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EJERCICIO 1: Resolver las siguientes cuestiones de divisibilidad: a) En una batalla en la que participaron entre 10.000 y 11.000 soldados, resultaron muertos

165

23 y heridos

143

35 del total respectivamente. Hallar cuántos soldados resultaron ilesos.

b) Hallar el número N = 2m 5n sabiendo que la suma de sus divisores es 961. SOLUCION: Apartado a): Sea 𝑛 ∈ ℕ, el número de soldados participantes. Como el m,c.m.{165=3.5.11 ; 143=11.13}=3.5.11.13= 2145

El número de soldados que resultaron ilesos es: 1 − − 𝑛 = 𝑛,

Teniendo en cuenta que “n” es un número natural, y que 1321 y 2145 son primos entre sí, entonces esto implica que n es un múltiplo de 2145, y como 10000

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PROBLEMA 2.- Hallar a y b para que el polinomio 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒂𝒙 + 𝒃, 𝒄𝒐𝒏 𝒂, 𝒃 ∈ ℤ, una de sus raíces sea una raíz n-ésima de la unidad.

SOLUCIÓN: Sean 𝑥 y 𝑥 las dos raíces del polinomio.

I) Si la dos raíces 𝑥 y 𝑥 fuesen raíces n-ésima de la unidad como a y b son números enteros y por tanto reales deberán ser una la conjugada de de la otra y serán de la forma:

𝑥 = 𝑒 = 𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 , 𝑥 = 𝑒 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 .

Por las fórmulas de Cardano-Vieta:

𝑎 = 𝑥 + 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑘𝜋

𝑛, 𝑏 = 𝑥 . 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠

2𝑘𝜋

𝑛+ 𝑠𝑒𝑛

2𝑘𝜋

𝑛= 1

Y como a es entero y:

𝑐𝑜𝑠 ≤ 1 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 ∈ −1, − ,0 , , 1 ⇒ 𝑎 ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}

𝑃(𝑥) = 𝑥 + 2𝑥 + 1; 𝑎 = −2, 𝑏 = 1, 𝑥 = 𝑥 = −1 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 1; 𝑎 = 2, 𝑏 = 1, 𝑥 = 𝑥 = 1

𝑃(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 + 1; 𝑎 = −1, 𝑏 = 1, 𝑥 = −1

2+ 𝑖

√3

2 , 𝑥 = −

1

2− 𝑖

√3

2

𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 + 1; 𝑎 = 1, 𝑏 = 1, 𝑥 =1

2+ 𝑖

√3

2 , 𝑥 =

1

2− 𝑖

√3

2

𝑃(𝑥) = 𝑥 + 1; 𝑎 = 0, 𝑏 = 1, 𝑥 = 𝑖, 𝑥 = −𝑖 II) Como las únicas raíces reales que son raíces de la unidad son 1 y -1. Si las dos raíces del polinomio son raíces reales de la unidad pero no conjugadas tendríamos: 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 1, 𝑎 = 0, 𝑏 = −1, 𝑥 = 1, 𝑥 = −1

III) Si solo una de la raíces es raíz n-ésima de la unidad, deberá ser igual a 1 o a -1 por ser las únicas raíces de la unidad que son reales. III,a) Supongamos que 𝑥 = 1, de donde: 𝑏 = 𝑥 . 𝑥 = 𝑥 = 𝑘, 𝑘 ∈ ℤ, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ≠ ±1, 𝑎 = 𝑥 + 𝑥 = 1 + 𝑥 = 1 + 𝑘 𝑃(𝑥) = 𝑥 − (1 + 𝑘)𝑥 + 𝑘; 𝑎 = 𝑘 + 1, 𝑏 = 𝑘, 𝑥 = 1, 𝑥 = 𝑘 III,b) Supongamos que 𝑥 = −1, de donde: 𝑏 = 𝑥 . 𝑥 = −𝑥 = 𝑘, 𝑘 ∈ ℤ, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ≠ ±1, 𝑎 = 𝑥 + 𝑥 = − 1 + 𝑥 = −(1 + 𝑘) 𝑃(𝑥) = 𝑥 + (1 + 𝑘)𝑥 + 𝑘; 𝑎 = −(𝑘 + 1), 𝑏 = 𝑘, 𝑥 = −1, 𝑥 = −𝑘 Incluyendo en estos últimos los casos anteriores donde las dos raíces son enteras (reales) se tiene: Solución:

∀𝑘 ∈ ℤ 𝑎 = 𝑘 + 1, 𝑏 = 𝑘, 𝑃(𝑥) = 𝑥 − (1 + 𝑘)𝑥 + 𝑘, 𝑥 = 1, 𝑥 = 𝑘

𝑎 = −(𝑘 + 1), 𝑏 = 𝑘, 𝑃(𝑥) = 𝑥 + (1 + 𝑘)𝑥 + 𝑘, 𝑥 = −1, 𝑥 = −𝑘

𝑎 = −1, 𝑏 = 1, 𝑃(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 + 1; 𝑥 = −1

2+ 𝑖

√3

2, 𝑥 = −

1

2− 𝑖

√3

2

𝑎 = 1, 𝑏 = 1, 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 + 1; 𝑥 =1

2+ 𝑖

√3

2 , 𝑥 =

1

2− 𝑖

√3

2

𝑎 = 0, 𝑏 = 1, 𝑃(𝑥) = 𝑥 + 1; 𝑥 = 𝑖, 𝑥 = −𝑖

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EJERCICIO 3.- Dado un pentágono regular, al dibujar todas sus diagonales se obtiene otro pentágono regular. Obtener la razón del área de este último con respecto al primero.

SOLUCIÓN: Consideremos un pentágono regular de lado “a”, (sin pérdida de generalidad podríamos considerar el pentágono de lado unidad) ABCDE. Dibujemos sus 5 diagonales de longitud “d” que se cortan formando un pentágono de lado “b”. Y dibujemos también la circunferencia circunscrita al pentágono original.

Los arcos que determinan los vértices del pentágono en la circunferencia son todos iguales a 360/5=72º

El ángulo

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EJERCICIO 4.- Dos enemigos A y B van a participar en un duelo de pistola. Cada uno tiene una sola bala en la recámara. Si el que dispara primero acierta, su oponente muere en el acto, y no es capaz de devolver el disparo. A es "rápido en sacar" y tiene una probabilidad de 0,6 de disparar primero. Sin embargo, no tiene buena puntería, y la probabilidad de matar a su oponente una vez ha disparado es 0,4, mientras que B tiene una probabilidad de 0,5 de matar a su oponente cuando dispare. Calcular:

a) Probabilidad de que ambos sobrevivan. b) Probabilidad de que A sobreviva. c) Probabilidad de que A haya sacado primero, dado que ha sobrevivido. d) Probabilidad de que el hombre que saque primero sobreviva.

SOLUCIÓN: Vamos a nombrar los siguientes sucesos, y de acuerdo con el enunciado y teniendo en cuenta que cada pareja constituyen dos sucesos elementales opuestos, sus probabilidades son:

DA= “Dispara A en primer lugar”, p(DA) = 0,6 DB= “Dispara B en primer lugar”, P(DB) = 0,4 MB= “Muere B tras el primer disparo efectuado”, p(MB| DA) = 0,4 VB= “Sobrevive B al primer disparo y efectúa el segundo disparo”, p(VB | DA) = 0,6 MA= “Muere A tras el primer disparo efectuado”, p(MA | DB) = 0,5 VA= “Sobrevive A al primer disparo y efectúa el segundo disparo”, p(VA | DB) = 0,5 AM= “Muere A a consecuencia del segundo disparo”, p(AM | (DA∩VB))= 0,5 AV= “Sobrevive A al segundo disparo”, p(AV | (DA∩VB) = 0,5 BM= “Muere B a consecuencia del segundo disparo”, p(BM | (DB∩VA)) = 0,4 BV= “Sobrevive B al segundo disparo”, p(BV | (DB∩VA)) = 0,6

De donde se obtienen las probabilidades para los sucesos compuestos siguientes:

p(DA, MB) = 0,6×0,4 = 0,24. p(DA, VB) = 0,6×0,6 = 0,36 p(DA,VB, AM) = 0,6×0,6×0,5 = 0,18. p(DA,VB, AV) = 0,6×0,6×0,5=0,18 p(DB, MA)=0,4×0,5= 0,20. p(DB, VA)=0,4×0,5= 0,20 p(DB, VA, BM)=0,4×0,5×0,4=0,08. p(DB, VA, BV)=0,4×0,5×0,6=0,12 Notamos con: A = “suceso de que al final del duelo A sobreviva” B = “suceso de que al final del duelo B sobreviva”

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Apartado a) Probabilidad de que ambos sobrevivan

p(A∩B) = p[(DA,VB,AV) ∪ (DB,VA,BV)] = 0,18+0,12 = 0,30. Apartado b) Probabilidad de que A sobreviva

p(A) = p[(DA,MB) ∪ (DA,VB, AV) ∪ (DB,VA)] = 0,24 + 0,18 + 0,20 = 0,62

Apartado c) Probabilidad de que A haya sacado primero, dado que ha sobrevivido

𝑝(𝐷𝐴 | 𝐴) = 𝑝( 𝐷𝐴 ∩ 𝐴)

𝑝(𝐴 )=

𝑝[(𝐷𝐴, 𝑀𝐵) ∪ (𝐷𝐴, 𝑉𝐵, 𝐴𝑉)

𝑃(𝐴 )=

0,24 + 0,18

0,62=

21

31

Apartado d) Probabilidad de que el hombre que saque primero sobreviva

𝑝 [(𝐷𝐴 ∩ 𝐴) ∪ (𝐷𝐵 ∩ 𝐵)] = 1 − 𝑝 [(𝐷𝐴 ∩ �̅�) ∪ (𝐷𝐵 ∩ 𝐵)] =

= 1 − 𝑝[ (𝐷𝐴, 𝑉𝐵, 𝐴𝑀) ∪ (𝐷𝐵, 𝑉𝐴, 𝐵𝑀)] = 1 - (0,18 + 0,08) = 0,74

En donde hemos notado con: 𝐴 = 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐴 (𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑢𝑒𝑙𝑜 𝐴 𝑒𝑠𝑡á 𝑚𝑢𝑒𝑟𝑡𝑜)

𝐵 = 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐵 (𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑢𝑒𝑙𝑜 𝐵 𝑒𝑠𝑡á 𝑚𝑢𝑒𝑟𝑡𝑜)

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EJERCICIO 5.- Discutir y resolver el siguiente sistema cuando sea posible.

⎩⎨

⎧−𝒙 + (𝝀 + 𝟏)𝒚 + (𝟐 − 𝝀)𝒛 + 𝝀𝒕 = 𝟑

𝝀𝒙 + 𝒚 + (𝟐 − 𝝀)𝒛 + 𝝀𝒕 = 𝟐

𝝀𝒙 + 𝝀 𝒚 + (𝟐 − 𝝀)𝒛 + 𝝀𝒕 = 𝟐

𝝀𝒙 + 𝝀 𝒚 + (𝟐 − 𝝀)𝒛 − 𝒕 = 𝟐

SOLUCIÓN: Restando sucesivamente: a la cuarta ecuación la tercera, a la tercera la segunda y a la segunda la primera; se obtiene el siguiente sistema escalonado, equivalente al dado:

⎩⎨

⎧−𝑥 + (𝜆 + 1)𝑦 + (2 − 𝜆)𝑧 + 𝜆𝑡 = 3

(𝜆 + 1)𝑥 − 𝜆 𝑦 = −1 (𝜆 − 1) 𝑦 = 0

− (1 + 𝜆) 𝑡 = 0

Los valores de λ especialmente a estudiar son los que anulan a los coeficientes de las incógnitas principales del sistema, incógnitas elegidas en el escalonamiento (de abajo a arriba: t, y, x, z).

I) Si λ= -1 el sistema es

−𝑥 + 0𝑦 + 3𝑧 − 𝑡 = 30𝑥 + 𝑦 = −1

−2 𝑦 = 00 𝑡 = 0

que es un sistema incompatible

la segunda y la tercera ecuación son incompatibles entre ellas.

II) Si λ= 1 el sistema es

−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 32𝑥 − 𝑦 = −1

0 𝑦 = 0−2 𝑡 = 0

que es un sistema compatible indeterminado.

Solución= ∀𝑦, 𝑡 = 0, 𝑥 = , 𝑧 =( )

III) Si λ=2 el sistema es

−𝑥 + 3𝑦 + 0𝑧 + 2𝑡 = 33𝑥 − 2 𝑦 = −1

𝑦 = 0− 3 𝑡 = 0

sustituyendo queda

𝑥 = −3𝑥 = −1/3

𝑦 = 0 𝑡 = 0

que es por tanto un sistema incompatible.

IV) Si 𝜆 ∉ {−1,1,2}, como los coeficientes de las incógnitas principales no se anulan, el sistema es compatible y determinado.

Solución = 𝑥 = , 𝑦 = 0, 𝑧 =( )( )

, 𝑡 = 0; ∀𝜆 ∉ {−1,1,2}

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PROBLEMA 6: Dada la función 𝒚 = |𝒙 − 𝟏|𝟏 𝟐⁄ |𝒙 + 𝟏|𝟑 𝟐⁄ , calcular

a) Monotonía b) Derivabilidad en 1 y -1 c) Dibujar la gráfica d) Hallar el área comprendida entre f(x) y el eje de abscisas.

SOLUCIÓN: Vamos hacer un estudio completo de la función que recoja los tres primeros apartados.

La función es continua en ℝ por ser el producto de dos funciones potenciales con exponente positivo y cuyas bases son las compuestas de funciones afines con la función valor absoluto por lo que son siempre positivas. La gráfica de la función corta al eje de ordenadas en el punto (0,1) y al de abscisas en los puntos (-1,0) y (1,0), en los demás puntos la gráfica está por encima del eje de abscisas.

La gráfica no tiene asíntotas (ni horizontales, ni verticales, ni oblicuas) las ramas son parabólicas: lim → 𝑓(𝑥) = +∞, lim → 𝑓(𝑥) = +∞

Desglosando la función tenemos: 𝑓(𝑥) =

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1

−(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥

La función derivada es: 𝑓 (𝑥) =

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧ (2𝑥 − 1) 𝑠𝑖 𝑥 < −1

(1 − 2𝑥) 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 1

(2𝑥 − 1) 𝑠𝑖 1 < 𝑥

y como:

1) lim → 𝑓 (𝑥) = 0 = lim → 𝑓 (𝑥) ⇒La función es derivable en x=-1, f’(-1)=0

2) lim → 𝑓 (𝑥) = −∞ ; lim → 𝑓 (𝑥) = +∞ ⇒ La función no es derivable en x=1. La tangente a la gráfica de y=f(x) en x=1 es vertical.

3) Si x∈(-∞,-1) ⇒f’(x)0 ⇒la función es creciente.

5) Si x∈(1/2,1) ⇒f’(x)0 ⇒la función es creciente.

La función posee un mínimo relativo y absoluto en x=-1 y en x=1. f(-1)=f(1)=0, en -1 la tangente es horizontal y en 1 es vertical; y posee un máximo relativo con tangente horizontal en x=1/2,

f(1/2) = √ .

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La segunda derivada es: 𝑓 (𝑥) =

⎩⎪⎨

⎪⎧( )√

𝑠𝑖 𝑥 < −1

( )√ 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 1

( )√ 𝑠𝑖 1 < 𝑥

La función derivada segunda no está definida para x∈{-1,1} y se anula para 𝑥 = √ y para

𝑥 =√

donde tiene puntos de inflexión 𝑓 √ = 0,57; 𝑓 √ = 0,61

i) Si 𝑥 ∈ (−∞ − 1) ∪ −1, √ ∪ ( √ , +∞) ⇒ f’’(x)>0 ⇒la gráfica de y = f(x) es convexa. ii) Si

𝑥 ∈ (√

, 1) ∪ 1,√ ⇒ f’’(x)