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Modelos de líneas de espera
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1. Estructura del sistema.
2. Un canal con tasa de llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales.
3. Múltiples canales de llegadas de Poisson y tiempos de servicios exponenciales.
4. Análisis económico de las líneas de espera.
5. Aplicaciones.
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La Teoría deColas fue formulada por el matemático
Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929).
En1909 realizó el análisis de la congestión de tráfico
telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta
de servicios en el sistema telefónico de Copenhague.
Sus investigaciones lo llevaron a elaborar una nueva
teoría llamada teoría de colas, por la de línea de espera.
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CARACTERISTICAS OPERATIVAS DE LOS SISTEMAS DE COLAS:
1. Probabilidad de que no hayan clientes en el sistema.
2. Cantidad promedio de clientes en la línea de espera.
3. Cantidad promedio de clientes en el sistema (clientes en
la cola más clientes que están siendo atendidos)
4. Tiempo promedio que pasa un cliente en la cola.
5. Tiempo promedio de clientes en el sistema (el tiempo de
espera más el tiempo de servicio).
6. Probabilidad de que un cliente que llegue, tenga que
esperar en la cola.
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a. Población o clientes
Son las entidades que requieren el Servicio
Ejemplos:
• Máquinas que necesitan mantenimiento
• Piezas que requieren alguna operación
• Cargas a ser transportadas
• Personas por recibir el servicio
• Objetos por ser procesados/atendidos/despachados
• Documentos, etc.
ESTRUCTURA DEL SISTEMA
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b. Llegadas
Formalización de reglas que rigen la generación de la necesidad
de un servicio.
La tasa de llegada del insumo puede ser:
❖Constante (las piezas que se pasan por una línea de montaje)
❖Variable (la llegada de pacientes a una clínica)
Por tanto: El número de llegadas puede definirse por una
distribución aleatoria.
ESTRUCTURA DEL SISTEMA
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Las llegadas pueden modelarse mediante una distribución dePoisson:La probabilidad de que se produzcan “n” llegadas por unidad detiempo, viene dada por:
!)(
n
enP
n
= Promedio de llegadas
por unidad de tiempo.
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Problema 1:
En la farmacia PTL se realizó el análisis sobre los datos de
las llegadas de los clientes y se observó que la tasa media
de llegada es de 45 clientes por hora. Determine las
probabilidades de llegada de 0, 1 y 2 clientes durante 1
minuto.
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c. Cola
Cuando el cliente que requiere el servicio llega al
sistema, puede ocurrir que la unidad de servicio se
encuentre ocupada atendiendo un requerimiento
anterior, en este caso el cliente recién llegado tendrá
que esperar a que la unidad de servicio quede libre
para pasar a ocuparla.
La espera se realizará físicamente en lo que estamos
denominando cola o fila de espera.
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Sistema de colas
ColaUnidades de
servicio
Disciplina
de la cola
SalidasLlegadas
Sistemas de colas: modelo básico
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d. Sistema de Selección
Criterio seguido para elegir al siguiente cliente que va a recibir el
servicio cuando la unidad de servicio se encuentra disponible.
El criterio queda definido mediante la especificación de la
disciplina de la cola.
Los más utilizados son:
❖Primeras Entradas Primeras Salidas (PEPS) (FIFO)
❖Últimas Entradas Primeras Salidas (UEPS) (LIFO)
❖Clientes “VIP”
❖Modos de emergencia ó urgencia dependiendo de lo crítico de
la atención requerida.
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e. Unidades de Servicio:
• El servicio puede ser brindado por un servidor o por
servidores múltiples. Depende de la estructura física
del servicio.
• El tiempo de servicio varía de cliente a cliente
• El tiempo esperado de servicio depende de la tasa
media de servicio ()
• El tiempo esperado de servicio equivale a 1/
• Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25
clientes por hora, entonces el tiempo esperado de
servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos
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e. Unidades de Servicio:
Línea única y canal único de servicio
LlegadasCola Servidor
Salidas
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Llegadas
Varias líneas y canales múltiples de servicios
Cola ServidorSalidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola
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Llegadas
Una línea servidores secuenciales o etapas múltiples
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor
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Distribución de los tiempos de servicio:
Tiempo que un cliente pasa en la unidad de servicio una vez que el
servicio se ha iniciado.
Los analistas cuantitativos han considerado que puede suponerse
que la distribución de probabilidades para el tiempo de servicio
sigue una distribución de probabilidad exponencial.
Usando la distribución de probabilidad exponencial, la probabilidad
de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo de
duración t es:
Donde:
µ= la cantidad media de unidades que pueden servirse por período
e= 2,718x8 (valor aproximado)
tetserviciodetiempoP 1)(
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f. Salidas
Notación de Kendall: A/B/s
• A: Distribución de tiempos entre llegadas
• B: Distribución de tiempos determinísticos
– M: distribución Poisson o exponencial
– D: distribución determinada (Conocida)
– G: distribución de probabilidad general, con
media y varianza conocida
• s: Número de servidores
Etiquetas para distintos modelos:
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Ejemplo:
M/M/1:
Entradas distribuídas exponencialmente, servicio distribuído
exponencialmente y un servidor único.
M/M/3 o simplemente M/M/s :
Entradas distribuídas exponencialmente, servicio distribuído
exponencialmente una sola cola y 3 servidores disponibles.
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Datos claves en la Teoría de Colas
: Tasa media de llegada de los clientes (ejm.: 4 clientes/min)
1/: Tiempo entre llegada de un cliente y otro cliente
: Tasa media de servicio (ejm.: 5 clientes/min)
1/: Tiempo medio de servicio (ejm.: 0.2 min/cliente)
s: cantidad de servidores. Algunos textos lo representan por k
r=/s = factor de utilización del servicio
Necesariamente r<1, sino, el sistema colapsa.
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Medidas del desempeño del sistema de
colas
1. Número esperado de clientes en la cola: Lq
2. Número esperado de clientes en el sistema: L
3. Tiempo esperado de espera en la cola: Wq
4. Tiempo esperado de espera en el sistema: W
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MODELO M/M/1
1. Probabilidad de que no hayan unidades en el sistema:
)(
2
qL
2. Cantidad promedio de unidades en la línea de espera:
3. Cantidad promedio de unidades en el sistema:
10P
qLL
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4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera:
5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema:
6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar
por el servicio (probabilidad de que esté ocupado el servidor):
q
q
LW
1 qWW
WP
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7. Probabilidad de “n” unidades en el sistema:
NOTA:
Con frecuencia a λ/μ se le conoce como el factor de utilizacióndel servicio.
0)( PP n
n
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Problema 1
En una estación de gasolina llegan, a una cola, en promedio 45
clientes por hora. La capacidad de atención en promedio es de
60 clientes por hora.
Considere que se trata de un modelo M/M/1
Determine:
a. La tasa media de llegadas y la tasa media de servicio.
b. Tiempo esperado de espera en la cola Wq
c. Tiempo esperado de espera en el sistema W
d. Número esperado de clientes en la cola Lq
e. Número esperado de clientes en el sistema L
f. Factor de utilización del sistema.
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Problema 2La aduana terrestre ha considerado que una manera de controlar laevasión de impuestos es controlar el peso de los vehículos de cargaque ingresan a Lima y los compara con los pesos de los vehículos ala salida de la ciudad de origen. La administración desea mejorar lacalidad del servicio de control de pesado y ha seleccionado lasinstalaciones de Pucusana como modelo a estudiar, antes derealizar los cambios. La administración desea analizar y entender eldesempeño del sistema actual durante las horas pico; es decir,cuando llega a la báscula el mayor número de camiones.Suponiendo que el sistema puede desempeñarse bien durante esteperíodo, el servicio en cualquier otro momento será aún mejor.Después de recopilar la información correspondiente se concluyeque la cantidad promedio de camiones que llegan por hora es 40 yque la cantidad promedio de camiones que pueden ser pesados porhora es de 50. Considere que se trata de un modelo M/M/1
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Identifique las tasas del sistema.
a) Calcule el porcentaje de utilización del sistema
b) Cantidad promedio de camiones haciendo cola
c) El tiempo promedio de espera en cola
d) El tiempo promedio en el sistema
e) La cantidad promedio de camiones en el sistema
f) ¿Cuál es la probabilidad de que un camión que acaba dellegar, suba a la báscula inmediatamente?
g) Calcule la probabilidad que un camión que llega tenga queesperar
h) Calcule la probabilidad que hayan cinco camiones en elsistema.
i) ¿Cuál es la probabilidad que haya menos de tres camionesen cola?
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En un estacionamiento un lavador de autos puede atender unauto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9autos por hora.
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con elmodelo M/M/1
Además obtenga la probabilidad de tener 0 clientes en elsistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3clientes.
Problema 3
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Problema 4
En un restaurant de comidas rápidas llega en promedio100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender enpromedio a 150 clientes por hora. Considere que es unsistema M/M/1.
Calcule las medidas de desempeño del sistema.
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En un supermercado que cuenta con 5 cajas para la atención de sus clientes llegan en promedio 80 clientes por hora.
Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos.
Determine:
a. Las medidas de desempeño.
b. La probabilidad de tener 2 clientes en el sistema.
c. La probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes.
d. La probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola.
Problema 5
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MODELO DE LINEA DE ESPERA CON CANALES MULTIPLES,LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
En este caso, se denominará “k” a la cantidad de canales
1. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:
2. Cantidad promedio de clientes en la línea de espera:
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3. Cantidad promedio de clientes en el sistema:
4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera:
5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema:
qLL
q
q
LW
1 qWW
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6. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio:
7. Probabilidad de “n” unidades en el sistema:
0)()(!
1P
k
k
kP k
W
0!
)(
Pn
P
n
n
Para n ≤ k
0)(!
)(
Pkk
Pkn
n
n
Para n > k
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Con los parámetros del ejemplo anterior, calcule los
siguientes parámetros para los modelos M/M/s:
M/M/s S=2 S=3 S=4
Porcentaje de utilización: r
L
Lq
W
Wq
P0
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ANALISIS ECONOMICO DE LA LINEA DE ESPERA
1. Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio y esmás sencillo de determinar. Está relacionado a la operación decada servidor. Podría incluir el salario, prestaciones de losservidores y cualquier otro costo directo asociado a losservidores.
2. Costo de espera: Representa el costo de oportunidad por eltiempo perdido del cliente. No es un costo directo para quienbrinda el servicio, sin embargo, si se ignora y se permiten colaslargas, los clientes se irán a otra parte, inclusive darán malasreferencias del servicio, lo cual, en realidad, será costoso paraquien brinda el servicio.
Objetivo : Minimizar el costo total
Costos de Servicio y Costos de Espera
Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio
Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio
Costo por TIEMPO DE ESPERA
Costo por proporcionar el SERVICIO
Costo
Costo Total Mínimo
COSTO TOTAL ESPERADO
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Costo total = Costo del servicio + costo de espera
Costo total = Cs*s + Cw*L
Considerando:
Cs = Costo de servicio por período de tiempo de cada servidor (service cost)s = Cantidad de servidores
Cw = Costo de esperar por período de tiempo de cada cliente (wait cost)
L = Cantidad promedio de clientes en el sistema
Nota:Cw es evaluado a priori por el analista.
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Problema 6:Una pastelería que opera bajo el modelo M/M/1 analizó los datos sobre llegadas de clientes y concluyó que la tasa de llegadas es de 45 clientes por hora.Además, revisando el proceso de toma y entrega de pedido encontró que un despachador puede procesar un promedio de 60 pedidos por hora.
La pastelería paga al despachador $6 por hora.Se han analizado los costos de hacer esperar al cliente y se asignó un costo de $10 por hora de espera de un cliente.
Mediante un análisis económico de colas, la pastelería desea evaluar la cantidad óptima de despachadores, bajo modelos M/M/s.
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Problema 7 :
Una empresa de alquiler de camiones de carga subcontrata el mantenimiento de susvehículos, pero debido a los retrasos, se encuentra evaluando si brindar ellos elservicio de limpieza y mantenimiento en su taller.El taller opera 42 horas por semana.Actualmente se encuentra evaluando las siguientes alternativas:i) Un operario que cobra 100 dólares a la semana y utiliza un equipo especial a un
costo de 60 dólares a la semana.El tiempo necesario para dar servicio a un camión tiene una distribuciónexponencial con media de 3 horas.
ii) Contratar a dos operarios, cada uno cobra 100 dólares a la semana (sin equipoespecial) y atiende cada uno a un vehículo por separado.
El tiempo necesario para dar servicio a un camión tiene una distribuciónexponencial con media de 5 horas.
Los camiones llegan según proceso Poisson con tasa media de llegada de 0.3camiones por hora. La empresa considera que si un camión no se encuentradisponible, representa un costo de 2.5 dólares por hora.
Evalúe cuál es la mejor alternativa.
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Problema 8
Una empresa manufacturera utiliza un grupo de seis máquinas
idénticas; cada una de las cuales opera un promedio de 20 horas
entre fallas (la tasa media de llegada o solicitud de servicio de
reparación para cada máquina es l = 1/20 = 0.05 por hora)
Las fallas ocurren al azar y se utiliza la distribución de probabilidad
de Poisson para describir el proceso de llegada de las fallas de las
máquinas.
El Departamento de mantenimiento, a través de un operario,
proporciona el servicio de reparación de un solo canal para las seis
máquinas.
Los tiempos de servicio distribuidos de manera exponencial tienen
una media de dos horas por máquina o una tasa media de servicio
de μ = ½ = 0.50 máquinas por hora.
Determine las características del servicio.
