REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD DEL ZULIA

FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE POSTGRADO

PROGRAMA DE POSTGRADO EN INGENIERÍA DE PETRÓLEO

DESARROLLO DE UN PROGRAMA DE COMPUTACIÓN PARA GENERAR LA CURVA DE AFLUENCIA PARA POZOS PRODUCTORES

DE PETRÓLEO O GAS

Trabajo de Grado como requisito para optar al Grado Académico de

MAGÍSTER SCIENTIARUM EN INGENIERÍA DE PETRÓLEO

AUTOR: ING. IBONNE DEL VALLE MEJIAS GUIZA TUTOR: DR. RICHARD MÁRQUEZ

Maracaibo, Junio de 2008

APROBACIÓN

Este jurado aprueba el Trabajo de Grado titulado DESARROLLO DE UN PROGRAMA DE COMPUTACIÓN PARA GENERAR LA CURVA DE AFLUENCIA PARA POZOS PRODUCTORES DE PETRÓLEO O GAS que Ibonne del Valle Mejias Guiza, C.I.:13.682.069 presenta ante el Consejo Técnico de la División de Postgrado de la Facultad de Ingeniería en cumplimiento del Articulo 51, Parágrafo 51.6 de la Sección Segunda del Reglamento de Estudios para Graduados de la Universidad del Zulia, como requisito para optar al Grado Académico de

MAGÍSTER SCIENTIARUM EN INGENIERÍA DE PETRÓLEO

________________________ Coordinador del Jurado

Richard Márquez C. I.: 8.504.433

_______________________ ______________________ Orlando Zambrano Ignacio Romero

C. I.: 7.548.612 C. I.: 9.929.733

_____________________________ Directora de la División de Postgrado

Gisela Páez

Maracaibo, Junio de 2008

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Mejias Guiza Ibonne del Valle. Desarrollo de un programa de computación para generar la curva de afluencia para pozos productores de petróleo o gas. (2008) Trabajo de Grado. Universidad del Zulia. Facultad de Ingeniería. División de Postgrado. Maracaibo, Tutor: Dr. Richard Márquez.

RESUMEN

Durante la vida productiva de un pozo de petróleo o gas, se requiere optimizar la producción del mismo. Para ello, existen herramientas sofisticadas que requieren de cierta información que no es fácil obtener por parte del ingeniero. Por otra parte, se han realizado una serie de estudios bajo diferentes condiciones de flujo, de acuerdo al tipo de completación del pozo y del fluido del yacimiento, que permiten establecer métodos IPR y así, estimar la capacidad de aporte del yacimiento. En conjunto con la energía que demanda la instalación, el ingeniero puede utilizar la técnica de análisis nodal para estimar la productividad del pozo y su condición de producción actual. Algunos de estos métodos sencillos, prácticos y fáciles de usar que requieren de poca información, han sido programados en simuladores comerciales. No obstante, estos simuladores no poseen una gran variedad de métodos en su librería por lo que limita su utilización a ciertas condiciones. De allí, la importancia de desarrollar un programa de computación que permita generar de forma rápida y eficiente, la curva de afluencia para pozos productores de petróleo o gas. Para llevar a cabo el desarrollo del programa, se realizó la revisión bibliográfica, análisis y clasificación de los métodos IPR, programación de los procedimientos y la validación de los mismos. Parte de la programación se realizó en base a la metodología y técnicas para el desarrollo de sistemas de información; tomando en cuenta las necesidades de los ingenieros, quienes son los usuarios finales del programa. El programa IPR desarrollado es versátil e integra de manera práctica una variación de métodos para generar curvas IPR, facilitando al usuario las herramientas necesarias para estimar la capacidad de producción de un pozo de petróleo y/o gas. Palabras Clave: Curva de afluencia, métodos IPR, análisis nodal, programa de computación, sistema de información. E-mail del autor: mejiasid@gmail.com

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Mejias Guiza Ibonne del Valle. Development of a computation program to generate the curve of affluence for producing petroleum or gas wells. (2008) Trabajo de Grado. Universidad del Zulia. Facultad de Ingeniería. División de Postgrado. Maracaibo, Tutor: Dr. Richard Márquez.

ABSTRACT

During the productive life of a gas or oil well, it is required to optimize the production of the same. For it, sophisticated tools exist that they require of certain information that is not easy to obtain on the part of the engineer. On the other hand, a series of studies under different conditions of flow has been realized, according to the type of completation of the well and the fluid of the reservoir, that allow to establish IPR methods thus and, to consider the capacity of contribution of the reservoir. Altogether with the energy that demands the installation, the engineer can use the technique of nodal analysis to consider the productivity of the well and its condition of present production. Some of these methods simple, practical and easy to use that they require of little information, have been programmed in commercial simulators. However, these simulators do not own a great variety of methods in their bookstore reason why it limits his use certain conditions. Of there, the importance of developing a computation program that allows to generate of fast and efficient form, inflow performance relationships for producing petroleum wells or gas. In order to carry out the development of the program, it was realized the bibliographical revision, analysis and classification of IPR methods, programming of the procedures and the validation of the same. Part of the programming was realized on the basis of the methodology and techniques for the development of information systems; taking into account the needs from the engineers, who are the end users of the program. Developed IPR program is versatile and integra of way practical a variation of methods to generate IPR curves, facilitating to the user the tools necessary to consider the capacity of production of a gas and/or oil well.. Key Words: Inflow performance relationships, IPR methods, nodal analysis, program of computation, information system. Author’s e-mail: mejiasid@gmail.com

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TABLA DE CONTENIDO

Página RESUMEN .......................................................................................................................3

ABSTRACT ......................................................................................................................4

AGRADECIMIENTO.........................................................................................................5

TABLA DE CONTENIDO .................................................................................................6

LISTA DE TABLAS.........................................................................................................10

LISTA DE FIGURAS ......................................................................................................12

LISTA DE SÍMBOLOS....................................................................................................16

INTRODUCCIÓN ...........................................................................................................24

CAPÍTULO I ...................................................................................................................26

1.1. Descripción del problema.................................................................................26

1.2. Objetivos ..........................................................................................................26

1.2.1. General .....................................................................................................26

1.2.2. Específicos ...............................................................................................26

1.3. Justificación .....................................................................................................27

1.4. Delimitación .....................................................................................................28

CAPÍTULO II ..................................................................................................................29

2.1. Antecedentes ...................................................................................................29

2.2. Bases Teóricas ................................................................................................33

2.2.1. Algoritmo...................................................................................................33

2.2.2. Análisis nodal............................................................................................34

2.2.3. Código fuente............................................................................................34

2.2.4. Compilador ...............................................................................................34

2.2.5. Correlación de flujo multifásico .................................................................34

2.2.6. Curva de afluencia de un pozo .................................................................34

2.2.7. Curva de oferta .........................................................................................34

2.2.8. Curva IPR .................................................................................................34

2.2.9. Factor de recobro......................................................................................35

2.2.10. Pozo productor de gas ..........................................................................35

2.2.11. Pozo productor de petróleo ...................................................................35

2.2.12. Sistema de Información.........................................................................35

2.2.13. Índice de productividad .........................................................................35

7

2.2.14. Completación del pozo..........................................................................35

2.2.15. Interfaz gráfica.......................................................................................35

2.2.16. Modelado de un pozo............................................................................35

2.2.17. Optimizar un pozo .................................................................................36

2.2.18. Programa de computación ....................................................................36

2.2.19. Software ................................................................................................36

2.2.20. Usuario ..................................................................................................36

2.2.21. Variable .................................................................................................36

2.2.22. Yacimiento.............................................................................................36

2.3. Ley de Darcy....................................................................................................36

2.4. Ecuación diferencial básica para flujo radial ....................................................43

2.4.1. Condición transiente .................................................................................47

2.4.2. Condición de estado semi-estable ............................................................48

2.4.3. Condición de estado estable.....................................................................55

2.5. Ecuaciones del comportamiento de afluencia para yacimientos de petróleo ...56

2.5.1. Pozos Verticales .......................................................................................57

2.5.1.1. Correlación de Vogel .........................................................................57

2.5.1.2. Método de Fetkovich. ........................................................................61

2.5.1.3. Método de Jones, Blount y Glaze ......................................................65

2.5.1.4. Correlación de Klins y Majcher. .........................................................67

2.5.1.5. Correlación de Wiggins, Rusell y Jennings........................................69

2.5.1.6. Correlación de Wiggins......................................................................75

2.5.1.7. Correlación de Sukarno y Tobing ......................................................77

2.5.1.8. Método de Caicedo............................................................................80

2.5.2. Pozos horizontales....................................................................................86

2.5.2.1. Modelo de Joshi.................................................................................86

2.5.2.2. Modelo de Babu y Odeh. ...................................................................92

2.5.2.3. Correlación de Bendakhlia y Aziz ......................................................96

2.5.2.4. Correlación de Cheng. .......................................................................98

2.5.2.5. Método de Kabir. ...............................................................................99

2.5.2.6. Modelo de Butler..............................................................................103

2.5.2.7. Correlación de Retnanto y Economides ..........................................104

2.5.2.8. Ecuación de Furui............................................................................108

8

2.5.2.9. Vogel modificado. ............................................................................109

2.5.2.10. Correlación de Wiggins y Wang.......................................................112

2.6. Ecuaciones del comportamiento de afluencia para yacimientos de gas ........114

2.6.1. Pozos Verticales .....................................................................................114

2.6.1.1. Ecuación de Forchheimer. ...............................................................114

2.6.1.2. Ecuación Rawlins y Schellhardt.......................................................115

2.6.1.3. Método de Cullender .......................................................................117

2.6.1.4. Método de Jones, Blount y Glaze: ...................................................119

2.6.1.5. Correlación de Mishra y Caudle.......................................................119

2.6.1.6. Correlación de Chase y Alkandari. ..................................................122

2.6.2. Pozos Horizontales .................................................................................124

2.6.2.1. Ecuación de Joshi............................................................................124

2.6.2.2. Ecuación de Babu y Odeh ...............................................................128

2.6.2.3. Ecuación de Butler...........................................................................130

2.6.2.4. Ecuación de Furui............................................................................130

2.6.2.5. Correlación de Billiter, Lee y Chase.................................................130

2.6.2.6. Correlación de Chase y Steffy. ........................................................132

2.6.2.7. Correlación de Akhimiona y Wiggins. ..............................................134

2.7. Ecuaciones del comportamiento de afluencia para yacimientos de gas

condensado ..............................................................................................................136

2.7.1. Pozos Verticales y Horizontales..............................................................136

2.7.1.1. Correlación de Jokhio y Tiab ...........................................................136

2.8. Ecuaciones del comportamiento de afluencia para casos especiales............144

2.8.1. Ecuación de Vogel/Standing...................................................................144

2.8.2. Método de Fetkovich...............................................................................147

2.8.3. Método de Kelkar....................................................................................148

2.8.4. Método de Klins y Clark III ......................................................................155

2.8.5. Correlación de Wiggins...........................................................................156

2.8.6. Modelo de Guo .......................................................................................158

2.8.7. Correlación de Wiggins y Wang..............................................................160

2.8.8. Correlación de Mishra y Caudle..............................................................162

2.9. Flujo multifásico en tuberías verticales ..........................................................163

2.9.1. Correlación de Duns. ..............................................................................163

9

2.9.2. Correlación de Duns y Ros .....................................................................172

2.9.3. Correlación de Hagedorn y Brown..........................................................179

2.9.4. Correlación de Orkiszewski ....................................................................183

CAPITULO III ...............................................................................................................193

3.1. Recopilación Bibliográfica y Clasificación de los Métodos IPR. .....................193

3.1.1. Tipo de fluido en el yacimiento................................................................194

3.1.2. Tipo de completación en el pozo. ...........................................................194

3.2. Realización de las Hojas de Cálculo. .............................................................194

3.3. Programación de WellPerf IPR ......................................................................195

3.3.1. Selección del lenguaje de programación ................................................195

3.3.2. Diseño y procedimiento de cada módulo ................................................196

3.3.3. Metodología y técnica para el desarrollo de sistema de información......197

3.4. Compilación y Evaluación del programa WellPerf IPR...................................200

3.4.1. Instalación del programa.........................................................................200

3.4.2. Verificación de los cálculos matemáticos................................................200

3.4.3. Errores durante las simulaciones............................................................200

CAPITULO IV ...............................................................................................................202

4.1. Clasificación de los métodos IPR...................................................................202

4.2. Rangos de aplicación de los métodos IPR.....................................................204

4.3. Estructuración del programa computarizado..................................................215

4.4. Validación del programa WellPerf IPR...........................................................223

4.4.1. Banco de Pruebas ..................................................................................224

4.4.2. Validación de los cálculos matemáticos. ................................................227

CONCLUSIONES.........................................................................................................241

RECOMENDACIONES ................................................................................................242

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS ...............................................................................243

10

LISTA DE TABLAS

Página Tabla 1. Rango de los datos usados en el estudio (Klins y Majcher, 1992). ..................67

Tabla 2. Constantes de la Ec. 2.123 para perforación sobre-balance (Sukarno y Tobing,

1995). .............................................................................................................................79

Tabla 3. Constantes de la Ec. 2.123 para perforación bajo-balance (Sukarno y Tobing,

1995). .............................................................................................................................80

Tabla 4. Coeficientes de regresión para pozos horizontales e inclinados (Cheng, 1990).

.......................................................................................................................................99

Tabla 5. Propiedades de la roca y fluido para el desarrollo de las IPR (Retnanto y

Economides, 1998). .....................................................................................................105

Tabla 6. Factores de forma para diferentes configuraciones de pozos sencillos y

multilaterales (Retnanto, 1996 y Economides, 1996). ..................................................107

Tabla 7. Valores del coeficiente de agotamiento (Wiggins y Wang, 2005)...................114

Tabla 8. Coeficientes de agotamiento para distintas etapas de agotamiento usando el

análisis de presión al cuadrado (Akhimiona y Wiggins, 2005). ....................................135

Tabla 9. Coeficientes de agotamiento para distintas etapas de agotamiento usando el

análisis de pseudo-presión (Akhimiona y Wiggins, 2005). ...........................................136

Tabla 10. Ecuaciones, correlaciones y métodos para generar la curva IPR. ...............203

Tabla 11. Ecuaciones, correlaciones y métodos usados en casos especiales.............204

Tabla 12. Rango de aplicabilidad de los métodos IPR para pozos de petróleo

completados en forma vertical......................................................................................204

Tabla 13. Rango de aplicabilidad de los métodos IPR para pozos de petróleo

completados en forma horizontal. ................................................................................208

Tabla 14. Rango de aplicabilidad de los métodos IPR para pozos de gas completados

en forma vertical...........................................................................................................211

Tabla 15. .Rango de aplicabilidad de los métodos IPR para pozos de gas completados

en forma horizontal.......................................................................................................212

Tabla 16. Rango de aplicabilidad de los métodos IPR en casos especiales. ...............214

Tabla 17. Tipos de pruebas de flujo para cada método IPR. .......................................228

Tabla 18. Caso base 1 y 2, de acuerdo al tipo de prueba. ...........................................228

Tabla 19. Número de casos bases de acuerdo al tipo de método IPR.........................234

11

Tabla 20. Casos bases relacionados de acuerdo al método IPR. ................................236

Tabla 21. Caso base 10 para el método de Cullender. ................................................237

Tabla 22. Casos bases con las variables involucradas en cada método IPR ..............239

12

LISTA DE FIGURAS

Pagina Figura 1. Esquema del equipo experimental de Darcy (Dake, 1986). ............................37

Figura 2. Aparato de Darcy con un ángulo de orientación, respecto a la horizontal

(Dake, 1986)...................................................................................................................38

Figura 3. Flujo radial en un pozo de petróleo bajo condiciones de flujo de estado estable

(Dake, 1986)...................................................................................................................41

Figura 4. Flujo radial de un fluido en la vecindad de un pozo productor (Dake, 1986)...44

Figura 5. Flujo radial para la condición de estado semi-estable (Dake, 1986). ..............48

Figura 6. Distribución de presión y la geometría apropiada para la solución de la

ecuación de difusividad radial bajo condiciones de estado semi-estable (Dake, 1986). 49

Figura 7. (a) Factores de forma para áreas de drenaje cerrado con relaciones bajas. (b)

Factores de forma para áreas de drenaje cerrado con relaciones altas (Dietz, 1965). ..54

Figura 8. Flujo radial bajo condición de estado estable (Dake, 1986). ...........................56

Figura 9. Curva del comportamiento de afluencia para un pozo (Ahmed y McKinney,

2005). .............................................................................................................................58

Figura 10. Función de presión en un yacimiento de petróleo saturado (Fetkovich, 1973).

.......................................................................................................................................63

Figura 11. Análisis de pruebas de flujo: (a) estabilizada, y (b) isocronal (Jones, Blount y

Glaze, 1976)...................................................................................................................67

Figura 12. Esquemas del volumen de drenaje para un pozo: (a) vertical (cilíndrica), y (b)

horizontal (elipsoidal) (Joshi, 1988)................................................................................87

Figura 13. División del problema del pozo horizontal en dos problemas (Joshi, 1988). .87

Figura 14. Esquema del flujo potencial en un pozo horizontal: (a) plano horizontal, y (b)

plano vertical (Joshi, 1988).............................................................................................88

Figura 15. Ubicación de los parámetros físicos del modelo (Babu y Odeh, 1989). ........93

Figura 16. Parámetros V y n versus el factor de recobro de una curva ajustada con la

nueva ecuación (Bendakhlia y Aziz, 1989).....................................................................98

Figura 17. Geometría del modelo de Butler, vista en 3D (Butler, 1994). ......................103

Figura 18. Geometría del modelo de Butler, corte trasversal del yacimiento (Butler,

1994). ...........................................................................................................................103

13

Figura 19. Modelo del yacimiento para la ecuación de Helmy & Wattenbarger (Helmy &

Wattenbarger, 1998). ...................................................................................................109

Figura 20. Prueba multipunto donde se muestra el desempeño de un pozo (Rawlins y

Schellhardt, 1936). .......................................................................................................116

Figura 21. Prueba convencional de flujo tras flujo (Ahmed y McKinney, 2005)............117

Figura 22. Curvas isocronales de un pozo de gas (Cullender, 1955)...........................118

Figura 23. Comportamiento de la fase de fluidos condesados (Jokhio y Tiab, 2002). .137

Figura 24. Tres regiones que se forman en un pozo vertical produciendo de un

yacimiento de gas condensado (Jokhio y Tiab, 2002)..................................................138

Figura 25. Tres regiones indicando: flujo de dos fases alrededor de un pozo horizontal,

flujo de una fase con líquido y flujo de gas en la región más lejana (Jokhio y Tiab, 2002).

.....................................................................................................................................138

Figura 26. Perfil de presión del pozo con daño en un área de drenaje circular (Standing,

1970). ...........................................................................................................................145

Figura 27. Comportamiento de afluencia para un mismo pozo a distintas eficiencias de

flujo usando la ecuación de Vogel. (a) curvas adimensionales, (b) curvas IPR. ..........146

Figura 28. Curvas IPR para pozo con daño y estimulación produciendo en un

yacimiento con empuje por gas en solución (Standing, 1970). ....................................147

Figura 29. Relación entre kro/μoβo y presión (Kelkar, 1985)..........................................150

Figura 30. Método de Uhri-Blount (Kelkar, 1985). ........................................................152

Figura 31. Correlación para estimar los parámetros 1L y 2L (Ros, 1960)....................166

Figura 32. Correlación para estimar el parámetros 3L (Ros, 1960). ............................166

Figura 33. Correlación para estimar el parámetro 4L (Ros, 1960). ..............................167

Figura 34. Correlación para estimar los parámetros 1F , 2F , 3F y 4F (Ros, 1960).........168

Figura 35. Correlación para estimar los parámetros 5F , 6F y 7F (Ros, 1960). .............169

Figura 36. Correlación para estimar el factor 2f (Ros, 1961). ......................................171

Figura 37. Diagrama de Moody (Brill, Hagedorn y Brown, 1966). ................................171

Figura 38. Mapa de Patrones de Flujo en Tubería Vertical (Duns y Ros, 1963). .........174

Figura 39. Efecto de la viscosidad líquida sobre WeN , como una función de μN (Duns y

Ros, 1963)....................................................................................................................177

Figura 40. Correlación de para estimar LCN (Hagedorn y Brown, 1965). .....................181

14

Figura 41. Correlación para estimar Ψ/HL (Hagedorn y Brown, 1965).......................182

Figura 42. Correlación para estimar Ψ (Hagedorn y Brown, 1965). .............................182

Figura 43. Correlación para estimar 1'C (Griffith y Wallis, 1961)..................................187

Figura 44. Correlación para estimar 2C (Griffith y Wallis, 1961). .................................188

Figura 45. Discontinuidades del Coeficiente de Distribución Liquida Γ . ......................191

Figura 46. Esquema con la clasificación de los métodos para generar la curva IPR. ..203

Figura 47. Ventana principal del programa WellPerf IPR. ............................................216

Figura 48. Ventana de datos generales del programa WellPerf IPR. ...........................217

Figura 49 Ventana de datos PVT del programa WellPerf IPR......................................218

Figura 50. Ventana de Curva IPR del programa WellPerf IPR. ....................................219

Figura 51. Las ventanas del método de Jones, Blount y Glaze, y la correlación de Vogel.

.....................................................................................................................................220

Figura 52. Las ventanas del método de la Ecuación de estado semi-estable y la

correlación de Sukarno y Tobing..................................................................................220

Figura 53. Las ventanas del método de la Correlación de Klins y Clark y la correlación

de Retnanto y Economides. .........................................................................................221

Figura 54. Las ventanas del método de la Correlación de Vogel modificado y la

correlación de Wiggins y Wang. ...................................................................................221

Figura 55. Ventana de la curva de afluencia que genera el programa WellPerf IPR....222

Figura 56. Ventana de Curva IPR/OPR del programa WellPerf IPR. ...........................223

Figura 57. Ventanas que muestran los mensajes de error cuando el usuario deja

espacios en blanco o introduce valores negativos en los cuadros de texto. ................225

Figura 58. Se muestra una ventana cuando solicita guardar el archivo con un nombre

nuevo, y una ventana cuando quiere sobrescribir un archivo existente. ......................226

Figura 59. Comparación de las curvas IPR para el método de Vogel. .........................229

Figura 60. Comparación de las curvas IPR para el método de Fetkovich. ...................229

Figura 61. Comparación de las curvas IPR para el método de Jones, Blount y Glaze.230

Figura 62. Curva del comportamiento de afluencia para los casos bases 1 y 2...........231

Figura 63. Curva del comportamiento de afluencia para condiciones futuras. .............231

Figura 64. Comparación entre las correlaciones de Sukarno y Tobing, y Wiggins y col.

.....................................................................................................................................233

Figura 65. Comparación entre modelos del caso base 5, para flujo de una fase. ........235

15

Figura 66. Comparación entre las correlaciones del caso base 5, para flujo de dos

fases.............................................................................................................................235

Figura 67. Comparación entre las curvas de afluencia obtenidas por el programa

WellPerf IPR y la hoja de cálculo. ................................................................................238

Figura 68. Comparación entre la curva de afluencia de la simulación y la hoja de cálculo

para la correlación de Billiter, Lee y Chase. .................................................................239

Figura 69. Comparación entre las curvas del comportamiento de afluencia de los

métodos IPR.................................................................................................................240

16

LISTA DE SÍMBOLOS

ºAPI: Gravedad API del petróleo, adimensional

a: Mitad del eje mayor del drenaje elíptico, pie

a’: Constante en el método de Kelkar

ao, a1, a2: Constantes de la correlación de Sukarno

apss: Coeficiente de la ecuación de Houpeurt, lpca2/(cp-MPCND)

A: Área de drenaje, pie2

A*: Área seccional perpendicular al flujo, pie2

Aeq: Área equivalente de drenaje, pie2

AH: Área de drenaje para un pozo horizontal, a h, pie2

At: Área seccional, pie2

b’: Constante en el método de Kelkar

bo, b1, b2: Constantes de la correlación de Cheng

bpss: Coeficiente de la ecuación de Houpeurt, lpca2/(cp-(MPCND)2)

β: Factor volumétrico, 3L Y/ 3L N

β*: Factor de turbulencia

β*d: Factor de turbulencia en la zona con daño

βg: Factor volumétrico del gas, PCY/PCN

βo: Factor volumétrico del petróleo, BY/BN

oβ : Factor volumétrico del petróleo, BY/BN

βw: Factor volumétrico del agua, BY/BN

c: Compresibilidad isotérmica

C*: Coeficiente de desempeño

C: Coeficiente de flujo laminar para pozos de gas o de petróleo, lpca2/BNPD o lpca/BNPD

CA: Factor de forma de acuerdo al área de drenaje, adimensional

CA,CC: Factor de forma a condición de caudal constante, adimensional

CA,PC: Factor de forma a condición de presión constante, adimensional

CH: Factor de forma, adimensional

Cresbalamiento: Fracción de resbalamiento, adimensional

17

Ct: Compresibilidad total, lpca-1

d: Exponente polinómico, adimensional

d*: Coeficiente de agotamiento en la correlación de Wiggins y Wang

dT: Diámetro de la tubería, pie

D: Coeficiente de turbulencia para pozos de gas o de petróleo, lpca2/BNPD2 o lpca/BNPD2

ξ: Rugosidad de la tubería, pie

EF: Eficiencia de flujo

f: Factor de fricción, adimensional

fw: Fracción de agua, adimensional

FR: Factor de recobro, adimensional

g: Gravedad, 32.17 pie2/s

Gr: Gradiente de presión del líquido, lpca/pie

h: Espesor de la arena, pie

heq: Espesor equivalente de la formación a condición de presión constante, pie

hp: Espesor del intervalo perforado, pie

H*: Nivel manométrico

H: Profundidad, pie

J: Índice de productividad, BNPD/lpca

J’: Índice de productividad en el método de Fetkovich, BNPD/lpca

Jb: Índice de productividad en el punto de burbuja, BNPD/lpca

JCC: Índice de productividad a condición de caudal constante, BNPD/lpca

JPC: Índice de productividad a condición de presión constante, BNPD/lpca

k: Permeabilidad de la formación, md

k : Permeabilidad promedio de la formación, md

ke: Permeabilidad efectiva, adimensional

keq: Permeabilidad equivalente de la formación, md

kc: Permeabilidad de la zona compacta, md

ko: Permeabilidad efectiva de petróleo, md

krg: Permeabilidad relativa al gas, adimensional

18

kro: Permeabilidad relativa al petróleo, adimensional

krw: Permeabilidad relativa al agua

kw: Permeabilidad efectiva del agua, md

kx: Permeabilidad en la dirección x (permeabilidad horizontal), md

kx,d: Permeabilidad de la zona dañada en la dirección x (permeabilidad horizontal), md

ky: Permeabilidad en la dirección y (permeabilidad vertical), md

kz: Permeabilidad en la dirección z, md

kz,d: Permeabilidad de la zona dañada en la dirección z, md

K: Constante de acuerdo al tipo de arena en la Ley de Darcy

l: Longitud total del paquete de arena

L: Longitud del pozo horizontal o inclinado, pie

L*: Longitud del patrón de flujo, pie

Leq: Longitud equivalente del pozo, pie

Lp: Longitud del cañoneo, pie

Lw: Mitad de la longitud del pozo, pie

Lx: Longitud del pozo en la dirección x, pie

Ly: Longitud del pozo en la dirección y, pie

m: Masa

m(P): Presión de pseudo presión en un gas real, lpca2/cp

n: Exponente de flujo, adimensional

n*: Coeficiente de la correlación de Billiter, Lee y Chase

nb: Exponente de flujo en el punto de burbuja, adimensional

np: Numero de cañoneos

Nciclopordía: Número de ciclos por día

Φ: Energía potencial de flujo

ρ: Densidad del fluido, M/L3

ρg: Densidad del gas, 3pie/lbm

ρl: Densidad del líquido, 3pie/lbm

ρns: Densidad de la mezcla sin deslizamiento, 3pie/lbm

19

ρs: Densidad de la mezcla con deslizamiento, 3pie/lbm

p: Exponente en la correlación de Retnanto y economides

P : Presión promedio de la formación en el límite del volumen de drenaje, lpca

P: Presión

P Presión promedio del yacimiento, lpca

P*: Presión a la saturación líquida crítica, lpca

Pb: Presión en el punto de burbuja, lpca

Pc: Presión en la zona compactada, lpca

Pca: Presión a condiciones atmosféricas, lpca

Pcvo: Presión de apertura de la válvula, lpca

Pcvc: Presión de cierre de la válvula, lpca

Pe: Presión de la formación en el límite del volumen de drenaje, lpca

Pd: Presión de rocío, lpca

Phy: Presión hidráulica, lpca

Pi: Presión inicial de la formación, lpca

Ptop: Presión sobre la columna, lpca

Pp: Presión en el cañoneo, lpca

Pwf: Presión de fondo fluyente, lpca

Pwf’: Presión de fondo fluyente en un pozo sin daño, lpca

Pwf,h: Presión de fondo fluyente en un pozo horizontal, lpca

Pwf,v: Presión de fondo fluyente en un pozo vertical, lpca

Pws: Presión de cierre de la prueba, en el método de Cullender, lpca

q: Caudal de flujo, BNPD

qg: Caudal de gas, MPCND

qgs: Caudal de gas a condiciones estándar, PCND

qg,max: Caudal máximo de gas, MPCND

qliq,yacimiento: Caudal de líquido del yacimiento, BPD

qL: Caudal líquido, BNPD

qmax,lineal: Caudal máximo de flujo para influjo lineal, BPD

20

qmax,V: Caudal máximo para la correlación de Vogel, BPD

qo: Caudal de petróleo, BNPD

qob: Caudal de petróleo en el punto de burbuja, BNPD

qo,h: Caudal de petróleo en un pozo horizontal, BNPD

qov: Caudal de petróleo usando Vogel, BNPD

qo,v: Caudal de petróleo en un pozo vertical, BNPD

qo,max: Caudal máximo de producción a 100% caída de presión, BNPD

qo,maxF: Caudal máximo por el método de Fetkovich, BNPD

qo,maxV: Caudal máximo de producción a 100% caída de presión, usando Vogel, BNPD

qs: Caudal de sólido, PCND

qw: Caudal de agua, BNPD

qw,max: Caudal máximo de agua, BNPD

Qmax: Caudal máximo de flujo a condición de hueco abierto, BNPD

r: Radio

rd: Radio de la zona con daño, pie

re: Radio de drenaje, pie

reH: Radio de drenaje de un pozo horizontal, pie

rf: Radio de la fractura uniforme, pie

rw: Radio del pozo, pie

rwa: Radio aparente del pozo, pie

rwe: Radio efectivo del pozo, pie

rw,eq: Radio equivalente del pozo, pie

Ro: Solución del petróleo en el gas, BN/PCN

Rs: Solubilidad del gas en el petróleo, MPCN/BN

Rvalv: Relación de área del puerto del fuelle de la válvula

RAP: Relación agua-petróleo, BN/BN

RGL: Relación gas-líquido, PCN/BN

RGP: Relación gas-petróleo, PCN/BN

s: Factor de daño de la formación, adimensional

21

s’: Daño efectivo de la formación, adimensional

sCC: Efecto de daño a condición de caudal constante, adimensional

sf: Efecto de daño debido al cambio de la permeabilidad de la formación, adimensional

sd: Efecto de daño debido a la zona dañada/estimulada, adimensional

se: Efectos de excentricidad en la dirección vertical, adimensional

sm: Efecto de daño mecánico, adimensional

sR: Efecto de daño debido a la penetración parcial, adimensional

ssw: Efecto de daño debido a la inclinación del pozo, pie

sPC: Efecto de daño a condición de presión constante, adimensional

sx: Efecto de daño del componente vertical, adimensional

S: Velocidad de deslizamiento adimensional

So: Saturación de petróleo, adimensional

Sg: Saturación de gas, adimensional

Sgc: Saturación de gas crítica, adimensional

Sor: Saturación de gas residual, adimensional

Swc: Saturación de agua connata, adimensional

t: Tiempo

tDA: Tiempo adimensional basada en el área de drenaje

T: Temperatura de la formación, ºR

Tacum: Tiempo de acumulación, min

Tca: Temperatura a condiciones atmosféricas, ºR

Tciclo: Tiempo total de ciclo, min

u: Velocidad de flujo

V: Volumen, 3L

Vcol: Volumen asociado de la columna, pie3

V*: Coeficiente variable para la correlación de Vogel

Vb: Velocidad de ascenso de una burbuja, pie/s

Vm: Velocidad de la mezcla, pie/s

Vs: Velocidad de deslizamiento, pie/s

22

Vsg: Velocidad de la fase de gas, pie/s

Vsl: Velocidad de la fase líquida, pie/s

x: Longitud del yacimiento, pie

xe: Extensión del volumen de drenaje en un pozo horizontal en la dirección x, pie

xe,eq: Extensión equivalente del volumen de drenaje en un pozo horizontal en la dirección x, pie

xo: Coordenada x del centro del pozo, pie

xw: Mitad de la extensión del volumen de drenaje en un pozo horizontal en la dirección x, pie

xw,eq: Mitad equivalente de la extensión del volumen de drenaje en un pozo horizontal en la dirección x, pie

y: Ancho del yacimiento, pie

y1: Coordenada y del comienzo del pozo, pie

y2: Coordenada y del final del pozo, pie

yb: Mitad del ancho del yacimiento, pie

ye: Extensión del volumen de drenaje en un pozo horizontal en la dirección y, pie

ye,eq: Extensión equivalente del volumen de drenaje en un pozo horizontal en la dirección y, pie

ymid: Localización media a lo largo del pozo horizontal, pie

yw: Mitad de la extensión del volumen de drenaje en un pozo horizontal en la dirección y, pie

yw,eq: Mitad equivalente de la extensión del volumen de drenaje en un pozo horizontal en la dirección y, pie

Y: Columna, pie

Yacum: Columna acumulada, pie3

Ymax: Máxima columna alcanzada a la presión de yacimiento, pie

Yo: Columna inicial, pie

Yperf: Profundidad del cañoneo, pie

Yvalv: Profundidad de la válvula, pie

z: Altura relativa al datum del plano

zo: Coordenada z del centro del pozo, pie

zw: Distancia vertical entre el centro del yacimiento y la ubicación del pozo horizontal, pie

zw,eq: Mitad equivalente de la extensión del volumen de drenaje en un pozo horizontal en la dirección z, pie

23

Z: Factor de compresibilidad, adimensional

Zca: Factor de compresibilidad a condiciones atmosféricas, adimensional

μ: Viscosidad del fluido, cp

μg: Viscosidad del gas, cp

μl: Viscosidad de la fase líquida, cp

oμ : Viscosidad promedio del petróleo, cp

μo: Viscosidad de petróleo, cp

μw: Viscosidad del agua, cp

φ: Porosidad de la formación, fracción

γ: Exponente de la constante de Euler, valor de 1.781

γg: Gravedad específica del gas, adimensional

γs: Gravedad específica del sólido, adimensional

γo: Gravedad específica del petróleo, adimensional

γw: Gravedad específica del agua, adimensional

θ: Desviación o ángulo de inclinación, grado

σl: Tensión superficial, dina/cm

λ: Índice de distribución del tamaño de poros, adimensional

24

INTRODUCCIÓN

El primero en observar el movimiento de un fluido a través de un medio poroso fue

Darcy, a mediados del siglo 19; éste encontró una relación entre el caudal y la caída de

presión que ocurre a una determinada longitud de la roca. El trabajo de Darcy ha sido

fundamental en el desarrollo de técnicas para estimar el comportamiento de afluencia

en pozos de petróleo y gas. Este hecho se observa en trabajos posteriores como los de

Vogel, Standing, Fetkovich, Jones y col., entre otros; quienes asumen el caudal de

producción proporcional a la caída de presión que ocurre en el yacimiento.

Una variedad de métodos IPR se han desarrollado tanto para yacimientos de

petróleo como de gas; y dependiendo de las condiciones de flujo, utilizan diferentes

datos relacionados con pruebas de pozos, propiedades de la roca y del fluido. Existen

métodos que sólo necesitan datos de una prueba de pozo y presión del yacimiento;

otros requieren de pruebas de flujo y propiedades de la roca y del fluido.

Predecir el comportamiento de afluencia en pozos de petróleo o gas es vital para

el ingeniero de petróleo; ya que le permite determinar el esquema para la optimización

de pozos, diseño de producción y equipamiento de sistema de levantamiento artificial,

diseño en el tratamiento de estimulación y propuesta en la planificación de la

producción. Por tal motivo, es importante para el ingeniero, la utilización de métodos

prácticos que requieran de pocos parámetros de entrada y así, estimar la productividad

del pozo.

La automatización de estos métodos ahorra tiempo a la hora de optimizar un

sistema de producción. Por tal razón, existe comercialmente una variedad de software

que permiten estimar el comportamiento de afluencia de pozos. Actualmente, sólo

algunos métodos IPR están programados, lo cual representa una limitante al momento

de realizar una simulación de producción.

El objetivo del presente trabajo es desarrollar un programa que genere las curvas

del comportamiento de afluencia en yacimientos de petróleo o gas, tomando en cuenta

el tipo de completación en el pozo y las condiciones de flujo existentes. Para ello, en

primer lugar se realiza una revisión bibliográfica para clasificar los métodos IPR; así

como analizar y validar dicha información. Luego, se procede a la programación de los

métodos IPR utilizando como lenguaje de programación Visual Basic 6.0.

25

Para evaluar el programa, se realizan pruebas para comprobar las acciones de los

distintos controles usados en los formularios, y luego se procede a las simulaciones

utilizando los casos bases de acuerdo al método IPR. Como parte final de la validación,

se compara los resultados con los obtenidos de un software comercial y hojas de

cálculo.

Por último, se recomienda el uso del programa desarrollado; ya que posee en su

librería una mayor variedad de métodos IPR, de acuerdo al tipo de fluido que se

encuentra en el yacimiento y al tipo de completación del pozo. Es elemental que el

ingeniero tome en cuenta como punto adicional, las condiciones de flujo y los rangos de

aplicabilidad de cada método.

26

CAPÍTULO I

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1. Descripción del problema

El análisis nodal es utilizado para optimizar el sistema de producción

pozo/yacimiento. Esta técnica permite establecer un balance entre la energía que

aporta el yacimiento y la energía que demanda la instalación.

En el caso de la energía que aporta el yacimiento, representada mediante la curva

del comportamiento de afluencia (curva de oferta), requiere el uso de modelos y/o

correlaciones existentes en la literatura, entre los cuales podemos destacar a Vogel,

Fetkovich, Jones, Blound & Glaze, Joshi, entre otros; siendo aplicados tanto en pozos

horizontales como verticales. El uso de estas ecuaciones depende predominantemente

del tipo de yacimiento y sus características particulares; así como el tipo de

completación y el tipo de fluido que produce el pozo, haciéndose entonces necesario el

análisis de cada una de estas ecuaciones a fin de establecer sus rangos de

aplicabilidad.

Las herramientas disponibles para la predicción de la curva de oferta, no

consideran simultáneamente todas estas técnicas, de interés particular para el ingeniero

de petróleo. En consecuencia, la toma de decisiones referentes al aumento de potencial

de un pozo mediante el cambio de ciertas variables operacionales o, simplemente,

mediante el uso de algún método de levantamiento artificial puede, algunas veces estar

afectado por estas limitaciones. Por lo tanto, se hace imprescindible el diseño y

construcción de herramientas de este tipo.

1.2. Objetivos

1.2.1. General

Desarrollar un programa de computación que permita generar en forma rápida y

eficiente, la curva de afluencia o IPR para pozos productores de petróleo o gas;

basándose en la utilización de las metodologías, modelos y correlaciones existentes.

1.2.2. Específicos

1. Analizar los diversos modelos y correlaciones existentes para la generación de la

27

curva de afluencia para pozos productores de petróleo o gas.

2. Clasificar los modelos y correlaciones de acuerdo al tipo del fluido que fluye en el

yacimiento y del tipo de completación del pozo.

3. Diseñar un programa computarizado que permita generar en forma rápida y

eficiente, la curva de afluencia para pozos productores de petróleo o gas.

4. Validar el desempeño del programa, modelando un pozo productor con datos reales

de campo.

1.3. Justificación

Muchos pozos de petróleo y gas pueden estar produciendo a caudales que

parecen óptimos, pero que actualmente tienen restricciones de flujo. Estos pozos

pueden ser analizados usando técnicas de modelado para evaluar todos los

componentes del sistema de producción. Frecuentemente este procedimiento

identificaría posibles modificaciones en el pozo, lo cual podría resultar en un aumento

en la producción del mismo. El método usado para la optimización del sistema se

denomina análisis nodal. El análisis nodal se realiza desde que el fluido esta en el

yacimiento hasta su movimiento hasta la superficie; tomando en cuenta las pérdidas de

presión que ocurren en el yacimiento, a través de la completación y en las tuberías del

pozo y superficie. La generación de la curva de afluencia del pozo es de vital

importancia dentro del análisis nodal de un pozo; pues permite conocer el aporte del

yacimiento.

En la literatura existe una amplia gama de modelos y/o correlaciones que permiten

realizar los cálculos pertinentes para generar la curva de afluencia para pozos

productores de petróleo o gas. Por este motivo, resulta oportuna y conveniente la

creación de un programa computarizado en el área de producción, específicamente en

la construcción de la curva IPR, ya que tiene como finalidad que el ingeniero cuente con

una herramienta especializada que le provea la mayor cantidad de métodos y técnicas

para la simulación y predicción de curvas IPR en pozos de petróleo y gas.

Este programa proporcionará una herramienta de fácil uso y aplicación en la

optimización de pozos; permitiendo así, plantear soluciones y alargar la vida productiva

del yacimiento y del pozo, maximizando de esta manera, el recobro de las reservas y

reduciendo los costos de operación.

28

1.4. Delimitación

Este trabajo estará limitado a la recopilación, análisis, clasificación, programación

y validación de los diversos métodos y correlaciones existentes para la generación de la

curva del comportamiento de afluencia para pozos productores de petróleo y/o gas.

29

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

2.1. Antecedentes

Darcy (1856) realizó estudios para estimar el comportamiento de pozos de

petróleo asumiendo que el fluido de influjo es proporcional a la diferencia entre la

presión del yacimiento y la presión en el fondo del pozo, utilizando una de las primeras

relaciones llamada Índice de Productividad (IP ó J).

Weller (1966) desarrolló ecuaciones para determinar la distribución de presión y

saturación de petróleo, en yacimientos que producen por gas en solución, considerando

flujo simultaneo de gas y petróleo. Estas ecuaciones pueden ser usadas para

predicciones teóricas de la curva del comportamiento de afluencia en diferentes estados

de agotamiento del yacimiento, o sea, para diferentes valores de producción acumulada

expresada como una fracción de petróleo original en sitio (Np/N).

Evinger y Muskat (1966) desarrollaron ecuaciones para estudiar el comportamiento

de pozos que presentan flujo bifásico y trifásico. En su estudio bifásico ellos

presentaron ecuaciones que comprobaron una relación curvada entre la tasa y la

presión del flujo. En cuanto a flujo trifásico indicaron que la relación gas – petróleo y

saturación de agua afectó el índice de productividad homogéneo. Concluyeron que el

índice de productividad comúnmente usado no era una medida apropiada para usar en

los sistemas de flujo multifásico.

Vogel (1968) basándose en las ecuaciones hechas por Weller construyó curvas

similares para un amplio rango de condiciones en el yacimiento, sin considerar cambios

en la permeabilidad absoluta del mismo. Vogel presentó IPRs adimensionales

desarrolladas para flujo de petróleo saturado proveniente de un yacimiento que maneja

gas en solución en un pozo “ideal” (un pozo sin ningún efecto de daño). Más tarde,

desarrolló una relación de comportamiento de afluencia empírica para yacimientos que

manejan gas en solución que fue tomada en cuenta para flujos de petróleo y gas en el

yacimiento, basado en resultados de simulación mediante un computador.

Standing (1970) fue el primero en sugerir un método para predecir futuras curvas

IPR para yacimientos que manejan gas en solución. Propuso un método para modificar

el método de Vogel, para tomar en cuenta tanto daño como estimulación alrededor de

30

las perforaciones, expresando el grado de alteración de la permeabilidad como términos

de Eficiencia de Flujo (EF ≠ 1).

Fetkovich (1973) presentó una IPR empírica basada en datos de campo, la cual ha

ganado amplia aceptación. Su relación, tiene una forma muy similar a la ecuación

empírica desarrollada para pozos de gas propuesta por Rawlins y Schellhardt. Su

procedimiento puede ser reorganizado para producir una ecuación de IPR simple un

tanto similar a la ecuación general derivada del enfoque de Vogel. Para pozos con

factor de daño constante, el método de Fetkovich puede ser reorganizada para producir

una ecuación sencilla. Sugirió que los pozos de petróleo pueden ser analizados de

manera similar a los pozos de gas.

Jones, Blount y Glaze (1976) publicaron un informe, en el cual se discutía los

efectos de turbulencia o de flujo no – Darcy en el rendimiento de pozos. Los métodos

fueron presentados para analizar la eficiencia de la completación de pozos y para aislar

el componente de la tasa dependiente de la declinación total de presión.

Couto (1977) presentó un enfoque analítico para la corrección del rendimiento del

flujo de la IPR de Vogel que proporciona una ecuación sencilla más generalizada para

calcular las productividades de pozos reales y sirve para cualquier estado de

rendimiento de flujo de agotamiento y agotamiento del yacimiento.

Al – Saadoon (1980) señaló ciertas discrepancias en el enfoque de Standing, pero

llegó al mismo resultado.

Giger (1980) reportó la productividad de pozos horizontales usando ecuaciones de

estado estable para flujo en pozos horizontales presentadas por Merkulov y Borisov.

Uhri y Blount (1982) sugirieron un método “punto pivote” basado en dos pruebas

de flujo conducido en dos momentos diferentes de la producción del pozo. Utilizaron la

relación de Vogel para predecir la producción futura y calcularon las pendientes de las

curvas de IPR en Pwf=0 y Pwf= P . Luego trazaron estas pendientes como una función de

presión en escala coordinada y dibujaron una línea a través de estos dos puntos. Luego

extendieron dos líneas correspondientes a dos diferentes conjuntos de datos. El punto

en el cual estas líneas se entrecruzan es llamado un “punto pivote” (punto dinámico).

Las curvas IPR futuras pueden ser pronosticadas suponiendo que todas las líneas

futuras también pasan a través del punto pivote. El método puede ser usado grafica o

numéricamente.

31

Meng (1982) realizó un estudio para determinar las sensibilidades de los

parámetros de diseño de las fracturas en el fondo del pozo, fue el primero en aplicar el

concepto de las curvas IPR adimensionales para pozos verticales de gas.

Mishra y Caudle (1984) fueron los primeros en ampliar el concepto de las curvas

IPR adimensionales para pozos verticales fracturados que producían en yacimientos de

gas.

Brown (1984) en un intento de extender la aproximación de Vogel a flujo trifásico,

presentó un método propuesto por Petrobrás, para determinar el comportamiento de

aflujo de pozos de petróleo productores de agua. El método usa una IP constante para

la producción de agua y adiciona esto a la relación de Vogel para la producción de

petróleo obteniéndose una relación de comportamiento de afluencia compuesta.

Sukarno (1986) propuso un método derivado de la simulación computarizada para

flujo trifásico. Este método resultó del análisis de la regresión no lineal de los resultados

generados por el simulador y esta basado en el corte de agua producido y en la rata de

flujo del líquido total. La relación resultante es una ecuación cuadrática cuyos

coeficientes son funciones de corte de agua.

Plahn y col., (1987) fueron los primeros en predecir el comportamiento de un pozo

horizontal en yacimientos que manejan gas en solución. Ellos generaron tipos de curvas

basándose en simuladores numéricos usando un esquema de asunciones.

Joshi (1988), usando la ecuación de potencial de flujo para pozos verticales,

desarrolló una ecuación para calcular la productividad de un pozo horizontal. Realizó

una comparación de índices de productividad entre un pozo vertical, inclinado y

horizontal, asumiendo un área de drenaje igual para todos los casos. Concluyó que los

pozos horizontales reducen la conificación de agua y gas, la producción de petróleo por

unidad de longitud es significativamente menor que el obtenido en un pozo vertical o

inclinado.

González-Guevara y Camacho-Velásquez (1989) extendieron el modelo de

Landman y Gold-thorpe para explicar flujo multifásico en el pozo y en el yacimiento, y

flujo no-Darcy alrededor de las perforaciones.

Bendakhlia y Aziz (1989) desarrollaron curvas IPR para producción de pozos

horizontales usando una serie de propiedades roca y fluido. Su trabajo estuvo en línea

con el trabajo de Vogel. Las IPR resultantes fueron hechas adimensionales para

32

comparar su curvatura, o la tasa de cambio de la tasa de producción de petróleo con

presión de fondo fluyente.

Cheng (1990), usando simuladores numéricos presentó otra forma de la ecuación

de Vogel para pozos horizontales e inclinados.

Wiggins, Russel y Jennings (1991) presentaron una base teórica para la IPR

empírica de Vogel, basados en la naturaleza física del sistema de flujo multifásico,

investigando el comportamiento individual de los pozos petroleros que producen agua

en yacimientos limitados donde los efectos de gravedad son ignorados. Propusieron

una IPR analítica para flujo trifásico en yacimientos limitados. Una ventaja de la IPR

analítica es que uno puede desarrollar una específica IPR a un yacimiento particular y

sus condiciones de operación. La mayor desventaja, sin embargo, es que requiere

conocimientos de permeabilidad relativa y propiedades del flujo del yacimiento y cómo

se comportan éstas con la presión. Estas relaciones conducen a adecuar estimados del

comportamiento presión – producción de pozos de petróleo produciendo de yacimientos

homogéneos y limitados durante el flujo controlado en los límites. Las IPR’s son

relaciones empíricas basadas en análisis de regresión lineal de los resultados de un

simulador, cubriendo un alto rango de propiedades de roca y fluidos en el yacimiento.

Los métodos para estudiar los efectos de los cambios en la eficiencia de flujo y para

predecir el comportamiento futuro también son presentados por estos autores.

Landman y Gold-thorpe y Marett y Landman (1991) presentaron modelos de

estado de flujo estacionario en las perforaciones distribuidas alrededor de un pozo de

horizontal. También propusieron el uso de una densidad variable del tiro de la

perforación para obtener un flujo uniforme a lo largo del pozo.

Kabir (1992) propuso curvas IPR para pozos horizontales e inclinados, basándose

en el método de Fetkovich usada para pozos verticales.

Damgaard (1992) describió un sistema y procedimientos operacionales en el

contexto de la perforación para estimulación, para mejorar la producción de un campo

de baja permeabilidad.

Chase y Alkandari (1993) desarrollaron un modelo de curvas IPR similar al de

Vogel para predecir la liberalidad de un pozo de gas vertical fracturado hidráulicamente.

Sognesand (1994) describió el uso de los esquemas parciales de la perforación de

obtener afluencia uniforme a lo largo de los pozos horizontales y multilaterales en el

campo de Oseberg.

33

Asheim y Oudeman (1997) presentaron un algoritmo simple para predecir la

densidad del tiro de la perforación que permite tener una afluencia uniforme a lo largo

de un pozo horizontal. Ellos concluyeron que la distribución óptima de las perforaciones

es de suma importancia para hacer cumplir flujo uniforme a lo largo del pozo.

Thomson y Nazroo (1998) contornearon el procedimiento operacional y

describieron el equipo para perforar y el ácido que estimulaba los pozos horizontales

que intersecaban zonas múltiples en los campos de Joanne y de Hewett.

Chase y West (1998) modificaron el modelo propuesto por Chase y Alkandari para

predecir el comportamiento de pozos de gas horizontales y demostraron que se podían

obtener pronósticos muchos más exactos del comportamiento de afluencia del pozo

usando el modelo de IPR adimensionales y datos de un solo punto.

Thomas (1998) incorporó el coeficiente del flujo del término de daño en el pozo y

del flujo no-Darcy en el pozo en su simulador del yacimiento y el modelo semi-analítico

existente para los pozos horizontales.

Ozkan (1999) presentó un modelo de 3D para flujo transitorio para pozos

horizontales perforados y pozos inclinados, compararon las respuestas transitorias de la

presión del hoyo abierto, parcialmente abiertas (completados selectivamente), y pozos

horizontales perforados.

Goktas y Ertekin (2000) desarrollaron un simulador numérico para los pozos

horizontales perforados. El modelo de ellos confía en rejillas flexibles y localmente

refinadas ahora para capturar los detalles de la convergente alrededor de la perforación

exactamente. Indicaron que su modelo numérico está limitado a las densidades del tiro

del punto bajo, tiempo demandado por el computador.

Tang (2001) creó el modelo de la perforación que presenta pseudo daño, investiga

el impacto de los parámetros de la perforación en funcionamiento del pozo horizontal.

Observó que las densidades de la perforación más arriba de 0.5 TPP aumentan la

productividad del pozo.

2.2. Bases Teóricas

2.2.1. Algoritmo

Conjunto de sentencias / instrucciones en lenguaje nativo, los cuales expresan la

lógica de un programa.

34

2.2.2. Análisis nodal

Es una técnica utilizada para optimizar el sistema de producción del pozo. La

técnica consiste en conocer la interrelación entre la capacidad del yacimiento para

producir fluidos con la capacidad del sistema de completación del pozo para tomar esos

fluidos y llevarlos a la superficie.

2.2.3. Código fuente

Programa en su forma original, tal y como fue escrito por el programador. El

código fuente no es ejecutable directamente por el computador, debe convertirse en

lenguaje de maquina mediante compiladores, ensambladores o interpretes.

2.2.4. Compilador

Programa de computadora que produce un programa en lenguaje de maquina, de

un programa fuente que generalmente esta escrito por el programador en un lenguaje

de alto nivel.

2.2.5. Correlación de flujo multifásico

Son ecuaciones desarrolladas con data experimental tomada del laboratorio que

simulan la condición de flujo multifásico en tuberías verticales u horizontales.

2.2.6. Curva de afluencia de un pozo

Es la habilidad de un pozo para dejar fluidos dentro del fondo del mismo. Esta

habilidad depende del tipo de yacimiento y el mecanismo de producción; así como, de

la presión del yacimiento, la permeabilidad, etc. Para obtener la curva, se grafica caudal

del fluido versus la presión de fondo fluyente del pozo.

2.2.7. Curva de oferta

Capacidad de aporte del pozo, y se representa con un grafico de caudal de

producción versus presión de fondo fluyente cuando se realiza un análisis nodal.

2.2.8. Curva IPR

Las siglas IPR en ingles significan inflow performance relationship, y se refiere a la

curva de afluencia de un pozo de petróleo y/o gas.

35

2.2.9. Factor de recobro

Es el porcentaje de petróleo producido de un pozo, o de un yacimiento. Si el factor

de recobro se refiere al pozo, es la cantidad de petróleo producido en el pozo dividido

entre la cantidad de petróleo en sitio. Si el factor de recobro se refiere al yacimiento, es

la cantidad de petróleo producido en todos los pozos del yacimiento dividido entre la

cantidad de petróleo en sitio.

2.2.10. Pozo productor de gas

Se refiere a un pozo que produce de un yacimiento de gas; ya sea, gas seco o gas

condensado.

2.2.11. Pozo productor de petróleo

Se refiere a un pozo que produce de un yacimiento de petróleo.

2.2.12. Sistema de Información

Es un conjunto de elementos físicos o abstractos interrelacionados que operan en

conjunto a fin de lograr un objetivo.

2.2.13. Índice de productividad

Se define como caudal por unidad de presión. El índice de es un indicativo de la

productividad del pozo.

2.2.14. Completación del pozo

Es el proceso que abarca desde la terminación de la perforación del pozo hasta

que se instala la producción. Cuando se refiere al tipo de completación es el diseño de

producción del pozo, que puede ser vertical u horizontal.

2.2.15. Interfaz gráfica

En el contexto del proceso de interacción persona-ordenador, la interfaz gráfica de

usuario, es el artefacto tecnológico de un sistema interactivo que posibilita, a través del

uso y la representación del lenguaje visual, una interacción amigable con un sistema

informático.

2.2.16. Modelado de un pozo

Simular un pozo con las condiciones de interés.

36

2.2.17. Optimizar un pozo

Proceso que consiste en maximizar la producción actual de un pozo.

2.2.18. Programa de computación

Es una colección de instrucciones que indican a la computadora que debe hacer.

Un programa se denomina software; por lo tanto, programa, software e instrucción son

sinónimos.

2.2.19. Software

Conjunto de programas, documentos, procesamientos y rutinas asociadas con la

operación de un sistema de computadoras; es decir, la parte intangible de computador.

2.2.20. Usuario

Cualquier individuo que interactúa con la computadora a nivel de aplicación. Los

programadores, operadores y otro personal técnico no son considerados usuarios

cuando trabajan con la computadora a nivel profesional.

2.2.21. Variable

En programación, es una estructura que contiene datos y recibe un nombre único

dado por el programador, mantiene los datos asignados a ella hasta que un nuevo valor

se le asigne o hasta que el programa termine.

2.2.22. Yacimiento

Volumen de roca del subsuelo que tiene porosidad y permeabilidad suficiente para

almacenar y transmitir fluidos.

2.3. Ley de Darcy

Darcy (1856) publicó un relato detallado de su trabajo en el mejoramiento de la

planta de depuración de aguas de Dijon, y en particular sobre el diseño de un gran filtro

suficiente para procesar los requerimientos diarios de agua del pueblo. Si bien las

dinámicas del fluido eran un tema bastante avanzado para esos días, no había

publicaciones del fenómeno del fluido a través de un medio poroso y por ello, Darcy

diseñó un filtro, mostrado esquemáticamente en la Fig. 1, en un intento por investigar la

materia

37

Paquete de arenal

H*2

H*1

Manómetros de mercurio

Inyección de agua a caudal constante

q, cc/s

Recolección y medida del agua

Paquete de arena

Paquete de arenal

H*2

H*1

Manómetros de mercurio

Inyección de agua a caudal constante

q, cc/s

Recolección y medida del agua

Paquete de arena

Figura 1. Esquema del equipo experimental de Darcy (Dake, 1986).

El equipo consistió de un cilindro de hierro conteniendo un paquete de arena no

consolidada, de cerca de un metro de longitud, el cual era sostenido entre dos pantallas

de gasa permeable. Se le conectaban manómetros en el cilindro, inmediatamente arriba

y debajo del paquete de arena. Dejando fluir agua en el cilindro, Darcy estableció que

para cualquier tasa de fluido la velocidad del flujo era directamente proporcional a la

diferencia en las alturas manométricas. La relación encontrada fue:

lHK

lHHKu

*2

*1

* Δ=

−= , (2.1)

donde u es la velocidad de flujo, la cual es la medida total del caudal de flujo dividida

entre el área de la sección transversal del paquete de arena; ΔH* es la diferencia en

niveles manométricos; l es la longitud total del paquete de arena y K es una constante.

La sola variación en este experimento de Darcy, fue sólo para cambiar el tipo de

paquete de arena, el cual tenía un efecto de alterar el valor de la constante K. Todos los

experimentos fueron llevados a cabo con agua y por lo tanto, los efectos de la densidad

38

y viscosidad del fluido sobre la ley de flujo no se investigaron. Además, el cilindro de

hierro se mantuvo sólo en posición vertical.

Se realizaron otros experimentos de Darcy, uno de ellos cambiando la orientación

del paquete de arena a diferentes ángulos con respecto a la vertical, como se muestra

en la Fig. 2. Se encontró que independientemente de la orientación, la diferencia en

altura manométrica, ΔH*, siempre fue la misma para una tasa dada. De esta forma, la

ley experimental de Darcy prueba que es independiente de la dirección de flujo en el

campo gravitacional de la tierra.

z

l

q, cc/s

Manómetros de agua

ΔH*

H*

+z

Plano del datum; z=0, P= 1 atm

z

l

q, cc/s

Manómetros de agua

ΔH*

H*

+z

Plano del datum; z=0, P= 1 atm

Figura 2. Aparato de Darcy con un ángulo de orientación, respecto a la horizontal

(Dake, 1986).

Vale la pena considerar el significado del término ΔH* que aparece en la ley de

Darcy. La presión a cualquier punto en el trayecto del flujo, Fig. 2, la cual tiene una

elevación z relativa al plano del datum, se puede expresar en unidades absolutas como:

39

( )zHgP * −ρ= . (2.2)

La Ec. 2.2 también se puede expresar como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ= zgPgH* . (2.3)

La Ec. 2.1 se puede escribir en forma diferencial de la siguiente manera

dl

dHKu*

= . (2.4)

Entonces, diferenciando la Ec. 2.3 y sustituyendo en la Ec. 2.4 se tiene

( )dl

gHdgKzgP

dld

gKu

*

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ= . (2.5)

El término ( ) zgP +ρ tiene las mismas unidades de H* g, que son distancia por

unidad de masa, que es energía potencial por unidad de masa. Este fluido potencial se

denota por el símbolo Φ y se define por el proceso de fricción,

∫¬

+ρ

=ΦP

atm1

zgdP . (2.6)

La Ec. 2.6 se puede modificar a

( )∫ −+ρ

=ΦP

Pb

b

zzgdP . (2.7)

La razón del cambio es que el flujo de fluido entre un punto A y B se gobierna por

la diferencia en el potencial entre los puntos, no en potenciales absolutos,

( ) ( ) ( )∫∫∫ −+ρ

=−+ρ

−−+ρ

=Φ−ΦA

B

B

b

A

b

P

PBA

P

PbB

P

PbABA zzgdPzzgdPzzgdP .

40

Si se asume que el fluido es incompresible (ρ independiente de la presión),

entonces la Ec. 2.6 se puede expresar como

zgP+

ρ=Φ . (2.8)

La constante K/g solamente se aplica para el flujo de agua. Los experimentos

desarrollados con una variedad de diferentes líquidos revelaron que la ley se puede

generalizar como:

dl

dku Φμρ

= . (2.9)

La nueva constante k depende del tipo de arena y se describe como la

permeabilidad. De hecho, es la permeabilidad absoluta de la arena cuando esta

saturada completamente con un fluido.

Para flujo lineal se usa la Ec. 2.9. Para flujo radial se usa la siguiente ecuación

drdku Φ

μρ

= . (2.10)

Para la geometría radial mostrada en la Fig. 3, el flujo se describiría bajo condición

de estado estable. Esto implica que, para un pozo produciendo a un caudal constante q;

dP/dt=0, en todos los puntos dentro de la celda radial. Así, la presión en el límite

exterior Pe y todo el perfil de presión permanece constante con el tiempo. Esta

condición puede parecer irreal, pero es realista en el caso de mantenimiento de presión,

tales como inyección de agua, en el cual uno de los objetivos es mantener la presión

constante. En tal caso, el barrido de petróleo de la celda radial es reemplazado con

fluidos que cruzan el límite exterior a r=re.

41

rw r re

Pe = constante

q = constante

Presión

rw r re

Pe = constante

q = constante

Presión

Figura 3. Flujo radial en un pozo de petróleo bajo condiciones de flujo de estado

estable (Dake, 1986).

Las siguientes suposiciones se usaron para simplificar el problema:

− El yacimiento es completamente homogéneo en todos los parámetros del

yacimiento.

− El pozo esta perforado en todo el espesor de arena.

Bajo estas condiciones, la ley de Darcy para flujo radial de una sola fase se puede

expresar como

drdPAkq

μ= . (2.11)

Debido a que el caudal de flujo es constante, el área radial es la misma, A = 2π r h,

situada a una distancia r del centro del sistema. De allí, la Ec. 2.11 se puede escribir

como

drdPhkr2q

μπ

= . (2.12)

Separando variables e integrando

∫∫ πμ

=r

r

P

P wwfrdr

hk2qdP , (2.13)

42

siendo Pwf la presión de fondo fluyente. La integración resulta en

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

μ=−

wwf r

rlnhk2

qPP ; (2.14)

lo cual muestra que la presión se incrementa de forma logarítmica con respecto al radio,

como se muestra en la Fig. 3. En particular, cuando r = re, entonces

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

μ=−

w

ewfe r

rln

hk2qPP . (2.15)

Durante la perforación del pozo, existe cierto influjo hacia la formación debido al

diferencial de presión usado en el fluido de perforación; trayendo como consecuencia la

reducción de la permeabilidad y creando una zona dañada en la vecindad del pozo.

Según Van Everdingen (1953), la caída de presión adicional debido al daño es

shk2

qPπ

μ=Δ . (2.16)

Usando la Ec. 2.16 en la Ec. 2.15, se tiene la ecuación de estado estable

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

πμ

=− srr

lnhk2

qPPw

ewfe . (2.17)

La Ec. 2.17 se puede expresar en unidades de campo de la siguiente manera:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μβ

−×=

−

srrln

PPhk1008.7q

w

e

wfe3

; (2.18)

donde Pe es la presión en el radio de drenaje, re es el radio de drenaje, rw es el radio del

pozo, β es el factor volumétrico del fluido, μ es la viscosidad y s es el daño de la

formación.

43

Un gráfico de Pwf versus q describe una línea recta, de la cual el intercepto en la

vertical es Pe, y el intercepto en la horizontal se conoce como el máximo caudal de flujo.

La pendiente es la constante durante la historia de producción del pozo, asumiendo una

sola fase, y su valor es proporcional al índice de producción.

Para flujo de petróleo en estado estable:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βμ

−×=

−

srrln

PPhk1008.7q

w

eoo

wfeo3

o . (2.19)

Para flujo de agua en estado estable:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βμ

−×=

−

srrln

PPhk1008.7q

w

eww

wfew3

w . (2.20)

Los subíndices o y w corresponden al petróleo y al agua, respectivamente.

2.4. Ecuación diferencial básica para flujo radial

La ecuación diferencial básica se deriva en forma radial simulando el flujo de

fluidos en la vecindad del pozo. Una solución analítica se obtiene bajo diferentes

condiciones inicial y de límite; la cual se puede aplicar en la ingeniería de yacimientos y

producción. La geometría de la celda radial se muestra en la Fig. 4, usando las

siguientes simplificaciones:

− El yacimiento se considera homogéneo en todas las propiedades de la roca e

isotrópico con respecto a la permeabilidad.

− La producción del pozo proviene de todo el espesor de la formación, así se

asegura completamente flujo radial.

− La formación esta saturada con un solo fluido.

44

Figura 4. Flujo radial de un fluido en la vecindad de un pozo productor (Dake, 1986).

Se considera el flujo a través del elemento de volumen de espesor, dr, ubicado a

una distancia, r, del centro de la celda radial. Luego, aplicando el principio de

conservación de la masa:

drrq

+ρ –

rq ρ =

t

drhr2∂ρ∂

φπ ,

donde 2 π r h φ dr es el volumen del elemento infinitesimal de espesor dr. El lado

izquierdo de esta ecuación se puede expandir como

( )t

drhr2qdrr

qqrr ∂

ρ∂φπ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ρ−

∂ρ∂

+ρ ,

lo cual se puede simplificar a

( )t

hr2r

q∂ρ∂

φπ=∂

ρ∂ ; (2.21)

siendo φ la porosidad de la formación y t el tiempo.

Aplicando la ley de Darcy para flujo radial y horizontal,

rw

( )rq ρ⋅ ( ) drrq +⋅ ρh

re

r

dr

– caudal de flujo másico (entra)

caudal de flujo másico (sale)

cambio del caudal másico en el elemento de volumen =

45

rPhkr2q

∂∂

μπ

= , y

sustituyendo en la Ec. 2.21, se tiene:

t

rhk2rPrhk2

r ∂ρ∂

φπ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ρμ

π∂∂ , o

tr

Prkrr

1∂ρ∂

φ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

μρ

∂∂ (2.22)

La derivada de la densidad con respecto al tiempo que aparece en el lado derecho

de la Ec. 2.22, se puede expresar en términos de la derivada de la presión con respecto

al tiempo, usando la definición básica de termodinámica de compresibilidad isotérmica

PV

V1c

∂∂

−= ,

y de allí

Vm

=ρ .

Entonces la compresibilidad se puede expresar como

P

1P

m

mc

∂ρ∂

ρ=

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

∂ρ

−= . (2.23)

Diferenciando la Ec. 2.23 con respecto al tiempo, se tiene

tt

Pc∂

ρ∂=

∂∂

ρ . (2.24)

46

Sustituyendo la Ec. 2.24 en la Ec. 2.22 suponiendo la viscosidad independiente de

la presión y descartando términos pequeños, se tiene:

tPc

rPrk

rr1

∂∂

ρφ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

μρ

∂∂ . (2.25)

Ésta es la ecuación diferencial parcial para flujo radial, de cualquier fluido de una

sola fase en un medio poroso. La ecuación es no lineal debido a que implícitamente la

presión depende de la densidad, compresibilidad y viscosidad. Debido a esto, no es

posible encontrar una solución analítica de la ecuación sin primero linealizarla.

Una linealización de la Ec. 2.25 se puede obtener descartando algunos términos,

dependiendo de varias suposiciones de acuerdo a la naturaleza del fluido. El fluido a

considerar será líquido, el cual se aplica a flujo de petróleo sobresaturado. Expandiendo

el lado izquierdo de la Ec. 2.25, usando la regla de la cadena para la diferenciación

dada

tPc

rPrk

rPk

rPr

rk

rPrk

rr1

2

2

∂∂

ρφ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

μρ

+∂∂

μρ

+∂∂

∂ρ∂

μ+

∂∂

ρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ∂

∂ , (2.26)

y diferenciando la Ec. 2.23 con respecto a r, se obtiene la expresión

rr

Pc∂

ρ∂=

∂∂

ρ . (2.27)

Sustituyendo la Ec. 2.27 en la Ec. 2.26, se tiene

tPc

rPrk

rPk

rPrck

rPrk

rr1

2

22

∂∂

ρφ=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

μρ

+∂∂

μρ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ρμ

+∂∂

ρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ∂

∂ . (2.28)

Para el flujo líquido, se toman en cuenta las siguientes suposiciones:

− La viscosidad, μ, es prácticamente independiente de la presión y se puede tomar

constante.

47

− El gradiente de presión, rP ∂∂ , es pequeña y de allí, términos del orden

( )2rP ∂∂ se pueden despreciar.

Estas dos suposiciones elimina el primero de los dos términos en el lado izquierdo

de la Ec. 2.28, reduciendo a

tP

kc

rP

r1

rP2

2

∂∂μφ

=∂∂

+∂∂ . (2.29)

La Ec. 2.29 se puede expresar de forma conveniente como

tP

kc

rPr

rr1

∂∂μφ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂ . (2.30)

Haciendo una suposición final, que la compresibilidad es constante; significa que el

coeficiente kcμφ también es constante y de allí, la ecuación básica se linealizó de

forma efectiva.

Un número infinito de soluciones se puede obtener para la Ec. 2.25, dependiendo

de las condiciones iniciales y de límite. Las tres condiciones que se aplican a diferentes

tiempos después de comenzar la producción y para diferentes condiciones asumidas se

explican a continuación.

2.4.1. Condición transiente

Esta condición solo se aplica para períodos relativamente cortos después de una

perturbación en la presión del yacimiento. En términos del modelo de flujo radial esta

perturbación sería típicamente causada por una alteración del caudal de producción del

pozo a r=rw. En el momento para el cual la condición transiente se aplica, se asume que

la respuesta de la presión en el yacimiento no esta afectada por la presencia del límite

exterior, de allí, el yacimiento parece infinito en alcance. La condición se aplica

principalmente para el análisis de pruebas de pozos, en el cual el caudal de producción

del pozo cambia constantemente y el resultado de la respuesta de presión en el fondo

del pozo se mide y analiza durante un breve período de unas pocas horas después que

el cambio de caudal ocurrió. Entonces, a menos que el yacimiento sea extremadamente

pequeño, los efectos de límite no se sentirían y el yacimiento sería, matemáticamente,

infinito.

48

Esto da una solución compleja de la Ec. 2.25, en la cual tanto la presión como la

derivada de la presión con respecto al tiempo, son función de la posición y el tiempo,

así

( )t,rfP = , y

( )t,rftP

=∂∂ .

2.4.2. Condición de estado semi-estable

Esta condición se aplica a un yacimiento que ha estado produciendo por un

período de tiempo suficiente como para que ya se haya sentido el efecto de la

producción del pozo en todo el área de drenaje del mismo. En términos del modelo de

flujo radial, la situación se describe en la Fig. 5.

q = constantePresión

Pwf

rw r re

Pe

∂P ∂r = 0, a r = re

∂P ∂t

= constante

q = constantePresión

Pwf

rw r re

Pe

∂P ∂r = 0, a r = re

∂P ∂t

= constante

Figura 5. Flujo radial para la condición de estado semi-estable (Dake, 1986).

Se considera que el pozo esta rodeado, a su límite exterior, por una “pared de

ladrillo” sólida que previene el flujo de fluidos dentro de la celda radial. Así, en el límite

exterior, de acuerdo a la ley de Darcy

0rP

err

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

. (2.26)

49

Por otro lado, si el pozo está produciendo a una tasa constante, entonces la celda

de presión declinaría de tal forma que,

tetanconstP

≈∂∂ , (2.27)

para todo r y t.

La constante referida en la Ec. 2.27 se puede obtener de un balance de materiales

sencillo usando la definición de la compresibilidad, de la siguiente forma

qtdVd

tdPdVc −=−= , o (2.28)

Vc

qtdPd

−= . (2.29)

La Ec. 2.29 se puede expresar, para el drenaje de una celda radial, como

φπ

−=hrc

qtdPd

2e

. (2.30)

La Ec. 2.30 se resuelve bajo la condición de flujo semi-estable para la geometría y

distribución de presión radial mostrada en la Fig. 6.

rw r re

Pe

q = constante

Presión

h P

Pwf

rw r re

Pe

q = constante

Presión

h P

Pwf

Figura 6. Distribución de presión y la geometría apropiada para la solución de la

ecuación de difusividad radial bajo condiciones de estado semi-estable (Dake, 1986).

50

Cuando pasa el tiempo, la presión promedio del volumen dentro de la celda es P ,

la cual se puede calcular de la solución del balance de materiales

( ) tqPPVc i =− ; (2.31)

en la cual, V es el volumen de poros de la celda radial, q es el caudal de producción

constante y t el tiempo de flujo total. La presión en el límite correspondiente al tiempo de

solución, es Pe a re y Pwf a rw. Para el drenaje de la celda de volumen radial, la condición

de estado semi-estable se derivo anteriormente como

φπ

−=hrc

qtdPd

2e

;

la cual, se sustituye en la Ec. 2.30, resultando en

hkrc

qrPr

rr1

2eπμ

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂ . (2.32)

Integrando la Ec. 2.32,

12e

2

Chkr2

rqrPr +

πμ

−=∂∂ ; (2.33)

siendo C1 la constante de integración. Aplicando la condición de la Ec. 2.26, se puede

evaluar la constante como

hk2

qC0rP

1rr e

πμ

=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

.

Al sustituir la constante C1 en la Ec. 2.33, se tiene

51

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πμ

=∂∂

2err

r1

hk2q

rP . (2.34)

Integrando una vez más,

[ ] ( )r

r2

e

2P

Pw

y

wf r2rrln

hk2qP ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πμ

= , o (2.35)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

μ=− 2

e

2

wwf r2

rrrln

hk2qPP ; (2.36)

en la cual, el término rw2 / re

2 se desprecia. La Ec. 2.36 es una expresión general para la

presión como una función del radio. En el caso particular cuando r = re, entonces

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

μ=− s

21

rrln

hk2qPP

w

ewfe . (2.37)

El factor de daño de Van Everdingen (1953) se incluyó en la Ec. 2.37. Un aspecto

desafortunado concerniente a la aplicación de la Ec. 2.37 es que, mientras q y Pwf se

pueden medir directamente, la presión en el límite no. Por esta razón, es mas común

expresar la caída de presión en términos de wfPP − en vez de Pe – Pwf; siendo P , la

presión promedio en el volumen de drenaje. Para expresar la ecuación del

comportamiento de afluencia en estos términos, se requiere la determinación de la

presión promedio del volumen en de la celda radial como

∫

∫=

e

w

e

w

r

r

r

r

Vd

VdPP . (2.38)

Para un volumen de drenaje cilíndrico se tiene que rdhr2Vd φπ= , de tal

manera que la Ec. 2.38 se puede expresar como

52

( ) φ−π

φπ

=∫

hrr

rdhr2PP 2

w2

e

r

r

e

w , o

( ) ∫−=

e

w

r

r2

w2

e

rdrPrr

2P , y

2e2

e

2w2

e2

w2

e rrr1rrr ≈⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− ,

Entonces

∫=e

w

r

r2

e

rdrPr2P . (2.39)

La presión en la integral de la Ec. 2.39 se obtiene de la Ec. 2.36, la cual es una

expresión general para P como una función de r. Sustituyendo P de la Ec. 2.36 en la Ec.

2.39,

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

μ=−

e

w

r

r2

e

2

w2

ewf rd

r2r

rrlnr

hk2q

r2PP . (2.40)

El primer término en el integrando se evalúa usando el método de integración por

partes,

∫∫ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ e

w

e

w

e

w

r

r

2r

rw

2r

r w

rd2r

r1

rrln

2rrd

rrlnr

e

w

e

w

r

r

2r

rw

2

4r

rrln

2r

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4

rrrln

2r 2

e

w

e2

e −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈ .

53

La integración del segundo término en la Ec. 2.40 resulta en

8

rr8

rdrr2

r 2e

r

r2

e

4r

r2

e

3 e

w

e

w

≈⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=∫ .

Combinando los resultados de las integrales en la Ec. 2.40, e incluyendo el factor

de daño mecánico, resulta en la ecuación del comportamiento de afluencia modificada

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

μ=− s

43

rrln

hk2qPP

w

ewf . (2.41)

La Ec. 2.41 estima que las fases son 100% petróleo o 100% agua, usando la

permeabilidad absoluta del yacimiento k. En la realidad, no se encuentra un yacimiento

100% libre de agua. Este problema se corrige sustituyendo la permeabilidad absoluta

por la permeabilidad efectiva de cada fluido, la cual es una función de la saturación del

líquido, agua o petróleo en el yacimiento. En este sentido, la Ec. 2.41 cambia.

Para flujo de petróleo en estado semi-estable:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βμ

−×=

−

s43

rrln

PPhk1008.7q

w

eoo

wfo3

o . (2.42)

Para flujo de agua en estado semi-estable:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βμ

−×=

−

s43

rrln

PPhk1008.7q

w

eww

wfw3

w . (2.43)

Los subíndices o y w corresponden al petróleo y al agua respectivamente.

El caudal total del pozo es simplemente la suma del caudal de agua y del petróleo.

En todas estas ecuaciones, la permeabilidad efectiva debe calcularse con base en la

saturación del fluido en particular en el yacimiento. Adicionalmente, si se usan unidades

54

de campo, hay que tomar en cuenta la diferencia entre el factor volumétrico de

formación del petróleo y del agua.

Finalmente, es importante mencionar que por lo general, el área de drenaje de un

pozo no es circular, como se supuso en el desarrollo de las ecuaciones de afluencia.

Afortunadamente, este problema no es tan grave y se han encontrado maneras de

corregirlo. En primer lugar, el comportamiento de afluencia de un pozo se ve

fuertemente influenciado por lo que pasa en las cercanías del mismo, donde las

velocidades de los fluidos son mayores que en el radio de drenaje. Una muestra de ello

es la influencia que tiene el valor del radio de drenaje en el término logarítmico de las

ecuaciones del comportamiento de afluencia. Por ejemplo, si se estima que el radio de

drenaje es de 500 pies, cuando en realidad es de 10.000 pies, el término logarítmico

pasa de aproximadamente 7 a solo 10. Para tomar en cuenta la asimetría encontrada

en las áreas de drenaje de los pozos, se usan los denominados factores de forma de

Dietz (1965) y la Ec. 2.41 cambia a:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γπμ

=− srC

A4ln21

hk2qPP 2

wAwf ; (2.44)

donde A es el área de drenaje, γ es el exponente de la constante de Euler y es igual a

1.781, y CA es el factor de forma (Fig. 7).

Figura 7. (a) Factores de forma para áreas de drenaje cerrado con relaciones bajas. (b)

Factores de forma para áreas de drenaje cerrado con relaciones altas (Dietz, 1965).

(a) (b)

55

Figura 7 (continuación)

2.4.3. Condición de estado estable

La condición de estado estable aplica, después del período transiente, a un pozo

drenando una celda donde el límite exterior esta abierto. Se asume que, para un caudal

constante de producción, el fluido que sale de la celda es exactamente balanceado por

el fluido que entra a través del límite abierto y de allí,

tetanconsPP e == , a err = , y (2.45)

0tP

=∂∂ para todo r y t. (2.46)

Esta condición es apropiada cuando la presión se mantiene en el yacimiento

debido al influjo natural de agua o la inyección de algún fluido.

(a) (b)(a) (b)(a) (b)

56

Figura 8. Flujo radial bajo condición de estado estable (Dake, 1986).

La solución de estado estable de la ecuación de difusividad se puede derivar

usando los mismos pasos matemáticos de la solución de estado semi-estable; en este

caso, la ecuación de difusividad se reduce a

0rPr

rr1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂ . (2.47)

La Ec. 2.47 es la forma radial de la ecuación de Laplace. La ecuación de afluencia

expresada en términos de P=Pe a r=re viene dada por

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

μ=−

w

ewfe r

rlnhk2

qPP . (2.48)

La ecuación de afluencia expresada en términos de la presión promedio viene

dada por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πμ

=−21

rrln

hk2qPP

w

ewf . (2.49)

2.5. Ecuaciones del comportamiento de afluencia para yacimientos de petróleo

El yacimiento es sin duda, de todos los componentes de un análisis nodal, el

componente más difícil de modelar de una manera realista. Esto se debe, no tanto al

57

grado de complejidad de las ecuaciones usadas; sino más bien a la incertidumbre en

los valores exactos de las variables, tales como la permeabilidad, la presión estática,

etc.

En esta sección se presenta la derivación de las ecuaciones del comportamiento

de afluencia para yacimientos de petróleo. En los yacimientos de petróleo se estudian

las distintas ecuaciones para presiones de fondo superiores a la presión de burbuja

para estado estable y semi-estable, y para presiones de fondo por debajo de la presión

de burbuja.

2.5.1. Pozos Verticales

2.5.1.1. Correlación de Vogel

Vogel (1968) presentó una de las primeras correlaciones para el cálculo del

comportamiento de afluencia de un pozo, también llamada curva IPR. El estudio se

basó en la simulación de datos en 21 yacimientos con empuje por gas en solución que

representaba un amplio rango de propiedades de roca y fluido; sin embargo, sólo se

tomó en cuenta pozos sin daños para el estudio. El tipo de completación estudiada en el

pozo fue vertical a hueco entubado.

Vogel graficó todas las curvas IPR a distintas propiedades de roca y fluido como

“curvas IPR adimensionales”, el cual consistió en dividir la presión para cada punto en

una curva IPR entre la presión del yacimiento o la presión de cierre para esa curva en

particular, y el correspondiente caudal de producción de petróleo dividido entre el

máximo caudal de producción de petróleo para la misma curva. Vogel notó que la forma

de las curvas para estos casos era muy similar, logrando definir una relación

adimensional que describía este comportamiento. Se analizaron todas las curvas

adimensionales, y se tomó una referencia estándar haciendo uso de un ajuste de

regresión no lineal. La correlación con un ajuste razonable fue:

2

wfwf

max,o

o

PP8.0

PP2.01

qq

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ; (2.50)

siendo qo el caudal de producción correspondiente a su presión de fondo fluyente; Pwf la

presión de fondo fluyente; P la presión promedio del yacimiento, y qo,max el máximo

caudal de producción con 100% caída de presión.

58

La correlación es aplicable a yacimientos con empuje por gas en solución. Sin

embargo, la Ec. 2.50 podría usarse para pozos que producen en yacimientos por

expansión de capa de gas.

En la Ec. 2.50 no se considera el flujo de 3 fases (petróleo, gas y agua); sólo

considera flujo de dos fases (gas y petróleo) y la declinación del yacimiento. El

porcentaje de error al usar la correlación es de un 20%.

La correlación de Vogel se puede extender para cuantificar la producción de agua,

reemplazando el caudal adimensional por qL/qL,max, siendo woL qqq += . Esto se puede

usar en pozos con un corte de agua hasta de 97% (Ahmed y McKinney, 2005).

La correlación de Vogel también se puede usar para predecir la curva IPR para

dos tipos de yacimiento:

a) Yacimientos saturados de petróleo: bPP ≤ .

Utilizando la Ec. 2.50 para generar la curva IPR.

b) Yacimientos sobresaturados: bPP > .

Beggs (1991) indicó que existen dos posibilidades para aplicar la correlación de

Vogel en yacimientos sobresaturados.

qmaxqb

Pb

Py

P (l

pca)

qo (BNPD)qmaxqb

Pb

Py

P (l

pca)

qo (BNPD)

Caso 1:

Caso 2: bPP ≤

bPP <P

qmaxqb

Pb

Py

P (l

pca)

qo (BNPD)qmaxqb

Pb

Py

P (l

pca)

qo (BNPD)

Caso 1:

Caso 2: bPP ≤

bPP <P

Figura 9. Curva del comportamiento de afluencia para un pozo (Ahmed y McKinney,

2005).

59

Como se muestra en la Fig. 9, existen dos comportamientos en la curva IPR

debido a las condiciones de presión del pozo. El primer comportamiento se nota por

encima del punto de burbuja; donde existe movilidad de la fase líquida (petróleo),

solamente. El segundo comportamiento ocurre cuando la presión de fondo fluyente del

pozo esta por debajo del punto de burbuja, movilizándose el flujo de dos fases: gas y

líquida (petróleo y agua). En este caso, para construir la curva IPR, se utiliza el estudio

realizado por Vogel y se combina con el concepto del índice de productividad.

i. Caso 1: La presión del fondo del pozo es mayor que la presión de burbuja.

El índice de productividad esta dado por:

wfPdqdJ −= . (2.51)

Si en la Ec. 2.50, se parte de la base que la presión de yacimiento es igual a la

presión de burbuja, y se toma la derivada del caudal con respecto a la presión de fondo

fluyente en ese punto, se consigue la siguiente expresión:

Vmax,o2b

wf

bwf

qPP6.1

P2.0

Pdqd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= . (2.52)

El subíndice V se refiere al máximo caudal de producción usando la correlación de

Vogel.

Cuando la presión de fondo fluyente es igual a la presión de burbuja, se obtiene el

índice de productividad en la línea recta. Por lo tanto, se tiene:

Vmax,o2b

b

bwf

qPP6.1

P2.0

PdqdJ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ /−−=−= / , y

Vmax,ob

qP

8.1J = . (2.53)

Por encima del punto de burbuja, se utiliza el concepto de índice de productividad

para obtener el caudal,

60

( )wfo PPJq −= . (2.54)

De la Ec. 2.54, cuando la presión de fondo fluyente es igual a la presión de burbuja

el caudal viene dado por:

( )bob PPJq −= . (2.55)

En el caso estudiado, el máximo caudal se muestra como:

Vmax,obmaxo qqq += . (2.56)

Sustituyendo las respectivas ecuaciones, se tiene el máximo caudal para la IPR

combinada:

( )8.1PJPPJq b

bmax,o +−= . (2.57)

El caudal de petróleo viene dado por:

oVbo qqq += . (2.58)

Sustituyendo en la Ec. 2.58, las Ecs. 2.50 y 2.55 respectivamente, se tiene:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

2

b

wf

b

wfVmax,obo P

P8.0PP2.01qqq . (2.59)

Si se introduce las Ecs. 2.57 y 2.58 en la Ec. 2.59, se tiene:

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

2

b

wf

b

wfbbo P

P8.0PP2.01

8.1PPPJq . (2.60)

61

Para utilizar la Ec. 2.60 en el caso cuando Pwf > P , se calcula el índice de

productividad con la expresión

wf

o

PPqJ−

= . (2.61)

Luego, se calcula el caudal en el punto de burbuja con la Ec. 2.55 y se genera los

valores de la curva IPR con la Ec. 60.

ii. Caso 2: La presión del fondo del pozo es menor que la presión de burbuja.

El procedimiento es similar al caso 1, con la diferencia que el índice de

productividad se calcula usando

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

=2

b

wf

b

wfbb

o

PP8.0

PP2.01

8.1PPP

qJ , (2.62)

debido a que Pwf se encuentra en la curva que indica dos fases.

Se calcula el caudal en el punto de burbuja con la Ec. 2.55, y se genera los valores

de la curva IPR con la ecuación, tomando en cuenta la parte lineal de la curva

combinada.

2.5.1.2. Método de Fetkovich.

En algunos casos, la ecuación de Vogel no predice de forma eficiente el

comportamiento de afluencia de un pozo. Fetkovich (1973) propuso el uso de pruebas

isocronales en pozos de petróleo para estimar su productividad. Esta relación se basó

en la ecuación empírica para pozos de gas propuesta por Rawlins y Schellhardt (1936).

Fetkovich usó los datos de pruebas multitasa en 40 pozos verticales de 6 campos

diferentes, mostrando que la aproximación es apropiada para predecir el

comportamiento de afluencia de los pozos de petróleo.

El trabajo de Fetkovich también utiliza el trabajo realizado por Evinger y Muskat

(1942), quienes derivaron un índice de productividad teórico para flujo radial en estado

estable en un intento de observar el comportamiento de flujo no lineal.

62

( )∫⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

=− e

wf

P

P

w

e

3

o dPPf

rrln

hk1008.7q , (2.63)

donde ( )oo

orkPf

β⋅μ= y Pe es la presión en el límite exterior del yacimiento.

En la Fig. 10 se presenta esquemáticamente la variación de la función f con

respecto a la presión, donde se puede evaluar la integral total en dos partes como

sigue:

( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ+

βμ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

×= ∫∫

− e

b

b

wf

P

P oo

orP

P oo

or

w

e

3

o dPPk

dPP,sk

'srrln

hk1008.7q , (2.64)

donde s’ indica el daño total efectivo.

Para el flujo en la región donde las presiones están por encima del punto de

burbuja, al asumir la permeabilidad relativa al petróleo como uno (despreciando que la

presión depende del término permeabilidad para simplificar) y considerando la

viscosidad y el factor volumétrico del petróleo evaluado a la presión promedio, se

obtiene:

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ+

βμ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

×= ∫∫

− e

b

b

wf

P

P oo

P

P oo

or

w

e

3

o dP1PdP,sk

'srrln

hk1008.7q , (2.65)

( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ−

+βμ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

×= ∫

−

oo

beP

P oo

or

w

e

3

oPPPd

P,sk

'srrln

hk1008.7qb

wf

. (2.66)

En la Fig. 10 se ilustra un gráfico de 1/μoβo como una función de presión para un

yacimiento de petróleo saturado. También se observa que la línea punteada representa

el efecto de la permeabilidad relativa en caídas por debajo del punto de burbuja. Para

63

propósitos de la demostración se asume que kro/μoβo es lineal y su intercepto es cero a

cero presión.

Ahora, considerando la función de presión desde Pe hasta 0, tanto para las curvas

de gas como las de petróleo, se nota que f(P) puede ser representada

aproximadamente por dos segmentos de líneas rectas separados. Fetkovich aproximó

la ecuación de flujo a:

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−

βμ

βμ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

×=

−

be2

wf2

b2Pb,Pe

oow

e

3

o PPPP2

a

'srrln

hk1008.7q . (2.67)

PePbPwf

Forma necesaria de f(P) para obtener un índice de productividad constante

P

0b2=0

b2

PePbPwf

Forma necesaria de f(P) para obtener un índice de productividad constante

P

0b2=0

b2

Figura 10. Función de presión en un yacimiento de petróleo saturado (Fetkovich, 1973).

La Ec. 2.67 también se puede representar por:

( ) ( )be2

wf2

bo PPJPP'Jq −+−= . (2.68)

Se definió los caudales como:

64

( )2wf

2b)2(o PP'Jq −= , (2.69)

( )be)1(o PPJq −= . (2.70)

Al combinar el flujo de dos fases y el flujo de una sola fase, se observó que el qo(1)

es constante, y qo(2) viene dado por:

( )2wf

2b)1(o)medido(o)2(o PP'Jqqq −=−= . (2.71)

Con el valor correcto de la presión de burbuja, un grafico del caudal de producción

por debajo del punto de burbuja, qo(2), versus la diferencia de los cuadrados de las

presiones, Pb2 - Pwf

2 debería ser una línea recta en coordenadas logarítmicas. En un

grafico log-log, la pendiente sería 1 y el intercepto J’.

Al principio, la pendiente se asumió igual a la unidad para dos fases. Sin embargo,

el hecho que las pendientes sean menores a uno es un indicativo que el flujo de dos

fases existe en el yacimiento, sugiriendo la forma más general de la Ec. 2.68 como:

( ) ( )be

n2wf

2bo PPJPP'Jq −+−= . (2.72)

Para un yacimiento donde la presión de fondo fluyente esta por debajo del punto

de burbuja, la ecuación para predecir el comportamiento de afluencia de un pozo de

petróleo viene dado por:

( )n2wf

2o PP'Jq −= . (2.73)

El coeficiente n y J’ se pueden calcular si se tienen más de tres pruebas

isocronales o multipunto del pozo, a diferentes caudales y presiones de fondo fluyente.

La Ec. 2.73 se puede expresar en forma similar a la de Vogel, de la siguiente

manera:

65

n2

wf

Fmax,o

o

PP1

qq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= . (2.74)

2.5.1.3. Método de Jones, Blount y Glaze

Jones y col., (1976) presentaron un método para predecir el desempeño del

yacimiento y analizar la efectividad de la completación y/o la fractura en la producción

de pozos. El procedimiento desarrollado usa pruebas de producción; en vez de pruebas

build up, para determinar si la turbulencia es un factor adicional en la reducción de la

capacidad de flujo del pozo. El procedimiento analítico es aplicable tanto a pozos de

gas como a pozos de petróleo con altos caudales de producción. El trabajo se basó en

el estudio de dos pozos de gas y un pozo de petróleo.

El procedimiento se puede usar en pozos que requieren control de arena o en

pozos fracturados hidráulicamente, permitiendo determinar si el área de la sección

transversal abierta a flujo dentro del pozo es suficiente. El procedimiento analítico

también permite determinar los efectos de turbulencia en la eficiencia de la

completación, sin considerar el efecto de daño y flujo laminar (Darcy). Los datos

necesarios para usar el método planteado por Jones y col., son: (1) tres o más pruebas

de flujo estabilizadas, o (2) tres o más pruebas de flujo isocronales. Los caudales de

flujo y la presión en el fondo del pozo deben conocerse en ambos casos. Los datos de

presión transiente no son necesarios y la presión fluyente en el fondo del pozo

calculada de presiones de superficie puede ser suficiente.

Jones y col., se basaron en el modelo de Forchheimer (1901) para flujo lineal y

flujo radial en condiciones de estado estable, incluyendo el flujo turbulento para pozos

de gas y pozos de petróleo. Estas ecuaciones se aplican directamente a pozos con

producción estabilizada, es decir, pozos que han producido por cierto tiempo

permitiendo alcanzar la presión transiente. Las ecuaciones de Forchheimer también se

pueden aplicar a pozos con producción no estabilizada; para ello, se requiere del uso de

las pruebas isocronales. Cullender (1955) desarrolló el método de las pruebas

isocronales, las cuales permiten obtener información de caudal de producción y su

respectiva presión de fondo fluyente a iguales períodos de cierre.

66

Jones y col., estudiaron las ecuaciones de flujo lineal y radial para pozos de gas y

petróleo, desarrollando una relación entre el caudal de producción y la caída de presión.

Para pozos de petróleo, se utiliza la siguiente ecuación:

oo

wf qDCq

PP+=

− ; (2.75)

donde C es el coeficiente de flujo laminar para pozos de petróleo, y D es el coeficiente

de turbulencia. A continuación se definen analíticamente C y D:

*Ak10127.1

*LC 3−+βμ

= , y (2.76)

2

213

*A*L81008.9D ρβ×

=−

; (2.77)

siendo A* el área seccional perpendicular al flujo en pie2, y L* la longitud del patrón de

flujo en pie.

De la Ec. 2.75, se puede graficar la relación de la presión diferencial y el caudal de

producción, (P - Pwf) / qo, versus el caudal de producción, qo. Este grafico representa

una línea recta con pendiente D e intercepto C, o C = limq→0(ΔP/q).

La Fig. 11 muestra la representación gráfica de datos de campo usando las

distintas pruebas de flujo.

La siguiente ecuación permite determinar el caudal de producción para cualquier

presión de fondo fluyente:

( )

D2PPD4CC

q wf2

o

−−+−= . (2.78)

El método planteado por Jones y col., permite el diagnóstico de la efectividad de la

completación en pozos de gas y pozos de petróleo.

67

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0.022

0.024

0.026

oq (MBNPD)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0.022

0.024

0.026

oq (MBNPD)

24 Hr.3 Hr.1 Hr.,2 Hr.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0.022

0.024

0.026

oq (MBNPD)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0.022

0.024

0.026

oq (MBNPD)

24 Hr.3 Hr.1 Hr.,2 Hr.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0.022

0.024

0.026

oq (MBNPD)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0.022

0.024

0.026

oq (MBNPD)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0.022

0.024

0.026

oq (MBNPD)

24 Hr.3 Hr.1 Hr.,2 Hr.

24 Hr.3 Hr.1 Hr.,2 Hr.

Figura 11. Análisis de pruebas de flujo: (a) estabilizada, y (b) isocronal (Jones, Blount y

Glaze, 1976).

2.5.1.4. Correlación de Klins y Majcher.

Klins y Majcher (1992) trataron de examinar distintos factores que afectan el

cálculo de las curvas IPR. Las variables críticas incluyeron propiedades de la roca,

propiedades del fluido, presión del punto de burbuja y el agotamiento del yacimiento. De

igual forma, tomaron en cuenta la zona dañada alrededor del pozo, la cual disminuye

dramáticamente la productividad.

El particular interés en el estudio fue la investigación del punto de burbuja o la

presión inicial, debido a que Vogel limitó su trabajo a bajas presiones de burbuja. El

estudio fue realizado para un amplio rango de valores de daño tanto positivos (daño)

como negativos (estimulación). En la Tabla 1, se muestra los rangos de los parámetros

estudiados.

Tabla 1. Rango de los datos usados en el estudio (Klins y Majcher, 1992).

Variable Valor Caso-Base Rango Pb, lpca 2000 1000 a 4000

(a) (b)

68

Tabla 1 (continuación) Variable Valor Caso-Base Rango

Gravedad del petróleo, ºAPI 35 25 a 45 re, pie (acre) 744,7 (40) 526,6 (20) a 1052,2 (80)

Sgc, % 5 0 a 10 Sor, % 30 20 a 40 k, md 100 10 a 1000 φ,% 15 10 a 20

Swc,% 30 20 a 40 s 0 -4+6 λ 2 4 a ∞

El desarrollo de las ecuaciones empíricas se realizó de dos formas:

i. Curvas tipo 1 (Adimensional, forma normalizada).

La presión de burbuja y el agotamiento del yacimiento juegan un rol primordial en

la forma de la curva IPR. Conocido esto, se desarrolló un nuevo modelo, relacionando

el caudal de producción adimensional con la presión adimensional, el punto de burbuja

y el agotamiento. El resultado fue:

d

wfwf

max,o

o

PP705.0

PP295.01

qq

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ; (2.79)

donde,

( )bb

P001.0235.1PP72.028.0d +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= . (2.80)

La curva de Vogel tiende a predecir bajo caudal de producción en

aproximadamente 1.8%, con un máximo de error de 54%. La Ec. 2.79 produce un mejor

ajuste, reduciendo el error absoluto promedio en 365% y el máximo error cerca de la

mitad.

ii. Curvas tipo 2 (Adimensional, forma no normalizada).

La ecuación esta dada por:

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−==

2wfwf

0smax,o

o

PP8755.0

PP1225.01M

qq ; (2.81)

69

donde,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

s476.0rrln

476.0rrln

M

w

e

w

e

. (2.82)

Si el valor de re es incierto o desconocido, el multiplicador, M, se puede aproximar

a ( )s886.6886.6 + . Todos los multiplicadores se determinaron por análisis de

regresión de los datos, sin considerar we rr . El error máximo cuando se usa la

aproximación es de un 9%.

Cuando se incluye la presión del punto de burbuja y el agotamiento del yacimiento,

la Ec. 2.81 se puede determinar de la siguiente forma,

( )

do wf wf

s 0o,max

q P PM 1 0.295 0.705P Pq

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

; (2.83)

donde d se calcula con la Ec. 2.80 y M con la Ec. 2.82.

El multiplicador, M, se puede aproximar por

( )s835.6835.6M

+= . (2.84)

Las ecuaciones (81) y (83) hacen un excelente trabajo de cálculo variando el daño

y espacio del pozo; sin embargo, la Ec. 2.83 reduce el error promedio cerca del 87%.

2.5.1.5. Correlación de Wiggins, Rusell y Jennings

Wiggins y col., (1992) presentaron una investigación basada en la naturaleza física

de sistema de flujo multifásico. La investigación se limitó a:

− Flujo radial.

− Yacimientos homogéneos donde los efectos por gravedad son despreciables.

− Todos los yacimientos están inicialmente en el punto de burbuja.

− No hay capa de gas inicial.

70

− Se aplica la ley de Darcy para flujo multifásico.

− Existen condiciones isotérmicas.

− No hay reacción entre los fluidos del yacimiento y la roca.

− No existe solubilidad de gas en el agua.

− Hay penetración total en el hoyo.

El desarrollo analítico de la ecuación consistió en un modelo matemático que

describe el flujo del fluido multifásico en un medio poroso, y se puede obtener por

combinación de principios físicos concernientes a la conservación de la masa, la ley de

Darcy y una ecuación apropiada de estado. La forma general de estas ecuaciones para

flujo de gas y petróleo son:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

φ∂∂

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∇βμ

∇o

o

oo

ro St

Pkk y (2.85)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

βφ

+β

φ

∂∂

=∇⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

βμ+

βμ∇

o

so

g

g

oo

sro

gg

rg RSSt

PRkkkk; (2.86)

donde se ignoran los efectos capilares, de gravedad y solubilidad de gas en el agua.

La segunda integral de la ecuación diferencial parcial de petróleo para flujo radial

se puede escribir en términos de presión promedio del yacimiento como:

( ) ∫ βμ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

=P

P oo

ro

w

eo

wf

Pdk

s43

rrln

hk2tq . (2.87)

La Ec. 2.87 se puede escribir en forma general como:

( ) ∫ βμ=

P

P oo

ro*o

wf

PdkCtq ; (2.88)

siendo C una constante dependiente de la geometría del área de producción y el

régimen de flujo.

71

Si

PPP −=Δ , (2.89)

entonces

( )PdPd Δ−= . (2.90)

La Ec. 2.88 queda:

( ) ( )∫Δ

Δβμ

=P

0 oo

ro*o Pd

kCtq . (2.91)

La Ec. 2.91 se puede normalizar dividiendo entre P :

( ) ∫Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

βμ=

PP

0 oo

ro*o P

Pdk

PCtq . (2.92)

En algún instante de tiempo durante el flujo dominado por el límite, el caudal de

producción se puede escribir como una función de la caída de presión. La Ec. 2.92 se

puede expandir cerca de cero en una serie de Taylor como:

( ) ( )( ) ( ) ( )∑

∞

=

∏+=∏1n

nn

ooo !n

0q0qq ; (2.93)

donde:

PP

PPP Δ

=−

=∏ . (2.94)

Evaluando los términos en la Ec. 2.93, resulta en:

( ) 00qo = , (2.95)

( )0oo

ro*

ok

!1PC0'q

=∏

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

= , y (2.96)

72

( ) ( )( )1n

0oo

ro*

no

k!nPC0q

−

=∏

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

= , 2n ≥ . (2.97)

Si se asume que los primeros cinco términos en la Ec. 2.93 son suficientes para

estimar la Ec. 2.80 a un tiempo dado, entonces se tiene:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+∏⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+∏⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+∏⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

=∏=∏=∏=∏

...k

61k

21k

PCq 3''`'

0oo

ro2''

0oo

ro

0oo

ro*o

ε+⎪⎭

⎪⎬⎫

∏⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+=∏

4'''

0oo

rok241... , (2.98)

siendo ε el término de error de truncamiento de la serie después de los primeros cinco

términos.

La Ec. 2.98 permite estimar el caudal de producción para cualquier presión de

fondo fluyente dada a la presión promedio de yacimiento igual a P . Para estimar el

máximo caudal de producción, la presión de fondo fluyente se debe igualar a cero.

Entonces ∏ sería 1, y,

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∏⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

==Π=Π=Π=∏

4///

0oo

ro//

0oo

ro/

0oo

ro

0oo

ro*max,o

k241k

61k

21k

PCq .

Usando la ecuación de Vogel propuesta, queda:

4

wf*4

3wf

*3

2wf

*2wf

*1

max,o

o

PP

DC

PP

DC

PP

DC

PP

DC1

qq

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++= . (2.99)

Los coeficientes están definidos por:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

−==∏=∏=∏=∏

///

0oo

ro

//

0oo

ro

/

0oo

ro

0oo

ro1

k61k

21kkC , (2.100)

73

///

0oo

ro

//

0oo

ro

/

0oo

ro2

k41k

21k

21C

=∏=∏=∏

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

= , (2.101)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

−==∏=∏

///

0oo

ro

//

0oo

ro3

k61k

61C , (2.102)

///

0oo

ro4

k241C

=∏

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

= , (2.103)

///

0oo

ro

//

0oo

ro

/

0oo

ro

0oo

ro* k241k

61k

21kD

=∏=∏=∏=∏

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

= (2.104)

La Ec. 2.99 es una IPR analítica y se puede usar para describir cualquier

yacimiento, sí se puede estimar la función de movilidad y sus derivados con respecto a

la presión.

Wiggins y col., (1992) extendieron el trabajo de flujo bifásico al flujo trifásico. Las

condiciones de la naturaleza física del yacimiento y los fluidos usadas en el estudio de

flujo bifásico fueron las mismas para flujo trifásico. De las Ecs. 2.85 y 2.86 usadas

inicialmente en el estudio de flujo bifásico, la segunda integral de la ecuación diferencial

parcial de petróleo para flujo radial se puede escribir en términos de presión de límite

exterior, Pe, como:

( ) ∫ βμ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

=e

wf

P

P oo

ro

w

eo Pdk

s21

rrln

hk2tq , (2.105)

o en términos de presión promedio del yacimiento, P , como:

74

( ) ∫ βμ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

=P

P oo

ro

w

eo

wf

pdk

s43

rrln

hk2tq . (2.106)

Para la fase de agua, las soluciones se pueden escribir como:

( ) ∫ βμ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

=e

wf

P

P ww

rw

w

ew Pdk

s21

rrln

hk2tq , y (2.107)

( ) ∫ βμ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

=P

P ww

rw

w

ew

wf

Pdk

s43

rrln

hk2tq . (2.108)

Las Ecs. del 2.105 al 2.108 se pueden escribir en la forma general:

( )( )

∫ βμ=

rP

P jj

rj*j

wf

Pdk

Ctq ; (2.109)

siendo C* dependiente de la geometría del área de producción y del régimen de flujo, y

el subíndice j se refiere a la fase de petróleo o de agua. En términos de presión de

yacimiento promedio, la Ec. 2.109 se puede escribir como:

( ) ∫ βμ=

P

P jj

rj*j

wf

Pdk

Ctq . (2.110)

Siguiendo el mismo procedimiento usado para flujo trifásico,

4

wf*4

3wf

*3

2wf

*2wf

*1

max,j

j

PP

DC

PP

DC

PP

DC

PP

DC1

qq

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+= ; (2.111)

75

donde los coeficientes se definen de la siguiente manera:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ−=

=Π=Π=Π=Π

///

0jj

rj//

0jj

rj/

0jj

rj

0jj

rj1

k61k

21kk

C , (2.112)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ=

=Π=Π=Π

///

0jj

rj//

0jj

rj/

0jj

rj2

k41k

21k

21C , (2.113)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ−=

=Π=Π

///

0jj

rj//

0jj

rj3

k61k

61C , (2.114)

///

0jj

rj4

k241C

=Π⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ= , (2.115)

///

0jj

rj//

0jj

rj/

0jj

rj

0jj

rj* k241k

61k

21k

D=Π=Π=Π=Π ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

βμ= . (2.116)

Para verificar la IPR analítica desarrollada y presentada por la Ec. 2.111, se

analizó la información de 135 corridas de simulación. Se usaron los resultados de la

tasa de producción y presión para desarrollar curvas IPR normalizadas para cuatro

yacimientos diferentes. La información de saturación y presión fue usada para

desarrollar perfiles de función de movilidad en términos de Π, los cuales fueron

ajustados con un polinomio para permitir la evaluación de la función movilidad y sus

derivadas. Se desarrolló una IPR analítica para cada yacimiento y se comparó con la

curva IPR del simulador, encontrándose errores máximos menores del 10%.

2.5.1.6. Correlación de Wiggins.

Wiggins (1993) presentó las relaciones de comportamiento de afluencia

generalizada para flujo trifásico en yacimientos homogéneos y limitados. El método se

basó en yacimientos homogéneos donde los efectos de gravedad y capilaridad no se

tomaron en cuenta.

76

Wiggins y col., (1992) propusieron una IPR analítica para flujo trifásico en

yacimientos limitados. Una de las ventajas de la IPR analítica es que se puede

desarrollar una IPR específica a un yacimiento en particular y sus condiciones de

operación. Sin embargo, la mayor desventaja es que requiere información de la

permeabilidad relativa y propiedades del flujo del yacimiento; así como, su

comportamiento con la presión. Esto no es problema si la permeabilidad relativa y los

datos de presión, volumen y temperatura (PVT) están disponibles para el yacimiento de

interés, junto con información de la presión promedio del yacimiento y la saturación del

agua. Con esta información, se puede desarrollar los perfiles de la función de movilidad

requeridos para la presión actual del yacimiento.

Desafortunadamente, no siempre se tiene información confiable de la

permeabilidad relativa o la propiedad del fluido; por lo tanto, la IPR analítica es sólo de

interés académico. Wiggins desarrolló curvas IPR trifásicas generalizadas similares a

las de Vogel.

El método se limitó a las siguientes suposiciones:

− Todos los yacimientos inicialmente están en el punto de burbuja.

− No hay capa de gas inicial.

− Se presenta una fase de agua móvil para estudios trifásicos.

− Se aplica la ley de Darcy para flujo multifásico.

− Existen condiciones isotérmicas.

− No hay reacción entre los fluidos del yacimiento y la roca.

− No existe solubilidad de gas en el agua.

− Los efectos de gravedad son despreciables.

− Hay penetración total en el hoyo.

Wiggins examinó 16 yacimientos teóricos, simulando el conjunto de datos básicos

de permeabilidad relativa y la propiedad del fluido. Luego, usando un simulador generó

curvas IPR, donde los máximos caudales de producción de petróleo y agua fueron

estimados en cada una de las etapas de agotamiento del yacimiento. Usando un

modelo de regresión lineal de la forma

221o AxAAy ×++= ,

se ajustó la información. Las ecuaciones de las curvas IPR generalizadas resultaron en:

77

2

wfwf

max,o

o

PP481092.0

PP519167.01

qq

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= , y (2.117)

2

wfwf

max,w

w

PP284777.0

PP722235.01

qq

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ; (2.118)

donde los subíndices o y w, están referidos al petróleo y agua respectivamente.

El error promedio absoluto fue de 4.39% para la IPR de petróleo y 6.18% para la

IPR de agua, indicando que las curvas generadas se pueden usar en un amplio rango

de propiedades del yacimiento si se produce bajo condiciones de flujo semi-estable.

2.5.1.7. Correlación de Sukarno y Tobing

Sukarno y Tobing (1995) estudiaron el comportamiento de afluencia en pozos

cañoneados que producían en yacimientos con empuje por gas en solución. El modelo

matemático consistió del modelo matemático de flujo de gas y de petróleo, desde los

límites del yacimiento hasta la cara de la arena, y la ecuación analítica del flujo de gas y

de petróleo de cañoneo derivada por Pérez y Kelkar (1991).

El modelo matemático es un modelo radial de tres fases, donde se resuelven

ecuaciones diferenciales parciales de flujo de agua, petróleo y gas. Hay que tomar en

cuenta la geometría de cañoneo del pozo. Al penetrar la formación se toma en cuenta la

longitud del cañoneo, Lp (medida desde la cara de la arena); el radio del hueco del

cañoneo, rp, y el radio de la zona compactada alrededor del cañoneo, rc (medida desde

el centro del cañoneo). Se considera que el radio de la zona compactada y del cañoneo

son las mismas. Adicional a las consideraciones expuestas, Pérez & Kelkar

consideraron las siguientes suposiciones:

− El flujo se encuentra en estado estable e isotérmico.

− El flujo es perpendicular a la longitud del cañoneo.

− Existe flujo simultáneo de gas y petróleo a través del cañoneo.

− El caudal de flujo en cada perforación es la misma, y es el caudal de flujo total

dividido entre el número de perforaciones.

− La presión en los límites superiores de la zona compactada es constante.

78

− La permeabilidad relativa en la zona compactada es una función de la saturación

(la misma a la permeabilidad relativa de la formación).

− Los efectos de gravedad y presión capilar se desprecian.

Las ecuaciones diferenciales parciales del flujo de gas y petróleo en las

perforaciones fueron derivadas de una combinación de la ley de la conservación de la

masa y la ecuación de Forchheimer. Estas ecuaciones representan flujo turbulento en el

medio poroso, entre la zona compactada y la perforación. Resolviendo las ecuaciones

parciales, Pérez & Kelkar llegaron a la ecuación de la caída de pseudo-presión:

( ) ( )ppDcpDpD PPPPP −=Δ , (2.119)

∫ βμ=Δ

p

c

P

P oo

or

o

cpppD Pd

kq1695knL

P . (2.120)

Para resolver la caída de pseudo-presión en las perforaciones, la Ec. 2.120

requiere la relación entre kro /μo βo versus presión. Para propósito de simplificación, se

asume una relación lineal. Usando esta simplificación, se tiene:

PPoo

ro

oo

ro kP1k

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βμ

=βμ

. (2.121)

Sustituyendo la Ec. 2.121 en la Ec. 2.120,

( )2p

2c

PPoo

ro

o

cpppD PP

kP1

q1695knL

P −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βμ

=Δ=

. (2.122)

El modelo matemático fue usado para un rango de datos de propiedades roca y

fluido, como también para diferentes tamaños del yacimiento y del cañoneo. Se calculó

la caída de presión en las perforaciones aplicando la ecuación de Pérez & Kelkar para

ciertos diámetros, longitudes y números de perforaciones. Luego, la presión de fondo

fluyente se calculó sustrayendo la caída de presión en las perforaciones a la presión

79

fluyente en la cara de la arena. El tipo de gráfico de Vogel se usó, y se graficó las

curvas adimensionales tomado en cuenta la técnica de cañoneo y la geometría del

mismo. Basado en los resultados, se tiene:

− Para una densidad de tiro mayor que 12 TPP, la caída de presión en las

perforaciones se puede despreciar, y el pozo se desarrollaría como un pozo a

hueco abierto.

− Para los rangos de longitud de las perforaciones (3.03-12.33 pulgadas), el efecto

de la longitud de las perforaciones es despreciable.

Las curvas IPR obtenidas del modelo se agruparon de acuerdo a la técnica de

cañoneo y el radio de las perforaciones. Se realizó un ajuste de regresión y se obtuvo:

2

wf2

wf1o

max

o

PPa

PPaa

Qq

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+= ; (2.123)

siendo ao, a1 y a2 constantes que dependen del radio de las perforaciones y la técnica

de cañoneo (ver Tablas 2 y 3), y Qmax el máximo caudal sin cañoneo.

Tabla 2. Constantes de la Ec. 2.123 para perforación sobre-balance (Sukarno y Tobing,

1995).

rp (pulgadas) TPP ao a1 a2

16 0,91995 0,08072 -0,97117 12 0,90482 0,08881 -0,96534 8 0,87333 0,10715 -0,98364 4 0,77503 0,12529 -0,87781

> 0,30

2 0,6171 0,26632 -0,86983 16 0,83925 0,12038 -0,93283 12 0,79505 0,14935 -0,91988 8 0,73507 0,11547 -0,82687 4 0,57857 0,09956 -0,65332

≤ 0,30

2 0,33247 0,20784 -0,52487

80

Tabla 3. Constantes de la Ec. 2.123 para perforación bajo-balance (Sukarno y Tobing,

1995).

rp (pulgadas) TPP ao a1 a2

16 0,95146 0,06546 -0,98175 12 0,93806 0,05464 -0,95875 ≥ 0,190 8 0,92006 0,05473 -0,94102 4 0,91196 0,07855 -0,95974 > 0,30 2 0,8554 0,06302 -0,88678 4 0,79507 0,15189 -0,91899

≤ 0,30 2 0,64374 0,22082 -0,83782

Se puede predecir la curva IPR de un pozo cañoneado que produce en un

yacimiento por empuje con gas en solución usando una prueba de flujo simple y

aplicando la Ec. 2.123. El procedimiento de cálculo es similar al procedimiento usado en

Vogel.

2.5.1.8. Método de Caicedo.

Caicedo (2001) desarrolló un método para estimar el comportamiento de afluencia

en pozos que producen por levantamiento artificial por gas intermitente (LAGI).

Las curvas IPR son más fáciles de obtener en pozos con levantamiento artificial

por gas continuo, debido a que solamente se necesitan un par de valores: presión de

fondo fluyente (medida o estimada) y su correspondiente caudal. Sin embargo, en

pozos con LAGI, la presión de fondo fluyente es un valor instantáneo que cambia

continuamente al igual que el caudal; por lo tanto, se requiere de un análisis especial.

Este hecho se refleja en los discos de presión de cabezal, notándose la esencia

transiente del método. Se pueden apreciar dos procesos en estos discos:

− La formación del tapón y la presurización del anular.

− El ascenso del tapón y la despresurización del anular

El trabajo realizado por Caicedo corresponde a la formación del tapón y, toma en

consideración la estimación del resbalamiento (fall back) del tapón mientras asciende

por la tubería de producción. El resbalamiento no solo es importante en el diseño,

simulación y operación en pozos con LAGI; sino que también es un parámetro

importante en la estimación de las curvas IPR.

81

En LAGI, la presión de fondo fluyente instantánea durante la etapa de acumulación

es la presión del gas en la parte superior de la columna (Ptop) es la suma de la presión

del separador y el peso de la columna de gas) mas el peso de líquido. Por conveniencia

se divide la columna en dos partes. La primera parte, es la columna que va desde las

perforaciones (Yperf) hasta la válvula (Yvalv), cuyo valor es fijado por la completación del

pozo. La segunda parte, es la columna que va desde la válvula hasta el tope del tapón

(Y(t)), el cual cambia con el tiempo y es la columna ha ser levantada. Así, la expresión

matemática para la presión de fondo fluyente es

( ) ( ) ( )valvperftopwf YYGrtYGrPtP −++= . (2.124)

Cuando la columna alcanza su máximo valor (Ymax), la presión de fondo fluyente

también alcanza su máximo valor (la presión de yacimiento, P ). Con estas dos

condiciones, de la ecuación anterior se tiene:

( )valvperfmaxtop YYGrYGrPP −++= ; (2.125)

donde Gr es el gradiente de presión del líquido, el cual depende de la ºAPI y la fracción

de agua (fw):

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+=

APIº5.131f15.141f433.0Gr w

w . (2.126)

Sustituyendo la Ec. 2.125 en la Ec. 2.124, se tiene:

( ) ( ) maxwf YGrtYGrPtP −+= . (2.127)

Luego, introduciendo la condición de que el caudal líquido dentro de la tubería de

producción (el volumen de la columna varía con tiempo) es igual al caudal instantáneo

del yacimiento, entonces:

82

( ) ( )tqtd

tVdyacimiento,liq

col = . (2.128)

Considerando el modelo de Darcy y agregando los factores de conversión (el

tiempo en minutos, la columna en pie y los barriles en pies cúbicos), la ecuación queda

como:

( ) ( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=P

tP11440

q62.5tdtYdA wflinealmax,

t , (2.129)

PJq linealmax, = ; (2.130)

siendo qmax,lineal el máximo caudal del yacimiento asumiendo la Ley de Darcy, J el índice

de productividad y At la sección transversal de la tubería de producción.

De manera diferente, sí se escoge la correlación de Vogel, entonces la ecuación

se convertiría en:

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=2

wfwfVmax,t P

tPV1P

tPV11440

q62.5tdtYdA , (2.131)

( )V2PJq Vmax, −

= ; (2.132)

donde V es un coeficiente adimensional usualmente igual a 0.2, pero puede tomar otro

valor. Para el modelo de Vogel, la Ec. 2.132 muestra la relación entre el máximo caudal

del yacimiento (qmax,V), la presión del yacimiento ( P ) y la definición del índice de

productividad (J). Para este caso, el índice de productividad (J) es la pendiente de la

curva de influjo donde la presión de fondo fluyente es igual a la presión del yacimiento.

Reorganizando las Ecs. desde la 2.129 a la 2.132, se tiene una integral donde la

solución se requiere para encontrar la expresión para Y(t), así para el modelo de Darcy

se resuelve:

83

tdA1440

q62.5

PYGrYGrP1

Yd acumacum

o

T

0 t

linealmax,Y

Y max∫∫ =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−−

. (2.133)

Para el modelo de Vogel,

( )td

A1440q62.5

PYGrYGrPV1

PYGrYGrPV1

Yd acumacum

o

T

0 t

Vmax,Y

Y2

maxmax

∫∫ =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−

(2.134)

Donde Yacum es la columna cuando la válvula abre y Yo es la columna cuando el

proceso de acumulación comienza.

acumtacummax

omax TA1440

PJ615.5YYYYln

GrP

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

− . (2.135)

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) acum

tacummaxacummax

omaxacummax

TV2A1440

PJ615.5

YYGrV1PV2YY

YYGrV1PV2YY

lnV2Gr

P−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

−.

(2.136)

Con estas ecuaciones es posible calcular qmax en cada caso, sí se conoce la

presión de yacimiento. En otra forma, los valores Yacum y Yo se obtienen de la producción

diaria (qL a prueba de separador), el tiempo de acumulación y la duración del ciclo (Tacum

y Tciclo se muestran en el disco de cabezal) y la fracción de resbalamiento (Cresbalamiento). La

relación entre estos valores se obtiene considerando que la suma de los volúmenes de

todos los tapones producidos es igual a la producción diaria, entonces:

( ) Lntoresbalamieacumtíaciclospord q615.5C1YAN =− . (2.137)

84

El complemento del tapón producido es el resbalamiento, lo cual sería la columna

inicial para la etapa de acumulación en el próximo ciclo. Por lo tanto:

ntoresbalamieacumo CYY = . (2.138)

Ya que el tapón producido se mide en el separador, entonces la estimación del

tapón original (cuando las válvulas abren) es suficiente para determinar la fracción del

resbalamiento (Cresbalamiento). El tapón original se puede estimar de las presiones de

apertura y cierre en el anular a la profundidad de la válvula (Pcvo y Pcvc) calculado del

gradiente de gas y las presiones de apertura y cierre del anular en la superficie, el cual

es registrado en el disco de cabezal. Haciendo un balance de fuerzas, las siguientes

ecuaciones se pueden obtener para válvulas operadas por presión de revestidor y por

presión de tubería:

( )valv

valvtopvalvcvocvc

t

cicloL

ntoresbalamie

RGrRPR1PP

A1440Tq615.5

1C−−−

−= . (2.139)

( )( )valv

valvtopcvovalcvc

t

cicloL

ntoresbalamie

R1GrR1PPRP

A1440Tq615.5

1C

−

−−−−= . (2.140)

Sin embargo; si la presión de yacimiento se desconoce, sería necesario estimar el

qmax y la P de otra forma, debido a que las Ecs. 135 y 136 están relacionadas a Yacum,

P y qmax. Con la nueva propuesta, se obtiene de la Ec. 2.137 una expresión explicita

para Yacum,

( ) acumt

TA1440

JGr615.5

maxomaxacum eYYYY −+= . (2.141)

85

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) acum

t

acumt

TA1440

GrJ615.5

omaxomax

TA1440

GrJ615.5

omaxmaxomaxmax

acum

eYYGr1P2YY

eYYGr1P2Y

Gr1P2YYY

Y

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α−α−

−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α−α−

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α−α−

−−= .

(2.142)

Las ecuaciones previas relacionan un valor de Yacum a un valor del par J y Pr

(manteniendo en mente que Ymax depende de Pr

); los cuales son el principal parámetro

en el desempeño del pozo. Como ya se mencionó, solamente hay una ecuación (una

por cada modelo de influjo) y dos parámetros desconocidos para calcular; por lo tanto,

se requieren de dos o más pruebas de producción para aplicar esta ecuación.

Usando las Ecs. 2.137 y 2.138 y data de campo qL(i), Cresbalamiento(i), Tacum(i) y Tciclo(i) (los

subíndices denotan las diferentes pruebas con 1 ≤ i ≤ Número de pruebas) se puede

determinar los valores de las diferentes columnas para cada prueba que sería

Yacum_campo(i). En otra forma, la data de campo Cresbalamiento(i), Tacum(i) y Tciclo(i) y un par de valores

asumidos de J y P , es posible calcular la columna estimada que sería nombrada

Y(J, P )(i). La forma para coincidir el modelo (J, P ) es a través del match de toda

Yacum_campo(i).y Y(J, P )(i).simultáneamente; es decir, se ajustaría columnas acumuladas. A

este punto, la idea de mínimos cuadrados se introduce y considerando la siguiente

función, que sería nombrada como Distancia(J , P )

( ) ( ) ( )( )( )∑=

−=pruebasN

1i

2iicampo_acum

2 P,jYYP,JciatanDis . (2.143)

La idea general es encontrar los valores de J y P que minimicen esta suma. El

método común de mínimos cuadrados para ajuste lineal obtiene las ecuaciones

explicitas para la pendiente y el intercepto, introduciendo una ecuación de la línea recta

dentro de la suma y entonces derivando para encontrar un mínimo. En este caso es

imposible obtener ecuaciones explicitas, así que se requiere de algoritmos numéricos a

este nivel para afinar los valores de J y P para minimizar esta función de Distancia(J,

P ) no lineal. El modelo de Vogel y Darcy utilizado por el método de Caicedo si permite

encontrar una expresión analítica.

86

Es importante enfatizar que para las diferentes pruebas se debe tener datos

cerrados y el tiempo de ciclo debe ser diferente en al menos 10 minutos entre ciclos.

También es conveniente evitar tiempos de ciclo mayores a 80 minutos. Con la data

adquirida en esta forma es posible encontrar un ajuste fiable usando el algoritmo

propuesto.

Las ecuaciones previas que fueron desarrolladas para pozos con LAGI no se

pueden aplicar para variaciones en LAGI. El tipo intermitente: plunger asistido, plunger

convencional y la cámara de acumulación difieren en pequeñas modificaciones en su

diseño mecánico y operacional, y estas pequeñas diferencias implican que cada

completación se debe analizar cuidadosamente para determinar cómo usar o adaptar

las ecuaciones desarrolladas.

2.5.2. Pozos horizontales

2.5.2.1. Modelo de Joshi

Joshi (1988) desarrolló un modelo matemático para pozos horizontales que

producen bajo condición de estado estable. Para ello, utilizó la teoría de flujo potencial

en tres dimensiones (3D) ( 2∇ P=0). Al asumir, que la presión es constante en el límite

del área de drenaje; la solución daría una distribución de presión dentro del yacimiento

y con ello, el cálculo del caudal de producción usando la ley de Darcy.

En la Fig. 12 se observa la diferencia de la forma de drenaje entre un pozo vertical

y un pozo horizontal.

Joshi simplificó la solución matemática, subdividiendo el problema 3D en dos

problemas (2D). La Fig. 13 muestra la subdivisión del problema de drenaje elipsoidal:

(a) flujo de petróleo dentro de un pozo horizontal en un plano horizontal, y (b) flujo de

petróleo dentro de un pozo horizontal en un plano vertical.

87

reH

2rw

Petróleo h

reH

L

h

reH

2rw

Petróleo h

reH

L

h

reH

2rw

Petróleo h

reH

L

h

Figura 12. Esquemas del volumen de drenaje para un pozo: (a) vertical (cilíndrica), y (b)

horizontal (elipsoidal) (Joshi, 1988).

Figura 13. División del problema del pozo horizontal en dos problemas (Joshi, 1988).

La Fig. 14 muestra un esquema de flujo para un pozo horizontal, en un plano

horizontal. Las elipses representan curvas de presión constante (φ-constante), mientras

las hipérbolas representan líneas aerodinámicas constantes (Ψ-constante).

(a)

(b)

kz

ky

88

Figura 14. Esquema del flujo potencial en un pozo horizontal: (a) plano horizontal, y (b)

plano vertical (Joshi, 1988).

El sistema de números complejos se resuelve en un plano horizontal, quedando la

producción de petróleo como:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

βμ

Δπ=

2L

2Laa

ln

Pk2q2

2

oo

o1 . (2.144)

La Ec. 2.144 se multiplica por el espesor del yacimiento, h; con el fin de calcular la

producción de petróleo de un número de pozos horizontales apilados desde el fondo

hasta el tope del yacimiento,

hq*q 11 = . (2.145)

La resistencia al flujo en la dirección horizontal viene dada por:

89

( ) ⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

πβμ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αβμΔπ

Δ=

Δ=

2L

2Laa

lnhk2

lnPhk2

P*q

PR

22

o

oo

oo

o1fH . (2.146)

Un pozo horizontal de espesor 2 rw puede experimentar una resistencia al flujo

vertical. Al resolver el sistema de números complejos en un plano vertical, el flujo dentro

de un pozo horizontal de una unidad de longitud dada, localizada en la mitad del

yacimiento es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βμ

Δπ=

woo

o2

r2hln

Pk2q . (2.147)

El flujo de petróleo en un pozo horizontal de longitud L, q2*, es:

Lq*q 22 = . (2.148)

La resistencia de flujo en la dirección vertical viene dada por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

βμ=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βμ

Δπ

Δ=

Δ=

wo

oo

woo

o

2fV r2

hlnLk2

r2hln

PLk2

P*q

PR . (2.149)

Con la resistencia vertical y horizontal se puede calcular el caudal de producción.

Para ello, se suma las Ecs. 146 y 149:

qP

*q1

*q1P

*qP

*qPRR

2121fVfH

Δ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Δ=

Δ+

Δ=+ . (2.150)

Se despeja q de la Ec. 2.150, quedando:

90

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ σ+α

πβμ

Δ=

σπ

βμ+α

πβμ

Δ=

+Δ

=ln

Lhln

hk2

P

lnLk2

lnhk2

PRR

Pq

o

oo

o

oo

o

oofVfH

,

donde,

2

L2Laa

22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

=α , y (2.151)

wr2

h=σ . (2.152)

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ σ+αβμ

Δπ=

lnLhln

Phk2qoo

o . (2.153)

La Ec. 2.153 se usa para condiciones de L > h y (L/2) < 0.9 reH.

El término “a” se refiere a la mitad del eje mayor de un radio de drenaje en forma

de elipse, en el plano horizontal donde el pozo esta localizado, y se define como:

4

eH

L5.0r

41

21

2La ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= , (2.154)

donde eHr es el radio de drenaje de un pozo horizontal.

La Ec. 2.153 arrojó resultados satisfactorios con la data de laboratorio analizada,

prediciendo el caudal de producción en pozos horizontales.

En muchos yacimientos, la permeabilidad vertical es menor que la permeabilidad

horizontal. Por lo tanto en pozos horizontales, una disminución en la permeabilidad

vertical resultaría en un incremento de la resistencia al flujo vertical y una disminución

en la producción. Joshi estudió la influencia de la anisotropía en el yacimiento, y

desarrolló las siguientes ecuaciones:

91

( )

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+αβμ

−×=

−

w

anianioo

wfey3

r2hIln

LhIln

PPhk1008.7q , (2.155)

donde

z

yani k

kI = .

La Ec. 2.155 se usa para L > Iani h.

También existe otra ecuación desarrollada:

( )

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡σ⋅+αβμ

−×=

−

lnL

hIln

PPhk1008.7q

2ani

oo

wfey3

. (2.156)

Sin embargo, la Ec. 2.155 es la más usada; ya que arroja resultados de producción

más conservadores. Joshi también estudio la excentricidad de un pozo horizontal. Para

ello, utilizó la formulación de Muskat (1937) para pozos descentralizados, donde la

producción de un pozo horizontal en un plano vertical localizado a una distancia zw de la

mitad del yacimiento, esta dada por:

( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−βμ

Δπ=

2rh

z2h

ln

PLk2q

w

2w

2

oo

o2 ; (2.157)

siendo zw la distancia vertical entre el centro del yacimiento y la ubicación del pozo

horizontal, y viene dada en pie. Al desarrollar el procedimiento general, se tiene que

( )

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ η+αβμ

−×=

−

lnLhln

PPhk1008.7qoo

wfeo3

; (2.158)

92

siendo

( )

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−=η

2rh

z2h

w

2w

2

. (2.159)

La Ec. 2.159 se usa para zw < (h/2).

Economides y col., (1991) modificaron el modelo de Joshi, para incluir los efectos

de la anisotropía y el daño de formación:

( )

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+αβμ

−×=

−

sr1I

hIlnL

hIln

PPhk1008.7q

wani

anianioo

wfey3

(2.160)

2.5.2.2. Modelo de Babu y Odeh.

Babu y Odeh (1989) presentaron un modelo del comportamiento de afluencia para

pozos horizontales que producen bajo la condición de estado semi-estable. El modelo

puede manejar tanto yacimientos isotrópicos como anisotrópicos, y el pozo puede estar

en cualquier posición de un yacimiento con forma de caja.

El modelo físico se muestra en la Fig. 15, y consiste en las siguientes

suposiciones:

− Pozo de radio rw y longitud L.

− El volumen de drenaje del pozo tiene forma de caja, paralelo a la dirección y.

− Las dimensiones del volumen de drenaje son: (a) espesor, h, (b) longitud, x

(dirección x), y (c) ancho, y (dirección y).

− El pozo tiene una longitud L ≤ y, y se extiende entre y1 y y2.

− La localización x y z se indican por xo y zo, respectivamente.

− El pozo produce a caudal constante (flujo uniforme).

− La permeabilidades en las direcciones x, y y z son respectivamente kx, ky y kz.

− La porosidad, φ, es constante y el fluido ligeramente compresible.

− Todos los límites del yacimiento están sellados.

93

La presión en el volumen de drenaje antes de producir el pozo es uniforme e igual

a Pi (t=0-). A un tiempo (t=0+) se comienza a retirar una cantidad de fluido a un caudal q

del pozo, y se desea encontrar la caída de presión ΔP = Pi – P en función del tiempo y

espacio para t > 0.

Matemáticamente el problema planteado se puede describir a través de la

siguiente ecuación:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

tPB

zPk

yPk

xPk 2

2

z2

2

y2

2

x ; (2.161)

siendo tC952.157B μφ= expresada en días.

Figura 15. Ubicación de los parámetros físicos del modelo (Babu y Odeh, 1989).

La Ec. 2.161 se puede resolver con las condiciones iniciales y de límite descritas

en el modelo físico. La solución se derivó usando los métodos de separación de

variables y series de Fourier.

La ecuación de flujo para un pozo horizontal viene dada por:

( )

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μβ

−×=

−

RHw

Hoo

wfzxe3

s75.0ClnrA

ln

PPkky1008.7q ; (2.162)

siendo hxA eH = .

94

En la Ec. 2.162 se asume que no existe daño en la formación. Si existiese, sR se

convertiría en sR+sf; donde sf es el daño resultante del cambio en la permeabilidad de la

formación alrededor del pozo.

El índice de productividad, J, viene dado en unidades de campo (BNPD/lpca) por:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μβ

×=

−

RHw

Hoo

zxe3

s75.0ClnrA

ln

kky1008.7J . (2.163)

De la Ec. 2.163, ln (CH) se calcula con la siguiente ecuación:

( ) 088.1kk

hxln5.0

hzº180senln

xx

xx

31

kk

hx28.6Cln

x

zeo2

e

o

e

o

x

zeH −⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

(2.164)

En la Ec. 2.164 se requiere que zxe kkh75.0x ≥ , y que exista una distancia

mínima entre el pozo y los límites existentes: ( ) zxoeo kkh75.0xx,xmin ≥− .

Se asume que xe y ye son más grandes que h, siendo siempre zkh menor que

xe kx y ye ky . De no mantenerse esta condición, la solución muestra que no sería

ventaja perforar un pozo horizontal, ya que el caudal de producción sería muy similar al

de un pozo vertical.

Para calcular sR se consideran dos casos:

a) zy

e

x

e

kh75.0

ky75.0

kx

>≥ .

En el caso a) se calcula sR como:

xyxyzR 'PPs += ; (2.165)

95

siendo Pxyz el componente resultante del grado de penetración (L/ye) y P’xy el

componente resultante del grado de localización del pozo en el plano xy. A continuación

se presenta las ecuaciones para calcular cada componente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= 84.1h

zº180senlnkkln25.0

rhln1

LyP o

z

x

w

exyz , (2.166)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

e

mid

e

mid

ey

z2

exy y2

Ly4Fy2

Ly4F5.0y2

LFkk

hLy2'P ; (2.167)

donde

2

yyy 21mid

+= .

De la Ec. 2.167, se tiene:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

eeee y2L137.0

y2Lln145.0

y2L

y2LF . (2.168)

Para evaluar ( )( )emid y2Ly4F + y ( )( )emid y2Ly4F − de la Ec. 2.167,

dependerá de los siguientes argumentos:

Si e

mid

y2Ly4 +

=ϕ o e

mid

y2Ly4 −

=λ 1≤ , se usa:

( ) ( ) ( )( )2137.0ln145.0F ϕ−ϕ+ϕ−=ϕ , (2.169)

( ) ( ) ( )( )2137.0ln145.0F λ−λ+λ−=λ . (2.170)

Si e

mid

y2Ly4 +

=ϕ o e

mid

y2Ly4 −

=λ 1> , se usa:

( ) ( ) ( ) ( )( )22137.02ln145.02F ϕ−−ϕ−+ϕ−=ϕ , (2.171)

96

( ) ( ) ( ) ( )( )22137.02ln145.02F λ−−λ−+λ−=λ . (2.172)

b) zx

e

y

e

kh

kx33.1

ky

>⋅≥ .

En el caso b) se calcula sR como:

xyyxyzR PPPs ++= . (2.173)

El componente Pxyz viene dado por la Ec. 2.166; y el componente Py viene dado

por:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 3

yL

y24L

yy

yy

31

khxkky28.6

Pee

2

e

mid

e

mid

ye

zx2

ey . (2.174)

El componente Pxy viene dado por:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=2

e

o

e

o

x

zeexy x

xxx

31

kk

hx28.6

1Ly

P . (2.175)

La Ec. 2.175 se cumple para ( ) eoeo x25.0xx,xmin ≥− .

2.5.2.3. Correlación de Bendakhlia y Aziz

Bendakhlia y Aziz (1989) desarrollaron una correlación IPR para pozos

horizontales. La data se generó de una simulación de yacimiento. El modelo físico para

la simulación fue el siguiente:

− Yacimiento con forma de caja con un área de drenaje cuadrada.

− La formación es homogénea e isotrópica.

− La compresibilidad de la formación es constante.

− El pozo esta localizado en la mitad del yacimiento, y esta centrado en la mitad del

espesor de la formación en toda la longitud del yacimiento.

97

Usando dos simuladores comerciales, se generaron curvas IPR, al obtener un

conjunto de puntos relacionando presiones de fondo fluyente con sus respectivos

caudales de producción de petróleo a un factor de recobro constante, el cual se refiere

a la relación de petróleo acumulado producido al petróleo original en sitio. Cuando se

logra un factor de recobro durante el transcurso del agotamiento, se graban la tasa del

petróleo correspondiente y la presión del pozo como coordenadas de un punto sobre

una curva IPR de dicho factor de recobro. Otros puntos de la curva se obtienen de

resultados de otras operaciones, las cuales restringen tanto la tasa de petróleo como la

presión del pozo para cruzarse con la curva IPR esperada. La repetición del mismo

procedimiento con diferentes factores de recobro, arrojó diferentes curvas IPR. Las

curvas IPR adimensionales se construyeron al dividir la coordenada de presión de cada

punto en una curva IPR entre la presión promedio del yacimiento, y la coordenada del

caudal de petróleo entre el máximo caudal de petróleo correspondiente al 100% de

caída de presión.

Se examinaron dos tipos de corridas de la simulación. La primera, con el pozo a

presión constante. La segunda, con caudal de producción de petróleo constante. Para

el mismo número de corridas de simulación, la corrida de presión constante resultó en

una mejor resolución de la curva IPR que las corridas de caudal de petróleo constante.

Por esta razón, todas las corridas subsiguientes se hicieron a la condición de presión

constante.

Las curvas IPR se generaron cubriendo un amplio rango de propiedades del fluido,

condiciones del yacimiento y características del pozo. Se adimensionalizaron las curvas

IPR para observar la curvatura en cada una. Se observó que las curvas exhibían una

forma similar, realizando un primer ajuste usando la correlación de Vogel y luego, con el

método de Fetkovich. La ecuación dada fue

( )n2

wfwf

maxo

o

PPV1

PPV1

qq

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ; (2.176)

donde V y n son parámetros que varían con el factor de recobro. En la Fig. 16 se puede

observar la variación de V y n con el factor de recobro.

98

Figura 16. Parámetros V y n versus el factor de recobro de una curva ajustada con la

nueva ecuación (Bendakhlia y Aziz, 1989).

2.5.2.4. Correlación de Cheng.

Cheng (1990) presentó un trabajo donde desarrollaba una ecuación para calcular

IPR en pozos desviados y horizontales. Usó el simulador para pozos horizontales y

desviados, NIPER, para generar curvas IPR y desarrollar una correlación basada en los

resultados de la simulación. Las siguientes condiciones se establecieron para el

modelo:

− El pozo horizontal esta produciendo bajo condición de estado semi-estable.

− El modelo es un yacimiento rectangular limitado.

− El pozo esta ubicado en la mitad del yacimiento.

− El yacimiento es homogéneo e isotrópico con una saturación de agua constante.

− La saturación de agua es inmóvil durante la producción. Sólo hay petróleo y gas

moviéndose en el yacimiento.

− La permeabilidad y porosidad en las direcciones x, y y z son iguales.

− El flujo bifásico, el petróleo y el gas, son considerados en el yacimiento.

99

Se usó un simulador para generar curvas IPR para las distintas condiciones de

fluido-roca y los ángulos de inclinación de los pozos analizados. Se observó curvas IPR

parabólicas para cada ángulo de inclinación seleccionado. Se realizó un ajuste de

regresión cuadrática usando un software matemático sofisticado, de la forma 2

210 ´Pb´Pbbq́ ++= , siendo b0, b1 y b2 los coeficientes de regresión.

La ecuación con el mejor ajuste vino dada por:

2

wf2

wf1o

max,o

o

PPb

PPbb

qq

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= . (2.177)

En la Tabla 4 se muestra los valores de b0, b1 y b2 para los distintos ángulos de

inclinación.

Tabla 4. Coeficientes de regresión para pozos horizontales e inclinados (Cheng, 1990).

Ángulo de inclinación (grado) b0 b1 b2

0 (vertical) 1,000 0,2000 0,8000 15 0,9998 0,2210 0,7783 30 0,9969 0,1254 0,8682 5 0,9946 0,0221 0,9663 60 0,9926 -0,0549 1,0395 75 0,9915 -0,1002 1,0829 85 0,9915 -0,1120 1,0942

88,56 0,9914 -0,1141 1,0964 90 (horizontal) 0,9885 -0,2055 1,1818

2.5.2.5. Método de Kabir.

Kabir (1992) presentó una herramienta analítica y sencilla para predecir la curva

IPR de pozos horizontales e inclinados que producen en yacimientos con empuje por

gas en solución.

La metodología da flexibilidad de escoger la configuración pozo-yacimiento y las

condiciones de límite exterior, y el daño de formación.

El método propuesto se basó en los enfoques de Fetkovich y Vogel para estudio

en pozos verticales. La ecuación usada en el método de Fetkovich, se escribe como:

100

( )n2wf

2o PPJq −= y (2.73)

de forma adimensional:

n2

wf

Fmax,o

o

PP1

qq

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= . (2.74)

Diferenciando la Ec. 2.162 y asumiendo n=1, se tiene

2wf

F,maxowf

o

PPq

PqqdJ =−= . (2.178)

A la presión en el punto de burbuja, la Ec. 2.178 se expresa como

2PJq b

F,maxo = . (2.179)

Si se utiliza la correlación de Vogel, se tiene:

8.1PJ

q bVmax,o = . (2.53)

Para un pozo vertical en un límite de drenaje circular, J viene dado en unidades de

campo por:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+βμ

×=

−

mw

eoo

o3

sr

r472.0ln

hk1008.7J . (2.180)

Para límites de drenaje no circulares, re/rw se debe reemplazar por X, la cual

depende de la configuración del yacimiento.

Para un pozo horizontal, se usa el concepto de radio efectivo del pozo para

conservar la misma forma de la Ec. 2.180:

101

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+βμ

×=

−

mwe

eoo

h3

sr

r472.0ln

hk1008.7J ; (2.181)

siendo

yxh kkk = . (2.182)

Se indica que el enfoque propuesto (Ec. 181) es general e incluye la configuración

del pozo-yacimiento y el mecanismo de daño, sm.

Para un pozo horizontal totalmente abierto, el radio efectivo del pozo esta dado

por:

( ) ( ) 50.1L2lnsrln wxwe −+−= ; (2.183)

siendo Lw la mitad de la longitud del pozo y, sx el componente vertical de daño.

La Ec. 2.183 podría combinarse con las Ecs. 2.179 y 2.181 para describir la curva

IPR debajo de la presión de burbuja, Pb. Para presiones mayores a Pb, la curva IPR se

describe por una línea recta debido al flujo de una sola fase (petróleo).

Para pozos inclinados, se puede usar la siguiente correlación para daño

desarrollada por Cinco y col., (1975):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ

−=w

865.106.2

sw r100hlog

5641s . (2.184)

La Ec. 2.184 se usa para 0 ˚ 75≤θ≤ ˚, 40rh w ≥ y 100tD ≥ . Se reemplaza sm con

ssw en la Ec. 2.181, se puede calcular J, y combinando éste valor con la Ec. 2.179,

obtenemos la IPR para pozos inclinados. En pozos inclinados, se usa la siguiente

ecuación para calcular el radio efectivo del pozo:

swswwe err −= . (2.185)

102

En pozos verticales, se supone que cero daño representa lo ideal y que en pozos

horizontales, lo mismo se caracteriza por daño negativo. Siguiendo la definición de

Camacho & Raghavan (1989), se escribe la eficiencia de flujo, EF, de la siguiente

manera:

( ) ( )( ) ( )h,wfh,wf

v,wfv,wf

PPPBPPPPBP

EF−+−+

= . (2.186)

De manera análoga, se puede escribir una expresión para el caudal de petróleo en

pozos horizontales, qo, como:

( ) ( )h,wfh,wfvmax,oo PPPBPEFqq −+= ; (2.187)

donde B es igual a 0.8 para la formulación de Vogel y 1.0 para la formulación de

Fetkovich, tanto para la Ec. 2.186 como para la Ec. 2.187. La presión de fondo fluyente

en un pozo horizontal (Pwf,h) se puede expresar como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 125.0

qq

25.126563.1PPVmax,o

v,oh,wf , (método de Vogel) (2.188)

Fmax,o

v,oh,wf q

q1PP −= , (método de Fetkovich) (2.189)

A continuación se describe la metodología propuesta por Kabir para predecir la

curva IPR de un pozo horizontal o inclinado:

1. Calcular J de la Ec. 2.181. Para rwe tomar en cuenta la Ecs. 2.183 o 2.185

dependiendo de la orientación del pozo.

2. Calcular qomax,F o qomax,V de la Ecs. 2.179 o la 2.50 respectivamente.

3. En este estudio el valor de n es igual a uno.

4. Se utiliza la correlación de Vogel o el método de Fetkovich para predecir la curva

IPR.

103

2.5.2.6. Modelo de Butler

Butler (1994) presentó un modelo IPR para pozos horizontales bajo condición de

estado estable. El modelo predice la productividad de un pozo horizontal

completamente perforado en un yacimiento con forma de caja. El modelo desarrollado

puede manejar yacimientos isotrópicos o anisotrópicos. La Fig. 17 y 18 muestra la

geometría usada para desarrollar la ecuación.

Figura 17. Geometría del modelo de Butler, vista en 3D (Butler, 1994).

Figura 18. Geometría del modelo de Butler, corte trasversal del yacimiento (Butler,

1994).

El modelo se obtuvo aplicando el principio de superposición y se puede escribir

como:

104

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

π+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

βμ

−×=

−

sI14.1hy

r1IhI

lnI

PPLk1008.7q

anib

wani

anianioo

wfey3

o ; (2.190)

siendo

z

yani k

kI = .

De la Ec. 2.190, L es la longitud del pozo horizontal, y yb es la mitad del ancho del

yacimiento.

2.5.2.7. Correlación de Retnanto y Economides

Retnanto y Economides (1998) trabajaron en la predicción y optimización del

desempeño de pozos sencillos y múltiples, o de arquitectura compleja, dentro de un

área de drenaje o unidad de flujo de cualquier geometría de yacimiento; tanto en

medios isotrópicos como anisotrópicos. Acotaron que el flujo dentro de un pozo

horizontal con una capa de gas, es diferente al flujo dentro de un pozo vertical. Por esta

razón, las ecuaciones para generar curvas IPR en pozos verticales no se deberían

aplicar a pozos horizontales o multilaterales sin su respectiva verificación.

El modelo se basó en yacimientos homogéneos donde se desprecian los efectos

de capilaridad y gravedad, y se asumió, que los pozos horizontales y multilaterales

penetraron en la mitad de la dirección vertical del yacimiento.

El procedimiento usado consistió en la generación de curvas IPR para pozos

horizontales e inclinados; para ello, se usó un simulador numérico (VIP en sus siglas en

ingles). De forma similar al trabajo de Vogel, las curvas IPR resultantes se graficaron en

forma adimensional. Luego, se estudió los efectos de la presión de burbuja,

agotamiento del yacimiento, gravedad del petróleo, saturación de petróleo residual,

saturación de gas crítica, saturación de agua inicial, porosidad y permeabilidades

absolutas y relativas. En la Tabla 5 se muestra el rango de los parámetros estudiados y

el caso base.

105

Tabla 5. Propiedades de la roca y fluido para el desarrollo de las IPR (Retnanto y

Economides, 1998).

Variable Caso Base Rango Pb (lpca) 4000 1000 - 5000

Gravedad del Petróleo (ºAPI) 35 25 - 45 Sgc (%) 5 0 - 10 Sor (%) 30 20 - 40 Swc (%) 30 20 - 40 k (md) 10 1 - 100 φ (%) 15 10 - 20

λ 2 4 - ∝ L/xe 0,45 0,2 - 0,6

Para los pozos multilaterales, se estudiaron cuatro configuraciones: (a) dos brazos;

(b) cuatro brazos; (c) seis brazos y (d) ocho brazos, interceptando el hoyo madre del

pozo horizontal. La longitud total del pozo se mantuvo igual a la longitud del pozo

horizontal del caso base. Los resultados mostraron que las configuraciones estudiadas

mostraban una forma similar. Por lo tanto, la curva IPR generalizada también se usó

para predecir el comportamiento de este tipo de pozos.

Se usaron técnicas de regresión no lineal para desarrollar ecuaciones empíricas

donde ( ) ( )bwf,maxoo P,FR,PPfqq = . La correlación general viene dada por:

p

wfwf

max,o

o

PP75.0

PP25.01

qq

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= , (2.191)

siendo:

( )b3

2

bb

P1066.14PP96.0

PP46.127.0p −×+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= . (2.192)

La correlación propuesta arrojó un error máximo del 14.8%.

Para evaluar el máximo caudal de producción, qo,max, se deriva la Ec. 2.191 con

respecto a Pwf. La derivada ( )wfo dPdq− es el índice de productividad,

106

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−=

−

p

1pwf

max,owf

o

PPp75.0

P25.0q

dPdqJ (2.193)

Tomando a bwf PP = o P en un yacimiento con empuje por gas en solución, se

tiene:

p75.025.0

PJq maxo += . (2.194)

Para calcular el índice de productividad en estado semi-estable, se utiliza:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

+μβ=

−=

∑sL2

xP22.887

xkPP

qJe

D

e

wf

; (2.195)

donde PD es la presión adimensional, k es la permeabilidad promedia del yacimiento, L

es la longitud del pozo horizontal, y ∑s es la sumatoria de todos los factores de daño

y pseudos-daño.

Para calcular la permeabilidad promedio, se usa:

3zyx kkkk = . (2.196)

La solución generalizada de la presión adimensional, comienza con el

comportamiento transiente inicial y termina con el estado semi-estable. En ese

momento, la PD tridimensional es descompuesta en una parte bidimensional y otra

dimensional,

xeHe

D sL2

xh4

CxPπ

+π

= ; (2.197)

107

siendo CH un factor de forma, característico de pozos y configuraciones de yacimiento

en el plano horizontal, y sx el daño contabilizado para efectos verticales. El factor de

forma para distintas configuraciones de pozos se muestra en la Tabla 6.

Tabla 6. Factores de forma para diferentes configuraciones de pozos sencillos y

multilaterales (Retnanto, 1996 y Economides, 1996).

Tipo de Completación Brazos Caso

Relación entre longitudes del pozo y

del yacimiento CH

L/xe=0,25 3,19 L/xe=0,5 1,80 L/xe=0,75 1,02 xe=2ye

L/xe=1 0,52 L/xe=0,25 3,55 L/xe=0,4 2,64 L/xe=0,5 2,21 L/xe=0,75 1,49

xe=ye

L/xe=1 1,04 L/xe=0,25 4,59 L/xe=0,5 3,26 L/xe=0,75 2,53

Horizontal 1

xe=ye/2

L/xe=1 2,09 L/xe=0,25 2,77 L/xe=0,5 1,47 L/xe=0,75 0,81 L/xe=1 0,46

xe=ye

Ly=2Lx 1,10 Ly=Lx 1,88

2

xe=Lx/0,4 Ly=0,5Lx 2,52 xe=ye Ly=2Lx 0,79

Ly=Lx 1,51 4 xe=Lx/0,4 Ly=0,5Lx 2,04 xe=ye Ly=2Lx 0,66

Ly=Lx 1,33

Multilateral

6 xe=Lx/0,4 Ly=0,5Lx 1,89

La expresión para el efecto de daño es:

ew

x sL6

hr2

hlns +−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

= , (2.198)

108

y se describiendo los efectos de excentricidad en la dirección vertical, como

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=hzsenln

21

hz2

21

hz2

Lhs w

2ww

e . (2.199)

Sí el pozo esta localizado aproximadamente en la mitad de la dirección vertical del

yacimiento, el término se se puede despreciar.

2.5.2.8. Ecuación de Furui

Furui y col., (2003) presentaron un modelo analítico para pozos completamente

perforados en un yacimiento en forma de caja, usando el mismo sistema mostrado en la

Fig. 17 y 18. Asumiendo que el flujo en un pozo horizontal se puede dividir en dos

regímenes, una región de flujo radial cerca del fondo del pozo y una región de flujo

lineal lejos del fondo del pozo. En el tope y en el fondo del yacimiento, los

investigadores usaron condiciones de límite de no flujo. El modelo se puede usar en

yacimientos isotrópicos y anisotrópicos. El pozo esta localizado en el centro del

yacimiento. El factor de daño se agregó al modelo para incluir los efectos del daño de

formación en la productividad del pozo. Este modelo se desarrollado basándose en los

resultados de simulación de un modelo de elemento finito (MEF) para un fluido

incompresible. La ecuación IPR viene dada por:

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

π+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

βμ

−×=

−

s224.1Ihy

r1IhI

ln

PPLk1008.7q

ani

b

wani

anioo

wfey3

. (2.200)

La Ec. 2.200 se puede re-escribir como:

( )

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

π+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

βμ

−×=

−

s224.1Ihy

r1IhI

lnI

PPLk1008.7q

anib

wani

anianioo

wfey3

. (2.201)

109

2.5.2.9. Vogel modificado.

Rungtip Kamkom (2004) presentó un trabajo sobre la curva IPR adimensional para

flujo de dos fases en pozos horizontales. Hizo uso de la correlación de Vogel y la

ecuación analítica de Helmy y Wattenbarger (1998) para predecir la curva IPR.

En primer lugar, se calculo el índice de productividad con la ecuación analítica,

seguido del desarrollo de la curva IPR con el trabajo de Vogel. Luego, con el mismo

índice de productividad calculado, se graficaron las curvas IPR para la correlación de

Bendaklia y Aziz, Cheng, y Retnanto y Economides.

Con el uso del simulador ECLIPSE, se realizaron las simulaciones respectivas

para la construcción de las curvas IPR. En un estudio del caso base, todas las curvas

IPR de las distintas correlaciones se compararon con la curva de referencia, obtenida

de las simulaciones a diferentes factores de recobro. De los resultados obtenidos, la

curva IPR de Vogel modificado mostró un buen ajuste; exceptuando en factores de

recobro muy bajos.

Figura 19. Modelo del yacimiento para la ecuación de Helmy & Wattenbarger (Helmy &

Wattenbarger, 1998).

Helmy y Wattenbarger presentaron una ecuación analítica para calcular el índice

de productividad para pozos horizontales, que producen a presión constante o caudal

constante. La Fig. 19 muestra el modelo utilizado en la ecuación.

110

La expresión de J para la condición de presión constante es

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛μβ

×=

−=

−

PCPC,A2eq,w

eqoo

eq,eeq3

wfePC

sCln21

r781.1A4

ln21

yk1008.7PP

qJ . (2.202)

Las siguientes ecuaciones permiten el cálculo de las incógnitas de la Ec. 2.202:

( )011.1

eq

eq,e

838.2

eq,e

eq,w

115.1

eq,e

weqPC,A h

xxx

165.9xx

353.1074.4607.2Cln ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−= …

… ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+

eq

eq,e

eq

eq,w

hx

ln056.2hz

senln810.1 ; (2.203)

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= AA

,xh

ln453.0Cln003.0897.21Ly

seqe

eqPC,A

233.1

eq

eq,ePC ;

(2.204)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= 711.1

eqe

eq,e

eqe

eq

2

eq,e

eq

eqe

eq

2

eq,e

eq,w

eqe

eq,w

,yx

,xh

yL

215.1,y

L278.1

yy

715.0,y

y278.1388.0

AA ;

(2.205)

3zyxeq kkkk = ; (2.206)

111

x

eqeeqe k

kx,x = ; (2.207)

y

eqeeqe k

ky,y = ; (2.208)

z

eqeq k

khh = ; (2.209)

y

eqeq k

kLL = ; (2.210)

eqeq,eeq hxA = ; (2.211)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 4

x

z4

z

xweq,w k

kkkr

21r ; (2.212)

x

eqweq,w k

kxx = ; (2.213)

y

eqweq,w k

kyy = ; y (2.214)

z

eqweq,w k

kzz = . (2.215)

La expresión de J para la condición de caudal constante viene dada por:

112

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛μβ

×=

−=

−

CCCC,A2eq,w

eqoo

eq,eeq3

wfcc

sCln21

r781.1A4

ln21

yk1008.7PP

qJ . (2.216)

Las siguientes expresiones matemáticas permiten el cálculo de las incógnitas de la

Ec. 2.216,

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

eq

eq,e2

eqe

eq,w

eqe

eq,wCC,A h

x

,xx

56.12,x

x56.12187.4485.4Cln …

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+

eq

eqe

eq

eq,w

h,x

lnhz

senln2 (2.217)

( )⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= BB

,xh

ln781.3Cln022.0025.01L

,ys

eqe

eqCC,A

858.0

eq

eqeCC (2.218)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

= 472.1

eqe

eqe

eq,e

eq

2

eq,e

eq

eq,e

eq

2

eq,e

eq,w

eq,e

eq,w

,y,x

xh

yL

718.1yL

654.1yy

652.4yy

751.4289.1

BB

(2.219)

2.5.2.10. Correlación de Wiggins y Wang.

Wiggins y Wang (2005) realizaron una investigación del comportamiento caudal-

presión del pozo horizontal con penetración completa en el yacimiento. Para desarrollar

las ecuaciones generalizadas y predecir el comportamiento de afluencia, se generaron

curvas IPR con un simulador de yacimientos para cuatro conjuntos básicos de

permeabilidad relativa y datos de propiedad del fluido-roca. Cada conjunto de datos se

usó para generar los resultados del simulador a la saturación de agua irreducible y

saturación de petróleo residual.

113

Se examinaron 16 yacimientos teóricos con una variación de la presión inicial a la

presión de fondo fluyente mínima. El simulador usado fue el BOAST-VHS, con la

capacidad de simular la producción e inyección de pozo vertical, horizontal o inclinado.

La simulación se usó con la geometría de flujo radial y a caudal de petróleo constante.

Los máximos caudales de producción de petróleo y agua se estimaron en cada una de

las etapas de agotamiento del yacimiento. Los datos generados de la simulación

seguían las siguientes suposiciones:

− El pozo esta ubicado en el centro de un prisma completamente limitado.

− El pozo penetra completamente el yacimiento en la dirección horizontal.

− El yacimiento esta inicialmente en la presión del punto de burbuja con cero fase de

gas libre.

− La saturación de la fase de agua es inmóvil y constante.

− Existe condición isotérmica en el yacimiento.

− No hay reacción entre la roca y los fluidos del yacimiento.

− No hay gas soluble en la fase de agua.

− Las presiones capilares se desprecian.

Del análisis de los resultados, se observaron dos comportamientos en las corridas

de simulación. Para propósitos de aplicación, se desarrollaron 2 IPR empíricas. La

primera relación empírica se basó en todos los datos generados, mientras que la

segunda relación se desarrolló como una función del factor de recobro del yacimiento.

La primera IPR se generó ajustando los datos de 27 casos, usando un modelo de

regresión lineal de la forma 22'

1'

o' axaay ×++= . Siendo a‘

0, a‘1 y a‘

2 los coeficientes de

la regresión. El resultado de la correlación de la IPR viene dada por:

2

wfwf

max,o

o

PP5467.0

PP4533.01

qq

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= . (2.220)

La segunda IPR generalizada se desarrollo para cada etapa de recobro del

yacimiento de los datos simulados. Se usó el mismo modelo de regresión para cada

etapa de agotamiento del yacimiento. El desarrollo de la correlación resultó en:

( )2

wf*wf*

max,o

o

PPd1

PPd1

qq

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= ; (2.221)

114

donde d* es función del recobro del yacimiento. En la Tabla 7 se muestra los valores de

d* para cada etapa de agotamiento seleccionado.

Tabla 7. Valores del coeficiente de agotamiento (Wiggins y Wang, 2005).

Factor de recobro, FR(%)

Coeficiente de agotamiento, d*

1 0,675 2 0,475 4 0,250 6 0,125 8 0,200

10 0,225 12 0,250 14 0,275

2.6. Ecuaciones del comportamiento de afluencia para yacimientos de gas

2.6.1. Pozos Verticales

2.6.1.1. Ecuación de Forchheimer.

Philippe Forchheimer (1901), mientras trabajaba con flujo de gas en capas de

carbón descubrió la relación entre el caudal de producción y el gradiente de potencial, la

cual no es lineal a altas velocidades y a incrementos de caudal. Inicialmente

Forchheimer atribuyó ese incremento no lineal a la turbulencia en el flujo del fluido

(actualmente el incremento no lineal es debido a los efectos inerciales en el medio

poroso).

La caída de presión adicional debido a las pérdidas inerciales se debe a los

efectos de aceleración y desaceleración del fluido por el movimiento tortuoso a través

del medio poroso. La caída de presión total es dada por el modelo tradicional de flujo

desarrollado por Forchheimer, como;

2v**vkdx

dPρα+

μ= . (2.222)

115

La ecuación general desarrollada para predecir el comportamiento de afluencia en

pozos de gas se muestra en su forma general para flujo radial y en estado semi-estable:

2g

ew2

g18

w

eg2wf

2 qr1

r1

hTZ1016.3

srr472.0ln

hkqTZ1424

PP ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γβ×+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ=−

−

.

(2.223)

La Ec. 2.223 se puede reescribir como:

gg

2wf

2

qDCq

PP+=

− . (2.224)

El término Darcy es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ= s

rr472.0ln

hkqTZ1424

Cw

eg . (2.225)

Como 1/re es un valor muy pequeño, el término de turbulencia es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γβ×=

−

w2

g18

g r1

hTZ1016.3

qD . (2.226)

Un grafico de ΔP2/qg versus qg tiene una pendiente D, y g2

0qqPlimC

g

Δ=→

.

Para usar la ecuación de Forchheimer se requiere de pruebas de flujo

estabilizadas.

2.6.1.2. Ecuación Rawlins y Schellhardt.

El método de flujo tras flujo para pruebas de pozos de gas fue desarrollado por

Rawlins y Schellhardt (1936). Para ello, usaron 582 pruebas de pozos; las cuales se

graficaron como el caudal de producción versus la diferencia de los cuadrados de la

presión de cierre y la presión de fondo fluyente (en la cara de la arena), Pws2-Pwf

2, en

coordenadas logarítmicas. La relación se representa como una línea recta; tal como se

puede observar en la Fig. 20.

116

Figura 20. Prueba multipunto donde se muestra el desempeño de un pozo (Rawlins y

Schellhardt, 1936).

La prueba de flujo tras flujo o también llamada, prueba multipunto, requiere de una

serie de caudales de producción y su correspondiente medida de presión. Estas

pruebas se obtienen bajo condiciones de estabilización o a ciertos intervalos de tiempo.

Las pruebas se inician idealmente con la presión estática de yacimiento, y luego se va

disminuyendo, cambiando el tamaño del estrangulador sin cerrar el pozo.

Estas pruebas se diseñaron para pozos con estabilización rápida y donde se

alcanza el flujo en estado estable durante los períodos de las pruebas de flujo. En la

Fig. 21 (a) se muestra que el caudal de producción es casi estable al final de cada

período. De igual forma, en la Fig. 21 (b) la presión es estable al final de cada período

de flujo cuando ocurre el cambio de estrangulador.

La ecuación de Rawlins y Schellhardt usada para el análisis de pozos de gas viene

dada por:

117

( )n2wf

2*g PPCq −= ; (2.227)

siendo C* el coeficiente de desempeño y n el exponente de flujo.

Figura 21. Prueba convencional de flujo tras flujo (Ahmed y McKinney, 2005).

2.6.1.3. Método de Cullender

Existe un gran número de pozos que han sido completados en yacimientos de baja

permeabilidad, los cuales exhiben características de “baja estabilización”. Esto trae un

problema para determinar las características reales de estos pozos. Con este problema

en mente, Cullender (1955) desarrolló el método isocronal para determinar las

características de flujo en pozos de gas.

El término “isocronal” se adoptó para describir el método, debido a que las

condiciones existentes son el resultado de una simple perturbación en el pozo de

duración constante. La expresión “simple perturbación de duración constante” se

propuso para definir estas condiciones alrededor del pozo como resultado de un caudal

de producción constante para un período de tiempo específico de condiciones de cierre.

Un gradiente de presión se estableció alrededor del pozo, resultando en dos o más

cambios mecánicos del caudal de producción a las condiciones de cierre. El

procedimiento empleado para obtener los datos necesarios consistió en abrir el pozo

luego del cierre, obteniendo los datos de caudal y de presión a intervalos de tiempo

específicos, durante el período de flujo sin perturbación del caudal. Después de obtener

suficientes datos, el pozo se cierra para volver a las condiciones de cierre iniciales. El

pozo se abre de nuevo a un caudal diferente, al mismo intervalo de tiempo de la primera

(a) (b)

118

apertura. El procedimiento se puede repetir tantas veces como sea necesario para

obtener el número de puntos deseados.

Las suposiciones se hicieron para justificar la presentación de las características

de un pozo de gas como una serie de curvas paralelas con una pendiente constante (n)

y un coeficiente (C*) constante solamente con respecto a un intervalo de tiempo

específico. En la Fig. 22 se muestra las distintas curvas con la misma pendiente para el

método isocronal. Las suposiciones para este método fueron:

− La pendiente, n, de la curva de un pozo de gas es independiente del área de

drenaje. Se establece casi inmediatamente después de abrir el pozo.

− Bajo simples condiciones de gradiente, la variación del coeficiente C* con respecto

al tiempo, es independiente del caudal de producción y el nivel de presión.

La ecuación usada para el análisis es:

( )n2ws

2wf

*g PPCq −= ; (2.228)

siendo Pws la presión de cierre de la prueba.

Figura 22. Curvas isocronales de un pozo de gas (Cullender, 1955).

119

2.6.1.4. Método de Jones, Blount y Glaze:

De igual forma que en pozos de petróleo, Jones y col., desarrollaron un

procedimiento para analizar pozos de gas. Para ello, utilizando la ecuación de

Forchheimer, se encontró una relación entre la caída de presión y el caudal.

gg

2wf

2

qDCq

PP+=

− ; (2.229)

siendo C el coeficiente de flujo laminar y D el coeficiente de turbulencia para pozos gas.

De la Ec. 2.229, un grafico de ( ) g2

wf2 qPP − vs qg tiene una pendiente D, y

g2

0qqPlimC

g

Δ=→

. Los gráficos aplican tanto para flujo radial como flujo lineal.

2.6.1.5. Correlación de Mishra y Caudle.

Mishra y Caudle (1984) presentaron un método para predecir las curvas IPR en

pozos de gas, eliminando la necesidad de usar pruebas multipuntos convencionales.

Usaron la solución analítica para flujo de gas real bajo condiciones estables, y un

amplio rango de las propiedades roca-fluido; desarrollando una relación empírica para

calcular el desempeño de pozos de gas.

Las premisas usadas fueron:

− Yacimiento no fracturado, homogéneo e isotrópico con un límite cerrado.

− Penetración completa y simple.

− Predomina las condiciones estables, por ejemplo, ecuaciones de estado semi-

estable se pueden usar para describir el flujo de gas en el yacimiento.

− Los efectos de flujo turbulento son caracterizados por un factor de turbulencia

constante D, y el caudal dependiente del daño D·q.

La ecuación de caída de presión, en unidades de campo:

( ) ( )gDA

A2

wg

wfi qDst2C2458.2ln

21

rAln

21

hkTq

1422

PmPm++π+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡− . (2.230)

120

Para volumen de drenaje cerrado, del balance de materiales se tiene:

( ) ( )DA

g

i t2

hkTq

1422

PmPmπ=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡− . (2.231)

Combinando las Ecs. 2.230 y 2.231,

( ) ( )g

A2

wg

wf qDsC2458.2ln

21

rAln

21

hkTq

1422

PmPm++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡− . (2.232)

La Ec. 2.232 se puede reescribir como

( ) ( ) 2g

*g

*wf qbqaPmPm +=− ; (2.233)

siendo a* y b* constantes.

Resolviendo la Ec. 2.233 y tomando la raíz positiva, se tiene

( ) ( ) ( )[ ]

*wf

*2**

g b2PmPmb4aa

q−++−

= . (2.234)

El máximo caudal de producción corresponde cuando la presión en la cara de la

arena es cero; por lo tanto, la ecuación es:

( ) ( )

*

*2**

max,g b2Pmb4aa

q++−

= . (2.235)

Dividiendo las Ecs. 2.234 y 2.235, resulta en:

121

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )Pmb4aa

PmPmb4aaq

q*2**

wf*2**

max,g

g

++−

−++−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡. (2.236)

La Ec. 2.236 se puede expresar en la forma

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

PmPmF

qq wf

max,g

g . (2.237)

Se realizaron gráficos de m(Pwf)/m( P ) versus qg/qg,max para distintos casos,

desarrollando una correlación empírica a través de un ajuste de regresión. La

correlación que mejor se ajusto a las condiciones de estudio fue:

( )( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ − 1Pm

Pm

max,g

gwf

5145

qq

. (2.238)

Para calcular la pseudo presión, se usa la ecuación de Al Hussainy y Ramey

(1966):

( ) ∫ μ=

P

Po g

PdZ

P2Pm (2.239)

Chase y Williams (1986) extendieron el trabajo de Mishra y Caudle para desarrollar

curvas IPR adimensionales en pozos de gas con daño, que tienen fracturas verticales

inducidas hidráulicamente. El procedimiento empleado fue el mismo que Mishra y

Caudle. Se realizaron distintas sensibilidades de forma aleatoria de los distintos

parámetros de yacimiento. Dos tendencias se observaron en el grafico, una lineal y otra

no lineal. Las propiedades de roca, fluido y fractura fueron cuidadosamente estudiadas,

revelando que solo el factor de daño era la diferencia entre la tendencia lineal y la

curvilínea. En formaciones estimuladas con un factor de daño cero o negativo, la

tendencia de la curva IPR adimensional siguió la misma encontrada por Mishra y

Caudle, dada por la Ec. 2.238.

122

En pozos de gas estimulados con factores de daño positivo se mostró una

tendencia lineal de la forma:

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

PmPm1

qq wf

max,g

g . (2.240)

2.6.1.6. Correlación de Chase y Alkandari.

Chase y Alkandari (1993) presentaron un trabajo relacionado con el análisis de la

curva IPR pozos de gas fracturados. Para esto, tomaron la ecuación de Forchheimer

sustituyendo distintos parámetros de entrada y usando la herramienta de simulación de

Monte Carlo.

Las Ecs. 2.241 y 2.242, se usaron para generar valores del coeficiente de pérdida

de presión de flujo laminar, a, y el coeficiente de pérdida de presión turbulento-inercial,

b. En pozos fracturados, se utilizó la Ec. 2.244 para calcular el radio aparente del pozo,

equivalente a una fractura uniforme. Ahora bien, se usó aproximadamente mil

combinaciones de datos de entrada para cada relación de longitud de fractura (re/rf). Los

valores de la relación de longitud de fractura se varío desde de 1 hasta 108. Las

siguientes ecuaciones se usaron para calcular las series de valores de a’ y b’:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= s75.0

rr

lnhk

T2996.1'awa

e ; (2.241)

hk

DT2996.1'b = ; (2.242)

con,

2pw

g10

hr

h10237.1D

μ

γ= − , y (2.243)

sfwa er37.0r = . (2.244)

123

Con los cómputos de a’ y b’, se calculo 1r/rmax@ feq = , que se refiere al caudal de

producción cuando la relación de la longitud de fractura es 1 y la presión de fondo

fluyente es cero. Los cómputos de a y b también se utilizaron para calcular el caudal de

producción para cada presión de fondo fluyente y así, construir curvas de pseudo

presión adimensionales ( ) ( )PmPm wf versus caudal de producción adimensional

1r/rmax@ feqq = .

Se realizó el ajuste de los resultados obtenidos. La correlación que mejor se

ajusto:

( )( )

N

1r/rmax@

wf

feq

qM1Pm

Pm⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=

; (2.245)

siendo M y N:

( )3

f

e

2

f

e

f

e

rrlog00039.0

rrlog00989.0

rrlog143212.0004865.0Mlog ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ,

(2.246)

( )3

f

e

2

f

e

f

e

rrlog0004278.0

rrlog00874.0

rrlog0618.0296498.0Nlog ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ;

(2.247)

siendo re el radio del yacimiento o radio de investigación, y rf el radio de la fractura

uniforme.

Para relaciones de re/rf>108, el trabajo de West & Chase (1998) recomiendan el

uso de las siguientes ecuaciones para calcular M y N,

( ) 311663.0rrlog057871.0Mlog

f

e +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= , (2.248)

124

( ) 159624.0rrlog002712.0Nlog

f

e +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= . (2.249)

Las correlaciones de Chase y Alkandari también se pueden usar para pozos de

gas no fracturados, o para pozos donde no se conoce la longitud de fractura. La

relación de la longitud de fractura re/rf se puede calcular usando el factor de daño

aparente.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

w

's

ef

e

rer37.0

rr . (2.250)

Para usar la Ec. 2.250 se requiere de una prueba de restauración de presión, la

cual proporciona el radio de la fractura (rf) o el daño aparente, s’.

El procedimiento a emplear necesita de los parámetros: caudal de producción, la

presión de fondo fluyente y la presión promedio del yacimiento. Con los datos de

entrada, se calcula el máximo caudal de producción, 1r/rmax@ feq = . Luego, con la Ec. 2.245

se puede predecir la curva IPR o se puede resolver los coeficientes de la ecuación de

Rawlins-Schellhardt (C y n) o los coeficientes de la ecuación Forchheimer (a y b).

Chase y col., (2001) determinaron el máximo caudal en la cara de la arena para 25

pozos de gas en Canadá, arrojando un error de 9.2% con una desviación estándar de

8.7%.

2.6.2. Pozos Horizontales

2.6.2.1. Ecuación de Joshi

En un pozo horizontal, el modelo para yacimientos de gas se deriva de forma

similar que para pozos de petróleo. Las modificaciones necesarias para usar la

ecuación de Joshi, viene dada por el factor volumétrico de gas de formación y las

unidades del caudal de producción. Los pozos de gas generalmente tienen alta

velocidad; por lo tanto, se toman en consideración los efectos de flujo no Darcy. En

primero lugar, la unidad de la ecuación IPR para pozos de petróleo se necesita convertir

para pozos de gas (de BNPD a MPCND), como sigue:

125

( ) ( )MPCNDq575.25154BNPD

MPCND615.5

1000BNPDq1008.7

1go3 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

× − .

Ahora, se necesita relacionar el factor volumétrico de gas de formación, βg, a

presión y temperatura. Por la Ley de Gases Reales:

ca

ca*

ca

*

g

PTRnZ

PTRnZ

=β ;

donde Tca y Pca son la presión y temperatura a las condiciones atmosféricas, expresadas

en ºR y lpca respectivamente. Si la presión y temperatura a condiciones atmosféricas

son 14.7 lpca y 520 ºR respectivamente, y el factor de compresibilidad del gas, Z, a

condiciones atmosféricas es 1; se puede reescribir el factor volumétrico del gas como

P

TZ0283.0g =β . (2.251)

De la Ec. 2.251, el factor volumétrico del gas se calcula por el factor de

compresibilidad del gas, la temperatura, y la presión promedio entre el yacimiento y el

fondo del pozo. El término correspondiente de la Ec. 2.155 para pozo de petróleo, 3

oo 1008.7q −×β , se puede cambiar para pozos de gas como:

( ) ( ) ( )wfe

g

wfeg PP

TZq1424

2PPTZ0283.0q575.25154

+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+. (2.252)

Sustituyendo la Ec. 2.252 en la Ec. 2.155, y cambiando la viscosidad de petróleo

por la viscosidad de gas a la presión promedio, la ecuación IPR para pozo horizontal de

gas se puede expresar como:

126

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+αμ

−=

sr2hIln

LhIlnTZ1424

PPhkq

w

anianig

2wf

2ey

g ; (2.253)

con,

z

yani k

kI = ,

2

L2Laa

22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

=α , (2.151)

4

eH

L5.0r

41

21

2La ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= . (2.154)

Usando la función pseudo-presión de un gas real presentada por Al Hussainy y

Ramey (1966),

( ) PdZ

P2PmP

P go

∫ μ= ; (2.239)

donde Po es la presión referencia y se puede usar a la presión base. La ecuación IPR

para pozos horizontales de gas en términos de pseudo-presión de un gas real viene

dada por:

( ) ( )( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+α

−=

sr2hIln

LhIlnT1424

PmPmhkq

w

aniani

wfeyg . (2.254)

Para pozos de gas, la velocidad de flujo es generalmente más grande que la de un

pozo de petróleo, principalmente en la cercanía del pozo. Estas altas velocidades

causan una caída de presión adicional, lo cual se conoce como efecto de flujo no Darcy.

127

Estas caídas de presión adicional es una función del caudal de producción, y se puede

adicionar en la Ec. 2.254.

El coeficiente de flujo no-Darcy, D, explica la turbulencia debido a los altos

caudales cerca del hoyo. El término D qg se adiciona en la Ec. 2.254 y produce un

caudal dependiente del factor de daño.

El valor del coeficiente no Darcy, D, se puede obtener de data experimental de

laboratorio o de correlaciones. La ecuación presentada por Thomas y col., (1996) para

flujo no Darcy para un pozo horizontal de gas se define como:

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ βμ

γ×= −

ed2

*

dw2

*d

wfg

zxg15

r1

r1

Lr1

r1

LPkkL

102.2D ; (2.255)

siendo,

hAre = . (2.256)

A es la extensión de drenaje del pozo en la dirección x.

El factor de turbulencia para zonas dañadas y no dañadas, β* y β*d, se puede

estimar por,

( ) 2.1zx

10*

kk

106.2 ×=β , y (2.257)

( ) 2.1dzx

10

d*

kk106.2 ×

=β . (2.258)

La ecuación IPR queda definida como:

( ) ( )( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+α

−=

gw

aniani

wfeyg

qDsr2hIln

LhIlnT1424

PmPmhkq . (2.259)

128

2.6.2.2. Ecuación de Babu y Odeh

Según el trabajo realizado por Thomas y col., (1996), la caída de presión adicional

debido al flujo no Darcy viene dada por:

dañonodañototal PPP Δ+Δ=Δ , (2.260)

siendo,

( )

zxe

RHw

Hooo

nodaño kky

s75.0ClnrA

lnq2.141

P⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μβ

=Δ , (2.261)

( )odzx

ooodaño qDs

kkLq2.141P +

μβ=Δ . (2.262)

El término de daño mecánico, sm abarca el daño debido a: la zona

dañada/estimulada, a la geometría de la perforación, y a la zona cruzada que rodea las

perforaciones. Solamente se considera el daño debido a la zona dañada/estimulada, sd.

Este daño es positivo si el fluido de perforación invade la formación, o negativo si

resulta de un trabajo de fracturamiento o ácidificación. Se calcula como sigue:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

w

d

dzx

zxd r

rln0.1kkkk

s . (2.263)

El daño debido a la geometría de la perforación es generalmente pequeño y se fija

igual a cero. Adicional, los pozos horizontales se asumen con completaciones a hoyo

abierto y así, el daño debido al cruce y compactación de la formación alrededor de las

perforaciones se fija de igual forma a cero.

Las Ecs. 2.261 y 2.262 se combinan para obtener la caída de presión total del

sistema:

129

( )( )od

zx

ooo

zxe

RHw

Hooo

total qDskkL

q2.141kky

s75.0ClnrA

lnq2.141

P +μβ

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μβ

=Δ .

(2.264)

Reordenando caudal en función de las variables,

( )

( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+++−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μβ

−×=

−

odRHw

Hoo

wfzxe3

o

qDsLbs75.0Cln

rA

ln

PPkky1008.7q . (2.265)

Cuando ye es igual a L, el pozo penetra la longitud total del yacimiento y no existe

efecto de penetración parcial. Cuando L es menor que ye, el pozo está parcialmente

penetrado y el caudal de producción disminuye por efecto del daño.

En pozos de petróleo no se considera el flujo no darcy; en cambio, en pozos de

gas se debe considerar. La ecuación de Babu y Odeh, se aproxima a pozos de gas

siguiendo el procedimiento empleado en la ecuación de Joshi; por lo tanto, se tiene:

( )

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

−=

gde

RHw

Hg

2wf

2zxe

g

qDsLys75.0Cln

rA

lnTZ1424

PPkkyq . (2.266)

Las propiedades del gas se estiman a la presión promedio, entre la presión

promedio del yacimiento y la presión de fondo fluyente. Para usar la pseudo presión de

un gas real, la ecuación se convierte en

( ) ( )( )

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

ode

RHw

H

wfzxeg

qDsLys75.0Cln

rA

lnT1424

PmPmkkyq ; (2.267)

donde ln(CH) y sR se muestran en las Ecs. de la 2.164 a la 2.175.

130

2.6.2.3. Ecuación de Butler

La ecuación de Butler para pozos de gas en pseudo presión, viene dada por:

( ) ( )( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

π+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

ganib

wani

aniani

wfeyg

qDsI14.1hy

r1IhIlnIT1424

PmPmLkq . (2.268)

2.6.2.4. Ecuación de Furui

La ecuación de Furui para pozos de gas en pseudo presión, viene dada por:

( ) ( )( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

π+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

gb

wani

aniani

wfeyg

qDs224.1hy

r1IhIlnIT1424

PmPmLkq . (2.269)

2.6.2.5. Correlación de Billiter, Lee y Chase

Billiter, Lee y Chase (2001) presentaron un trabajo sobre la curva del

comportamiento de afluencia de pozos de gas horizontales no fracturados, como una

función de la permeabilidad horizontal, la presión de yacimiento promedio, la altura del

yacimiento, y del área de drenaje del yacimiento.

Se basaron en el trabajo de Babu y Odeh (1989) para flujo horizontal en un pozo

de petróleo bajo condiciones de estado semi-estable. Dichas ecuaciones se modificaron

para explicar los efectos del flujo no-Darcy y los efectos de daño mecánico. Las

ecuaciones de pseudo presión se solucionaron usando los métodos analíticos y la

simulación Monte Carlo para producir las curvas IPR adimensionales.

La Ec. 2.267 es cuadrática en términos del caudal de producción; por lo tanto, se

tiene:

131

( ) ( ) 2gpssgpsswf qbqaPmPm +=− ; (2.270)

siendo,

( ) ( )

zxe

de

RHw

H

pss kky

sLys75.0Cln

rA

lnT1424

a⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= , y (2.271)

zxe

e

pss kky

DLyT1424

b⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

= . (2.272)

Resolviendo la Ec. 2.270

( ) ( )( )

pss

wfpss2

psspssg b2

PmPmb4aaq

−++−= . (2.273)

El máximo caudal de producción, qgmax, se obtiene cuando Pwf es cero.

( )

pss

pss2

psspssmaxg b2

Pmb4aaq

++−= . (2.274)

Siguiendo el mismo procedimiento de Mishra y Caudle, se adimensionalizaron las

variables para graficar las curva IPR. De tal modo, que se realizaron varias corridas con

distinta variaciones en los parámetros estudiados. Se demostró que la curva IPR

adimensional propuesta para pozos sin fractura, es básicamente independiente de

todas las variables, excepto de la permeabilidad horizontal, la presión promedio del

yacimiento, el espesor del yacimiento, y el área de drenaje del yacimiento

De un total de 384 curvas IPR, se realizó un análisis de regresión para determinar

la mejor correlación de ajuste. La correlación con el mejor ajuste viene dada por:

132

( )( )

*nwf

max,g

g

PmPm1

qq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ; (2.275)

siendo,

0406.1z103976.1z105565.1z105828.4n sum12

sum13

sum2* +×+×+×= −−− ,

(2.276)

( ) Pklnhbsum zzzzzx

+++= , (2.277)

2860.1y104706.3y108162.2y100163.1z e42

e83

e12

b +×−×+×−= −−− ,

(2.278)

6772.1h104975.3h100375.2h103049.4z 22437h −×+×−×= −−− , (2.279)

( ) ( )( ) ( ) 0269.1kln103956.3kln105431.1z x12

x3

kln x−×+×= −− , (2.280)

5325.1P109398.5P101620.7P105563.3z 428312P −×+×−×= −−− . (281)

2.6.2.6. Correlación de Chase y Steffy.

Chase y Steffy (2004) presentaron un estudio donde determinaron que la

correlación desarrollada por Chase y Alkandari (1993), para pozo de gas vertical

fracturados hidráulicamente, se puede usar para predecir la IPR en pozos de gas

horizontales.

El primer paso en el estudio consistió en derivar una ecuación que relaciona la

longitud del pozo horizontal y las propiedades del yacimiento a re/rf. Para ello, se usó la

ecuación de Joshi dada por:

133

( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=Lh

w

2

ehw

r2h

a2L11a

2/Lr'r , y (2.282)

4

eH

L5.0r

41

21

2La ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= . (2.154)

En la Ec. 2.282, para mantener la misma nomenclatura con el trabajo de Chase y

Alkandari, reH también se puede representar por re.

Se utilizó la ecuación de Rusell y Truitt (1964) dada por:

fw r37.0'r = . (2.283)

De las Ecs. 2.282 y 2.283 se derivó la siguiente relación:

( )2L

r2h

a2L11a37.0

rr

Lh

w

2

f

e ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

= . (2.284)

En primer lugar, se usó la Ec. 2.284 junto con la correlación de Chase y Alkandari

(Ecs. 2.245 a la 2.249) para gener las curvas IPR. En segundo lugar, se simularon 21

pozos con el simulador Modelo de Análisis de Sistemas (SAM en sus siglas en ingles);

generando curvas IPR. Luego, se compararon las curvas IPR generadas por el

simulador y por la correlación, para observar el ajuste entre curvas.

El porcentaje de error promedio entre las curvas fue aproximadamente de 11.1%

con una desviación estándar de 1.65%. El porcentaje de error promedio entre los

máximos caudales de los 21 pozos fue de 3.34% con una desviación estándar de

0.61%.

134

2.6.2.7. Correlación de Akhimiona y Wiggins.

Akhimiona y Wiggins (2005) presentaron un análisis del comportamiento de

presión-caudal para pozos de gas horizontal, usando un simulador de yacimiento

tridimensional de diferencia finita.

En el estudio consideraron un amplio rango de condiciones de yacimiento para

evaluar su efecto en el comportamiento de pozos. Los parámetros estudiados incluyen:

permeabilidad del yacimiento, anisotropía de la permeabilidad, gravedad del gas, área

de drenaje, espesor neto y la longitud del pozo.

Se estudiaron 21 casos diferentes usando el simulador de yacimiento comercial

IMEX, desarrollado por Computer Modeling Group (CMG). Las siguientes suposiciones

se usaron en el estudio:

− El yacimiento tiene una forma rectangular.

− El espesor del yacimiento es constante.

− Flujo de gas.

− El flujo es en toda la longitud del pozo.

− Condiciones isotérmicas.

− No existe solubilidad de gas en el agua.

− No existe reacción entre el fluido y la roca.

− La fase de agua es inmóvil.

− El pozo horizontal esta en el centro del volumen de drenaje y penetra toda la

longitud del intervalo.

Se desarrolló una relación generalizada de los datos generados por el simulador,

usando un análisis de regresión lineal. Para la curva IPR, en términos de presión se

tiene

2

wfwf

max,g

g

PP189.0

PP811.00.1

qq

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= . (2.285)

En términos de presión al cuadrado:

2

2

2wf

2

2wf

max,g

g

PP867.0

PP867.10.1

qq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= . (2.286)

135

En términos de pseudo-presión:

( )( )

( )( )

2wfwf

max,g

g

PmPm8005.0

PmPm8005.10.1

qq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= . (2.287)

También se observó que el agotamiento del yacimiento influye en la forma del

comportamiento de producción-presión de un pozo de gas horizontal. Para desarrollar la

relación IPR, se usó regresión lineal en el ajuste de los datos de cada etapa de

agotamiento. Las relaciones en términos de presión al cuadrado y pseudo-presión

vienen dadas por:

( )2

2

2wf*

2

2wf*

max,g

g

PPd

PPd10.1

qq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= (2.288)

y

( ) ( )( )

( )( )

2wf*wf*

max,g

g

PmPmd

PmPmd10.1

qq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= , (2.289)

donde d* es una función del agotamiento. En las Tablas 8 y 9 se muestran los valores

de d para distintas etapas de agotamiento.

Tabla 8. Coeficientes de agotamiento para distintas etapas de agotamiento usando el

análisis de presión al cuadrado (Akhimiona y Wiggins, 2005).

Etapa de Agotamiento (%) Coeficiente de Agotamiento, d*

10 1,0369 20 0,8404 30 0,6531 40 0,6413 50 0,6928 60 0,7231 70 0,7415

136

Tabla 9. Coeficientes de agotamiento para distintas etapas de agotamiento usando el

análisis de pseudo-presión (Akhimiona y Wiggins, 2005).

Etapa de Agotamiento (%) Coeficiente de Agotamiento, d*

10 1,1854 20 0,8751 30 0,6765 40 0,5706 50 0,6386 60 0,6911 70 0,717 80 0,7402

2.7. Ecuaciones del comportamiento de afluencia para yacimientos de gas

condensado

2.7.1. Pozos Verticales y Horizontales

2.7.1.1. Correlación de Jokhio y Tiab

Jokhio y Tiab (2002) presentaron un método sencillo para predecir la curva de

afluencia en pozos que producen de un yacimiento de gas condensado. El método

propuesto utiliza datos de prueba build up y pruebas de producción.

Los sistemas de gas condensado retrógrado no se han tratado tan intensamente

como los yacimientos de gas en solución. La razón principal se debe al comportamiento

de la fase (C1-C1O) de hidrocarburos livianos en los yacimientos. Al comienzo de la

vida productiva de los yacimientos de gas condensado se comportan como yacimientos

de gas. Cuando se esta alcanzando la presión en el punto de rocío, una zona de líquido

se comienza a formar. El líquido se acumula y no fluye hasta que se alcanza la

saturación líquida crítica. La presión a este punto en el yacimiento se llama P*. Este

líquido se puede re-vaporizar cuando la presión llega a cruzar la línea mas baja sobre la

envolvente de dos fases del diagrama de fase. Este comportamiento de la re-

vaporización de la fase de petróleo se llama “comportamiento retrógrado”. En las Fig. 24

y la Fig. 25 se muestran el esquema de las regiones de acuerdo a la presión alrededor

de un pozo vertical y uno horizontal.

137

La pérdida de producción se debe principalmente a dos razones: a) la fase líquida

experimenta un cambio, b) el cambio de la permeabilidad relativa debido al líquido.

Figura 23. Comportamiento de la fase de fluidos condesados (Jokhio y Tiab, 2002).

138

Figura 24. Tres regiones que se forman en un pozo vertical produciendo de un

yacimiento de gas condensado (Jokhio y Tiab, 2002).

Figura 25. Tres regiones indicando: flujo de dos fases alrededor de un pozo horizontal,

flujo de una fase con líquido y flujo de gas en la región más lejana (Jokhio y Tiab, 2002).

El flujo de un gas real en un medio poroso de más de una fase, se puede expresar

usando la ley de Darcy. Bajo condiciones de estado semi-estable se puede expresar el

caudal de gas total como:

( )t,g*

t,g PmCq Δ= , o (2.290)

solibre,gt,g Rqqq += . (2.291)

Para pozos verticales,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

×=

−

s75.0rrln

h1008.7C

w

e

3* . (2.292)

Para pozos horizontales,

139

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

×=

−

s75.0ClnrA

ln

y1008.7C

Hw

H

e3

* . (2.293)

La pseudo-presión, Δm (P) para la fase de gas se puede escribir como,

( ) ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβ+

μβ=Δ

P

P d,gd,g

rgs

oo

rot,g

wf

Pdkk

RkkPm . (2.294)

Por conveniencia, se puede cambiar ke=k krg, la permeabilidad efectiva dentro de la

integral. La Ec. 2.294 se puede dividir en tres ecuaciones que representen a la Región-

1, Región-2 y la Región-3.

a. Región-1 (región interior del pozo)

( ) ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβ+

μβ=

*P

P d,gd,g

rgs

oo

ro1,g

wf

Pdkk

RkkPm . (2.295)

b. Región-2 (región donde se desarrolla el líquido).

( ) ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβ=Δ

Pd

*P d,gd,g

rg2,g Pd

kkPm . (2.296)

c. Región-3 (región sólo de gas).

( ) ( ) ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβ=Δ

P

Pd d,gd,gsrg3,g Pd1kkPm

wf. (2.297)

Las tres regiones no ocurren al mismo tiempo; sin embargo, en la mayoría de las

veces al menos dos regiones ocurren al mismo momento.

Cuando ocurren caídas de presión por debajo del punto de rocío, la relación gas

petróleo se incrementa. Esto ocurre porque se alcanza P* y el líquido se comienza a

mover.

140

Por definición,

olibre,glibre,o

slibre,olibre,g

T,o

T,g

RqqRqq

qq

RGP+

+== , (2.298)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μβ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μβ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβ==

ogg

rg

oo

ro*

soo

ro

gg

rg*

T,o

T,g

RkkC

RkkC

qq

RGP . (2.299)

Simplificando,

( )RGPR1kk

RRGP ogg

oo

ro

rgs −⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβμβ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= , (2.300)

1

gg

oo

ro

rgo

gg

oo

ro

rgs k

kR1

kk

RRGP−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβμβ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβμβ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= . (2.301)

Resolviendo para krg/kro, resulta en

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μβ

μβ

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

oo

gg

o

s

ro

rg

RGPR1RRGP

kk

, (2.302)

( )( )

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μβ

μβ

−−

==oo

rogg

o

srgg

kkRGPR1RRGPkkk , (2.303)

( )( )

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβ

μβ

−−

==gg

rgoo

s

oroo

kkRRGP

RGPR1kkk . (2.304)

Se sustituye las Ecs. 2.303 y 2.304 en la Ec. 2.295, y se simplifica los resultados

de la función de pseudo-presión de la fase de gas, en términos de la permeabilidad

efectiva de gas y petróleo respectivamente.

Para la fase de gas,

141

( ) ( )∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβ=Δ

*P

P s

sop

gg

rgg1,g

wf

PdRRGP

RR1RkkPm . (2.305)

Para la fase de petróleo,

( ) ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

μβ=Δ

*P

P s

ss

oo

roo1,g

wf

PdRGPR1RRGPRkkPm . (2.306)

Para el modelo de la fase de petróleo, la Ec. 2.290 se puede escribir como

oglibre,ot,o Rqqq += ,

( )t,o*

t,o PmCq Δ= . (2.307)

La fase de petróleo se mueve solamente en la Región-1; de allí, la pseudo-presión

de la fase de petróleo se puede escribir como

( ) ∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

μβ+

μβ=Δ

*P

Po

gg

rg

oo

ro1,o

wf

PdRkkkkPm . (2.308)

Se sustituye las Ecs. 2.303 y 2.304 en la Ec. 2.308, resultando en

( ) ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

μβ=Δ

*P

P o

so

oo

roo1,o

wf

PdRGPR1RR1kkPm , (2.309)

( ) ( )∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

μβ=Δ

*P

P s

oo

gg

rgg1,o

wf

PdRRGP

RGPR1Rkk

Pm . (2.310)

De las pruebas build-up y de las pruebas en superficie, se llega a las siguientes

expresiones (Akhimiona y Wiggins, 2005):

142

( ) ( )( )( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ=∫

tlnd

Pmdh

q6.162Pdkk

g1,o

medida,o*P

PPrg

wf

, y (2.311)

( ) ( )( )( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ=∫

tlndPmd

h

q6.162Pdkk

o1,o

medida,o*P

PPro

wf

. (2.312)

Se puede utilizar la ecuación de Rawlins y Schellhardt para establecer el

comportamiento del pozo.

Para la fase de gas,

( )( )ng

*g PmCq Δ= . (2.314)

Para la fase de petróleo,

( )( )no

*o PmCq Δ= . (2.315)

La pseudo-presión de la fase de gas para yacimiento de gas se puede expresar

como

( ) ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβ=Δ

Pd

*P spd,gd,g

rgsp,g Pd

kkPm , (2.316)

y la Ec. 2.316 es la pseudo-presión en yacimientos de gas condensado.

Al comparar las Ecs. 2.305 y 2.316, la diferencia es el recobro de la fase de gas

debido a la producción de líquido. La permeabilidad efectiva en la Ec. 2.305 es menor

que en la Ec. 2.316. El término recobro es igual a

( )

PdP*P

RRGPRR1RGP

*P

P wf

Ps

so

wf

d∫ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

, o (2.317)

143

( )

( ) ( )P2t,g

*P

P Pwfs

sosp,g qPd

P*PRRGPRR1RGPq

wf

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−∫ . (2.318)

El procedimiento a seguir para calcular la IPR se muestra a continuación:

a. Dividir la presión en partes iguales preferiblemente, desde la presión del

yacimiento hasta 0.

b. Convertir los datos de presión a pseudo-presión, sin tomar en cuenta el término krg.

Este es el término m(P)/k Krg.

c. Evaluar la integral con la Ec. 2.311 o 2.312, dependiendo de la fase, usando los

mismos datos de presión. Este es el término k Krg o k Kro.

d. Calcular el valor final de la pseudo-presión, m(P).

e. Graficar el caudal de flujo versus m(P) en un grafico logarítmico, y calcular n y C*.

Estimar estos parámetros aparte en cada fase.

f. Predecir la IPR usando la ecuación de Rawlins y Schellhardt.

Para evaluar la integral se requiere de pruebas build up, y se sigue el siguiente

procedimiento:

a. Calcular Δm(P), usando

( ) ( ) ( ) 0ti PmPmPm =−=Δ . (2.319)

b. Evaluar

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 1i1i

1i1i

1i1i

1i

1i

i tlntln

tlntlnPmdtln

tlnPmd

tlnPmd

−+

−+

++

−

−

Δ+Δ

Δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ , y (2.320)

( ) ( ) ( ) 1itlntlntln −−=Δ . (2.321)

c. Graficar la pseudo-presión y su derivada versus tiempo para localizar el comienzo

de la línea recta. Se realiza en coordenadas semi-logarítmica.

La permeabilidad efectiva se calcula de la porción de la línea recta usando las Ecs.

2.311 y 2.312 para el gas y petróleo, respectivamente.

144

2.8. Ecuaciones del comportamiento de afluencia para casos especiales

2.8.1. Ecuación de Vogel/Standing

Standing (1970) estudio el comportamiento de la presión en función del radio del

volumen de drenaje del pozo. Como se observa en la Fig. 26, el comportamiento entre

la presión y el radio es lineal y con pendiente constante hasta la zona dañada; a partir

de allí, la pendiente de la línea varía. Ésto se debe a la caída de presión adicional que

tiene el fluido cuando se mueve por la zona dañada, provocando que la presión de

fondo fluyente sea menor a la real. En otras palabras, se puede obtener el mismo

caudal a una presión de fondo fluyente mayor; permitiendo mejorar de forma eficaz la

producción real del pozo. La eficiencia de flujo (EF) viene dada por la siguiente relación:

wf

swf

PPPPPEF

−Δ−−

= . (2.322)

Gráficamente (ver Fig. 26), la eficiencia de flujo es la distancia 'PP wf− dividida

entre la distancia wfPP − , tal como se muestra en la siguiente relación:

wf

wf

PP'PPEF

−−

= ; (2.323)

siendo Pwf’ la presión de fondo fluyente sin daño.

Para un pozo con un volumen de drenaje cilíndrico y cerrado, la eficiencia de flujo

se puede expresar como:

s

rr47.0ln

rr47.0ln

EF

w

e

w

e

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= ; (2.324)

donde s es el factor adimensional de daño.

145

Py

Pwf’

Pwf

ΔPdañoPre

sión

, P

rs 0.47re

Ln (r)

No fl

ujo

hkqm

⋅⋅⋅

=βμ2.141

Py

Pwf’

Pwf

ΔPdañoPre

sión

, P

rs 0.47re

Ln (r)

No fl

ujo

hkqm

⋅⋅⋅

=βμ2.141

Figura 26. Perfil de presión del pozo con daño en un área de drenaje circular (Standing,

1970).

La eficiencia de flujo también expresa la relación del caudal de un pozo con daño

al caudal de un pozo sin daño; es decir:

0s,o

0s,o

qq

EF=

≠= . (2.325)

En la Fig. 27(a), la relación entre el caudal de producción y el máximo caudal de

producción es la misma para las relaciones de presión. En la Fig. 27(b) se observa que

para un mismo caudal, tenemos la diferencia entre las presiones de fondo fluyente de

las curvas IPR para un pozo con daño y un pozo sin daño.

Conocida la eficiencia de flujo, se puede usar la ecuación de Vogel para obtener la

curva IPR de un pozo con daño. Para ello, primero se calcula la presión de fondo

fluyente sin daño y se encuentra la relación de presiones; siguiendo con el cálculo del

máximo caudal de producción. Si existiese un pozo con más de una prueba de flujo, se

realiza un promedio de los máximos caudales de producción

146

Figura 27. Comportamiento de afluencia para un mismo pozo a distintas eficiencias de

flujo usando la ecuación de Vogel. (a) curvas adimensionales, (b) curvas IPR.

A continuación se muestra los pasos a seguir para obtener el comportamiento de

afluencia de un pozo con daño:

a. Se calcula la presión de fondo fluyente sin daño para cada prueba (si la hubiere),

despejando Pwf’ de la Ec. 2.323.

b. Para cada prueba de flujo (si la hubiere), se calcula la relación del caudal de

producción entre el máximo caudal de producción, qo/qo,max, usando la ecuación de

Vogel.

c. Para cada prueba (si la hubiere), se calcula el máximo caudal de producción,

qo,max(EF=1).

d. Se promedia el máximo caudal de producción, ( )1EFmax,oq = .

e. Se divide la presión desde cero hasta la presión promedio del yacimiento.

f. Para cada P, se calcula la presión de fondo fluyente del pozo sin daño (Pwf’); la

cual será usada para estimar la relación qo/qo,max. Conocido ( )1EFmax,oq = , se estima el

qo para el pozo con la EF≠1.

En la Fig. 28 se muestran curvas desarrolladas con el procedimiento explicado,

para eficiencias de flujo entre 0.5 y 1.5.

(a) (b)

147

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,5

0,60,7

0,80,9

1,01,1

1,2

1,3

Eficiencia de flujo

Pw

f/Py

qo/qo,max

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,5

0,60,7

0,80,9

1,01,1

1,2

1,3

Eficiencia de flujo

Pw

f/Py

qo/qo,max Figura 28. Curvas IPR para pozo con daño y estimulación produciendo en un

yacimiento con empuje por gas en solución (Standing, 1970).

2.8.2. Método de Fetkovich

Fetkovich (1973) también trabajó en el desarrollo de una ecuación que permitiera

construir la curva IPR futura de un pozo de petróleo. Quizás el mayor impedimento para

desarrollar el método fue que la curva de afluencia de un pozo cambia con la saturación

de petróleo y la presión del yacimiento.

Se ha observado en cálculo del balance de material para yacimientos de gas en

solución, que kro es aproximadamente lineal con la presión de yacimiento. Como una

aproximación al cambio en la permeabilidad del petróleo con el agotamiento de la

presión se tiene:

( )ii P

PkPk

= , o (2.326)

148

( )i

ro PPPk = ; (2.327)

donde kro respecto a ki, se define a cero caída de presión. iP también se asume igual o

menor que la presión en el punto de burbuja. Luego, Kro( P )/(μo βo) P se grafica como

una función de presión definida en el rango de valores de P a cero caída de presión.

La ecuación empírica para predecir el caudal de producción, qo, tanto para el

agotamiento de la presión como la caída de presión, se expresa por:

( )2wf

2

ioio PP

PPJq −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′= . (2.328)

El subíndice i se define como la condición inicial.

La ecuación general viene dada por:

( )n2wf

2

ioio PP

PPJq −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′= ; (2.329)

donde n se obtiene de las pruebas multipuntos a un tiempo dado.

El desempeño futuro del pozo también se puede pronosticar con:

( )( )

n

2f

2p

f

p

fmax,o

pmax,o

PP

PP

qq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= . (2.330)

Los subíndice p y f indican la condición presente y futura del pozo.

2.8.3. Método de Kelkar

Diferentes métodos se han propuesto para predecir el comportamiento de

afluencia futuro de un pozo de petróleo. Kelkar (1985) trabajó en la unificación de las

diferentes relaciones existente, en un método para predecir las curvas IPR futuras en

pozos de petróleo.

149

Fetkovich fue el primero en sugerir que para yacimientos de gas en solución,

kro/μoβo se puede asumir como función lineal de presión. Standing asumió que J está

relacionado a kro/μoβo mediante la siguiente relación:

Poo

roktetanconsJ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βμ

= . (2.331)

J está relacionado a qo,max, y para la ecuación de Vogel se tiene:

Pq8.1

J max,o= . (2.332)

Para el método de Fetkovich, cuando n = 1, se tiene:

Pq2

J max,o= . (2.333)

Para n≠1, como una aproximación, sí se calcula el valor de J para Pwf=0.999 P , se

puede escribir como

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Pq

tetanconsJ max,o . (2.334)

En general, de las Ecs. 332, 333, y 334 se puede concluir que J es directamente

proporcional a qo,max e inversamente proporcional a P .

Como se observa en la Fig. 29, se supone que existe una relación lineal entre

kro/μoβo y P. La intercepción en el eje y, corresponde al valor de kro/μoβo a la Pca (presión

a condiciones atmosférica). Por lo tanto, se puede escribir una ecuación que relaciona

kro/μoβo y P,

'bP'ak)P(Foo

ro +=βμ

= ; (2.335)

150

siendo a’ y b’ son constantes, y

( )caPoo

ro PFk'bca

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βμ

= . (2.336)

Figura 29. Relación entre kro/μoβo y presión (Kelkar, 1985).

Se define una relación X, tal que

( )( )PFPF

k

k

X ca

Poo

ro

Poo

ro

ca =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βμ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βμ

= . (2.337)

La Ec. 2.335 se puede reescribir como

( ) ( ) ( ) ( ) PP

X1PFPFXPF −+= . (2.338)

151

Si se usa la ley de Darcy para flujo radial, el caudal de producción se puede

calcular por:

( )∫=P

Pwf

PdPFtetanconsq . (2.339)

Si Pwf se cambia a Pca, se puede calcular qo,max.

Se sustituye la Ec. 2.338 en la Ec. 2.339, y se calcula qo y qo,max, para establecer

una relación de

2

wfwf

max,o

o

PP

X1X1

PP

X1X21

qq

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−= . (2.340)

Si X se sustituye como 1/9, se obtiene la correlación de Vogel. Vogel supuso que X

es constante en toda la vida productiva del pozo.

Uhri – Blount (1982) usa la correlación de Vogel para predecir la producción futura.

Si se tienen dos conjuntos de datos en dos tiempos diferentes, se puede calcular ( )PF .

Entonces se pueden escribir dos ecuaciones como:

( ) 111 bPaPF += ,

( ) 222 bPaPF += . (2.341)

Para la relación de Vogel,

( )

( ) 9bPF

o ,9bPF

2

2

1

1

=

=

. (2.342)

Por lo tanto,

2

22

1

11

Pb8a

y,Pb8a

=

=

. (2.343)

152

Figura 30. Método de Uhri-Blount (Kelkar, 1985).

Las dos líneas dadas por la Ec. 2.341 se entrecruzan en un punto determinado, y

se puede llamar “punto de apoyo”. Este procedimiento se muestra en la Fig. 30. Para

que la línea recta futura pase por el mismo “punto de apoyo”, se necesita que la

siguiente condición este presente:

Pn1

Ab+

′= ; (2.344)

donde A′ y n son dos constantes. Combinando las Ecs. 2.2.344 y 2.2.335,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+′

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

′=

βμ nPPAP

nPA8k

oo

ro . (2.345)

A la presión promedio del yacimiento, P :

( )nPPA9k

Poo

ro

+′

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βμ

. (2.346)

153

Sustituyendo la Ec. 2.294 en la Ec. 2.309,

nPPAJ

+′′

= o (2.347)

sustituyendo la Ec. 2.331 en la Ec. 2.347:

nP

PAq2

max,o += . (2.348)

Existen dos incógnitas en la Ec. 2.348; por lo tanto, se necesita dos conjuntos de

datos. La Ec. 2.348 es idéntica a la dada por Uhri y Blount. Aunque esta relación es útil

para pronosticar los datos de producción inicial, el mayor inconveniente se encuentra en

el hecho de que X se asume como constante. De los datos tomados de Vogel, ya que el

valor de F(Pa) permanece constante; a medida que la presión del yacimiento disminuye,

el valor de X aumenta. Los valores de X pueden aumentar tan alto como 0.5, causando

errores significativos en las predicciones futuras.

Fetkovich simplificó este problema asumiendo que F(P) pasa a través del origen, o

alternativamente,

( ) PaPF = . (2.349)

También se asumió que la pendiente “a” cambia a medida que cambia la presión

del yacimiento, y es directamente proporcional a la presión del yacimiento. Por ejemplo,

si aPb es la pendiente para la presión promedio del yacimiento en el punto de burbuja;

entonces la pendiente Pa en cualquier presión se puede relacionar como:

bP

P

PP

aa

b

= , o

PtetanconsaP = . (2.350)

154

Combinando las Ecs. 2.349 y 2.350,

( ) 2PtetanconsJPF == ; (2.351)

o combinando las Ecs. 2.333 y 2.351,

3max,o Ptetanconsq = . (2.352)

En la Ec. 2.352 sólo hay una incógnita; por lo tanto, se requiere de un conjunto de

datos. En esencia, Fetkovich usa el mismo método sugerido por Uhri y Blount,

exceptuando que, el “punto de apoyo” es el origen.

Kelkar asumió que la línea recta pasa por el punto fijado en el eje y

(correspondiente a F(Pca)). La Ec. 2.349 se puede reescribir como:

( ) ( )aPFPaPF += . (2.353)

Como se desconoce el valor de F(Pca), se asume que la pendiente es directamente

proporcional a la presión promedio del yacimiento. Sustituyendo la Ec. 2.350 en la Ec.

2.353, se tiene:

( )( ) BPAPFJ

BPAPFJ2

222

2111

′+′==

′+′==. (2.354)

Se necesita dos conjuntos de datos para resolver las incógnitas A′ y B′ de las

Ecs. 2.354. Como se conocen los valores de qo,max en dos momentos distintos; entonces

la Ec. 2.354 se puede reescribir como:

2

322max,o

13

11max,o

PBPAq

PBPAq

′+′=

′+′=. (2.355)

155

A′ y B′ son constantes durante la vida productiva del pozo. Conocidas las

constantes se puede calcular el qo,max futuro del pozo y con la correlación de Vogel o el

método de Fetkovich, predecir la curva IPR.

La ventaja de este método es que permite el cambio de X conservando F(Pca)

constante; es decir, que el “punto de apoyo” está localizado en F(Pca).

En resumen, el procedimiento consiste en calcular J1 y J2 con el conjunto de datos

obtenidos de las pruebas a distintos tiempos. Luego, se calculan las constantes A′ y B′

de las Ecs. 354. Conocidas las constantes, se utilizan las Ecs. 355 para calcular la qo,max

futura del pozo.

2.8.4. Método de Klins y Clark III

Klins y Clark III (1993) presentaron en 1993 un método sencillo y práctico para

predecir el comportamiento de afluencia futuro en pozo de petróleo. Se estudiaron 21

yacimientos, en los cuales las técnicas conocidas sobrepredice los caudales de

producción; mientras el nuevo método reduce el error promedio en 9%.

Se estudiaron distintos parámetros de yacimiento-roca y fluido; como presión

inicial de yacimiento, presión en el punto de burbuja, agotamiento del yacimiento, ºAPI,

saturación de petróleo residual, saturación de gas crítica, permeabilidades relativas y

absolutas, y los efecto del daño en el máximo caudal de petróleo.

Para cada caso se estudio el cambio de variables. Debido a que los valores

absolutos de n y J variaron considerablemente de caso en caso, estas relaciones se

convirtieron a la forma adimensional. Luego de varios estudios, se relacionó con la

presión en el punto de burbuja. Se observó que la relación de n/nb se incrementa con la

disminución de la presión, mientras que J/Jb disminuye. Se observó de igual forma que

el efecto de daño no afecta las curvas adimensionales.

Se generó un ajuste de la curva con un polinomio de tercer grado para los valores

de n/nb y J/Jb, y las ecuaciones que describen las tendencias son:

3

b

2

bbb PP15030.0

PP12459.0

PP10577.01

nn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= , y (2.356)

156

3

b

2

bbb PP13066.2

PP17981.4

PP15718.31

JJ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= . (2.357)

Para predecir el máximo caudal de producción a presiones futuras como una

función de nb y Jb, el método de Fetkovich se puede usar a cualquier presión dada.

Junto con el trabajo de Vogel o Klins y Majcher, se puede calcular la futura curva IPR:

2

wfwf

max,o

o

PP8.0

PP2.01

qq

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= ; (2.50)

d

wfwf

max,o

o

PP705.0

PP295.01

qq

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= , (2.79)

siendo

( )bb

P001.0235.1PP72.028.0d +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= . (2.80)

Para utilizar el método se puede usar una prueba de flujo simple o multipunto.

Adicional, se requiere de una prueba de presión (estática, build-up, otras) y

correlaciones o pruebas PVT. Si se dispone de una prueba multipunto, se puede

conocer los valores de n y J.

Los pasos a seguir para el uso del método de Klins y Clark III viene dados por:

a. Calcular máximo caudal, qo,max, con los datos disponibles y la Ec. 2.50 o 2.79.

b. Calcular n y J usando el método de Fetkovich, Ecs. 2.73 y 2.74.

c. Calcular n/nb y J/Jb con las Ecs. 2.356 y 2.357.

d. Calcular nb y Jb.

e. Con las Ecs. 2.356 y 2.357 se puede calcular nf y Jf a presiones futuras.

f. Calcular máximo caudal futuro, qo,max f usando el método de Fetkovich.

g. Generar la curva IPR.

2.8.5. Correlación de Wiggins

157

Wiggins (1993) aplicó el enfoque de series de Taylor propuesto por Wiggins y col.,

(1992) en el desarrollo de la IPR analítica. El máximo caudal de producción actual viene

dado por:

[ ] 0p'

pmax,o PDPCq =Π= , (2.358)

donde D se relaciona con la función de movilidad por:

///

0oo

ro//

0oo

ro/

0oo

ro

0oo

ro k241k

61k

21kD

=Π=Π=Π=Π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βμ

= . (2.359)

El subíndice p en la Ec. 2.358 indica las condiciones presentes. Si se relaciona el

máximo caudal de producción a un momento futuro al máximo caudal de producción

actual, se tiene:

[ ][ ] 0p

0f

pmax,o

fmax,o

p

f

DPDP

qq

=Π

=Π= , (2.360)

donde el subíndice f se refiere a las condiciones futuras.

La Ec. 2.360 establece que la relación del máximo caudal de producción a futuro

entre el máximo caudal de producción actual, se relaciona con las presiones del

yacimiento y los términos de la función de movilidad, D. Debido a que los términos de la

función de movilidad son función de la presión promedio del yacimiento; entonces, la

Ec. 2.360 sugiere que la relación del caudal de producción se puede escribir como un

polinomio.

La información se ajustó con un modelo de regresión lineal de la forma,

221 ccy ×+×= . (2.361)

Como la presión promedio del yacimiento disminuye, se observa una disminución

en el máximo caudal de producción. Cuando la presión promedio del yacimiento es

cero, físicamente no hay flujo desde el yacimiento; en consecuencia, se escogió un

modelo de regresión lineal sin interrupción.

158

La relación que resultó para predecir la tasa máxima futura de petróleo es:

2

p

f

p

f

pmax,o

fmax,o

PP83516299.0

PP15376309.0

qq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; (2.362)

mientras que la relación para el caudal de agua es:

2

p

f

p

f

pmax,w

fmax,w

PP36479178.0

PP59245433.0

qq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (2.363)

Para usar el método de comportamiento futuro de un pozo, se debe estimar los

máximos caudales de producción con las Ecs. 2.117 y 2.118. Los máximos caudales de

producción futuro se pueden estimar con las Ecs. 2.362 y 2.363 a la presión promedio

de yacimiento. Conocido los máximos caudales, se predicen las curvas IPR futuras.

El análisis sugiere cuidado para estimar el comportamiento futuro en etapas de

agotamiento avanzadas, ya que el error puede aumentar. Aunque este error puede que

no sea significante, si la diferencia absoluta en los valores de producción es pequeña.

Basado en el análisis de la información utilizada en el desarrollo de este método, se

debe tener prudencia para pronosticar caudales en relaciones de presión de yacimiento

menores del 70%. Aún cuando los estimados en relaciones de presión menor de 70%

pueden ser relativamente exactas, ellas pueden contener errores significativos. Se

recomienda que los estimados del comportamiento futuro iniciales sean actualizados

cada 6 meses o cada año. Esto reduciría progresivamente la incertidumbre de los

estimados iniciales a medida que el agotamiento del yacimiento avanza.

2.8.6. Modelo de Guo

Guo (2001) desarrolló un modelo de 4 fases que permite modelar el flujo de agua,

gas, petróleo y partículas sólidas en el hoyo del pozo. El objetivo del trabajo era

investigar la aplicabilidad del modelo de 4 fases de Guo para la simulación del flujo de 2

fases en pozos de petróleo. Los resultados del trabajo indicaron que el modelo de Guo

(2001) es apropiado y se puede usar en la determinación de la IPR para pozos con baja

y alta relación gas petróleo.

159

El modelo analítico de Gou se publicó en la literatura de perforación. La siguiente

ecuación se puede resolver usando métodos numéricos como el algoritmo de Newton-

Raphson para la presión hidráulica a una profundidad (sin fricción):

( ) H''aPP

lnPP''b144wh

hywhhy =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− , (2.364)

siendo Phy la presión hidráulica a la profundidad, Pwh la presión de cabezal y H la

profundidad vertical. Las constantes a’’ y b’’ están dadas por:

( )

gs

gsgoowwss

qTq019.0qq1.85q32.15

''aγ+γ+γ+γ

= , (2.365)

( )[ ]gs

ows

qTqq38.1q247.0''b ++

= ; (2.366)

donde q es el caudal de producción, γ la gravedad específica y T la temperatura

promedio. Los subíndices s, w, o y g indican sólido, agua, petróleo y gas

respectivamente.

La siguiente ecuación se puede usar para determinar las pérdidas de presión por

fricción (Pfr):

2,fr1,frfr PPP += . (2.367)

Los términos Pfr,1 y Pfr,2 se pueden resolver numéricamente a partir de la siguiente

ecuación:

L''e''d''c''aP72P''b18.5 1,fr2

1,fr =+ , (2.368)

L''e''c''aP368.10P''b328.995 222,fr

32,fr =+ ; (2.369)

160

donde los términos constantes están definidos por:

*gs

3

AqT1077.6

''c−×

= , (2.370)

( )*

ow3

Aqq104.9''d +×

=−

(2.371)

Tdg2

f''e = . (2.372)

El factor de fricción Moody para flujo turbulento esta dado por la correlación

Nikuradse:

2

Td2log274.1

1f

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ξ−

= . (2.373)

La presión de fondo fluyente viene dada por:

frhywf PPP += (2.374)

El modelo se usó en 2 casos, prediciendo la presión de fondo fluyente con un error

aceptable menor al 2%, y con un error en el índice de productividad menor al 10%. Es

importante validar la correlación con medidas reales de presión de fondo. El uso del

modelo se recomienda en pozos con producción de arena, debido a la consideración de

esta variable.

2.8.7. Correlación de Wiggins y Wang

La habilidad para predecir el comportamiento de afluencia futuro, permite al

ingeniero estimar la producción del pozo. Wiggins y col., (1992) propusieron una IPR

161

analítica para pozos verticales e indicaron una relación en función no sólo de la presión

sino de la movilidad del petróleo.

Usando esta idea, Wiggins propuso una relación generalizada para el

comportamiento futuro de pozos horizontales de petróleo. La expresión viene dada por:

pp

ff

pmax,o

fmax,o

DPDP

qq

= , (2.375)

donde, los subíndices p y f se refieren a las presiones promedio del yacimiento presente

y futuro respectivamente. Wiggins sugirió que el término movilidad del petróleo es una

función de la presión y que la relación de máximos caudales es también una función de

presión. Por lo tanto, el comportamiento de afluencia futuro se podría desarrollar como

un polinomio de relación presiones promedio del yacimiento.

Basado en este concepto, graficas de relaciones del máximo caudal de petróleo

versus relaciones de presión promedio del yacimiento se estudiaron para todos los

casos; mostrando una relación cóncava.

Los datos se ajustaron con un modelo de regresión lineal de la forma

44

33

2210 x'ax'ax'ax'a'ay ++++= . (2.376)

El resultado de la relación para predecir el máximo caudal futuro del pozo esta

dado por:

4

p

f

3

p

f

2

p

f

p

f

pmax,o

fmax,o

PP96.10

PP92.23

PP32.20

PP36.70.1

qq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= . (2.377)

Para aplicar la correlación propuesta, se estima el máximo caudal de producción

actual con la Ec. 2.220 o la Ec. 2.221. Luego, se puede estimar el máximo caudal de

producción futuro con la Ec. 2.377 para cualquier presión de yacimiento. Por último, la

curva IPR se puede desarrollar a cualquier etapa de agotamiento futura, usando la Ec.

2.220 o 2.221 a la presión de yacimiento deseada.

La diferencia porcentual entre los datos estimados y los simulados es menos del

3.5% a relaciones de presión hasta 80%. Una vez que las relaciones de presión están

162

por debajo de 80%, la diferencia porcentual se comienza a incrementar. Se sugiere que

para IPR futuras, la relación entre presión sea más grandes que el 80%. Sin embargo,

se recomienda la actualización de la IPR futura con el agotamiento del yacimiento para

reducir la incertidumbre en los datos.

2.8.8. Correlación de Mishra y Caudle

Mishra y Caudle también desarrollaron una correlación para predecir el

comportamiento futuro en pozos verticales de gas. La correlación empírica para IPR

futuras viene dada por:

( )( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡p

f

PmPm

pmax,g

fmax,g 4.0135

qq

. (2.378)

Para predecir la curva IPR futura, se pueden seguir los siguientes pasos:

a. Dada una presión promedio futura fP , y la presión promedia P , calcular

( )( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

p

f

PmPm .

b. Usar la Ec. 2.378, para estimar

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

pmax,g

fmax,g

qq

.

c. Calcular

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

pmax,g

fmax,gpmax,gfmax,g q

qqq .

d. A cualquier presión de fondo fluyente futura, si el caudal de producción futuro se

necesita, se calcula primero

163

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

f

fwf

PmPm

.

e. De la Ec. 2.238 estimar,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

fmax,g

f

qq .

2.9. Flujo multifásico en tuberías verticales

El objetivo de los estudios realizados en el comportamiento del flujo multifásico es

predecir el gradiente de presión a través de la tubería de producción. Esto se realiza

con la finalidad de conocer la curva de gradiente y así, predecir la curva de demanda

para realizar el análisis nodal de un pozo.

Las correlaciones obtenidas a través de técnicas de laboratorio y/o datos de

campo, poseen sus limitaciones al ser aplicadas en diferentes condiciones a la de su

deducción. Los factores mas importantes tomados en cuenta para el cálculo de la curva

de gradiente son: el cálculo de la densidad de la mezcla, el factor de entrampamiento

(hold up), regímenes de flujo, factor de fricción, entre otros.

2.9.1. Correlación de Duns.

Se clasifica como una correlación del “Tipo c”. Ros (1960) demostró que el

gradiente de presión depende del hold up líquido y del factor de fricción. Un análisis

adimensional indicó que ambos, tanto el hold up líquido como el factor de fricción, están

relacionados a nueve grupos adimensionales. Más tarde, se demostró que solo cuatro

de ellos son realmente relevantes. Basado en estos cuatro grupos, se pudo seleccionar

un programa experimental restringido que cubrió prácticamente con todas las

condiciones encontradas en los pozos de petróleo. Este programa experimental fue

instalado en un laboratorio, donde se determinaron tres patrones de flujo, los cuales se

dividieron en tres regiones: baja, media y alta presencia de gas. Los gradientes de

presión en esas regiones fueron presentados en forma de correlaciones, las cuales se

compararon con la información disponible de campo, mostrando excelentes resultados.

164

De acuerdo a Ros, las pérdidas debido a aceleración son muy pequeñas, por lo

que pueden ser despreciadas. A continuación, se presenta la correlación propuesta por

Ros para estimar el gradiente de presión:

f

s HP

HP

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

+ρ=ΔΔ , (2.379)

donde el término f)H/P( ΔΔ representa las pérdidas por fricción y su valor será

determinado como una función del patrón de flujo. El procedimiento a seguir para

estimar el gradiente por fricción es el siguiente:

a. Determinación de los grupos adimensionales

La predicción del gradiente por fricción prevé el uso de cuatro grupos

adimensionales propuestos por Ros, los cuales son:

− Número de Velocidad Líquido LvN

4

l

lslLv V938.1N

σρ

= . (2.380)

− Número de Velocidad Gas gvN

4

l

lsggv V938.1N

σρ

= . (2.381)

− Número de Diámetro de Tubería dN

l

lTd d872.120N

σρ

= . (2.382)

− Número de Viscosidad Líquida LN

4 3ll

LL11572.0Nσρ

μ= . (2.383)

165

donde slV y sgV representa la velocidad superficial de las fases líquido y gas

respectivamente, en pie/s. d T representa el diámetro de la tubería, en pie. lρ y lσ

representa la densidad líquida y la tensión superficial, en 3pie/lbm y cm/dina ,

respectivamente.

b. Determinación de los parámetros nL

Los parámetros 1L , 2L y 3L se determinan como una función de dN , a partir de las

Figs. 31 y 32, respectivamente. El parámetro 4L se determina como una función de LN ,

a partir de Fig. 33.

c-. Determinación del patrón de flujo

Ros clasificó los tipos de patrones de flujo, basado en el siguiente criterio:

− Patrón de flujo burbuja

gvLv21 N)NLL( >+ .

− Patrón de flujo tapón

43gvLv21 LLN)NLL( <<+ .

− Patrón de flujo neblina

)N3650(N Lvgv +> .

166

Figura 31. Correlación para estimar los parámetros 1L y 2L (Ros, 1960).

Figura 32. Correlación para estimar el parámetros 3L (Ros, 1960).

167

Figura 33. Correlación para estimar el parámetro 4L (Ros, 1960).

d. Determinación del hold up liquido LH , como una función del patrón de flujo

− Patrón de flujo burbuja

El hold up líquido LH se determinará mediante la siguiente ecuación:

s

sls2

slsgsslsgsL V2

VV4)VVV()VVV(H

+−−+−−= , (2.384)

donde Vs, sgV y slV representan la velocidad de deslizamiento y la velocidad de las

fases gas y liquido, respectivamente, expresadas en pie/s. sV se determina mediante la

siguiente ecuación:

4

l

ls

938.1

SV

σρ

= . (2.385)

lρ y lσ se encuentran expresadas en 3pies/lbm y cm/dina , respectivamente. La

velocidad de deslizamiento adimensional, S, se puede estimar mediante la siguiente

correlación:

168

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++=Lv

gv'3Lv21 N1

NFNFFS , (2.386)

d

43

'3 N

FFF −= . (2.387)

Los parámetros 1F , 2F , 3F y 4F se determinan como una función de LN , a partir de

Fig. 34.

Figura 34. Correlación para estimar los parámetros 1F , 2F , 3F y 4F (Ros, 1960).

− Patrón de flujo tapón

El hold up líquido LH y la velocidad de deslizamiento sV se determinará mediante

Ecs. 384 y 385. La velocidad de deslizamiento adimensional S debe ser estimada

mediante la siguiente correlación:

169

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

++= 2

Lv7

"6

982.0gv

5 )NF1(FN

)F1(S , (2.388)

6d8"6 FNFF += . (2.389)

Los parámetros 5F , 6F y 7F se determinan como una función de LN , a partir de Fig.

35.

Figura 35. Correlación para estimar los parámetros 5F , 6F y 7F (Ros, 1960).

De acuerdo a Ros, el parámetro 8F es una constante, cuyo valor no fue definido

inicialmente. Mas tarde, Duns y Ros (1963) sugirieron un valor de 0029.0 para el

parámetro 8F .

− Patrón de flujo neblina

El hold up líquido LH se determinará mediante la siguiente ecuación:

170

2d

L N20H = . (2.390)

e. Determinación del gradiente de presión por fricción

El gradiente de presión por fricción puede ser obtenido mediante:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

sl

sg

T

2sll

wf V

V1

d2Vf4

HP . (2.391)

La Ec. 2.391 asume que la fricción es causada por esfuerzo de corte en la fase

líquida. Esta suposición se muestra razonable para los patrones de flujo burbuja y

tapón, donde el líquido representa la fase continua. Sin embargo, si el gas representa la

fase continua, el gradiente de presión por fricción se deberá estimar sobre la base de la

fase gaseosa como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

sg

sl

T

2sgg

wf V

V1d2V

f4HP . (2.392)

La correlación para estimar el factor de fricción wf esta dado por:

3

21w f

fff = , (2.393)

donde 1f se puede estimar mediante el diagrama de Moody (Fig. 37), como una función

del número de Reynolds de la fase continua y la rugosidad relativa. Es importante

resaltar, que el factor de fricción también se puede estimar para flujo anular,

simplemente sustituyendo el concepto de diámetro hidráulico. El factor 2f es una

corrección por efecto de la slsg V/V y esta dado como una función del grupo

( 3/2dslsg1 N)V/V(f ) y la Fig. 36.

171

Figura 36. Correlación para estimar el factor 2f (Ros, 1961).

Figura 37. Diagrama de Moody (Brill, Hagedorn y Brown, 1966).

172

Es de notar que la Fig. 36 posee dos curvas: una punteada y otra continúa. Para

flujo vertical, la curva ha utilizar es la continua. El factor 3f es una corrección de

segundo orden por efecto de la viscosidad liquida y la RGL . Este factor puede ser

estimado mediante la siguiente ecuación:

50

RGLf1f 13 += . (2.394)

2.9.2. Correlación de Duns y Ros

Se clasifica como una correlación del “Tipo c”. El método de Duns y Ros (1963) es

el resultado de un estudio de laboratorio, donde mas de 4000 pruebas de flujo bifásico

fueron obtenidos de una instalación vertical de pies185 . Los diámetros de tuberías

utilizados comprendieron un rango entre "60.5"26.1 − , incluyendo configuraciones de

flujo anular. La mayoría de las pruebas estuvieron bajo condiciones muy cercanas a la

presión atmosférica y se utilizó como fluidos experimentales, aire como la fase gaseosa

y agua e hidrocarburo como la fase liquida. El hold up liquido LH fue medido mediante

el uso de trazador radioactivo y su observación fue posible debido al uso de una

sección transparente en la facilidad experimental.

Duns y Ros propusieron una serie de correlaciones para estimar el factor de

fricción y la velocidad de deslizamiento, como una función del hold up líquido y el patrón

de flujo. Un análisis adimensional elaborado por Duns y Ros indicó que 12 variables

eran de particular importancia en la predicción del gradiente de presión. Mediante un

proceso de eliminación, finalmente se demostró que solo cuatro de ellos son realmente

relevantes y los mismos fueron utilizados para seleccionar el rango de variables en el

programa experimental. La ecuación para estimar el gradiente de presión, propuesta

por Duns y Ros, es la siguiente:

)E1(

HP

HP

K

fs

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

+ρ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ , (2.395)

173

donde )H/P( ΔΔ representa el gradiente de presión en pie/lpc . sρ representa la

densidad de mezcla con deslizamiento, en lbm/pie3. f)H/P( ΔΔ representa el gradiente

de presión por fricción, en pie/lpc . kE representa el término de energía cinética

adimensional.

El procedimiento a seguir para estimar el gradiente por fricción es el siguiente:

a. Determinación de los grupos adimensionales

Referido a los cuatro grupos adimensionales propuestos por Ros (1961): LvN , gvN ,

dN y LN (Ecs. 380 a 383).

b. Determinación de los parámetros adimensionales

Los parámetros 1L y 2L se estimarán mediante la Fig. 31, propuesta por Ros

(1961). Los parámetros SL y ML se estimarán mediante las siguientes ecuaciones:

LvS N3650L += , (2.396)

75.0

LvM N8475L += . (2.397)

c. Determinación del patrón de flujo.

Duns y Ros clasificaron los tipos de patrones de flujo, basado en el siguiente

criterio:

− Patrón de flujo burbuja.

)NLL(N0 Lv21gv +≤≤ .

− Patrón de flujo tapón.

SgvLv21 LN)NLL( ≤≤+ .

− Patrón de flujo transitorio.

174

MgvS LNL ≤≤ .

− Patrón de flujo neblina.

Mgv LN > .

La Fig. 38 muestra los distintos patrones de flujo propuesto por Duns y Ros, que

ocurrirían en una tubería vertical.

Duns y Ros (1963)

gvN

LvN

Duns y Ros (1963)

gvN

LvN

Figura 38. Mapa de Patrones de Flujo en Tubería Vertical (Duns y Ros, 1963).

d. Determinación del hold up líquido LH y el gradiente de presión )H/P( ΔΔ , como

una función del patrón de flujo

− Patrón de flujo burbuja

175

El hold up liquido LH se estima mediante similar procedimiento propuesto por Ros

(1960) para flujo burbuja (Ecs. 384, 385, 386 y 387). El gradiente de presión )H/P( ΔΔ

se estima mediante la Ec. 2.395, despreciando el término de energía cinética

adimensional kE . El gradiente de presión por fricción f)H/P( ΔΔ se determina utilizando

similar procedimiento propuesto por Ros (1961).

− Patrón de flujo tapón

Bajo este patrón de flujo, el hold up liquido LH y la velocidad de deslizamiento sV

se determina mediante Ecs. 384 y 385, respectivamente, propuestas por Ros (1960)

para flujo tapón. La velocidad de deslizamiento adimensional, S, se estima mediante las

Ecs. 388 y 389. Duns y Ros sugirieron un valor de 0.0029 para el parámetro 8F , el cual

era desconocido su valor en el trabajo original presentado por Ros en 1960. De manera

similar que en el patrón de flujo burbuja, el gradiente de presión )H/P( ΔΔ se estima

mediante la Ec. 2.395, despreciando el término de energía cinética adimensional kE .

− Patrón de flujo neblina

Bajo este patrón de flujo se asume que la fase continua es el gas. Adicionalmente,

Duns y Ros asumieron que no existe deslizamiento entre fases. En consecuencia, el

gradiente de presión se puede estimar como:

)E1(

HP

HP

K

fns

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

+ρ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ , (2.398)

donde,

d2V

f4HP 2

sgg

f

ρ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ . (2.399)

Debido a que no se considera deslizamiento entre fases, el factor de fricción f se

obtiene del diagrama de Moody (Fig. 36), como una función del número de Reynolds

para la fase gaseosa, solamente. Esto es,

176

g

TsggRe

dVN

μ

ρ= . (2.400)

Duns y Ros observaron durante sus experimentos que sobre la pared interna de la

tubería se formaba una delgada película de líquido. Las ondas que se crean sobre esta

película por la acción de la fase gaseosa, genera pérdidas adicionales en el cálculo del

gradiente de presión debido al incremento de los esfuerzos de corte entre el gas y la

película líquida. Variando la rugosidad de la tubería, ε , Duns y Ros determinaron que el

proceso es afectado por la viscosidad líquida y también es gobernado por el número de

Weber, el cual es definido como:

l

2sgg

We

VN

σ

ερ= , (2.401)

donde ε es la rugosidad de la tubería. sgV y lσ representan la velocidad superficial del

gas y la tensión superficial del líquido, respectivamente. Como se aprecia en la Ec.

2.401, la viscosidad líquida no ejerce un efecto directo sobre el WeN . En consecuencia,

el efecto de la viscosidad se puede considerar haciendo el WeN una función de un

número adimensional que contiene el término de viscosidad líquida, y el cual es dado

como:

εσρ

μ=μ

ll

2lN . (2.402)

Basados sobre data experimental, Duns y Ros establecieron una relación funcional

entre el numero de Weber WeN y μN . Esta relación se puede apreciar en la Fig. 39. El

valor de la rugosidad puede ser muy pequeña, pero la rugosidad relativa nunca podrá

ser menor al valor de la tubería misma ( 310− ).

177

Duns y Ros (1963)Duns y Ros (1963)

Figura 39. Efecto de la viscosidad líquida sobre WeN , como una función de μN (Duns y Ros, 1963).

Sobre la base de la Fig. 39, la relación d/ε se puede obtener de acuerdo a las

siguientes condiciones:

i. Para 005.0NNWe ≤μ

T

2sgg

l

dV0749.0

d ρσ

=ε . (2.403)

ii. Para 005.0NNWe >μ

302.0We

T2sgg

l )NN(dV

3713.0d μρ

σ=

ε . (2.404)

lσ y gρ representa la tensión superficial y la densidad del gas, en cm/dina y

3pies/lbm , respectivamente. Td representa el diámetro de la tubería, pie . sgV

representa la velocidad superficial de la fase gaseosa. Bajo la condición de

178

05.0d/10 3 <ε<− , el factor de fricción f se puede estimar directamente del diagrama de

Moody. Cuando la relación 05.0)d/( >ε , los valores del factor de fricción f bajo

condiciones de flujo neblina pueden ser obtenidos mediante la siguiente extrapolación

del diagrama de Moody.

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

=73.1

2 d067.0

d27.0log4

1f . (2.405)

Ya que bajo condiciones de flujo neblina, el término de aceleración no se puede

despreciar, Beggs y Brill (1973) propusieron la siguiente expresión matemática para

estimar el término de energía cinética kE :

P

VVE nssgm

k

ρ= , (2.406)

donde P representa la presión del segmento y se puede estimar como el promedio

aritmético entre la presión a la entrada y salida del segmento en estudio,

respectivamente. Desafortunadamente, la Ec. 2.406 puede estimar valores incorrectos

de kE , cuando su valor sea superior a 1. El gradiente de presión total podrá estimarse

entonces mediante Ecs. 395 y 406.

− Patrón de flujo transición

Bajo este patrón de flujo, el gradiente de presión total viene dado por:

Neblina

'

Tapon

'

HP)A1(

HPA

HP

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ , (2.407)

donde el gradiente de presión )H/P( ΔΔ es el estimado bajo condiciones de flujo Tapón

y Neblina, discutidos en secciones anteriores del método de Duns y Ros. El coeficiente

A’ se puede determinar mediante la siguiente ecuación:

179

SM

gvM

LLNL

A−

−= , (2.408)

donde gvN , SL y ML se determinan mediante Ecs. 381, 396 y 397, respectivamente. A

fin de incrementar la exactitud en estimar el gradiente de presión bajo el patrón de flujo

de transición, se ha recomendado corregir la densidad del gas, utilizando la siguiente

ecuación:

M

gvg*g L

Nρ=ρ , (2.409)

donde gρ representa la densidad del gas a condiciones operacionales de presión y

temperatura. Esta modificación toma en cuenta la presencia de una parte del líquido en

la fase gaseosa. Por otra parte, el gradiente de presión por aceleración se desprecia,

bajo este patrón de flujo.

2.9.3. Correlación de Hagedorn y Brown

Se clasifica como una correlación del “Tipo b”. Se baso en información obtenida de

un pozo vertical de pies1500 de profundidad. Aire y agua fue utilizada como fluidos

experimentales. Las pruebas fueron llevadas a cabo en tuberías de "1 , "1 41 y "1 2

1 ,

donde se variaron ampliamente los valores de la tasa de flujo, relación gas líquido y

viscosidad del fluido. También utilizaron la base de datos expuesta por Fancher y Brown

(1963) para tuberías de "2 .

La correlación de Hegedorn y Brown (1964) ha sido modificada con el tiempo. La

primera modificación establece que si el criterio de Griffith y Wallis (1961) predice la

ocurrencia de flujo burbuja, entonces el método de flujo burbuja propuesto por Griffith

(1962) deberá ser utilizado para estimar el gradiente de presión (esta aproximación es

parte del método de Orkiszewski). La segunda modificación se refiere al cálculo del hold

up líquido. Los valores de LH obtenido de las figuras propuestas por Hagedorn y Brown

son algunas veces inferiores al compararlas con los valores de la fracción vacía de gas

lλ . Para flujo multifásico ascendente, esta condición resulta contradictoria debido a que

180

el líquido no puede viajar más rápido que el gas. La solución propuesta a esta

anormalidad prevé el uso de lλ por LH . La tercera modificación recomienda despreciar

los efectos por aceleración, ya que se ha demostrado que este término sobre predice

los cálculos de caída de presión. La ecuación general para estimar las pérdidas por

presión esta dado por:

Tsc

2m

2ns

s dg2Vf

HP

ρρ

+ρ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ , (2.410)

donde )H/P( ΔΔ representa el gradiente de presión en lpc/pie. nsρ y sρ representa la

densidad de mezcla sin y con deslizamiento, respectivamente, en 3pie/lbm . mV y Td

representan la velocidad de mezcla y el diámetro de la tubería, en pie/s y pie ,

respectivamente. Por otra parte, el valor numérico del factor de fricción f se puede

obtener de la Fig. 35, como una función del número de Reynolds y la rugosidad relativa,

asumiendo la condición sin deslizamiento entre fases. El procedimiento a seguir para

estimar el hold up líquido es el siguiente:

a. Determinación de los grupos adimensionales.

La predicción del hold up líquido prevé el uso de cuatro grupos adimensionales

propuestos por Ros (1960), los cuales son: número de velocidad líquido LvN ; número de

velocidad gas gvN ; número de diámetro de tubería dN ; y número de viscosidad líquida

LN . Se determinan con las Ecs. 380 al 383, respectivamente.

b. Estimar la variable LCN mediante la Fig. 40 y el grupo adimensional LN .

181

Hagedorn y Brown (1965)Hagedorn y Brown (1965)

Figura 40. Correlación de para estimar LCN (Hagedorn y Brown, 1965).

c. Estimar el valor de la relación Ψ/HL , mediante la Fig. 41.

d. Estimar el valor de la relación Ψ , mediante la Fig. 42.

e. Estimar el valor del hold líquido LH , mediante la mediante la siguiente relación

matemática:

ψψ

= LL

HH . (2.411)

182

ψLH

d

LC

scgv

Lv

NN

PP

NN

10.0

575.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ψLH

d

LC

scgv

Lv

NN

PP

NN

10.0

575.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Figura 41. Correlación para estimar Ψ/HL (Hagedorn y Brown, 1965).

ψ

( )14.2

380.0

d

Lgv

NNN

ψ

( )14.2

380.0

d

Lgv

NNN

Figura 42. Correlación para estimar Ψ (Hagedorn y Brown, 1965).

f. Verificar que se cumpla

lLH λ≥ . (412)

183

En caso contrario, se debe considerar lLH λ= . Finalmente, el gradiente de presión

se obtiene mediante la Ec. 2.410.

2.9.4. Correlación de Orkiszewski

Se clasifica como una correlación del “Tipo c”. La correlación de Orkiszewski

(1967) es el resultado del análisis de varios métodos publicados. El objetivo consistió en

determinar si alguno de ellos proporcionaba una predicción del gradiente de presión con

mayor precisión, para un amplio rango de condiciones. El método de Orkiszewski fue

dividido en tres categorías, cuya discriminación estuvo basada en: La forma en que se

consideró el hold up líquido LH para el cálculo de la densidad; el factor de fricción; y los

patrones de flujo.

Primera categoría: el hold up líquido LH no es considerado en el cálculo de la

densidad. La densidad es simplemente la densidad de los fluidos producidos,

corregidos por presión y temperatura. LH y las pérdidas por fricción son expresadas

mediante una correlación empírica del factor de fricción que considera ambos efectos.

No se realizan distinciones entre los patrones de flujo. Segunda Categoría: el hold up

líquido LH es considerado en el cálculo de la densidad y es considerado

separadamente o combinado en alguna forma con las pérdidas por fricción las cuales a

su vez se basan sobre las propiedades compuesta de las fases gas y liquido. No se

realizan distinciones entre los patrones de flujo. Tercera Categoría: considera el hold

up líquido LH en el cálculo de la densidad y se determina a partir de la velocidad de

deslizamiento. Las pérdidas por fricción se determinan a partir de las propiedades de la

fase continua. Se distinguen cuatro patrones de flujo: burbuja, tapón, transición y

neblina.

La metodología utilizada por Orkiszewski le permitió seleccionar aquellos

parámetros que permitiesen mayor exactitud en el cálculo del gradiente de presión.

Propuso una nueva correlación para la condición de flujo tapón, a partir de la data

obtenida por Hagedorn y Brown (1964). Seleccionó el método de Griffith y Wallis (1961

y 1962) para la condición de flujo burbuja. Finalmente, el método de Duns y Ros (1963)

fue utilizado para el patrón de flujo neblina. El cálculo del gradiente de presión

dependerá del patrón de flujo. El procedimiento para estimar este gradiente se describe

detalladamente a continuación:

184

a. Patrón de flujo burbuja.

Este patrón de flujo existe si se cumple el siguiente criterio:

Blg L)1( <λ−=λ , (2.413)

donde gλ representa la fracción vacía de gas sin deslizamiento entre fases . BL

representa el límite entre el patrón de flujo burbuja y tapón, el cual se encuentra dado

por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

T

2m

B dV2218.0071.1L , (2.414)

donde mV y Td representa la velocidad de la mezcla y el diámetro de la tubería, en pie/s

y pie, respectivamente. El hold up líquido LH para esta condición de flujo se estima

mediante la siguiente ecuación:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−=

s

sg2

s

m

s

mL V

V4

VV1

VV1

211H . (2.415)

Se puede notar que la Ec. 2.415 es equivalente a la Ec. 2.384 propuesta por Ros

(1960). Orkiszewski adoptó la sugerencia de Griffith (1962) de asumir un valor de 0.8

pie/s para la velocidad de deslizamiento, sV . El gradiente de presión por fricción para

flujo burbuja es dado por la siguiente ecuación:

T

2

L

sll

f d2HVf

HP ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ , (2.416)

185

donde el factor de fricción f se obtiene del diagrama de Moody, como una función de la

rugosidad relativa y el numero de Reynolds para la fase liquida, el cual estará dado

como:

l

TL

sll

Re

dHV

Nμ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

= . (2.417)

En la Ec. 2.417, slV y lμ representan la velocidad superficial y la viscosidad de la

fase líquida. Finalmente, la caída de presión total es la suma del gradiente de presión

por elevación (asumiendo deslizamiento entre fases) y el gradiente de presión por

fricción (Ec. 2.416). Bajo condiciones de flujo burbuja, el gradiente de presión por

aceleración se desprecia.

b. Patrón de flujo tapón.

Inicialmente, se debe estimar los grupos adimensionales propuestos por Ros

(1960), referidos a: Número de velocidad líquido LvN y el número de velocidad de gas

gvN . También, el parámetro SL , utilizado en el método de Duns y Ros (1963), deberá

ser determinado mediante la Ec. 2.396. Este patrón de flujo existirá si se cumple los

siguientes criterios:

Blg L)1( >λ−=λ , (2.418)

Sgv LN < , (2.419)

El gradiente de presión total resulta de la suma del gradiente de presión por

elevación y fricción. El gradiente de presión por elevación considera un procedimiento

particular para estimar la densidad de la mezcla. Bajo el patrón de flujo tapón, la

densidad se estima mediante la siguiente ecuación:

Γρ++

ρ++ρ=ρ l

bm

sggbslls VV

V)VV(, (2.420)

186

donde bV representa la velocidad de ascenso de una burbuja y Γ el coeficiente de

distribución líquido. Orkiszewski desarrolló la Ec. 2.420 para tratar de estimar la

densidad promedio, que considera simultáneamente la presencia de la burbuja de

Taylor (1949) y el tapón de líquido. Un criterio muy similar tuvo Griffith y Wallis, solo que

despreciaron la presencia de una película líquida alrededor de la burbuja de Taylor y la

posibilidad de que gotas de líquido se encuentren dentro de esta. El último término de la

Ec. 2.420, propuesto por Orkiszewski, toma en cuenta la distribución del líquido en la

burbuja y el tapón de líquido. Esta modificación fue importante para extender el trabajo

de Griffith y Wallis a condiciones de alta velocidad de flujo. De acuerdo a Griffith y

Wallis, la velocidad de ascenso de una burbuja bV se puede estimar mediante la

siguiente ecuación:

T2'

1'

b dgCCV = , (2.421)

donde Td es el diámetro de la tubería. Las constantes 1'C y 2

'C se obtienen de las

Figs. 43 y 44, como una función de bReN y

LReN , respectivamente. Estos números de

Reynolds se definen como:

l

TblRe

dVNb μ

ρ= , (2.422)

l

TmlRe

dVNl μ

ρ= , (2.423)

187

Griffith y Wallis (1961)

FLUJO TAPON (SLUG)

1C

l

bl dVNb μ

ρ=Re

Griffith y Wallis (1961)

FLUJO TAPON (SLUG)

1C

l

bl dVNb μ

ρ=Re

Figura 43. Correlación para estimar 1

'C (Griffith y Wallis, 1961).

Griffith y Wallis (1961)

2C

l

ml dVNL μ

ρ=Re

FLUJO TAPON (SLUG)

Griffith y Wallis (1961)

2C

l

ml dVNL μ

ρ=Re

FLUJO TAPON (SLUG)

188

Figura 44. Correlación para estimar 2C (Griffith y Wallis, 1961).

Cuando la constante 2'C no se puede obtener de la Fig. 43, bV se puede calcular

mediante el siguiente criterio:

i. Cuando 3000NbRe ≤ .

TRe6

b dg)N1074.8546.0(VL

−×+= . (2.424)

ii. Cuando 8000NbRe ≥ .

TRe6

b dg)N1074.835.0(VL

−×+= . (2.425)

iii. Cuando 8000N3000bRe << .

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ρμ

++=Tl

l2bsbsb d

59.13VV21V , (2.426)

donde,

TRe6

bs dg)N1074.8251.0(VL

−×+= . (2.427)

Debido a que bV y bReN se encuentran interrelacionado, la determinación de bV

requerirá de un proceso iterativo cuando se utilicen las Figs. 42 y 43 ó las Ecs. 424 a

427. El procedimiento a seguir se lista a continuación:

1. Estime un valor de bV . Una buena aproximación sería:

Tb dg5.0V = . (2.428)

189

2. Calcule bReN utilizando el valor de bV , obtenido en paso 1.

3. Determine las constantes 1'C y 2

'C y calcule nuevamente bV , utilizando Ec. 2.421

o alguna de las Ecs. 2.424 a 2.427, dependiendo cual sea el caso.

4. Compare los valores de bV , obtenidos en paso 1 y 3. Si no satisfacen el criterio de

convergencia establecido, utilice el valor obtenido en el paso 3 como el nuevo

valor supuesto y continúe en paso 2. Repita el procedimiento hasta lograr

convergencia, la cual se alcanzará sí no observa cambios entre los valores

estimados y calculados de bReN .

Por otra parte, Orkiszewski utilizó la data de Hagedorn y Brown para calcular y

correlacionar el coeficiente de distribución líquida Γ . Sin embargo, la determinación de

este coeficiente demanda definir la fase continua líquida.

En el caso de que el agua y el petróleo se encuentren presente, Orkiszewski

nunca definió el criterio para establecer cuál fase líquida es la fase continua, bajo esta

particular condición. Arirachakaran (1983) propuso una metodología para definir la fase

continua. Dependiendo de cual sea la fase continua y la velocidad de mezcla, el valor

de Γ se podrá estimar mediante el siguiente criterio:

− Fase continua Agua: 4RAP ≥ y s/pie10Vm <

( ) ( ) ( )Tm38.1T

l dlog428.0Vlog232.0681.0d

log013.0−+−

μ=Γ . (2.429)

− Fase continua Agua: 4RAP ≥ y s/pie10Vm ≥

( ) ( ) ( )Tm799.0T

l dlog888.0Vlog162.0709.0d

log045.0−−−

μ=Γ . (2.430)

− Fase continua Petróleo: 4RAP < y s/pie10Vm <

190

( ) ( )Tm415.1T

l dlog113.0Vlog167.0284.0d

)1(log0127.0++−

+μ=Γ . (2.431)

− Fase continua Petróleo: 4RAP < y s/pie10Vm ≥

( ) Xdlog569.0161.0d

)1(log0274.0T371.1

T

l ++−+μ

=Γ , (2.432)

donde

( ) ( )T571.1T

lm dlog63.0397.0

d)1(log01.0VlogX ++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +μ−= . (2.433)

Las Ecs. 429 al 433 consideran la viscosidad liquida lμ , el diámetro Td y la

velocidad de mezcla mV en cp, pie y pie/s, respectivamente. Con el objeto de eliminar

discontinuidades de presión entre los distintos patrones de flujo, el valor de Γ se

encuentra restringido a:

Sí s/pie10Vm < , entonces mV065.0−≥Γ , (2.434)

Sí s/pie10Vm > , entonces ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρρ

−+

−≥Γl

m

bm

b 1VV

V. (2.435)

El gradiente de presión por fricción bajo flujo tapón, se determina mediante la

siguiente ecuación:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Γ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ρ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

bm

bsl2ml

VVVV

d2Vf

HP , (2.436)

donde f se obtiene del diagrama de Moody, como una función del numero de Reynolds

definido por la Ec. 2.423. Finalmente, la caída de presión total es la suma del gradiente

de presión por elevación (asumiendo deslizamiento entre fases) y el gradiente de

191

presión por fricción (Ec. 2.436). Bajo condiciones de flujo tapón, el gradiente de presión

por aceleración se desprecia. Algunas discontinuidades de Γ pueden tener un efecto

significativo, tal como se puede apreciar en la Fig. 45.

Brill (1989)Brill (1989)

Figura 45. Discontinuidades del Coeficiente de Distribución Liquida Γ .

El método de Orkiszewski puede causar problemas de convergencia. Esto se debe

a discontinuidades entre las Ecs. 429 y 430 y entre las Ecs. 431 y 432, para el agua y el

petróleo como fase continua, respectivamente. Brill (1989) demostró que los límites

establecidos entre las Ecs. 434 y 435 no son suficientes para eliminar las

discontinuidades de presión. Triggia (1984) sugirió que los coeficientes de las Ecs. 430,

432 y 433 se modificaran manteniendo las pendientes de las curvas, pero eliminando

las discontinuidades. Aunque esta modificación resuelve el problema de convergencia,

puede que la exactitud de los resultados se vea afectada. Las ecuaciones modificadas

para las fases continuas agua y petróleo, respectivamente, son:

− Fase continua Agua: 4RAP ≥ y s/pie10Vm ≥

192

( ) ( ) ( )Tm38.1T

l dlog428.0Vlog162.0287.0d

log013.0−−−

μ=Γ . (2.437)

− Fase continua Petróleo: 4RAP < y s/pie10Vm ≥

( ) ( ) ( )( )m''

T415.1T

l Vlog1Cdlog113.0117.0d

1log0127.0−++−

+μ=Γ , (2.438)

donde,

( ) ( )T571.1T

l'' dlog63.0397.0d

1log01.0C +++μ

= . (2.439)

El coeficiente de distribución liquido Γ puede que resulte negativo para altos

caudales de flujo, debido a altos valores de mV . Cuando esto ocurra, los valores de

densidad obtenida de la Ec. 2.420, pueden resultar menor al valor de la densidad de

mezcla sin deslizamiento. De ocurrir esta condición, Orkiszewski propone reemplazar

sρ por nsρ , lo que sugiere modificar la Ec. 2.436. La ecuación resultante esta dada por:

T

2mns

d2Vf

HP ρ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ , (2.440)

donde f se obtiene del diagrama de Moody, como una función del numero de Reynolds,

el cual es definido por:

ns

TmnsRe

dVNμ

ρ= . (2.441)

Bajo patrones de flujo Neblina y Transición, Orkiszewski recomendó estimar el

gradiente de presión de la misma manera como se estiman en la correlación de Duns y

Ros (1963).

193

CAPITULO III MARCO METODOLÓGICO

Para Tamayo y Tamayo, (2003) “Científicamente la metodología es un procedimiento general para lograr de manera precisa el objetivo de la investigación, por lo cual nos presenta los métodos y técnicas para la realización de la investigación.” (p. 175).

Para Sabino, (1992) “En función del tipo de datos a ser recogidos para llevar a cabo una investigación es posible categorizar a los diseños en dos grandes tipos básicos: diseños bibliográficos y diseños de campo” (p. 76).

De acuerdo al nivel de análisis requerido para abarcar los objetivos presentados

en la investigación, se usó el diseño bibliográfico. A continuación, se explican y detallan

los pasos seguidos durante la elaboración del programa para generar las curvas IPR.

3.1. Recopilación Bibliográfica y Clasificación de los Métodos IPR.

Con el fin de realizar el programa para generar la curva de afluencia en pozos de

petróleo o gas, se hizo necesario el arqueo de la información a utilizar. La etapa inicial

consistió en conocer y explorar todas las fuentes documentales de primera mano, que

fueran de utilidad. Se visitó los centros de documentación y bibliotecas para obtener

información sobre libros y tesis relacionadas al área de trabajo.

A través de la Internet se accedió a la información mas reciente, de forma rápida y

viable. Por esta razón, se realizó la recolección de artículos técnicos y tesis haciendo

uso de las bases de datos de los principales centro de documentación y universidades a

nivel mundial. La principal página web consultada fue la Sociedad de Ingenieros de

Petróleo (SPE en sus siglas en ingles); ya que es la que tiene la mayor cantidad de

artículos técnicos disponibles. Se recopiló todo tipo de información relacionada a las

curvas de afluencia (IPR), desde los años 1960 hasta la actualidad.

En segundo lugar, se leyó las fuentes disponibles. Con la finalidad de realizar un

resumen de la información, se utilizó la lectura discriminatoria, que permitió obtener los

aspectos relevantes de cada tema, revisando la información de forma rápida y eficaz.

De acuerdo al resultado de la lectura, del total de artículos técnicos recopilados, se

descartaron algunos por no contener información sobre métodos IPR. El resto de los

artículos técnicos, se dividieron en:

194

− Artículos técnicos con información de métodos IPR para generar las curvas de

afluencia, a cualquier tipo de yacimiento y configuración de la completación del

pozo.

− Artículos técnicos con información pertinente a comparación entre métodos IPR y

teoría relacionada a los mismos.

De la información de las tesis de maestría recopiladas, sólo una se utilizó como

método IPR. Por otro lado, trabajos originales como los de: Darcy, Forchheimer y

Rawlins y Schellhardt se tomaron de documentación secundaria (libros); información

comprobada y fidedigna del trabajo original.

A continuación, se procedió a la recolección misma de los datos; la cual se hizo

mediante fichas de trabajo. Se utilizó las fichas resumen con el fin de redactar en pocas

palabras la idea que trasmite el autor, sin alterar el sentido original del trabajo.

Se realizó un esquema tentativo de trabajo, y se prosiguió a ordenar las fichas de

acuerdo a sus contenidos. Luego, se cotejo las fichas obtenidas; observando ciertos

aspectos relevantes y de concordancia entre ellas. Se hizo un análisis de cada una,

seguido de la síntesis y comparaciones particulares. Se prosiguió a la clasificación de la

información, los métodos IPR, de acuerdo a:

3.1.1. Tipo de fluido en el yacimiento.

De acuerdo al fluido que se mueve a través del medio poroso y la condición de

presión existente, se dividió los métodos IPR en yacimientos de: petróleo, gas seco y

gas condensado.

3.1.2. Tipo de completación en el pozo.

En los yacimientos, los pozos se pueden completar de diversas formas. Para cada

tipo de completación del pozo, los parámetros estudiados en el comportamiento de las

curvas IPR difieren. Por esta razón, la clasificación prosiguió de acuerdo al tipo de

completación: vertical, inclinada u horizontal.

3.2. Realización de las Hojas de Cálculo.

Como una forma de validar la información de las curvas IPR, generada por los

cálculos matemáticos del programa; se hizo necesario el usó de hojas de cálculo. Para

el trabajo se utilizo Excel 2003, y el procedimiento consistió en:

195

- Escribir el procedimiento de cálculo para cada método IPR. Para ello, se escribió el

procedimiento a seguir en cada método y su respectivo rango de aplicabilidad.

- Generar archivos de Excel de acuerdo a la clasificación. Se realizaron 4 archivos:

pozos de petróleo-verticales, pozos de petróleo-horizontales, pozos de gas-

verticales y pozos de gas-horizontales.

- Clasificar las variables de entrada para cada método. Consistió en conocer las

variables de entrada que necesita cada método, para generar la curva IPR. Luego,

se comparó cada método para conocer las variables de entrada comunes entre

métodos IPR. Esto permitió ahorro en tiempo; pues el diseño de las hojas era muy

similar; sólo cambió el procedimiento de cálculo.

- Generar las curvas IPR. Se escribió paso a paso cada cálculo matemático,

terminando con el gráfico de caudal versus presión. Se utilizó las unidades de

campo (sistema ingles).

3.3. Programación de WellPerf IPR

Para llevar a cabo la construcción del programa de forma eficiente y rápida, se

tomó en cuenta las necesidades del usuario y el tipo de programa a crear.

3.3.1. Selección del lenguaje de programación

Para comenzar con la programación, se definió en primer lugar el lenguaje de

programación a utilizar. Como Visual Basic 6.0 es una herramienta de programación

orientado a objetos y de un modo sencillo de programar, se decidió utilizarla y

desarrollar el programa para generar las curvas IPR. Adicional, Visual Basic 6.0 dispone

de todos los elementos de interacción con el programador; permitiendo una mejor

facilidad a la hora de usar el programa.

Visual Basic 6.0 trabaja de dos modos distintos. El primero de ellos, es el modo de

diseño, donde el programador construye interactivamente la aplicación, haciendo uso

de los distintos controles disponibles. El segundo modo es de ejecución, donde el

programador actúa en el programa y prueba cómo responde el mismo. Algunas

propiedades de los controles se establecen en modo diseño, pero muchas otras se

pueden cambiar en tiempo de ejecución del programa; permitiendo el ahorro en tiempo

mientras se programa. Adicional del tiempo, es más fácil corregir posibles errores de

sintaxis y ser más eficientes a la hora de programar.

196

3.3.2. Diseño y procedimiento de cada módulo

El objetivo principal del programa es automatizar el proceso de captura de datos y

procesamiento de información para generar la curva IPR, brindando al usuario una

diversidad de métodos y resultados en un tiempo menor que el empleado; lo que se

traduce en un aumento en la efectividad y productividad a la hora de tomar decisiones.

Antes de comenzar con la programación de WellPerf IPR, se escribió paso a paso

el procedimiento de cada módulo. Por otra parte, se diseñó las ventanas de cada

modulo con el objetivo de familiarizar al usuario con los diversos procesos que se

ejecutan en las mismas.

El diseño de las ventanas se dividió de acuerdo a la entrada de datos y la función

que éstas cumplen en el programa para la generación de la curva IPR; de este modo,

se mantiene una secuencia del proceso general y facilita la obtención de los resultados.

Existen 4 módulos que se muestran en la ventana principal del programa, lo cuales se

dividen en:

a) Datos generales.

Esta ventana se diseñó con la finalidad de que el usuario pueda llevar un control y

orden en las simulaciones realizadas. Los datos constan de: nombre del usuario,

nombre del pozo y del yacimiento, fecha, finalidad de la simulación e información

adicional del historial de trabajos realizados en el pozo. Esta información se debe

guardar para acceder al próximo módulo.

b) Propiedades PVT.

En esta ventana, el usuario puede introducir datos y escoger correlaciones

relacionadas con las propiedades de los fluidos que se producen. Si el usuario tiene

información obtenida de un análisis PVT podrá introducirlos y usarlos en la generación

de la curva IPR. De forma contraria, si el usuario no posee un análisis PVT, puede

escoger la correlación que mejor se ajuste al yacimiento de trabajo. De igual forma que

el módulo anterior, el usuario debe guardar los datos introducidos para continuar con el

uso el programa.

c) Curva IPR.

Esta ventana se diseñó de manera cómoda para que el usuario pueda escoger el

método a utilizar para generar la curva IPR. De acuerdo a la clasificación realizada, se

utilizó las listas para mostrar el tipo de yacimiento y la configuración de la completación

197

del pozo. También se tiene la opción de ayuda, para acceder de forma rápida a la

información de cada método.

d) Curva IPR/OPR.

En esta sección, se diseñó la ventana con el fin de que el usuario pueda introducir

datos adicionales y escoger la correlación de flujo multifásico para generar la curva de

demanda. Los resultados generados en este módulo se muestran en forma de gráficos

y tabla de datos; los cuales se pueden visualizar en pantalla, imprimir o exportar a otro

tipo de archivos.

3.3.3. Metodología y técnica para el desarrollo de sistema de información

Para Montilva (1987) “el objetivo de un sistema de información, el cual es, proporcionar información para la toma de decisiones y solución de problemas; actividades que son vitales y obligatorias en cualquier tipo de organización y que permite controlar y dirigir su existencia, operación y destino”. (p. 1-1).

Por esta razón, el programa WellPerf IPR se define como un sistema de

información y se caracteriza por: (a) interactuar con su ambiente a través del

intercambio de información, adaptándose a las necesidades de ese ambiente; (b)

automatizar los procesos repetitivos (de rutina), siendo controlados y dirigido por el

usuario; y (c) el proceso de transformación de los datos en información, partiendo su

entrada de datos.

Para Montilva, (1987) “MEDSI es una metodología estructurada para desarrollar sistemas de información en y para organizaciones de cualquier tipo” (p. 4-1).

De esta forma, para desarrollar el programa objeto a estudio, se siguió con

algunas fases de la metodología y técnicas para el desarrollo de sistemas de

información (MEDSI). Por ser un programa pequeño, se obviaron ciertos pasos del

procedimiento; ya que MEDSI ha sido desarrollada de forma flexible para cualquier

sistema de información. MEDSI ha sido aplicada para desarrollar diferentes sistemas de

información en la Universidad de los Andes en Mérida; siendo utilizada con éxito.

De acuerdo a ciertas fases del MEDSI, se logró definir el procedimiento eficiente

para desarrollar el programa para generar las curvas IPR. A continuación, se explica

cada uno de los pasos usados:

a. Especificación del programa

El objetivo del programa es generar las curvas IPR. Por ello, se hizo inicialmente

una clasificación dependiendo del tipo de fluido que contiene el yacimiento y el tipo de

198

completación del pozo. Dependiendo de la clasificación, el usuario puede escoger el

mejor método a emplear para la generación de la curva IPR.

De los métodos estudiados, algunos tienen similitudes de los datos de entrada a

utilizar y otros, necesitan datos adicionales. En este caso, se clasifica los datos de

entrada para las ecuaciones, métodos y correlaciones. La salida de información es la

misma para todas las ecuaciones, métodos y correlaciones. La información final que

resulta de la simulación, se muestra al usuario en forma de tabla y gráfica; ya sea para

importar o imprimir.

b. Codificación del programa

En esta parte, se explica la forma de diseño y la codificación del programa

WellPerf IPR. Para ello, se realizó: i) el diseño de las entradas y de las salidas del

sistema (interacción hombre-máquina); y ii) el diseño del programa y procedimientos

(estructura de los programas del sistema).

Se comenzó con el diseño de entradas y salidas, elaborando minuciosamente la

interacción entre el hombre y la máquina; es decir, el mecanismo a través del cual se

establece un dialogo entre el programa y el usuario (interfaz de usuario). Se estableció

en base al usuario, el tipo de diálogo y sus elementos. El tipo de diálogo utilizado se

basó en varios tipos de interfaces:

− Interfaz de menú: se seleccionó esta interfaz debido a la habilidad de presentar

las acciones a ser escogidas por el usuario. En esta parte, se colocó las acciones

de guardar y cargar la información, imprimir el reporte, ayuda y acerca del

programa. Adicional, la información de las acciones de llenado de datos para

generar la curva IPR.

− Interfaz llenado de formas: se diseñó los distintos formularios que el usuario va

usar en la generación de la curva IPR. En esta parte, se diseñaron los formularios

secundarios, donde se requiere la entrada de datos y escogencia de ecuaciones,

métodos y correlaciones por parte del usuario para la generación de la curva IPR.

Para el diseño de esta interfaz se tomó en cuenta etiquetas fáciles de visualizar,

cuadros de textos resaltados, y el uso mínimo de las teclas a utilizar.

− Interfaz gráfica: este diseño utiliza un conjunto de imágenes y objetos gráficos

para representar la información y acciones disponibles. En la mayoría de las

veces, las acciones se realizan mediante manipulación directa para facilitar la

199

interacción del usuario con la computadora. En el formulario principal se utilizó

botones e iconos para visualizar cada paso a seguir por el usuario.

En el diseño de las pantallas de entrada y salida, se realizó la estructura de cada

pantalla de datos al sistema y de salida de información a los usuarios. Para cada

pantalla, se diseñó también el registro de datos asociados; es decir, el que permite

construir la pantalla. En esta fase, se diseño los reportes finales, que comprenden la

gráfica de la curva IPR y sus respectivos valores en una tabla de dos variables.

Se prosiguió con el diseño del programa. Como primer punto, el diseño estableció

la “lógica” general de cada formulario a utilizar; es decir, describir los pasos necesarios

para llevar a cabo la función asignada al formulario. Para esto, se describió de forma

detallada los pasos que permitieron la codificación de cada formulario, con facilidad y

sin ambigüedad. Luego, se comenzó a escribir el código fuente mediante el lenguaje de

programación Basic; utilizado por Visual Basic 6.0. En la codificación del programa, se

usó la programación estructurada, variables, operadores, arrays, entre otros.

c. Prueba del programa

Antes de llegar a esta fase, el programa se fue depurando mientras se escribía el

código de programación. La razón de ello es fundamentalmente estratégica, pues de

realizarla al final de la codificación se perdería más tiempo, debido a posibles fallos a la

hora de programar.

Luego en esta fase, se corre el programa para comprobar el funcionamiento del

mismo, usando datos reales y ficticios. Las diferentes pruebas realizadas consistieron

en detectar, depurar y corregir los errores presentes en formularios y módulos del

programa, a nivel de cálculos matemáticos hasta el comando AYUDA. Luego, se realizó

la prueba del todo el programa, para encontrar discrepancias que existan entre el

programa construido y los objetivos establecidos.

d. Elaboración de la documentación

En este paso, se elabora toda la documentación (manual, otros) requerida. A los

usuarios se les elaboró un manual de referencia para que aprendan a utilizar el

programa. El manual del usuario no se escribió a nivel técnico, sino de forma sencilla y

explica en detalle cómo usar el programa: descripción de las tareas que realiza el

programa, instrucciones necesarias para su instalación puesta en marcha y

funcionamiento, recomendaciones de uso, menús de opciones, método de entrada de

datos y salida de información, mensajes de error, etc.

200

3.4. Compilación y Evaluación del programa WellPerf IPR

Finalizada la programación, se prosiguió con la compilación del programa;

generando un archivo ejecutable para la instalación del mismo en cualquier ordenador.

La etapa de evaluación consistió en la instalación del programa en un ordenador, y

realizar simulaciones de acuerdo a la clasificación de los métodos para la generación de

la curva IPR.

3.4.1. Instalación del programa

La primera evaluación del programa consistió en la instalación del mismo, en

varios ordenadores que no tenían instalado Visual Basic 6.0. Esto se realizó con el fin

de comprobar la correcta instalación y corrida del programa.

3.4.2. Verificación de los cálculos matemáticos

Para evaluar los cálculos matemáticos del programa, se tomó varios casos bases

de acuerdo a la clasificación explicada. La validación de los resultados del programa

consistió en la comparación con los obtenidos de las hojas de cálculo y del simulador

comercial PIPESIM de la Schlumberger. De igual forma, se revisó paso a paso las

subrutinas de cada módulo y funciones que contienen los cálculos matemáticos;

chequeando posibles errores y así, depurarlos.

3.4.3. Errores durante las simulaciones

En esta etapa se realizaron distintas corridas con datos errados para certificar los

mensajes de error y advertencia del programa. Las distintas pruebas consistieron en

revisar las funciones de cada control. A continuación se describe de forma resumida las

distintas funciones de cada control:

− Control Botón. Este control se usó para cumplir con varias funciones: entrar en

cada ventana del programa, realizar cálculos matemáticos, salir de cada ventana o

del sistema, guardar datos, abrir datos, graficar e ir a la ayuda del programa.

− Control Menú. Se especifica varias funciones como: guardar y abrir las

simulaciones, salir del sistema, índice de ayuda, configuración del programa y

acerca del programa.

− Control Cuadro de lista. Se encuentran las distintas correlaciones en el cálculo

de PVT, los métodos IPR de acuerdo al tipo de fluido y al tipo de completación,

cambios de variables en algunos métodos y la correlación flujo multifásico.

201

− Control Cuadros de texto. A través de este control el usuario puede introducir

los datos de entrada. La revisión consistió en ver el tipo de carácter que admitía

cada cuadro y depurarlo, en el caso de ser necesario.

− Control Opción. En algunos módulos se necesita escoger entre introducir datos

o algunas correlaciones, escoger entre el tipo de yacimiento y el tipo de

completación, tipos de pruebas, técnicas de cañoneo, condición de estado, otros.

202

CAPITULO IV ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

4.1. Clasificación de los métodos IPR

De la documentación primaria, se recopilaron 74 artículos técnicos y 3 trabajos de

grado relacionados de algún modo con la curva IPR; así como la revisión de

documentación secundaria, libros. Luego, se utilizó la lectura discriminatoria,

permitiendo descartar 15 artículos técnicos debido a la falta de información de métodos

para obtener la curva IPR.

Se continuó con la segunda parte del trabajo, especificar los artículos técnicos y

trabajos de grado; que contenían métodos, ecuaciones y correlaciones para las curvas

IPR. De la revisión, se logró obtener los siguientes resultados:

- 27 artículos se relacionan de forma directa en el cálculo de la curva IPR en pozos

productores de gas y/o petróleo.

- 6 artículos que describen comparaciones entre métodos y teoría relacionada a la

curva IPR.

- 26 artículos descartados debido a que estaban repetidos, métodos que requieren

de programación de matemática avanzada, y algunos estudios realizados

demuestran inconsistencia entre los resultados del método desarrollado y los datos

de campo.

- 2 trabajos de grados descartados por la falta de aplicación en campo de los

métodos desarrollados.

Se realizó fichas con la finalidad de resumir los artículos técnicos, y poder clasificar

de forma rápida y eficiente los métodos IPR. Como se muestra en el esquema de la Fig.

46, se observó que cada correlación se desarrolló de acuerdo al tipo de fluido contenido

en el yacimiento, y tomando en cuenta el tipo de completación del pozo. En las Tablas

10 y 11 se muestran los métodos, ecuaciones y correlaciones para generar la curva

IPR, y los casos especiales respectivamente.

203

Figura 46. Esquema con la clasificación de los métodos para generar la curva IPR.

Tabla 10. Ecuaciones, correlaciones y métodos para generar la curva IPR.

Tipo de completación del pozo Tipo de yacimiento Vertical Horizontal

Petróleo

- Ley de Darcy

- Ecuación de Difusividad

- Correlación de Vogel

- Método de Fetkovich

- Método de Jones, Blount y Glaze

- Correlación de Klins y Majcher

- Correlación de Wiggins, Rusell y

Jennings

- Correlación de Wiggins

- Correlación de Sukarno y Tobing

- Modelo de Joshi

- Modelo de Babu y Odeh

- Correlación de Cheng

- Método de Kabir

- Modelo de Butler

- Correlación de Retnanto y

Economides

- Ecuación de Furui

- Correlación de Vogel

modificado

- Correlación de Wiggins y Wang

Gas

- Ecuación de Forchheimer

- Ecuación Rawlins y Schellhardt

- Método de Cullender

- Método de Jones, Blount y Glaze

- Correlación de Mishra y Caudle

- Correlación de Chase y Alkandari

- Ecuación de Joshi

- Ecuación de Babu y Odeh

- Ecuación de Butler

- Ecuación de Furui

- Correlación de Billiter, Lee y

Chase

- Correlación de Chase y Steffy.

- Correlación de Akhimiona y

Wiggins.

Ecuaciones del comportamiento de afluencia

Yacimientos de petróleo

Yacimientos de gas

Completación vertical

Completación horizontal

Completación vertical

Completación horizontal

204

Tabla 11. Ecuaciones, correlaciones y métodos usados en casos especiales.

Caso especial Tipo de yacimiento IPR a condiciones futuras IPR tomando en cuenta factor

de daño o la eficiencia de flujo

Petróleo

- Método de Fetkovich

- Método de Kelkar

- Método de Klins y Clark III

- Correlación de Wiggins

- Correlación de Wiggins y Wang

- Ecuación de Vogel/Standing

Gas - Correlación de Mishra y Caudle

Los métodos mostrados en la Tabla 11, se programaron en las ventanas de los

métodos con el mismo nombre; a diferencia del método de Klins y Clark III.

4.2. Rangos de aplicación de los métodos IPR

Cada método se desarrolló a partir de estudios realizados a distintas suposiciones

y condiciones, respecto a las condiciones de flujo, al tipo y características del

yacimiento, características del tipo de completación, geometría del yacimiento, entre

otros. Por ello, la utilización de cualquier método se debe soportar con argumentos que

permitan la adaptación a las condiciones actuales del yacimiento y del pozo. En la Tabla

12 se muestra un resumen de los rangos de aplicación para cada método, permitiendo

al usuario definir el método que mejor se adapta al estudio.

Tabla 12. Rango de aplicabilidad de los métodos IPR para pozos de petróleo

completados en forma vertical.

Método IPR Suposiciones/Restricciones Variables involucradas

Ecuación de

Darcy

- Fluye un solo fluido en el medio poroso.

- Condiciones de flujo de estado estable.

- El yacimiento es completamente

homogéneo.

- El pozo esta perforado en todo el

espesor de arena.

- Permeabilidad absoluta, o

relativa del fluido..

- Espesor de arena.

- Viscosidad y factor volumétrico del fluido.

- Radio de drenaje y del pozo. - Factor de daño.

205

Tabla 12. (continuación).

Método IPR Suposiciones/Restricciones Variables involucradas

Ecuación de

Estado Semi-

Estable

- La formación esta saturada de un solo

fluido.

- El yacimiento es completamente

homogéneo

- El pozo esta perforado en todo el

espesor de arena

- Permeabilidad absoluta, o

relativa del fluido

- Espesor de arena

- Viscosidad y factor

volumétrico del fluido

- Radio de drenaje y del pozo

- Factor de daño

Correlación de

Vogel

- El yacimiento es circular y el pozo se

encuentra en el centro

- El medio poroso es uniforme e

isotrópico con saturación de agua

constante en todos los puntos.

- Los efectos de la gravedad y la

compresibilidad de la roca y del agua se

desprecian

- La misma presión existen en la fase de

petróleo y la de gas

- No se tomó en cuenta el factor de daño

de la formación

- Bajas presiones de burbuja

- Se considera flujo de dos fase (petróleo

y gas)

- Condición de flujo de estado semi-

estable

- Se requiere de una prueba de flujo

estabilizada

- Caudal del pozo

- Presión promedio del

yacimiento

- Presión de fondo fluyente

- Presión de burbuja

Método de

Fetkovich

- Condición de flujo de estado semi-

estable

- Se requiere pruebas de flujo

isocronales

- Caudal del pozo

- Presión promedio del

yacimiento

- Presión de fondo fluyente

206

Tabla 12 (continuación).

Método IPR Suposiciones/Restricciones Variables involucradas

Método de

Jones, Blount y

Glaze

- Flujo radial

- Condición de flujo en estado semi-

estable

- Se requiere de pruebas isocronales o

multipunto

- Aplicable a pozo a hoyo revestido.

- Caudal de petróleo

- Presión de fondo fluyente

- Presión promedio del

yacimiento

- Coeficiente de flujo laminar

- Coeficiente de turbulencia

Correlación de

Klins y Majcher

- Condición de flujo en estado semi-

estable.

- Requiere de análisis PVT

- Para mayor exactitud, se toma en

cuenta el factor de daño, o el radio de

drenaje y del pozo

- Se requiere de una prueba de flujo

estabilizada

- Caudal del pozo

- Presión promedio del

yacimiento

- Presión de fondo fluyente

- Presión de burbuja

- Factor de daño (opcional) - Radio de drenaje (opcional) - Radio del pozo (opcional)

Correlación de

Wiggins, Rusell y

Jennings

- Flujo radial

- Yacimientos homogéneos donde los

efectos por gravedad son

despreciables.

- Todos los yacimientos están

inicialmente en el punto de burbuja.

- No hay capa de gas inicial.

- Se aplica la ley de Darcy para flujo

multifásico.

- Existen condiciones isotérmicas.

- No hay reacción entre los fluidos del

yacimiento y la roca.

- No existe solubilidad de gas en el agua.

- Hay penetración total en el hoyo

- Se requiere de la función de movilidad y

sus derivados con respecto a la presión

- Se requiere de una prueba de flujo

estabilizada

- Caudal del pozo

- Presión promedio del

yacimiento

- Presión de fondo fluyente

- Factor de movilidad y sus

derivados, relacionados con

presión

207

Tabla 12 (continuación).

Método IPR Suposiciones/Restricciones Variables involucradas

Correlación de

Wiggins

- Flujo radial

- Yacimientos homogéneos donde los

efectos por gravedad son

despreciables.

- Todos los yacimientos están

inicialmente en el punto de burbuja.

- No hay capa de gas inicial.

- Se aplica la ley de Darcy para flujo

multifásico.

- Existen condiciones isotérmicas.

- No hay reacción entre los fluidos del

yacimiento y la roca.

- No existe solubilidad de gas en el agua.

- Hay penetración total en el hoyo

- Se requiere de la función de movilidad y

sus derivados con respecto a la presión

- Se requiere de una prueba de flujo

estabilizada

- Caudal del pozo

- Porcentaje de agua y

sedimento

- Presión promedio del

yacimiento

- Presión de fondo fluyente

Correlación de

Sukarno y

Tobing

- El flujo se encuentra en estado estable

e isotérmico.

- El flujo es perpendicular a la longitud

del cañoneo.

- Existe flujo simultáneo de gas y

petróleo a través del cañoneo.

- El caudal de flujo en cada perforación

es la misma, y resulta del caudal de

flujo total dividido entre el número de

perforaciones.

- La presión en los límites superiores de

la zona compactada es constante.

- La kr en la zona compactada es una

función de la saturación (la misma kr de

la formación).

- Caudal del pozo

- Presión de fondo fluyente

- Densidad de tiros (TPP)

- Radio de las perforaciones

- Tipo de cañoneo realizado

208

Tabla 13. Rango de aplicabilidad de los métodos IPR para pozos de petróleo

completados en forma horizontal.

Método IPR Suposiciones/Restricciones Variables involucradas

Ecuación de

Joshi

- Condición de flujo de estado estable

- El pozo esta saturado 100% con un

fluido

- Requiere de datos de las propiedad del

fluido y de la roca

- El modelo se usa para las siguientes

condiciones (a) L > h, (b) (L/2) < 0.9 reH,

y (c) L > Iani h.

- Se estudio la excentricidad del pozo,

tomando en cuenta zw < (h/2).

- Permeabilidad horizontal y

vertical

- Longitud del pozo horizontal

- Viscosidad y factor

volumétrico del fluido

- Espesor de arena

- Presión en el límite del

yacimiento

- Factor de daño

- Excentricidad del pozo (opcional)

- Radio de drenaje

Ecuación de

Babu y Odeh

- El volumen de drenaje del pozo tiene

forma de caja, con el sistema cartesiano

como referencia.

- Las dimensiones del volumen de

drenaje son: (a) espesor, h, (b) longitud,

x, y (c) ancho, y.

- El pozo tiene una longitud L ≤ b, y se

extiende entre y1 y y2.

- La localización x y z se indican por xo y

zo respectivamente.

- El pozo produce a caudal constante

(flujo uniforme).

- La permeabilidades en las direcciones

x, y y z son respectivamente kx, ky y kz.

- La porosidad es constante y el fluido

ligeramente compresible.

- Todos los límites del yacimiento están

sellados, y se cumple la condición de xe

≥ 0,75 h Iani

- Condición de flujo de estado semi-

estable

- Permeabilidad horizontal y

vertical

- Longitud del pozo horizontal

- Viscosidad y factor

volumétrico del fluido

- Espesor de arena

- Presión en el límite del

yacimiento

- Factor de daño

- Excentricidad del pozo

(opcional)

- Área de drenaje

- Localización del pozo

209

Tabla 13 (continuación).

Método IPR Suposiciones/Restricciones Variables involucradas

Correlación de

Cheng

- El pozo horizontal esta produciendo

bajo condición de estado semi-estable.

- El modelo es un yacimiento rectangular

limitado.

- El pozo esta ubicado en la mitad del

yacimiento.

- El yacimiento es homogéneo e

isotrópico con una saturación de agua

constante.

- La saturación de agua es inmóvil

durante la producción. Sólo hay

petróleo y gas moviéndose en el

yacimiento.

- La permeabilidad y porosidad en las

direcciones x, y y z son iguales.

- El flujo bifásico, el petróleo y el gas, son

considerados en el yacimiento

- Caudal del pozo

- Presión de fondo fluyente

- Presión promedio del

yacimiento

- Ángulo de inclinación de

pozo.

Método de Kabir

- El método propuesto se basó en los

enfoques de Fetkovich y Vogel para

estudio en pozos verticales

- El valor de n es igual a uno

- Requiere de parámetros del fluido y

yacimiento

- El yacimiento esta saturado 100% con un fluido

- Se cumple: 0 ˚ 75≤θ≤ ˚, 40rh w ≥ y 100tD ≥

- Permeabilidad horizontal y

vertical

- Factor volumétrico y

viscosidad

- Radio de drenaje y del pozo

- Espesor de arena

- Factor de daño

- Presión de burbuja

- Longitud del pozo

- Inclinación del pozo

Ecuación de

Butler

- El pozo horizontal esta produciendo

bajo condición de estado estable

- El yacimiento tiene forma de caja, con

el sistema cartesiano como referencia.

- Se puede aplicar a yacimiento

isotrópico y anisotrópico

- ky, kz, L, h, s, rw

- Viscosidad y factor

volumétrico del fluido

- Presión en el límite del

yacimiento

210

Tabla 13 (continuación).

Método IPR Suposiciones/Restricciones Variables involucradas

Ecuación de

Butler

- El pozo horizontal esta produciendo

bajo condición de estado estable

- El yacimiento tiene forma de caja

- Se puede aplicar a yacimiento

isotrópico y anisotrópico

- ky, kz, L, h, s, rw

- Viscosidad y factor

volumétrico del fluido

- Presión en el límite del

yacimiento

Correlación de

Retnanto y

Economides

- El modelo se basó en yacimientos

homogéneos

- Se desprecian los efectos de

capilaridad y gravedad

- Se asumió que los pozos horizontales y

multilaterales penetraron en la mitad de

la dirección vertical del yacimiento

- Aplicable a yacimientos isotrópicos y

anisotrópico

- En pozos multilaterales se requiere de

la longitud de los brazos.

- El pozo horizontal esta produciendo

bajo condición de estado semi-estable

- Permeabilidad en las

direcciones x, y y z

- Tamaño del yacimiento:

ancho, largo y espesor.

- Presión promedio del

yacimiento

- Presión de burbuja

- Propiedades del pozo:

radio, longitud y factor de

daño

- Excentricidad del pozo

(opcional)

- Tipo de completación:

horizontal, multilateral

- Número de brazos y

relación entre brazos

-

Correlación de

Wiggins y Wang

- El pozo esta ubicado en el centro de un

prisma completamente limitado.

- El pozo penetra completamente el

yacimiento en la dirección horizontal.

- El yacimiento esta inicialmente en la

presión del punto de burbuja con cero

fase de gas libre.

- La saturación de la fase de agua es

inmóvil y constante.

- Para IPR futuras cumplir Py,f / Py < 80%

- Se cumple la condición Py < Pb

- Caudal del pozo

- Presión de fondo fluyente

- Presión de burbuja

- Factor de recobro (opcional)

- Presión promedio del

yacimiento a condiciones

futuras (opcional)

211

Tabla 14. Rango de aplicabilidad de los métodos IPR para pozos de gas completados

en forma vertical.

Método IPR Suposiciones/Restricciones Variables involucradas

Ecuación de

Forchheimer

- El pozo horizontal esta produciendo

bajo condición de estado semi-estable.

- Se requiere pruebas de flujo

estabilizadas.

- Flujo radial.

- Caudal de producción.

- Presión promedio del

yacimiento.

- Presión de fondo fluyente.

- Coeficiente de flujo laminar.

- Coeficiente de turbulencia.

Ecuación

Rawlins y

Schellhardt

- El pozo horizontal esta produciendo

bajo condición de estado semi-estable.

- Se requiere pruebas de flujo

estabilizadas.

- Flujo radial.

- Caudal de producción.

- Presión promedio del

yacimiento.

- Presión de fondo fluyente.

- Coeficiente de desempeño.

Método de

Cullender

- Se requiere de pruebas de flujo

isocronal.

- La pendiente, n, de la curva de un pozo

de gas es independiente del área de

drenaje.

- La variación del coeficiente de

desempeño con respecto al tiempo, es

independiente del caudal de producción

y el nivel de presión

- Presión de cierre de la

prueba.

- Presión de fondo fluyente.

- Caudal de producción.

- Caudal de producción.

Método de

Jones, Blount y

Glaze

- Flujo radial.

- Condición de flujo en estado semi-

estable.

- Se requiere de pruebas isocronales o

multipunto

- Aplicable a pozo a hoyo revestido.

- Caudal de petróleo.

- Presión de fondo fluyente.

- Presión promedio del

yacimiento.

- Coeficiente de flujo laminar.

- Coeficiente de turbulencia.

Correlación de

Mishra y Caudle

- Yacimiento no fracturado, homogéneo e

isotrópico con un límite cerrado.

- Penetración completa y simple.

- Presión promedio del

yacimiento.

- Presión de fondo fluyente.

- Caudal de producción.

212

Tabla 14 (continuación).

Método IPR Suposiciones/Restricciones Variables involucradas

Correlación de

Mishra y Caudle

- Predomina las condiciones estables,

por ejemplo, ecuaciones de estado

semi-estable se pueden usar para

describir el flujo de gas en el

yacimiento.

- Los efectos de flujo turbulento son

caracterizados por un factor de

turbulencia constante, y el caudal

dependiente del daño.

- Viscosidad del gas.

- Factor de compresibilidad

del gas.

Tabla 15. .Rango de aplicabilidad de los métodos IPR para pozos de gas completados

en forma horizontal.

Método IPR Suposiciones/Restricciones Variables involucradas

Ecuación de

Joshi

- Condición de flujo de estado estable

- El pozo esta saturado 100% con un

fluido

- Requiere de datos de las propiedad del

fluido y de la roca

- El modelo se usa para las siguientes

condiciones (a) L > h, (b) (L/2) < 0.9 reH,

y (c) L > Iani h.

- Permeabilidad horizontal y

vertical

- Longitud del pozo horizontal

- Viscosidad del gas.

- Espesor de arena

- Presión en el límite del

yacimiento.

- Factor de daño.

- Radio de drenaje.

- Radio del pozo.

- Factor de compresibilidad.

- Temperatura del yacimiento.

Ecuación de

Babu y Odeh

- El volumen de drenaje del pozo tiene

forma de caja, con el sistema cartesiano

como referencia.

- Las dimensiones del volumen de

drenaje son: (a) espesor, h, (b) longitud,

xe, y (c) ancho, ye.

- Permeabilidad horizontal y

vertical.

- Longitud del pozo horizontal

- Viscosidad del gas..

- Espesor de arena.

213

Tabla 15. (continuación).

Método IPR Suposiciones/Restricciones Variables involucradas

Ecuación de

Babu y Odeh

- El pozo tiene una longitud L ≤ b, y se

extiende entre y1 y y2.

- La localización x y z se indican por xo y

zo respectivamente.

- El pozo produce a caudal constante

(flujo uniforme).

- La permeabilidades en las direcciones

x, y y z son respectivamente kx, ky y kz.

- La porosidad es constante y el fluido

ligeramente compresible.

- Todos los límites del yacimiento están

sellados, y se cumple la condición de xe

≥ 0,75 h Iani

- Condición de flujo de estado semi-

estable

- Presión en el límite del

yacimiento.

- Factor de daño.

- Excentricidad del pozo

(opcional).

- Área de drenaje. - Localización del pozo. - Factor de compresibilidad.

- Temperatura del yacimiento.

Correlación de

Billiter, Lee y

Chase

- Yacimientos no fracturados.

- Condición de estado semi-estable.

- Las dimensiones del volumen de

drenaje son: (a) espesor, h, (b) longitud,

xe, y (c) ancho, ye.

- Se basaron en el trabajo de Babu y

Odeh.

- Espesor de arena.

- Permeabilidad en la

dirección x.

- Presión promedio del

yacimiento.

- Presión de fondo fluyente.

- Caudal de producción.

- Ancho del yacimiento.

Correlación de

Akhimiona y

Wiggins.

- El yacimiento tiene una forma

rectangular.

- El espesor del yacimiento es constante.

- El flujo es en toda la longitud del pozo.

- Condiciones isotérmicas. - No existe solubilidad de gas en el agua. - No existe reacción entre el fluido y la

roca.

- La fase de agua es inmóvil. - El pozo esta en el centro del volumen

de drenaje y penetra toda la longitud del intervalo.

- Caudal de producción.

- Presión promedio del

yacimiento.

- Presión de fondo fluyente.

- Viscosidad del gas.

- Factor de compresibilidad.

- Etapa de agotamiento.

214

Tabla 16. Rango de aplicabilidad de los métodos IPR en casos especiales.

Método IPR Suposiciones/Restricciones Variables involucradas

Ecuación de

Vogel/Standing

- Estudio el comportamiento de la presión

en función del radio del volumen de

drenaje del pozo. El comportamiento

entre la presión y el radio es lineal

- Pozos con daño.

- Pozos verticales.

- Presión promedio del

yacimiento.

- Presión de fondo fluyente.

- Caudal de producción.

- Eficiencia de flujo

(opcional).

- Radio de drenaje (opcional).

- Radio del pozo (opcional).

- Factor de daño (opcional)

Método de

Fetkovich

- Condición de flujo de estado semi-

estable

- Se requiere pruebas de flujo

isocronales.

- El valor de “n” no varía en el tiempo.

- Pozos verticales.

- Presión promedio del

yacimiento.

- Presión de fondo fluyente.

- Caudal de producción.

- Presión futura del

yacimiento.

- Caudal máximo a

condiciones presentes.

Método de Klins

y Clark

- Se estudiaron diferentes variables, como presión inicial de yacimiento, presión en el punto de burbuja, agotamiento del yacimiento, ºAPI, saturación de petróleo residual, saturación de gas crítica, permeabilidades relativas y absolutas, y los efecto del daño en el máximo caudal de petróleo.

- Se basa en los trabajos de Klins y

Majcher, Vogel y Fetkovich.

- Pozos verticales

- Presión promedio del

yacimiento.

- Presión de fondo fluyente.

- Caudal de producción.

- Presión a condición futura

del yacimiento.

Correlación de

Wiggins

- La relación entre la presión a condición

futura y la presión a condición presente

debe ser mayor a 70%.

- Pozos verticales.

- Presión promedio del yacimiento.

- Presión de fondo fluyente.

- Caudal de producción.

- Presión futura del yacimiento.

215

Tabla 16. .(continuación).

Método IPR Suposiciones/Restricciones Variables involucradas

Correlación de

Wiggins y Wang

- Pozo horizontal.

- La relación entre la presión a condición

futura y la presión a condición presente

debe ser mayor a 80%.

- Actualizar constantemente la curva de

afluencia.

- Presión promedio del

yacimiento.

- Presión de fondo fluyente.

- Caudal de producción.

- Presión futura del

yacimiento.

Correlación de

Mishra y Caudle

- Pozos verticales.

- Ver Tabla 14.

- Presión promedio del

yacimiento.

- Presión de fondo fluyente.

- Caudal de producción.

- Presión futura del

yacimiento.

4.3. Estructuración del programa computarizado

WellPerf IPR es un programa versátil que integra de manera práctica una variación

de métodos para generar curvas IPR, facilitando al usuario las herramientas necesarias

para estimar la capacidad de producción de un pozo de petróleo y/o gas.

El programa consta de una ventana principal, donde se encuentra botones para la

carga de los datos a procesar, y los menús para acceder a simulaciones realizadas,

carga de datos, ayuda y acerca del programa. En la Fig. 47, se observa la ventana

principal del programa con cuatro botones principales: datos generales, datos PVT,

curva IPR y curva IPR/OPR; y los menús, archivo, edición, herramientas y ayuda.

La barra de menú cumple con las siguientes funciones:

- El menú archivo permite cargar proyectos, guardar proyectos, cargar PVT,

modificar PVT y salir del sistema.

- El menú Edición permite copiar y pegar datos.

- El menú Herramientas permite modificar ciertas opciones.

- El menú Ayuda permite usar la ayuda y conocer sobre el programa.

216

Figura 47. Ventana principal del programa WellPerf IPR.

A continuación se presenta de forma detallada y resumida, las características

principales de los botones del programa:

- Datos Generales.

En esta ventana, el usuario podrá introducir información sobre el pozo, tal como:

nombre, yacimiento productor, historial de trabajos y finalidad de la simulación. Esto

permitirá tener un historial de la información del pozo, necesaria para futuras

simulaciones.

De igual forma, es importante conocer el nombre del analista y el proyecto donde

se desarrolla el trabajo; así como la fecha que se realizó la simulación. Al ir creando el

historial del pozo, es más fácil el estudio del comportamiento del pozo; ya que se

conoce la fuente de la información y por ende, el acceso eficaz a los datos del pozo. En

la Fig. 48 se muestra la forma de la ventana de datos generales.

217

Figura 48. Ventana de datos generales del programa WellPerf IPR. - Datos PVT

En esta ventana se solicita al usuario los datos de los fluidos que se producen en

el pozo. Esto se realiza con la finalidad de utilizar estos datos en los diferentes cálculos

matemáticos que se realizan en los métodos IPR y en el flujo multifásico de tuberías.

Los datos que se requieren son: temperatura del yacimiento, temperatura del

cabezal, gravedad específica del gas, porcentaje de agua y sedimento, salinidad del

agua, relación gas-petróleo y gravedad API. Adicional, el usuario puede introducir los

valores de presión de burbuja, compresibilidad del petróleo, factor volumétrico del

petróleo y viscosidad del petróleo muerto; los cuales se pueden obtener de un análisis

PVT. En caso de no tener a la mano los datos, se podrán calcular por las distintas

correlaciones existentes:

a) Factor volumétrico del petróleo a presión de burbuja: correlación de Standing

y la de Glazo.

b) Viscosidad del petróleo muerto: correlación de Beggs-Robinson y la de Glazo.

c) Compresibilidad del petróleo: correlación de Vasquez-Beggs y la de Ahmed.

d) Solubilidad del Gas: correlación de Standing y la de Glazo.

218

e) Viscosidad del petróleo saturado: correlación de Beggs-Robinson y la de

Chef-Connally.

f) Viscosidad del petróleo sobresaturado: correlación de Vasquez-Beggs y la de

Beal.

Figura 49 Ventana de datos PVT del programa WellPerf IPR.

- Curva IPR

En esta ventana el usuario podrá escoger el método IPR, de acuerdo al yacimiento

y al tipo de completación del pozo. En primer lugar, el usuario podrá hacer clic sobre el

botón del tipo de completación, la cual puede ser horizontal o vertical. Luego, se

encuentra un control de opción para escoger el tipo de fluido que se encuentra en el

yacimiento, petróleo o gas. Por último, el control lista mostrará los métodos IPR a ser

escogidos por el usuario, y éstos dependerán de los datos recopilados.

219

Figura 50. Ventana de Curva IPR del programa WellPerf IPR.

El usuario podrá escoger el método IPR, según las siguientes premisas:

a) Métodos IPR que usan datos de una prueba de flujo estabilizada.

b) Métodos IPR que usan datos de pruebas de flujo estabilizadas (pruebas

multipunto).

c) Métodos IPR que usan datos prueba de flujo isocronales.

d) Métodos IPR que usan datos de las propiedades del yacimiento y el fluido.

e) Métodos IPR que usan datos una prueba de flujo estabilizada, y datos de las

propiedades del yacimiento y del fluido.

f) Métodos IPR que usan datos de una prueba de flujo estabilizada, y datos del

cañoneo del pozo.

Las Figs. 51 a la 54, muestran las distintas ventanas que se usan en cada método.

Los métodos que tienen en común la captura de los datos de entrada, tienen ventanas

similares.

220

Figura 51. Las ventanas del método de Jones, Blount y Glaze, y la correlación de Vogel.

Figura 52. Las ventanas del método de la Ecuación de estado semi-estable y la correlación de Sukarno y Tobing.

221

Figura 53. Las ventanas del método de la Correlación de Klins y Clark y la correlación de Retnanto y Economides.

Figura 54. Las ventanas del método de la Correlación de Vogel modificado y la

correlación de Wiggins y Wang.

222

Todas las ventanas de los métodos IPR, tienen botones que permiten realizar

varias acciones y que son comunes entre ellas. Al hacer click sobre cada botón se

ejecutan:

a) Botón calcular. Tiene como objetivo realizar el proceso de cálculo matemático

del método IPR. Aquí se incluyen los cálculos de procedimientos sencillos; así

como el ajuste de curvas en algunos casos.

b) Botón grafico IPR. Tiene como objetivo graficar la curva de afluencia del

pozo. Se visualiza el gráfico con su escala, su nombre y la leyenda; de igual

forma, muestra la tabla de datos de la curva IPR.

c) Botón salir. Permite salir de la ventana sin guardar los cambios.

d) Botón ayuda. Permite al usuario mostrar la ayuda del método seleccionado.

En la Fig. 55 se puede observar la tabla de valores y su respectivo grafico IPR.

Existen métodos IPR donde se analizan casos especiales, como tomar en cuenta el

factor de daño o estimar las condiciones futuras del pozo. En los casos mencionados, la

grafica que se muestra al usuario, contendrá dos líneas de distintos colores y con su

respectiva leyenda.

Figura 55. Ventana de la curva de afluencia que genera el programa WellPerf IPR.

223

- Curva IPR/OPR

En esta ventana, el usuario podrá visualizar la relación entre la curva de afluencia

y la curva de demanda del pozo. El usuario introducirá datos relacionados con la

completación del pozo, como: presión el cabezal del pozo, profundidad del pozo,

diámetro interno de la tubería de producción y la rugosidad de la misma. De forma

similar, podrá escoger entre la correlación de flujo multifásico que regirá la curva de

demanda.

En esta ventana se realiza un análisis nodal en el fondo del pozo; donde la curva

de oferta viene dada por la curva de afluencia del pozo. La curva de demanda se realiza

desde el cabezal del pozo hasta el fondo del mismo. El punto de intersección entre

ambas curvas, es el caudal y la presión de fondo fluyente que existe en el pozo.

Figura 56. Ventana de Curva IPR/OPR del programa WellPerf IPR.

4.4. Validación del programa WellPerf IPR

La validación del programa WellPerf IPR consistió en dos fases. Como primera

fase, se realizó una serie de pruebas a los controles, formularios y menús del programa,

para la correcta acción de cada ventana. Como segunda parte de la validación, se tomó

casos bases con la finalidad de comprobar la salida de información del programa.

224

4.4.1. Banco de Pruebas

En primer lugar, se realizaron una serie de pruebas que consistieron en evaluar

cada control usado en el programa. Esto se realizó con el objetivo de depurar posibles

errores a la hora de realizar una simulación. A continuación se describe por ventana, las

pruebas realizadas:

- Datos generales.

En esta ventana, se probó que el botón guardar solicitará si el usuario desea o no

guardar los datos generales. Realizada esta acción, se sale de la ventana y se vuelve a

abrir; esto con la finalidad de observar que mantenga en memoria los datos introducidos

por el usuario. Luego, se modifica algún dato para chequear dos cosas:

a) Guardar un archivo nuevo. El programa solicitará guardarlo con un nombre.

b) Reemplazar el archivo existente. El programa solicitará reemplazarlo en el caso

que el usuario, así lo requiera.

Por último, modificado y guardado el archivo; se vuelve a salir y a entrar a la

ventana, para comprobar que mantenga los datos en memoria y puedan ser vistos por

el usuario.

- Datos PVT.

En esta ventana se comprobó varias acciones, como: chequear los cuadros de

texto, las listas, los botones de opción, y los botones. A continuación se describe en

forma resumida cada prueba:

a) Cuadros de texto. La prueba consistió en chequear los tipos de caracteres

que se puede introducir en cada cuadro de texto de temperatura de

yacimiento, temperatura de cabezal, gravedad específica del gas, porcentaje

de agua y sedimento, relación gas-petróleo y gravedad API Se logró disminuir

a sólo números y negativo los caracteres a introducir. Luego, se chequeo que

los cuadros de textos que por error del usuario introdujera un valor negativo,

no corriera el programa y mostrará un mensaje de error. Esto con la finalidad

de que el programa no realice operaciones con valores erróneos. De forma

similar, se dejaron cuadros de texto en blanco, para observar que los

mensajes de error se muestren al usuario de forma correcta. En la Fig. 57 se

muestra las ventanas de las pruebas realizadas.

225

Figura 57. Ventanas que muestran los mensajes de error cuando el usuario deja

espacios en blanco o introduce valores negativos en los cuadros de texto.

b) Listas. La prueba se relacionó con el procedimiento matemático que cada

correlación realiza. Para ello, se evaluaron los resultados con las hojas de

Excel. Se chequeo que cada correlación escogida, resultará con el valor

correcto de la variable estudiada en cada punto evaluado, como por ejemplo

la presión de burbuja y la presión promedio del yacimiento. Los valores

calculados por el programa coincidieron con la hoja de Excel.

c) Botones de opción. En los 4 casos estudiado, se comprobó que los valores

introducidos o la correlación escogidos por el usuario estuviera dando valores

correctos. Esto significa, verificar que cuando el usuario introdujo un dato, el

mismo sea utilizado en los procedimientos matemáticos donde se necesita.

En caso contrario, verificar el cálculo de la variable y luego, sea utilizado en

los procedimiento matemáticos necesarios. Los valores calculados por el

programa coincidieron con la hoja de Excel.

d) Botones. En el caso del guardar nuevo, se evalúo de forma similar que la

prueba de datos generales. En la Fig. 58 se observa cuando solicita guardarlo

226

como nuevo o reemplazarlo en el caso que el usuario lo solicite. En el caso

del cancelar, se comprobó que el botón cumpliera con salir de la ventana.

Figura 58. Se muestra una ventana cuando solicita guardar el archivo con un nombre

nuevo, y una ventana cuando quiere sobrescribir un archivo existente.

- Curva IPR.

En esta ventana se chequeo que los botones, las listas y las opciones estuvieran

realizando las acciones correctas. De igual forma, cada ventana de un método IPR, se

evalúo para que realice los cálculos matemáticos adecuados.

Cada control de usuario definido por las graficas, y las ventanas donde se solicita

pruebas isocronales o multipuntos, fueron evaluadas en los métodos correspondiente.

Los cuadros de textos aceptan caracteres numéricos y el signo negativo. Por esta

razón, se evalúo cada método para verificar que cuando el usuario por error introduce

valores negativos, los mensajes de error sean mostrados.

- Curva IPR/OPR.

Se revisó el formulario establecido, con el objetivo de validar las acciones de cada

control. Al igual que en los formularios anteriores, se verificó los caracteres que acepta

227

cada cuadro de texto. Luego, se comprobó que el control lista cumpliera con el llamado

de cada función dispuesta, para la correlación de flujo multifásico.

Los distintos botones cumplen funciones específicas. En el caso de “calcular”, se

llama el procedimiento para calcular la presión de fondo fluyente y su respectivo caudal;

tanto para el caso de la curva de afluencia como para la curva de demanda. La curva de

afluencia esta en la memoria del programa proveniente de la ventana anterior. En

cambio, el proceso para obtener la curva de demanda es iterativo, y dependerá de la

correlación de flujo multifásico escogida por el usuario.

4.4.2. Validación de los cálculos matemáticos.

La validación del programa se realizó tomando en cuenta la clasificación. Para ello,

se escogió entre los datos de los artículos técnicos, casos bases de acuerdo a las

condiciones del tipo de fluido y completación del pozo. Por otro lado, algunos métodos

requieren de pruebas de flujo estabilizadas y otros de pruebas de flujo multipunto; tanto

para yacimientos de gas como de petróleo.

Con la finalidad de ajustar los resultados obtenidos del WellPerf IPR; se realizó

simulaciones comparativas del programa con un software comercial, PIPESIM de

Schlumberger, y con las hojas de cálculo desarrolladas. Una de las limitaciones que se

observó durante las simulaciones, fue el hecho de que PIPESIM no posee en su librería

una diversidad de métodos IPR, como los aquí señalados. Esto se observó en los

yacimientos de gas y de petróleo; así como, en pozos verticales y horizontales.

- Comportamiento de afluencia para yacimientos de petróleo en pozos verticales.

Se tomó en cuenta los datos de entradas comunes para cada método IPR. Se

definieron tres casos bases de acuerdo a las variables involucradas en cada método:

a) Datos de: presión de yacimiento, presión en el punto de burbuja y prueba (s)

de flujo estabilizada (s).

En la Tabla 17 se resumen los métodos que requieren de una prueba de flujo

simple y pruebas de flujo estabilizadas (multipunto). De igual forma, en la Tabla 18 se

muestran los valores de los casos bases utilizados, de acuerdo al tipo de prueba

empleada. Los casos bases se tomaron de un caso real, donde a cada caudal de

petróleo correspondía una presión de fondo fluyente.

228

Tabla 17. Tipos de pruebas de flujo para cada método IPR.

Tipo de prueba Método IPR

Correlación de Vogel

Correlación de Klins y Majcher

Correlación de Wiggins Prueba de flujo estabilizada (simple)

Método de Klins & Clark III

Método de Fetkovich Pruebas de flujo estabilizadas (multipunto)

Método de Jones, Blount y Glaze

Tabla 18. Caso base 1 y 2, de acuerdo al tipo de prueba.

P (lpca) 1600

Pb (lpca) 2530

Prueba de flujo (Caso Base 1)

Pwf (lpca) qo (BNPD)

1267 1260

Pruebas de flujo (multipunto) (Caso Base 2)

Pwf (lpca) qo (BNPD)

1497 565

1470 720

1267 1260

996 1765

351 2353

Para cada caso base y método IPR, se observó el comportamiento de la curva de

afluencia. En las Figs. 59 al 61, se muestra una comparación entre las curvas IPR para

tres métodos IPR diferentes. El ajuste entre curvas fue excelente, con un error

porcentual del 0,001%; validando así, los cálculos matemáticos realizados por el

programa WellPerf IPR. Este error se debe a la cantidad de decimales usados.

229

Para la correlación de Vogel, el programa WellPerf IPR toma en cuenta la

condición de la presión promedio del yacimiento con respecto a la presión del punto de

burbuja. Esta condición no la toma en cuenta PIPESIM, por lo que es una desventaja

cuando la presión promedio del yacimiento es mayor que el punto de burbuja. Por otra

parte, el programa WellPerf IPR toma en cuenta la condición del factor de daño o la

eficiencia de flujo en el caso de Vogel; a diferencia del simulador comercial PIPESIM.

Figura 59. Comparación de las curvas IPR para el método de Vogel.

Figura 60. Comparación de las curvas IPR para el método de Fetkovich.

Curva de AfluenciaFETKOVICH

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

q (BNPD)

P wf

(lpca

)

WELLPERF IPR

HOJA DE CÁLCULO

Curva de AfluenciaVOGEL

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000q (BNPD)

P wf

(lpca

)

WELLPERF IPR

HOJA DE CÁLCULO

230

Figura 61. Comparación de las curvas IPR para el método de Jones, Blount y Glaze.

Para realizar el ajuste lineal en los métodos de Jones, Blount y Glaze, y el de

Fetkovich, el programa WellPerf IPR utiliza regresión lineal por mínimos cuadrados. De

igual forma, las hojas de cálculo utilizan este método para realizar el ajuste; por lo que

la diferencia entre las curvas IPR es insignificante, validando los resultados obtenidos

por el programa evaluado.

El mismo comportamiento de las curvas IPR para un método específico se observó

durante todas las simulaciones. Por ello, se decidió realizar una comparación entre los

métodos IPR que utilizan distintos tipos de pruebas. Para esto, se tomaron la tabla de

datos y se graficaron para cada método.

En la Fig. 62 se observa que los métodos IPR que utilizan una prueba de flujo

estabilizada, muestran un comportamiento de afluencia mayor; a diferencia de los

métodos de Fetkovich y el de Jones y col. Una forma de establecer mejor estas

diferencias es realizar simulaciones con datos reales de campo, y comparar las curvas

IPR y sus rangos de aplicabilidad.

En la Fig. 63 se observa el comportamiento de afluencia para el caso especial de

IPR futuras, mostrando diferencias notorias entre ellas. Esta dispersión de datos, se

puede dar por la forma que se dedujeron los métodos y sus rangos de aplicabilidad.

Curva de AfluenciaJONES, BLOUNT & GLAZE

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

q (BNPD)

P wf

(lpca

)WELLPERF IPR

HOJA DE CÁLCULO

231

Curva de Afluencia

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0,00 500,00 1000,00 1500,00 2000,00 2500,00 3000,00 3500,00 4000,00 4500,00 5000,00

q (BNPD)

P wf

(lpca

)Vogel

Wiggins

Klins & Majcher

Fetkovich

Jones, Blount y Glaze

Figura 62. Curva del comportamiento de afluencia para los casos bases 1 y 2.

Figura 63. Curva del comportamiento de afluencia para condiciones futuras.

b) Datos de: presión de yacimiento, presión en el punto de burbuja, prueba de

flujo estabilizada y función de movilidad del petróleo versus presión.

El único método que requiere de las variables mencionadas, es la correlación de

Wiggins, Rusell y Jennings. Para este método, el usuario debe definir el gráfico de la

función de movilidad de petróleo versus la presión normalizada, a un caudal de petróleo

y un factor de recobro. Conocido el gráfico, se realiza un ajuste de la curva como una

función polinómica de grado tres. A continuación se tiene el caso base para el método

planteado:

El ajuste de la función de movilidad se definió para un caudal de petróleo de 125

BNPD y un factor de recobro de 1%:

Curva de Afluencia Futura

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0,00 500,00 1000,00 1500,00 2000,00 2500,00 3000,00 3500,00 4000,00 4500,00

q (BNPD)

P wf

(lpca

)

Wiggins

Klins & Clark

Fetkovich

232

32

oo

ro 4901.07936.05856.02955.0kΠ−Π+Π−=

μβ,

siendo la presión de fondo fluyente de 1350 lpca y la presión de yacimiento de 1879

lpca.

Se simuló estas condiciones de flujo en el programa WellPerf IPR, y se comparó

con la tabla de datos obtenidos de la hoja de cálculo desarrollada para este método.

Como PIPESIM no tiene en su librería este método, no se realizó dicha comparación.

Se realizó la simulación en el programa WellPerf IPR, resultando un caudal

máximo de petróleo de 277.78 BNPD. Esta información se cotejo con la hoja de cálculo,

resultando en 278 BNPD, y validando los cálculos matemáticos del programa. Cabe

resaltar, que en este método el usuario introduce las constantes, después de realizar el

análisis de la función de movilidad.

c) Datos de: presión de yacimiento, presión en el punto de burbuja, prueba de

flujo estabilizada y cañoneo.

La correlación de Sukarno y Tobing es el único método que utiliza este caso base.

Se recopiló información relacionada al cañoneo del pozo, de un caso real del artículo

técnico. De forma similar, el PIPESIM no contempla este método dentro de los métodos

IPR; por lo tanto, se validó la información de salida con la hoja de cálculo desarrollada.

Para el caso base se tomo en cuenta un pozo que ha sido perforado usando la

técnica sobrebalance a 4 TPP, para 24 pies de intervalo de producción. La longitud y

radio del cañoneo es de 12 pulgadas y 0.39 pulgadas, respectivamente. La presión

promedio del yacimiento es 1007 lpca, la presión de fondo fluyente de 922 lpca y un

caudal de 1160 BNPD.

Al realizar la simulación, resultó en un caudal máximo de producción de 7538.81

BNPD, contra 7539 BNPD de las hojas de cálculo; esta diferencia se debe al redondeo

de los decimales.

Se tomó la misma prueba de flujo que el caso base 3, pero con las condiciones de

cañoneo del caso base 4; con la finalidad de comparar la correlación de Wiggins y col.,

con la correlación de Sukarno y Tobing. En la Fig. 64 se observa una diferencia

después de cierto punto, donde la correlación de Sukarno y Tobing se separa

resultando en un menor caudal. Debido a los efectos de agotamiento del yacimiento, los

parámetros del yacimiento cambian con el tiempo y estas diferencias no son estudiadas

en la correlación de Sukarno y Tobing. De igual forma, la correlación de Wiggins y col.,

233

no toma en cuenta la caída de presión adicional que existe en las perforaciones del

pozo, mostrando un comportamiento de afluencia mayor.

Curva de Afluencia

125; 1350

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 50 100 150 200 250 300q (BNPD)

Pw

f (lp

ca)

Prueba de flujoSukarno & TobingWiggins y col.

Figura 64. Comparación entre las correlaciones de Sukarno y Tobing, y Wiggins y col.

- Comportamiento de afluencia para yacimientos de petróleo en pozos horizontales.

Para evaluar los métodos IPR, se empleo dos casos bases. Uno de ellos, toma en

cuenta las propiedades de la roca y del fluido; el otro toma en cuenta una prueba de

flujo estabilizada. Cuando se comenzó con la validación de los métodos a través de la

hoja de cálculo, se observó en la correlación de Cheng que para pozos mas inclinados,

el caudal de producción disminuía. Se conoce que los pozos inclinados producen un

mayor caudal que los pozos verticales, siendo los resultados obtenidos inconsistentes

con la teoría. Se decidió obviar la correlación de Cheng en la programación.

En la tabla 19, se muestran los datos relacionados para el caso base 5 y 6, y los

métodos IPR relacionados. De acuerdo a la Tabla 19, se observa que en el caso base

5, se tienen las condiciones generales y el tipo de volumen de drenaje del pozo. La

diferencia radica, en que algunos métodos toman el volumen de drenaje de forma

cilíndrica; es decir, flujo radial alrededor del pozo. En otros métodos, toman un volumen

en forma de caja.

234

El único método IPR para la condición estudiada, que sólo requiere de una prueba

de flujo, es la correlación de Wiggins y Wang. Con este método, también se puede

obtener la curva de afluencia para condiciones futuras.

La mayoría de la información obtenida de las simulaciones, se cotejó con las hojas

de cálculo; salvó en los casos de Joshi y Babu y Odeh, métodos que se encuentran en

la librería del simulador PIPESIM.

Tabla 19. Número de casos bases de acuerdo al tipo de método IPR.

Caso Base Método IPR Caso Base 5

Condiciones generales kx 100 md ky 100 md kz 10 md rw 0,25 pies L 1000 pies P 2600 lpca Pb 2548 lpca Ty 200 °F γg 0,7

Volumen en forma de caja xe 2000 pies ye 2000 pies h 100 pies

Modelo de Babu y Odeh

Método de Kabir

Modelo de Butler

Correlación de Retnanto y

Economides

Ecuación de Furui

Correlación de Vogel

modificado

Volumen en forma de cilindro re 1000 pies h 100 pies

Modelo de Joshi

Caso Base 6 P 2548 lpca Pb 2548 lpca qo 1800 BNPD Pwf 500 lpca

Correlación de Wiggins y Wang

Se realizaron las simulaciones para los casos bases, y para cada método IPR. Los

resultados fueron similares a los obtenidos de las hojas de cálculo, validando los

resultados matemáticos del programa WellPerf IPR.

Se prosiguió con la comparación entre métodos, de acuerdo a las condiciones de

flujo. En la Fig. 65, se observa la diferencia entre los distintos modelos. Hay que

235

destacar, que el modelo de Babu y Odeh se desarrolló para condiciones de flujo semi-

estable y el resto de los modelos, para condiciones de flujo estable. De allí, la diferencia

acentuada de los métodos IPR para flujo de una sola fase.

Curva de Afluencia

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0,00 20000,00 40000,00 60000,00 80000,00 100000,00 120000,00q (BNPD)

Pw

f (lp

ca)

Modelo de JoshiModelo de Babu & OdehModelo de ButlerModelo de Furui

Figura 65. Comparación entre modelos del caso base 5, para flujo de una fase.

Curva de Afluencia

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000q (BNPD)

Pw

f (lp

ca)

Correlación de Vogel Modificado

Correlación de Retnanto & Economides

Figura 66. Comparación entre las correlaciones del caso base 5, para flujo de dos fases.

En la Fig. 66 se observa la comparación entre dos correlaciones IPR, para las

mismas condiciones de flujo y propiedades de la roca, y del fluido. La correlación de

Retnanto y Economides toma en cuenta la configuración mecánica del pozo; así como

236

las propiedades de la roca y del fluido. En cambio la correlación de Vogel modificado,

sólo toma en cuenta las propiedades de la roca y del fluido. De allí, la diferencia entre

las curvas del comportamiento de afluencia.

- Comportamiento de afluencia para yacimientos de gas en pozos verticales.

En esta parte, se observó que los métodos estudiados en este caso, requieren de

distintos datos de entrada. Por esta razón, se estudiaron tres casos bases de acuerdo al

tipo de método utilizado:

a) Pruebas de flujo estabilizadas.

Los métodos IPR que requieren de pruebas estabilizadas, son la ecuación: de

Forchheimer, el método de Jones, Blount y Glaze, y la ecuación de Rawlins y

Schellhardt. Para cada ecuación se tiene un caso base, debido a que las condiciones

de cierre y apertura del pozo, a la hora de realizar las pruebas son diferentes. En la

Tabla 20, se muestra cada caso base.

Tabla 20. Casos bases relacionados de acuerdo al método IPR.

Caso base 7 Caso base 8 Caso base 9 Ecuación de Forchheimer

Ecuación de Rawlins y Schellhardt Método de Jones, Blount y Glaze

P 6454,2 lpca P 439,0 lpca P 439 lpca

Pwf qg Pws Pwf qg Pws Pwf qg (lpca) (MMPCND) (lpca) (lpca) (PCND) (lpca) (lpca) (MMPCND)5654,4 2,973 439,0 439,012836 8373 439,6 438,4497235 0,008373 6148,4 1,328 439,0 439,02648 12484 439,8 434,8609433 0,012484 6301,6 0,722 439,0 439,046239 16817 439,0 425,9706563 0,016817 5660,1 2,871 439,6 439,601149 2231 439,0 411,668556 0,002231 5947,0 2,120 439,8 439,804911 4841 439,0 390,0269221 0,004841 6181,2 1,236 6249,9 0,992 6320,1 0,665

De igual forma que en los casos anteriores, se validó los cálculos matemáticos del

programa WellPerf IPR; obteniendo un ajuste excelente entre las simulaciones

realizadas.

237

b) Pruebas de flujo isocronales.

El único método que utiliza este tipo de pruebas es el de Cullender, y se aplica en

pozos donde el tiempo de estabilización es grande debido a las bajas permeabilidades.

En la Tabla 21 se muestra el caso base 10, donde las pruebas 1, 2 y 3 se refieren a

tiempos distintos de cierre y apertura del pozo.

Tabla 21. Caso base 10 para el método de Cullender.

P 390,7 lpca Prueba Nº Pws (lpca) Pwf (lpca) qg (MPCND)

1 435,20 435,312233 9,9 1 436,80 436,844263 4,44 1 394,70 394,718444 1,947 2 436,80 436,831203 4,587 2 394,70 394,713149 1,98 2 394,00 394,054552 6,887 2 391,10 391,120097 2,905 2 381,00 381,029093 3,989 3 436,80 436,825778 4,656 3 394,70 394,710464 1,994 3 390,70 390,716995 2,941 3 394,00 394,045074 7,092 3 391,10 391,116453 2,937 3 381,00 381,024146 4,052

Debido a que el método utilizado por el programa WellPerf IPR para realizar el

ajuste de regresión lineal en coordenadas logarítmicas es el mismo utilizado por Excel,

los valores de “n” y caudal máximo de producción son los mismos. Esto comprueba la

validación de los cálculos matemáticos.

c) Prueba de flujo estabilizada.

De la revisión bibliográfica, se obtuvo dos métodos que utilizan datos de una

prueba de flujo estabilizada y propiedades de la roca y el yacimiento. Durante el

desarrollo de las hojas de cálculo, la correlación de Chase y Alkandari se descartó por

inconsistencia en los resultados obtenidos. Por otro lado, la correlación de Mishra y

Caudle se validó con datos tomados del mismo artículo técnico donde se recopiló los

datos.

238

El pozo del caso base tiene una presión promedio del yacimiento de 1930 lpca,

temperatura de yacimiento de 120°F, con gravedad específica del gas de 0.61, y una

prueba de flujo estabilizada de 7.2 MMPCND a una presión de fondo fluyente de 1155

lpca.

En la Fig. 67 se observa la diferencia entre los resultados obtenidos entre la hoja

de cálculo y el programa WellPerf IPR. La diferencia porcentual es de un 0,276%, y se

debe a que el programa utiliza un mayor número de divisiones (malla computacional)

que la hoja de cálculo, obteniendo valores más exactos.

Figura 67. Comparación entre las curvas de afluencia obtenidas por el programa

WellPerf IPR y la hoja de cálculo.

- Comportamiento de afluencia para yacimientos de gas en pozos horizontales.

Se estudiaron 4 métodos IPR, de los cuales 3 de ellos necesitan de una prueba de

flujo estabilizada, y algunas propiedades de la roca y el pozo. En la Tabla 22 se muestra

la diferencia entre las variables estudiadas en cada método.

Curvas de Afluencia

0

50 0

10 0 0

150 0

20 0 0

2 50 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10qg (MMPCND)

Pwf (

lpca

)

Programa WellPerf IPRHoja de cálculo

239

Tabla 22. Casos bases con las variables involucradas en cada método IPR

Datos generales Método IPR P 3500 lpca Ty 200 ºF γg 0,7 qg 8,3 MMPCND Pwf 1345 lpca

Datos comunes a todas las correlaciones

Caso Base 12 h 63 pie ye 7500 pie kx 66 md

Correlación de Billiter, Lee y Chase

Caso Base 13 h 63 pie re 3750 pies L 1000 pie rw 0,5 pie

Caso Base 14

Correlación de Chase y Steffy

Np/N 40 % Correlación de Akhimiona y Wiggins En la Fig. 68 se observa la diferencia obtenida entre la hoja de cálculo y el

programa WellPerf IPR. El error porcentual es de 0.02533 entre ambas curvas, dando

un buen ajuste entre los resultados obtenidos.

Figura 68. Comparación entre la curva de afluencia de la simulación y la hoja de cálculo

para la correlación de Billiter, Lee y Chase.

Curvas de AfluenciaCorrelación de Billiter, Lee & Chase

0

50 0

100 0

150 0

2 00 0

250 0

3 00 0

350 0

4 00 0

0 2 4 6 8 10 12qg (MMPCND)

Pwf (

lpca

)

Programa WellPerf IPRHoja de cálculo

240

De igual forma, se validaron el resto de las correlaciones. Adicional se realizó una

comparación entre los métodos IPR para estudiar la diferencia entre ellos. En la Fig. 69

se muestra la diferencia entre las curvas de afluencia para cada método. En la

correlación de Akhimiona no se toma en cuenta las propiedades de la roca, pero si el

factor de agotamiento del yacimiento. En cambio, la correlación de Billiter, Lee y Chase

toma en cuenta las propiedades del yacimiento, estudiando el mismo como si tuviera

forma de caja. Por otro lado, la correlación de Chase y Steffy toma en cuenta flujo radial

alrededor del pozo, y las variables como longitud y radio del pozo. Se puede observar

que mientras mayor cantidad de datos se tengan a la mano, como propiedades de la

roca, fluido y yacimiento, la estimación de la curva del comportamiento de afluencia

será más cercana a la realidad. De allí, radica la importancia de tener una

caracterización adecuada a la hora de optimizar un pozo de petróleo o gas,

Curvas de Afluencia

0

500

10 00

1500

20 00

2 500

30 00

3 500

40 00

0 2 4 6 8 10 12 14qg (MMPCND)

Pwf

(lpc

a)

Billiter, Lee & Chase

Akhimiona & Wiggins

Chase & Steffy

Figura 69. Comparación entre las curvas del comportamiento de afluencia de los

métodos IPR.

241

CONCLUSIONES

1. El programa WellPerf IPR permite estimar el comportamiento de afluencia de un

pozo productor de gas o petróleo, de acuerdo a los datos disponibles de campo

y las condiciones de flujo en el yacimiento y el pozo.

2. Al momento de programar, es conveniente analizar los alcances del sistema de

información o programa; ya que de esto depende la escogencia del lenguaje de

programación. Visual Basic 6.0 no es apto para trabajar casos de programas que

requieran de matemáticas avanzadas.

3. Para el desarrollo de una interfaz eficiente es importante definir las necesidades

del usuario; así como los objetivos y alcances del programa.

4. Aplicar la metodología y técnicas para el desarrollo de sistemas de información,

MEDSI, para desarrollar programas. Esta metodología es aplicable a sistemas de

información pequeños como de alta estructura.

5. Las propiedades de la roca y del fluido juegan un rol importante en la estimación

de la curva de comportamiento de afluencia en pozos horizontales; por lo tanto,

es imprescindible la caracterización del yacimiento.

6. En los métodos IPR desarrollados para yacimientos de gas, la presión y

temperatura juegan un rol importante en el comportamiento de afluencia del

pozo. Este hecho se debe a que la función de pseudo-presión se utiliza en el

desarrollo de la mayoría de los procedimientos para deducir el método IPR.

7. Cuando se desarrolle un método IPR para cualquier tipo de yacimiento, es

importante la validación del mismo con datos reales de campo, y con

simulaciones de yacimiento; permitiendo una mayor confiabilidad al momento de

usar el método.

242

RECOMENDACIONES

1. Usar del programa WellPerf IPR para estimar el comportamiento de afluencia de

pozos de petróleo y gas.

2. Construir una aplicación para la optimización de pozos, donde se incluya la

opción de la curva IPR del programa WellPerf IPR. Esto permitirá al ingeniero

realizar simulaciones y sensibilidades de acuerdo a los datos de campo

disponible, tomando decisiones acertadas y eficientes.

3. Realizar un estudio para observar la variación entre la información que resulta de

las simulaciones y los datos medido en campo, para estimar el método IPR que

mejor se adapte a las condiciones del yacimiento estudiado.

4. Tomar en cuenta los rangos de aplicabilidad de los métodos IPR, que varían de

acuerdo a las condiciones de flujo y los datos de c ampo disponibles.

5. Realizar la revisión, evaluación y programación de los métodos IPR para pozos

de gas condensado.

6. Usar datos de campo para validar los métodos IPR que no se programaron por la

falta de validez.

243

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Ahmed, T. y McKinney, P.D. (2005). Advanced Reservoir Engineering. Gulf

Professional Publishing. Elseiver Inc. U.S.A.188-201.

2. Al-Hussainy, R.R. y colaboradores. (1966). The Flow of Real Gases through

Porous Media. SPE 1243-A. Fall Meeting of the Society of Petroleum Engineers of

AIME. Denver, Colorado, U.S.A. 624-37.

3. Akhimiona, N. y Wiggins, M.L. (2005). An Inflow Performanace Relationship for

Horizontal Gas Wells. SPE 97627. SPE Eastern Regional Conference. Morgantown,

West Virginia, U.S.A. 1-10.

4. Arirachakaran, S.J. (1983). An Experimental Study of Two-Phase Oil-Water Flow in

Horizontal Pipes. MS Thesis, University of Tulsa. Tulsa, Oklahoma.

5. Babu, D. K., y Odeh, A. S. (1989). Productivity of a horizontal well. SPE Reservoir

Engineering. 417-21.

6. Beggs, D. (1991). Production Optimization Using Nodal Analysis. Tulsa, OK: OGCI.

U.S.A.

7. Bendakhlia, H. y Aziz, K. (1989).Inflow Performance Relationships for Solution –

Gas Drive Horizontal Wells. SPE 19823. 64th Annual Technical Conference and

Exhibition of SPE. San Antonio, Texas. U.S.A. 551-60.

8. Billiter, T., Lee. J. y Chase, R. (2001). Dimensionless Inflow-Performance-

Relationship Curve for Unfractured Horizontal Gas Wells. SPE 72361. SPE Eastern

Regional Meeting. Canton, Ohio, U.S.A. 1-21.

9. Butler, R.M. (1994). Horizontal Wells for the Recovery of Oil, Gas and Bitumen.

Petroleum Monograph Nº 2. Petroleum Society of CIM.

10. Caicedo, S. (2001). Estimating IPR Curves in Intermittent Gas Lift Wells from

Standard Production Tests. SPE 69403. Latin American and Caribbean Petroleum

Engineering Conference. Buenos Aires, Argentina. 1-7.

11. Camacho, R.G. y Raghavan, R. (1989). Inflow Performance Relationships for

Solution-Gas Drive Reservoirs. Journal Petroleum Technology. 541-50.

12. Cinco, H., Miller, F. G. y Ramey, H.J. (1975). Unsteady- State Pressure Distribution

Created by a Directionally Drilled Well. Journal Petroleum Technology. U.S.A. 259.

1392-1400.

244

13. Chase, R. W., y Alkandari, H. (1993). Prediction of Gas Well Deliverability from a

just a Pressure Buildup or Draw-down. SPE 26915. SPE Eastern Regional Meeting.

Pittsburgh, PA, U.S.A. 191-96.

14. Chase, R.W., Alkandari, H., Billiter, T., West, W. y Lambert, K. (2001). Improved

Estimation of Gas Deliverability from Single-Point Tests. SPE 72365. SPE Eastern

Regional Meeting. Ohio, U.S.A.

15. Chase, R.W., y Steffy, C.R. (2004). Predicting Horizontal Gas Well Deliverability

Using Dimensionless IPR Curves. SPE 91101. SPE Eastern Regional Meeting.

Charleston, West Virginia, U.S.A. 1-4.

16. Chase, R. W., y Williams, M. A. T. (1986). Dimensionless IPR Curves for Predicting

the Performance of Fractured Gas Wells. SPE Eastern Regional Meeting. Ohio,

U.S.A. 191-96.

17. Cheng, A.M. (1990). Inflow Performance Relationships for Solution-Gas-Drive

Slanted/Horizontal Wells. SPE 20720. 65th Annual Technical Conference and

Exhibition of SPE. New Orleans, LA. U.S.A. 77-84.

18. Cullender, M. H. (1955). The isochronal performance method of determining the flow

characteristics of gas wells. Journal of Petroleum Technology. 204. 137-42.

19. Dake, L.P. (1986). Fundamentals of Reservoir Engineering. Elseiver Science

Publishers. B.V. Ninth impression. Holanda. 103-152.

20. Darcy, H. (1856). Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon, Paris, France, Victor

Dalmont.

21. Dietz, D.N. (1965). Determination of Average Reservoir Pressure from Build-Up

Surveys. SPE 1156. Journal of Petroleum Technology 17, No. 8. U.S.A. 955–59.

22. Duns, H.Jr. y Ros, N.C.J. (1963). Vertical Flow of Gas and Liquid Mixtures in Wells.

Proc., Sixth World Pet. Cong., Tokyo. 451.

23. Economides, M.J. Deimbacher, F.X. Brand, C.W. y Heinemann, Z.E. (1991).

Comprehensive Simulation of Horizontal Well Performance. SPE 20717. SPE

Formation Evaluation. Volume 6, Number 4. U.S.A. 418-26.

24. Evinger, H. H., y Muskat, M. (1942). Calculation of theoretical productivity factor.

Petroleum Transactions, AIME. 146. 126-139.

25. Fancher, G.H. Jr. y Brown, K.E. (1963). Prediction of Pressure Gradients for

Multiphase Flow in Tubing. SPE Journal. 3. 59.

245

26. Fetkovich, M. J. (1973). The Isocronal Testing of Oil Wells. 48th Annual Fall

Meeting of the Society of Petroleum Engineers of AIME. Las Vegas, Nevada, U.S.A..

1-24.

27. Forchheimer, P. (1901). Zeits V. Deutsch Ing. Ph. 45, 1782.

28. Furui, K., Zhu, D. y Hill, A.D. (2003). A Rigorous Formation Damage Skin Factor

and Reservoir Inflow Model for a Horizontal Well. SPEPF. U.S.A. 151-57.

29. Griffith, P. y Wallis, G.B. (1961). Two-Phase Slug Flow. J. Heat Transfer. 83.

(chequear)

30. Griffith, P. (1962). Two-Phase Flow in Pipes. Special summer program,

Massachusetts Inst. Of Technology, Cambridge, Massachusetts.

31. Guo, B. (2001). Use of wellhead-pressure data to establish well-inflow performance

relationship. SPE Eastern Regional Meeting. Canton, Ohio, U.S.A. 1-7.

32. Guo, B. (2001). Use of Spreadsheet and Analytical Models to Simulate Solid, Water,

Oil and Gas Flow in Underbalanced Drilling. SPE 72328. IADC/SPE Middle East

Drilling Technology Conference. Canton, Ohio, U.S.A. 1-7.

33. Hagedorn, A.R. y Brown, K.E. (1964). The Effect of Liquid Viscosity in Vertical Two-

Phase Flow. Journal of Petroleum Technology. 203.

34. Jones, L. G., Blount, E. M., y Glaze, O. H. (1976). Use of short term multiple rate

flow tests to predict performance of wells having turbulence. Society of Petroleum

Engineers of AIME. 1-12.

35. Jokhio, S.A. y Tiab, D. (2002). Establishing Inflow Performance Relationship (IPR)

for Gas Condensate Wells. SPE 75503. SPE Gas Technology Symposium. Calgary,

Alberta, Canada. 1-20.

36. Joshi, S.D. (1988). Augmentation of Well Productivity with Slant and Horizontal

Wells. Journal Petroleum Technology. 285. 729-39.

37. Kabir, C. S. (1992). Inflow Performance of Slanted and Horizontal Wells in Solution –

Gas Drive Reservoirs. SPE Western Regional Meeting of Society of Petroleum

Engineering. Bakersfield, U.S.A. 283-92.

38. Kamkom, R. (2004). Analysis of two-phase inflow performance in horizontal wells.

Msh. Report. The University of Texas at Austin, Faculty of the Graduate School.

Texas.

246

39. Kelkar, B.G. (1985). Unified Relationship to Predict Future IPR Curves for Solution

Gas-Drive Reservoirs. SPE 14239. 60th Annual Technical Conference and Exhibition

of the Society of Petroleum Engineers. Las Vegas, Nevada, U.S.A. 1-8.

40. Klins, M.A. y Clark III, J.W. (1993). An Improved Method to Predict Future IPR

Curves. SPE 20724. SPE Reservoir Engineering. 243-49.

41. Klins, M. A., y Majcher, M. W. (1992). Inflow performance relationship for damaged

or improved wells producing under solution-gas drive. Journal Petroleum Technology.

1357-63.

42. Mishra, S., y Caudle, B. H. (1984). A Simplified Procedure for Gas Deliverability

Calculations using Dimensionless IPR Curves. SPE 59th Annual Technical

Conference and Exhibition. Houston, Texas, U.S.A. 1-11.

43. Montilva, J. (1987). Desarrollo de Sistemas de Información. Textos de la

Universidad de los Andes. Consejo de Publicaciones. Universidad de los Andes.

Mèrida, Venezuela.

44. Muskat, M. (1937). The Flow of Homogeneous Fluids through a Porous Media.

Human Resources Development Corp. Boston.

45. Orkiszewski, J. (1967). Predicting Two-Phase Pressure Drop in Vertical Pipes.

Journal of Petroleum Technology. Trans., AIME. 240.

46. Perez, G y Kelkar, B.G. (1991). A New Method to Predict Two Phase Pressure Drop

Across Perforations. SPE. 93-101.

47. Rawlins, E. L. y Schellhardt, M. A. (1936). Back-pressure data on natural gas wells

and their application to production practices. Bureau of Mines. Monografía 7. U.S.A.

48. Retnanto, A., y Economies, M. J. (1998). Inflow Performance Relationships of

Horizontal and Multibranched Wells in a Solution-Gas-Drive Reservoir. SPE Annual

Technical Conference and Exhibition. New Orleans, U.S.A. 239-48.

49. Ros, N.C.J. (1960). An Analysis of Critical Simultaneous Gas-Liquid Flow Through a

Restriction and Its Application to Flowmetering. Appl. Sci. Res. 9.

50. Rusell, D.G. y Truitt, N.E. (1964). Transient Pressure Behavior in Vertically

Fractured Reservoirs. Journal of Petroleum Technology. 16, 10. U.S.A. 1159-70.

51. Sabino, C. (1992). El Proceso de Investigación. Editorial Panapo. Caracas,

Venezuela.

52. Standing, M. B. (1970). Inflow performance relationships for damaged wells

producing by solution-gas drive. Journal Petroleum Technology. 22, 11. 1399-1400.

247

53. Sukarno, P., y Tobing, E. L. (1995). Inflow Performance Relationship for Perforated

Wells Producing from Solution Gas Drive Reservoir. SPE Asian Pacific Oil &

Conference & Exhibition. Kuslalumpur. 521-26.

54. Tamayo y Tamayo, M. (2003). El Proceso de la Investigación Científica. Cuarta

Edición. Editorial Limusa, S.A. Grupo Noriega Editores. México.

55. Thomas, L.K. y colaboradores. (1996). Horizontal Well IPR Calculation. SPE

36753. SPE Annual Technical Conference and Exhibition. Denver, Colorado, U.S.A.

727-38.

56. Uhri, D. C. y Blount, E. M. (1982). Pivot Point Method Quickly Predicts Well

Performance. World Oil. 153-64.

57. Van Everdingen, A.F. (1953). The Skin Effect and Its Impediment to Fluid Flow into

a Wellbore. Trans. AIME, 198. U.S.A. 171-76.

58. Vogel, J. V. (1968). Inflow Performance Relationships for Solution – Gas Drive

Wells. Journal Petroleum Technology. 243. 83-92.

59. Wael Helmy, M. y Wattenbarger, R.A. (1998). Simplified Productivity Equations for

Horizontal Wells Producing at Constant Rate and Constant Pressure. SPE 49090.

SPE Annual Technical Conference & Exhibition. September 27-30. New Orleans,

U.S.A.

60. West, W. y Chase, R. (1998). Ohio Space Grant Consortium Research Project.

61. Wiggins, M. L., Rusell, J. E., y Jennings, J. W. (1992). Analytical development of

Vogel-type inflow performance relationship. SPE 23580. SPE Permian Basin Oil and

Gas Recovery Conference. Midland, Texas. 355-62.

62. Wiggins, M.L. y Russell, J.E. y Jennings, J.W. (1992). Analytical Inflow

Performance Relationships for Three-Phase Flow in Bounded Reservoirs. SPE

24055. Western Regional Meeting. California, U.S.A. 273-82.

63. Wiggins, M.L. (1993). Generalized Inflow Performance Relationships for Three-

Phase Flow. SPE 25458. Production Operations Symposium, Oklahoma, U.S.A. 483-

94.

64. Wiggins, M.L. y Wang, H.-S. (2005). A Two-Phase IPR for Horizontal Oil Wells.

SPE 94302. SPE Production and Operations Symposium. Oklahoma City, OK, U.S.A.

1-6.