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®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2009/10 mez, 2009/10 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)
Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn
IV. Comportamiento IV. Comportamiento dieldielééctricoctrico
4. Propiedades de los diel4. Propiedades de los dielééctricos. ctricos. Permitividad dielPermitividad dielééctricactrica
Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) IV. Comportamiento dieln) IV. Comportamiento dielééctrico de la materiactrico de la materia
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IV. Comportamiento dielIV. Comportamiento dielééctrico de la materiactrico de la materia
1.1. Medios dielMedios dielééctricos. Polarizacictricos. Polarizacióónn2.2. Campos y cargas de polarizaciCampos y cargas de polarizacióónn3.3. Vector desplazamientoVector desplazamiento4.4. Propiedades de los medios dielPropiedades de los medios dielééctricosctricos
Dieléctricos linealesPermitividad dieléctrica
Tipos de dieléctricos linealesMedios homogéneosMedios inhomogéneos
Dieléctricos no lineales5.5. EnergEnergíía electrosta electrostáática en medios dieltica en medios dielééctricosctricos
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Comportamiento dielComportamiento dielééctrico linealctrico linealrelación constitutiva en cada punto del medio:
susceptibilidad dieléctricacaracterística del medio:
en un medio lineal: χe > 0 (nº real adimensional) en el vacío: χe = 0
es un modelo ideal, pero muchas sustancias se aproximan a este comportamiento
Permitividad dielPermitividad dielééctricactricarelación constitutiva para el vector desplazamiento:
ε es la permitividad dieléctrica (absoluta)permitividad dieléctrica relativa: (adimensional)
para todo dieléctrico lineal: ε = ε0εr > ε0 (nº real con dimensiones)
DielDielééctricos lineales (isctricos lineales (isóótropos)tropos)
( )0 ( )1 e P+= ε χ E ( )P= εE
0( ) ( )eP P= ε χP E
0( ) ( ) ( )P P P= εD E + P
eχ ( )e≠ χ E
( ) ( ) y ( ) ( )P P P P⇔ ∝P E P E
1r e0= = +ε ε ε χ
εε00
PP((rr)=)=00
DD((rr))==ε0E(r)
D
DD
P
PP
ε0E ;eχ ε
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2 1 lib ;( )P
Pσ2 1 ∈Σ⎡ ⎤− =⎣ ⎦⋅ ε εn E E
Medios homogMedios homogééneosneos
χe y ε son uniformes en el medio (valor constante)
relaciones constitutivas → campos proporcionales
formulación del problema electrostático:ecuación de Poisson para cargas libres (en general)
condiciones en la “frontera” Σ:
0( ) ( );e= ε χP r E r
Tipos de dielTipos de dielééctricos lineales (I)ctricos lineales (I)
( ) ( )= εD r E r
( ) ( )= −∇φE r r
[ ] lib( ) ( )ρε =E r r∇ ⋅2
lib1( ) ( )⇒ ρφε
= −r r∇
2 1 P∈Σ⎡ ⎤× − =⎣ ⎦n E E 0 ( ) ( )P P+ −=φ φ
lib ( )P P
Pn n
σ+ −
2 1
∂ ∂− = −
∂ ∂φ φε ε
ρρliblib((rr))
ΣΣD2 χee22 ; ε2D1 χee11 ; ε1
σσliblib
D
DD((rr))
PP((rr))ε0E(r)
χe e ; ε
DD22DD11
EE22EE11
EEtt
DD2n2nnnPDD1n1n
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PolarizaciPolarizacióón de esfera dieln de esfera dielééctrica linealctrica linealcampo “externo” uniforme: E0=E0uz
“inicia” la polarización de la esfera
hipótesis: polarización uniforme: P(r < R)=P uzcampo eléctrico de polarización (ejercicio 4.2):
se verifica la hipótesis:
Ejemplo: ejercicio 4.15 (I)Ejemplo: ejercicio 4.15 (I)
E0
EE((rr))==
E0
D
εε00
PP((rr)=)=00
R
O
Pr
Z
PP((rr))
EE((rr))++EEpolpol((rr))EE00
ε= ε0(1+χe)2
5
pol
1 3(;
4)
( )1 ;z
r Rr
r
P r R
0
0 0
>πε
⎧ ⋅ −⎪⎪⎨⎪− = − <⎪ 3ε 3ε⎩
=
p pr r
E ru P
==ε0χeEE((rr))PP((rr))
0 pol( ) ( ), cte ( ), cter R r R r R< < ⇒ <+=E E E P
pp
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E0
E0Campos resultantesCampos resultantes
vector polarización:
campo eléctrico (total):
vector desplazamiento:
D
εε00
PP((rr)=)=00
R
O
Pr
Zεε00EEextext((rr))
ε= ε0(1+χe)
0
;( )
;3
e
e
r R
r R0
>⎧⎪
3ε χ⎨ <⎪ + χ⎩
=0
P rE
0 pol ext
0 int
( ) ( );( ) 3 ;
e
r R r R
r R=
> = >⎧⎪⎨ <⎪3+ χ⎩
=rE + E E
E rE E
EEintint
ext
int 0
( ); ( ) 3 ;
r R
r R
0
0
0
ε >⎧⎪
ε ε⎨ = <⎪ 2ε + ε⎩
= ε
rED r
E E
PPDDintint
DDextext((rr))
Ejemplo: ejercicio 4.15 (I)Ejemplo: ejercicio 4.15 (I)
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Ejemplo: ejercicio 4.8Ejemplo: ejercicio 4.8
Condiciones de salto y continuidad en interfaz dielCondiciones de salto y continuidad en interfaz dielééctricactrica
DD11; ; εε11==¿¿ε?ε?
σσliblib||ΣΣ=0=0ΣΣ
ππ/3/3
EE11((PP))
ππ/6/6
EE22ii
HH22ii
HH11 EE11
XX
YY ||EE22((PP)|= )|= EE22=100 V/m=100 V/m
θθii
EE22((PP))
EE22rr
HH22rr
=E=E22ii((PP))+E+E22
rr((PP))
DD22; ; εε22==εε00 uuyy= =
PP
nn
θθ''==θθii
θθrr
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Ejercicio 4.7 (a)Ejercicio 4.7 (a)
XX
ZZ φφ((z=dz=d))==VV00
φφ((z=z=0)0)=0=0Σ: Σ: x=x=00
DD11==εε11EE11 DD22==εε22EE22
ΣΣss: : z=dz=dnnss==uuz z
ΣΣii: : z=z=00
nn
nnii==−−uuz z
EE11 EE22
dd
SS11 SS22
== ==−−EEuuzz
σσliblib((xx>0>0;z;z==dd))
σσliblib((xx>0>0;z;z=0)=0)
σσliblib((xx<0<0;z;z==dd))
σσliblib((xx<0<0;z;z=0)=0)
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Ejercicio 4.6 Ejercicio 4.6
XX
ZZ φφ((z=dz=d))==VV00
φφ((z=z=0)0)=0=0
Σ: Σ: z=az=a E1=−A1uz
E2=−A2uznn
ΣΣss: : z=dz=d
ΣΣii: : z=z=00
D2=−Duz
D1=−Duz
nnss==uuz z
nnii==−−uuz z
σσliblib||ΣΣii==−−DD
σσliblib||ΣΣss==DD
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Medios inhomogMedios inhomogééneosneosχe y ε, magnitudes variables en el medio D
propiedades del campo electrostático: ecuaciones del campo eléctrico:
condiciones en la “frontera” ∂D:
caso particular: sistema de medios homogé-neos en contacto
soluciones en cada medio homogéneocondiciones de salto en cada frontera Σkl
ext ext int lib( ) ( )P
P Pσ−
∈∂⎡ ⎤− =⎣ ⎦⋅ ε εn E E
D
0 ( )( ) ( );e= ε χ rP r E r
Tipos de dielTipos de dielééctricos lineales (II)ctricos lineales (II)
( )( ) ( )= ε rD r E r
ext int P∈∂⎡ ⎤× − =⎣ ⎦n E E 0
D
( ) ;× =E r 0∇ [ ] lib( )( ) ( ) ( )= ε = ρrr r rD E∇ ⋅ ∇ ⋅
ρρliblib((rr))
σσliblib
DDintintPPintint
χee((rr)); ε((rr))
DD((rr))ε0E(r)
D
ε0Eext DDextext
ε0Eint
nn
DDii
EEii
PPii
DDkk
EEkk PPkk
Di
χeiei; ; εi
Dj χejej ;; εj
Dk χekek ;; εk
EEjjPPjj
DDjj
∂D
PP((rr))
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Ejemplo: ejercicio 4.11Ejemplo: ejercicio 4.11
φφ((z=dz=d))==V0
φφ((z=z=0)0)=0=0
ΣΣss: : z=az=annss==uuz z
ΣΣii: : z=z=00 nnii==−−uuz z
( )1 2
1 1
ε ε( )ε ε
ε azz a z
=+ −
DD==D D uuzz
XX
ZZ
EE((zz)= )= uuzz DD//εε((zz))
DielDielééctrico lineal inhomogctrico lineal inhomogééneoneo
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Comportamientos dielComportamientos dielééctricos realesctricos realespolarización NO proporcional al campo eléctrico:
el comportamiento lineal es una idealización
dieléctricos lineales “a tramos”:la relación constitutiva depende de |E|
“saturacion” de comportamiento linealpolarización y campo eléctrico colinealesla polarización no crece indefinidamente
un campo eléctrico intenso (|E|>Erup) produce la "ruptura" del dieléctrico
DielDielééctricos no linealesctricos no lineales
( )0 e= ε χP E E
[ ]0
2 31 2 3
)
(
( ; con (
y ...α α α
+
= + + +
= E(r) E
E)
P r) P P P E
P E E E
( ) ( );P r E r 0
0
;
;
si
si e
e s
s
s
EE E
ε χ <
ε χ ≥
⎧⎨⎩
=E
E
EP
|P|
ε0|E|
χ1
χ2
χ3
|P|
ε0|E|
χe
ε0Erupε0Es
ε0χeEs
→ conducción
comp. dieléctrico conducción
lineal
saturado
®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2009/10 mez, 2009/10 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)
Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn
IV. Comportamiento IV. Comportamiento dieldielééctricoctrico
4. (4. (cont.cont.) Ejercicio con diel) Ejercicio con dielééctrico ctrico inhomoginhomogééneoneo
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Ejercicio 4.7 (b)Ejercicio 4.7 (b)
XX
ZZ
EE11
EE22
EE33
EE44
DD11
DD22
DD33
DD44
φφ((zz=d=d))==V0
φφ((zz=d=d))=0=0
ΣΣss: : z=dz=d
ΣΣii: : z=z=00
SoluciSolucióón analn analíítica (sin efectos de borde)tica (sin efectos de borde)se verfican condiciones de salto y continuidad si…
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εε=
ε ε
SS11 SS33
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E1=E1uz E3=E1uz
E2=E2uz E4=E2uz
D1=ε1E1uz D3=ε3E1uz
D2=ε2E2uz D4=ε4E2uz
LLííneas equipotenciales. Campos neas equipotenciales. Campos EE y y DD
SoluciSolucióón numn numéérica (I)rica (I)
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E1=E1(x,z) E3=E3(x,z)
E2=E2(x,z) E4=E4(x,z)
D1=ε1E1(x,z) D3=ε3E3(x,z)
D2=ε2E2(x,z) D4=ε3E4(x,z)
LLííneas equipotenciales. Campos neas equipotenciales. Campos EE y y DD
SoluciSolucióón numn numéérica (II)rica (II)
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LLííneas equipotenciales y lneas equipotenciales y lííneas de campo elneas de campo elééctricoctrico
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Sistema equivalenteSistema equivalente
EE11
EE22
EE33
EE44
DDaa
DDaa
DDbb
DDbb