VARIABLE COMPLEJA

Representación de un número complejo (z)

Cartesiana o Rectangular z=x+iy

Esta forma es la más fácil de usar para hacer operaciones elementales, además de esta manera es rápido localizar un número Z en el Plano de Argand como un vector:

Polar z=r (cosθ+isenθ)

En la forma polar de un número complejo es necesario obtener su módulo (r) = |z| por o que se citarán las fórmulas elementales para poder escribir así un número z:

1. |z|=r=√ x2+ y2

2. x=rcosθ3. iy=irsenθ

4. θ=tan−1( yx )

Otras formas de representar la forma polar son:

a. z=r (cosθ+isenθ)b. z=r∨θ ¿c. z=rcisθ

Exponencial z=r e iθ

Partimos de…

e ix=cosx+isenxAhora… si

z=r (cosθ+isenθ)Entonces

z=r (eiθ)

∴ z=r eiθ

Operaciones fundamentales con números complejos

Suma z1+ z2

Se lleva a cabo como lo siguiente, si tenemos z1=x1+ i y1 y z2=x2+i y2

Ahora z1+ z2=ℜ ( z1+z2 )+ℑ ( z1+z2 )= ( x1+x2 )+( y1+ y2 ) i

Resta z1−z2

Se lleva a cabo como lo siguiente, si tenemos z1=x1+ i y1 y z2=x2+i y2

Ahora z1−z2=ℜ ( z1−z2 )+ℑ ( z1−z2 )=( x1−x2)+ ( y1− y2 ) i

Producto z1 z2

Se lleva a cabo como lo siguiente, si tenemos z1=x1+ i y1 y z2=x2+i y2

Ahora z1 z2=ℜ ( z1 z2)+ℑ ( z1 z2 )=( x1 x2− y1 y2 )+( x1 y2+ x2 y1 )i

División z1

z2

Para llevar a cabo esta operación, como te explique se multiplica por el conjugado del denominador el llamado “uno disfrazado” z1=x1+ i y1 y z2=x2+i y2

z=z1

z2

=x1+ i y1

x2+ i y2

Ahora…

z=( x1+i y1

x2+i y2) (1 )=( x1+i y1

x2+i y2)( x2−i y2

x2−i y2)= z1

z2

z2

Otras operaciones necesarias… Producto punto

z1° z2=ℜ(z1 z2)

Producto cruzz1 x z2=ℑ( z1 z2)

Conjugado z

Se obtiene cambiando de signo la parte imaginaria de un número imaginario.

Si z=x+iyEntonces…z=x−iy

Módulo de z … |z|

También conocido como r se obtiene a partir de la fig. 2 de este trabajo por medio del teorema de Pitágoras, de acuerdo con la componente de cada número en el Plano de Argand.

|z|=r=√ x2+ y2

i n

Existen una cierta relación en las potencias de i, entonces se observa que las potencias repiten el valor de 4 en 4. Por lo cual…

i n = Valores para ni 1 5 9 13 17 21

-1 2 6 10

14 18 22

-i 3 7 11

15 19 23

1 4 8 12

16 20 24

Conversión de radianes a grados y viceversa.

Con una sencilla regla de tres obtenemos esto.

1 πradián=180°x radianes=x grados

Potencias y raíces

z1 z2=r1 r2 [cos (θ+∅ )+isen (θ+∅ ) ]

Fórmula de De Moivre

zn=r n[cos (nθ )+isen (nθ )]

Como e inθ=cos (nθ )+isen (nθ )…zn=r ne inθ

Para hallar identidades:

(e iθ)n=cosnθ+isen nθ

Raíces de números complejos

z1n=r

1n [cos ( θ+2 πk

n )+ isen(θ+2πkn )]

Dónde: Debemos trabajar en radianes n es el número de raíces posibles k va de desde 0 hasta (n-1) si se grafican las raíces, obtenemos un polígono de n lados

Pero también podemos escribir la fórmula anterior como:

z1n=r

1n e

i( θ+2πkn )

Funciones

Funciones Polinomiales: Las encontramos de la forma:

P ( z )=a0 zn+a1 zn−1+…+an−1 z+an

Funciones algebraicas racionales:

w=P(z )Q(z)

Funciones exponenciales: Si a es real y positivo, definimos que…

az=ezlna

Funciones trigonométricas: Se definen en identidades de exponenciales…

sen ( z )= eiz−e−iz

2 i= 1

csc (z )

cos (z )= e iz+e−iz

2= 1

sec (z)

tan (z )= e iz−e−iz

i(e iz+e−iz)= 1

cot(z )

*Las propiedades trigonométricas reales también son válidas.**Para obtener las inversas, solo invertir el numerador y denominador en cada caso.

Funciones hiperbólicas

senh ( z )= ez−e−z

2= 1

csch (z)

cosh ( z )= ez+e− z

2= 1

sech (z)

tanh (z )=e z−e− z

ez+e− z =1

coth (z)

*Las propiedades trigonométricas reales también son válidas.**Para obtener las inversas, solo invertir el numerador y denominador en cada caso.

Funciones logarítmicas:w=ln z=ln r+i(θ+2kπ )

Funciones trigonométricas inversas: si z=senw

sen−1 ( z )=1i

ln (iz+√1−z2 )

cos−1 (z )=1i

ln ( z+√z2−1 )

tan−1 (z )= 12 i

ln( 1+iz1−iz )

csc−1 ( z )=1i

ln ( i+√ z2−1z )

sec−1 ( z )=1i

ln( 1+√1−z2

z )cot−1 ( z )= 1

2 iln( z+1

z−1 )

Continuidad: Para que una función f(z) sea continua en z0 debe cumplir:

1. limz → z0

f ( z )=límite debe existir

2. f ( z0 ) debe existir , o sea f ( z )está definida en z0

3. límite=f (z0)

Funciones de Variables compleja

f ( z ) ;donde z=x+iy f =u( x , y )+iv (x , y )u=ℜ , v=ℑ

1. Sustituir z=x+iy en f (z)2. Resolver3. Sustituir x→ a, y →b en f ( z ) despuesdel 2.

Derivada

Por definición:

f ´ ( z )= lim∆ z → 0

f ( z+∆ z )−f (z )∆ z

1) Sustituir en cualquier z de la función original: z+∆ z2) Restarle la función original (tal cual)3) Dividirla entre ∆ z4) Sustituir ∆ z →0

Ecuaciones de Cauchy – Riemann: Una condición necesaria para que w=f (z )=u (x . y )+ iv(x , y) sea analítica (es decir que se pueda derivar) en una región R, es que, en R, u y v satisfagan las siguientes ecuaciones:

∂ u∂ x

= ∂ v∂ y

;∂u∂ y

=−∂ v∂ x

Regla de L´Hôpital: Esta regla sirve cuando f (z0) y g (z0)= 0, es entonces que derivamos arriba y abajo

pues g ´ (z0)≠ 0, en el caso de que lo anterior no se cumpla, la regla se extiende a seguir derivando hasta

cumplir la condición anterior. Por tanto…

limz → z0

f (z )g (z)

=f ´ (z0)g ´ (z0)