IV. GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

IV. Gráficos de Control por Atributos

IV. GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

INTRODUCCIÓN____________________________________________________

Los diagramas de control por atributos constituyen la herramienta esencial utilizada para controlar características de calidad cualitativas, esto es, características no cuantificables numéricamente. Ejemplos de tales características no medibles son la fracción o porcentaje de unidades defectuosas en la producción (P), el número de unidades defectuosas en la producción (NP), el número de defectos por unidad producida (U), y el número de defectos de todas las unidades producidas (C).

Al igual que en los gráficos de control por variables, el diagrama de atributos representa un estadístico T

del proceso (como puede ser el número de defectos) frente al número de la muestra o al tiempo. Una línea central representa el valor medio o esperado del estadístico, mientras que los límites de control suelen definir una zona de control que abarca 3σT por encima y por debajo de la línea central. Estos límites son escogidos de manera que si el proceso está bajo control, casi la totalidad de los puntos muestrales se halle entre ellos. Así, un punto que se encuentra fuera de los límites de control se interpreta como una evidencia de que el proceso está fuera de control. Además, incluso si todos los puntos se hallan comprendidos entre los límites de control, pero se comportan de manera sistemática o no aleatoria, también tendríamos un proceso fuera de control (veremos cómo estudiar la existencia de tales patrones no aleatorios mediante los llamados tests para causas especiales). Límite superior (LSC) 3 * σT Línea central Va

riabl

e T

Límite inferior (LIC) Número de muestra o tiempo

Este tipo de gráficos se suele aplicar en situaciones en las que el proceso es una operación de montaje complicada, y la calidad del producto se mide en términos de la ocurrencia de disconformidades, del funcionamiento exitoso o fallido del producto, etc.

Los diagramas de control por atributos tienen la ventaja de que hacen posible considerar varias

características de calidad al mismo tiempo y clasificar los productos como disconformes si no satisfacen las especificaciones de cualquiera de las características.

Tenemos dos opciones a la hora de realizar un gráfico de control por atributos:

1. Podemos comparar un producto con un estándar y clasificarlo como defectuoso o no (gráficos P y NP)

2. En el caso de productos complejos, la existencia de un defecto no necesariamente conlleva a que el

producto sea defectuoso. En tales casos, puede resultar conveniente clasificar un producto según el número de defectos que presenta (gráficos C y U).

Es importante notar que los gráficos P, NP, y U permiten trabajar con muestras de tamaños diferentes, mientras que los gráficos C están diseñados para muestras de igual tamaño.

IV - 1

Control Estadístico de la Calidad con MINITAB

TESTS PARA CAUSAS ESPECIALES__________________________________

En cualquiera de los gráficos de control por atributos descritos, es posible realizar cuatro tests para determinar la posible existencia de causas especiales que influyan sobre la variabilidad de las observaciones (comportamiento no aleatorio de los datos):

Test 1: un punto situado más allá de los límites de control

Cada uno de los tests detecta un determinado comportamiento no aleatorio en los datos. Cuando alguno de los tests resulta positivo entonces hay indicios de que la variabilidad de las observaciones se debe a causas especiales, las cuales deberán investigarse.

Es importante notar que para realizar estos tests todas las muestras han de ser del mismo tamaño.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona B

Zona C

Zona C

IV - 2


0 5 10 15

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona C

Zona C

Zona B

Test 2: nueve puntos consecutivos en el mismo lado

Test 3: seis puntos consecutivos ascendentes odescendentes

arriba y abajoTest 4: catorce puntos consecutivos alternando

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona B

Zona C

Zona C

151050

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona C

Zona C

Zona B

IV - 3


GRÁFICO P________________________________________________________

Un gráfico P es un gráfico de control del porcentaje o fracción de unidades defectuosas (cociente entre el número de artículos defectuosos en una población y el número total de artículos de dicha población).

Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control P se basan en la distribución

Binomial: supóngase que el proceso de producción funciona de manera estable, de tal forma que la probabilidad de que cualquier artículo no esté conforme con las especificaciones es p, y que los artículos producidos sucesivamente son independientes; entonces, si seleccionamos k muestras aleatorias de n artículos del producto cada una, y representando por Xi al número de artículos defectuosos en la muestra i-ésima, tendremos que Xi ≈ B(n,p). • Sabemos que: y npxi =µ )1( pnpXi −=σ

• Para cada muestra, definimos la v.a. fracción disconforme muestral como: nX

p ii =ˆ . Observar que

seguirá una distribución Binomial con media y desviación típica: ip̂

[ ] [ ]p

nXE

pE ii ==ˆ y [ ] [ ]

npp

nXVar

pVar ii

)1(ˆ2

−==

• Por tanto,

− → ∞→ n

pppNp ni)1(,ˆ

• Según el modelo de Shewart tendremos que:

npppLIC

pnpppLSC

)1(3

central Línea

)1(3

−−=

=

−+=

• Si p es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimación se realizará a partir de las k

muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

∑=

=k

iipk

p1

ˆ1

• En caso de que el tamaño muestral (ni ) sea diferente para cada subgrupo, a la hora de calcular los límites

según el modelo de Shewart, podemos optar por:

1. Obtener los límites usando el ni asociado a cada muestra, con lo que las líneas de control no serán rectas (darán “saltos” arriba y abajo según ni disminuya o aumente),

2. Si los ni no difieren mucho unos de otros, podríamos tomar ∑=

=k

iink

n1

1.

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3. También se puede optar por tomar un n común e igual al mayor de los ni , con lo que obtendríamos unos límites de control bastante “sensibles”, ya que la amplitud de la franja que indica proceso en estado de control es inversamente proporcional al tamaño de la muestra.

En esta situación de tamaños muestrales diferentes, el estimador para p sería:

∑

∑

=

== k

ii

k

iii

n

pnp

1

1

ˆ

Normalmente se usan límites de control de tres sigmas en el diagrama de control P. Como ya comentamos en el capítulo anterior, el uso de límites de control más estrechos hacen que el diagrama de control sea más sensible a pequeños cambios en p, pero ello también hace aumentar la probabilidad de que se produzcan falsas alarmas de proceso fuera de control (error de tipo II).

Debe advertirse que este diagrama de control se basa en el modelo probabilístico binomial, en el cual se

supone que la probabilidad de ocurrencia de un artículo con disconformidad es constante, y que unidades sucesivas en la producción son independientes. Por otra parte, hay que tener cuidado con la interpretación de los puntos del diagrama de control que se hallan por debajo del límite inferior de control. Tales puntos no representan a menudo una mejora real en la calidad del proceso. Frecuentemente son el resultado de errores en el método de inspección o recogida de datos.

Ejemplo gráfico P: Supongamos que trabajamos en una planta que produce tubos de imagen para televisores. De cada lote producido se extraen algunos tubos y se procede a inspeccionarlos, clasificándolos en defectuosos y no defectuosos. Si alguno de los lotes presenta demasiados tubos defectuosos, se realiza una inspección del 100% de las unidades que lo componen. Un gráfico P nos permitirá, entre otras cosas, saber cuándo hemos de realizar una inspección completa. Usaremos los datos guardados en el archivo tubos.mtw : Seleccionar Stat > Control Charts > P...

Rellenar los campos como se indica:

IV - 5


0 10 20

0,0

0,1

0,2

0,3

Sample Number

Prop

ortio

n

P Chart for Defectuo

P=0,1685

3,0SL=0,3324

-3,0SL=0,004728

Dado que la muestra 6 cae fuera de la zona de control, sería conveniente realizar una inspección del 100% de los componentes del lote.

IV - 6


GRÁFICO NP______________________________________________________

El diagrama NP está basado en el número de unidades defectuosas. Este tipo de gráficos permite tanto analizar el número de artículos defectuosos como la posible existencia de causas especiales en el proceso productivo. Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control NP se basan en la distribución Binomial:

Supóngase que el proceso de producción funciona de manera estable, de tal forma que la probabilidad de que cualquier artículo no esté conforme con las especificaciones es p, y que los artículos producidos sucesivamente son independientes; entonces, si seleccionamos k muestras aleatorias de n artículos del producto cada una, y representando por Xi al número de artículos defectuosos en la muestra i-ésima, tendremos que Xi ≈ B(n,p). • Sabemos que: y npxi =µ )1( pnpXi −=σ

• Para cada muestra, definimos la v.a. fracción disconforme muestral como: nX

p ii =ˆ . Observar que

seguirá una distribución Binomial con media y desviación típica: ip̂

[ ] [ ]p

nXE

pE ii ==ˆ y [ ] [ ]

npp

nXVar

pVar ii

)1(ˆ2

−==

• Por tanto, ( ))1(,ˆ pnpnpNpn ni − → ∞→ • Según el modelo de Shewart tendremos que:

)1(3

central Línea)1(3

pnpnpLIC

nppnpnpLSC

−−=

=

−+=

• Si p es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimación se realizará a partir de las k

muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

∑=

=k

iipk

p1

ˆ1

• En caso de que el tamaño muestral (ni ) sea diferente para cada subgrupo, a la hora de calcular los límites

según el modelo de Shewart, podemos optar por:

IV - 7


1. Obtener los límites usando el ni asociado a cada muestra, con lo que las líneas de control no

serán rectas (darán “saltos” arriba y abajo según ni disminuya o aumente),


=k

iink

n1

1.

3. También se puede optar por tomar un n común e igual al mayor de los ni , con lo que obtendríamos unos límites de control bastante “sensibles”, ya que la amplitud de la franja que indica proceso en estado de control es inversamente proporcional al tamaño de la muestra.

En esta situación de tamaños muestrales diferentes, el estimador para p sería:

∑

∑

=

== k

ii

k

iii

n

pnp

1

1

ˆ

IV - 8


GRÁFICO C________________________________________________________

El diagrama C está basado en el número total de defectos (o no conformidades) en la producción. Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control C se basan en la distribución de Poisson:

Para construir el diagrama de control C empezamos por tomar k muestras X1, X2, ...,XK , de ni unidades

cada una, i.e.: Xi = (Xi1, ..., Xi ni ). Sea u el número esperado de unidades defectuosas en cada una de las muestras.

• Para cada muestra se calcula el número uij de defectos de la unidad Xij , j = 1,...,ni .

• Si denotamos por ci al número de defectos totales en la muestra i-ésima, es claro que . ∑=

=in

jiji uc

1

• Por otro lado, si denotamos por ui al valor esperado de defectos en la muestra i-ésima, tendremos que

∑=

=in

jij

ii un

u1

1. Observar pues que i

ii cn1

=u , i.e.: . iii nuc ⋅=

• Notar además que . [ ] [ ] [ ] unuEnnuEcE iiiiii ⋅≡⋅=⋅= • Es frecuente suponer que el número de defectos (sucesos no habituales) en una población grande sigue

una distribución de Poisson. En este caso, supondremos que ci ≈ Po(niu).

• Se cumplirá que ( )ununN iini ⋅⋅ → ∞→ ,c • Según el modelo de Shewart tendremos que:

ununLIC

unununLSC

ii

i

ii

⋅−⋅=

⋅=

⋅+⋅=

3

central Línea3

• Si u = E[ ui ] es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimación se realizará a partir de las

k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

∑=

=k

iiuk

u1

1ˆ

• Como el tamaño muestral (ni ) es diferente para cada subgrupo, a la hora de calcular los límites según el

modelo de Shewart, podemos optar por:



=k

iink

n1

1.

3. También se puede optar por tomar un n común e igual al mayor de los ni , con lo que

obtendríamos unos límites de control bastante “sensibles”, ya que la amplitud de la franja que indica proceso en estado de control es inversamente proporcional al tamaño de la muestra.

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Ejemplo gráfico C: Supongamos que trabajamos en una planta que produce sábanas blancas. Cada una de las piezas de tela producidas, a partir de las cuales se obtendrán las sábanas, será considerada como válida siempre que no tenga más de un número determinado de pequeñas manchas. Pretendemos generar un gráfico C que nos permita visualizar el número de manchas de cada pieza. Usaremos los datos guardados en el archivo sabanas.mtw : Seleccionar Stat > Control Charts > C...

Rellenar los campos como se indica:

0 10 20 30 40

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Sample Number

Sam

ple

Cou

nt

C Chart for Manchas

C=2,725

3,0SL=7,677

-3,0SL=0,00E+00

Dado que los puntos parecen seguir un patrón aleatorio y ninguno de ellos cae fuera de los límites de control de 3 sigma, podemos concluir que el proceso está bajo control.

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GRÁFICO U________________________________________________________

El diagrama U está basado en el número de defectos por unidad de inspección producida. Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control U se basan en la distribución de Poisson:

Para construir el diagrama de control U empezamos por tomar k muestras X1, X2, ...,XK , de ni unidades cada una, i.e.: Xi = (Xi1, ..., Xi ni ). Sea u el número esperado de unidades defectuosas en cada una de las muestras.

• Para cada muestra se calcula el número uij de defectos de la unidad Xij , j = 1,...,ni .

• Si denotamos por ci al número de defectos totales en la muestra i-ésima, es claro que . ∑=

=in

jiji uc

1

• Por otro lado, si denotamos por ui al valor esperado de defectos en la muestra i-ésima, tendremos que

∑=

=in

jij

ii un

u1

1. Observar pues que i

ii cn1

=u , i.e.: . iii nuc ⋅=

• Notar además que . [ ] [ ] [ ] unuEnnuEcE iiiiii ⋅≡⋅=⋅= • Es frecuente suponer que el número de defectos (sucesos no habituales) en una población grande sigue

una distribución de Poisson. En este caso, supondremos que ci ≈ Po(ni u).

• Se cumplirá que ( )ununN iini ⋅⋅ → ∞→ ,c y, por tanto,

→ ∞→

ini n

uuN ,u .

• Según el modelo de Shewart tendremos que:

i

i

nuuLIC

unuuLSC

3

central Línea

3

−=

=

+=

• Si u = E[ ui ] es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimación se realizará a partir de las

k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

∑=

=k

iiuk

u1

1ˆ

• Como el tamaño muestral (ni ) es diferente para cada subgrupo, a la hora de calcular los límites según el

modelo de Shewart, podemos optar por:



=k

iink

n1

1.

3. También se puede optar por tomar un n común e igual al mayor de los ni , con lo que

obtendríamos unos límites de control bastante “sensibles”, ya que la amplitud de la franja que indica proceso en estado de control es inversamente proporcional al tamaño de la muestra.

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EJEMPLOS DE APLICACIÓN_________________________________________ Ejemplo 1: Una compañía electrónica manufactura circuitos en lotes de 500 y quiere controlar la proporción de circuitos con fallos. Con este fin examina 20 lotes, obteniendo en cada lote el número de circuitos defectuosos que se indican en el archivo circuitos.mtw . Pretendemos analizar si el proceso está bajo control estadístico a partir de un gráfico P:

20100

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

Sample Number

Prop

ortio

n

P Chart for defectuo

P=0,02000

3,0SL=0,03878

-3,0SL=0,001217

1

TEST 1. One point more than 3,00 sigmas from center line. Test Failed at points: 2

Se observa que ha fallado el contraste 1 para causas especiales, lo cual indica que el proceso está fuera de control estadístico.

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Ejemplo 2: Una compañía textil utiliza un gráfico del número de defectos por unidad para controlar el número de defectos por metro cuadrado de tejido. El tejido se presenta en rollos de un metro de anchura y longitud variable, definiéndose la unidad de inspección como un metro cuadrado de tejido. Tras la inspección de 25 rollos se obtuvieron los datos de superficie (en metros cuadrados) y número de defectos por rollo almacenados en el archivo textil.mtw . Se pretende analizar si el proceso está o no bajo control usando un gráfico U.

2520151050

0,7

0 ,6

0 ,5

0 ,4

0 ,3

0 ,2

0 ,1

0 ,0

Sam ple Num ber

Sam

ple

Cou

nt

U Chart for defectos

U =0,2880

3 ,0SL=0 ,5740

-3 ,0SL=0,002076

A partir del gráfico anterior se concluye que el proceso parece estar bajo control estadístico, ya que no se observan problemas de puntos fuera de control, tendencias, ciclos, etc. Ejemplo 3: Se utiliza un gráfico del número de defectos C para controlar el número de automóviles con pintura defectuosa en nuevas series fabricadas recientemente. 20 series del mismo modelo son inspeccionadas y el número de automóviles con pintura defectuosa se ha registrado en el archivo autos.mtw . Estudiar si el proceso está o no bajo control.

0 1 0 2 0

0

5

1 0

1 5

S am ple Num ber

Sam

ple

Cou

nt

C C h a rt fo r d e fe c tu o

C = 6 ,2 0 0

3 ,0 S L = 1 3 ,6 7

-3 ,0 S L = 0 ,0 0 E + 0 0

1

A partir del gráfico anterior, se observa que el proceso no parece estar bajo control estadístico.

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