J ESTUDIO DE RADIACION TERMICA EN MEDIOS Y REACTORES ...148.206.53.84/tesiuami/uam7642.pdf · apéndice con los parámetros empleados en las simulaciones de los reactores y uno en

I . e ,

U. A M. I2IApALIIPA BIBUOlñA

J

ESTUDIO DE RADIACION

TERMICA EN MEDIOS POROSOS

Y REACTORES EMPACAWS

TESIS QUE PRESENTA

GUSTAVO MAiJRICIO VILLEGAS VICENCIO

PARA OBTENER EL GRADO DE

L MAESTRÓ EN INGENIERIA QUIMICA

S I NODALES :

DR. FELIPE LOPEZ ISUNZA, PRESIDENTE

DR. TOMAS VIVEROS GARCIA, SECRETARIO

DR. JESUS ALVAREZ CALDERON, VOCAL

M. C. JOSE DE ANDA SANCHEZ, VOCAL

i

México, D . F . , a 9 de mayo de 1990 __. -

ESTUDIO DE RADlAClON TERMICA EN MEDIOS POROSOS

Y REACTORES EMPACADOS

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA

UNIDAD IZTAPALAPA

,

/ESTUDIO DE RADIACION TERMICA EN MEDIOS POROSOS

Y REACTORES EMPACADOS

TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN ING. QUIMICA -

P R E S E N T A

GUSTAVO M. VlCENClO

MEXICO, D. 1990

V

A m i madre, por todo e l amor

y apoyo que me ha brindado

A l a memoria de m i

t í o Sergio Gamboa

A l a memoria de m i

amigo Eduardo Sánchez

I

INDICE

1. I NTRODUCC I ON 1.1 Antecedentes ......................................... 1.2 Objetivos .........................................I-3 1.3 Organización ......................................I-4

2. MARCO TEORICO 2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1 2.2 Conducción

2.2.1 Ley de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-2 2.2.2 Campo de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-2 2.2.3 Conductividad t.érmica

Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-3 Líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-4 Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-5

2.3 Convección - 2.3.1 Convección libre y convección forzada . . . . . . 11-5 2.3.2 Coeficiente corivectivo de transferencia

de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-6 2.3.3 Capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-7 2.3.4 Parámetros adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-8

2.4 Radiación

Indice - 1

.

2.4.1 Naturaleza de la radiación térmica . . . . . . . . . 11-9 2.4.2 Propiedades radiat ivas

Absortividad. reflectividad y reflectividad ..I 1-10 Cuerpo negro ................................. 1-11 Intensidad espectral y ley de Boltzmann . . . . . 11-11 Ley de Kirchoff, emisividad y cuerpo gris . . . 11-12

2.4.3 Factor de forma . para la radiación . . . . . . . . . . 11-13 2.4.4 Ecuación de difusión de Rosseland . . . . . . . . . . 11-14

3 . ESTADO DEL ARTE . RADIACION EN MEDIOS POROSOS Y LECHOS EMPACADOS 3.1 Introducción ........................................ I- 1 3.2 Revisión de la literatura existente

3.2.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111- 3 3.2.2 Modelos de celdas ............................ I - 6 3.2.3 Modelos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111-17 3.2.4 Otros modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111-23

3.2.5 La radiación en reactores químicos . . . . . . . . . 111-25 3.2.6 Trabajo desarrollado en la UAMI . . . . . . . . . . . . 111-28

4 . FORMULACION DEL PROBLEMA 4.1 Introducción ....................................... V- 1 4.2 Modelamiento matemático

4.2.1 Ecuación de radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV- 3 4.2.2 Ecuaciones para la placa porosa . . . . . . . . . . . . IV- 5 4.2.3 Ecuaciones para el intercambiador de

calor ....................................... V-10 4.2.4 Ecuaciones para el reactor . . . . . . . . . . . . . . . . . 1v-14

5 . DISCRETIZACION DE LAS ECUACIONES 5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V-1 5.2 Métodos numéricos de solución

5.2.1 Método de los residuos ponderados . . . . . . . . . . V-2 5.2.2 Método de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . V-3

5.2.3 Método de colocación ortogonal . . . . . . . . . . . . . V-4

elemento finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V-7

5.2.5 Método de elemento finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . V-8

5.2.4 Método de colocación ortogonal en

Indice . 2

5.3 Desarrollo de las ecuaciones discretizadas 5.3.1 Ecuaciones para la placa porosa . . . . . . . . . . . . V-11 5.3.2 Ecuaciones para el intercambiador de

calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V - 2 0

5.3.3 Ecuaciones para el reactor . . . . . . . . . . . . . . . . . V-25

6. SIMULACIONES NUMERICAS Y ANALISIS DE RESULTADOS 6.1 Introducción ......................................... 1 6.2 Análisis de resultados

6.2.1 Análisis para la placa porosa . . . . . . . . . . . . . . VI- 2 6.2.2 Análisis para el intercambiador . . . . . . . . . . . . VI-10 6.2.3 Análisis para el reactor empacado

Reactor adiabático ........................... 1-21 Reactor no adiabático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI-30

6.3 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . V 1 - 3 7

APENDICE A. VALORES DE LOS PARAMETROS EMPLEADOS EN LAS SIMULACIONES DE LOS REACTORES .................................

APENDICE B. CORRELACIONES EMPLEADAS PARA DETERMINAR LOS PARAMETROS TRANSPORTE DE LOS REACTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-1

NOTACION ......................................................

REFERENCIAS ...................................................

Indice - 3

1. INTRODUCCION

1.1 ANTECEDENTES

La transferencia de calor en sistemas porosos es una operación importante en la industria de los procesos químicos, particularmente en reactores catalíticos en que ocurren reacciones exotérmicas. Existen muchas operaciones comerciales en sistemas sólido-gas en que la transferencia de calor juega un papel muy importante, ya sea por limitar la productividad del reactor, por cambiar l a selectividad de la reacción, por reducir la vida del catalizador, etc.

Sin embargo esta aplicación no es la única. En la obtención de aislantes y materiales refractarios es muy frecuente el empleo de materiales fibrosos, de polvos y de microesferas. La reducción de la capacidad de transporte es lograda por la división del material en partículas muy pequeñas y, en el caso de las fibras, por la orientación controlada de las mismas para minimizar el área de transporte y maximizar la longitud efectiva de lk trayectoria que sigue el flujo de calor. Los métodos para reducir la transferencia de calor por radiación incluyen la selección óptima del tamaño de partícula, el empleo de pantallas reflectoras y el uso de materiales absorbentes.

Otra aplicación importante está en el diseño de intercambiadores y regeneradores de calor. Cuando el uso de equipos convecionales de

1 - 1

intercambio de calor es impráctico por cuestiones técnicas o económicas (como cuando se tienen temperaturas muy altas o corrientes de gas con sólidos suspendidos) es común recurrir al intercambio de calor por calentamiento y enfriamiento alternado de sólidos refractarios empacados. A temperaturas moderadas se usan empaques metálicos, como en los

precalentadores Ljungstrom o en los regeneradores para la producción de aire 1 íquido.

En la industria del petróleo, sobre todo en las operaciones de cracking, y en la industria metalúrgica se emplean reactores e intercambiadores de lecho fluidizado en que se busca producir altas tasas de intercambio por el aumento en el área de transferencia. En muchos de estos dispositivos, asi como en reactores nucleares de potencia con combustibles esféricos, se generan grandes cantidades de calor que es necesario remover rápidamente antes de que el aumento de temperatura alcance un nivel en que los materiales sufran daños.

El diseño exitoso y evaluación de estos sistemas depende directamente de las tasas de transferencia de calor en el medio poroso.

Dentro de los procesos relevantes que pueden estar involucrados en el flujo de calor en un sistema sólido-gas se tienen ( 1 ) transporte convectivo de calor debido al movimiento y al mezclado dispersivo del fluido. ( 2 ) la conducción entre partículas en el lecho, conocida como conducción partícula-partícula. (3) la transferencia convectiva desde las paredes del sistema hacia el fluido. ( 4 ) el intercambio de energía entre partículas y el fluido en movimiento. ( 5 ) la conducción entre las partículas del lecho y las paredes del mismo. ( 6 ) el transporte por radiación inter e intrapartícula.

El estudio de los procesos de conducción y de convección ha sido un tema tratado con mucha extensión en las últimas décadas en la literatura científica. Durante esos años han surgido innumerables estudios experimentales y muchos trabajos teóricos que pretenden predecir los valores de los parámetros que describen el comportamiento del sistema dadas las propiedades físicas y geométricas del mismo: gasto de fluido, porosidad del medio, viscosidad del fluido, conductividades térmicas moleculares, etc. La radiación, en contraste, ha recibido menos atención.

L

La radiación térmica se refiere a la emisión electromagnética que está

1 - 2

en el rango de 0.1 a 100 micrac. Se ha encontrado que el intercambio de energía radiante entre dos cuerpos depende de las diferencias de temperatura elevadas a la cuarta potencia, mostrando una sensibilidad mucho mayor a los cambios de esta variable que la conducción o la convección. Una diferencia significativa entre el intercambio de calor radiante y los otros tipos de transferencia es que no se requiere un medio para la propagación para la energía; de hecho, este intercambio es máximo cuando se vacía el espacio entre las superficies.

En general, la contribución de la radiación al proceso global de transferencia de calor en sistemas sólido poroso-gas ha sido considerada de importancia secundaria comparada con la convección o la conducción. De hecho, su contribución suele ser despreciada o, cuando mucho, el fenómeno es tomado en cuenta como una corrección a la conducción en la forma de una conductividad térmica efectiva, k .

La literatura que trata el tema en reactores químicos y catalíticos y en materiales aislantes y refractarios ha estado dominada por este enfoque (Froment ( 1 ) . Lapidus (21, Hlavacek (31, Beek ( 4 ) ) . Las investigaciones se han encaminado a la estimación teórica y experimental de este parámetro, aunque debe aclararse que l o s trabajos se han hecho fundamentalmente en sistemas sin reacción química y en medios estancados.

Otra forma de abordar el problema ha sido considerar la fase dispersa como un continuo para la radiación térmica. En condiciones ópticamente densas esto permite obtener una aproximación a la transferencia de calor por radiación semejante a la expresión de Fourier, excepto que la tasa de flujo es proporcional al gradiente de la intensidad de radiación en vez de al de temperatura. A este tratamiento se le conoce como aproximación de Rosseland (ver sección 2 .4 .4 ) .

También se han usado modelos estructurales o de celdas. Estos modelos Únicamente son aplicables para sistemas con una densidad óptica muy alta, de tal manera que es posible despreciar cualquier efecto de radiación de largo alcance.

.-

1.2 OBJETIVOS

E l objetivo fundamental de esta tesis es establecer l a importancia de la radiación térmica en el proceso global de transferencia de calor en sistemas sólido-gas, así como comparar la capacidad

1 - 3

descriptiva de los modelos simplificados basados en la suposición de que la radiación puede ser agrupada como una corrección a la conducción frente a modelos de tipo Rosseland, mejor sustentados por leyes físicas.

Para ello se recurrirá a un estudio teórico de simulación por computadora en el que se analizará la influencia de la dispersión axial de calor por radiación en el comportamiento estático y dinámico de tres sistemas cuya complejidad va aumentando gradualmente

* placa porosa con generación interna de calor * intercambiador de calor con fuente de generación interna * reactor tubular de lecho fijo con reacción exotérmica

Los dos primeros puntos fueron tratados en un trabajo previo por de Anda

(91, cuyos resultados principales se discuten en la sección 3.3. Sin embargo, en este trabajo se vuelven a abordar con propósitos de verificación de los fenómenos importantes encontrados, específicamente el de la existencia de lo que de Anda llamó onda térmica viajera, surgida al considerar que la radiación en un medio poroso puede ser modelada por medio de una ecuación del tipo Rosseland. Esta verificación es necesaria porque no se pudo aclarar plenamente si su presencia era consecuencia de la física del problema o era resultado del método numérico empleado para resolver las ecuaciones. En su trabajo de Anda usó un método de aproximación global, la colocación ortogonal; en este trabajo se empleará un método local, más exacto, el método de elemento finito.

1.3 ORGANIZACION

La primera parte de la tesis abarca los aspectos teóricos que permitirán una mejor comprensión del problema. En el capítulo 2 se discuten las características principales de los mecanismos de transmisión de calor. Dado su carácter informativo, los temas no son abordados desde un punto de vista cuantitativo, sino que se busca resaltar la manera en que se produce la transferencia. En el capítulo 3 se presenta una revisión de l o s trabajos más sobresalientes realizados en el campo del tratamiento del proceso de radiación térmica en medios porosos sólido-gas tanto a nivel internacional como a nivel UAM-I .

L

El resto de la tesis trata del trabajo específico desarrollado para este estudio. El planteamiento del problema, así como la formulación diferencial

1 - 4

de las ecuaciones son abordados en el capítulo 4. En el capítulo 5 se procede a explicar la manera de resolver dichas ecuaciones por medio del método de elemento finito. Finalmente, en el capítulo 6 se muestran l o s

resultados, análisis y conclusiones del estudio. Se incluye además un apéndice con los parámetros empleados en las simulaciones de los reactores y uno en que se presentan las correlaciones empleadas para evaluar los

coeficientes de transporte en el lecho y en la interface sólido-gas.

El autor desea expresar su agradecimiento a l o s estudiantes y profesores del Area de Ingeniería Química de la UAM-I así como a la Coordinación de Sistemas de Cómputo por su ayuda y comentarios para la elaboración del presente trabajo. Asimismo, agradece al CONACYT el apoyo financiero prestado.

Gustavo N. Villegas

1 - 5

2. MARCO TEORICO

2.1 INTRODUCCION

Se entenderá por calor la energía en tránsito debido a una diferencia de temperaturas y como transferencia de calor el área de l a ingeniería que trata de los procesos espontáneos e irreversibles de propagación de calor en el espacio y de los mecanismos encargados de dicha transferencia.

La literatura de transferencia de calor generalmente reconoce tres modos distintos de transporte: conducción, convección y radiación.

Estrictamente hablando, sólo la . conducción y l a radiación deben ser considerados como procesos de transferencia de calor, pues sólo estos dos mecanismos dependen de la existencia de una diferencia de temperatura. Sin embargo, aunque operacionalmente su mecanismo esté directamente relacionado con la transferencia de masa, el término transferencia de calor por

convección es amp1 iamente aceptado.

Cada uno -de estos modos de transmisión será descrito y analizado separadamente. Sin embargo, se debe enfatizar que en la mayoría de las situaciones que ocurren en la naturaleza, el calor fluye por mecanismos combinados que actúan simultáneamente.

Los estudios teóricos de transporte de calor necesitan la introducción

I1 - 1

de modelos que den idea del medio en que tienen lugar los procesos investigados. Se puede distinguir entre medios continuos homogéneos y heterogéneos. En los primeros las propiedades f isicas en diferentes puntos son las mismas a igual temperatura ur presión, y en l o s medios heterogéneos las propiedades f ísicas difieren. También se puede distinguir entre medios isotrópicos y anisotrópicos. Las propiedades físicas de un medio isotrópico son independientes de la dirección espacial en que se midan. Por el contrario, en un medio anisotrópico algunas propiedades pueden ser función de la dirección de medición.

Una última clasificación importante es aquella que reconoce medios de una sola fase y medios multifásicos. En los medios unifásicos, consistentes de una sustancia pura o de una mezcla de sustancias, las propiedades físicas varían continuamente en el espacio. En cambio, las propiedades de un sistema. multifásico, consistente de diversos sistemas unifásicos, cambian por saltos en las interfasec.

2.2 CONDUCCION

2.2 .1 LEY DE FOURIER

E l fenómeno de conducción de calor es un proceso de propagación de energía calorífica por contacto directo entre partículas separadas de un cuerpo, o entre cuerpos con diferente temperatura; resulta del movimiento de las micropart ículas de la sustancia. La conducción es fundamentalmente un fenómeno molecular que requiere de un gradiente de temperaturas como fuerza motriz.

Existen dos cantidades de interés práctico en el estudio de problemas de conducción de calor. Dichas cantidades son la razón de flujo de calor y la distribución de temperatura.

La l e y d e Fourier establece que la cantidad de calor dQc que pasa a través de una superficie isotérmica dA por unidad de tiempo dt es proporcional al gradiente de temperatura aT/an, siendo n un vector normal a la superficie "A

aT dQc= - k dA dt = - k dA VT ( 2 .1 )

2.2.2 CAMPO DE TEMPERATURA

El estudio analítico de la conducción requiere del estudio de las

I1 - 2

variaciones espacio-temporales de la temperatura, es decir, de determinar la ecuación

T=f ( x , y, z, t 1 ( 2 .2 )

La ecuación anterior es la expresión matemática para un campo de temperatura, el cual es el conjunto de todas las temperaturas en todos l o s

puntos del espacio estudiado en cualquier momento. Los campos de temperatura son de dos clases: estacionarios y

transitorios. La ecn. (2.2) describe el tipo más común de campo de temperatura, en el cual esta varía de punto a punto en el tiempo.

El gradiente de temperatura es un vector normal a la isoterma y es positivo en la dirección creciente de la temperatura. Es numéricamente igual a la derivada de temperatura en dicha dirección.

aT V T = n - an

donde

n = vector unitario normal a la superficie isotérmica y positivo en l a dirección creciente de T

aT - derivada de an-

2.2.3 CONDUCTIVIDAD La conductividad

la temperatura a lo largo de la normal

( 2 .3 )

TERMI CA térmica es un parámetro físico muy importante de un

material o medio. Para comprender mejor la naturaleza de esta propiedad es conveniente discutir el mecanismo de transmisión en términos de la teoría cinética del calor y su relación con la estructura de la materia en fase sólida, líquida o gaseosa.

Sólidos. La teoría del calor sostiene que los dos medios principales en que el

calor se transmite en un medio sólido son los electrones libres ( o de Valencia) y las vibraciones transmitidas como ondas sonoras elásticas en la estructura del sólido ( fonones) . Sin embargo, el calor también se transmite por excitaciones magnéticas y por radiación electromagnética.

El mecanismo de transporte electrónico (el cual só lo aplica a los

11 - 3

conductores eléctricos) asume que el calor, como la electricidad, se transmite por medio de los electrones libres en la red cristalina, de forma análoga a moléculas que se mueven en un gas. Su contribución a la conductividad térmica es proporcional a la trayectoria libre media del e lec t rón.

La transmisión de energía vibracional puede ser vista como una superposición de ondas de desplazamiento de un amplio rango de frecuencias. Cada onda obedece a la ecuación de un oscilador armónico cuya energía varía continuamente, pero que se considera formada por quanta de energía llamados fonones. Constituye el mecanismo principal de conducción en sólidos no metálicos (dieléctricos).

El acoplamiento de dipolos magnéticos es un tercer mecanismo de conducción de calor. Los efectos cooperativos entre momentos magnéticos en una red dan origen al concepto de magnones como transportadores de calor.

Para polvos y sólidos porosos, la conductividad térmica se toma como aquella de un cuerpo sólido de la misma forma y tamaño, a través del cual se transmite la misma cantidad de calor bajo condiciones dadas de temperatura .

La conductividad térmica de' los polvos y materiales porosos depende fuertemente de su densidad volumétrica, lo cual es fácilmente explicable por el hecho de que el aire que llena los poros es mucho menos conductor que los constituyentes pesados del material.

Líquidos. El mecanismo de propagación de calor en líquidos puede ser concebido

como transporte de energía por medio de oscilaciones elásticas inestables. El modelo de Horrocks y McLaughlin asume que el líquido tiene una

estructura reticular a través de la cual el exceso de energía debido al gradiente de temperatura es transferido por el movimiento de moléculas de celda a celda y por un mecanismo vibracional en el cual cada molécula vibra dentro de su celda. E l primero de los mecanismos es despreciable. E l

cálculo de .la contribución intracelular a partir de las fuerzas interrnoleculares da buenos resultados para líquidos simples.

Los resultados de estudios de difracción de rayos X han demostrado la existencia de cristales líquidos, los cuales exhiben algunas propiedades de los cristales anisotrópicos.

Se han hecho muchos intentos para relacionar la conductividad térmica de

I1 - 4

los líquidos con propiedades físicas fácilmente medibles. Los esfuerzos pueden ser catalogados en dos grupos: (1 ) correlación de la conductividad con la velocidad del sonido y ( 2 ) correlación con otro tipo de propiedades. Las correlaciones del primer grupo parecen ser las más exactas.

Gases. 'De acuerdo con la teoría cinética, la transferencia de calor en gases a

temperaturas y presiones ordinarias ocurre por el transporte de energía cinética originado por el movimiento desordenado y la colisión de moléculas del gas.

En un sistema que se comporta de acuerdo con la teoría cinética, l a

conductividad térmica de los gases es independiente de la presión. Esto es

aproximadamente cierto para la' mayoría de los gases reales a presión atmosférica o cercana, mas no en gases a muy baja presión -donde la conductividad se aproxima a cero- ni en gases a presiones moderadamente bajas cuando las dimensiones del recipiente son menores que la trayectoria libre media de las moléculas gaseosas (un gas de Knudsen). A alta presión, en que la teoría cinética no aplica, se observa una funcionalidad de la conductividad con la presión.

Es importante notar que existe una estrecha relación entre la viscosidad y la conductividad térmica de un gas. La viscosidad de estos fluídos es una medida del arrastre ejercido por la difusión de moléculas gaseosas moviéndose a una velocidad media diferente. Esto es similar a la conducción de calor, excepto que en el caso de la conducción la cantidad que se transfiere es la energía cinética asociada con el movimiento al azar de las moléculas en vez del momentum.

2.3 CONVECCION

2.3.1 COWECCION L I B R E Y CONVECCION FORZADA Se entiende por convección el proceso de transporte de calor que ocurre

como consecuencia del movimiento de macropartículas de un liquido o un gas desde regiones con una temperatura a otras con distinta temperatura. La convección solo es posible en un medio fluido y el transporte está directamente ligado con el movimiento del material.

Evidentemente, el estudio de transferencia de calor por convección es más complicado que el de la conducción pura dado que el movimiento del

I1 - 5

fluido debe ser estudiado simultáneamente con el proceso de transporte de energía. Para este propósito se aplican las leyes de la mecánica de fluidos y la termodinámica.

Se acostumbra distinguir entre dos tipos de convección: convección libre o natural, y convección fo rzada. En el caso de la convección libre, el origen del movimiento en el fluído es la heterogeneidad de las fuerzas másicas actuando sobre el mismo. Otras fuerzas capaces de provocar la convección natural son la centrífuga y la fuerza originada cuando un campo electromagnético de alta densidad es inducido en un líquido.

El movimiento forzado en un volumen de fluido es producido por la acción de una fuerza que añade energía cinetica.

2.3.2 COEFICIENTE COWECTIVO DE TRANSFERENCIA DE CALOR En muchas aplicaciones de ingeniería existen problemas de transferencia

de calor desde una superficie sólida hacia un fluido y viceversa. En 1701 Isaac Newton propuso la siguiente ecuación para predecir la razón de transferencia de calor por convección de una superficie sólida al fluido que la rodea

(2 .4)

donde h = coeficiente convectivo promedio de transferencia de

calor A = área de transferencia disponible para la convección Tw = temperatura de la superficie sólida T = temperatura del fluido en una posición alejada de la m

superficie sólida

A diferencia de la conductívidad térmica de un material, el coeficiente convectivo de transferencia de calor no es una propiedad. Su magnitud depende de una gran variedad de factores, como son la velocidad, densidad, viscosidad, cónductividad térmica, geometría de la superficie, presencia de fuerzas de flotamiento, etc. Dicha dependencia tan amplia hace dificil llegar a una expresión analítica para este coeficiente.

Existen cuatro métodos generales para evaluar h: 1. Análisis dimensional combinado con experimentos 2. Soluciones matemáticas exactas de las ecuaciones de la capa límite

I1 - 6

P

3. Análisis aproximado de la capa límite por métodos integrales 4. Analogía entre transferencia de momentum, calor y masa

Ninguno de estos métodos puede resolver por si solo todos los problemas de convección, dado que cada uno tiene limitaciones que reducen su campo de aplicación.

2 . 3 . 3 CAPA LIMITE Diversos científicos observaron que en el proceso de convección la mayor

parte de la resistencia al transporte de calor se concentra en una delgada capa inmediatamente adyacente a la superficie de la pared. La transferencia de calor por convección es esencialmente un problema de la interrelación entre la conducción y el transporte de energía dentro de esta capa ocasionado por el fluido en movimiento. Tan pronto el calor penetra dicha zona, se propaga rápidamente en el bulk de fluido.

Entonces, la cantidad de energía transferida está determinada por el espesor y las características de esta capa límite; a su vez, estas dependen de todos l o s parámetros que determinan el flujo sobre la superficie.

E l concepto de capa límite fue propuesto originalmente por Prandtl y divide al flujo sobre un cuerpo en dos regiones: ( 1 ) una zona muy delgada adyacente al cuerpo, llamada capa limite, en donde varían rápidamente los

gradientes de velocidad y de temperatura, y ( 2 ) la región fuera de la capa, llamada región d e flujo potencial o de flujo externo, en donde los gradientes de velocidad y de temperatura son muy pequeños. Debe aclararse que existe una capa límite de velocidad y una capa límite de temperatura.

En la mayoría de las aplicaciones l o s espesores de la capa límite de velocidad 6(x) y de la capa límite de temperatura aT(x) son del mismo orden de magnitud, pero no son necesariamente iguales; sus espesores relativos dependen de la magnitud del número de Prandtl Pr. Específicamente, 6(x) > aT(x) cuando Pr < 1 y aT(x) > g(x) cuando Pr > 1.

Por definición, el borde de la capa límite térmica es el lugar geométrico de l o s puntos en donde la temperatura alcanza el 99% de la temperatura del bulk. La definición de este espesor es arbitraria debido a que la transi-ción de la velocidad y la temperatura desde la capa limite hasta el flujo externo ocurre en forma asintótica.

Las ecuaciones de la capa límite en estado estacionario en dos dimensiones para un fluido incompresible de propiedades constantes son

Cont i nuidad: ( 2 . 5 )

I1 - 7

a2u + P, [ ax ay

Momentum x: (2 .6 )

2

Energía: p Cp ( 2 . 7 )

La aproximación es buena a condición de que los gradientes de velocidad y de temperatura en dirección del flujo sean mucho más pequeños que aquellos en dirección perpendicular a la pared.

2.3.4 PARAMETROS ADIMENSIONALES Debido a la complejidad de las ecuaciones de movimiento y energía, es

extremadamente dificil resolver problemas de transferencia de calor por convección salvo en casos simples idealizados. En consecuencia, la mayoría de los problemas de transferencia de calor por convección de interés práctico se estudian experimentalmente y los resultados se presentan en forma de ecuaciones empíricas en términos de grupos adimensionales. La utilidad de dichos grupos es que se pueden combinar muchas variables formando unos pocos parámetros; por lo tanto, se reduce el número de variables que se deben estudiar.

A continuación se presentan algunos de los números adimensionales más relevantes en el estudio de problemas de transferencia de calor por convección asi como su interpretación física.

No. de Reynolds

Prandt 1

L

Peclet

fuerzas de inercia p Lc Re = c1 fuerzas viscosas

P CP difusividad de momento

k difusividad térmica Pr = ~

urn P CP Lc calor por convección

k calor por conducción Pe =

Nusse 1 t h L

k Nu = 2

I1 - 8

razón de gradientes de temperatura

gLc3P(Tw-Tm) (fza flotación) (inercia)

V ( fzas viscosas 1 Grashof Gr =

2 2

2.4 RADIACION

2.4.1 NATURALEZA DE L A RADIACION TERMICA

La radiación térmica se refiere a la energía emitida por los cuerpos debido a su propia temperatura, aún cuando el mecanismo específico de transmisión no está completamente entendido. La energía radiante en ocasiones es tratada como ondas electromagnéticas de acuerdo con la teoría clásica de Maxwell y otras veces se le trata como fotones basados en el concepto del quantum de energía de Max Planck; sin embargo, ninguno de estos enfoques describe todos los fenómenos observados. En la práctica, se han utilizado los resultados de la teoría electromagnética para predecir las propiedades radiantes de la materia, en tanto que los resultados de la teoría cuántica han servido para predecir la cantidad de energía radiante emitida por un cuerpo . En cualquier caso, se sabe que la radiación viaja a la velocidad de la luz, que es de aproximadamente 3 x 10 m/s en el vacío. 8

Los fenómenos de radiación usualmente se clasifican por su longitud de onda característica. Aunque teóricamente esta se extiende desde longitudes de onda desde cero hasta infinito, en la práctica se considera que la banda térmica está en el rango de O. 1 a 100 pm (1pm = m). Este rango es usualmente subdividido en ultravioleta, visible e infrarrojo. En la fig. (2.1) se muestra el espectro electromagnético.

Es conveniente resaltar que en el intercambio de energía radiante, a diferencia de los procesos de convección y de conducción, no se requiere un medio de propagación; de hecho, el intercambio radiante entre dos superficies es máximo cuando se vacía el espacio entre ellas. Otra diferencia significativa es que en la conducción y en la convección las razones de transferencia de calor varían con la diferencia de temperatura a la primera potencia, mientras que el intercambio de energía radiante entre dos cuerpos depende de las diferencias entre sus temperaturas elevadas a la cuarta potencia.

I1 - 9

FIGURG 2.1. DISTRIBL~CION DE L O N G I T U D DE ONDA DEL ESPECTRO DE RADIACION ELECTROMAGNETICA

RRDIFICION TERM I CA I I

long. onda (rn) 1 o - ' O

2.9.2 PROPIEDADES RADIATIVAS

Absortividad, reflectividad y transmitividad. Cuando la radiación incide en un cuerpo homogéneo, parte de la energía

penetra en él y el resto se refleja, como se muestra en la fig (2.2). De la parte que penetra, parte puede ser absorbida por el cuerpo y parte se transmite a través de él con poco cambio en su naturaleza.

Se define la absortividad a como la fracción de la radiación incidente que absorbe el material, l a reflectividad p como la fracción de la energía que se refleja y la transmitividad t como la fracción de la energía que se transmite.

En general, la absortividad, la reflectividad y la transmitividad de un cuerpo dependen de las temperaturas de la fuente de radiación y de la naturaleza de la superficie.

Las reflexiones pueden ser de dos tipos, regulares y difusas. Cuando la reflexión es regular o especular, los ángulos de incidencia y reflexión son iguales. En la reflexión difusa la radiación de entrada o incidente se refleja en todas direcciones.

I1 - 10

FIGURA 2.2. REFRESENTACION DE ALGUNAS DE LAS PRINCIPALES PROPIEDADES RADIATIVAS: AB- SORTIVIDAO, REFLECTIVIOAD Y TRANCMITIVIDAD I

Cuerpo negro. Un cuerpo negro, o radiador ideal, es aquel que emite y absorbe la

cantidad máxima posible de radiación a cualquier longitud de onda y a cualquier temperatura, teniendo una absortividad de uno. El cuerpo negro es un concepto teórico que establece un límite superior a la emisión de radiación de acuerdo con la segunda ley de la Termodinámica y sirve como un standard con el cual se comparan las características radiantes de otros medios.

Intensidad espectral y ley de Stefan-Boltzmann. La radiación se propaga como un haz y la longitud de onda a la cual se

genera es importante para caracterizar la energía transportada. La intensidad de radiación espectral IAb de un cuerpo negro representa

la máxima cantidad de energía radiante que un cuerpo puede emitir a una temperatura T y una longitud de onda A.

De acuerdo-con la ley de Planck

(2.8)

donde

I 1 - 11

h = constante de Planck = 6.6256 x J - s

K = constante de Boltzmann = 1.38054 x J - K

c = velocidad de la luz en el vacío T = temperatura absoluta h = longitud de onda

La intensidad de radiación de un cuerpo negro viene dada por

donde c es la constante de Ste'fan-Boltzmann

15

= O. 1714 x

= 5.676 x

Bt u/h * f t * R4

3-8 W / m 2 * K4 (2. 3 )

El flujo emisivo de un cuerpo negro q b ( T ) es obtenido al integrar sobre todas las longitudes de onda

qb(T) = n S" I (T)dh = TI Ib(T) = cT4 = Eb(T) h = O hb

Ent o nces

q,(T) = aT4

(2.11)

(2.12)

que es la ley-de Stefan-Boltzmann.

Ley de Kirchoff, emisividad y cuerpo gris. E l flujo emisivo espectral proveniente de una superficie real a una

temperatura absoluta T es siempre menor que e'l correspondiente a un cuerpo negro. Se define entonces la emisividad hernisférica espectral eA de la

I1 - 12

superficie real como

(2.13)

y la emisividad hemisférica e sc-re todas las longitudes de onda se determina de la siguiente forma

(2.14) q (TI m

',=O h b

La emisividad y la absortividad de un cuerpo se pueden relacionar por la l e y de Kirchoff mediante argumentos termodinámicos. Esta ley establece que la absortividad de un cuerpo es igual a su emisividad si las temperaturas de la fuente de radiación incidente y del cuerpo son iguales.

a = e (2. 15)

Aún cuando la ecn. (2.15) se dedujo suponiendo que l a superficie emisora y la fuente de radiación están a la misma temperatura, la igualdad de a y e se usa en situaciones más generales.

Un tipo de cuerpo que obedece la ley de Kirchoff se conoce como cuerpo

gris. A cualquier temperatura un cuerpo gris emite una fracción constante de la cantidad que emitiría un cuerpo negro a la misma temperatura.

Estrictamente hablando, casi no se encuentran cuerpos grises en la práctica. Sin embargo, muchos cálculos de ingeniería se hacen utilizando el concepto de cuerpo gris, es decir, se obtienen promedios integrados para las propiedades de radiación en todas las longitudes de onda y se supone que el cuerpo es gris. Así, se toman valores promedio de a, z, p y e . Dicho enfoque es semejante a l de seleccionar una conductividad térmica promedio en un intervalo de temperatura dado.

2.4.3 FACTOR DE FORMA PARA L A RADIACION

En el intercambio de energía por radiación es muy importante el arreglo geométrico de los cuerpos part ic'ipantes. El f a c t o r de forma (también llamado factor de ángulo o de configuración) se define como la fracción de la energía que parte de una superficie i y se dirige a una superficie j y

I1 - 13

se le designa como f, . Es claro que si i es cóncava, parte de la energía emitida cae sobre s í misma y por la definición del factor de forma se debe cumplir la llamada relación de suma

i J

N

C f i j = 1 para i = 1, 2, . . . j = l

* j (2.16)

'Si ahora se considera el intercambio de energía entre superficies la energía emitida por unidad de tiempo por una superficie A hacia negras,

una superficie A estará dada por J

i

Q. = Ai f.. ebi 1 J

y la que recibe de la superficie A , por 1

Q j = Aj fji ebj

(2. 17)

(2.18)

j Si se hace T,=T entonces ebi=e J bj

y por el equilibrio térmico Q,=Q

* Aj fji = Ai fij (2.19)

La ecuación anterior se conoce como relación de reciprocidad. Aún cuando dicha ecuación se deduce para cuerpos negros en equilibrio térmico, es válida en general ya que las áreas y factores de forma son tan sólo funciones de la geometría del sistema y no dependen del estado termodinámico (siempre y cuando se tenga radiación difusa).

2.4.4 ECUACION DE DIFUSION DE ROSSELAND Rosseland (10) demostró la analogía entre conducción y radiación para

números de Knudsen pequeños y encontró que la transferencia de calor q por unidad de tiempo y unidad de área puede ser descrita por la ecuación vectorial

la cual es análoga a la ecuación de conducción de Fourier

I1 - 14

Por supuesto, la analogía solo es funcional puesto que eb es proporcional a T , no a T.

A continuación se presenta una deducción sencilla de la ecuación de Rosseland para el caso de una variación unidireccional de la temperatura, como se ilustra en la f i g . (2.31.

Se sabe que la intensidad del flux radiante se aproxima a la intensidad de cuerpo negro cuando se acorta la trayectoria libre del fotón. Entonces, el flux de energía para un elemento de área dA localizado en el plano situado en xo está dado por la integral

4

q = So I b cosfl dw ( 2 . 2 2 )

FIGURA 2 . 3 . ESQUEMf3 PARA LA DEDUCCION DE LR ECUACION DE ROCSELRND

La intensidad de radiación de cuerpo negro varía en forma aproximada como -

d1 b x 1- o dx Ibo + ( x - -

I b - (2.23)

para una distancia pequeña x - xo. Para un haz de radiación en la dirección S , esta distancia se puede relacionar con la trayectoria libre por medio de la ecuación

I1 - 15

x - x = A cosp (2.24) O

Sustituyendo estas dos expresiones en la integral para q, ecn. (2.22)

d1 b q = 271 J (Ibo - A cospdX 1 cos6 sin8 dp

(2.25)

Remplazando l a intensidad I b por la potencia emisiva eb

que es l a ecuación de Rosseland.

(2.26)

I1 - 16

P

3. ESTADO DEL ARTE RAD1 AClON EN MEDIOS POROSOS Y LECHOS EMPACADOS

3.1 INTRODUCCION

El transporte radiativo en sistemas sólido-gas generalmente es importante a temperaturas elevadas como las encontradas en operaciones de cracking catalítico en lecho fluidizado, en reactores de lecho fijo o en reactores de tipo monolitico. A pesar de ello, no se han hecho cálculos exactos, ni siquiera en sistemas no reaccionantes. La causa de ello es que estos cálculos serían muy dificiles por las siguientes razones: a) Los elementos superficiales están estadíst icamente desordenados. La radiación de una partícula a otra ocurre de manera irregular, haciendo el aspecto geométrico del problema muy complicado. b) Se conoce muy poco acerca de la absortividad de la mezcla reaccionante. Generalmente se considera a las partículas como cuerpos grises, pero sólo en casos muy raros se conoce l a absortividad de la mezcla gaseosa fluyendo entre el sólido.

Hay tres modelos usados comúnmente en la literatura que describe la transferencia de calor por radiación en lechos empacados 1) Aproximar la mezcla heterogénea aleatoria de partículas sólidas y huecos por un arreglo geométrico regular de cuerpos sólidos arbitrarios y espacios vacíos. Ha sido usado en muchos tratamientos analíticos, como el de Argo y

111 - 1

F

Smith ( 1 1 ) y el de Chan y Tien (12). 2) El segundo método se basa en el tratamiento propuesto por Rosseland. En este caso, se asume que cuando la trayectoria libre media de un fotón es sólo una fracción pequeña de las dimensiones geométricas del medio absorbente, el movimiento de un quantum de energía radiante tiene lugar a l o largo de lo que podría considerarse como una trayectoria aleatoria. Este es un proceso de difusión de radiación semejante a la difusión de calor por conducción de calor a presiones ordinarias. 3) El tercer método, sugerido por van der Held (131, considera que los lechos empacados son un medio pseudohomogéneo, permitiendo la descripción del proceso de transferencia de calor por ecuaciones integrodiferenciales. Hamaker (14) propuso que sólo existían dos flujos discretos dentro del medio, uno positivo y otro negativo en la dirección de propagación, lo cual conduce a dos ecuaciones diferenciales por radiación.

En ocasiones es necesario recurrir a modelos más elaborados para considerar los efectos de dispersión cuando el espacio intrapartícula es menor que unas cuantas longitudes de onda.

Todas las expresiones derivadas para la radiación expresada como conductividad tienen en común una dependencia con el cubo de la temperatura absoluta y con la longitud de la trayectoria de radiación. Generalmente, la conductividad efectiva global del lecho es expresada por correlaciones como función de la conductividad del gas, del sólido y de la fracción vacía. Otros parámetros importantes son el tamaño de partícula y la presión.

En sistemas cataliticos también es de suma importancia determinar valores confiables de la conductividad térmica a nivel de pastilla, permitiendo estimar la tasa global de cambio cuando proceden reacciones no isotérmicas. Este efecto puede influir en la conducta dinámica del reactor como un todo, con la consecuente importancia en los estudios de estabi 1 idad.

Existe poco trabajo reportado sobre catalizadores soportados y el efecto de la tempefatura en la conductividad térmica no es suficientemente confiable para propósitos de extrapolación.

A continuación se presenta una' revisión de los principales artículos publicados a la fecha que tratan el problema del transporte radiativo, tanto en medios porosos como en lechos empacados.

I11 - 2

3.2 REVISION DE LA LITERATURA EXISTENTE

3.2. 1 ANFECEDEhrlES

Los trabajos fundamentales de donde parte el estudio de la radiación en medios porosos son las contribiiciories de Nusselt (15) y de Damkohler ( 16 ) .

En 1913 Nuscelt fij6 su atención en e l hecho de que dentro de un sistema de placas separadas, la radiación podia o no dominar el proceso aún cuando la temperatura fuera muy alta.

Si se considera la fig. (3.11, el flux total de calor en una celda unitaria de espesor 1 1 + 1 2 estará dado con la conducción en el sólido seriada con los mecanismos en paralelo de conducción en el gas y radiaci6n en el mismo.

F IGILIRA 3.1 . MOOEL0 DE PLACAS PARALELRC DE NUSSELT

T3 -

e l1 +

q = - k

( 3 . 1 )

I11 - 3

donde

T3 + T2 2 T =

rn

Entonces

k

3 A temperaturas altas kf es despreciable en comparación con 4fcT 1 2 .

De la ecn. (3.2) se pueden derivar dos casos límite

- k >> 4fcT3I2. Resistencia despreciable en el sólido

y el proceso de transferencia de energía está dominado por radiación.

+ k = S

(3.2)

(3.4)

En este caso el sólido domina el proceso global de transferencia. Así pues, se puede concluir que en el caso de procesos simultáneos de

conducción y radiación conectados en serie, la importancia de la contribución de la radiación depende de la conductividad del sólido.

Por su parte, Damkohler se enfocó hacia l a radiación dentro de los espacios intersticiales del lecho empacado y propuso la siguiente expresión

I11 - 4

para el flujo a través de una capa de partículas

1.4-

3dT dx - 4~lgT - qr - -

/ o

( 3 . 5 )

donde E representa el área seccíonal libre para la radiación y 1 es la longitud efectiva de una capa de partículas. Teóricamente I es del orden de 0.707 < I/d < 1, aunque en la práctica 0.9 < l/d < 1 es lo más usual.

P P

Hill y Wilhelm (17) realizaron un estudio de la contribución de la radiación en la transferencia de calor entre partículas sólidas discretas, realizando experimentos de medición en un lecho cilíndrico con aire estancado. El cilindro tenía una fuente interna de generación de calor en el centro y un sumidero en la pared. Las partículas eran esferas no porosas de alúmina con un diámetro promedio de 3.81 mm.

Los resultados de su trabajo se resumen a continuación 1 ) De las mediciones de tasas de transferencia y distribuciones de temperatura en el rango de 100 O C a 1000 O C a presión atmosférica se encontró que las conductividades efectivas y l o s coeficientes de transferencia de calor aumentaban con la temperatura. Sin embargo, no se encontraron efectos discernibles debidos al gradiente de temperatura.

FIGURA 3.2. RAZON DE TRRNSFERENCIR DE CALOR POR RADIHCION A TRANSFERENCIH DE CHLOR POR

?-T a 0°C t I - -

T Q O'C - - A; e -

2 ) En la f i g . (3.2) se ilustra la contribución de la radiación con respecto

I11 - 5

a la conducción de calor. Como puede notarse, l o s valores de kr /kc se incrementan desde

aproximadamente O. 1 a 100 OC hasta 1.2 a 1000 OC, en que la contribución de l a radiación es de 55% del total. El parámetro p - t representa la diferencia entre la reflectividad y la transitividad de una capa de partículas con espesor d . A 1000 OC, p - t = 0.4.

P

e f r v

3 . 2 . 2 MODELOS DE CELDAS

En un articulo publicado por Kunii y Smith (18 ) se hizo un estudio teórico de la conductividad térmica efectiva en medios porosos con huecos llenos con un fluido estacionario. Se consideraron tanto medios de partículas consolidadas como lechos no consolidados.

Se comienza con un análisis de.10~ mecanismos de transporte en un lecho de partículas no consolidadas. Estos son: 1 ) Conducción y radiación entre espacios adyacentes (gas no absorbente]. 2 ) Transferencia en la fase sólida través

a) de las superficies de contacto b) del fluido estancado alrededor de dichas superficies c) de radiación entre superficies sólidas d) de conducción en la fase sólida

Los mecanismos globales ( 1 ) y ( 2 ) se consideran en paralelo, con l o s

mecanismos a, b y c ocurriendo en serie. Por lo tanto, su expresión para la coductividad de estancamiento es

y + h + h r s ' - 1 + f 1 1 P

donde

1 = espesor de una placa que ofrecería la misma S

resistencia al flujo de calor que una partícula esférica

1 -= espesor de una placa equivalente a las partes de V

fluido cerca de los puntos de contacto h = coeficiente de transferencia para las áreas de

AL = longitud efectiva entre centros de dos pdtículas

P contacto entre partículas

sólidas en la dirección de transmición

( 3 . 6 )

I11 - 6

A l referirse a la radiación se dice que aún para sistemas gaseosos las contribuciones de la radiación son despreciables, excepto para partículas relativamente grandes y temperaturas elevadas ( mayores de 480 OC I .

Después se extiende la teoría a medios consolidados argumentando que muchos medios porosos se originan por sinterización o "pegado" de lechos de partículas no consolidadas. En este caso, se considera que el calor fluye de manera similar al de las partículas no consolidadas, es decir, a través del espacio vacío en paralelo con la fracción sólida. En esta última fase el flujo es en serie a través de un sólido de espesor iI; y de un gas de espesor 1' dentro de los poros.

9

donde

E = fracción vacía de un lecho de partículas no consolidadas

E' = fracción vacía de partículas consolidadas porosas

Las ideas de Kunii y Smith son muy semejantes a las expresadas en un artículo publicado por Harriot (191, en que se revisan tres métodos simples para estimar la conductividad efectiva de sólidos porosos. Las correlaciones del estudio de Harriot se basan en los modelos de: (1)

contacto puntual o modelo de lecho empacado, (21 partículas consolidadas, que es un modelo con contacto limitado y ( 3 ) sólido poroso, con gran área de contacto. Los arreglos se ilustran en la fig. (3 .3 ) .

De acuerdo con Harriot las transferencia de calor por radiación se hace importante en - lechos empacados a temperaturas mayores de 100 O C ; sin embargo, el proceso es despreciable dentro de las partículas porque la distancia entre granos es muy pequeña.

Luikov et al. (20) propusieron un modelo de celdas en que se permitía un área de contacto finito entre partículas. En su modelo tomaron arbitrariamente un radio de contacto de 0.2 d . Para tomar en cuenta la radiación en los huecos usaron la expresión de Loeb (211

P

I11 - 7

3 k = 4nlecrT r

donde n es un parámetro que vale uno para esferas. La ecuación de Luikov puede expresarse en la forma

ni + rc] it + [ l+Nu -5 (1-0.264e)- d

k 1 k k -1

(h/d kf P P ( 3 . 8 )

[I - y2 + 2[ [I + 1, kf + [ 1 + Nu k -5 (1-0.264e)- nl1-1~ ~ - 1 I- '

S P

d kf

donde

4 u d T 3 1

e

P k Nu = _ - 0.264 s

r es la resistencia global de contacto y h / l es la relación entre una .

longitud característica de la estructura y el tamaño equivalente de poro.

FIGURA 3.3. ESTRUCTURH DE PflRTICULRS POROSRS: CAI

CONSOLIDADOS: CC) MODEL-O DE SOLIDO POROSO MODELO DE LEC110 EMPACADO: (B) MODELO DE SOLIDOS

n H R u

r . : .f : , . a ..'. * . .:. J . . . . . . . . . ..v.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . C

(contocto pmtual) (cmtocto I igEIro1 (part. fusionadas)

111 - 8

Sharma y Hughes (22) midieron la conductividad térmica de pastillas hechas tanto de soporte para catalizadores de silica-alúmina y silica como de catalizadores de niquel soportado, preparados por impregnación y por coprec i pi tac ión.

Se compararon los valores medidos con los modelos de sólido poroso de Harriot (19) y de poros al azar de. Butt (23) y se propuso un nuevo modelo en que se extendió el modelo de poros al azar desarrollado por Wakao y Smith (24) agregando una contribución de la conducción seriada en los microporos y en la fase sólida

K = 2/( ser

1/K + c l/K. 1 (3.9)

Esta contribución fluye a través de un área

A = (

Se dice que a temperaturas mayores de 100 OC la contribución de la radiación entre las superficies de las partículas puede ser importante y su magnitud puede ser estimada por la correlación de Damkohler.

Se observó que el método de preparación del catalizador tiene una marcada influencia sobre la conductividad global por la diferencia en los contactos metal-metal.

Seagusa et al. (25) estudiaron la conductividad térmica de materiales porosos con porosidad limitada variando sistemáticamente la fracción vacía del material. Para establecer el modelo se consideró un cilindro de altura 1 y

diámetro 2l/n que tenía en su centro un hueco esférico de diámetro 2r, según se muestra en la fig. ( 3 . 4 ) . Para considerar el transporte por radiación dentro del hueco, la esfera fue dividida en n bandas de igual ancho (2r/n) y área AA.

Considerando superficies internas grises de emisividad e , el flujo radiativo net6 desde la banda i a la superficie de la esfera es

( 3 .10 )

Usando la temperatura media del hueco, T m

111 - 9

= A A h ( T i - T Qi -esf m

(3.11)

donde

h = 4 e < r T m 3

r

F I GURR 3 . 4 . REPRESENTAC I ON DEL C I L I I\IDRfl Y EL HUECO ESFERICO DEL MODELO DE 1-RANSFEREN- CIR DE CALOR DE SERGUSR ET AL.

La expresión usada para la conductividad térmica del material fue una

ecuacibn de Eucken (26) modificada para incluir el término de radiación

k 1 + 2&( 1-7 I / ( 2a + 1 1 E-- l - E( 1-7 ) / ( 27 + i-7- e - (3.12)

donde

a = (ks/kf) exp( -0.2Nu 1 L

Nu = 2r-hr/kr

En l a fig. (3.5) se muestra el efecto del término radiativo del hueco esférico para la alúmina.

I11 - 10

FIGURR 3.5. EFECTO DE LR TRRNSFERENCIR DE CRLOR RAOIATIVA EN LA CONOUCTIVIDAO TERMICA DE LR ALU- MINR POROSR TENIENDO DIFERENTES PROPIEDADES

10 1 \7idad = O LI : d=Omm

L2: d=3mm e=0.9 L3: d-3mrn e-0.3

n 7 L4: d=3mm e=O.O (2

O' 4 m 800 1203 I a 0 2000 T í °C3

Fujitsu et a l . (27) presentaron un modelo para la estimación de la conductividad térmica efectiva de materiales refractarios aislantes de acuerdo a los arreglos mostrados en la fig.

La fig. (3.6a) representa un sólido microporoso en el cual se tienen macroporos esféricos uniformemente distribuídos. Para este caso la conductividad térmica efectiva del material puede ser expresada por la ecuac i ón

(3.6).

PI . ,.

donde

k = conductividad efectiva del sólido microporoso

- E : = porosidad de macroporos U

a = 1.209 E:' M

1 /L = O. 8271 P M

(3. 13)

Asumiendo que las superficies son grises y que el gas contenido en los

I11 - 11

t

huecos es no absorbente, el coeficiente radiativo de transferencia de calor puede ser expresado como

h = 4 c r T 3 e (3. 14)

Por. su parte, la conduct ividad térmica efectiva del có1 ido microporoso, ilustrado en la fig. (3.6b1, se calcula por

donde

L

k' k = (1-E + & kf kf rn

E = porosidad del sólido microporoso ki = conductividad molecular del fluido

FIGURA 3.6. MODELO DE TRANSFERENCIf3 CALOR DE CALOR Y DISTRIBUCION DE POROS CEGIJI\I F U J ITSU ET AL.

m

paro esférico poro c i I índrico s61 ido

4

I- I------ -I

-* t -1 -

(con mcrcporos esféricos) (sólo microporos)

(3.15)

Las ecuaciones anteriores fueron comparadas con los valores

experimentales de conduct ividad de muestras de caolín, enconlrándose una concordancia adecuada eiilre las predicciones y el experimento. Es

iriteresante hacer notar que en experimentos con un gas absorbente, una mezcla de COZ con aire con 60% COZ, las correlaciones resultaron válidas.

Wakao y Kat0 (28 ) estudiaron lechos empacados con estructuras

I11 - 12

ortorrómbicas incluyendo efectos de radiación. El arreglo geométrico usado para su modelo se muestra en la fig. (3 .7) .

FIGURA 3.7. MODELO DE TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION SEGUN WAKAO Y KAT0

A

H‘ I ’

Los autores asumieron que los huecos estaban llenos con un gas estancado no radiante y las esferas fueron circunscritas en una pared cilíndrica reflectiva, de tal suerte que las superficies hipotéticas HH’ y 11’ reflejaban difusivamente y no había transferencia de calor a través de las mismas.

Para este arreglo el calor radiante transferido de una superficie hemisférica a temperatura TI a la superficie adyacente a temperatura T está dado por

2

4 4 . IT (TI - T2)

q = 2 _ - O. 264 e (3 .16 )

En la fig. ( 3 . 8 ) se muestran los resultados de sus cálculos. Fueron real izados u&mdo un factor de transferencia Único para la radiación definido como

1 f=2[;-l]+ 2 - - _ - 0.264. + f12 e

(3. 17)

I11 - 13

fI2= O. 152

Este factor puede ser incorporado en un número de Nusselt

Nu = 4 f (r d T 3 / k P m =

donde Tm es la temperatura promedio de la celda.

FIGURA 3 . 8 . CONOKTIVIOfC iES CALCULRORS POR WWAO

1 o000

I O00

U Y \

Y 100

IO

1 1

Y KAT0 PRRA UN LECHO DE ESFERfiS ORTORROMBICRMENTE 3TRUCTURADRS

I O la3 K S í K F

(3 . 18)

1 .o

Nu o. 1

0.001

- O00 1

O

Cuando los espacios están llenos con un gas no transparente, Wakao (29)

sugirió una corrección a f de la forma

1 2 1 + f (1-e f = [ 2 [; - 11 +

12 f ) (3 .19 )

Wakao indica que en la mayoría de los casos -a radiación del gas no tiene efecto apreciable en la conductividad efectiva del lecho.

-

Zenher y Schlünder (30) usaron un arreglo similar al de Wakao y Smith. Su ecuación para la conductividad del lecho viene dada por

I11 - 14

k /kf = (1 + &NU ) ( 1-d 1 - E ' + e r

p(1 + NU /X) - (3/X 1 + Nu /X

(1 + Nu /X - p/X)'

+ r 11 + [ 1 + Nur/X - p/X - 1

2 d l - & ?

1 + Nur/X - p/X

B - 1 -

1 + NU /X - @ / X 2p/x

(3.20)

donde

Nu = 4cd T3/(S/e-0. 264)/ks P

C = factor que depende de la forma de las partículas. C=l. 25 para esferas.

Schotte (31) desarrolló una correlación para predecir la conductividad térmica de lechos empacados para distintas condiciones de presión, temperatura y tamaño de partícula. E l autor calculó que la radiación es

importante para partículas de 1 mm a 400 O C y para partículas de O. 1 mm a 1500 OC.

Se consideró que para describir la radiación entre los planos localizados antes y después de una partícula, se deben incluir dos contribuciones. La primera es la radiación que pasa por el espacio vacío frente a la partícula, dada por

T C S E dT Q = - h (-d -)(d -1 rv r 4 p 1-E p dx (3.21)

donde d (dT/dx) es la diferencia de temperatura entre los planos antes mencionados. La segunda es la radiación desde partículas ocurriendo en serie con la conducción a través de la misma

P

Entonces

(3.22)

Qr = Qrv + Qr,serie

I11 - 15

Ahora, se puede definir una conductividad por radiación si consideramos que Q puede ser descrito como

r

n 2 l dT Q = - k ( - d - 1 -

r 4 p 1-E dx (3.23)

El término entre paréntesis representa aproximadamente el area total efectiva de transferencia disponible para una partícula.

Entonces, comparando (3.211, (3.221 y (3.23)

1 - E + ch d

1 1 r P + k =

+ E' S r

(3.24)

Si consideramos un factor de vista unitario y que el factor de emisividad es cercano a la emisividad de la partícula, el coeficiente de transferencia de calor por radiación entre una partícula y sus alrededores puede ser aproximado por

h = O. 692eT3/108 Btu/hr/ft2/'F

Así pues, Schotte propone que para evaluar la conductividad térmica efectiva se use la correlación de Deissler-Enian (321, con la conductividad térmica del gas corregida por presión, y que después se le sume la contribución de la radiación.

La correlación fue probada con los datos experimentales a altas temperaturas (hasta de 800'C) obtenidos por Yagi y Kunii (331, lográndose resultados satisfactorios.

Resulta interesante resaltar el hecho de que se encontró que a las temperaturas más altas la contribución de la radiación alcanza el 80% de la conduct ividad total.

Un trabajo semejante fue desarrollado por Wakao y Vortmeyer (341, quienes desarrollaron una relación teórica entre la conductividad térmica efectiva y la presión del gas en un lecho estancado.

Se encontró que la conductividad podía ser expresada como la suma de tres contribuciones

k = kc + k + kcont

I11 - 16

(3.25)

donde k = contribución de la conducción sólido-gas cuando las C

partículas están en contacto puntual k = contribución de la radiación sólido-gas cuando las r

partículas están en contacto puntual = contribución de los contactos sólido-sólido cuando

cont k

dichos contactos tienen un área finita

Para describir el efecto de la presión se definió un parámetro L

(llamado parámetro de presión) definido por

(3.26)

donde

h = trayectoria libre media a = coeficiente de acomodamiento

Se encontró que la conductividad por radiación es ligeramente dependiente de L

f , Nu(0.5 k E = 1 + 0.7Nu c kr = k x f

r , L m c (3.27)

donde fc es un factor de corrección expresado en forma gráfica en función de k / k f .

3 . 2 . 3 MODELOS CONTINUOS Los trabajos anteriormente mencionados usaron modelos de celdas, los

cuales tienen la desventaja de despreciar cualquier efecto de radiación de largo alcance a través del empaque. Para cubrir este defecto se ha trabajado en modelos que consideran que el lecho forma un continuo para la rad i ac i ón .

Viskanta (35) desarrolló un modelo de dos flujos, es decir, un modelo que considera un flux I+ en l a dirección positiva de propagación y un flux I - en la dirección negativa, de tal suerte que

L

= I + - 1- qr

I11 - 17

(3.28)

De acuerdo con Viskanta

o0 - 2 1 - o )cT4 - o I+K

(3.29)

(3.30)

donde K es el coeficiente de extinción y o. es el cociente dispersión/extinción.

Estas ecuaciones fueron simplificadas por Vortmeyer (361, quien las escribió como

8 dT 1 d2qr I+ - 1- = q, - - - ~

2 cT3 - +

a + g dx a - g2 dx2 (3.31)

donde

2 (1+B12 + (l+B)(l-B)(l-e) (1-B) ___- a =

P (1+B12 - (1-Bl2(i-eI2 (1+B) d

(1+B12 - (l+B)(l-B)(l-e)e (1-B) ___- b =

P (1+B12 - (1-BI2(1-el2 (1+B) d

a = b + g

La transmisión de radiación fue tomada en consideración mediante el parámetro B (llamado número de transmisión de radiación), que es una función de la porosidad del lecho y de la emisividad de las partículas. Para lechos con porosidad de 0.4, el valor promedio de B es del orden de o. 1.

L

Bajo condiciones ópticamente densas el segundo término del lado derecho de la ecn. (3.31) es muy pequeño con relación al primero, por lo que una aproximación razonable es escribir

I11 - 18

(3.32)

De aquí podemos definir una conductividad por radiación

( 3 . 3 3 )

Yang et a l . (37) estudiaron la transferencia de calor por radiación en un lecho de esferas uniformes empacadas aleatoriamente, empleando una técnica de Monte Carlo para simular el haz de energía viajando a través de los huecos. El modelo físico, se muestra en la f i g . (3 .9 ) .

FIGURR 3.9. MODELO FISICO DE YANG ET AL. DE UN LECHO EMPACflDO ALEATORIAMENTE CON ESFERRS DE IGUAL DIAMETRO

T i L

Se utilizaron los resultados de la transmisión de energía para predecir el coeficiente efectivo de absorción, la sección transversal de dispersión y la conductividad de radiación.

La base teórica para la investigación es el modelo de dos flujos expresado en la forma

-

- - d1 - - (a + s11- + SI- d x -

(3.34)

(3 .35 )

I11 - 19

donde

a = coeficienle de absorción efectivo s = coeficiente de dispersión

La conduclividad térmlca radiante, def'iriida como

puede ser evaluada de acuei-do con la relación de Clieri y Cliurcliill (38)

(3.36)

o con la aproximación de Rosselarid (39)

16 <r T3 3(a + c ) k =

FIGURA 3. 10. CURVA NORMhl.IZhlM DE 'TRANSMISION DE ENEI\CIA RA- D IANTE PARA ESFERAS DE ACERO

(3.37)

(3.38)

FIGIIRA 3. 1 1 . CURVA NORMALIZADA I)!: ' IRANSMICION DE ENEIiGIA IM- 1) I ANI'E PARA ECFEJIAS DE ALUM1 N I O

En las f i g s . (3.10) y (3.11) se comparan los resultados de la simulación con los valores experimentales de Clieri y Ckiurclii 11 . Corno puede observarse, existe una concordancia cualitativa. Las discrepancias son atribuídas múl t lples causas, principalmente desviaciones en los dalos de emisividad reportados eii la literatura y limitaciones en las suposiciones del modelo.

111 - 20 1 0 4 4 4 9

Las teorías quasi-homogéneas predicen que la conductividad efectiva del lecho k es la suma de la conductividad efectiva sin considerar efectos de radiación kc más la conductividad por radiación k .

e

r En términos generales kr tiene la forma

k = 4 f c d T3 P

( 3 .39 )

En contraste con los modelos de celdas, la ecuación anterior no contiene ninguna relación entre la conductividad del sólido y k . En la f i g . (3.12)

se presentan los factores de forma f de algunos de los principales modelos encontrados en la literatura.

FIGüRA 3.12. FHCTORES E F0RI.e PAW RLIXINOS MODELE EN FUNCION E LR EMI- SIvIOm I "'I vo r trneyar/

0.0 0.0 D.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.13 0.Q 1.0

EMlSIVIWO

En un excelente trabajo de revisión, Vortmeyer (40 ) examinó y comparó los diversos modelos que se han propuesto para determinar la conductividad térmica de lechos empacados tomando en cuenta efectos de radiación. Su

objetivo era establecer cuándo los modelos continuos y los modelos de celdas concuerdan bien y cuándo entran en conflicto.

En las f i g s . (3.13) y (3.14) se comparan los modelos de celdas de Wakao y Kato, Kunii y Smith, Zehner y Schlünder y Schotte. En la f i g . (3.15) se presentan l o s resultados para los modelos pseudohomogéneos. -

Como puede observarse, todas las correlaciones dan resultados semejantes en el rango de Nu pequeños y emisividades altas (esto representa contribuciones de radiación pequeñas o conductividades de sólido altas). Para valores de Nu grandes, las desviaciones son mayores, especialmente cuando k /k es pequeño debido a la creciente importancia de la resistencia de la fase sólida como paso controlante.

s f

I11 - 21

O Kunl I y Sml t h FIi o. I

A Zehner y Cch I under

UL . . . lorn0

lmo .

L L ernisividud-I.

k'00

Y \

Y

10 I00 ICíD KS/KF

I

FIEIF37 3.13D. TRT'FfUK1011 Ix LM; PREUITI'IO M S TiF LOS NO(fLOS Li t . Y U l J l l Y SMIlH. ZEttER

A Zetiner y Cctilunder

louxl

lax, ~

ernisividcid-0.1 U Y -. Wi00 Y

10

im, imx> 18- . . , . . . .

I 10 IM KS/G

a

FIü.RFi 3.15R. C C W M C I O I J E Lp6 PREOICCIQEC E- L E MOOELOC E %O Y SMITH. m333 Y KRTO

I no, 1- , VORlMEfER

0 Argo y s m i tti

rneye r

vidad-I. / dod-U. 5 "/ P

I .o

t4.J 3. I

3 .Wl

.mi

O

I11 - 22

3 . 2 . 4 OTROS MOLIELOS

Otro método usado para describir el flujo de radiación en un medio poroso, llamado método de volumen promediado, fue propuesto por Uhitaker

(41). El sistema, mostrado en la fig. (3.161, consiste de una matriz rígida conteniendo un gas estancado. Se asume que el gas es transparente a la radiación y que el sólido es un cu'erpo opaco y gris.

FIGLIRR 3.16. MODELO UE UN MEDIO POROSO RIGID0 SEGUN 1-0 DESCRIBE WtiITAKER

I

porc

promed i o

de Fi,

Despues de considerable manipulación matemática, Whi taker obtuvo la siguiente ecuación para el transporte de energía térmica

donde < > indica promedio espacial. Se puede pensar en una propiedad <$>

como una función espacialmente suavizada definida en el centroide del volumen promediado

(3.41)

En la ecn. (3.401, el primer sumando representa la contribución por conducción de calor, c<T>~B es el tensor lineal de conductividad de energía radiante, el tercer sumando es la contribución no lineal de la radiación al flujo de calor y el último sumando representa un término pseudoconvectivo

I11 - 23

de transporte de energía radiante. h es un vector de transporte de energía radiante asociado con los efectos anisotrópicos tanto espaciales como estructurales y se ha sugerido que es proporc'ional a la fracción porosa.

La teoría indica que B, h y C dependen de la emisividad, de la estructura geométrica del medio poroso y de las propiedades físicas de las dos fases.

A l referirse al término pseudoconvectivo, Whitaker dice que representa una importante contribución al transporte de energía en un medio poroso no homogéneo y en los límites del lecho empacado.

En un artículo publicado por Huber y Jones (421, los autores llaman la atención sobre un hecho muy importante: que en tanto que la transmisión de calor por radiación en lechos empacados ha recibido atención tanto desde el punto de vista teórico como experimental, el intercambio simultáneo de calor en condiciones de flujo ha sido despreciado.

Por ello, se hizo un trabajo experimental cuyo objetivo era inferir valores de los parámetros de transporte de calor en función del Reynolds, el tamaño de partícula y la temperatura, bajo condiciones en que el proceso de radiación es importante.

FIGWiA 3.17. CONWCTIVIDAD TERMICA EFECTIVA CORREGIDA PflRA CONDICIOMS DE ESTflNCRMIENTO CDMPWRDAS CON LA CORELACION DE YAGI Y KUNII

4.5 o 19.8 mn

4 .O - Y

\

2 3.5

2 3.0

y 2.5 2.0

1.5

1 .o 0.5 L

o 12.7 rn o 9.0 rnm

/ A

O 0

5 3.0 mm

O i o

O I o.oL 1

300 600 900 1?00 Temperatura (K)

Para su trabajo, Huber y Jones emplearon el método de estimación de parámetros a partir de mediciones de respuesta en frecuencia cuando una

I11 - 24

.

perturbación sinusoidal de temperatura era impartida a la temperatura del gas de entrada. La radiación fue considerada por medio de una conductividad térmica efectiva en la ecuación de energía para la fase sólida.

Como puede verse en la fig. (3.171, los datos muestran una fuerte dependencia con la temperatura, la cual se incrementa con el diámetro de partícula. Los valores de la conductividad térmica de estancamiento se obtuvieron restando del valor medido experimentalmente la contribución convectiva propuesta por Yagi et ai. (43)

- e,ax k ko = O. 7 RePrkf (3.42)

Aunque no se observa una concordancia cuantitativa, la tendencia exhibida por el modelo es correcta.

3.2.5 LA RADIACION EN REACTORES QUIMICOS

Toda la revisión presentada hasta ahora trata el problema de la radiación en un medio donde no ocurre reacción química. De hecho, existe muy poco material escrito que trate el problema de la radiación en reactores catalíticos.

Vanderveen et al. (44) utilizaron un modelo de celdas para determinar las condiciones necesarias y suficientes de estabilidad de un reactor adiabático en que ocurre una reacción exotérmica, de primer orden e irreversible.

En la consideración del efecto de radiación se supuso que el gas era no absorbente, que el factor de vista era independiente de la posición y que la emisividad era independiente de la temperatura.

Se observó que el efecto de un mayor retromezclado de calor por radiación era desplazar la zona de reacción hacia la entrada, aumentando el tiempo necesario para alcanzar el estado estacionario.

Vortmeyer y Jahnel (45) estudiaron el fenómeno de las zonas de reacción móviles en un lecho empacado, usando unos datos cinéticos semejantes a aquellos empleados por Wicke et a l . (46) para la oxidación de etano con aire sobre un catalizador de Pd/A1203.

flux de radiación mediante el modelo de dos flujos. El reactor fue modelado como homogéneo y unidimensional, y se calculó el

En la fig. (3.18) se muestra la respuesta transitoria del reactor a un

I11 - 25

proceso de igt i ic ibn en dos situaciones d i s t in tas . Mientras que en e l caso

( a ) l a temperatura f l na l a l tiempo cei.0 es muy baja y por e l l o e l lecho

debe ser' caleiitado para obtener un p e r f i l móvil de reacción, e l caso (b) representa l a s i tiiación opuesta.

FIGURIl 3-18. UUS EJEIPLOS DE PERFILES DE IGblICICN ESTUDIADOS FOR VORTNEYER Y Jflt-iiEL

Se

su ve

ecuac

I50

nodtofton

650

.--. Y -...

u Y

b- 600. t-

550

002 003 o04 00s 006 001 ooe o09 on> 1 [.I1 0 o02 o03 004 005 006 007 O08 009 010

' bl encontró que l a radiación no caiiibia l a forma de las curvas,

locidad de desplazamiento. Csla velocidad puede ser calculada

ión de l a forma

w = a ua cb dC - puo o Go p

donde

= velocldad del gas a condiciones NTP

c = concentración de entrada de reac t i vo a u.

Go - condiciones NTP

a , p = parámetros dependientes del sistema

a, b, c = exponentes de a juste

pero sí

por una

(3.43)

En l a fig. (3.19) se muestra l a iiií'lueiicia de l a radiación sobre u. Mientras que para e l caso de omilii- l a I-adiación e l va lor observado de a es

111 - 26

0.77, la radiación reduce este número a 0.73. Por otra parte, cuando se desprecia la radiación el valor c=O.O69

describe adecuadamente el proceso, mientras que cuando sí se considera, el exponente ya no se mantiene constante (0.067 < c < 0.0751.

FIGURA 3.19. VOLORES CALCULADOS DE LA vELocIom DE DESPLAZAMIENTO COMO F'UNCION DE LA VELOCIDFiD Y

CONCENTRRCION DE ALIMENTRCION. CON Y SIN RADIKION

0.007 -3.0

0.00 0.05 o. 10 O. 15 0.20 LI (m/s )

Vortmeyer y Stahl (47) estudiaron los procesos de ignición-extinción en un reactor consistente de diez capas separadas de partículas catalíticas en el cual ocurre una reacción exotérmica (la oxidación de etano con aire sobre un catalizador de Pd/A1203). Debido a la naturaleza del arreglo no existe contacto entre las partículas, dejando a la radiación como el único mecanismo de intercambio.

Se encontró que debido, al retromezclado de calor por radiación, el sistema se comportaba más como un medio pseudohomogéneo que como un sistema de partículas individuales. La ignición se iniciaba en la Última capa de partículas, desplazando la zona de reacción a la entrada del reactor. Esto es muy semejañte a lo que ocurre en un reactor de lecho fijo.

Con base en lo anterior, se procedió a tratar de describir el sistema por medio del modelo homogéneo de dos fases usado en lechos fijos, sólo que en este caso el flux de calor no es proporcional a la conductividad efectiva del lecho, sino a la conductividad efectiva considerando mecanismos seriados de conducción-radiación en cada capa.

I11 - 27

1 + --- 4cTd3 I-' P

k (3 .44)

Se encontró que el modelo predecía temperaturas de ignición que en promedio eran 10 K menores que las .experimentales. La explicación propuesta es que l a falta de puntos de contacto elimina áreas privilegiadas de transmición de calor.

3.2.6 TRABAJO DESARROLLADO EN LA UAMI

De Anda (9 ) realizó un estudio numérico sobre la transferencia de calor por radiación en medios sól idos porosos y en lechos empacados con generación interna de calor, el cual es el antecedente de donde parte este nuevo trabajo.

En esa tesis se hace primeramente un desarrollo de los modelos que describen los procesos de transferencia de calor en un medio sólido poroso-gas.

9.1 expresión para ei balance de energía en una placa porosa con gas

estancado es

(1 au + 9 ) ( 1 + K) V2u + R v2u4

9

donde

(3 .45)

De estos parámetros, el más importante para nuestros propósitos es R , pues compara l a influencia del flujo de calor por radiación respecto del de conducción dentro del sólido poroso. En la f i g . (3.20) se muestran los

valores que toma R cuando se utilizan unas propiedades muy semejantes a las de la a-alúmina.

9

9

S i se desarrolla el término de V2u4 se obtiene

I11 - 28

(3.46)

donde 3

K = i + K + 40 U 4

A = -12R u2 vu 4

Por su semejanza con el término convectivo de la ecuación de difusión-convección, el término A fue llamado término pseudoconvectivo y fue visto como una corrección al número de Peclet de calor.

La parte más interesante de este modelamiento es la forma en que se trata el flujo radiativo: se considera que el proceso de radiación es un fenómeno que se comporta diferente a la ley de Fourier, siendo más adecuada su descripción por una aproximación del tipo Rosseland, en que la radiación es directamente proporcional al gradiente de temperatura elevada a la cuarta pot enci a.

De Anda realizó tres tipos básicos de experimentos numéricos. En la primera de estas simulaciones se analizó la conducta dinámica de un material sólido poroso (a-alumina)' en donde se tenia una fuente constante de generación de calor. Se estudió la transmisión de calor comparando las soluciones obtenidas con modelos que únicamente contemplan la difusión de

I11 - 29

calor frente al modelo que considera el efecto pseudoconvectivo de la radiación h además de la difusión.

En el segundo experimento se estudió la difusión y la convección en un intercambiador de calor constituído por un lecho empacado en el cual se tenía un gas con alta temperatura a la entrada. Se hizo un análisis de sensibilidad con los parámetros adimensionales del modelo, especialmente de los que surgen como consecuencia de haber considerado efectos radiativos en

el interior del intercambiador. Para la tercera simulación se utilizó nuevamente el modelo de

intercambiador, solo que ahora en régimen dinámico. Se estudio el fenómeno de generación de ondas térmicas inducidas por la radiación cuando se toma en cuenta el término h. Para producir este fenómeno se experimentó con un decremento brusco en la magnitud de la energía térmica producida por la fuente de calor.

De sus resultados, de Anda da las siguientes conclusiones: "1) Para que en,una placa porosa de a-alúmina se manifiesten fenómenos pseudoconvectivos debidos a la radiación, se requieren gradientes de temperatura muy elevados y diámetros relativamente grandes en los granos que conforman el material . . . que es cuando se puede observar claramente la onda térmica.. . Por otra parte para estas condiciones la contribución del flujo pseudoconvectivo de calor al flujo total del mismo es del orden de un 5%". "2) Del análisis de sensibilidad de los parámetros adimensionales efectuado en un intercambiador de calor con flujo de gas podemos concluir lo siguiente:

Número de radiación, S2 : se notan diferencias de temperatura mayores al 9

5% sólo para números de Peclet bajos (Pe < 1) y valores de R > 0.01. 9

Biot de radiación de la pared, Birw: . . . no obstante que sean muy pequeños los efectos de radiación entre la pared del intercambiador y el gas que pasa a través de este no se pueden despreciar aunque en alguna forma es posible incorporar dichos efectos dentro del Biot de pared Biw". " Biot de radiación, Bi : al considerar la radiación en la condición de frontera encontramos algo similar al caso anterior, es decir, los perfiles que se obtienen al variar el Bi son similares a los encontrados al variar el número de Biot, Bi, pero son mucho más sensibles los perfiles de temperatura a cambios en el número de Bi que a l o s de Bi . . . ' I .

" 3 ) Del análisis dinámico del intercambiador podemos decir que la 'onda viajera' de temperatura debida al término pseudoconvectivo tiene una

-

I11 - 30

t

contribución no mayor al 5% al flujo total de calor local. Hay que considerar que en reactores altamente exotérmicos los gradientes de temperatura son aún mayores que los probados en esta simulación y pudiera ser que la contribución del término pseudoconvectivo es aún mayor para estos casos, además para análisis de estabilidad en reactores contribuciones de un 5% pueden ser muy importantes sobre todo en reacciones donde se corre el riesgo de sinterización del catalizador cuando se excede la temperatura de operación del mismo".

Como puede observarse, todo el trabajo se hizo sobre sistemas que incluyen únicamente transporte de calor, es decir, sin involucrar procesos de reacción química. Sin embargo, se sugiere que el estudio de reactores puede ser importante.

L

I11 - 31

4. FORMULACION DEL PROBLEMA

4.1 INTRODUCCION

En este capítulo se desarrollan las ecuaciones que rigen el comportamiento de los tres sistemas de interés en este trabajo:

a) Placa porosa con generación interna de calor

b) Intercambiador de calor con fuente de radiación

c) Reactor tubular de lecho fijo, adiabático y no adiabático

La idea es observar la influencia de la dispersión axial de calor por radiación en un sistema sólido-gas en que se presentan interacciones con otras formas de transporte, pasando desde sistemas muy sencillos como la placa porosa sin término de convección, hasta sistemas más complicados como un reactor heterogéneo en que ocurre una reacción altamente exotérmica y en el que se permite la variación de la velocidad con la temperatura.

La relación entre estos sistemas surge cuando consideramos un enfoque semejante al propuesto por Harriot [19) , según el cual muchos catalizadores tienen una estructura muy similar a la de un lecho empacado. Las partículas catalíticas consisten de un arreglo de pequeños granos interconectados por poros irregulares; a su vez, estos pequeños granos están formados de pequeños cristales o de partículas sólidas densas. La diferencia básica

I V - 1 1 0 4 4 4 9

entre un lecho 'empacado y una partícula catalítica es el tamaño de poro.

Se considerarán tres puntos de vista Modelo I . La radiación es un fenómeno secundario cuya influencia

en los comportamientos estático y dinámico es muy pequeña y, por lo tanto, despreciable.

Modelo 1 1 . La radiación puede ser tratada como un proceso tipo Fourier, en el que se puede definir una conductividad térmica corregida por radiación. Entonces, el proceso se toma en cuenta como una contribución aditiva al fenómeno de conducción a través del incremento de la conductividad térmica efectiva.

Modelo 1 1 1 . La radiación es un fenómeno independiente de la conducción y tiene características propias. En su modelamiento es más adecuado recurrir a una aproximación del tipo Rosseland que a ecuaciones tipo Fourier .

E l tercer enfoque es el más adecuado desde el punto de vista teórico. En la ley de Fourier el flux es proporcional al gradiente de temperatura elevada a la primera potencia, lo cual no está de acuerdo al conocimiento que se tiene de los procesos de radiación: es bien sabido que en ellos los flujos de calor son función de la temperatura elevada a la cuarta potencia. La aproximación de Rosseland cumple con este requerimiento.

Como se expresó en el capítulo anterior, al aplicar el Modelo I 1 1 surge una cuestión interesante. A la luz de la aproximación de Rosseland el fenómeno radiativo genera dos contribuciones al proceso global de transferencia de calor; la primera de ellas es de tipo difusivo, en que el aumento de la conductividad térmica es función de la temperatura al cubo y la segunda es un efecto que, por su semejanza a la expresión del término de convección, fue llamado término pseudoconvectivo.

La importáncia real de las distinciones entre los diferentes modelos será determinada a través de la simulación en computadora de procesos estáticos y procesos dinámicos, comparando los perfiles de temperatura bajo cada uno de estos enfoques.

En este capítulo se establecen las ecuaciones básicas para el modelamiento.

IV - 2

t

4.2 MODELAMIENTO MATEMATICO

4 . 2 . 1 ECUACION PARA EL TERMINO DE RADIACION

Considérese un medio sólido opaco que tiene huecos uniformenente distribuidos en todo el volumen y supóngase que la temperatura únicamente es función de la coordenada axial x.

De acuerdo con la ley de Stefan-Boltzmann, el flujo de calor por radiación puede ser expresado como

( 4 . 1 )

donde f es el factor de forma y Atr es el área efectiva disponible para la transferencia de calor.

Para placas paralelas semi-infinitas, considerando las superficies como cuerpos grises de emisividad e

f

Por supuesto cambiarse por el

- e - 2 - e ( 4 . 2 )

que cuando la geometría del sistema es distinta, f puede factor de forma adecuado.

Si la funci0n que describe el perfil de temperatura puede ser expandido en la forma de una serie de Taylor de primer orden, de tal suerte que

en t o nc es

d 4 T4(x + AX) - T4(x) = AX ,(T (XI)

y si TI = T(x) y T2 = T(x + Ax) L

dT Q = - Atrfc*Ax- dx

ux ( 4 . 4 )

( 4 . 5 )

Ahora bien, según se dijo en ,a -ntroducc--n de este capitulo, se puede pensar en los medios porosos y los lechos empacados como sistemas semejantes en cuanto a estructura, diferenciándose por el tamaño de los

IV - 3

huecos que los componen. Por lo tanto, definamos la cantidad 6 como la .distancia promedio entre las superficies, segíiri se ilustra en la f i g .

( 4 . 1 ) .

FIGURA 4.1. DEFINICION DE L.A DISTANCIA CARACTERISTICA 6 EN EL SISTEMA POROSO

Como el medio sólido se está considerando opaco, la distancia Ax para el intercambio de energía por radiación en la ecn.. (4.5) puede igualarse a 6. Por ello,

dT4 Q = - A f d - r tr dx ( 4 . 6 )

Como el medio es opaco, el área efectiva de Lransferencia puede tomarse como

Atr = E A ( 4 . 7 )

donde E es la porosidad del medio y A es el área seccional total. Así pues, l a ecuación para la transferencia axial de calor por radiación

en un medio poroso sólido-gas queda como

dT4 Q = - C A f d - dx ( 4 . 8 )

IV - 4

O

3 dT Qr = - A (4~fsOT ) (4.9)

de donde se puede definir una conductividad térmica por radiación

Modelo I11 : k = 4cfm3T3 (4.10)

Nótese la semejanza de esta ecuación con la de Rosseland y, en general, con las ecuaciones de los modelos continuos discutidas en la sección 3.2.3.

Es muy importante notar que, dada esta definición, kr está referida al área total, porosa y no porosa, de tal forma que

dT Q = A k - r r dx (4.11)

4 .2 .2 MODELO DE PLACA POROSA

E l modelo de placa porosa semi-infinita de espesor 2L con gas llenando los huecos nos permitirá verificar uno de l o s principales problemas que serán tratados en el estudio, a saber, la existencia de las ondas térmicas v i a j e ra s propuestas por de Anda ( 9 ) .

Para el desarrollo de las ecuaciones considérese un elemento diferencial de volumen en que el calor se propaga Únicamente en dirección axial, como el mostrado en la fig. (4.2). E l gas que llena los espacios está estático.

Supóngase que 1) E l calor se propaga de manera independiente por conducción a través del medio sólido y por radiación a través de los huecos. 2) La distancia característica O es lo suficientemente grande como para evitar que se produzcan efectos tipo Knudsen. Como ya se dijo en el cap. 2, cuando la trayectoria libre media de las moléculas del gas es del mismo orden de magnitud que las dimensiones de los huecos, la conductividad térmica del fluido se reduce. También se producen efectos de Knudsen para la radiación cuando el recorrido medio de l o s fotones es semejante a 8.

3) El gas es no-absorbente a la radiación. 4 ) Las propiedades físicas de los materiales, como la densidad, el calor especifico, etc., permanecen constantes. 5 ) Las superficies sólidas forman un medio gris.

Además, permitamos la existencia de fuentes internas de generación de calor, pero despreciemos los gradientes de temperatura interfaciales.

I V - 5

FIG. 4.2. MODELO DE PLACA POROSA

t--L +L+

Q

L

Entonces, estableciendo un balance de energía sobre el vo 1 umen

elemento de

- Término de entrada El calor entrante por conducci6n será modelado por medio de la ecuación

de Fourier

aT aT - A(1-C) - kr ax A& Qc = - k ax ( 4 . 1 2 )

en tanto que e l calor transferido por- radiación será descrito como

(4.13) a .r Q = - k - A r r ax

donde kr es l a conductividad por radiación. La expresión para k del modelo 111 se diccÜti6 en la sección anterior, en tanto que los modelos I 1 y I

serán discutidos posleriorrnente.

La cantidad de energía que entra es

( 4 . 1 4 )

IV - 6

- Término de salida Procediendo tie forma análoga con el término de salida

(4. 15)

- Término de generación La generación de calor será tomado en cuenta por medio de un término C,

que aunque puede ser una función de la posición, el tiempo, la temperatura, en el caso de la placa porosa se manejará como constante. G tiene unidades de energía por unidad de tiempo y unidad de volumen.

Q = G A A x (4. 16) gen

E l origen de la fuente generadora podría ser una reacción química, una resistencia eléctrica o cualquier otro dispositivo. Para el problema que nos ocupa en este momento, esto es irrelevante.

- Término de acumulación Dado que se consideró que las propiedades físicas se mantienen

constant es

En t once s

(4.17)

(4. 18) a T + G A AX = [ ( l - E ) p s c p s + E P Cp I A AX - at

9 9

Dividiendo entre AAx y tomando lim Ax + O

Como ks y kf son constantes

1 aT E] + G = [ ( l - ~ ) p ~ C p ~ + E P ~ C P ~ at + kfc

(4.19)

(4 .20 )

IV - 7

El primer sumando del lado izquierdo y el termino del lado derecho definen, respectivamente, una conductividad térmica efectiva y una capacidad calorífica efectiva. Sin embargo, como por lo general k »kf y p,»p , , se puede tomar sin mucho error kef = k s ( l - c ) y p,, = ( l -c)psCps.

El balance de energía se puede adimensionalizar por medio de las variables

T T

u = -

donde T es una temperatura de referencia. r

Entonces, tomando

Kr = 4cf0-.6T3

la ecuación adimensionalizada queda

au 3

au a2u a ae az2 az - - - - + -[ 4 R u + g

donde

k t e = 2

PSCPSL

Desarrollando la derivada de la ecn. (4.221

X z = - L

au - = [l + 4 R 21 a2u a22 - [ -1mu2Y]? + g

ae az az

(4.21)

(4.22)

(4.23)

Las condiciones de frontera adecuadas son:

IV - 8

Para el centro de la placa

z , = o , e 2 o (4.24)

Esta condición de frontera viene de la necesidad de mantener la continuidad y la simetría del perfil de temperatura en todo momento.

Para la condición de frontera en la pared de la placa (nótese que sólo es necesario considerar media placa porque, como ya se dijo, el perfil de temperatura es simétrico) se usará. una condición de frontera de primer clase, tratando de mantener la simplicidad del problema.

Como se recordará, una condición de frontera de primer clase o de tipo Dirichlet no homogénea es aquella que considera que la distribución de temperatura en la superficie del cuerpo estudiado es conocida en cualquier moment o

Para nuestros propósitos, la función f(z,e) será una constante.

z = 1 , e > o * u = u(1,O) = 1.2 (4.25)

El modelo 11, que corresponde a la práctica usual de corregir la conductividad por conducción mediante la simple adición de una corrección por radiación sería

a 2T aT k’ - + G = (pCp) ef at efaX2

donde

(4.26)

y kr corresponde a alguna de las correlaciones estudiadas en el capítulo 3. Para mantener la consistencia en las comparaciones de los modelos, se usará k según se describe en la ecn. (4 .21) . Por lo tanto, la ecuación adimensionalizada para el modelo I1 seria r

1v - 9

,

au a2u

ae az - = [ 1 + 4 R u3 ] - 2 + g (4.27)

Evidentemente, para el modelo I no se tomará en cuenta la radiación, por lo que su ecuación es

(4.28)

Ahora sólo hace falta establecer la condición inicial

o s z s i , e = o + u = u (z) (4.29) ee

Los perfiles iniciales u (z) para cada uno de los modelos serán calculados igualando a cero el término dinámico en la ecuación de balance apropiada, ecs. (4.231, (4.27) ó (4.281, y resolviendo bajo las condiciones de frontera

ee

u(1,o:l = 1.0 z = l +

z = o (4.30)

4 .2 .3 MODELO DE INTERCAMBIADOR DE CALOR

Con objeto de estudiar el efecto en el comportamiento de un sistema empacado del coeficiente de transferencia de calor hacia la pared y el efecto de la convección combinada con radiación, se utilizará el modelo de intercambiador con generación interna de calor.

Considérese el sistema mostrado en la fig. (4.3). Tomando el medio como pseudohomogéneo y proponiendo que se cumplen las suposiciones hechas para la placa porosa, se puede establecer un balance de energía unidimensional en un elemento de volumen con las siguientes contribuciones -

- Entrada Se tiene calor por conducción,

C (4.31 1

I V - 10 1 0 4 4 4 9

por radiación,

X

y por convección

I

( 4 .32 )

( 4 .33 ) X

FIG 4.3. MODELO PARA INTERCflMBIflDOR DE CRLOR

- Salida De forma semejante

Q = VP Cp T * A c -conv 9 9 x + A x

( 4 .34 )

(4 .35)

(4.36)

Además habrá otro término por la salida de energía por enfriamiento hacia l a pared

(4 .37)

IV - 11

donde aw es el Area de pared por unidad de volumen.

- Generación A diferencia del modelo de la placa porosa, en este sistema se usará un

término de generación cuya magnitud varía axialmente en la forma

donde Gx, a y b son números reales. Para las simulaciones en estado estacionario

Esta definición de C(x) se hace así porque, como l o apunta de Anda, esta elección particular produce perfiles de temperatura semejantes a los obtenidos en un reactor catalítico, l o cual pone un precedente a lo que se podría encontrar en la sección siguiente, 4.2.4.

Entonces I i Q = ~G(x)AxA = [Gx(l-(x/L) )"(x/L)~IAxA

gen (4.39)

i - Acumulación Para el término de acumulación l

a Q acum = AAx X(P,~CP,~T)

Entonces el balance de energía es

aT aT - k A - - ~ A - + E v P C ~ T [ ef ax r ax 9 9

[ - %fA ax - r ax aT k A - + evp Cp T aT

9 9

[Gx(l-(~/L))a(~/L)b]A~A = AAx a - (p Cp T) at ef ef

(4.40)

(4.41 1

Dividiendo entre AAx y tomando lim Ax -+ O

IV - 12

I

1 . aT aT - ”[ - k A - - k A - + cvp 9 4 C p T ax ef ax r ax + [ G (l-(~/L))”(x/L)~l

Adimensionalizando con

T T u = - X z = - L

y sustituyendo kr de acuerdo con la ecn. (4.21)

a hwL2 (u - u -

kef

Sean

P e f C P e f L 2 au - - -

L2 + [G (l-z)”zb1

Tr kef kef at

a h L2 w w EVP c p L 9 9 Biw = k e f e f

Pe =

L2

Entonces

(4.42)

(4.43)

(4.44)

O

- Modelo I11

Nuevamente obsérvese el término pseudoconvectivo originado por la radiación. En este caso, cuando hay un término real de flujo, el término

IV - 13

I

I

pseudoconvectivo puede verse como una corrección al número de Peclet

za U Pe,!f az = Pe - 12Ru - (4.46)

Comparando con lo hecho con las ecuaciones para la placa porosa, es fácil hacer la extensión para los modelos I1 y I del intercambiador

- Modelo I au a2u au

- Modelo I1

au a2u au

ae az2 Pe - - Bi (u - u") + g(z) az W

- = 11 + 4Ru3] - -

(4.47)

(4.48)

Como condiciones de frontera se aplicarán

(4.49) 3 au az =$ ( 1 + 4Ru 1- = Pe (u - ua) + Bi (u-ua) Z = O , e > o

z = i , e > o *

donde h L k

Hi = ~

ef

(4.50)

(4.51)

y h es un coeficiente de transferencia tipo Newton. Este término surge al considerar que a la entrada del intercambiador existe una resistencia al transporte de calor cuando se pasa de un medio gaseoso homogéneo a un medio sólido-gas.

4.2.4 REACTOR TUBULAR DE LECHO F I J O

En esta sección se desarrollan las ecuaciones que describen el comportamientD de un reactor catalítico de lecho fijo enfriado a través de la pared.

Se utilizará un modelo unidimensional de reactor heterogéneo, es decir, que se hará distinción entre las condiciones prevalecientes en el gas y en el sólido. El modelo estará sujeto a las siguientes suposiciones: 1 ) Se asume que ocurre una reacción exotérmica e irreversible de primer

I V - 14

orden A -i B. 2) Se considera que los flujos difiisivos de masa y de calor por conducción pueden ser descritos por ecuaciones de tipo Fick y Fourier respectivamente, en tanto que el transporte por radiación puede ser descrito por las ecuaciones de la sección 4.2.1. 3 ) La velocidad del gas varía axialmente en forma proporcional a la temperatura. 4) La caída de presión es lo suficieritemerit.e pequeña como para ser despreciada. 5) La temperatura de la pared se mantiene constante en un valor T . 6 ) El gas es un medio transparente a la radiación, en tanto que las superficies sólidas se pueden considerar cuerpos grises.

U

Bajo estas suposiciones, los balances toman la forma: - Balance de masa gas Ilaciendo un balance de masa de reactivo A en un elemento de volumen

según se ilustra en la fig. (4.41,

F I G 4.4 . MODELO PARA REACTOR EMPACADO DE LECHO FIJO

Aciimulaci6ri La cantidad de reactivo A que se acumula en el elemento de volumen es

(4.52) 2 ac e m Ax at

IV - 15

siendo c la concentración de A.

Entrada Siendo v l a velocidad intersticial y D el coeficiente de dispersión en

la fase gas, la cantidad de reactivo que entra al elemento de volumen es

(4.53)

Sal ida Sea k el coeficiente de transferencia de masa en la interfase

sólido-gas. La cantidad de reactivo que abandona la fase gas dentro del elemento de volumen en el intervalo Ax es

9

nd2 em-'[ vc - DE ] I x r A x + (l-&)nr2Ax - k ( C - cS)

nd3/6 P

(4.54)

E l cociente del Último término representa la relación área/volumen para una partícula esférica.

Entonces

.cnrpAx -# ac - = m r 2 [ vc - Dg ] I x - &m2[ vc - D z ] I x r A x at

nd ~ ( c - c ) 2

- (l-~lnr Ax ____ nd3/6

P

Dividiendo entre Ax& y tomando lim Ax -+ O

Si D es constante

(4.55)

(4.56)

(4.57)

IV - 16

Supóngase que la velocidad v cambia en el lecho de acuerdo con

(4 .58)

donde

v = alguna velocidad de referencia r

T = Temperatura de referencia r

$ = factor de proporcionalidad

Las variables $ y Tr se crean con el fin de poder estudiar de forma sencilla efectos de perturbaciones en la velocidad o la temperatura de entrada de la corriente gaseosa. Como se recordará, muchos números adimensionales (por ejemplo, el de Stanton, el de Peclet, el de Reynolds) involucran en su definición a la velocidad. Sin embargo, como en este caso se usará v variable, es necesario recurrir a una velocidad de referencia constante y permitir que toda la funcionalidad descanse en T y $; de esta forma se pueden definir números adimensionales constantes. Obsérvese que v

r está referida a l área total del tubo, vacía y no vacía.

Es claro que la elección lógica de v y Tr son los valores de velocidad y temperatura que tiene el gas en estado estacionario antes de cualquier perturbación (es decir, a t=O). De esta forma

r

t = O * dJ = 1

Tr = To = Ta v = Va/&

(4 .59 )

El subindice a indica valor antes de la perturbación y el subíndice O condición en i a alimentación ( z = O).

Usando estas variables

Vr@ a (vc) = - - - (Tc) a ax c T~ ax

IV - 17

(4.601

Adimensionalizando, definamos

c - c

T = T

X z = - L

T T u = -

C a = - o c

O

donde cr es un valor de referencia y co y To son, respectivamente, la concentración de reactivo A y la temperatura en la alimentación. De acuerdo con lo expresado anteriormente, el valor de cr será la concentración de reactivo antes de cualquier perturbación

t = O => cr = c = ca (4.61) O

Nótese que se define ao=co/cr y no ao=(cr-co)/cr. Nuevamente, esto se hace con el fin de hacer más sencillo el estudio de perturbaciones en las condiciones de alimentación del reactor.

Entonces

v = * v U/& r

Y

(4.63)

(4.64)

Sustituyendo en el balance de masa

Para la deducción de las condiciones de frontera en x = O se usara un razonamiento semejante al seguido por Vortmeyer y Schaefer (48 ) .

Considérese la fig. ( 4 . 5 ) , en que una corriente gaseosa entra al lecho con una concentración co de reactivo.

L

Estableciendo un balance de masa a la entrada del reactor

IV - 18

Es decir,

x = o *

1 de masa masa transferida entre la

superficie sólida frontal de reactivo ] = [ corriente gaseosa y la en el gas

si v I #v u /E es la velocidad del gas de alimentación O r o

F:IG. 4.5. DIBUJO ESQUEMATICO DE UN LECHO E:MPACflDO USflDO CON EL PROPOSITO DE DERI- VAR SUS CONDICIONES DE FRONTERA

I w w =- c, - - I

VO I I

TO I I

I I

I I

x=o x=L

(4 .66)

En el otro extremo se usará la condición de frontera de tipo Danckwerts

x = L *

Si ahora definimos algunos parámetros como

E L

r t- = -

9 V vr Pe = ~

E D

(4.67)

(l-E)k

r

- 9 %f - V

L

el balance de masa en el gas con sus condiciones a la frontera adimensionalizadas queda

I V - 19

t

BALANCE DE MASA EN EL GAS

t

az 9 aa az

ii a 1 a2a

at Pe az z -- - - - - iI/ [ u- - (1-a)- - st [a -as]

1 aa q, u a - i(, u (1-a) - __ - = St ( a + a - 1 ) z = o * Pe az cf o O 0

z = l =+

- Balance de masa en el sólido Procediendo de forma análoga con la fase sólida Acumulación La cantidad de reactivo acumulado es

ac 2 (l-c)nr Ax ats

Entrada A la fase sólida sólo llega reactivo procedente del gas

nd k ( c (l-clnr Ax ~

2

nd3/6 P

Reacción Expresando la tasa de reacc

- cs)

(4.68)

(4.69)

(4.70)

ón en términos de una ecuación de tipo Arrhenius referida al área de catalizador

R = Aexp(-E/R/Ts)cs

La cantidad de reactivo consumido

nr2Ax ( l-clp, Aexp(-E/R/T

(4.71)

2 en un volumen nr Ax es

C s

(4.72)

donde p, es el área de catalizador por unidad de volumen.

tomando lim Ax + O Entonces, sumando todas las contribuciones, dividiendo entre nr2Ax y

nd (1-E) - = (1-cl- k (c - cs) - (l-&)pbAexp(-E/FUTs)cs (4.73) at nd3/6

P

IV - 20


I

c - c r S

S C a =

r

el balance de ma.sa en el sólido se transforma en

Sean

(1-e) L S V T =

r

a k L sts = vvg

r

(1-E) L P = 1 v c

r r

entonces el balance queda

E a = r r

- Balance de energía gas Acumu 1 ac i ón

Entrada

(4.74)

(4.75)

(4.76)

(4.77)

donde hfs es el coeficiente convectivo de transferencia de calor hacia las pastillas catalíticas.

Sal ida

IV - 21

mr2[ vpCpT - kfg ] I X i A x + ndtAx h W (T - Tw) ( 4 .78 )

h es el coeficiente de transferencia de calor hacia la pared. W

2 Al sumar términos, dividir entre nr Ax y tomar lim Ax -+ O

Si suponemos que el gas se comporta idealmente, que la presión se mantiene constante a lo largo del reactor y que el peso molecular promedio de la mezcla es prácticamente constante

PM P P = T

(4.80)

+ p T = cte.

Además, utilizando la ecn. (4.58)

donde

- PM P Pr - - R T

( 4 .81 )

(4 .82 )

Aplicando este resultado, el balance de energía se transforma en

( 4 .83 ) 4 h (T - T) - hw(T - Tw) t fs s

P ax pT - kf E] + d o = -


T T

u = -

se obtiene

X z = - L

IV - 22

Sean

4 h L2

dt S k Biw = -

Entonces

k c = - k E kf

f s a L2 h

k V Nu =

9

1 a2u

k az2 au 0 = - Pe ic, - + - - + Nu (u - u) - Biw(u - uw)

9 s h az C (4 .85)

Las condiciones de frontera, deducidas en forma análoga a como se hizo con las expresadas en el balance de masa en el gas son x = o

Cambio de entalpía en la corriente

gas e os a

Energía térmica transferida' entre el gas entrante y la I = [ superficie sólida frontal

aT fs o s

[ E V ~ P ~ C P T ~ - E (vpCpT - k f z ) = ( 1 - E ) h (T -T 1

( l - E ) h f s L (u - us) 1 au ic,Pehuo - ic,Pehu + - - =

c k az kef-

y en el otro extremo

x = L *

En resumen, si Nucf = ( l - c ) h f S L / k S , el balance de energía

queda

BALANCE DE ENERGIA EN EL GAS

(4 .86)

(4.87)

(4 .89)

ad i mens i onal

1 a2u

k az2 0 := - Pe ic, au - + - - + NU (U - U) - Biw(u - uw)

9 % h az C

IV - 23

1 au @Pehuo - @Pe u + - - = Nu (u -u h ck az cf o s z = o 3

I au - 0 a z - z = l +

- Balance de energía en el sólido

Acumulación

2 a ( 1-E 1 nr Ax at( pSCpsTs 1

Entrada

Sal ida

(4.90)

(4.91 1

(4.92)

nd2 + 2nrAx(l-c) f (r( T4 - Tt ) + (l-c)nr2Ax ~ P hfs(Ts - TI (4.93)

nd3/6 P

Generación ( l-s)nr2AxR(-AH) (4.94)

Sumando las contribuciones, dividiendo entre ( l-c)nr2Ax y tomando lim Ax + O

r ax I-E - k 2 -

aT a pscps x ( T ) = -

4 - - 6 - T) - - f CT(T - Tw) + (-AH)R d P h f ~ ( T ~ dt

Se a n

y apliquemos l a definición de kr dada en l a ecn. (4.21)

(4.95)

IV - 24 io4449

Entonces

(-AH)R ( 1-c)L2 k +

Definamos

k .- Fus --

pscps ( 1-c 1 L2

d l - & ) L 2 T3 k r w

( 4 . 9 6 )

6 (l-c)L2 hf s NU s d k = -

P

(-AH) (1-&)L2

r s T k P =

3

y expresemos la tasa de reacción en términos de las variables adimensionales como

R = p A cr( l-as)exp b

Entonces

- Modelo I11

- a -- - ___ + 422- u - [ .dZ. ] 1 a U s a 2 u s

- FU at az2 az

( 4 . 9 7 )

(4 .98)

+ Nus(u - us) - Bi ( u4 - ut + P3R r s

y para l o s modelos I y I1

IV - 25

- Modelo I

(4.99) 1 aUs - <a2us 4 - - - - + Nus(u - us) - Bi ( us - ut ) + P3R F U ~ at az2

- Modelo I1

Como condiciones de frontera se tienen x = o

1 térmica conducida térmica transferida entre el gas entrante y la superficie sólida frontal

y radiada en la fase sólida en x=O

aT - (l-&)hfs(T - T - k -2 - 4&fr8Ts - - 3

aT

‘ax ax

Es decir,

auS ( i - & ) h f s ~ (u - us) - z = o * 4nu - -

az az k

En el otro extremo

x = L .$

z = 1 *

(4.101)

(4.102)

s - o aT ax-

(4.103)

Entonces, si Nucf = ( 1-E: 1 hfsL/k S

BALANCE DE ENERGIA EN EL SOLIDO 1 auS

FU at az2 - - - - -2- + [Término de radiación]

+ Nus(u - us) - Bi ( u4 - u: ) + P3R r s (4. 104)

IV - 26

donde

z = o

r o modelo I

modelo I1 I 4Q a a, [ u3>] modelo I11

(4. 105)

z = 1 *

Como condición inicial se tendrá

a = a (z) ee

a = a ( 2 ) c s,ee u = uee(z) u = u ( z )

s s,ee

(4.106)

donde los perfiles de estado estacionario se calcularán igualando a cero el término dinámico en cada uno de los balances de masa y energía y resolviendo con las mismas condiciones de frontera que ya se establecieron. Por supuesto que, como ya se dijo, al tiempo cero se usará

t = O + a = 1

u = 1 * = 1

O

O (4.107)

En cambio, cuando t > O se producirá una perturbación en una variable específica. Par ejemplo, si se quiere estudiar el efecto de un incremento de 20% en la concentración inicial de reactivo se usara

t > O * , a = 1.2

u. = 1 * = 1 (4.108)

IV - 27

Este tipo de perturbaciones deberán permitirnos determinar el efecto de

la radiación en la conducta dinámica de los reactores empacados.

L

IV - 28

5. DlSCRETlZAClON DE LAS ECUACIONES

5.1 INTRODUCCION

Los modelos desarrollados en el capitulo anterior condujeron a ecuaciones diferenciales parciales, casi todas ellas no lineales, en que los perfiles de temperatura ( y de concentración para el caso del reactor) son función de la posición y del tiempo. Dada la imposibilidad de resolver analíticamente, para obtener soluciones a los problemas planteados se recurrirá al uso de métodos numéricos.

El presente capítulo se divide en dos partes principales. En la primera se hace una muy breve descripción de los métodos numéricos de solución de ecuaciones diferenciales más utilizados en Ingeniería Química: método de los residuos ponderados, diferencias finitas, colocación ortogonal, colocación ortogonal en elemento finito y método de elemento finito, haciendo mención de sus principales ventajas y desventajas. Para más detalles puede consultarse el libro de Finlayson (49) .

En la segunda parte se presenta la discretización de las ecuaciones de interés para su solución por elemento finito. Los cálculos seguidos se muestran con algún detalle para los casos de la placa porosa y del intercambiador de calor con el fin de ilustrar la aplicación del método.

v - 1

5.2 METODOS NUMERICOS DE SOLUCION

5.2.1 METODO DE LOS RESI DUOS PONDERADOS Supóngase que se tiene que resolver una ecuación diferencial L[y]=O. En

el método de los residuos ponderados se propone una solución aproximada construída como una serie de funciones conocidas con coeficientes ajustables desconocidos. Estos coeficientes son determinados de tal forma que satisfagan la ecuación diferencial de la mejor manera posible según algún criterio.

Por simplicidad la solución aproximada se toma como un polinomio

N i

Y = Y, = 1 cix i =O

(5.11

pidiéndose que y satisfaga las condiciones de frontera. N El siguiente paso del método es formar el residuo. Esto se hace

sustituyendo en la ecuación diferencial la solución aproximada y N

R(yN) = LIYNl (5.2)

Este residuo es pesado o ponderado por medio de una función de peso W k’

Se pide que el residuo ponderado sea cero, es decir

So 1 WkR(yN)dx = O (5.3)

El paso final es escoger un criterio o función peso, Wk. Si se toma Wk como la función delta de Dirac, se tiene el método de colocación

w = 6(x - Xk) k

El conjunte de puntos xk se conoce como puntos de colocación; para este caso particular, los x se seleccionan arbitrariamente (en contraste con la colocación ortogonal que se discutirá en la sección 5.2.3). Nótese que esta elección de W hace que y satisfaga exactamente la ecuación diferencial en los puntos de colocación, aunque no necesariamente lo haga en las x intermedias.

k

k N

v - 2

Existen otras selecciones de Wk que son de importancia: En el método de los momentos se selecciona Wk= xk-l. En el método del

subdominio Wk == 1 en un subdominio x < x y Wk = O fuera de este. Para el método de Galerkin la función de peso es ayN/ack. E l método mínimos cuadrados usa Wk=aFUack, lo que implica que el residuo medio al cuadrado I

está siendo minimizado

k-1

( 5 . 6 ) 1 2 I = So R (x,yN)dx

En cualquier caso, es claro que mientras mayor sea el número N de términos en la solución aproximada, hay más puntos cuyo residuo se hace cero y, por lo tanto, la solución es más exacta.

La ventaja del Método de los Residuos Ponderados es que se puede obtener fácilmente una primera aproximación usando sólo unos cuantos puntos; esta solución frecuentemente contiene las principales características del resultado analítico y puede ser muy exacta. Las aproximaciones con un mayor número de puntos son mejores, pero en cualquier caso sólo se requieren unos pocos términos. La desventaja, compartida con muchos métodos numéricos, es que la exactitud de la solución aproximada es dificil de determinar.

El método de los residuos ponderados trabaja bien cuando la solución es relativamente suave, sin gradientes o derivadas muy abruptas. Las soluciones con gradientes fuertes requieren tantos puntos de colocación que se prefieren otros métodos, como los de elemento finito.

5 . 2 . 2 METODO DE DIFERENCIAS FINITAS El método de diferencias finitas, como el método de colocación, está

relacionado con puntos específicos en el dominio llamados nodos. Estos puntos dividen al dominio en intervalos que pueden ser equidistantes o no.

Para explicar el método de las diferencias finitas supóngase que se tiene una función continua y(x) y que usamos una expansión en serie de Taylor para obtener expresiones para las derivadas que involucren sólo los valores de xi y xi+l.

1 +1 y y,-1 Sea y,= y(2,) y escribamos una serie de Taylor para y

( 5 . 7 )

( 5 . 8 )

v - 3

Estas fórmulas pueden ser rearregladas para obtener dos expresiones para 1 a pr i mera der i vada

Y i + i ___ - Yi Ax Ax - y; 4. 2 y; ’ + . . ( 5 . 9 )

(5.10)

Cada formula. es correcta hasta O(Ax). Alternativamente, restando las ecs. (5.7) y (5.81, rearreglando y dividiendo entre Ax se obtiene

(5.11)

la cual es correcta hasta O(Ax21. 2 Sumando las ecs. (5.7) y (5.81, rearreglando y dividiendo por Ax se

obtiene una expresión para la segunda derivada

Yi+l - 2Y i+ 2 = y; + - y ” ” Ax2 +

AX2 4! i

(5.12)

2 la cual es correcta hasta O(Ax 1 . Si sustituimos estas ecuaciones en L[yl para cada uno de los N-2 nodos

internos y también para las dos condiciones de frontera, se t i enen suficientes ecuaciones para resolver para las y A l hacerlo se tiene una representación de la solución.

k‘

El método de las diferencias finitas es fácil de formular, aunque puede necesitar demasiados nodos cuando se requiere gran exactitud. En caso de que se requiera el valor de la solución en un punto entre nodos, se debe interpolar usando un esquema que sea al menos tan exacto como el error en la formulación de las diferencias.

5.2.3 METODO DE COLOCACION ORTOGONAL

La colocación ortogonal es otro método de discretización que tiene varias ventajas sobre el método de colocación discutido en la sección 5.2.1. Por principio de cuentas, los puntos de colocación son seleccionados matemáticamente, evitando una selección arbitraria por parte del usuario; además, el error disminuye más rápidamente con el aumento de puntos.

v - 4

Hay tres diferencias fundamentales entre el método de colocación Qrtogonal y el método de los residuos ponderados: (1) la solución aproximada se forma como una combinación lineal de polinomios ortogonales en vez de como una solución en serie de potencias de x, (2) los puntos de colocación son las raíces de uno de esos polinomios, y ( 3 ) las variables dependientes son los valores de la solución y(x ) en los puntos de

colocación en lugar de los coeficientes de la expansión. k

Para aclarar el tercer punto, si se propone una solución en la forma

(5. 13)

donde yk(x) son funciones conocidas de la posición, puntos de colocación y se resuelve para las a

se valúa en los N

k

N (5. 14)

(5.15)

Esto significa que si el valor de la solución es conocida en N puntos x entonces los coeficientes ak pueden se r determinados. Consecuentemente, se puede resolver un problema usando como incógnitas ya sea los coeficientes a o el conjunto de valores de la solución en los puntos de colocación y(xk).

colocación

k'

k

Para valuar las derivadas de y(x), basta evaluar en los puntos de

N (5.16)

(5. 17)

Dado que los coeficientes ak pueden ser expresados en términos de los valores de la solución en los puntos de colocación y(x,), esto también puede hacerse con y' (XI y y"(x)

v - 5

N

N

i , k = l

(5.18)

(5.19)

Este resulta.do puede ser escrito como

N N

donde la A y los B son valores conocidos dado que los polinomios base y, son conocidos.

Para resolver un problema de eduaciones diferenciales, se procede de la misma forma que en el método de los residuos ponderados, es decir, se forman los residuos en cada uno de los puntos de colocación internos y se pide que la solución aproximada satisfaga exactamente las condiciones de frontera. Se tienen entonces N ecuaciones con N incógnitas.

j k j k

En el método de colocación ortogonal , como su nombre lo indica, las funciones base se eligen como polinomios ortogonales. Se define el polinomio Pm(x) como

m P (XI = 1 bj x j

in j =O

(5.20)

que se conoce como polinomio de grado m y de ordem m+l. Los coeficientes b se definen pidiendo que Pm sea ortogonal a P ortogonalidad puede incluir una función peso W(x) 2 O.

j para k 5 m-l. La condición de

k

Sb W(x1 Pk(x) Pm(x) dx = O k = O, 1, 2, . . . , m-1 (5.21 1

Este proceso especifica los polinomios hasta una constante multiplicativa que se determina pidiendo que el primer coeficiente sea 1.

El polinomio P (XI tiene m raíces en el intervalo [a,bl y estas sirven como puntos de colocación convenientes. Por ejemplo: si la expansión se hace en términos de Po y P1, los puntos de colocación serán las raíces de

rn

P2(x) = o. (5.22)

V - 6

_-

Como puede verse, el proceso es completamente automático una vez que se elige la función peso W(x).

Generalmente el método de colocación ortogonal es más exacto que el método de los residuos ponderados o el de diferencias finitas.

5 . 2 . 4 METODO D E COLOCACION ORTOGONAL EN ELEMENTO FINITO.

En la aplicación previa del método de colocación ortogonal se utilizó una solución aproximada como una serie de polinomios ortogonales definidos sobre el dominio completo O 5 x 5 1. Cuando la solución tiene gradientes pronunciados es más ventajoso usar funciones definidas sólo sobre parte del dominio y después ensamblar las funciones adyacentes para dar una aproximación global. Esta es la idea tras el método de colocación en elemento finito, MCOEF.

E l MCOEF consiste en dividir el dominio en N subdominios o elementos y aplicar colocación ortogonal con M puntos dentro de cada uno de ellos (incluyendo fronteras). Para hacer esto es necesario escribir las ecuaciones del k-ésimo elemento en términos de una coordenada local definida como

:< - x

de tal suerte que aproximada dentro del

h = X - X ( 5 .23 ) k k+l k

va de cero a uno en cada elemento y la solución mismo queda como

(5 .24)

Las dos formas más usuales de implementar el MCOEF son (1) usando polinomios de Lagrange como funciones base, estableciendo condiciones que hacen que las primeras derivadas sean continuas entre elementos y, ( 2 )

usando pol inomios de Hermi te HI, los cuales tienen automát icamente derivadas continuas.

En la f i g . (5.1) se ilustra la ubicación de los puntos de colocación cuando se usan polinomios cúbicos de Lagrange. Como puede notarse, si se tienen N elementos y NC puntos internos de colocación en cada uno de ellos, en el dominio completo habrá (NC + 1 ) N + 1 incógnitas, a saber, l o s valores de la solución en cada uno de los puntos de colocación. A su vez, se cuenta

-

v - 7

con N.NC ecuacioiies de residuo, doc coiicli(:iones de fr.oriler*a y N - 1

coiidiciories de coiilinuiciad er1tr.e elerneiilos, rimdo u11 l o t a l de (NC t 1 ) N + 1 ecuaciones, su f i c i en tes para resolver- e l problema.

Los polinomios cúbicos de Ilerrnile esLán def inidos en e l k-écimo elemento

como

( 5 . 2 5 )

La venlaja de usar poliriornios de Ilermite en vez de polinomios de

Lagrange es que reduce en El-1 e l niíiiieiw de ecuaciones. Sin embargo, no

pueden usarse e n los casos eri que los f.lti,jos entre elemeritos son continuos

pero no las primeras derivadas (esLo ociirre, por- ejemplo, en problemas de

difusibn cuando se unen mater-iales con d i c t inlo coe f i c i e i i l e d i fus ivo ) . L

5 . 2 . 5 METODO DE ELEMENTO FINITO E l método de elemento f i n i t o MEF es s imi lar a l MCOEF, excepto que en

cada subdominio se lisa el método de Galer-kln e n vez del de colocaci15n

v - u

ortogonal. En el MEF con N elementos se propone una solución global de la forma

(5.261

Cada función base $,(XI está definida sólo en los elementos apropiados, en particular en el (i-1)-ésimo, el i-ésimo, y el (i+l)-ésimo. Aunque es posible usar la.s mismas funciones base que en el MCOEF, lo más común es usar funciones cuadráticas o lineales. Estas están definidas por

alfunciones lineales:

x - x i + 1

i + l i para x. 5 x - x - x <'i+f

O en otro caso

( 5 . 2 7 )

b) funciones cuadráticas (en términos de coordenadas locales)

(5.28)

Las funciones lineales se ilustran en la fig. (5.2) y se construyen siguiendo los siguientes criterios: 1. Deben ser funciones simples definidas localmente, elemento por elemento, sobre la malla. 2. Deben ser suficientemente suaves para tener derivadas de primer orden que sean cuadrado-integrables en el intervalo O 5 x 5 1. 3. Los parámetros a que definen la solución aproximada y,(x) son precisamente 10s valores de y en los puntos nodales.

En el MEF los residuos R se forman sustituyendo directamente la solución aproximada en las ecuaciones diferenciales y multiplicando después por cada función base @

i

ti

j

v - 9

(5.29)

Como cada 4 no es cero únicamente entre x y xi+l, sólo es necesario

Con frecuencia la integral es demasiado complicada para ser evaluada analíticamente, por lo que se recurre a cuadraturas numéricas. Por supuesto que s í la función no es un polinomio en x se introduce otra fuente de error

1 i -1 integrar sobre esos elementos.

, xn- I xn

en. la aproximación. Usualmente 2 o 3 puntos de cuadratura son

FIGURA 5.2. FUNCICNES BRSE LINEALES PARA EL METODO DE ELEMENTO FINITO

El método de elemento finito tiene una ventaja sobre

suficientes.

el método de colocación: las condiciones de frontera que involucran deri9adas pueden ser incluidas en la formulación del problema sin tener que ser satisfechas exactamente. A este tipo de condiciones de frontera se las llama condiciones de frontera naturales; por ejemplo, si la máxima derivada en la ecuación diferencial es de segundo orden, entonces cualquier condición de frontera con derivadas de primer orden es una condición natural (ver ecs.

(5.57) y (5.58)). Además de- la facilidad de incorporar las condiciones de frontera

naturales, el método de elemento finito es ventajoso para los casos en que existe un principio variacional. Sin embargo, esto no ocurre para la mayoría de los problemas no lineales.

Cuando el MEF y el MCOEF usan funciones base de orden superior, se prefiere el MCOEF debido a su simplicidad y a que se requieren menos

v - 10

cálculos para obtener resultados.

5.3 DESARROLLO DE LAS ECUACIONES DISCRETIZADAS

5.3.1 ECUACIONES DE LA PLACA POROSA . Las ecuaciones del sistema, según la sección 4.2.4, son: Modelo I

Modelo I1

a2u 3

au _ - - (1 + 4nu + g ae az

Modelo 111

2 a2u au

- = ( 1 + 4Qu )- + 12Qu ae a='

3

(5 .30)

(5.31)

(5.32)

Con condiciones de frontera e iniciales:

z = 1 , e r 0 * u(1,e) = 1.2

(5.33)

* u = u (z) ee

0 5 z a 1 , e = o

u ( z ) se calcula igualando a O el término dinámico au/a0 y usando como ee

condiciones de frontera

z = 1 * U(1,O) = 1.0 (5.34)

z = o

Utilizando el método de elemento finito, se propone

v - 11

n u = u i@ i ( z )

i = 1 (5.35)

La función @ , ( z ) está definida de la siguiente manera

r

donde

(5.36)

(5.37)

y los zk son puntos equidistantes colocados en el intervalo [0,11 tales que

Para los desarrollos que siguen es muy importante notar que, de acuerdo z = o , zn = 1. 1

con esta definición

1 si i=j

O si itj q Z j ) =

De la definición de @ . ( z ) 1 tenemos que

( 5 . 3 8 )

(5.39)

Para tratar el término au/a0 en los tres modelos haremos la aproximación

n n

(5.40) ae A0

v - 12

donde A(3 es un incremento de tiempo y el subíndice " O " indica el valor de u antes del incremento. Evidentemente, el primer valor de uko es el valor de estado estacionario u ~ , ~ ~ . Nótese que esta aproximación es equivalente a resolver el modelo dinámico mediante un método de Euler.

Así, realizando el producto interno cau/a(3,@i>

j

n n

(5.41)

podemos i + l '

Pero como @ se anula fuera del intervalo zi-l 5 z 4 z i

cambiar los límites de integración y de las sumatorias a

i + l i + 1

Haciendo el cambio de variable

z - z z - z i - 1 - i

i i -1 i + l i

- e = z - z z - z

+ de = dz/A 15.43)

donde es una coordenada local definida en cada intervalo, las integrales pueden realizarse fácilmente. Por ejemplo

Ti+'@ @ dz = .Jli 4. 1 - 1 4.dz 1 + ti+'$ z i-1 @ i dz z i-1 i i -1 i-1 i

(5.44)

pero la segunda integral de la derecha es cero porque 4. es cero en el intervalo Iz ;z I.

1 -1

I i + l Entonces,

(5 .45)

Usando la coordenada local E,

V - 13

(5.46) A SIi $,-19idz = A .fg ( l-<)<dc = - 6 i -1

Aplicando un. tratamiento semejante a las demás integrales, se puede demostrar que

i = 2, . . . n-1 (5.47)

Ahora veamos los lados izquierdos de cada una de las ecs. (5.301, (5.31) y (5.32).

Modelo I Sea

8% - + g = 5 8Z2

Calculando el producto interno <$. , t;>

[ j=i uj$y + g]$,dz i = 2, . . . , n-1

asi que 'k+l'

Pero @ se anula fuera del intervalo z 5 z 5 k k-1

Realizando por partes l a primera integral entre 1

Aplicando la ecn. (5 la integral

(5.48)

(5.49)

(5.50)

(5.51)

38) al primer término del lado derecho y (5.39) a

U - 2Ui + u i - 1 i + 1

A

a2u

az2 1: - @ dz = i = 2, . . . , n-1 (5.52)

V - 14

Por otra parte, recurriendo a la interpretación de integral como area bajo la curva,

2

Szi dz ( 5 . 5 3 ) i -1

es- el área de un triángulo con base 2A y altura 1 Así pues

i = 2, . . . ,n-1 (5.54)

Con los resultados obtenidos

U i - p u i + u A i + l + gA i = 2, . . . ,n-2 (5.55)

Para i=l, la situación es algo distinta. Sin pretender dar una

explicación rigurosa, lo que ocurre es lo siguiente: cuando i= 2, . . . , n-1, a l integrar por partes el término <(a2u/¿3z tenemos, de la ecn. (5.51) 2

( 5 . 5 6 )

Pero en i=1, dado que no existe i=O, lo que se tiene es

Como puede apreciarse, cuando i=1 surge un término relacionado con

V - 15

au/az, el cual se calcula por medio de la condición de frontera

Esto es lo que en la sección 5.2.5 se llamó condición de frontera natural . *También se puede apreciar que ahora las integrales son de la forma

(5 .59)

( 5 . 6 0 )

por lo que desaparecen algunos términos en los resultados que se calcularon ant er i orme nt e.

Para i=1 se tiene

(5.61)

Por la condición de frontera la sumatoria es cero. Entonces

1 A = A + g z

u - u 2 i = l ( 5 . 6 2 )

Por otra parte, también cambia el término dinámico

z ) dz = __ (5.63) J-o ae @l( 6 A A0 [(al 1 + u2) - (2u 1 ,o + u 290

Para i=n, por la condición de frontera el valor de u está fijo. Cuando 0 > O, dicho valor es

z = l , e r o =3 u ( i , e ) = 1.2

V - 16

n n- 1

j = i j = i

3 u = 1.2 n

En el tiempo @=O, u = 1.0. Por lo tanto n

u =1.2 e > o n

u =1.0 e = o

En resumen, las ecuaciones a resolver para el modelo I son

- Para i=1 ' A -[(2Ui + ui+l) - (2u. 1 , o + u i+l,o

1 A A + g z

u - u 2 - -

- Para i= 2, . . . , n

(5.64)

(5.65)

(5.66) - 2ui + u i + l U

i -1 - - A

- Para i=n u = 1.2

El conjunto de valores iniciales uko se obtiene a l resolver el sistema de ecuac iones

- Para i = l

1 A A + g 2

u - u 2 o =

- Para i= 2, . . . > n

- Para i=n u = 1.0 n

(5.67)

Modelo I1

V - 17

Sea

a2u (1 + 4nu I? + g = <

az 3

Siguiendo un proceso semejante al seguido para el modelo I

i = 2,. . .,n-1 a2u 1 3 = si [(l + 4Ru + g 9, dz az

(5 .68)

(5.69)

Después de ciertos cálculos, se puede demostrar que

z < O i , 1> = .J i+l q5idz = A

i -1

por lo que

(5 .70)

U - 2ui + ui+l i = 2, . . . ,n-1 + gA

3 i -1 = (1 + 4RUi) A

Las condiciones de frontera son iguales que para el modelo I y, por lo tanto, no hay necesidad de repetir el cálculo.

Resumen para el modelo I1

- Para i=1

us - u1 A 1 A + g z i,o i+l,o =[(2ui+ A ui+l) - (2u + u = (1 + 4Ru;)

- Para i = 2, . . . , n A FdB[(Ui-i+ 4Ui+ ui+l) - (ui-l,o+ 4u i,o + u i+l,o

V - 18

1

(5.71 1 U - 2ui + ui+l

+ gA i -1 = (1 + 4nU;) A


En forma análoga a lo que se hizo para el modelo I, el conjunto inicial u se obtiene igualando a cero el término dinámico en las ecuaciones para i = 1, 2,. . . ,n-1 y utilizando u =1.0. ko

n

Modelo I11

Sea

(1 + 4RU3I7 a2u + 12Ru 2 [!Jz+g= < az

(5.72)

Para este modelo es más sencillo tratar con la expresión equivalente !

I

a2U a2u4

az2 az2 + R - + g = r: -.

Entonces

(5.73)

(5.74)

La primera integral corresponde exactamente al modelo I. El cálculo de la segunda es un poco largo y no lo desarrollaremos, Se puede demostrar que

4 2u; u I +í

a2u4 . 4

az

U i - 1 > = - - - + - c4i I - 2 A A A

Entonces 4 4 4 i -1

- 2u1 + u i + 1

U - 2ui + u i + l U

A + g A + R A <@,,<> = -!-I

(5.75)

(5.76)

Resumen para el modelo I11

v - 19

c

- Para i = l 4

A u 2 - u 1 A u4 2 - u 1 [(2Ui+ - (2u i,o + u i+l,o I ] = A + g + Q A

- Para i= 2, . . . , n

+ 4 u + u A i,o i+l,o bm[(Ui-l+ 4Ui+ Ui+$ - (u i-1,o

( 5 . 7 7 )

u 4 - 2u': + u;+l - u i -1 - 2ui+ ui+l i -1 A + g A + R -

A


donde el conjunto inicial u k = 1,. . . ,n se obtiene al resolver las ecuaciones en estado estacionario como se explicó para l o s modelos I y 11.

ko

5.3.2 ECUACIONES PARA EL INTERCAMBIADOR DE CALOR El siguiente desarrollo aplica para el modelo 111. Las ecuaciones para

el modelo I y el modelo I1 se dan posteriormente. En régimen transitorio

I

2au] au Biw (u - uw) + g(zl au - - - 12Ru E E - ae

3 au z = o * ( 1 + 4Ru 1- az = Pe(u - u O ) + Bi(u - u O ) (5.78)

z = l

Rearreglando la primera ecuación

(5.79) au a2u

3 'E]"] - Pe - Bi (u - uw) + g(z) au

ae az - = [ ( I + -4nu 1 7 +12Ru

W

Aplicando elemento finito

v - 20

(5.80)

Es claro que el término entre t I en la ecuación diferencial ya se

calculó para el modelo I 1 1 de la placa porosa. Ahí obtuvimos

4 4 4

(5.81) u -2ui+ui+l u i -1 -2ui+u i + 1 i - 1 A + R

2 2 au a2u

J$l+4Ru3)? az +12Ru [=] ]$idz = A

Calculemos ahora el resto de los términos

X u - u X

Sxi+'$idz i + l i u - u

i sxi $pz + A 1 au i i - 1

i -1 A J - $i dz =

O az

- u 1 au ui + i i -1

2 J - $. dz = O az *

Por otra parte

i +1

i -1 (u - uw) $i dz = 1::

Las integrales se resuelven utilizando la coordenada

Finalmente, falta el término de generación

(5.82)

(5.83)

(5.84)

local 5

(5.85)

donde Go=GxL2/Trkef.

sumando por sumando y reagrupando términos. La expresión integrada es La integral puede realizarse desarrollando el término cúbico, integrando

3.1 - z3.1 - =3.1lG i i + l i-1 o

+

v - 21

4.1 - 24.1 - .4.1]. (4.11 (3.1)A i i +1 i-1 o

-

1 b.5.1 i .5.l i +1 - 25.1]G i-1 o (5.86) (5 . 1 ) (4 . 1)A

+

A s i pues, l a ecuación d i f e renc ia l toma l a forma

+ 4u + ui+l,o I ] = i-1,o i $ 0

A + 4u* + u i+ l ) - ( u m [ (u i - i

4 4 4 i -1 U - 2ui + u i + l

(5.87) - 2 5 + u i + l U

A + gi + R i -1 A

- + - + - 2ui u i + 1 W

U - u U i + 1 i - í - Bi A[ i - i

2 W 6 3 6 - Pe

En las fronteras, i=l e i=n, a l igual que con l a placa porosa, l a

ecuación es a lgo d i s t in ta pues no ex is ten $o ni $n+l.

Para i=l 4 1

u4 - u u2 - u1 + 2

&[(u2+ 2Ul) - ( u 2 , o + 2u 1 , O I ] = A A (5.88)

U U 2 1 1 + gl- (Pe + B i ) ( u l - uo) - Pe _____ 3

u - u

2

donde e l último sumando viene de l a condición de f rontera en z=O. E l

término de generación es tá dado por

Para i=n s e t i ene L 4 4

n-1 n - u u - u U

A " + a n- 1 A

(5 .90) n

U + o n-1 - J3iwA[ e + - - 71 + gn W

U n

u - u U n

2 3 - Pe

E l sumando cero se pone para remarcar que se es tá tomando en cuenta l a

v - 22

condición de frontera en z=1 - ecn. (4 .50) -. El término de generación está definido como

(5.91)

En resumen

Modelo I11

- Para i=l 4 4 2 1

u - u u - u &[(U,+ 2Ull - (u + 2u I] = A + n A

2 2,o 190

U U U u 2 - u 1 2 1

- Pe 2 - B i W A L x + - - $ ] 3 + gl

- Para i= 2, . . . , n-1

+ 4 u + u I ] = A i-1,o i ,o i + l , o

- zU4 + u 4 U

i - 1 i i + 1 + gi (5.92) U - 2ui + ui+l

A i - 1 + R A

U - u i + 1 i -1

2 W - Pe

- Para i=n u4 - u 4 - u

n- 1 U

+ R n A n- 1 n

A

U u n - u n- 1 un- 1 un - Bi A[ + - - - - - P e 3 2"]+gn

El perfil inicial uee(z) se calculará haciendo cero el término dinámico y usando

G = 40 O

V - 23

(5.93)

En cambio, para 8 > O

G = 30 O

(5.94)

De nuestra experiencia con las ecuaciones de la placa porosa de la sección 5.3.1, no es dificil hacer la extrapolación para las ecuaciones del intercambiador de calor en sus modelos I y I1

Modelo I

- Para i=l 1 u - u

2 16- [ (u2 + 2Ul) - (u 2,o + 2u 190 I] = A A

U U 1

U u 2 - u 1 2 - B i 2 3 - Pe

- Para i=2, . . . , n-1

i-1,o i,o i+l,o

- u u - 2 5 , + U i + 1 U i + 1 i -1 2 i -1 - Pe A

- uw] + gi 2ui u i + l

U - Bi A[ e + - 3 + - 6

W

- Para i=n

U U U u n - u n- 1 n- 1 - P e - Bi A[ - + -.!? 3 - w 6

Modelo I1

- Para i=l

&[(u, + 25) - (uz,o+ 2ul,0) = 1 + 4Ru1 A 1 1 [ 3iU2 - u U

2" ] + gl 1

U 2

U u - u - Pe 2 2 - B i ' A [ - + + - - - 6 3

(5 .95 )

- Para i=2, . . . , n-1

V - 24 i o 4 4 4 9

A Bm[(ui-l+ 4Ui + ui+l) - (u: 1-1,o + 4u i , o + u i+l,o I ] =

(5 .96 )

i +1 i - 1 2ui u i + 1 U - u U

- Pe 2 - Bi A[ e + __ 3 + W

- Para i=n

- u n

u - u U U U n - l - BiwA[ e + - n -

- ~ e n 2 3

5 . 3 . 3 ECUACIONES DEL REACTOR

En esta sección se presenta la forma discretizada de las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del reactor tubular de lecho fijo discutido en la sección 4.2.4. Dado que la idea general de la forma de aplicar el método de elemento finito ya se ilustró con detalle en las secciones anteriores (5.3.1 y 5.3.21, en esta sección simplemente se presentan las ecuaciones finales, omitiendo una detallada descripción del proceso de discretización.

Se propone

n n n n

j = l j = l f = 1 j = l

donde las $ ya han sido definidas en la sección 5.3.1. A l aplicar el método de elemento finito, las ecuaciones de balance toman la forma

j

BALANCE DE MASA EN EL GAS, i = 2, . . . , n-1

5 mC(ai-1 + 4ai + ai+l) - (a. 1-1,o -+ 4ai,o+ ai+í,o I ] = A

U

ai-i[& + *[ (5.97)

U - u

i - l 1 i - i 6 "i+i]] + +[ i + i

V - 25

1 + a s , i+l a + 4ai + ai+i - a s,i-l + 4as, i - St 9 A [ i - l 6 6

BALANCE DE MASA EN EL SOLIDO, i = 2, . . . , n-1

A I] = t s [(as, i -I+ 'as, i +as, i + I ) - (as, i -1, o + 4as, i , o+as, i +i ,o

1 a + 4as + a s,i+l P i a + 4ai + ai+i s,i-1 -

6 6 St A [ i - l 4

(5.98)

BALANCE DE ENERGlA EN EL GAS, i = 2, . . . , n-1

- 2ui A + ui+ll

3

- u i-i] + e[ U i - i 0 = - Peh* i + l

[u

+ 45 + ui+l

- - Bi A[

W 6

U + 4us , i + u s,i+l u + 4ui + ui+l - s,i-l - Nu 9 A[ i - l 6 6

BALANCE DE ENERGIA EN EL SOLIDO, i = 2, . . . , n-1

+ 4us,i,0 +U s,i+i,o I ] = 1 A [ ( us, i -i+ 'us, i +us, i +i - ( U s , i-1 ,o

+ [Término de radiación]

L

1 + 4us + u

, i s,i+l U

1 s,i+l - + u A

i + l - s,i-1 u + 4Ui + u

[ + NusA [ i - l 6 6

4 2 2 1 'ir g[Ut,i-l+ 1ou:,i+ us,i+l+ 4u~,ius,i-i + 3us, i-luc,

3 3 + 3us,i+ius,i+ 2 2 2us,ius,i+i 3 - 30ut ] + 2us,ius,i-i+ 4us,ius,i+i

(5 .99)

V - 26

( 5 . io01

donde

O

[Término de radiación] = 4Ru; I s,i-1 - 2us,i A + uS,i+ll L 4

4

1 e , i + l - zU4 + u 4

e , i-1 s , i [u A

Mod I

Mod 11

Mod I11

(5.101

Nótese que solamente se dejó indicado el término de reacción

Dada la imposibilidad de resolver analíticamente las integrales, estas se evaluarán numéricamente usando cuadratura con cuatro puntos.

En las fronteras los balances toman la forma

Para i=l

BALANCE DE MASA EN EL GAS, i = 1 A

tg 2ai1 - (ai+l,o+ 2ai,o)] =

a [L-#[ ui + 6 2Ui+l i + i PeA

V - 27

(5. 103)

I 2a + a s , i +1 i + l - s , i 2ai + a i + l ] - StgA[ 6 6

+ [ui(l-ai) - a O 0 u]+ - stcf[a0 + as,i -

BALANCE DE MASA EN EL SOLIDO, i = 1

;?a 2a + a s,i+l s,i + ai+l -

St 9 A [- 6 (5. 104)

BALANCE DE ENERGIA EN EL GAS, i = 1

6 + 2ui -2 uw I - u i + l i] c: [ ui+l- - BiwA[ ui + i

A + - [u

O = - Pe y ! h

2us, i + u s9i+1] + Peh*[uo - ui] 6 - NU A

9

BALANCE DE ENER’GIA EN EL SOLIDO, i = 1

1

3 2 2 3 + 5u4 - 15u4]

[ us, i+; - “ s , i I I = 1 A s,i s,i+l )-(2us,i,o+us,i+l,o

S

- 2us,i + us,i+i

+ 4us, ius, i+i s , i W

+ [Término de radiación] + NusA 6

+ {P p c AA) ]]exp[-E + a Cl-<,Us ] (l-<)dS , i

U 3 b r s , i s , i + l

+ Nucf(uo - U . (5.106) s , 1

donde

(5.105)

V - 28

O Modelo I

Para i=n BALANCE DE MASA EN EL GAS, i = n

11 4 5 - U i P l

a i - 1 [L+#[ PeA u + 6 2 u i - i ~ + a i [-& - * [ 6

(5.108)

u - u i - l ] - S t g A r a i + a i - i - 2as , i + a s,i-1 ] + o 6 + *[- 2 6

BALANCE DE MASA EN EL SOLIDO, i = n

tc m[(2a A +a ) - ( 2 a +a c , i s,i-1 s , i , o s,i-1,o

(5.109) 3 i - 1 - 2a s , i + as,i-l 2ai + a

St 9 A [- 6

+ P ~ P ~ C ~ A A S:,

BALANCE DE ENEKGIA EN EL GAS, i = n

u + 2 U i U u - u - Y] o = - P e h @ [ = ] + e[ ui-li u i ] - Bi A [ i - l 2

L

(5.110) 2ui + U i - 1 - 2 u s , i + us,i-l - N u A 9 [ 6

BALANCE DE ENERGIA EN EL SOLIDO, is= n

V - 29

U 1 A

1 A 4 3 2 2 3 + 5u4 - 1521

- Bir 3o [u s,i-1 + 2us, i‘s,i-í+ 3us,i-lus,i+ 4us,ius,i-i

- 2us,i + us,i-í 6 + [Término de radiación] + NusA

s , i

a + {P3pbcrAA) Ji s, i-1

+ o (5.111)

[Término de radiación] = +

donde

r

(5.112) 4Qu;[ us,i-l A- us’ i ] Modelo I1

4 - 4

Modelo I O

V - 30

6. SIMULACIONES NUMERICAS Y ANALISIS DE RESULTADOS

6.1 INTRODUCCION

En este capítulo se presentan los resultados obtenidos al resolver las ecuaciones que fueron desarrolladas en el capítulo 4 para la placa porosa, el intercambiador de calor y el reactor heterogéneo, y que se discretizaron en el capítulo 5 para su solución por el método de elemento finito.

En el trabajo se estudiaron una gran variedad de situaciones, en condiciones de estado estacionario y condiciones dinámicas, aunque la forma de resolver las ecuaciones varió según el caso.

Para la p1ac:a porosa se resolvió utilizando 51 nodos equidistantes, aún cuando una cantidad menor podría haber sido suficiente. Para el caso del intercambiador de calor se utilizaron 501 nodos con el fin de minimizar los efectos de las fronteras, puesto que la función de generación de calor g(z) cambia muy rápidamente y presenta su máximo cerca de z=O.

Los sistemas; de ecuaciones resultantes en ambos casos fueron resueltos por medio del método de Newton-Raphson, pidiéndose como criterio de convergencia que ninguna de las incógnitas cambiara entre iteraciones sucesivas antes. de la novena cifra decimal.

-

Para el caso de las ecuaciones del reactor, la no linealidad del factor exponencial del término de Arrhenius causó problemas numéricos y no permitió la aplicación directa del método de Newton-Raphson. Para este caso

VI - 1

se resolvió utilizando la subrutina ZSPOW de la biblioteca de subrutinas IMSL ( 5 0 ) . Se usaron 31 nodos equidistantes, lo cual equivalió a resolver 124 ecuaciones simultáneas no lineales para cada uno de los perfiles de temperatura mostrados (recuérdese que para cada nodo existen dos balances de masa y dos de energía). El criterio de convergencia fue que se lograran cinco cifras significativas.

. Todas las simulaciones fueron ralizadas en una computadora CDC 930 con programas escritos en lenguaje FORTRAN.

6.2 ANALISIS DE RESULTADOS

6.2.1 ANALISIS DE RESULTADOS PARA LA PLACA POROSA Comenzaremos el análisis de los efectos que tiene la radiación sobre la

conducta estática y dinámica del sistema sencillo de placa porosa con generación interna de calor. Como ya se expresó en el Cap. 4, este sistema tiene la ventaJa de que, al carecer de términos de convección, nos permite comparar directamente las variaciones en los perfiles debidos a efectos netamente difucivos. El interés principal se centra en la verificación de la existencia de las llamadas ondas termicas.

Para la evaluación de los parámetros adimensionales necesarios para la realización del estudio, se ha seleccionado como material de referencia la a-alúmina, tanto por el interés que tiene por ser un soporte para catalizadores, ampliamente utilizado, como porque fue el sistema empleado por de Anda ( 9 ) en sus simulaciones.

Usando &=O. 4, k =O. 1 W/m/K, Cp=1066 J/kg/K, ps=1250 kg/m3, una temperatura de referencia de 600 K, un espesor de placa de 2L=0.005 m y un término de generación de G= l . 1 5 2 ~ 1 0 ~ W/m , se obtiene 3

R = 0.01

g = 2.0

L

El factor de visión se calculó como si la radiación ocurriera entre dos planos infinitos separados por una distancia ~3=1.18~10-* m.

En la fig. (6.1) se muestra la conducta dinámica de los perfiles de temperatura según el modelo I11 cuando se perturba el sistema por un incremento súbito de la temperatura del extremo de la placa. Dicho incremento, de 20% sobre el valor inicial, equivale a un aumento de 120 O C

VI - 2

F I G U R R 6.1. RESPUESTR DINRMICR DE UNR PLRCR POROSA DE FILUMINfl R UN INCREMENTO DE LR TEM- PERATURA DE PAREO. SEGUN EL MODELO 111

2.1 r

.-

- - I . 6 - -u o 1.5- o 1 . 4 - L omega = 0.01

c

E w 1.3- g = 2.0 a E 1.:- w

1 . 1 - t B=O \ I 1-1 L

\

O.!J 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Coordenada ax ia l x/L

Como era de esperarse dada la capacidad de respuesta finita del sistema, durante las etapas iniciales del regimen transitorio la temperatura en el centro de la placa permanece sin variación, en tanto que la del extremo aumenta rápidamente, provocando una depresión en una región cercana a z=1;

esta depresión desaperece tiempo después. La respuesta calculada con los modelos I y I1 es muy semejante.

A l comparar los modelos I y 11, según se muestra en la fig. (6.21, se observa que la omisión del efecto de la radiación ocasiona diferencias importantes en los perfiles, cuyo máximo se presenta en el centro de la placa (z=O) y varía entre ur-urr=O. 166 al tiempo cero y uI-uII=0.207 cuando se alcanza el nuevo estado estacionario; estas diferencias equivalen a 99 O C y 124 O C respectivamente. Se esperaría que diferencias tan grandes en los perfiles de temperatura tendrían efectos significativos en un sistema en que estuviera ocurriendo una reacción química, por lo que un modelamiento adecuado de la radiación es muy importante.

VI - 3

FIG 6.2. OIFERENCIAS DE TEMPERATURA CALCULADAS ENTRE LOS MOCiELOS I Y 11 PflRA UNA PLACA POROSA DE ALUMINA

0.0 0.1 0.2 0.3 0 . 4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Coorderinda ax i a I x/L

La comparación entre l o s modelos 111 y 11, fig. (6.31, muestra diferencias mucho menos marcadas, pero todavía importantes: u -u =0.05

(30 K) iniciales y u -u =0.054 (32 K) al final. I 1 1 I 1

I 1 1 I 1

FIGURA 6.3. DIFERENCIAS DE TEMPERATURA CRLCUL~R- ~ ~ ~ _ _ DAS ENTRE LOS b10DEL0S I 1 1 Y 11 PARR UNA PLACR PO- ROSA DE HLUMINA

0.00' 7

0.0 0.1 0.2 0.3 0 . 4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Coordenada a x i a l x/L

Ahora bien, s i observamos l as figs. (6.2) y (6.3) notaremos que

VI - 4

independientemente de la rnagni tud de las diferencias calculadas, la forma de las curvas es distinta. Para u -u las diferencias decrecen monótonamente desde el centro hacia la orilla de la placa, implicando que la corrección aditiva por radiación del modelo I1 únicamente hace que los perfiles de temperatura se tornen más planos por el aumento de la conductividad térmica efectiva, pero sin modiPicar mayormente la forma general de la curva. Por el contrario, los perfiles de la fig. (6.2) muestran la existencia de un máximo, que les da la forma de una onda, cuya ubicación varía con el tiempo por efecto de la perturbación del sistema, moviéndose en la región de O < z < 0.4.

I I 1

Dado que la diferencia entre el modelo 111 y el modelo I1 es l a

inclusión de una contribución convectiva por radiación, parece razonable asociar este comportamiento a la existencia de este término. En la fig. (6.4) se muestra el valor de esta contribución, a la que ya se ha dicho que se le llamará pseudoconvectiva

2 au az

FIGURA 6.4. CONTRIBUCION CONVECTIVA DE LR RADIACION AL FLUJO DE CALOR PARA UNA PLACR POROSA DE ALUMINA

término pseudoconvectivo = PS = -12 Q u

ozm 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Coordenada a x i a l x/L

La formación de un máximo en la fig. (6 .4 ) es una consecuencia de la definición de PS. Si volvemos a la fig. ( 6 .1 ) podremos notar que cuando u es máxima (z=O),. el valor de du/az es mínimo; por el contrario, cuando au/az es máximo (z=l), el valor de u es mínimo. Cuando estas tendencias se

VI - 5

equilibran, se produce un óptimo en un punto intermedio. Lo que es importante notar aquí es que la curva de máximos sigue una

tendencia espiral muy semejante a la observada en la fig. (6.3). Esto apoya la afirmación de que las ondas observadas al comparar los modelos 111 y I 1 son una consecuencia de usar una aproximación de tipo Rosseland para modelar el fenómeno radiativo.

Si comparamos estos resultados con los presentados por de Anda (91, fig. (6.5). ' debemos decir que esencialmente son iguales en cuanto a que presentan la formaci6n de ondas. Sin embargo, también debe decirse que la tendencia que él describe en el comportamiento de la curva de máximos es distinta y poco probable, porque afirma que al tiempo cero el máximo es u -u =O en z=1, implicando que al inicio ambos perfiles son iguales o que las diferencias son negativas. Esto no es cierto. Además, el fenómeno de la formación de máximos es más sutil en la fig. (6.3) que en la fig. (6 .5 ) .

1 1 1 X I

F I G U R A 6 . 5 . COMPARACION DE LOS

MOUELOS I I i Y I1 SEGUN UE ANDA

VI - 6

.

I Ahora cabría preguntarse qué implica lo que se ha dicho desde el punto

de vista de l o s perfiles de temperatura. En la fig. (6.6) se presentan en una forma muy exagerada las tendencias que hemos estado analizando.

FIGURR 6 . 6 . ESQUEMRTIZACION DE LOS PERFILES CflLCULAOOS CON LOS MODELOS 111 y I 1 PARA EX- 3L!i3PR LR FURMRCION DE if? ONDR TERMICfl


Resulta claro que el efecto de PS es el de mantener un perfil que tiende a ser plano en la región de alta temperatura y baja pendiente, para después reducirse rápidamente cuando la temperatura comienza a descender; el efecto neto es un perfil que es más bajo con respecto al modelo que omite la radiación y que es ancho en relación a su altura. El modelo I1 tiende a sobrestimar el efecto de la radiación.

En cuanto a los efectos sobre la dinámica, tanto en la fig. (6.2) como en la fig. (6.3) se aprecia un acercamiento de l o s perfiles durante las etapas iniciales del período transitorio (la diferencia de temperatura disminuye) para después volver a separarse. Este comportamiento se explica como resultado de la competencia entre el efecto que tiene la radiación, de hacer más planos los perfiles, y el efecto de acelerar la respuesta dinámica por el aumento de la difusividad térmica. Por ejemplo, cuando el perfil del modelo I1 responde a la perturbación en la orilla de la placa, sube rápidamente, mientras que la lentitud de respuesta del modelo I provoca que el valor calculado de uI-uII se reduzca. Sin embargo, conforme

L

VI - 7

pasa el tiempo, el modelo I1 se aproxima a su nuevo estado estacionario, y lógicamente su variación es más lenta, en tanto que el modelo I todavía se encuentra en una parte rápida de su periodo transitorio y por ello las diferencias comienzan a aumentar hasta que superan los valores iniciales para situarse en los nuevos perfiles de estado estacionario.

Hasta este momento se ha analizado el comportamiento del sistema bajo condiciones de operación muy severas. En la fig. (6 .7) se presentan los resultados obtenidos cuando se usan los mismos parámetro que en la fig. (6 .11 , excepto que el término de generación se reduce a g=0.6 en vez de g=2. o.

FIGURR 0.7. RESPUESTfl DINflMICA DE UNA PLRCA POROSA DE RLUMINR b UN INCREMENTO DE LR TEM- PERRTURA DE PflRED, SEGUN EL MODELO 111

e . e .

0.51

1.50

3

c

I nri , ."" 0.0 0 . 1 0.2 0.3 0 . 4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 . 0

Coordenada ax i a I x/L

La drástica reducción en los perfiles de temperatura se ve acompañada de un rápido desvanecimiento de los efectos de radiación, a pesar de que todavía se opera a 600 K iniciales en la pared. Esto nos deja ver la importancia dé los gradientes de temperatura en la influencia de este fenómeno .

En las figs. ( 6 . 8 ) y fig. (6.9) se muestra la comparación entre los distintos modelos. En este caso las diferencias máximas de temperatura son, antes de la perturbación, de 18.7 K y 2.9 K después de la misma.

III-'II y de 12.6 K para uI-uII y de 2.4 K para u

VI - 8

I

a L 30.004;

F I G . 6.8. O IFERENC I nS DE .TEMI'ERATURR CCILCULflDf'lC ENTRE LOS MODELOS I Y 11 PnRn UNA PLflCR POROSR

-

DE RLUMINA

D

.- 0 O.OUE o C a, L

~0.oOi .- D

- 0.000

-

- omega=0.01

g = 0.6 1 L - J

VI - 9

este efecto. En la fig. (6.9) podemos notar que para estas condiciones de operación el máximo de temperatura se mantiene en z=O durante la etapa inicial del período transitorio, indicando la desaparición de la onda térmica por unos instantes. La explicación de este fenómeno la podemos encontrar en la gráfica del término pseudoconvectivo, fig. ( 6 .10 ) . Tomando como referencia la ubicación del punto máximo de PS, podemos ver que debido a que ahora el perfil es mucho más plano, el efecto de la perturbación penetra mucho más profundamente hacia el centro de la placa, trayendo como consecuencia que el máximo de la comparación u -u sea desplazado hacia esa zona. Otra consecuencia de lo plano del perfil es que PS se vuelve más sensible a las variaciones de la pendiente, haciendo que en los estados estacionarios el máximo tienda a permanecer muy cerca de z=1.

I11 I 1

FIGURA 6.10. CONTRIBUCION CONVECTIVA DE LA RADIflCION AL FLUJO DE CflLOR PflRR UNR PLACR POROSFI DE RLUMINA

I

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.Q 1.0 Coordenada ax i a I x/L

6.2.1 ANALISIS PARA EL INTERCAMBIADOR DE CALOR - En esta sección continuamos el análisis de la influencia de la

radiación, en este caso cuando se combina con efectos convectivos en un intercambiador de calor en que se permiten efectos de generación interna de ene r g í a.

En la fig. ( 6 . 1 1 ) se presentan los perfiles de estado estacionario para los modelos I y I11 bajo tres números de Peclet diferentes.

VI - 10

Como podría esperarse, el aumento de Pe provoca que los puntos máximos de temperatura se reduzcan y sean llevados hacia el final del lecho, ocasionando además una disminución en las diferencias observadas entre los mode 1 os.

FIGURA 6.11. PERFILES DE TEMPERATURA EN ESTRDO ESTACIONARIO PARA DISTINTOS NUMEROS DE PECLET SEGUN LOS MODELOS I Y 111 USRNDO EIw=2.

2-20 I 3 1 Pe= 1

I .o01 @.O 0.1 0.2 0.3 0 . 4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0


En la fig. (6.12) se muestra la comparación entre los perfiles calculados con los modelos I y 11, mientras que en la fig. (6.13) se puede ver la diferencia entre I11 y 11. A l igual que con el modelo de placa porosa, el efecto de la radiación provoca, debido a sus propiedades dispersivas, diferencias importantes de temperatura en la región de los

máximos, bajo condiciones en que el número de Peclet es pequeño. Cuando Pe aumenta, estas diferencias no sólo tienden a abatirse, sino que se hacen más uniformes .

Ahora bien, al comparar las figs. (6.12) y (6.131, nuevamente observamos un cambio notable en la forma de las curvas. La diferencia entre I y I1 es simplemente cúantitativa; el error por la omisión de la radiación sólo es afectado por el nivel de temperatura y, de esta manera, la forma de los perfiles y de la curva de diferencias entre ambos modelos es la misma.

En cambio, en la fig. (6.13) se'nota la formación de dos crestas, una a cada lado del máximo de temperatura, exactamente como en el caso de la placa.

VI - 11

F I GlJRfl 6.12. COElPflRRC 1014 DE LOS PERFILES DE TEM- PERRTURA EN ESTH110 ESTnCIONflRIO DE LOS MODELOS I Y I 1 PARA EL INTERCflMBInOOR DE CHLOR CON BIw=2

E! 0.12 - 3 O 4-J

o. 10 -

a E 2 0.08 -

at -0

o .-

o t a,

0.00

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.6 0.7 0.8 0.Q 1.0 Coordenada axial x/L

FIGURR 6.13. COMPRRRCION DE LOS PERFILES DE TEM- PERATURA EN ESTfiDO ESl~f3CIOI\IRRtO DE LOS MODELOS 11 Y 111 PORfl EL INTERCOMBIf7DOR DE COLOR CON Blw=2

0.06 I

L

E

3 0.04 O L a,

a, 0.03 +J

a, U

.o 0.02 o C L m m \c 0.01 ._ u -

- Pe= 1

Biw = 2.0

omega = 0.01

Pe= 1 O

0.00' 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Coordenada axial x/L

Estas crestas u ondas son atribuíbles a la contribución convecLiva de l a

radiacibn, que se encuentra graficada en la fig. (6.14).

. V I - 12

FiLURR 6.14. VFiLOR DE LFi CONTRIBUCION CONVECTI- VR DE LR RADIRCION PRRA EL CflMBIRDOR DE CALOR. USRNDO -BIw=2 Y TRES VRLORES DE PECLET

I 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0


La pseudoconvectividad, al corregir el número de Peclet (reduciéndolo antes del punto caliente e incrementándolo después del mismo) se contrapone al efecto de dispersión de la contribución difusiva que tiende a aplanar el perfil; el efecto neto es un aumento en el gradiente de temperatura a la entrada del intercambiador, que es la zona donde domina la generación de calor.

Después del máximo de temperatura el aumento en Pe hace que la velocidad de enfriamiento no sea suficiente para compensar el aumento del término convectivo y por ello el perfil tiende a aplanarse, aunque manteniendo una temperatura alta. En la región central (donde PS se anula) sólo hay efectos dispersivos, por lo que la temperatura tiende a hacerse baja y uniforme. Estos efectos se ilustran en la fig. (6.15).

Nótese el apoyo que recibe esta exlicación cuando observamos la tendencia exhibida al cambiar el Bi . Si comparamos las figs. (6.131, (6.141, (6.16.) y (6.17) veremos que cuando Bi crece, la magnitud negativa de PS baja, dando Pe efectivos mayores y evitando el calentamiento en la región de dominio del término de generación; el resultado es una disminución del tamaño del primer máximo en la fig. (6.16) con relación al resto de las diferencias. En cambio, la magnitud positiva de PS aumenta al aumentar Bi como resultado del enfriamiento acelerado. El elevado

W

W

VI - 13

gradiente de temperatura acentúa la influencia del Pe efectivo y favorece la formación del segundo máximo.

FIGl iRR 6.15. ESQUEMRTIZRCION DE LOS PERFILES DE TEMPERATURA EN ESTADO ESTACIONARIO PARfl LOS MO- DELOS I 1 Y I11 PRRR EL INTERCRMBIRDOR DE CALOR

Reg i dn i n te rrned i a

\ \ , .IJ i Ón de I p r i - z 1 // m e r máximo

10

C1.0 0.1 0.2 0.3 U.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Coordenada ax i o I x/L

En las figs. (6.18) y (6.19) se muestra el efecto cuando Bi es igual a uno. En este caso, en que el enfriamiento es pobre, el primer máximo aparece muy marcado, mientras que el segundo prácticamente desaparece.

Por supuesto, las tendencias descritas no eliminan el hecho de que mientras menor sea el enfriamiento, es más notable la magnitud de los

puntos calientes de los perfiles de temperatura y crecen los errores en que se incurre al omitir la radiación.

En las figs. (6.20) y (6.21) se muestran los perfiles de temperatura para Bi =1. O y Bi =3. O respectivamente; l a correspondiente comparación entre los modelos I y I1 aparece en las figs. (6.22) y (6.23).

W W

-

Si recordamos que la temperatura de entrada es de 600 K, para un Pe=l las diferencias máximas calculadas son 131 O C para Biw=l y 47 O C para B i =3, mientras que al aumentar a Pe=lO, las diferencias se reducen a 10.3 'C y 7.7 OC respectívamente.

W

VI - 14

9 c

2 '4 O

X O

(90 o

:O

O .-

D o

o8 o

O 0 O"

fi! O

- O

9 O

O

O o II

m o

?

Y- ,\ .\I: -

t r ! . O 0

VI - 15

I

O - 0 o . o II o I1

E .- L o m

O

O

I1

% 5 al

VI - 16

Para el estudio de la conducta dinámica del intercambiador 'con los distintos modelos, se hicieron simulaciones analizando la respuesta del sistema a un decremento súbito del 25% en el calor generado, como se explicó en el Cap. 5. La idea es observar las alteraciones que se producen en la magnitud y en la ubicación del punto caliente.

En la fig. (6 .24) se muestra la respuesta de los perfiles del modelo I11

bajo condiciones de Pe muy bajos y enfriamiento elevado, que dan por resultado un punto caliente muy marcado.

Obsérvese que como consecuencia de la reducción de la tasa de generación de calor g(x), la magnitud del punto caliente disminuye en un 17%, aunque s u ubicación se mantiene prácticamente en la misma zona del intercambiador. En esta figura es notable la diferencia en la respuesta entre la región de entrada al cambiador y l a región de salida del mismo. La razón para ello es que, por la definición de la fuente generadora g(x), prácticamente todo el calor se produce a la entrada del sistema, desapareciendo muy rápido conforme se avanza axialmente. Así, cuando ocurre la perturbación, la parte más afectada del perfil es la inicial, en tanto que la parte final, que de alguna forma sólo depende indirectamente de g(x), responde muy tardíamente, cuando el nuevo punto caliente ya prácticamente está establecido.

La fig. (6 .25) muestra l a comparación de los modelos I y 11. Es claro que la curva de máximos se mantiene en la misma zona que la mostrada en la fig. (6 .24) y sigue una trayectoria similar, implicando que también en un sistema con flujo convectivo la diferencia dinámica entre I y I 1 es de magnitud por el aumento de la difusividad térmica, mas no de forma.

En la fig. (6 .26) se presenta el comportamiento de la onda térmica resultante de la comparación entre los modelos I11 y 11. Se observa un marcado desplazamiento de la curva de máximos ubicada en la zona de 0.6 < z < 0.8, que es causado por la respuesta dinámica retrasada de la parte final del intercambíador. Si comparamos con la fig. (6.24) podremos notar que el punto máximo de avance se corresponde aproximadamente con el tiempo en que la temperatura de la sección final del intercambiador comienza a variar rápidamente y que la zona de 0.6 < z < 0.8 corresponde a un sitio donde en las etapas iniciales del período transitorio la temperatura tiende a hacerse uniforme para después aumentar rápidamente el gradiente.

V I - 17

L

\ \ \ \ \

VI - 18

En la fig. (6.27) se muestra la variación de los perfiles cuando se trabaja a condiciones menos drásticas de enfriamiento, Bi =2, con un Pe=5. En este caso, la reducción en la magnitud del punto caliente es de 14% y se observa un desplazamiento más marcado en la evolución de la curva de máximos. También en este caso existe un claro retraso en la parte final del cambiador.

W

La comparación entre los modelos I y 11, fig. (6.281, refleja este desplazamiento acentuado pues también su curva de máximos abarca una distancia axial más amplia, localizándose entre 0.5 < z < 0.66.

En lo que respecta a la comparación entre I11 y 11, en la f i g . (6.29)

notamos que el máximo localizado a la entrada del intercambiador pasa de una situación muy prominente al inicio, a ser muy poco notable en el nuevo estado estacionario. Sin embargo, no es posible seguir su evolución a través del tiempo porque la diferencia en la dinámica de los modelos en la parte final del intercambiador hace que el máximo desaparezca durante la mayor parte del período transitorio.

6 . 2 . 3 A N A L I S I S DE RESULTADOS PARA EL REACTOR EMPACADO

En las secciones anteriores se abordó el problema de la influencia de la radiación en sistemas simples en que de alguna forma se simulaba la existencia de una reacción química exotérmica mediante una fuente interna de generación de calor. A lo largo de dichas simulaciones se encontró que, bajo ciertas condiciones de operación, la forma en que se modelaba la transmisión de calor, tomando en cuenta u omitiendo la radiación térmica, podía originar diferencias de temperatura lo suficientemente importantes como para provocar cambios notables en los perfiles de temperatura calculados en un reactor empacado.

Para comprobar tal hipótesis, en esta sección se estudia el comportamiento estático y dinámico de reactores químicos de lecho fijo, tanto de tipo adiabático como no isotérmico no adiabático, en que ocurre una reacción irreversible altamente exotérmica. Aunque los parámetros usados para modelar cada uno de estos sistemas cambian de una simulación a otra, básicamente las variables uti 1 izadas son modificaciones del conjunto empleado por Liu y Amundson (51) para su modelo de reactor de dos fases. Adicionalmente, para tratar de dar valores realistas a los parámetros de transporte de calor y masa en el lecho y en l a interface sólido-gas, se

-

V I - 19

9 (u

II

2 ._ m

- 9

b O

o) m E o

c

O

O

II

%I a, E o

(u

II

3 ._ m

Lo

II

a, a

O (u

I

3 ._ m

VI - 20

r

recurrió a diversas correlaciones encontradas en la 1 iteratura; dichas correlaciones se encuetran reportadas en el Apendie B de este trabajo.

Una observación final es que, dado que en general la conducta dinámica de los reactores está gobernada por la dinámica de la fase sólida, en todo el análisis siguiente omitiremos la gráfica de los perfiles de la fase gaseosa.

Reactor adiabatic0 La fig. (6.30) muestra los perfiles de temperatura en la fase sólida

calculados con los modelos I y I11 para un reactor adiabático. Puede verse que para las temperaturas que provocan ignición hay un claro desplazamiento del perfil de temperatura cuando se toma en cuenta la radiación, como consecuencia del incremento del retromezclado de calor. Así, la región de ignición del modelo I11 está aproximadamente una distancia Az=O.l antes que la del modelo sin radiación; sin embargo, si la región de aumento de gradiente ocurre lo suficientemente dentro del reactor como para permit ir el desarrollo total de la curva, no se modifican sustancialmente ni su forma ni el máximo incremento en T . Para la temperatura de 615 K, en que hay control cinético, la diferencia es prácticamente nula.

S

FIGURR 6.30. PERFILES DE TEMPERATURA CALCULADOS CON LOS MODELOS I Y 111 PRRA UN REflCTOR ADIflBfl- TIC0 CON DIFERENTES CONDICIONES INICIRLES DE To

. . - . - - - con radicción - 1.40- 0 C O

01 .-

c = .O01284 kmI/m3 O

7 4

E - al 1.10- a E

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.Q 1.0 Coordenada ax i a I x/L

VI - 21

Las figs. (6.31) y (6.32) muestran l a comparación de los modelos 1-11 y

111-11 respectivamente.

FIGURR 6.31. COMPRRRCION DE LOS PERFILES CRLCU- LADOS CON LOS MODELOS I Y 1 1 PflRfl EL REACTOR A- DiFlBATICO DE l-R FIGURQ 6.30

0.00 O

3 L

4

L o Q E a, -0.04

(1) D 0

o C

a,

o -0.02

-d

-0. DE .-

-0.m

\e

0 -0.lC

-0. li 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.6 0.7 0.8 0.Q 1.0

Coordenadu axial x/L

0.15 3

4J

L go. 12 E a, J

0 0.09 D o ._

0.Q6 L a, %

D 0.03

0.00

FIGURR 6.32. COMPARACION DE LOS PERFILES CALCULflDOS CON LOS MODELOS I 1 1 y I 1 PARA EL REACTOR RDIFIBfiTICO DE Lfl FIG. 6.30

omega = -038. .O37 y 0.36

co= 0.001284 kmol/m3

..

0.0 0.1 0.2 0.3 0 . 4 0.6 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Coordenada axial x/L

VI - 22

Partiendo del conocimiento de que la forma de los perfiles no cambia, la magnitud de los picos observados es una medida del grado de desplazamiento inducido por la corrección radiativa. La fig. (6.31) muestra que el desplazamiento causado por difusión tiende a crecer lentamente con el aumento de temperatura, dando diferencias máximas del orden de 60 'C; esto representa aproximadamente una quinta parte del incremento total de temperatura por ignición, que es de unos 300 O C .

o t > 1.35- c - 0 I . 3 0 - C o o) 1.25- C a, E .- I .m+ U CI

1.15-

.-

3 4 p 1.10-

Por el contrario, los desplazamientos causados por el modelo I11 son más sensibles a los cambios en T , aumentando desde uIII-uII=O.ll a 620 K,

hasta unos 0.15 a 625 K. Estas diferencias, que representan una variación de 70 a 90 OC, son un cambio que resulta de consideración para cuestiones de modelamiento. Por ejemplo, en l a fig. (6.33) se muestra una situación hipotética en que la longitud del reactor es tan só lo del 63% de la modelada en la fig. ( 6 . 3 0 ) .

O

FIGURFi 6.33. SITUACION MOSTRRNDO LA IMPORTRNCIR DEL MODELQMIENTO DE LR RflDIACION PRRfl DETERMINRR LR REGION DE IGNICION EN UN RERCTOR RDIREATICO I

omega=O

c = .o0 O

037

284 krnol/rn3

Modelo 111

Modelo I

To=625 K \:

</

Coordenada a x i a l x/L L

Resulta claro que en tanto que los modelos I y I1 predicen que una perturbación de 5 OC en la temperatura de alimentación no daría lugar a incrementos en la temperatura de salida superiores al 15%, la realidad es que, como lo muestra el modelo 111, este incremento pudiera alcanzar el 35%.

VI - 23

La fig. (6.34) muestra el valor de la contribución convectiva de la radiación al flux de calor.

Es claro que en este caso, en que tenemos dos fases, no es posible hacer una comparación directa contra el Peh de la fase gas; sin embargo, recordando el trabajo de Vortmeyer (48) y de otros investigadores que han buscado la equivalencia entre los modelos pseudohomogéneos y heterogéneos, sabemos que de alguna manera es posible relacionar las magnitudes de estos parámetros. Para la fig. (6.30) el valor del número de Peclet de calor es de Peh=83. Comparando contra el valor máximo de IPSI=2.7, resulta sorprendente que una correción tan pequeña ocasione un desplazamiento que es aún más evidente que las desviaciones encontradas para el intercambiador de calor, donde la relación PWPe era mucho mayor.

Si ahora observamos las figs. (6.35) y (6.361, nos encontramos que al variar las , condiciones de operación los desplazamientos son prácticamente despreciables, a pesar de que los incrementos de temperatura son de una magnitud comparable a los calculados en el primer reactor (la diferencia básica entre el reactor de la fig. (6.30) y los de las figs. (6.35) y (6.36) es una reducción del 4% en la energía de activación, pasando de 24 kJ/mol a 23 kJ/mol 1 .

Se puede notar que al triplicar la conductividad térmica del catalizador los perfiles de temperatura se desplazan a la entrada del reactor, pero no se observa un desvanecimiento de la importancia de la radiación. Esto lo demuestra el hecho de que la separación entre los perfiles se mantiene básicamente igual y aún aumenta ligeramente a 640 K, a pesar de que el parámetro R se reduce a la tercera parte.

Los resultados anteriores llevan a pensar que el fenómeno radiante es un proceso cuya importancia en el modelamiento de un reactor químico depende, además del nivel de temperatura y de su gradiente, de las características de la tasa de reacción y de una interacción que no es evidente con el resto de los parámetros del sistema.

La fig. (6.37) muestra el efecto de la concentración de reactivo en los perfiles de temperatura calculados con los mismos parámetros que en la fig. (6.35). Puede verse que en este caso, en que se modifica la tasa de reacción por una variación en c , el efecto de una ignición más violenta comienza a provocar desplazamientos más claros en los perfiles de temperatura, acompañados por un aumento en el gradiente y en el incremento de temperatura.

VI - 24

I

._ U L C O o

O l / S l I Dun 1 sum

Y

7 3

VI - 25

En lo que respecta a la conducta dinámica de los reactores adiabáticos, la fig. (6.38) muestra el proceso de extinción provocado por un descenso del 4% en la temperatura de alimentación de la corriente gaseosa. Se observa la formación de un frente móvil de reacción que se mantiene hasta la salida del reactor, lugar donde la temperatura comienza a abatirse.

FIGLlRR 6.38. PERFILES DINAMICOS PARA UN FROCESD DE EXTINCION CAUSADO POR UNA DISMINUCION DEL 4% EN LA TEMFERRTURA DE ALIMENTRCION

1 .5lD O c \ m c

0 c o o) c al

. E

U o

-

.-

.-

3 4

i iT Q E al t

0.90 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 l.U


La existencia de la radiación provoca un alargamiento del período transitorio, no só lo porque la distancia a recorrer hacia la salida es mayor, sino porque la velocidad del frente de reacción es menor. Esto se ve más claramente en las figs. (6.39) y (6 .40) .

E l aumento en las diferencias indica un aumento en la separación de los perfiles transitorios hasta un tiempo aproximado de 3600-4000 s, después del cual las diferencias comienzan a acortarse por efecto del descenso de la temperatura del reactor; pasando los 5400 s, los perfiles caen muy abruptamente. L

El cambio de conducta puede ser entendido siguiendo la explicación dada por Rhee et al . (52). A l principio, cuando se produce el descenso de la temperatura de alimentación, se crea un desbalance entre la tasa global de remoción de calor del reactor y la tasa de generación debida a la reacción, haciendo que la segunda sea menor que la primera; entonces el reactor es enfriado continuamente hasta que las dos tasas se equilibran nuevamente.

VI - 26

FIGURR 6.39. CDMPflRAC1DN.DE LA DíNflMICfl DE LOS MODELOS Y Y I I PARA EL PROCESO DE EXTINCION MOS- TRADO EN L A FIGURfl 6.38 o .o2

/c

/j / I f a 0.00- 3 L

t, p -0.02 - III n -0.04 -

4

Iu u -0 .O6

t=7200 s K

272 t=1800 s

To = 630 I T = 605

o .- E -o .a8 pi

c =0.001 O

.- U

-0.12 u

0.0 0.1 0.2

68 kml/m3 I

t=5400 s T=3600 s

0.3 0.4 0.5 0.8 0.7 0.8 0.0 1.0 Coordenada axial x/L

FIGURA 6.40. COMPRRACION DE Lfl DINAMICR DE LOS MODELOS 111 Y 11 PRRR EL PROCESO OE EXTENCION MOSTRRDO EN LA FIGURFI 6.38

0.201

t-3600 8 0.18 - TO-630 K t=1800 c L T =BO5 K

4 c =O.OOllBB kml/rn3 f 0.14 cu omga=O. 1 272 a

o.ie - o -

n, 0.12 - 4

U 0.10

c] 0.08

c 0.06

O.Q4

0.02

-

- _- U

n l - L

-

- _-

-

n nn u .uu 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4' 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Mod 111 - Mod I t Coordenada ax i a I x/L

VI - 27

Como al principio el incremento de temperatura para el modelo sin radiación es mayor que para aquellos que sí la consideran, su frente de reacción avanza rápidamente; sin embargo, en la parte final del período transitorio el frente de reacción ya no avanza, sino que comienza a extinguirse y el efecto dominante es el de la dinámica más rápida para los sistemas con mayor difusividad térmica.

Un efecto mucho más dramático se presenta cuando se produce la ignición del reactor por un incremento del 20% en la concentración de alimentación del reactivo, como puede verse en la f i g . (6.411.

FIGURA 6.41. PROCESO DE IGNICION EN UN REflCTOR RDIABATICO CRUSRDO POR UN INCREMENTO DEL 20% EN LR CONCENTRRCION INICIRL DE REACTIVO

I .6O1 I

Mod

En este caso, los efectos de radiación inducen una separación muy acelerada de los perfiles transitorios con respecto a aquellos calculados con el modelo I , como los muestran las f i g s . (6.42) y (6.43).

De hecho, el nuevo estado estacionario del modelo 111 presenta la ignición en z=O.2, mientras que la región de ignición del modelo I, que es prácticamente la misma que el modelo 11, está en z=O.4.

-

Existe entonces, una fuerte importancia de la contribución convectiva de la radiación. La magnitud de la pseudoconvectividad se encuentra graficada en la f i g . (6.44).

VI - 28

V I - 29

Reactores no adiabaticos En cuanto a los reactores no adiabáticos, la fig. (6.45) muestra los

perfiles de estado estacionario para tres temperaturas de alimentación diferentes en un sistema en que las condiciones de entrada ejercen una influencia notable.

Este es un reactor pobremente enfriado, cuyo comportamiento recuerda al de los reactores adiabáticos estudiados anteriormente. En este sistema, el aceleramiento de la tasa de reacción debido al retromezclado de calor domina al efecto dispersivo que tiende a uniformizar los perfiles de temperatura, trayendo como consecuencia discrepancias crecientes entre los

perfiles calculados con los distintos modelos, sobre todo al provocar puntos calientes de magnitud cada vez más elevada en aquellos calculados con el modelo I11 con respecto a los del modelo I.

D I-

con rad i ac i Ón ---,I

, * -.

Aunque las variaciones porcentuales en los perfiles no son -

0

muy grandes, en las figs. (6.46) y (6.47) se nota claramente que para este reactor la influencia de la radiación crece rápidamente, pasando de diferencias prácticamente nulas a 678 K a diferencias muy localizadas pero que suben rápidamente con pequeños aumentos en T .

Nuevamente puede verse que para un sistema dado, la importancia de la radiación no radica en su valor intrínseco como conductividad térmica o

VI - 30

como fen6meno paralelo a la conducción, variaciones de la tasa de reacción y con los parámetros del reactor.

sino en su interaccíón con las

FIGURA 6.46. COMPARACION DE LOS PERFILES DE ESTRDO ESTflCIOt'IARIO CALCULRDOS CON LOS MODE- LOS I Y I1 PRRA EL RERCTOH GE LFI FIGURA 6.35 1

-0.04' I

0.0 0.1 0.2 0.3 0 . 4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Coordenada a x i a I x/L

FIGURA 6.47. TADO ESTAClONARIO CHLCULADOS CON LOS MODELOS I 1 Y I11 PARR EL REACTOR DE LR FIGURFI 6.45 I

COMPARRCION DE LOS PERFILES DE ES-

0.030

70.025

-

0

c0 = O . O0 I 47 1 krro I /m3

omega = 0.07

L

4

p. O20 E a, 40.015 a, U

._ o k0.005 L

\c a,

U .-o.mo

-0.005 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0 . 4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0


VI - 31

Un efecto de radiación mucho más niarcado se muestra en la fig. ( 6 . 4 8 ) .

Se trata de un reactor que presents múltiples estados estacionarios, siendo el perfil intermedio fuertemente dependiente de la manera en que se modela la radiación.

FIGURR 6.48 PERFILES DE TEMPERFITURFI PRR. UN REHCTOR NO flu1 HBAT I CO QUE PRESENTR MULT IPLES ESTRDOS ESTAC I i3PiFIR I OS

I .60 O

t- \ Lo t- 1.50

o C ._ o 1.40 Lo C a,

D o o

-

.E I.3C

5 1.x L 4

[D

E [D t-

al.lC

I .oc C O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.Q 1.u

Coordenada oxial x/L

Para este caso, es muy notorio que los perfiles calculados con el modelo I11 están muy por debajo de los calculados con el modelo I , mientras que los perfiles de control difusivo y de control cinético no presentan diferencias importantes para los distintos modelos estudiados.

En la fig. (6.49) se muestra el efecto de la temperatura de alimentación en el comportamiento del estado estacionario intermedio. Puede verse que el perfil es altamente dependiente de las condiciones de operación dentro del rango de temperaturas estudiado, presentando comportamientos propios de una i gni c i 6x1. -

La explicación de la conducta "extraña" de que, para un modelo en particular, los puntos calientes se presenten a las T más bajas la encontramos en la funcionalidad de la tasa de reacción con la concentraci6n de reactivo y la temperatura. Si, por ejemplo, nos fijamos en los perfiles para el modelo I , podremos ver que hasta z=0.53 la curva correspondiente a T0=648 K está por debajo de la curva para T =651 K; esta pequeña diferencia

VI - 32

1

I I

I de temperatura es lo suficientemente importante como para reducir la conversión desde xl =28% hasta ~ ) ~ ~ ~ ~ = 2 3 . 7 % , de tal suerte que al llegar a la zona de ignición el gas que entró a la To más baja tiene una concentración de reactivo significativamente mayor y es capaz de provocar

2S1K

reacciones más violentas.

FIGURR 6.49. INFLUENCIR DE LA TEMPERATURA DE RLIMENTACION EN EL ESTRO0 ESTACIONARIO INTER- MEDIO MOSTRRDO EN LA FIGURF1 6.48

I

++ I .o0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 I .o

Coordenado axial x/L

La comparación entre los modelos se presenta en las figs. (6.50) y (6.511, mostrando la acentuada diferencia entre las predicciones en la forma de picos cada vez más grandes en la parte negativa de las gráficas.

Ahora, si bien la radiación no provoca efectos apreciables en los

perfiles estacionarios de control cinético y difusivo, sí muestra una marcada influencia en la conducta dinámica de transición de un estado estacionario a otro.

La fig. (6.52) muestra el proceso de ignición causado por la inyección de un pulso cuadrado de reactivo con duración de 1300 s. Puede verse que en este caso la radiación ocasiona que la respuesta dinámica del sistema sea mucho más rápida, dando lugar a separaciones muy marcadas entre l o s

perfiles que la toman en cuenta y aquellos que la omiten. Se nota que esta separación sólo se da cuando se forma un frente móvil de reacción, pues en la fase inicial de ignición la distancia entre perfiles es pequeña. Las figs. (6.53) y (6.54) muestran la comparación entre los distintos modelos.

-

VI - 33

,

0

o C tu

.- -0.12

L-o*'6- 111 \c

FIGURA 6.50. CUMPRHflCION DE LOS PERFILES CRLCU- LflOOS CON LOS MODELOS I Y I 1 PflRfl EL ESTRDO ES-

- c,=O. O0 1 168 k m o I /m3

omega = 0.07315

TfiCIONARIO INTERMEDIO DE LA FIGURA 6.48 0.08

? 0.04- 3 4

p 0.00 I]) a $ -0.04 - 4J

111 -0.08 1 D \ I

i -0 -0.20 v T 0 = 6 4 8 K

-0.24 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Coordanada oxial x/L

FIGURR 6.51. COMPRRQCION DE LOS PERFILES CALCU- LADOS CON LOS MODELOS 111 Y I T PARA EL ESTRDO ESTRCIONRRIO INTERblEOIO DE LFI FIGURR 6.48

o. 101

To=852 K

To-651 K

q, =O. O0 1 1 68 kmo I /rn3

omega = 0.07315

.- E -0.20 L

- I .- -u

-0.30 To=648 K

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Coordenada oxial x/L

En ambas figuras se observa una conducta semejante, en la forma de un pico que crece muy rápidamente hasta t < 5500 s , remarcando la separación entre los perfiles, pero que después se anula abruptamente. Este descenso súbito indica que uno de los modelos alcanza su nuevo estado estacionario y

VI - 34

que el otro llega un tiempo después. La contribución convectiva de la

To=652 K I

FIGURA 6.53. COMPARFiC ION ENTRE LOS PERFILES DE TEMPERRTURA CRLLULADOS CON LOS MODELOS I Y I1 PARR EL REACTOR DE LA FIGURA 6.52

0.20 I

0.0 0.1 0.2 (1.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Cüordenudu ax i a I. x/L

El proceso de ignición partiendo desde el estado estacionario intermedio, fig. (6 .56) , sigue una conducta muy similar.

VI - 35

I

- O

VI - 36

6.3 CONCLUSIONES

I I

A través de un trabajo de simulación por computadora se estudió el efecto de la transferencia axial de calor por radiación térmica en tres sistemas sólido-gas, cuya complejidad iba aumentando gradualmente

- Placa porosa con gas estancado y generación interna de calor - Intercambiador de calor empacado, con generación interna de calor - Reactor heterogéneo, tanto adiabático como no isotérmico no adiabático, en que ocurre una reacción altamente exotérmica

Cada sistema fue examinado en condiciones estáticas y dinámicas bajo tres distintos enfoques

- Omitiendo la radiación, suponiendo que es un fenómeno secundario - Considerándola como una corrección aditiva a la conductividad térmica efectiva

- Modelándola como un fenómeno independiente de la conducción por medio de una aproximación de tipo Rosseland

Se encontró que en los sistemas estudiados la omisión de la contribución de la radiación al flujo global de calor no siempre está justificada, observándose una influencia de intensidad variable sobre los

perfiles de estado estacionario así como sobre la conducta dinámica.

A partir de los resultados de las simulaciones de la placa porosa se pudo concluir que:

1. En sistemas estancados la omisión del fenómeno radiante causa errores en los niveles de temperatura calculados que llegan a alcanzar más de 100 OC con respecto a aquellos modelos que sí la toman en cuenta. Esta diferencia de temperatura es muy grande, sobre todo para sistemas en que ocurren reacciones químicas, cuya velocidad de reacción es altamente dependiente de la temperatura.

La magnitd del error en que se incurre al omitir este proceso de transferencia de energía varía mucho con la cantidad de calor generado en el sistema. Se encontró que el modelo tipo Fourier tiende a exagerar el efecto de la radiación.

2. La diferencia entre las predicciones del modelo de radiación tipo

VI - 37

Rosseland y el modelo tipo Fourier con conducción corregida por radiación (modelos I11 y I1 respectivamente) no es muy grande. Las simulaciones en que se usó un parámetro de radiación R=0.01 y un término de generación g=S.O mostraron diferencias máximas menores de 35 OC.

3. La comparación en la respuesta dinámica entre los perfiles de temperatura calculados con l o s modelos I 1 y I11 da lugar a la aparición de ondas, según lo había predicho de Anda ( 9 ) . Sin embargo, se encontró que dicho fenómeno es sutil, requiriéndose de gradientes de temperatura altos para poder apreciarlo claramente.

La existencia de la onda térmica está asociada con una contribución de tipo pseudoconvectivo originada cuando se modela la radiación siguiendo un enfoque tipo Rosseland. Este término depende tanto del nivel de temperatura como de su gradiente.

4. La onda térmica observada debe ser entendida como una 'deformación' causada por la pseudoconvectividad sobre el perfil de temperatura predicho con el modelo 111. Dicha deformación consiste en hacer que el perfil sea bajo con respecto al calculado con el modelo que omite la radiación y que es ancho con relación a su altura.

A l aumentar la complejidad del sistema en estudio modelando el intercambiador de calor, se notó que:

5. También en sistemas con flujo de gas se da el fenómeno de formación de ondas cuando se comparan los modelos I11 y 11. E l efecto del Bi es favorecer u ocultar la formación de los máximos de la onda dependiendo de la cantidad de calor generado y de la velocidad de flujo. La tendencia de los cambios exhibidos por l os perfiles de temperatura es similar a la descrita anteriormente para la placa.

6. Como podría esperarse, el aumento en el número de Peclet reduce las diferencias entre los perfiles calculados con cualquiera de los modelos propuestos, mostrando que, como ocurre COR l a coRducci6R, la inclusión de un término de radiación en el estudio de un sistema dado sólo es relevante

L

si los flujos convectivos dentro del mismo son pequeños.

En sistemas con reacción química, la radiación influye de manera

V I - 38

variable :

I

7. Las simulaciones en estado estacionario mostraron que este fenómeno puede producir marcados desplazamientos de la zona de ignición hacia el inicio del lecho en reactores adiabáticos por efecto del aumento en el retromezclado de calor. En reactores no adiabáticos el efecto se manifiesta básicamente como un cambio en la ubicación y la magnitud del punto caliente.

El tamaño y la dirección de estas alteraciones no depende únicamente de l o s niveles de temperatura y de su gradiente, sino que, en gran medida, la importancia de la radiación depende de una interacción compleja entre este fenómeno, las características de la tasa de reacción y de los parámetros de transporte de calor y masa. Por lo anteriormente dicho, el valor del parámetro de radiación R resulta un criterio insuficiente para medir la importancia del proceso de transferencia de calor por radiación en reactores químicos.

8. La radiación cambia la respuesta dinámica a perturbaciones en los parámetros del sistema. Las simulaciones mostraron un alargamiento en el período transitorio cuando se experimentó la ignición de un reactor adiabático y un acortamiento del mismo cuando la ignición se hizo en un reactor no adiabático.

Sin embargo, no debe pensarse que estas deban ser siempre las tendencias observadas. Los cambios en la conducta dinámica se notaron en los casos en que se produce un frente móvil de reacción y se sabe que la velocidad de este es función de diversos parámetros, entre los que se incluyen las capacidades caloríficas, las tasas de flujo y la magnitud de los cambios de concentración y temperatura en la zona de reacción.

9. Los resultados de los diversos casos estudiados muestran que deben esperarse efectos importantes de radiación térmica en reactores químicos que presentan igniciones, múltiples estados estacionarios, alta sensibilidad paramétrica, frentes móviles de reacción y, en general, condiciones extremas de operación.

L

VI - 39

APEDICE A.

VALORES DE LOS PARAMETROS EMPLEADOS EN LAS SIMULACIONES

DE LOS REACTORES

A continuación se presentan los parámetros utilizados en las principales simulaciones de reactores del capítulo 6.

- Reactor adiabático, perfil de estado estacionario de la figura

(6 .30) calculado a T = 625 K

Balance de masa en el gas

Pe = 275.3 St = 63.83 Stcf = 0.2216 9

Balance de masa en el sólido

t = 2.743 St = 63.83 PI = 2136 S

7 = 19.555

Balance de energía en el gas

c = 1.257 Nu = 3881 Nucf= 13.478 k 9

Peh = 83.03

Balance de energía en el sólido

Nu = 3881 P3 = 86770 FuS = 6.525E-6 = .O3811

- Reactor adiabático, proceso de extinción mostrado en la figura (6 .38)

Balance de masa en el gas -

Pe = 269.9 St = 59.36 Stcf = 0.2061 9


t = 2.286 St = 59.36 PI = 1958 S

7 = 18.601

A - 1


c = 0.3174 Nu = 13820 Nucf = 47.978 k 9

Peh = 324.6


NU = 13820 P3 = 2.804E+5 FU = 2.003E-6 R = O. 1272

- Reactor adiabático, proceso de ignición de la figura (6.41)


t = 2.743 St = 63.79 PI = 2349 a = 19.618


c = 1.257 Nu = 3882 Nucf= 13.478 k 9

Pe,, = 83.03


Nu = 3882 P3 = 87050 FU = 6.525E-6 R = .O3775 S

- Reactor no adiabático, perfil de estado estacionario de la figura (6.45) calculado a T = 680 K


L

Pe = 318.2 St = 71.24 st = 0.2112 9 cf


t = 1.929 St = 71.24 PI = 1311

A - 2

a = 16.715


c = 0.6193 Biw = 772.2 Nu = 9781 k 9

Peh = 195.2

Nucf = 28.979 u = 1 W

‘Balance de energía en el sólido

Bi = O Nu = 9781 P3 = 1.649E5 FU = 3.947E-6 R = .O7035 r S

- Reactor no adiabático, perfiles múltiples mostrados en la figura (6 .48) para To= 650 K


Pe = 295.6 St = 65.33 Stcf = O. 2075 9


t = 2.5 St = 65.33 PI = 2141 7 = 18.029


c = 0.606 Bi = 818.9 Nu = 8634 k W 9

Peh = 185.9

u = 1 W

Nucf = 27.4127


Bi = O Nu = 8634 P3 = 2.924E5 Fu = 3.197E-6 R = .O7315

A - 3

APENDICE B.

CORRELACIONES EMPLEADAS PARA DETERMINAR LOS PARAMETROS DE TRANSPORTE DE LOS REACTORES

Para evaluar los parámetros se emplearon diversas correlaciones encontradas en la literatura. Para estos cálculos se definieron los números adimensionales como sigue

Re = dPVPg CI

sc = ~ Pr = - pg DM

donde v es la velocidad superficial

a) Conductividad térmica de la fase gas Se calculó por medio de la correlación de Edwards y Richardson (53)

O. 5 kf = VpCpd [ 0.73- RePr & + 1 + 9.7c/Re/Pr P

con p=2.53e-5 kg/m/s a 298 K.

b) Coeficiente de dispersión de la fase gas Este parámetro fue evaluado usando la ecuación sugerida por Wen y Fan

(54)

vd P /2 O. 008<Re<400 0.28 <Sc<2.2 D = 0.750 + n 1 + 9.5DM/v/d

P

donde Dn es la difusividad molecular del reactivo A en la mezcla reaccionante. -Se consideró que a 298 K, DM = 1 . 8 5 ~ 1 0 ~ ~ m2/s

c ) Coeficiente de transferencia de masa fluido-catalizador Fue calculado según el trabajo de Dwivedi y Upadhay (55)

o. 458~ Re-O. 407cc-0. 666 E

k = 9

B - 1

d ) Coeficiente de transferencia de calor fluido-catalizador Se usaron las distintas correlaciones que reporta Vortmeyer (56)

- Para números de Reynolds muy bajos aplica la correlación de Littman y Sliva (57)

Re < 13

- Para números de Reynolds mayores se usaron las correlaciones sugeridas por Bird et a l . (58)

k h fc = [<] [ 1. 75Reo'49Pro'666]

k h' fc = [{I [ 1. 03Re0'5gPr0'333]

13 < Re < 180

Re > 180

e) Coeficiente de transferencia de calor hacia la pared Se empleó la correlación de Thoenes y Kramers (59)

h = e] [ 0.203Re 0.333pr0.333 + o. 2SRe0.8pr0.4] W

B - 2

NOTACION

A factor prexponencial de Arrhenius referido al area de cata1 izador; área transversal

a concentración adimensional a concentración adimensional de alimentación a área interfacial de pared por unidad de volumen Cp calor específico del gas

CPef c concentración del reactivo en la alimentación c concentración del reactivo en la fase sólida D coeficiente de dispersión en el gas d diámetro de partícula dt diámetro de tubo E energía de activación f factor de forma para el intercambio por radiación entre

O

W

calor específico para un medio pseudohomogéneo

O

s

P

part í cul as factor de forma para el intercambio por radiación entre las partículas y la pared

G término de generación de calor h coeficiente de transferencia de calor hacia la pared h coeficiente interfacial de transferencia de calor AH calor de reacción k k conductividad térmica efectiva del medio pseudohomogéneo

kf k coeficiente interfacial de transferencia de masa k conductividad térmica efectiva en el sólido k conductividad térmica por radiación L longitud del reactor o del medio poroso PM peso molecular promedio de la mezcla reaccionante

Qc Q flujo de calor transferido por convección Q flujo de calor transferido por radiación r radio del tubo R

R tasa de reacción t t iempo

W f

W

fs

conducJividad térmica de la fase sólida

conductividad térmica efectiva en el gas

C

ef

9

flujo de calor transferido por conducción

conv

constante de los gases ideales

N - 1

T T

O

U

V

V

V

X

z

a

O

r

temperatura del gas de alimentación al tiempo t=O temperatura del gas de alimentación temperatura adimensional velocidad intersticial del gas de alimentación a t=O velocidad intersticial del gas de alimentación velocidad de referencia coordenada axial coordenada axial adimensional

Sí mbo 1 os griegos E porosidad del lecho 6 distancia característica entre partículas I#J función base lineal para el método de elemento finito 1,9 parámetro que relaciona la velocidad intersticial con v

p, área de catalizador por unidad de volumen densidad efectiva del medio pseudohomogéneo densidad del gas densidad del gas de alimentación densidad del sólido

’ e ,

pi3

P S

po

IT constante de Stefan Boltzmann coordenada adimensional local para cada elemento finito

C

O

e .

f

r

C

W

Subíndices conducción condición de alimentación en fase gas

e . estado estacionario fase gas radiación o valor de referencia fase sólida pared

- Los parámetros adimensionales utilizados se definen como:

- Placa porosa k t S ‘Ef d T 3 L ~ G

= (l-&)ksTr e = n = 2 ( l-c)ks

PsCPsL

N - 2

- Intercambiador de calor a h L2 w w EVP CpL

Bi = Ef c6T: 9

W kef n = Pe =

kef kef

- Reactor heterogéneo 6 a = (I-&)

V P

(l-clk - 9 %f - V

r

(1-E) L = v c

r r 1

k c = - k & kf

(1-&I L S V

T = r

E R T a=-

dVLShf s k Nu =

9

L v E D Pe = 2

a k L sts = vvg

r

V r P r CPL k Pe =

h

4h W L 6 ( 1 - ~ ) L ~ ~ Bi = ~

k S S d k fs dtks

Nu = Fu = psCps( 1-dL2 P S

4c( 1-c)L2Trfw f c&L2T:

k Bi = R = dt kc

(-AH) (1-&)L2 r s

T k P = 3

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R - 6

Documents

J ESTUDIO DE RADIACION TERMICA EN MEDIOS Y REACTORES ...148.206.53.84/tesiuami/uam7642.pdf · apéndice con los parámetros empleados en las simulaciones de los reactores y uno en