JACOBIANO DE UNA TRANSFORMACIONSea la transformacinPor la transformacin una regin cerrada del plano se aplica en general, en una ragion cerrada del plano . Entonces, si y denotan respectivamente las reas de esas regiones, se puede demostrar que si y son continuamente diferenciables,

Donde denota lmite y donde el determinante es:

Es llamado el Si se resuelve la transformacin para tener y en trminos de y , se obtiene la transformacin , que es la tranformacion inversa correspondiente a . Si y son univoca y continuamente diferenciables, el jacobiano de esta transformacin es y se puede demostrar que es igual al reciproco de luego si uno de los jacobianos es distinto de cero en una regio el otro tambin lo es.Recprocamente podemos demostrar que si y son continuamente diferenciables en una regin y si el jacobiano no se anula en, entonces la transformacin es biunvoca.

EJERCICIOS:1. Si es analtica en una regin, demostrar que:

SOLUCIONSi es analtica en la regin, entonces cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann y dichas ecuaciones son:

Se satisfacen en. Por esta razn tenemos:

Por lo tanto

2. Demostrar que .SOLUCIONSea la transformacin con su respectivo Jacobiano tiene como transformacin inversa con su respectivo jacobiano .De ,De ,Por esto, De los cual, Anlogamente hallamos , Utilizando (3) y (4) y la regla para el producto de determinantes. Tenemos

3. Encontrar el Jacobiano de la transformacion:

SOLUCIONPara hallar el jacobiano obtendremos las respectivas derivadas parciales:

Ahora reemplzamos en:

Y tenemos:

Por lo tanto el Jacobiano de la transformacion dada es:

4. Hallar en el punto de:

SOLUCIONComo tenemos el sistema entonces:

Ahora hallamos sus respectivas derivadas parciales tenemos:

Ahora reemplazamos en la formula del jacobiano y tenemos:

5. Calcular Utilizando el siguiente cambio de variable ,, donde es la imagen de la region

SOLUCIONLo primero que hacemos es calcular el jacobiano

es decir:

Como , tenemos:

Ahora reemplazamos en la integral doble: