INVESTIGACION DE OPERACIONES Universidad ESAN · 2019. 1. 28. · Primeras Entradas Primeras Salidas (PEPS) (FIFO) Últimas Entradas Primeras Salidas (UEPS) (LIFO) Clientes “VIP”

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MODELOS DE LINEAS DE ESPERA

INVESTIGACION DE OPERACIONES

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Modelos de líneas de espera

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1. Estructura del sistema.

2. Un canal con tasa de llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales.

3. Múltiples canales de llegadas de Poisson y tiempos de servicios exponenciales.

4. Análisis económico de las líneas de espera.

5. Aplicaciones.

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INTRODUCCION

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La Teoría deColas fue formulada por el matemático

Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929).

En1909 realizó el análisis de la congestión de tráfico

telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta

de servicios en el sistema telefónico de Copenhague.

Sus investigaciones lo llevaron a elaborar una nueva

teoría llamada teoría de colas, por la de línea de espera.


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CARACTERISTICAS OPERATIVAS DE LOS SISTEMAS DE COLAS:

1. Probabilidad de que no hayan clientes en el sistema.

2. Cantidad promedio de clientes en la línea de espera.

3. Cantidad promedio de clientes en el sistema (clientes en

la cola más clientes que están siendo atendidos)

4. Tiempo promedio que pasa un cliente en la cola.

5. Tiempo promedio de clientes en el sistema (el tiempo de

espera más el tiempo de servicio).

6. Probabilidad de que un cliente que llegue, tenga que

esperar en la cola.


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ESTRUCTURA DEL SISTEMA


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a. Población o clientes

Son las entidades que requieren el Servicio

Ejemplos:

• Máquinas que necesitan mantenimiento

• Piezas que requieren alguna operación

• Cargas a ser transportadas

• Personas por recibir el servicio

• Objetos por ser procesados/atendidos/despachados

• Documentos, etc.



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b. Llegadas

Formalización de reglas que rigen la generación de la necesidad

de un servicio.

La tasa de llegada del insumo puede ser:

❖Constante (las piezas que se pasan por una línea de montaje)

❖Variable (la llegada de pacientes a una clínica)

Por tanto: El número de llegadas puede definirse por una

distribución aleatoria.



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Las llegadas pueden modelarse mediante una distribución dePoisson:La probabilidad de que se produzcan “n” llegadas por unidad detiempo, viene dada por:

!)(

n

enP

n −=

= Promedio de llegadas

por unidad de tiempo.


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Problema 1:

En la farmacia PTL se realizó el análisis sobre los datos de

las llegadas de los clientes y se observó que la tasa media

de llegada es de 45 clientes por hora. Determine las

probabilidades de llegada de 0, 1 y 2 clientes durante 1

minuto.


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c. Cola

Cuando el cliente que requiere el servicio llega al

sistema, puede ocurrir que la unidad de servicio se

encuentre ocupada atendiendo un requerimiento

anterior, en este caso el cliente recién llegado tendrá

que esperar a que la unidad de servicio quede libre

para pasar a ocuparla.

La espera se realizará físicamente en lo que estamos

denominando cola o fila de espera.


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Sistema de colas

ColaUnidades de

servicio

Disciplina

de la cola

SalidasLlegadas

Sistemas de colas: modelo básico


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d. Sistema de Selección

Criterio seguido para elegir al siguiente cliente que va a recibir el

servicio cuando la unidad de servicio se encuentra disponible.

El criterio queda definido mediante la especificación de la

disciplina de la cola.

Los más utilizados son:

❖Primeras Entradas Primeras Salidas (PEPS) (FIFO)

❖Últimas Entradas Primeras Salidas (UEPS) (LIFO)

❖Clientes “VIP”

❖Modos de emergencia ó urgencia dependiendo de lo crítico de

la atención requerida.


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e. Unidades de Servicio:

• El servicio puede ser brindado por un servidor o por

servidores múltiples. Depende de la estructura física

del servicio.

• El tiempo de servicio varía de cliente a cliente

• El tiempo esperado de servicio depende de la tasa

media de servicio ()

• El tiempo esperado de servicio equivale a 1/

• Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25

clientes por hora, entonces el tiempo esperado de

servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos


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e. Unidades de Servicio:

Línea única y canal único de servicio

LlegadasCola Servidor

Salidas


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Llegadas

Varias líneas y canales múltiples de servicios

Cola ServidorSalidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Cola

Cola


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Llegadas

Una línea servidores secuenciales o etapas múltiples

Cola

Servidor

Salidas

Cola

Servidor


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Distribución de los tiempos de servicio:

Tiempo que un cliente pasa en la unidad de servicio una vez que el

servicio se ha iniciado.

Los analistas cuantitativos han considerado que puede suponerse

que la distribución de probabilidades para el tiempo de servicio

sigue una distribución de probabilidad exponencial.

Usando la distribución de probabilidad exponencial, la probabilidad

de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo de

duración t es:

Donde:

µ= la cantidad media de unidades que pueden servirse por período

e= 2,718x8 (valor aproximado)

tetserviciodetiempoP −−= 1)(


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Media Tiempo0

P(t)Distribución exponencial


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f. Salidas

Notación de Kendall: A/B/s

• A: Distribución de tiempos entre llegadas

• B: Distribución de tiempos de servicio

– M: distribución Poisson o exponencial

– D: distribución determinada (Conocida)

– G: distribución de probabilidad general, con

media y varianza conocida

• s: Número de servidores

Etiquetas para distintos modelos:


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Ejemplo:

M/M/1:

Entradas distribuídas exponencialmente, servicio distribuído

exponencialmente y un servidor único.

M/M/3 o simplemente M/M/s :

Entradas distribuídas exponencialmente, servicio distribuído

exponencialmente, una sola cola y 3 servidores disponibles.


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Datos claves en la Teoría de Colas

: Tasa media de llegada de los clientes (ejm.: 4 clientes/min)

1/: Tiempo entre llegada de un cliente y otro cliente

: Tasa media de servicio (ejm.: 5 clientes/min)

1/: Tiempo medio de servicio (ejm.: 0.2 min/cliente)

s: cantidad de servidores. Algunos textos lo representan por k

r=/(s) = factor de utilización del servicio

Necesariamente r

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Medidas del desempeño del sistema de

colas

1. Número esperado de clientes en la cola: Lq

2. Número esperado de clientes en el sistema: L

3. Tiempo esperado de espera en la cola: Wq

4. Tiempo esperado de espera en el sistema: W


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MODELO M/M/1

1. Probabilidad de que no hayan unidades en el sistema:

)(

2

−=qL

2. Cantidad promedio de unidades en la línea de espera:

3. Cantidad promedio de unidades en el sistema:

−=10P

+= qLL


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4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera:

5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema:

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar

por el servicio (probabilidad de que esté ocupado el servidor):

q

q

LW =

1+= qWW

=WP


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7. Probabilidad de “n” unidades en el sistema:

NOTA:

Con frecuencia a λ/μ se le conoce como el factor de utilizacióndel servicio.

0)( PPn

n

=


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Problema 1

En una estación de gasolina llegan, a una cola, en promedio 45

clientes por hora. La capacidad de atención en promedio es de

60 clientes por hora.

Considere que se trata de un modelo M/M/1

Determine:

a. La tasa media de llegadas y la tasa media de servicio.

b. Tiempo esperado de espera en la cola Wqc. Tiempo esperado de espera en el sistema W

d. Número esperado de clientes en la cola Lqe. Número esperado de clientes en el sistema L

f. Factor de utilización del sistema.


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Problema 2La aduana terrestre ha considerado que una manera de controlar laevasión de impuestos es controlar el peso de los vehículos de cargaque ingresan a Lima y los compara con los pesos de los vehículos ala salida de la ciudad de origen. La administración desea mejorar lacalidad del servicio de control de pesado y ha seleccionado lasinstalaciones de Pucusana como modelo a estudiar, antes derealizar los cambios. La administración desea analizar y entender eldesempeño del sistema actual durante las horas pico; es decir,cuando llega a la báscula el mayor número de camiones.Suponiendo que el sistema puede desempeñarse bien durante esteperíodo, el servicio en cualquier otro momento será aún mejor.Después de recopilar la información correspondiente se concluyeque la cantidad promedio de camiones que llegan por hora es 40 yque la cantidad promedio de camiones que pueden ser pesados porhora es de 50. Considere que se trata de un modelo M/M/1


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Identifique las tasas del sistema.

a) Calcule el porcentaje de utilización del sistema

b) Cantidad promedio de camiones haciendo cola

c) El tiempo promedio de espera en cola

d) El tiempo promedio en el sistema

e) La cantidad promedio de camiones en el sistema

f) ¿Cuál es la probabilidad de que un camión que acaba dellegar, suba a la báscula inmediatamente?

g) Calcule la probabilidad que un camión que llega tenga queesperar

h) Calcule la probabilidad que hayan cinco camiones en elsistema.

i) ¿Cuál es la probabilidad que haya menos de tres camionesen cola?


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En un estacionamiento un lavador de autos puede atender unauto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9autos por hora.

Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con elmodelo M/M/1

Además obtenga la probabilidad de tener 0 clientes en elsistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3clientes.

Problema 3


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Problema 4

En un restaurant de comidas rápidas llega en promedio100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender enpromedio a 150 clientes por hora. Considere que es unsistema M/M/1.

Calcule las medidas de desempeño del sistema.


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En un supermercado que cuenta con 5 cajas para la atención de sus clientes llegan en promedio 80 clientes por hora.

Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos.

Determine:

a. Las medidas de desempeño.

b. La probabilidad de tener 2 clientes en el sistema.

c. La probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes.

d. La probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola.

Problema 5


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MODELO DE LINEA DE ESPERA CON CANALES MULTIPLES,LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES

En este caso, se denominará “k” a la cantidad de canales

1. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

2. Cantidad promedio de clientes en la línea de espera:


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3. Cantidad promedio de clientes en el sistema:

4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera:

5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema:

+= qLL

q

q

LW =

1+= qWW


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6. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio:

7. Probabilidad de “n” unidades en el sistema:

0)()(!

1P

k

k

kP kW

−=

0!

)(

Pn

P

n

n

=Para n ≤ k

0)(!

)(

Pkk

Pkn

n

n −=

Para n > k


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Con los parámetros del ejemplo anterior, calcule los

siguientes parámetros para los modelos M/M/s:

M/M/s S=2 S=3 S=4

Porcentaje de utilización: r

L

Lq

W

Wq

P0


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ANALISIS ECONOMICO DE LA LINEA DE ESPERA

1. Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio y esmás sencillo de determinar. Está relacionado a la operación decada servidor. Podría incluir el salario, prestaciones de losservidores y cualquier otro costo directo asociado a losservidores.

2. Costo de espera: Representa el costo de oportunidad por eltiempo perdido del cliente. No es un costo directo para quienbrinda el servicio, sin embargo, si se ignora y se permiten colaslargas, los clientes se irán a otra parte, inclusive darán malasreferencias del servicio, lo cual, en realidad, será costoso paraquien brinda el servicio.

Objetivo : Minimizar el costo total


Costos de Servicio y Costos de Espera

Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio

Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio

Costo por TIEMPO DE ESPERA

Costo por proporcionar el SERVICIO

Costo

Costo Total Mínimo

COSTO TOTAL ESPERADO


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Costo total = Costo del servicio + costo de espera

Costo total = Cs*s + Cw*L

Considerando:

Cs = Costo de servicio por período de tiempo de cada servidor (service cost)s = Cantidad de servidores

Cw = Costo de esperar por período de tiempo de cada cliente (wait cost)

L = Cantidad promedio de clientes en el sistema

Nota:Cw es evaluado a priori por el analista.Una formula alternativa es: Costo total = Cs*s + Cwq*Lq


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Problema 6:Una pastelería que opera bajo el modelo M/M/1 analizó los datos sobre llegadas de clientes y concluyó que la tasa de llegadas es de 45 clientes por hora.Además, revisando el proceso de toma y entrega de pedido encontró que un despachador puede procesar un promedio de 60 pedidos por hora.

La pastelería paga al despachador $6 por hora.Se han analizado los costos de hacer esperar al cliente y se asignó un costo de $10 por hora de espera de un cliente.

Mediante un análisis económico de colas, la pastelería desea evaluar la cantidad óptima de despachadores, bajo modelos M/M/s.


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Problema 7 :

Una empresa de alquiler de camiones de carga subcontrata el mantenimiento de susvehículos, pero debido a los retrasos, se encuentra evaluando si brindar ellos elservicio de limpieza y mantenimiento en su taller.El taller opera 42 horas por semana.Actualmente se encuentra evaluando las siguientes alternativas:i) Un operario que cobra 100 dólares a la semana y utiliza un equipo especial a un

costo de 60 dólares a la semana.El tiempo necesario para dar servicio a un camión tiene una distribuciónexponencial con media de 3 horas.

ii) Contratar a dos operarios, cada uno cobra 100 dólares a la semana (sin equipoespecial) y atiende cada uno a un vehículo por separado.

El tiempo necesario para dar servicio a un camión tiene una distribuciónexponencial con media de 5 horas.

Los camiones llegan según proceso Poisson con tasa media de llegada de 0.3camiones por hora. La empresa considera que si un camión no se encuentradisponible, representa un costo de 2.5 dólares por hora.

Evalúe cuál es la mejor alternativa.

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