JacobianoEnclculo vectorial, se llamajacobianoodeterminante jacobianoaldeterminantede lamatriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemticoCarl Gustav Jacobi.Engeometra algebraica, eljacobianode unacurvahace referencia a lavariedad jacobiana, un grupo yvariedad algebraicaasociada a la curva, donde la curva puede serembebida.ndice[ocultar] 1Matriz jacobiana 1.1Funcin escalar 1.2Funcin vectorial 1.3Ejemplos 2Determinante jacobiano 2.1Ejemplos 2.2Invertibilidad y jacobiano 3Vase tambin 4Enlaces externosMatriz jacobiana[editar]Lamatriz jacobianaes una matriz formada por lasderivadas parcialesde primer orden de una funcin. Una de las aplicaciones ms interesantes de esta matriz es la posibilidad deaproximar linealmentea la funcin en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una funcin multivariable.Propiamente deberamos hablar ms que de matriz jacobiana, dediferencial jacobianaoaplicacin lineal jacobianaya que la forma de la matriz depender de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicacin lineal jacobiana tendr componentes diferentes an tratndose del mismo objeto matemtico. La propiedad bsica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicacin cualquieracontinua, es decirse dir que es diferenciable si existe una aplicacin linealtal que:(1)Funcin escalar[editar]Empecemos con el caso ms sencillo de una funcin escalar. En este caso la matriz jacobiana ser una matriz formada por un vector fila que coincide con elgradiente. Si la funcin admite derivadas parciales para cada variable puede verse que basta definir la "matriz" jacobiana como:

Ya que entonces se cumplir la relacin (1) automticamente, por lo que en este caso la "matriz jacobiana" es precisamente el gradiente.Funcin vectorial[editar]Supongamoses una funcin que va delespacio eucldeon-dimensional a otro espacio eucldeom-dimensional. Esta funcin est determinada pormfunciones escalares reales:

Cuando la funcin anterior esdiferenciable, entonces las derivadas parciales de estasmfunciones pueden ser organizadas en una matrizmporn, la matriz jacobiana deF:

Esta matriz es notada de diversas maneras:

Ntese que la fila, i-sima fila coincidir dada con elgradientede la funcinyi, parai= 1,...,m.Sipes un punto deRnyFes diferenciable enp, entonces su derivada est dada porJF(p). En este caso, la aplicacin lineal descrita porJF(p) es la mejoraproximacin linealdeFcerca del puntop, de esta manera:

paraxcerca dep. O con mayor precisin:

En ciertos espacios vectoriales de dimensin no finita, formados por funciones, puede generalizarse el concepto de matriz jacobiana definiendo unaaplicacin lineal jacobiana.Ejemplos[editar]Ejemplo 1.La matriz jacobiana de la funcinF:R3R3definida como:

es:

No siempre la matriz jacobiana es cuadrada. Vase el siguiente ejemplo.Ejemplo 2.Supngase la funcinF:R3R4, cuyas componentes son:

Aplicando la definicin de matriz jacobiana:

Determinante jacobiano[editar]Sim=n, entoncesFes una funcin que va de un espacio n-dimensional a otro. En este caso la matriz jacobiana escuadraday podemos calcular su determinante, conocido como el determinante jacobiano o simplemente jacobiano.El determinante jacobiano en un punto dado nos da informacin importante sobre el comportamiento deFcerca de ese punto. Para empezar, una funcinFes invertible cerca depsi el determinante jacobiano enpes no nulo. Ms an, elvalor absolutodel determinante enpnos da el factor con el cualFexpande o contrae suvolumencerca dep.Ejemplos[editar]Ejemplo 1.El determinante jacobiano de la funcinF:R3R3definida como:

es:

Elteorema de la funcin inversagarantiza que la funcin es localmente invertible en todo el dominio excepto quiz donde(es decir, los valores para los que el determinante se hace cero). Si imaginamos un objeto pequeo centrado en el punto (1,1,1) y le aplicamosF, tendremos un objeto aproximadamente 40 veces ms voluminoso que el original.

Ejemplo 2.Cambiando un poco la funcin anterior por sta:

El determinante jacobiano quedar:En este caso existen ms valores que anulan al determinante. Por un lado, y por otro:conInvertibilidad y jacobiano[editar]Una propiedad interesante del jacobiano es que cuando ste es diferente de cero en el entorno de un punto dado, entonces elteorema de la funcin inversagarantiza que la funcin admite una funcin inversa alrededor de dicho punto.El teorema anterior expresa una condicin suficiente aunque no necesaria, ya que por ejemplo la funcintiene por jacobianoque se anula en el punto, aunque alrededor de ese punto la funcin sigue teniendo inversaan cuando el jacobiano es nulo en el origen.