,2500 0,2121 0,1765 0,1429 0,1111 0,0811 0,0526 0,0256

0,9048 0,8187 0,7407 0,6701 0,6061 0,5479 0,4952 0,4472 0,4035 0,3636 0,3273 0,2941 0,2638 0,2360 0,2105 0,1872 0,1657 0,1460 0,1278 0,1111 0,0957 0,0815 0,0683 0,0562 0,0449 0,0345 0,0249 0,0160 0,0077

0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5487 0,4965 0,4491 0,4062 0,3673 0,3321 0,3002 0,2712 0,2449 0,2210 0,1993 0,1796 0,1616 0,1453 0,1304 0,1169 0,1046 0,0933 0,0831 0,0737 0,0651 0,0573 0,0502 0,0437 0,0377 0,0323 0,0273 0,0227 0,0186 0,0148 0,0113 0,0081 0,0051 0,0025

0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4065 0,3678 0,3328 0,3011 0,2723 0,2463 0,2228 0,2014 0,1821 0,1646 0,1487 0,1343 0,1213 0,1094 0,0987 0,0889 0,0801 0,0721 0,0648 0,0581 0,0521 0,0466 0,0417 0,0372 0,0330 0,0293 0,0259 0,0228 0,0200 0,0174 0,0151 0,0130 0,0111 0,0093 0,0077 0,0063 0,0050 0,0038 0,0027 0,0017 0,0008

0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 0,3679 0,3329 0,3012 0,2725 0,2466 0,2231 0,2018 0,1826 0,1652 0,1494 0,1351 0,1222 0,1105 0,0999 0,0903 0,0816 0,0737 0,0666 0,0601 0,0543 0,0490 0,0441 0,0398 0,0358 0,0322 0,0290 0,0260 0,0233 0,0209 0,0187 0,0167 0,0149 0,0132 0,0117 0,0104 0,0091 0,0080 0,0070 0,0061 0,0053 0,0045

0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 0,3679 0,3329 0,3012 0,2725 0,2466 0,2231 0,2019 0,1827 0,1653 0,1495 0,1353 0,1224 0,1107 0,1002 0,0906 0,0820 0,0742 0,0671 0,0606 0,0548 0,0496 0,0448 0,0405 0,0366 0,0331 0,0298 0,0269 0,0243 0,0219 0,0198 0,0178 0,0160 0,0144 0,0130 0,0117 0,0105 0,0094 0,0084 0,0075 0,0067 0,0060


Valores de Lq para K = 1 a 11 servidores cuando R = λ / μ Sistemas M / M / K − Población infinita

Número de servidores, K

R

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0.10 0.0111 0.20 0.0500 0.0020 0.30 0.1285 0.0069 0.40 0.2666 0.0166 0.50 0.5000 0.0333 0.0030 0.60 0.9000 0.0593 0.0061 0.70 1.6333 0.0976 0.0112 0.80 3.2000 0.1523 0.0189 0.90 8.1000 0.2285 0.0300 0.0041 1.00 0.3333 0.0454 0.0067 1.20 0.6748 0.0904 0.0158 1.40 1.3449 0.1776 0.0324 0.0059 1.60 2.8444 0.3128 0.0604 0.0121 1.80 7.6734 0.5320 0.1051 0.0227 0.0047 2.00 0.8888 0.1739 0.0398 0.0090 2.20 1.4907 0.2770 0.0659 0.0158 2.40 2.1261 0.4305 0.1047 0.0266 0.0065 2.60 4.9322 0.6581 0.1609 0.0426 0.0110 2.80 12.2724 1.0000 0.2411 0.0659 0.0180 3.00 1.5282 0.3541 0.0991 0.0282 0.0077 3.20 2.3856 0.5128 0.1452 0.0427 0.0122 3.40 3.9060 1.7365 0.2085 0.0631 0.0189 3.60 7.0893 1.0550 0.2947 0.0912 0.0283 0.0084 3.80 13.9366 1.5184 0.4114 0.1292 0.0412 0.0127 4.00 2.2164 0.5694 0.1801 0.0590 0.0189 4.20 3.3269 0.7837 0.2475 0.0827 0.0273 0.0087 4.40 5.2675 1.0777 0.3364 0.1142 0.0389 0.0128 4.60 9.2885 1.4867 0.4532 0.1555 0.0541 0.0184 4.80 21.6384 2.0708 0.6071 0.2092 0.0742 0.0260 5.00 2.9375 0.8102 0.2786 0.1006 0.0361 0.0125 5.20 4.3304 1.0804 0.3680 0.1345 0.0492 0.0175 5.40 6.6609 1.4441 0.5871 0.1779 0.0663 0.0243 5.60 11.5178 1.9436 0.6313 0.2330 0.0883 0.0330 5.80 26.3726 2.6481 0.8225 0.3032 0.1164 0.0443 6.00 3.6828 1.0707 0.3918 0.1518 0.0590 6.20 5.2979 1.3967 0.5037 0.1964 0.0775 6.40 8.0768 1.8040 0.6454 0.2524 0.1008 6.60 13.7692 2.4198 0.8247 0.3222 0.1302 6.80 31.1270 3.2441 1.0533 0.4090 0.1666 7.00 4.4471 1.3471 0.5172 0.2119 7.20 6.3155 1.7288 0.6521 0.2677 7.40 9.5102 2.2324 0.8203 0.3364 7.60 16.0379 2.9113 1.0310 0.4211 7.80 35.8956 3.8558 1.2972 0.5250 8.00 5.2264 1.6364 0.6530 8.20 7.3441 2.0736 0.8109 8.40 10.960 2.6470 1.0060 8.60 18.323 3.4160 1.2484

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Investigacion de Operaciones Teoria de Colas